5 irrationelle ligninger. Valgfag ”Metoder til løsning af irrationelle ligninger

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personlige oplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere bestemt person eller kontakte ham.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse e-mail osv.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

Samlet af os personlige oplysninger giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, retssager og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra offentlige myndigheder på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, e-mailadresse mv.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig med unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

Hvis det er nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, i retssager og/eller på grundlag af offentlige anmodninger eller anmodninger fra statslige myndigheder i Den Russiske Føderations område - om at videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.

En irrationel ligning er enhver ligning, der indeholder en funktion under rodtegnet. For eksempel:

Sådanne ligninger løses altid i 3 trin:

Afsondre roden. Med andre ord, hvis der til venstre for lighedstegnet, ud over roden, er andre tal eller funktioner, skal alt dette flyttes til højre og ændre tegnet. I dette tilfælde skal kun den radikale forblive til venstre - uden nogen koefficienter.
2. Kvadret begge sider af ligningen. Samtidig husker vi, at rækken af værdier af roden er alle ikke-negative tal. Derfor er funktionen til højre irrationel ligning skal også være ikke-negativ: g(x) ≥ 0.
Det tredje trin følger logisk af det andet: du skal udføre en kontrol. Faktum er, at vi i andet trin kunne have ekstra rødder. Og for at afskære dem, skal du erstatte de resulterende kandidattal i den oprindelige ligning og kontrollere: er den korrekte numeriske lighed virkelig opnået?

Løsning af en irrationel ligning

Lad os se på vores irrationelle ligning givet helt i begyndelsen af lektionen. Her er roden allerede isoleret: til venstre for lighedstegnet er der intet andet end roden. Firkantet på begge sider:

2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x 2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x 2
x 2 − 4x − 12 = 0

Løser det, vi har fået andengradsligning via diskriminant:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 = −2

Tilbage er blot at erstatte disse tal i den oprindelige ligning, dvs. udføre kontrollen. Men selv her kan du gøre det rigtige for at forenkle den endelige beslutning.

Hvordan man forenkler løsningen

Lad os tænke: hvorfor udfører vi overhovedet en kontrol i slutningen af at løse en irrationel ligning? Vi vil sikre os, at når vi erstatter vores rødder, vil der være et ikke-negativt tal til højre for lighedstegnet. Vi ved jo allerede med sikkerhed, at der er et ikke-negativt tal til venstre, fordi aritmetik kvadratrod(hvilket er grunden til, at vores ligning kaldes irrationel) kan per definition ikke være mindre end nul.

Derfor skal vi kun kontrollere, at funktionen g (x) = 5 − x, som er til højre for lighedstegnet, er ikke-negativ:

g(x) ≥ 0

Vi erstatter vores rødder i denne funktion og får:

g (x 1) = g (6) = 5 − 6 = −1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Ud fra de opnåede værdier følger det, at roden x 1 = 6 ikke passer os, da vi får et negativt tal, når vi substituerer ind i højre side af den oprindelige ligning. Men roden x 2 = −2 er ganske velegnet for os, fordi:

Denne rod er løsningen på andengradsligningen opnået ved at hæve begge sider irrationel ligning ind i en firkant.
Når du erstatter roden x 2 = −2, bliver højre side af den oprindelige irrationelle ligning til et positivt tal, dvs. rækken af værdier for den aritmetiske rod er ikke overtrådt.

Det er hele algoritmen! Som du kan se, er det ikke så svært at løse ligninger med radikaler. Det vigtigste er ikke at glemme at kontrollere de modtagne rødder, ellers er der meget stor sandsynlighed for at modtage unødvendige svar.

Metodeudvikling for valgfaget

"Løsningsmetoder irrationelle ligninger»»

INDLEDNING

Det foreslåede valgfag ”Metoder til løsning af irrationelle ligninger” henvender sig til elever i 11. klassetrin på en almen uddannelsesskole og er fagorienteret, rettet mod at udvide elevernes teoretiske og praktiske viden. Valgfag bygget på den viden og de færdigheder, eleverne har erhvervet, mens de studerede matematik i gymnasiet.

Det særlige ved dette kursus er, at det primært er beregnet til studerende, der ønsker at udvide, uddybe, systematisere, generalisere deres matematiske viden og lære almindelige metoder og teknikker til løsning af irrationelle ligninger. Uddannelsen omfatter problemstillinger, der delvist går ud over de nuværende uddannelser i matematik og ikke-standardiserede metoder, som giver dig mulighed for mere effektivt at løse forskellige problemer.

De fleste USE-opgaver kræver, at kandidater mestrer forskellige metoder til at løse forskellige typer ligninger og deres systemer. Materiale relateret til ligninger og ligningssystemer udgør en væsentlig del af skolens matematikforløb. Relevansen af at vælge emnet for valgfaget er bestemt af vigtigheden af emnet "Irrationelle ligninger" i skolens matematikkursus og samtidig af manglen på tid til at overveje ikke-standardiserede metoder og tilgange til løsning af irrationelle ligninger, som findes i opgaverne i gruppe "C" i Unified State Examination.

Sammen med den grundlæggende opgave at undervise i matematik - at sikre elevernes stærke og bevidste beherskelse af systemet med matematisk viden og færdigheder - sørger dette valgfag for dannelsen af en vedvarende interesse for faget, udvikling af matematiske evner, øget niveau af matematisk kultur af studerende, hvilket skaber grundlaget for succesfuldt at bestå Unified State Exam og videreuddannelse på universiteter.

Formål med kurset:

Øge forståelsen og praktisk træning ved løsning af irrationelle ligninger;

Undersøgelse af teknikker og metoder til løsning af irrationelle ligninger;

Udvikle evnen til at analysere, fremhæve det vigtigste, danne elementer af kreativ søgning baseret på generaliseringsteknikker;

Udvid elevernes viden om dette emne, forbedre færdigheder og løsningsevner forskellige opgaver for at have bestået Unified State-eksamenen.

Kursusmål:

Udvide viden om metoder og teknikker til løsning af algebraiske ligninger;

Generalisering og systematisering af viden, når man studerer i klasse 10-11 og forbereder sig til Unified State Exam;

Udvikling af evnen til selvstændigt at tilegne sig og anvende viden;

At introducere eleverne til at arbejde med matematisk litteratur;

Udvikling logisk tænkning studerende, deres algoritmiske kultur og matematiske intuition;

Forbedring af elevens matematiske kultur.

Det valgfrie kursus indebærer at studere forskellige metoder og tilgange til at løse irrationelle ligninger og udvikle praktiske færdigheder om de emner, der overvejes. Kurset varer 17 timer.

Programmet er kompliceret, overgår det sædvanlige studieforløb, fremmer udviklingen af abstrakt tænkning og udvider den studerendes kognitionsområde. Samtidig opretholder den kontinuitet med eksisterende programmer, som er deres logiske fortsættelse.

Pædagogisk og tematisk plan

№p/p

Emne for klasser

Antal timer

Løsning af ligninger under hensyntagen til rækken af acceptable værdier

Løsning af irrationelle ligninger ved at hæve til naturlige magter

Løsning af ligninger ved at indføre hjælpevariable (erstatningsmetode)

Løsning af en ligning med et radikal af tredje grad.

Identiske transformationer ved løsning af irrationelle ligninger

Ukonventionelle opgaver. Problemer i gruppe "C" i Unified State Exam

Kontrolformer: hjemmetest, selvstændigt arbejde, essays og forskningsartikler.

Som et resultat af at studere dette valgfag, skal de studerende være i stand til at løse forskellige irrationelle ligninger ved hjælp af standard og ikke-standard metoder og teknikker;

mestre algoritmen til løsning af standard irrationelle ligninger;

kunne bruge ligningers egenskaber til at løse ikke-standardiserede problemer;

kunne udføre identitetstransformationer ved løsning af ligninger;

har en klar forståelse af emnerne for en enkelt statslig eksamen, om de vigtigste metoder til at løse dem;

få erfaring med at vælge metoder til løsning af ikke-standardiserede problemer.

HOVEDDEL.

Ligninger, hvor den ukendte størrelse er under det radikale tegn, kaldes irrationel.

De enkleste irrationelle ligninger inkluderer ligninger af formen:

Løsningens hovedidé irrationel ligning består i at reducere den til en rationel algebraisk ligning, som enten svarer til den oprindelige irrationelle ligning eller er dens konsekvens. Når vi løser irrationelle ligninger, taler vi altid om at finde rigtige rødder.

Lad os se på nogle måder at løse irrationelle ligninger på.

1. Løsning af irrationelle ligninger under hensyntagen til rækkevidden af tilladte værdier (APV).

Rækken af tilladte værdier af en irrationel ligning består af de værdier af de ukendte, for hvilke alle udtryk under tegnet af en radikal af lige grad er ikke-negative.

Nogle gange giver kendskab til ODZ'en dig mulighed for at bevise, at ligningen ikke har nogen løsninger, og nogle gange giver dig mulighed for at finde løsninger til ligningen ved direkte at erstatte tal fra ODZ'en.

Eksempel 1 . Løs ligningen.

Løsning . Efter at have fundet ODZ af denne ligning, kommer vi til den konklusion, at ODZ af den oprindelige ligning er et enkelt-elementsæt. Erstatningx=2ind i denne ligning kommer vi til den konklusion, atx=2er roden til den oprindelige ligning.

Svar : 2 .

Eksempel 2.

Ligningen har ingen løsninger, fordi for hver tilladt værdi af variablen, summen af to ikke negative tal kan ikke være negativ.

Eksempel 3.
+ 3 =
.

ODZ:

ODZ-ligningen er et tomt sæt.

Svar: ligningen har ingen rødder.

Eksempel 4. 3
−4
−
=−(2+
).

ODZ:

ODZ:
. Ved at kontrollere er vi overbevist om, at x=1 er roden af ligningen.

Svar: 1.

Bevis, at ligningen ikke har

rødder

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

Løs ligningen.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(x+3)(2005−x)=0.

2. B at hæve begge sider af ligningen til den naturlige magt , altså overgangen fra ligningen

(1)

til ligningen

. (2)

Retfærdig følgende udsagn:

1) for enhver ligning (2) er en konsekvens af ligning (1);

2) hvis ( n er et ulige tal), derefter ligning (1) og (2 ) er ækvivalente;

3) hvis ( n er et lige tal), så svarer ligning (2) til ligningen

, (3)

og ligning (3) er ækvivalent med mængden af ligninger

. (4)

Især ligningen

(5)

er ækvivalent med ligningssættet (4).

Eksempel 1. Løs ligningen

Ligningen svarer til systemet

hvoraf det følger, at x=1, og roden ikke opfylder den anden ulighed. Samtidig kræver en kompetent løsning ikke verifikation.

Svar:x=1.

Eksempel 2. Løs ligningen.

Løsning af den første ligning i dette system, som svarer til ligningen , vi får rødderne og . Dog ved disse værdier x uligheden holder ikke, og derfor har denne ligning ingen rødder.

Svar: ingen rødder.

Eksempel 3. Løs ligningen

Ved at isolere det første radikal får vi ligningen

svarende til den originale.

Ved at kvadrere begge sider af denne ligning, da de begge er positive, får vi ligningen

som er en konsekvens af den oprindelige ligning. Ved at kvadrere begge sider af denne ligning under forudsætning af, at vi når frem til ligningen

Denne ligning har rødder, . Den første rod opfylder den oprindelige betingelse, men den anden gør det ikke.

Svar: x=2.

Hvis ligningen indeholder to eller flere radikaler, bliver de først isoleret og derefter kvadreret.

Eksempel 1.

Ved at isolere det første radikal får vi en ligning svarende til den givne. Lad os kvadrere begge sider af ligningen:

Efter at have udført de nødvendige transformationer, kvadrerer vi den resulterende ligning

Efter at have tjekket, bemærker vi det

er ikke inden for området for acceptable værdier.

Svar: 8.

Svar: 2

Svar: 3; 1.4.

3. Mange irrationelle ligninger løses ved at indføre hjælpevariable.

Praktiske midler løsning af irrationelle ligninger er nogle gange en metode til at introducere en ny variabel, eller "erstatningsmetode" Metoden anvendes normalt, når den er i lign. nogle udtryk dukker op gentagne gange, afhængigt af en ukendt mængde. Så giver det mening at betegne dette udtryk med et nyt bogstav og prøve at løse ligningen først med hensyn til den introducerede ukendte, og derefter finde den oprindelige ukendte.

Godt valg ny variabel gør strukturen af ligningen mere gennemsigtig. Den nye variabel er nogle gange indlysende, nogle gange lidt tilsløret, men "følt" og nogle gange "manifesterer" kun i transformationsprocessen.

Eksempel 1.

Lade
t>0, så

t =
,

t2 +5t-14=0,

t1=-7, t2=2. t=-7 opfylder altså ikke betingelsen t>0

x 2 -2x-5=0,

x 1 =1-
x 2 = 1+
.

Svar: 1-
; 1+
.

Eksempel 2. Løs en irrationel ligning

Udskiftning:

Omvendt udskiftning: /

Svar:

Eksempel 3. Løs ligningen .

Lad os lave udskiftninger: , . Den oprindelige ligning vil blive omskrevet i formen , hvorfra vi finder det EN = 4b Og . Dernæst hæve begge sider af ligningen i kvadrat, får vi: Herfra X= 15. Tilbage er blot at tjekke:

- rigtigt!

Svar: 15.

Eksempel 4. Løs ligningen

Med , får vi en væsentligt enklere irrationel ligning. Lad os kvadrere begge sider af ligningen: .

; ;

; ; , .

Hvis du tjekker de fundne værdier og indsætter dem i ligningen, viser det sig, at det er roden af ligningen, og det er en uvedkommende rod.

Vender tilbage til den oprindelige variabel x, får vi en ligning, det vil sige en andengradsligning, løser som vi finder to rødder: ,. Begge rødder opfylder den oprindelige ligning.

Svar: , .

Udskiftning er især nyttig, hvis en ny kvalitet opnås som et resultat, for eksempel bliver en irrationel ligning til en rationel.

Eksempel 6. Løs ligningen.

Lad os omskrive ligningen sådan her: .

Det kan ses, at hvis vi indfører en ny variabel , så tager ligningen formen , hvor er den uvedkommende rod og .

Fra ligningen får vi .

Svar: , .

Eksempel 7. Løs ligningen .

Lad os introducere en ny variabel, .

Som et resultat antager den oprindelige irrationelle ligning form af en andengrad

hvorfra vi under hensyntagen til begrænsningen får . Løser vi ligningen, får vi roden. Svar: 2,5.

Opgaver til selvstændig løsning.

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4. Metode til at introducere to hjælpevariable.

Formens ligninger (Her -en , b , c , d – nogle tal m , n – naturlige tal) og en række andre ligninger kan ofte løses ved at introducere to hjælpeubekendte: og , hvor og efterfølgende overgang til ækvivalent system af rationelle ligninger.

Eksempel 1. Løs ligningen.

At hæve begge sider af denne ligning til fjerde potens lover ikke noget godt. Hvis vi sætter , så omskrives den oprindelige ligning som følger: . Da vi har introduceret to nye ubekendte, er vi nødt til at finde en anden ligning, der vedrører y Og z. For at gøre dette hæver vi lighederne til fjerde potens og bemærker, at . Så vi skal løse ligningssystemet

Ved at kvadrere får vi:

Efter udskiftning har vi: eller . Så har systemet to løsninger: , ; , , og systemet har ingen løsninger.

Det er tilbage at løse systemet med to ligninger med en ukendt

og systemet Den første af dem giver, den anden giver.

Svar: , .

Eksempel 2.

Lade

Svar:

5. Ligninger med et radikal af tredje grad.
Når man løser ligninger, der indeholder radikaler af 3. grad, kan det være nyttigt at bruge addition ved identiteter:

Eksempel 1. .
Lad os hæve begge sider af denne ligning til 3. potens og bruge ovenstående identitet:

Bemærk, at udtrykket i parentes er lig med 1, hvilket følger af den oprindelige ligning. Tager vi dette i betragtning og bringer lignende vilkår, får vi:
Lad os åbne parenteserne, tilføje lignende udtryk og løse andengradsligningen. Dens rødderOg. Hvis vi antager (per definition), at ulige rødder også kan udtrækkes fra negative tal, så er begge opnåede tal løsninger til den oprindelige ligning.
Svar:.

6. Multiplicer begge sider af ligningen med det konjugerede udtryk for en af dem.

Nogle gange kan en irrationel ligning løses ret hurtigt, hvis begge sider ganges med en velvalgt funktion. Selvfølgelig, når begge sider af ligningen ganges med en bestemt funktion, kan fremmede løsninger vise sig at være nuller af denne funktion selv. Derfor kræver den foreslåede metode obligatorisk forskning de resulterende værdier.

Eksempel 1. Løs ligningen

Løsning: Lad os vælge en funktion

Lad os gange begge sider af ligningen med den valgte funktion:

Lad os bringe lignende udtryk og få en ækvivalent ligning

Lad os tilføje den oprindelige ligning og den sidste, vi får

Svar: .

7. Identiske transformationer ved løsning af irrationelle ligninger

Når man løser irrationelle ligninger, er det ofte nødvendigt at anvende identiske transformationer forbundet med brugen af velkendte formler. Desværre er disse handlinger nogle gange lige så usikre som at hæve til en jævn magt – løsninger kan opnås eller tabes.

Lad os se på flere situationer, hvor disse problemer opstår, og lære at genkende og forebygge dem.

JEG. Eksempel 1. Løs ligningen.

Løsning. Formlen der gælder her er .

Du skal bare tænke på sikkerheden ved dens brug. Det er let at se, at dens venstre og højre side har forskellige definitionsdomæner, og at denne lighed kun er sand under betingelsen. Derfor svarer den oprindelige ligning til systemet

Løser vi dette systems ligning, får vi rødderne og . Den anden rod opfylder ikke systemets ulighedssæt og er derfor en uvedkommende rod af den oprindelige ligning.

Svar: -1 .

II.Den næste farlige transformation ved løsning af irrationelle ligninger er bestemt af formlen.

Hvis du bruger denne formel fra venstre mod højre, udvides ODZ, og du kan erhverve tredjepartsløsninger. Faktisk skal begge funktioner på venstre side være ikke-negative; og til højre skal deres produkt være ikke-negativt.

Lad os se på et eksempel, hvor et problem implementeres ved hjælp af formlen.

Eksempel 2. Løs ligningen.

Løsning. Lad os prøve at løse denne ligning ved at faktorisere

Bemærk, at med denne handling viste løsningen sig at gå tabt, da den passer til den oprindelige ligning og ikke længere passer til den resulterende: det giver ikke mening for . Derfor er det bedre at løse denne ligning ved almindelig kvadrering

Løser vi dette systems ligning, får vi rødderne og . Begge rødder tilfredsstiller systemuligheden.

Svar: , .

III Der er en endnu farligere handling - reduktion med en fælles faktor.

Eksempel 3. Løs ligningen .

Forkert ræsonnement: Reducer begge sider af ligningen med , får vi .

Der er ikke noget mere farligt og forkert end denne handling. For det første gik en passende løsning til den oprindelige ligning tabt; for det andet blev der indkøbt to tredjepartsløsninger. Det viser sig, at den nye ligning ikke har noget til fælles med den originale! Lad os give den rigtige løsning.

Løsning. Lad os flytte alle led til venstre side af ligningen og indregne det i faktorer

Denne ligning svarer til systemet

som har en unik løsning.

Svar: 3 .

KONKLUSION.

Som en del af valgfaget vises ikke-standardiserede teknikker til løsning af komplekse problemer, der med succes udvikler logisk tænkning og evnen til blandt mange løsninger at finde en, der er behagelig og rationel for den studerende. Dette kursus kræver, at eleverne selvstændigt arbejde, hjælper med at forberede eleverne til at fortsætte deres uddannelse og forbedre niveauet af matematisk kultur.

Arbejdet diskuterede de vigtigste metoder til løsning af irrationelle ligninger, nogle tilgange til løsning af ligninger af højere grader, hvis brug antages ved løsning af Unified State Examination-opgaver, såvel som ved indrejse på universiteter og videregående matematisk uddannelse. Indholdet af grundlæggende begreber og udsagn relateret til teorien om løsning af irrationelle ligninger blev også afsløret. Efter at have bestemt den mest almindelige metode til løsning af ligninger, identificerede vi dens anvendelse i standard- og ikke-standardsituationer. Derudover overvejede vi typiske fejl når du udfører identiske transformationer og måder at overvinde dem på.

Ved afslutningen af kurset får de studerende mulighed for at mestre forskellige metoder og teknikker til at løse ligninger, samtidig med at de lærer at systematisere og generalisere teoretisk information, selvstændigt søge efter løsninger på bestemte problemstillinger og i forbindelse hermed sammensætte en række opgaver og øvelser. om disse emner. Valg komplekst materiale vil hjælpe skolebørn med at udtrykke sig i forskningsaktiviteter.

På den positive side Kurset er muligheden for yderligere anvendelse af studerende af det undersøgte materiale, når de har bestået Unified State Examen og kommer ind på universiteter.

Negativ side er, at ikke alle studerende er i stand til at mestre alle teknikkerne i dette kursus, selvom de har lyst til det, på grund af vanskeligheden ved at de fleste af problemerne bliver løst.

LITTERATUR:

Sharygin I.F. "Matematik for dem, der går ind på universiteter." - 3. udgave, - M.: Bustard, 2000.

Ligninger og uligheder. Referencemanual./ Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. –M.: Eksamen, 1998.

Cherkasov O.Yu., Yakushev A.G. "Matematik: et intensivt eksamensforberedende kursus." – 8. udg., rev. og yderligere – M.:Iris, 2003. – (Hjemmelærer)

Balayan E.N. Komplekse øvelser og varianter af træningsopgaver til Unified State Examen i matematik. Rostov ved Don: Phoenix Publishing House, 2004.

Skanavi M.I. "Samling af problemer i matematik for dem, der går ind på universiteter." - M., "Higher School", 1998.

Igusman O.S. "Matematik i den mundtlige eksamen." - M., Iris, 1999.

Eksamensmateriale til forberedelse til Unified State-eksamen – 2008 – 2012.

V.V Kochagin, M.N. Kochagina "Unified State Examination - 2010. Matematik. Tutor" Moskva "Oplysning" 2010

V.A.Gusev, A.G.Mordkovich "Matematik. Referencematerialer" Moskva "Oplysning" 1988

Metoder til løsning af irrationelle ligninger.

Indledende forberedelse til lektionen: Eleverne skal kunne løse irrationelle ligninger på en række forskellige måder.

Tre uger før denne lektion får eleverne hjemmeopgave nummer 1: Løs forskellige irrationelle ligninger. (Eleverne finder selvstændigt 6 forskellige irrationelle ligninger og løser dem i par.)

En uge før denne lektion får eleverne hjemmeopgave nr. 2, som de udfører individuelt.

1. Løs ligningenpå forskellige måder.

2. Vurder fordele og ulemper ved hver metode.

3. Optag resultaterne i form af en tabel.

№ p/p	Vej	Fordele	Fejl

Lektionens mål:

Uddannelsesmæssigt:generalisering af elevernes viden om dette emne, demonstration af forskellige metoder til løsning af irrationelle ligninger, elevers evne til at nærme sig løsning af ligninger fra et forskningsperspektiv.

Uddannelsesmæssigt:fremme af selvstændighed, evnen til at lytte til andre og kommunikere i grupper, øge interessen for emnet.

Udviklingsmæssigt:udvikling af logisk tænkning, algoritmisk kultur, selvuddannelsesevner, selvorganisering, arbejde i par, når de laver lektier, færdigheder til at analysere, sammenligne, generalisere og drage konklusioner.

Udstyr: computer, projektor, lærred, bord “Regler for løsning af irrationelle ligninger”, plakat med citat fra M.V. Lomonosov "Matematik bør kun undervises da, fordi det bringer sindet i orden," kort.

Regler for løsning af irrationelle ligninger.

Lektionstype: lektionsseminar (arbejd i grupper på 5-6 personer, hver gruppe skal have stærke elever).

Lektionens fremskridt

jeg . Organisatorisk øjeblik

(Formidling af emnet og målene for lektionen)

II . Præsentation forskningsarbejde"Metoder til løsning af irrationelle ligninger"

(Arbejdet præsenteres af den studerende, der har udført det.)

III . Analyse af metoder til løsning af hjemmeopgaver

(En elev fra hver gruppe skriver deres foreslåede løsningsmetoder ned på tavlen. Hver gruppe analyserer en af løsningsmetoderne, vurderer fordele og ulemper og drager konklusioner. Eleverne i grupperne tilføjer evt. Gruppens analyse og konklusioner Svarene skal være klare og fyldestgørende.)

Den første metode: hæve begge sider af ligningen til samme styrke og derefter kontrollere.

Løsning.

Lad os kvadrere begge sider af ligningen igen:

Herfra

Undersøgelse:

1. Hvisx=42 så, hvilket betyder nummeret42 er ikke roden til ligningen.

2. Hvisx=2, så, hvilket betyder nummeret2 er roden til ligningen.

Svar:2.

№ p/p

Vej

Fordele

Fejl

Hæve begge sider af en ligning til samme potens

1. Jeg kan se.

2. Tilgængelig.

1. Verbal optagelse.

2. Svær verifikation.

Konklusion. Når man løser irrationelle ligninger ved at hæve begge sider af ligningen til samme potens, er det nødvendigt at føre en verbal registrering, som gør løsningen forståelig og tilgængelig. Obligatorisk verifikation er dog nogle gange kompleks og tidskrævende. Denne metode kan bruges til at løse simple irrationelle ligninger, der indeholder 1-2 radikaler.

Den anden metode: ækvivalente transformationer.

Løsning:Lad os kvadrere begge sider af ligningen:

Svar:2.

№ p/p

Vej

Fordele

Fejl

Tilsvarende transformationer

1. Mangel på verbal beskrivelse.

2. Ingen verifikation.

3. Ryd logisk notation.

4. Sekvens af ækvivalente overgange.

1. Besværlig optagelse.

2. Du kan lave en fejl, når du kombinerer tegnene fra et system og et sæt.

Konklusion. Når du løser irrationelle ligninger ved hjælp af metoden med ækvivalente overgange, skal du klart vide, hvornår du skal sætte systemets fortegn, og hvornår du skal sætte fortegnet for aggregatet. Optagelsens besværlighed og forskellige kombinationer af system- og kombinationssymboler fører ofte til fejl. Sekvensen af ækvivalente overgange, en klar logisk notation uden en verbal beskrivelse, som ikke kræver verifikation, er imidlertid de ubestridelige fordele ved denne metode.

Den tredje metode: funktionel-grafisk.

Løsning.

Lad os se på funktionerneOg.

1. Funktionberolige; er stigende, pga eksponent er et positivt (ikke heltal) tal.

D(f).

Lad os lave en værditabelxOgf( x).

	1,5		3,5
f(x)

2. Funktionberolige; er faldende.

Lad os finde definitionsdomænet for funktionenD( g).

Lad os lave en værditabelxOgg( x).


g(x)

Lad os konstruere disse funktionsgrafer i ét koordinatsystem.

Grafer over funktioner skærer hinanden i abscissepunktetFordi fungeref( x) øges, og funktioneng( x) falder, så vil der kun være én løsning på ligningen.

Svar: 2.

№p/p

Vej

Fordele

Fejl

Funktionel-grafik

1. Synlighed.

2. Der er ingen grund til at lave komplekse algebraiske transformationer og overvåge ODZ.

3. Giver dig mulighed for at finde antallet af løsninger.

1. verbal optagelse.

2. Det er ikke altid muligt at finde et præcist svar, og hvis svaret er præcist, så er verifikation nødvendig.

Konklusion. Den funktionelt-grafiske metode er visuel og giver dig mulighed for at finde antallet af løsninger, men det er bedre at bruge det, når du nemt kan bygge grafer over de funktioner, der overvejes og få et præcist svar. Hvis svaret er omtrentligt, er det bedre at bruge en anden metode.

Fjerde metode: indførelse af en ny variabel.

Løsning.Lad os introducere nye variable, der betegnerVi får den første ligning af systemet

Lad os skabe den anden ligning af systemet.

For en variabel:

For en variabel

Det er derfor

Vi får et system af to rationelle ligninger, mhpOg

Vender tilbage til variablen, får vi

Introduktion af en ny variabel

Forenkling - opnåelse af et ligningssystem, der ikke indeholder radikaler

1. Behovet for at spore DID for nye variabler

2. Behovet for at vende tilbage til den oprindelige variabel

Konklusion. Denne metode bruges bedst til irrationelle ligninger, der indeholder radikaler af forskellige grader, eller identiske polynomier under rodtegnet og bag rodtegnet, eller gensidige udtryk under rodtegnet.

- Så gutter, for hver irrationel ligning skal du vælge mest bekvem måde løsninger: klar. Tilgængelig, logisk og kompetent designet. Ræk hånden op, hvem af jer foretrækker:

1) metoden til at hæve begge sider af ligningen til samme styrke med verifikation;

2) metoden til ækvivalente transformationer;

3) funktionel-grafisk metode;

4) metoden til at indføre en ny variabel.

IV . Praktisk del

(Arbejd i grupper. Hver gruppe elever modtager et kort med en ligning og løser det i deres notesbøger. På dette tidspunkt løser en repræsentant fra gruppen et eksempel på tavlen. Elever i hver gruppe løser det samme eksempel som et medlem af deres gruppe og overvåge de korrekte udførelsesopgaver på tavlen Hvis den, der svarer ved tavlen, laver fejl, så rækker den, der bemærker dem, hånden op og hjælper med at rette dem i løbet af lektionen, ud over eksemplet løst af sin gruppe, skal skrive andre foreslået til grupperne i en notesbog og løse dem derhjemme.)

Gruppe 1.

Gruppe 2.

Gruppe 3.

V . Selvstændigt arbejde

(I grupper er der først en diskussion, og derefter begynder eleverne at udføre opgaven. Den rigtige beslutning udarbejdet af læreren vises på skærmen.)

VI . Opsummering af lektionen

Nu ved du, at løsning af irrationelle ligninger kræver, at du har god teoretisk viden, evnen til at anvende dem i praksis, opmærksomhed, hårdt arbejde og intelligens.

Lektier

Løs ligningerne givet til grupperne i løbet af lektionen.