Ved løsning af uligheder, der indeholder trigonometriske funktioner, reduceres de til de simpleste uligheder af formen cos(t)>a, sint(t)=a og lignende. Og allerede de simpleste uligheder er løst. Lad os se på forskellige eksempler måder at løse simple trigonometriske uligheder på.

Eksempel 1. Løs uligheden sin(t) > = -1/2.

Tegn en enhedscirkel. Da sin(t) per definition er y-koordinaten, markerer vi punktet y = -1/2 på Oy-aksen. Vi tegner en lige linje gennem den parallelt med Ox-aksen. I skæringspunktet mellem den rette linje og grafen for enhedscirklen markeres punkterne Pt1 og Pt2. Vi forbinder oprindelsen af ​​koordinater med punkterne Pt1 og Pt2 med to segmenter.

Løsningen på denne ulighed vil være alle punkter i enhedscirklen placeret over disse punkter. Løsningen vil med andre ord være buen l. Nu er det nødvendigt at angive betingelserne for, at et vilkårligt punkt hører til buen l.

Pt1 ligger i den højre halvcirkel, dens ordinat er -1/2, så t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. For at beskrive punkt Pt1 kan du skrive følgende formel:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Som et resultat opnår vi følgende ulighed for t:

Vi bevarer ulighederne. Og da sinusfunktionen er periodisk, betyder det, at løsningerne vil blive gentaget hver 2*pi. Vi tilføjer denne betingelse til den resulterende ulighed for t og skriver svaret ned.

Svar: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Eksempel 2. Løs cos(t) ulighed<1/2.

Lad os tegne en enhedscirkel. Da cos(t) ifølge definitionen er x-koordinaten, markerer vi punktet x = 1/2 på grafen på Ox-aksen.
Vi tegner en lige linje gennem dette punkt parallelt med Oy-aksen. I skæringspunktet mellem den rette linje og grafen for enhedscirklen markeres punkterne Pt1 og Pt2. Vi forbinder oprindelsen af ​​koordinater med punkterne Pt1 og Pt2 med to segmenter.

Løsningerne vil være alle punkter i enhedscirklen, der hører til buen l. Lad os finde punkterne t1 og t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Vi fik uligheden for t: pi/3

Da cosinus er en periodisk funktion, vil løsningerne blive gentaget hver 2*pi. Vi tilføjer denne betingelse til den resulterende ulighed for t og skriver svaret ned.

Svar: pi/3+2*pi*n

Eksempel 3. Løs ulighed tg(t)< = 1.

Tangentperioden er lig med pi. Lad os finde løsninger, der hører til intervallet (-pi/2;pi/2) højre halvcirkel. Dernæst, ved hjælp af tangentens periodicitet, skriver vi alle løsningerne til denne ulighed ned. Lad os tegne en enhedscirkel og markere en linje med tangenter på den.

Hvis t er en løsning på uligheden, så skal ordinaten af ​​punktet T = tg(t) være mindre end eller lig med 1. Mængden af ​​sådanne punkter vil udgøre strålen AT. Det sæt af punkter Pt, der svarer til denne stråles punkter, er buen l. Desuden hører punktet P(-pi/2) ikke til denne bue.

Uligheder er relationer af formen a › b, hvor a og b er udtryk, der indeholder mindst én variabel. Uligheder kan være strenge - ‹, › og ikke-strenge - ≥, ≤.

Trigonometriske uligheder er udtryk for formen: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, hvor F(x) er repræsenteret af en eller flere trigonometriske funktioner .

Et eksempel på den enkleste trigonometriske ulighed er: sin x ‹ 1/2. Det er sædvanligt at løse sådanne problemer grafisk, der er udviklet til dette.

Metode 1 - Løsning af uligheder ved at tegne en funktion graf

For at finde et interval, der opfylder betingelserne ulighed sin x ‹ 1/2, skal du udføre følgende trin:

1. Konstruer en sinusformet y = sin x på koordinataksen.
2. Tegn på samme akse en graf af det numeriske argument for uligheden, dvs. en ret linje, der går gennem punktet ½ af ordinaten OY.
3. Marker skæringspunkterne for de to grafer.
4. Skygge det segment, der er løsningen på eksemplet.

Når der er strenge tegn i et udtryk, er skæringspunkterne ikke løsninger. Da den mindste positive periode af en sinusoid er 2π, skriver vi svaret som følger:

Hvis udtrykkets fortegn ikke er strenge, så skal løsningsintervallet omsluttes i firkantede parenteser - . Svaret på problemet kan også skrives som følgende ulighed:

Metode 2 - Løsning af trigonometriske uligheder ved hjælp af enhedscirklen

Lignende problemer kan let løses ved hjælp af en trigonometrisk cirkel. Algoritmen til at finde svar er meget enkel:

1. Først skal du tegne en enhedscirkel.
2. Så skal du notere værdien af ​​buefunktionen af ​​argumentet for højre side af uligheden på cirkelbuen.
3. Det er nødvendigt at tegne en ret linje, der går gennem værdien af ​​buefunktionen parallelt med abscisseaksen (OX).
4. Derefter er der kun tilbage at vælge cirkelbuen, som er et sæt af løsninger til den trigonometriske ulighed.
5. Skriv svaret ned i den ønskede formular.

Lad os analysere faserne af løsningen ved at bruge eksemplet med ulighedssynden x › 1/2. Punkterne α og β er markeret på cirklen - værdier

Punkterne på buen placeret over α og β er intervallet for løsning af den givne ulighed.

Hvis du skal løse et eksempel for cos, så vil svarbuen være placeret symmetrisk i forhold til OX-aksen, ikke OY. Du kan overveje forskellen mellem løsningsintervallerne for sin og cos i diagrammerne nedenfor i teksten.

Grafiske løsninger for tangent- og cotangente uligheder vil afvige fra både sinus og cosinus. Dette skyldes funktionernes egenskaber.

Arktangens og arccotangens er tangenter til en trigonometrisk cirkel, og den mindste positive periode for begge funktioner er π. For hurtigt og korrekt at bruge den anden metode, skal du huske på hvilken akse værdierne for sin, cos, tg og ctg er plottet.

Tangenttangenten løber parallelt med OY-aksen. Hvis vi plotter værdien af ​​arctan a på enhedscirklen, vil det andet nødvendige punkt være placeret i den diagonale fjerdedel. Vinkler

De er brudpunkter for funktionen, da grafen har en tendens til dem, men aldrig når dem.

I tilfælde af cotangens løber tangenten parallelt med OX-aksen, og funktionen afbrydes i punkterne π og 2π.

Komplekse trigonometriske uligheder

Hvis argumentet for ulighedsfunktionen ikke kun repræsenteres af en variabel, men af ​​et helt udtryk, der indeholder en ukendt, så taler vi om en kompleks ulighed. Processen og proceduren til at løse det er noget anderledes end de ovenfor beskrevne metoder. Antag, at vi skal finde en løsning på følgende ulighed:

Den grafiske løsning går ud på at konstruere en almindelig sinusformet y = sin x ved hjælp af vilkårligt udvalgte værdier af x. Lad os beregne en tabel med koordinater for grafens kontrolpunkter:

Resultatet skal være en smuk kurve.

For at gøre det lettere at finde en løsning, lad os erstatte det komplekse funktionsargument

De fleste studerende kan ikke lide trigonometriske uligheder. Men forgæves. Som en karakter plejede at sige,

"Du ved bare ikke, hvordan man tilbereder dem"

Så hvordan man "laver mad" og med hvad man skal indsende ulighed med sinus, vil vi finde ud af i denne artikel. Vi løser det på den enkleste måde - ved hjælp af enhedscirklen.

Så først og fremmest har vi brug for følgende algoritme.

Algoritme til løsning af uligheder med sinus:

1. på sinusaksen plotter vi tallet $a$ og tegner en ret linje parallelt med cosinus-aksen, indtil den skærer cirklen;
2. skæringspunkterne mellem denne linje og cirklen vil være skraveret, hvis uligheden ikke er streng, og ikke skraveret, hvis uligheden er streng;
3. løsningsområdet for uligheden vil være placeret over linjen og op til cirklen, hvis uligheden indeholder tegnet "$>$", og under linjen og op til cirklen, hvis uligheden indeholder tegnet "$<$”;
4. for at finde skæringspunkterne løser vi den trigonometriske ligning $\sin(x)=a$, vi får $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. indstilling $n=0$, finder vi det første skæringspunkt (det er placeret enten i første eller fjerde kvartal);
6. for at finde det andet punkt, ser vi i hvilken retning vi går gennem området til det andet skæringspunkt: hvis i en positiv retning, så skal vi tage $n=1$, og hvis i en negativ retning, så $n=- 1$;
7. som svar nedskrives intervallet fra det mindre skæringspunkt $+ 2\pi n$ til det større $+ 2\pi n$.

Algoritme begrænsning

Vigtigt: d givet algoritme virker ikke for uligheder af formen $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Særlige tilfælde ved løsning af uligheder med sinus

Det er også vigtigt at bemærke følgende tilfælde, som er meget mere praktiske at løse logisk uden at bruge ovenstående algoritme.

Særligt tilfælde 1. Løs ulighed:

$\sin(x)\leq 1.$

På grund af det faktum, at værdiintervallet for den trigonometriske funktion $y=\sin(x)$ ikke er større end modulo $1$, så er venstre side af uligheden på enhver$x$ fra definitionsdomænet (og definitionsdomænet for sinus er alle reelle tal) er ikke mere end $1$. Og derfor skriver vi i svaret: $x \i R$.

Følge:

$\sin(x)\geq -1.$

Særligt tilfælde 2. Løs ulighed:

$\sin(x)< 1.$

Ved at anvende ræsonnement svarende til specialtilfælde 1 finder vi, at venstre side af uligheden er mindre end $1$ for alle $x \i R$, undtagen for punkter, der er løsninger til ligningen $\sin(x) = 1$. Ved at løse denne ligning vil vi have:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

Og derfor skriver vi i svaret: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Følge: uligheden løses på samme måde

$\sin(x) > -1.$

Eksempler på løsning af uligheder ved hjælp af en algoritme.

Eksempel 1: Løs ulighed:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Lad os markere koordinaten $\frac(1)(2)$ på sinusaksen.
2. Lad os tegne en lige linje parallelt med cosinus-aksen og passerer gennem dette punkt.
3. Lad os markere skæringspunkterne. De vil blive skygget, fordi uligheden ikke er streng.
4. Ulighedstegnet er $\geq$, hvilket betyder, at vi maler området over stregen, dvs. mindre halvcirkel.
5. Vi finder det første skæringspunkt. For at gøre dette gør vi uligheden til lighed og løser den: $\sin(x)=\frac(1)(2) \\Højrepil \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Vi sætter yderligere $n=0$ og finder det første skæringspunkt: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Vi finder det andet punkt. Vores område går i den positive retning fra det første punkt, hvilket betyder, at vi sætter $n$ lig med $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Løsningen vil således have formen:

$x \in \venstre[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \i Z.$

Eksempel 2: Løs ulighed:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Lad os markere koordinaten $-\frac(1)(2)$ på sinusaksen og tegne en ret linje parallelt med cosinusaksen og gennem dette punkt. Lad os markere skæringspunkterne. De vil ikke blive skraveret, da uligheden er streng. Ulighedstegnet $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\venstre(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Hvis vi yderligere antager $n=0$, finder vi det første skæringspunkt: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Vores område går i negativ retning fra det første punkt, hvilket betyder, at vi sætter $n$ lig med $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Så løsningen på denne ulighed vil være intervallet:

$x \i \venstre(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\højre), \n \i Z.$

Eksempel 3: Løs ulighed:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

Dette eksempel kan ikke løses umiddelbart ved hjælp af en algoritme. Først skal du transformere den. Vi gør præcis, hvad vi ville gøre med en ligning, men glem ikke tegnet. At dividere eller gange med et negativt tal vender det om!

Så lad os flytte alt, der ikke indeholder en trigonometrisk funktion, til højre. Vi får:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

Lad os dividere venstre og højre side med $-2$ (glem ikke tegnet!). Vi vil have:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

Igen har vi en ulighed, som vi ikke kan løse ved hjælp af en algoritme. Men her er det nok at ændre variablen:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Vi opnår en trigonometrisk ulighed, der kan løses ved hjælp af algoritmen:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Denne ulighed blev løst i eksempel 1, så lad os låne svaret derfra:

$t \i \venstre[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Beslutningen er dog ikke slut endnu. Vi skal tilbage til den oprindelige variabel.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \i \venstre[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Lad os forestille os intervallet som et system:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n \end(array) \right.$

På venstre side af systemet er der et udtryk ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), som hører til intervallet. Den venstre grænse af intervallet er ansvarlig for den første ulighed, og den højre grænse er ansvarlig for den anden. Desuden spiller parentes en vigtig rolle: Hvis parentesen er firkantet, vil uligheden blive lempet, og hvis den er rund, så vil den være streng. vores opgave er at få $x$ fra venstre i begge uligheder.

Lad os flytte $\frac(\pi)(6)$ fra venstre side til højre side, vi får:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(array) \right.$.

Forenklet vil vi have:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. \end(array) \right.$

Hvis vi multiplicerer venstre og højre side med $4$, får vi:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

Ved at samle systemet i intervallet får vi svaret:

$x \i \venstre[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \i Z.$

METODER TIL LØSNING AF TRIGONOMETRISKE ULIGHEDER

Relevans. Historisk set har trigonometriske ligninger og uligheder fået en særlig plads i skolens læseplan. Vi kan sige, at trigonometri er en af ​​de vigtigste dele af skoleforløbet og hele den matematiske videnskab generelt.

Trigonometriske ligninger og uligheder indtager en af ​​de centrale pladser i gymnasiets matematikkursus, både indholdsmæssigt undervisningsmateriale, og ifølge metoderne til pædagogisk og kognitiv aktivitet, som kan og bør dannes under deres studie og anvendes til at løse et stort antal problemer af teoretisk og anvendt karakter.

Løsning af trigonometriske ligninger og uligheder skaber forudsætninger for at systematisere elevernes viden relateret til alt undervisningsmateriale i trigonometri (f.eks. egenskaber ved trigonometriske funktioner, metoder til transformation af trigonometriske udtryk mv.) og gør det muligt at etablere effektive sammenhænge med det undersøgte materiale. i algebra (ligninger, ækvivalens af ligninger, uligheder, identiske transformationer af algebraiske udtryk osv.).

Med andre ord involverer overvejelse af teknikker til løsning af trigonometriske ligninger og uligheder en slags overførsel af disse færdigheder til nyt indhold.

Teoriens betydning og dens talrige anvendelser er bevis på relevansen af ​​det valgte emne. Dette giver dig igen mulighed for at bestemme målene, målene og emnet for undersøgelsen af ​​kursusarbejdet.

Formålet med undersøgelsen: generalisere de tilgængelige typer af trigonometriske uligheder, grundlæggende og specielle metoder til at løse dem, vælg et sæt problemer til løsning af trigonometriske uligheder af skolebørn.

Forskningsmål:

1. Ud fra en analyse af den tilgængelige litteratur om forskningsemnet systematiseres materialet.

2. Giv et sæt opgaver, der er nødvendige for at konsolidere emnet "Trigonometriske uligheder."

Studieobjekt er trigonometriske uligheder i skolens matematikforløb.

Forskningsemne: typer af trigonometriske uligheder og metoder til at løse dem.

Teoretisk betydning er at systematisere materialet.

Praktisk betydning: anvendelse af teoretisk viden til løsning af problemer; analyse af de vigtigste almindelige metoder til løsning af trigonometriske uligheder.

Forskningsmetoder : analyse af videnskabelig litteratur, syntese og generalisering af erhvervet viden, analyse af problemløsning, søgen efter optimale metoder til løsning af uligheder.

§1. Typer af trigonometriske uligheder og grundlæggende metoder til at løse dem

1.1. De enkleste trigonometriske uligheder

To trigonometriske udtryk forbundet med tegnet eller > kaldes trigonometriske uligheder.

At løse en trigonometrisk ulighed betyder at finde værdisættet af de ukendte, der er inkluderet i uligheden, som uligheden er opfyldt for.

Hoveddelen af ​​trigonometriske uligheder løses ved at reducere dem til den enkleste løsning:

Dette kan være en metode til faktorisering, ændring af variabel (
,
osv.), hvor den sædvanlige ulighed først løses, og derefter en ulighed af formen
osv. eller andre metoder.

De enkleste uligheder kan løses på to måder: ved hjælp af enhedscirklen eller grafisk.

Ladef(x  – en af ​​de grundlæggende trigonometriske funktioner. At løse uligheden
det er nok at finde sin løsning på én periode, dvs. på ethvert segment, hvis længde er lig med funktionens periodef  x  . Så vil hele løsningen på den oprindelige ulighed være fundetx , såvel som de værdier, der adskiller sig fra dem, der findes af et hvilket som helst helt antal perioder af funktionen. I dette tilfælde er det praktisk at bruge den grafiske metode.

Lad os give et eksempel på en algoritme til løsning af uligheder
(
) Og
.

Algoritme til at løse ulighed
(
).

1. Formuler definitionen af ​​sinus af et talx på enhedscirklen.

3. Marker punktet med koordinaten på ordinataksen-en .

4. Tegn en linje parallelt med OX-aksen gennem dette punkt og marker dets skæringspunkter med cirklen.

5. Vælg en cirkelbue, hvis alle punkter har en ordinat mindre end-en .

6. Angiv rundens retning (mod uret) og skriv svaret ned ved at tilføje perioden for funktionen til enderne af intervallet2πn ,
.

Algoritme til at løse ulighed
.

1. Formuler definitionen af ​​tangenten til et talx på enhedscirklen.

2. Tegn en enhedscirkel.

3. Tegn en linje med tangenter og marker et punkt med en ordinat på-en .

4. Forbind dette punkt med oprindelsen og markér skæringspunktet for det resulterende segment med enhedscirklen.

5. Vælg en cirkelbue, hvis alle punkter har en ordinat på tangentlinjen mindre end-en .

6. Angiv retningen for gennemkørslen og skriv svaret under hensyntagen til funktionens definitionsdomæne, tilføj et punktumπn ,
(tallet til venstre for posten er altid mindre end tallet til højre).

Grafisk fortolkning af løsninger til de simpleste ligninger og formler til løsning af uligheder i generel form er angivet i appendiks (bilag 1 og 2).

Eksempel 1. Løs uligheden
.

Tegn en ret linje på enhedscirklen
, som skærer cirklen i punkterne A og B.

Alle betydningery på intervallet er NM større , opfylder alle punkter i AMB-buen denne ulighed. Ved alle rotationsvinkler, store , men mindre ,
vil antage større værdier (men ikke mere end én).

Fig.1

Løsningen på uligheden vil således være alle værdier i intervallet
, dvs.
. For at opnå alle løsninger på denne ulighed er det nok at tilføje til enderne af dette interval
, Hvor
, dvs.
,
. Bemærk, at værdierne
Og
er ligningens rødder
,

dem.
;
.

Svar:
,
.

1.2. Grafisk metode

I praksis viser den grafiske metode til løsning af trigonometriske uligheder sig ofte at være nyttig. Lad os overveje essensen af ​​metoden ved at bruge eksemplet på ulighed
:

1. Hvis argumentet er komplekst (forskelligt fraX ), og udskift den derefter medt .

2. Vi bygger i ét koordinatplanlegetøj funktionsgrafer
Og
.

3. Sådan finder vito tilstødende skæringspunkter mellem grafer, mellem hvilkesinusbølgeplacerethøjere direkte
. Vi finder abscissen af ​​disse punkter.

4. Skriv en dobbelt ulighed for argumentett under hensyntagen til cosinusperioden (t vil være mellem de fundne abscisser).

5. Foretag en omvendt substitution (vend tilbage til det oprindelige argument) og udtryk værdienX fra den dobbelte ulighed skriver vi svaret i form af et numerisk interval.

Eksempel 2. Løs ulighed:.

Ved løsning af uligheder ved hjælp af den grafiske metode er det nødvendigt at konstruere grafer over funktioner så nøjagtigt som muligt. Lad os transformere uligheden til formen:

Lad os konstruere grafer over funktioner i ét koordinatsystem
Og
(Fig. 2).

Fig.2

Graferne for funktioner skærer hinanden i punktetEN med koordinater
;
. Ind imellem
grafpunkter
under grafens punkter
. Og hvornår
funktionsværdierne er de samme. Det er derfor
på
.

Svar:
.

1.3. Algebraisk metode

Ganske ofte kan den oprindelige trigonometriske ulighed reduceres til en algebraisk (rationel eller irrationel) ulighed gennem en velvalgt substitution. Denne metode involverer transformation af en ulighed, indførelse af en substitution eller erstatning af en variabel.

Lad os se på specifikke eksempler på anvendelsen af ​​denne metode.

Eksempel 3. Reduktion til den enkleste form
.

(Fig. 3)

Fig.3

,
.

Svar:
,

Eksempel 4. Løs ulighed:

ODZ:
,
.

Brug af formler:
,

Lad os skrive uligheden i formen:
.

Eller, at tro
efter simple transformationer får vi

,

,

.

Ved at løse den sidste ulighed ved hjælp af intervalmetoden får vi:

Fig.4

hhv
. Derefter fra Fig. 4 følger
, Hvor
.

Fig.5

Svar:
,
.

1.4. Interval metode

Generelt skema til løsning af trigonometriske uligheder ved hjælp af intervalmetoden:

Faktor ved hjælp af trigonometriske formler.

Find diskontinuitetspunkterne og nulpunkterne for funktionen og placer dem på cirklen.

Tag ethvert punktTIL (men ikke fundet tidligere) og find ud af produktets tegn. Hvis produktet er positivt, skal du placere et punkt uden for enhedscirklen på den stråle, der svarer til vinklen. Ellers skal du placere punktet inde i cirklen.

Hvis et punkt forekommer et lige antal gange, kalder vi det et punkt med lige multiplicitet, hvis et ulige antal gange, kalder vi det et punkt med ulige multiplicitet. Tegn buer som følger: start fra et punktTIL , hvis det næste punkt er af ulige multiplicitet, så skærer buen cirklen på dette punkt, men hvis punktet er af lige multiplicitet, så skærer den ikke.

Buer bag cirklen er positive intervaller; inde i cirklen er der negative mellemrum.

Eksempel 5. Løs ulighed

,
.

Points i den første serie:
.

Punkter i den anden serie:
.

Hvert punkt forekommer et ulige antal gange, det vil sige, at alle punkter er af ulige multiplicitet.

Lad os finde ud af produktets tegn på
: . Lad os markere alle punkterne på enhedscirklen (fig. 6):

Ris. 6

Svar:
,
;
,
;
,
.

Eksempel 6 . Løs uligheden.

Løsning:

Lad os finde nullerne i udtrykket .

Modtageaem :

,
;

,
;

,
;

,
;

På enhedscirklen serieværdierX 1 repræsenteret med prikker
. SerieX 2 giver point
. Fra serienX 3 vi får to point
. Endelig serienX 4 vil repræsentere punkter
. Lad os plotte alle disse punkter på enhedscirklen og angive dens mangfoldighed i parentes ved siden af ​​hver af dem.

Lad nu nummeret vil være lige. Lad os lave et skøn baseret på tegnet:

Så punktumEN skal vælges på den stråle, der danner vinklen med bjælkeÅh, uden for enhedscirklen. (Bemærk at hjælpestrålenOM EN Det er slet ikke nødvendigt at afbilde det på en tegning. PrikEN er valgt ca.)

Nu fra punktetEN tegne en bølget kontinuerlig linje sekventielt til alle markerede punkter. Og på punkter
vores linje går fra et område til et andet: hvis det var uden for enhedscirklen, så går det inden for det. Nærmer sig punktet , vender linjen tilbage til det indre område, da multipliciteten af ​​dette punkt er lige. Tilsvarende på punktet (med jævn multiplicitet) skal linjen drejes til det ydre område. Så vi tegnede et bestemt billede vist i fig. 7. Det hjælper med at fremhæve de ønskede områder på enhedscirklen. De er markeret med et "+"-tegn.

Fig.7

Endeligt svar:

Note. Hvis en bølget linje, efter at have krydset alle punkter markeret på enhedscirklen, ikke kan returneres til punktetEN , uden at krydse cirklen på et "ulovligt" sted, betyder det, at der er begået en fejl i løsningen, nemlig at et ulige antal rødder manglede.

Svar: .

§2. Et sæt af problemer til løsning af trigonometriske uligheder

I processen med at udvikle skolebørns evne til at løse trigonometriske uligheder kan der også skelnes mellem 3 stadier.

1. forberedende,

2. udvikling af evnen til at løse simple trigonometriske uligheder;

3. indførelse af trigonometriske uligheder af andre typer.

Formålet med den forberedende fase er, at det er nødvendigt at udvikle i skolebørn evnen til at bruge en trigonometrisk cirkel eller graf til at løse uligheder, nemlig:

Evne til at løse simple uligheder i formen
,
,
,
, brug af egenskaberne for sinus- og cosinusfunktionerne;

Evne til at konstruere dobbelte uligheder for buer af talcirklen eller for buer af grafer for funktioner;

Evne til at udføre forskellige transformationer af trigonometriske udtryk.

Det anbefales at implementere denne fase i processen med at systematisere skolebørns viden om egenskaberne ved trigonometriske funktioner. De vigtigste midler kan være opgaver, der tilbydes elever og udføres enten under vejledning af en lærer eller selvstændigt, samt færdigheder udviklet i løsning af trigonometriske ligninger.

Her er eksempler på sådanne opgaver:

1 . Marker et punkt på enhedscirklen , hvis

.

2. I hvilken fjerdedel af koordinatplanet er punktet placeret? , hvis er lig med:

3. Marker punkterne på den trigonometriske cirkel , hvis:

4. Konverter udtrykket til trigonometriske funktionerjegkvartaler.

EN)
, b)
, V)

5. Arc MR er givet.M – midtjeg- kvartal,R – midtIIkvartal. Begræns værdien af ​​en variabelt for: (lav en dobbelt ulighed) a) bue MR; b) RM-buer.

6. Skriv den dobbelte ulighed ned for de valgte sektioner af grafen:

Ris. 1

7. Løs uligheder
,
,
,
.

8. Konverter udtryk .

På anden fase af at lære at løse trigonometriske uligheder kan vi tilbyde følgende anbefalinger relateret til metoden til at organisere elevaktiviteter. I dette tilfælde er det nødvendigt at fokusere på elevernes eksisterende færdigheder i at arbejde med en trigonometrisk cirkel eller graf, dannet under løsning af de enkleste trigonometriske ligninger.

For det første kan man motivere det hensigtsmæssige i at opnå en generel metode til at løse de enkleste trigonometriske uligheder ved f.eks. at vende sig til en ulighed af formen
. Ved at bruge den viden og de færdigheder, der er erhvervet på det forberedende stadium, vil eleverne bringe den foreslåede ulighed til skemaet
, men kan finde det svært at finde et sæt løsninger på den resulterende ulighed, fordi Det er umuligt at løse det kun ved hjælp af egenskaberne for sinusfunktionen. Denne vanskelighed kan undgås ved at gå til den relevante illustration (løse ligningen grafisk eller bruge en enhedscirkel).

For det andet skal læreren henlede elevernes opmærksomhed på forskellige måder at løse opgaven på, give et passende eksempel på løsning af uligheden både grafisk og ved hjælp af en trigonometrisk cirkel.

Lad os overveje følgende løsninger på uligheden
.

1. Løsning af uligheden ved hjælp af enhedscirklen.

I den første lektion om løsning af trigonometriske uligheder vil vi tilbyde eleverne en detaljeret løsningsalgoritme, som i en trin-for-trin præsentation afspejler alle de grundlæggende færdigheder, der er nødvendige for at løse uligheden.

Trin 1.Lad os tegne en enhedscirkel og markere et punkt på ordinataksen og træk en ret linje igennem den parallelt med x-aksen. Denne linje vil skære enhedscirklen i to punkter. Hvert af disse punkter repræsenterer tal, hvis sinus er lig med .

Trin 2.Denne lige linje delte cirklen i to buer. Lad os vælge den, der viser tal, der har en sinus større end . Naturligvis er denne bue placeret over den tegnede lige linje.

Ris. 2

Trin 3.Vælg en af ​​enderne af den markerede bue. Lad os nedskrive et af de tal, der er repræsenteret ved dette punkt i enhedscirklen .

Trin 4.For at vælge det tal, der svarer til den anden ende af den valgte bue, "går" vi langs denne bue fra den navngivne ende til den anden. Husk samtidig, at når vi bevæger os mod uret, stiger de tal, vi passerer (når vi bevæger os i den modsatte retning, vil tallene falde). Lad os nedskrive det tal, der er afbildet på enhedscirklen ved den anden ende af den markerede bue .

Dermed ser vi den ulighed
opfylde de tal, for hvilke uligheden er sand
. Vi løste uligheden for tal placeret på samme periode af sinusfunktionen. Derfor kan alle løsninger på uligheden skrives i skemaet

Eleverne skal bedes om nøje at undersøge tegningen og finde ud af, hvorfor alle løsningerne på uligheden
kan skrives i skemaet
,
.

Ris. 3

Det er nødvendigt at henlede elevernes opmærksomhed på, at når vi løser uligheder for cosinusfunktionen, trækker vi en ret linje parallelt med ordinataksen.

Grafisk metode til løsning af uligheder.

Vi bygger grafer
Og
, givet det
.

Ris. 4

Så skriver vi ligningen
og hans beslutning
,
,
, fundet ved hjælp af formler
,
,
.

(Givern værdier 0, 1, 2, finder vi de tre rødder af den kompilerede ligning). Værdier
er tre på hinanden følgende abscisser af grafernes skæringspunkter
Og
. Selvfølgelig altid i intervallet
ulighed holder
, og på intervallet
– ulighed
. Vi er interesserede i det første tilfælde, og ved at tilføje til enderne af dette interval et tal, der er et multiplum af sinusperioden, får vi en løsning på uligheden
i form:
,
.

Ris. 5

Lad os opsummere. At løse uligheden
, skal du oprette den tilsvarende ligning og løse den. Find rødderne fra den resulterende formel Og , og skriv svaret på uligheden i skemaet: ,
.

For det tredje bekræftes kendsgerningen om sættet af rødder af den tilsvarende trigonometriske ulighed meget tydeligt, når man løser det grafisk.

Ris. 6

Det er nødvendigt at demonstrere over for eleverne, at vendingen, som er løsningen på uligheden, gentages gennem det samme interval, svarende til perioden for den trigonometriske funktion. Du kan også overveje en lignende illustration til grafen for sinusfunktionen.

For det fjerde er det tilrådeligt at udføre arbejde med at opdatere elevernes teknikker til at konvertere summen (forskellen) af trigonometriske funktioner til et produkt, og at henlede elevernes opmærksomhed på disse teknikkers rolle i løsningen af ​​trigonometriske uligheder.

Sådant arbejde kan organiseres gennem elevernes selvstændige udførelse af opgaver foreslået af læreren, blandt hvilke vi fremhæver følgende:

For det femte skal eleverne kræves at illustrere løsningen på hver enkel trigonometrisk ulighed ved hjælp af en graf eller en trigonometrisk cirkel. Du bør bestemt være opmærksom på dets hensigtsmæssighed, især brugen af ​​en cirkel, da den tilsvarende illustration, når du løser trigonometriske uligheder, tjener som et meget bekvemt middel til at registrere sæt af løsninger til en given ulighed

Det er tilrådeligt at introducere eleverne til metoder til løsning af trigonometriske uligheder, der ikke er de enkleste i henhold til følgende skema: vending til en specifik trigonometrisk ulighed vending til den tilsvarende trigonometriske ligning fælles søgning (lærer - studerende) for en løsningsuafhængig overførsel af fundet metode til andre uligheder af samme type.

For at systematisere elevernes viden om trigonometri anbefaler vi specielt at udvælge sådanne uligheder, hvis løsning kræver forskellige transformationer, der kan implementeres i processen med at løse dem, og at fokusere elevernes opmærksomhed på deres egenskaber.

Som sådanne produktive uligheder kan vi for eksempel foreslå følgende:

Afslutningsvis giver vi et eksempel på et sæt problemer til løsning af trigonometriske uligheder.

1. Løs ulighederne:

2. Løs ulighederne: 3. Find alle løsninger på ulighederne: 4. Find alle løsninger på ulighederne:

EN)
, der opfylder betingelsen
;

b)
, der opfylder betingelsen
.

5. Find alle løsninger på ulighederne:

EN) ;

b) ;

V)
;

G)
;

d)
.

6. Løs ulighederne:

EN) ;

b) ;

V);

G)
;

d);

e);

og)
.

7. Løs ulighederne:

EN)
;

b) ;

V);

G).

8. Løs ulighederne:

EN) ;

b) ;

V);

G)
;

d)
;

e);

og)
;

h).

Det er tilrådeligt at tilbyde opgave 6 og 7 til elever, der studerer matematik på et avanceret niveau, opgave 8 til elever i klasser med videregående studier i matematik.

§3. Særlige metoder til løsning af trigonometriske uligheder

Særlige metoder til løsning af trigonometriske ligninger - altså de metoder, der kun kan bruges til at løse trigonometriske ligninger. Disse metoder er baseret på brugen af ​​egenskaberne ved trigonometriske funktioner, samt på brugen af ​​forskellige trigonometriske formler og identiteter.

3.1. Sektor metode

Lad os overveje sektormetoden til løsning af trigonometriske uligheder. Løsning af uligheder i formen

, HvorP ( x ) OgQ ( x ) – rationelle trigonometriske funktioner (sinus, cosinus, tangenter og cotangenter indgår rationelt i dem), svarende til løsning af rationelle uligheder. Det er praktisk at løse rationelle uligheder ved hjælp af metoden med intervaller på tallinjen. Dens analog til løsning af rationelle trigonometriske uligheder er metoden for sektorer i den trigonometriske cirkel, forsinx Ogcosx (
) eller trigonometrisk halvcirkel fortgx Ogctgx (
).

I intervalmetoden er hver lineær faktor af formens tæller og nævner
på talaksen svarer til et punkt , og når du passerer gennem dette punkt
skifter tegn. I sektormetoden, hver faktor i formen
, Hvor
- en af ​​funktionernesinx ellercosx Og
, i en trigonometrisk cirkel svarer der to vinkler Og
, som deler cirklen i to sektorer. Når man passerer igennem Og fungere
skifter tegn.

Følgende skal huskes:

a) Formens faktorer
Og
, Hvor
, behold tegn for alle værdier . Sådanne faktorer i tælleren og nævneren kasseres ved at ændre (hvis
) ved hver sådan afvisning vendes ulighedstegnet.

b) Formens faktorer
Og
bliver også kasseret. Desuden, hvis disse er faktorer af nævneren, tilføjes uligheder i formen til det ækvivalente system af uligheder
Og
. Hvis disse er faktorer i tælleren, svarer de i det tilsvarende system af begrænsninger til ulighederne
Og
i tilfælde af en streng initial ulighed, og lighed
Og
i tilfælde af en ikke-streng initial ulighed. Når du kasserer multiplikatoren
eller
ulighedstegnet er omvendt.

Eksempel 1. Løs uligheder: a)
, b)
. vi har funktion b) . Løs den ulighed vi har,

3.2. Koncentrisk cirkel metode

Denne metode er en analog til metoden med parallelle talakser til løsning af systemer med rationelle uligheder.

Lad os overveje et eksempel på et system af uligheder.

Eksempel 5. Løs et system af simple trigonometriske uligheder

Først løser vi hver ulighed separat (figur 5). I det øverste højre hjørne af figuren vil vi angive, for hvilket argument den trigonometriske cirkel overvejes.

Fig.5

Dernæst bygger vi et system af koncentriske cirkler til argumentetX . Vi tegner en cirkel og skygger den i henhold til løsningen af ​​den første ulighed, så tegner vi en cirkel med en større radius og skygger den i henhold til løsningen af ​​den anden, så konstruerer vi en cirkel for den tredje ulighed og en grundcirkel. Vi tegner stråler fra midten af ​​systemet gennem enderne af buerne, så de skærer alle cirklerne. Vi danner en løsning på basiscirklen (figur 6).

Fig.6

Svar:
,
.

Konklusion

Alle mål med kursets forskning blev gennemført. Det teoretiske materiale er systematiseret: de vigtigste typer af trigonometriske uligheder og de vigtigste metoder til at løse dem er givet (grafisk, algebraisk, metode til intervaller, sektorer og metoden for koncentriske cirkler). Et eksempel på løsning af en ulighed blev givet for hver metode. Den teoretiske del blev efterfulgt af den praktiske del. Den indeholder et sæt opgaver til løsning af trigonometriske uligheder.

Dette kursusarbejde kan bruges af studerende til selvstændigt arbejde. Skolebørn kan kontrollere niveauet af beherskelse af dette emne og øve sig i at udføre opgaver af varierende kompleksitet.

Efter at have studeret den relevante litteratur om dette spørgsmål, kan vi naturligvis konkludere, at evnen og færdighederne til at løse trigonometriske uligheder i skoleforløbet for algebra og elementær analyse er meget vigtige, hvis udvikling kræver en betydelig indsats fra matematiklærerens side.

Derfor vil dette arbejde være nyttigt for matematiklærere, da det gør det muligt effektivt at organisere uddannelsen af ​​elever om emnet "Trigonometriske uligheder."

Forskningen kan videreføres ved at udvide den til et afsluttende kvalificerende arbejde.

Liste over brugt litteratur

Bogomolov, N.V. Samling af opgaver i matematik [Tekst] / N.V. Bogomolov. – M.: Bustard, 2009. – 206 s.

Vygodsky, M.Ya. Håndbog i elementær matematik [Tekst] / M.Ya. Vygodsky. – M.: Bustard, 2006. – 509 s.

Zhurbenko, L.N. Matematik i eksempler og opgaver [Tekst] / L.N. Zhurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 s.

Ivanov, O.A. Elementær matematik for skolebørn, elever og lærere [Tekst] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 s.

Karp, A.P. Opgaver om algebra og begyndelsen af ​​analyse til organisering af afsluttende gentagelse og certificering i klasse 11 [Tekst] / A.P. Karpe. – M.: Uddannelse, 2005. – 79 s.

Kulanin, E.D. 3000 konkurrenceproblemer i matematik [Tekst] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 s.

Leibson, K.L. Samling af praktiske opgaver i matematik [Tekst] / K.L. Leibson. – M.: Bustard, 2010. – 182 s.

Albue, V.V. Problemer med parametre og deres løsninger. Trigonometri: ligninger, uligheder, systemer. 10. klasse [Tekst] / V.V. Albue. – M.: ARKTI, 2008. – 64 s.

Manova, A.N. Matematik. Ekspresvejleder til forberedelse til Unified State-eksamen: studerende. manual [Tekst] / A.N. Manova. – Rostov ved Don: Phoenix, 2012. – 541 s.

Mordkovich, A.G. Algebra og begyndelsen af ​​matematisk analyse. 10-11 klassetrin. Lærebog for studerende ved almene uddannelsesinstitutioner [Tekst] / A.G. Mordkovich. – M.: Iris-press, 2009. – 201 s.

Novikov, A.I. Trigonometriske funktioner, ligninger og uligheder [Tekst] / A.I. Novikov. – M.: FIZMATLIT, 2010. – 260 s.

Oganesyan, V.A. Metoder til undervisning i matematik i gymnasiet: Generel metode. Lærebog manual for fysikstuderende - mat. fak. ped. Inst. [Tekst] / V.A. Oganesyan. – M.: Uddannelse, 2006. – 368 s.

Olehnik, S.N. Ligninger og uligheder. Ikke-standard løsningsmetoder [Tekst] / S.N. Olehnik. – M.: Factorial Publishing House, 1997. – 219 s.

Sevryukov, P.F. Trigonometriske, eksponentielle og logaritmiske ligninger og uligheder [Tekst] / P.F. Sevryukov. – M.: Public Education, 2008. – 352 s.

Sergeev, I.N. Unified State Exam: 1000 problemer med svar og løsninger i matematik. Alle opgaver i gruppe C [Tekst] / I.N. Sergeev. – M.: Eksamen, 2012. – 301 s.

Sobolev, A.B. Elementær matematik [Tekst] / A.B. Sobolev. – Ekaterinburg: Statens uddannelsesinstitution for videregående faglig uddannelse USTU-UPI, 2005. – 81 s.

Fenko, L.M. Metode til intervaller til løsning af uligheder og undersøgelse af funktioner [Tekst] / L.M. Fenko. – M.: Bustard, 2005. – 124 s.

Friedman, L.M. Teoretisk grundlag for metoder til undervisning i matematik [Tekst] / L.M. Friedman. – M.: Boghuset “LIBROKOM”, 2009. – 248 s.

Bilag 1

Grafisk fortolkning af løsninger på simple uligheder

Ris. 1

Ris. 2

Fig.3

Fig.4

Fig.5

Fig.6

Fig.7

Fig. 8

Bilag 2

Løsninger på simple uligheder

En algoritme til løsning af simple trigonometriske uligheder og genkendelse af metoder til løsning af trigonometriske uligheder.

Lærere i den højeste kvalifikationskategori:

Shirko F.M. s. Fremskridt, MOBU-gymnasium nr. 6

Sankina L.S. Armavir, privat gymnasieskole "New Way"

Der er ingen universelle metoder til undervisning i naturvidenskab og matematik. Hver lærer finder sine egne måder at undervise på, som kun er acceptable for ham.

Vores mangeårige undervisningserfaring viser, at eleverne lettere lærer materiale, der kræver koncentration og fastholdelse af en stor mængde information i hukommelsen, hvis de bliver lært at bruge algoritmer i deres aktiviteter i den indledende fase af indlæringen af ​​et komplekst emne. Efter vores mening er et sådant emne emnet for løsning af trigonometriske uligheder.

Så før vi begynder med eleverne at identificere teknikker og metoder til at løse trigonometriske uligheder, øver og konsoliderer vi en algoritme til at løse de enkleste trigonometriske uligheder.

Algoritme til løsning af simple trigonometriske uligheder

Marker punkter på den tilsvarende akse ( For synd x– OA akse, forcos x– OX-akse)

Vi genopretter en vinkelret på aksen, der vil skære cirklen i to punkter.

Det første punkt på cirklen er et punkt, der per definition hører til intervallet for buefunktionsområdet.

Start fra det mærkede punkt og skygge den cirkelbue, der svarer til den skraverede del af aksen.

Vi er særligt opmærksomme på omvejens retning. Hvis gennemgangen udføres med uret (dvs. der er en overgang gennem 0), så vil det andet punkt på cirklen være negativt, hvis det mod uret vil være positivt.

Vi skriver svaret i form af et interval under hensyntagen til funktionens periodicitet.

Lad os se på algoritmens funktion ved hjælp af eksempler.

1) synd ≥ 1/2;

Løsning:

Vi skildrer en enhedscirkel.;

Vi markerer punkt ½ på OU-aksen.

Vi genopretter vinkelret på aksen,

som skærer cirklen i to punkter.

Ved definition af arcsine bemærker vi først

punkt π/6.

Skygge den del af aksen, der svarer til

givet ulighed, over punktet ½.

Skygge den cirkelbue, der svarer til den skraverede del af aksen.

Traverseringen sker mod uret, vi får punktet 5π/6.

Vi skriver svaret i form af et interval under hensyntagen til funktionens periodicitet;

Svar:x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], n Z.

Den enkleste ulighed løses ved hjælp af den samme algoritme, hvis svarposten ikke indeholder en tabelværdi.

Når elever løser uligheder på tavlen i deres første lektioner, skal de recitere hvert trin i algoritmen højt.

2) 5 cos x – 1 ≥ 0;

R løsning:på

5 cos x – 1 ≥ 0;

cos x ≥ 1/5;

Tegn en enhedscirkel.

Vi markerer et punkt med koordinat 1/5 på OX-aksen.

Vi genopretter vinkelret på aksen, som

skærer cirklen i to punkter.

Det første punkt på cirklen er et punkt, der per definition hører til intervallet af buecosinusområdet (0;π).

Vi skygger for den del af aksen, der svarer til denne ulighed.

Starter fra det signerede punkt arccos 1/5, skygger den cirkelbue, der svarer til den skraverede del af aksen.

Gennemgangen udføres med uret (dvs. der er en overgang gennem 0), hvilket betyder, at det andet punkt på cirklen vil være negativt - arccos 1/5.

Vi skriver svaret i form af et interval, under hensyntagen til funktionens periodicitet, fra den mindre værdi til den større.

Svar: x  [-arccos 1/5 + 2π n, arccos 1/5 + 2π n], n Z.

Forbedring af evnen til at løse trigonometriske uligheder lettes af følgende spørgsmål: "Hvordan løser vi en gruppe af uligheder?"; "Hvordan adskiller en ulighed sig fra en anden?"; "Hvordan ligner en ulighed en anden?"; Hvordan ville svaret ændre sig, hvis der blev givet streng ulighed?"; Hvordan ville svaret ændre sig, hvis der i stedet for tegnet "" var et tegn "

Opgaven med at analysere en liste over uligheder fra synspunktet om metoder til at løse dem giver dig mulighed for at øve deres anerkendelse.

Eleverne får uligheder, som skal løses i klassen.

Spørgsmål: Fremhæv de uligheder, der kræver brug af ækvivalente transformationer, når en trigonometrisk ulighed reduceres til dens simpleste form?

Svar 1, 3, 5.

Spørgsmål: Hvad er de uligheder, hvor du skal betragte et komplekst argument som et simpelt?

Svar: 1, 2, 3, 5, 6.

Spørgsmål: Hvad er ulighederne, hvor trigonometriske formler kan anvendes?

Svar: 2, 3, 6.

Spørgsmål: Nævn de uligheder, hvor metoden til at indføre en ny variabel kan anvendes?

Svar: 6.

Opgaven med at analysere en liste over uligheder fra synspunktet om metoder til at løse dem giver dig mulighed for at øve deres anerkendelse. Når du udvikler færdigheder, er det vigtigt at identificere stadierne af dens implementering og formulere dem i en generel form, som præsenteres i algoritmen til løsning af de enkleste trigonometriske uligheder.