Αυτό το άρθρο αφορά δεκαδικά . Εδώ θα κατανοήσουμε τον δεκαδικό συμβολισμό των κλασματικών αριθμών, θα εισαγάγουμε την έννοια του δεκαδικού κλάσματος και θα δώσουμε παραδείγματα δεκαδικών κλασμάτων. Στη συνέχεια θα μιλήσουμε για τα ψηφία των δεκαδικών κλασμάτων και θα δώσουμε τα ονόματα των ψηφίων. Μετά από αυτό, θα επικεντρωθούμε σε άπειρα δεκαδικά κλάσματα, ας μιλήσουμε για περιοδικά και μη κλάσματα. Στη συνέχεια παραθέτουμε τις βασικές πράξεις με δεκαδικά κλάσματα. Συμπερασματικά, ας καθορίσουμε τη θέση των δεκαδικών κλασμάτων στη δέσμη συντεταγμένων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Δεκαδικός συμβολισμός κλασματικού αριθμού

Ανάγνωση δεκαδικών

Ας πούμε λίγα λόγια για τους κανόνες ανάγνωσης δεκαδικών κλασμάτων.

Δεκαδικά κλάσματα που αντιστοιχούν σε σωστά κοινά κλάσματα, διαβάζονται με τον ίδιο τρόπο όπως αυτά τα συνηθισμένα κλάσματα, πρώτα προστίθενται μόνο «μηδενικοί ακέραιοι». Για παράδειγμα, το δεκαδικό κλάσμα 0,12 αντιστοιχεί στο κοινό κλάσμα 12/100 (διαβάζεται "δώδεκα εκατοστά"), επομένως, το 0,12 διαβάζεται ως "σημείο μηδέν δώδεκα εκατοστά".

Τα δεκαδικά κλάσματα που αντιστοιχούν σε μεικτούς αριθμούς διαβάζονται ακριβώς το ίδιο με αυτούς τους μικτούς αριθμούς. Για παράδειγμα, το δεκαδικό κλάσμα 56.002 αντιστοιχεί μεικτός αριθμός, επομένως, το δεκαδικό κλάσμα 56.002 διαβάζεται ως "πενήντα έξι σημεία δύο χιλιοστά."

Θέσεις σε δεκαδικά ψηφία

Στη γραφή δεκαδικών κλασμάτων, καθώς και στη σύνταξη φυσικών αριθμών, η σημασία κάθε ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του. Πράγματι, ο αριθμός 3 στο δεκαδικό κλάσμα 0,3 σημαίνει τρία δέκατα, στο δεκαδικό κλάσμα 0,0003 - τρία δέκα χιλιοστά και στο δεκαδικό κλάσμα 30.000,152 - τρία δέκα χιλιοστά. Μπορούμε λοιπόν να μιλήσουμε για δεκαδικά ψηφία, καθώς και για τα ψηφία των φυσικών αριθμών.

Τα ονόματα των ψηφίων στο δεκαδικό κλάσμα μέχρι την υποδιαστολή συμπίπτουν πλήρως με τα ονόματα των ψηφίων σε φυσικούς αριθμούς. Και τα ονόματα των δεκαδικών ψηφίων μετά την υποδιαστολή φαίνονται από τον παρακάτω πίνακα.

Για παράδειγμα, στο δεκαδικό κλάσμα 37.051, το ψηφίο 3 είναι στη θέση των δεκάδων, το 7 είναι στη θέση των μονάδων, το 0 είναι στη δέκατη θέση, το 5 είναι στη θέση των εκατοστών και το 1 είναι στη θέση των χιλιοστών.

Οι θέσεις στα δεκαδικά κλάσματα διαφέρουν επίσης ως προς την προτεραιότητα. Αν γράφοντας ένα δεκαδικό κλάσμα μετακινούμαστε από ψηφίο σε ψηφίο από αριστερά προς τα δεξιά, τότε θα μετακινηθούμε από ηλικιωμένουςΝα κατώτερες τάξεις. Για παράδειγμα, η θέση εκατοντάδων είναι μεγαλύτερη από τη δέκατη θέση και η εκατομμυριοστή θέση είναι χαμηλότερη από τη θέση των εκατοστών. Σε ένα δεδομένο τελικό δεκαδικό κλάσμα μπορούμε να μιλήσουμε για τα μείζονα και τα δευτερεύοντα ψηφία. Για παράδειγμα, στο δεκαδικό κλάσμα 604,9387 ανώτερος (υψηλότερος)το μέρος είναι το εκατοντάδες μέρος, και junior (χαμηλότερο)- ψηφίο δέκα χιλιάδων.

Για τα δεκαδικά κλάσματα, πραγματοποιείται επέκταση σε ψηφία. Είναι παρόμοιο με την επέκταση σε ψηφία φυσικών αριθμών. Για παράδειγμα, η επέκταση σε δεκαδικά ψηφία του 45,6072 είναι η εξής: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. Και οι ιδιότητες της πρόσθεσης από την αποσύνθεση ενός δεκαδικού κλάσματος σε ψηφία σας επιτρέπουν να προχωρήσετε σε άλλες αναπαραστάσεις αυτού του δεκαδικού κλάσματος, για παράδειγμα, 45,6072=45+0,6072, ή 45,6072=40,6+5,007+0,0002, ή 45,6072+ 0.6.

Τελικοί δεκαδικοί αριθμοί

Μέχρι αυτό το σημείο, μιλήσαμε μόνο για δεκαδικά κλάσματα, στη σημειογραφία των οποίων υπάρχει πεπερασμένος αριθμός ψηφίων μετά την υποδιαστολή. Τέτοια κλάσματα ονομάζονται πεπερασμένα δεκαδικά.

Ορισμός.

Τελικοί δεκαδικοί αριθμοί- Πρόκειται για δεκαδικά κλάσματα, οι εγγραφές των οποίων περιέχουν πεπερασμένο αριθμό χαρακτήρων (ψηφία).

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα τελικών δεκαδικών κλασμάτων: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230,032,45.

Ωστόσο, δεν μπορεί να αναπαρασταθεί κάθε κλάσμα ως τελικό δεκαδικό. Για παράδειγμα, το κλάσμα 5/13 δεν μπορεί να αντικατασταθεί από ένα ίσο κλάσμα με έναν από τους παρονομαστές 10, 100, ..., επομένως, δεν μπορεί να μετατραπεί σε τελικό δεκαδικό κλάσμα. Θα μιλήσουμε περισσότερο για αυτό στην ενότητα της θεωρίας, μετατρέποντας τα συνηθισμένα κλάσματα σε δεκαδικά.

Άπειροι δεκαδικοί: Περιοδικά κλάσματα και μη περιοδικά κλάσματα

Κατά τη σύνταξη ενός δεκαδικού κλάσματος μετά την υποδιαστολή, είναι δυνατό να επιτραπεί η δυνατότητα ενός άπειρου αριθμού ψηφίων. Σε αυτή την περίπτωση, θα έρθουμε να εξετάσουμε τα λεγόμενα άπειρα δεκαδικά κλάσματα.

Ορισμός.

Άπειρα δεκαδικά- Πρόκειται για δεκαδικά κλάσματα, που περιέχουν άπειρο αριθμό ψηφίων.

Είναι σαφές ότι δεν μπορούμε να γράψουμε άπειρα δεκαδικά κλάσματα σε πλήρη μορφή, έτσι στην καταγραφή τους περιοριζόμαστε μόνο σε έναν ορισμένο πεπερασμένο αριθμό ψηφίων μετά την υποδιαστολή και βάζουμε μια έλλειψη που δείχνει μια άπειρα συνεχόμενη ακολουθία ψηφίων. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα άπειρων δεκαδικών κλασμάτων: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Αν κοιτάξετε προσεκτικά τα δύο τελευταία άπειρα δεκαδικά κλάσματα, τότε στο κλάσμα 2.111111111... ο ατέλειωτα επαναλαμβανόμενος αριθμός 1 φαίνεται καθαρά και στο κλάσμα 69.74152152152..., ξεκινώντας από το τρίτο δεκαδικό ψηφίο, μια επαναλαμβανόμενη ομάδα αριθμών Τα 1, 5 και 2 είναι καθαρά ορατά. Τέτοια άπειρα δεκαδικά κλάσματα ονομάζονται περιοδικά.

Ορισμός.

Περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί(ή απλώς περιοδικά κλάσματα) είναι ατελείωτα δεκαδικά κλάσματα, στην καταγραφή των οποίων, ξεκινώντας από ένα συγκεκριμένο δεκαδικό ψηφίο, επαναλαμβάνεται ατελείωτα κάποιος αριθμός ή ομάδα αριθμών, που λέγεται περίοδος του κλάσματος.

Για παράδειγμα, η περίοδος του περιοδικού κλάσματος 2.111111111... είναι το ψηφίο 1 και η περίοδος του κλάσματος 69.74152152152... είναι μια ομάδα ψηφίων της μορφής 152.

Για άπειρα περιοδικά δεκαδικά κλάσματα, υιοθετείται μια ειδική μορφή σημειογραφίας. Για συντομία, συμφωνήσαμε να γράψουμε την περίοδο μία φορά, κλείνοντάς την σε παρένθεση. Για παράδειγμα, το περιοδικό κλάσμα 2.111111111... γράφεται ως 2,(1) και το περιοδικό κλάσμα 69.74152152152... γράφεται ως 69.74(152) .

Αξίζει να σημειωθεί ότι για το ίδιο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα μπορείτε να καθορίσετε διαφορετικές περιόδους. Για παράδειγμα, το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα 0,73333... μπορεί να θεωρηθεί ως κλάσμα 0,7(3) με περίοδο 3, και επίσης ως κλάσμα 0,7(33) με περίοδο 33, και ούτω καθεξής 0,7(333), 0,7 (3333), ... Μπορείτε επίσης να δείτε το περιοδικό κλάσμα 0,73333 ... ως εξής: 0,733(3), ή όπως αυτό 0,73(333) κ.λπ. Εδώ, για να αποφευχθούν ασάφειες και αποκλίσεις, συμφωνούμε να θεωρήσουμε ως περίοδο ενός δεκαδικού κλάσματος τη συντομότερη από όλες τις πιθανές ακολουθίες επαναλαμβανόμενων ψηφίων και ξεκινώντας από την πλησιέστερη θέση στην υποδιαστολή. Δηλαδή, η περίοδος του δεκαδικού κλάσματος 0,73333... θα θεωρείται ακολουθία ενός ψηφίου 3, και η περιοδικότητα ξεκινά από τη δεύτερη θέση μετά την υποδιαστολή, δηλαδή 0,73333...=0,7(3). Άλλο παράδειγμα: το περιοδικό κλάσμα 4,7412121212... έχει περίοδο 12, η ​​περιοδικότητα ξεκινά από το τρίτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή, δηλαδή 4,7412121212...=4,74(12).

Τα άπειρα δεκαδικά περιοδικά κλάσματα λαμβάνονται μετατρέποντας σε δεκαδικά κλάσματα συνηθισμένα κλάσματα των οποίων οι παρονομαστές περιέχουν πρώτους παράγοντες διαφορετικούς από το 2 και το 5.

Εδώ αξίζει να αναφέρουμε περιοδικά κλάσματα με περίοδο 9. Ας δώσουμε παραδείγματα τέτοιων κλασμάτων: 6.43(9) , 27,(9) . Αυτά τα κλάσματα είναι ένας άλλος συμβολισμός για περιοδικά κλάσματα με περίοδο 0 και συνήθως αντικαθίστανται από περιοδικά κλάσματα με περίοδο 0. Για να γίνει αυτό, η περίοδος 9 αντικαθίσταται από την περίοδο 0 και η τιμή του επόμενου υψηλότερου ψηφίου αυξάνεται κατά ένα. Για παράδειγμα, ένα κλάσμα με τελεία 9 της μορφής 7.24(9) αντικαθίσταται από ένα περιοδικό κλάσμα με περίοδο 0 της μορφής 7.25(0) ή ένα ίσο τελικό δεκαδικό κλάσμα 7.25. Ένα άλλο παράδειγμα: 4,(9)=5,(0)=5. Η ισότητα ενός κλάσματος με περίοδο 9 και του αντίστοιχου κλάσματος με περίοδο 0 καθορίζεται εύκολα μετά την αντικατάσταση αυτών των δεκαδικών κλασμάτων με ίσα συνηθισμένα κλάσματα.

Τέλος, ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στα άπειρα δεκαδικά κλάσματα, τα οποία δεν περιέχουν μια ατελείωτα επαναλαμβανόμενη ακολουθία ψηφίων. Ονομάζονται μη περιοδικές.

Ορισμός.

Μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία(ή απλώς μη περιοδικά κλάσματα) είναι άπειρα δεκαδικά κλάσματα που δεν έχουν τελεία.

Μερικές φορές τα μη περιοδικά κλάσματα έχουν μορφή παρόμοια με αυτή των περιοδικών κλασμάτων, για παράδειγμα, το 8.02002000200002... είναι ένα μη περιοδικό κλάσμα. Σε αυτές τις περιπτώσεις, θα πρέπει να είστε ιδιαίτερα προσεκτικοί για να παρατηρήσετε τη διαφορά.

Σημειώστε ότι τα μη περιοδικά κλάσματα δεν μετατρέπονται σε συνηθισμένα κλάσματα.

Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς

Μία από τις πράξεις με δεκαδικά κλάσματα είναι η σύγκριση και ορίζονται επίσης οι τέσσερις βασικές αριθμητικές συναρτήσεις πράξεις με δεκαδικούς: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση. Ας εξετάσουμε ξεχωριστά κάθε μία από τις ενέργειες με δεκαδικά κλάσματα.

Σύγκριση δεκαδικώνβασίζονται ουσιαστικά στη σύγκριση των συνηθισμένων κλασμάτων που αντιστοιχούν στα δεκαδικά κλάσματα που συγκρίνονται. Ωστόσο, η μετατροπή δεκαδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα κλάσματα είναι μια διαδικασία που απαιτεί αρκετά κόπο και τα άπειρα μη περιοδικά κλάσματα δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως ένα συνηθισμένο κλάσμα, επομένως είναι βολικό να χρησιμοποιηθεί μια θέση προς ψηφίο σύγκριση δεκαδικών κλασμάτων. Η χωρικά σύγκριση δεκαδικών κλασμάτων είναι παρόμοια με τη σύγκριση φυσικών αριθμών. Για πιο λεπτομερείς πληροφορίες, συνιστούμε να μελετήσετε το άρθρο: σύγκριση δεκαδικών κλασμάτων, κανόνες, παραδείγματα, λύσεις.

Ας προχωρήσουμε στο επόμενο βήμα - πολλαπλασιάζοντας δεκαδικούς αριθμούς. Ο πολλαπλασιασμός των πεπερασμένων δεκαδικών κλασμάτων πραγματοποιείται παρόμοια με την αφαίρεση δεκαδικών κλασμάτων, κανόνων, παραδειγμάτων, λύσεων πολλαπλασιασμού με στήλη φυσικών αριθμών. Στην περίπτωση περιοδικών κλασμάτων, ο πολλαπλασιασμός μπορεί να αναχθεί σε πολλαπλασιασμό συνηθισμένων κλασμάτων. Με τη σειρά του, ο πολλαπλασιασμός των άπειρων μη περιοδικών δεκαδικών κλασμάτων μετά τη στρογγυλοποίησή τους ανάγεται στον πολλαπλασιασμό των πεπερασμένων δεκαδικών κλασμάτων. Συνιστούμε για περαιτέρω μελέτη του υλικού στο άρθρο: πολλαπλασιασμό δεκαδικών κλασμάτων, κανόνες, παραδείγματα, λύσεις.

Δεκαδικοί σε μια ακτίνα συντεταγμένων

Υπάρχει αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ σημείων και δεκαδικών.

Ας δούμε πώς κατασκευάζονται σημεία στην ακτίνα συντεταγμένων που αντιστοιχούν σε ένα δεδομένο δεκαδικό κλάσμα.

Μπορούμε να αντικαταστήσουμε τα πεπερασμένα δεκαδικά κλάσματα και τα άπειρα περιοδικά δεκαδικά κλάσματα με ίσα συνηθισμένα κλάσματα και στη συνέχεια να κατασκευάσουμε τα αντίστοιχα συνηθισμένα κλάσματα στην ακτίνα συντεταγμένων. Για παράδειγμα, το δεκαδικό κλάσμα 1.4 αντιστοιχεί στο κοινό κλάσμα 14/10, επομένως το σημείο με συντεταγμένη 1.4 αφαιρείται από την αρχή στη θετική κατεύθυνση κατά 14 τμήματα ίσα με το ένα δέκατο του τμήματος μονάδας.

Τα δεκαδικά κλάσματα μπορούν να σημειωθούν σε μια ακτίνα συντεταγμένων, ξεκινώντας από την αποσύνθεση ενός δεδομένου δεκαδικού κλάσματος σε ψηφία. Για παράδειγμα, ας χρειαστεί να οικοδομήσουμε ένα σημείο με συντεταγμένη 16.3007, αφού 16.3007=16+0.3+0.0007, τότε μπορούμε να φτάσουμε σε αυτό το σημείο τοποθετώντας διαδοχικά 16 τμήματα μονάδας από την αρχή των συντεταγμένων, 3 τμήματα με μήκος ίσο με ένα δέκατο μιας μονάδας και 7 τμήματα, το μήκος των οποίων είναι ίσο με το δέκατο χιλιοστό του μοναδιαίου τμήματος.

Αυτή η μέθοδος κατασκευής δεκαδικών αριθμών σε μια ακτίνα συντεταγμένων σας επιτρέπει να πλησιάσετε όσο θέλετε στο σημείο που αντιστοιχεί σε ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα.

Μερικές φορές είναι δυνατό να σχεδιάσετε με ακρίβεια το σημείο που αντιστοιχεί σε ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα. Για παράδειγμα, , τότε αυτό το άπειρο δεκαδικό κλάσμα 1,41421... αντιστοιχεί σε ένα σημείο της ακτίνας συντεταγμένων, που απέχει από την αρχή των συντεταγμένων κατά το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου με πλευρά 1 μονάδας τμήματος.

Η αντίστροφη διαδικασία λήψης του δεκαδικού κλάσματος που αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο σημείο σε μια ακτίνα συντεταγμένων είναι η λεγόμενη δεκαδική μέτρηση ενός τμήματος. Ας καταλάβουμε πώς γίνεται.

Ας είναι το καθήκον μας να φτάσουμε από την αρχή σε ένα δεδομένο σημείο της γραμμής συντεταγμένων (ή να το προσεγγίσουμε άπειρα αν δεν μπορούμε να το φτάσουμε). Με τη δεκαδική μέτρηση ενός τμήματος, μπορούμε διαδοχικά να αφαιρέσουμε από την αρχή οποιονδήποτε αριθμό μονάδων τμημάτων, μετά τμήματα των οποίων το μήκος είναι ίσο με το ένα δέκατο της μονάδας, μετά τμήματα των οποίων το μήκος είναι ίσο με το εκατοστό της μονάδας κ.λπ. Καταγράφοντας τον αριθμό των τμημάτων κάθε μήκους που παραμερίζονται, λαμβάνουμε το δεκαδικό κλάσμα που αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο σημείο της ακτίνας συντεταγμένων.

Για παράδειγμα, για να φτάσετε στο σημείο M στο παραπάνω σχήμα, πρέπει να αφήσετε κατά μέρος 1 τμήμα μονάδας και 4 τμήματα, το μήκος των οποίων είναι ίσο με το ένα δέκατο της μονάδας. Έτσι, το σημείο Μ αντιστοιχεί στο δεκαδικό κλάσμα 1.4.

Είναι σαφές ότι τα σημεία της ακτίνας συντεταγμένων που δεν μπορούν να προσεγγιστούν στη διαδικασία της δεκαδικής μέτρησης αντιστοιχούν σε άπειρα δεκαδικά κλάσματα.

Αναφορές.

• Μαθηματικά: σχολικό βιβλίο για την Ε΄ τάξη. γενικής εκπαίδευσης ιδρύματα / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2007. - 280 σελ.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Μαθηματικά.ΣΤ τάξη: εκπαιδευτικά. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Ν. Ya. Vilenkin και άλλοι]. - 22η έκδ., αναθ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Αλγεβρα:εγχειρίδιο για την 8η τάξη. γενικής εκπαίδευσης ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επιμελήθηκε από S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : άρρωστος. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους εισέρχονται σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.

Ότι αν γνωρίζουν τη θεωρία των σειρών, τότε χωρίς αυτήν δεν μπορούν να εισαχθούν μεταματικές έννοιες. Επιπλέον, αυτοί οι άνθρωποι πιστεύουν ότι όποιος δεν το χρησιμοποιεί ευρέως είναι αδαής. Ας αφήσουμε τις απόψεις αυτών των ανθρώπων στη συνείδησή τους. Ας καταλάβουμε καλύτερα τι είναι το άπειρο περιοδικό κλάσμα και πώς πρέπει να το αντιμετωπίζουμε εμείς οι αμόρφωτοι που δεν γνωρίζουμε όρια.

Ας διαιρέσουμε το 237 με το 5. Όχι, δεν χρειάζεται να εκκινήσετε την Αριθμομηχανή. Ας θυμηθούμε καλύτερα το γυμνάσιο (ή ακόμα και το δημοτικό;) και ας το χωρίσουμε σε μια στήλη:

Λοιπόν, θυμήθηκες; Μετά μπορείς να ασχοληθείς.

Η έννοια του «κλάσματος» στα μαθηματικά έχει δύο έννοιες:

1. Μη ακέραιος αριθμός.
2. Μη ακέραια μορφή.

Υπάρχουν δύο τύποι κλασμάτων - με την έννοια, δύο μορφές γραφής μη ακέραιων αριθμών:

1. Απλό (ή κατακόρυφος) κλάσματα, όπως 1/2 ή 237/5.
2. Δεκαδικά κλάσματα, όπως 0,5 ή 47,4.

Σημειώστε ότι γενικά η ίδια η χρήση ενός κλάσματος-σημειογραφίας δεν σημαίνει ότι αυτό που γράφεται είναι κλάσμα-αριθμός, για παράδειγμα 3/3 ή 7,0 - όχι κλάσματα με την πρώτη έννοια της λέξης, αλλά με τη δεύτερη, φυσικά , κλάσματα.

Στα μαθηματικά, γενικά, η δεκαδική μέτρηση ήταν πάντα αποδεκτή και επομένως τα δεκαδικά κλάσματα είναι πιο βολικά από τα απλά, δηλαδή ένα κλάσμα με δεκαδικό παρονομαστή (Vladimir Dal. Λεξικόζωντανή μεγάλη ρωσική γλώσσα. "Δέκα").

Και αν ναι, τότε θέλω να κάνω κάθε κάθετο κλάσμα δεκαδικό («οριζόντιο»). Και για να γίνει αυτό χρειάζεται απλώς να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Ας πάρουμε, για παράδειγμα, το κλάσμα 1/3 και ας προσπαθήσουμε να κάνουμε δεκαδικό από αυτό.

Ακόμη και ένας εντελώς αμόρφωτος άνθρωπος θα παρατηρήσει: όσο καιρό κι αν χρειαστεί, δεν θα χωρίσει: τα τρίδυμα θα συνεχίσουν να εμφανίζονται επ' άπειρον. Ας το γράψουμε λοιπόν: 0,33... Εννοούμε «τον αριθμό που προκύπτει όταν διαιρούμε το 1 με το 3» ή, εν συντομία, «το ένα τρίτο». Φυσικά, το ένα τρίτο είναι κλάσμα με την πρώτη έννοια της λέξης και το "1/3" και το "0,33..." είναι κλάσματα με τη δεύτερη έννοια της λέξης, δηλαδή έντυπα συμμετοχήςένας αριθμός που βρίσκεται στην αριθμητική γραμμή σε τέτοια απόσταση από το μηδέν που αν τον αφήσετε στην άκρη τρεις φορές, θα πάρετε ένα.

Τώρα ας προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 5 με το 6:

Ας το ξαναγράψουμε: 0,833... Εννοούμε «τον αριθμό που παίρνετε όταν διαιρέσετε το 5 με το 6» ή, εν συντομία, «πέντε έκτα». Ωστόσο, δημιουργείται σύγχυση εδώ: σημαίνει αυτό 0,83333 (και μετά επαναλαμβάνονται οι τριπλέτες) ή 0,833833 (και μετά επαναλαμβάνεται το 833). Επομένως, η σημειογραφία με έλλειψη δεν μας ταιριάζει: δεν είναι σαφές πού αρχίζει το επαναλαμβανόμενο μέρος (λέγεται "περίοδος"). Επομένως, θα βάλουμε την περίοδο σε αγκύλες, ως εξής: 0,(3); 0,8 (3).

0,(3) δεν είναι εύκολο ισοδυναμείτο ένα τρίτο, δηλαδή Υπάρχειτο ένα τρίτο, επειδή εφεύραμε ειδικά αυτόν τον συμβολισμό για να αναπαραστήσουμε αυτόν τον αριθμό ως δεκαδικό κλάσμα.

Αυτή η καταχώρηση ονομάζεται άπειρο περιοδικό κλάσμα, ή απλά ένα περιοδικό κλάσμα.

Κάθε φορά που διαιρούμε έναν αριθμό με έναν άλλο, αν δεν πάρουμε ένα πεπερασμένο κλάσμα, παίρνουμε ένα άπειρο περιοδικό κλάσμα, δηλαδή κάποια μέρα οι ακολουθίες των αριθμών θα αρχίσουν σίγουρα να επαναλαμβάνονται. Το γιατί συμβαίνει αυτό μπορεί να γίνει κατανοητό καθαρά κερδοσκοπικά εξετάζοντας προσεκτικά τον αλγόριθμο διαίρεσης στηλών:

Στα σημεία που επισημαίνονται με σημάδια επιλογής, δεν μπορείτε να λαμβάνετε αποτελέσματα συνεχώς διαφορετικά ζευγάριααριθμοί (επειδή υπάρχει, κατ' αρχήν, ένας πεπερασμένος αριθμός τέτοιων ζευγών). Και μόλις εμφανιστεί ένα τέτοιο ζευγάρι, που ήδη υπήρχε, η διαφορά θα είναι επίσης η ίδια - και τότε η όλη διαδικασία θα αρχίσει να επαναλαμβάνεται. Δεν χρειάζεται να το ελέγξετε αυτό, γιατί είναι προφανές ότι αν επαναλάβετε τις ίδιες ενέργειες, τα αποτελέσματα θα είναι τα ίδια.

Τώρα που καταλάβαμε καλά ουσίαπεριοδικό κλάσμα, ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε το ένα τρίτο με το τρία. Ναι, φυσικά, θα λάβετε ένα, αλλά ας γράψουμε αυτό το κλάσμα σε δεκαδική μορφή και ας το πολλαπλασιάσουμε σε μια στήλη (η ασάφεια δεν προκύπτει εδώ λόγω της έλλειψης, αφού όλοι οι αριθμοί μετά την υποδιαστολή είναι ίδιοι):

Και πάλι παρατηρούμε ότι τα εννιά, τα εννιά και τα εννιά θα εμφανίζονται συνέχεια μετά την υποδιαστολή. Δηλαδή, χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό αντίστροφης αγκύλης, παίρνουμε 0,(9). Εφόσον γνωρίζουμε ότι το γινόμενο ενός τρίτου και τριών είναι ένα, τότε το 0.(9) είναι ένας τόσο φανταχτερός τρόπος γραφής ενός. Ωστόσο, δεν είναι σωστό να χρησιμοποιείται αυτή η μορφή εγγραφής, επειδή μια ενότητα μπορεί να γραφτεί τέλεια χωρίς τη χρήση τελείας, όπως η εξής: 1.

Όπως μπορείτε να δείτε, το 0,(9) είναι μία από αυτές τις περιπτώσεις όπου ο ακέραιος αριθμός γράφεται σε μορφή κλασμάτων, όπως 3/3 ή 7,0. Δηλαδή, το 0,(9) είναι κλάσμα μόνο με τη δεύτερη έννοια της λέξης, αλλά όχι με την πρώτη.

Έτσι, χωρίς όρια ή σειρές, καταλάβαμε τι είναι το 0.(9) και πώς να το αντιμετωπίσουμε.

Αλλά ας θυμόμαστε ακόμα ότι στην πραγματικότητα είμαστε έξυπνοι και μελετημένοι στην ανάλυση. Πράγματι, είναι δύσκολο να αρνηθεί κανείς ότι:

Αλλά, ίσως, κανείς δεν θα διαφωνήσει με το γεγονός ότι:

Όλα αυτά είναι φυσικά αλήθεια. Πράγματι, το 0,(9) είναι και το άθροισμα της μειωμένης σειράς και του διπλού ημίτονος της υποδεικνυόμενης γωνίας και ο φυσικός λογάριθμος του αριθμού Euler.

Αλλά ούτε το ένα, ούτε το άλλο, ούτε το τρίτο είναι ορισμός.

Το να πούμε ότι το 0,(9) είναι το άθροισμα της άπειρης σειράς 9/(10 n), με n ίσο με ένα, είναι το ίδιο με το να πούμε ότι το ημίτονο είναι το άθροισμα της άπειρης σειράς Taylor:

Αυτό απόλυτα σωστό, και αυτό είναι το πιο σημαντικό γεγονός για τα υπολογιστικά μαθηματικά, αλλά δεν είναι ορισμός και, το πιο σημαντικό, δεν φέρνει ένα άτομο πιο κοντά στην κατανόηση ουσιαστικάκόλπος Η ουσία του ημιτόνου μιας ορισμένης γωνίας είναι ότι απλά τα πάνταη αναλογία του ποδιού απέναντι από τη γωνία προς την υποτείνουσα.

Άρα, ένα περιοδικό κλάσμα είναι απλά τα πάνταένα δεκαδικό κλάσμα που προκύπτει όταν κατά τη διαίρεση με στήλητο ίδιο σύνολο αριθμών θα επαναληφθεί. Εδώ δεν υπάρχει ίχνος ανάλυσης.

Και εδώ είναι που τίθεται το ερώτημα: από πού προέρχεται; καθόλουπήραμε τον αριθμό 0,(9); Τι διαιρούμε με τι με μια στήλη για να το πάρουμε; Πράγματι, δεν υπάρχουν αριθμοί τέτοιοι ώστε όταν χωρίζονται σε μια στήλη, να εμφανίζονται ατελείωτα εννιά. Αλλά καταφέραμε να πάρουμε αυτόν τον αριθμό πολλαπλασιάζοντας το 0,(3) με το 3 με μια στήλη; Όχι πραγματικά. Εξάλλου, πρέπει να πολλαπλασιάσετε από τα δεξιά προς τα αριστερά για να λάβετε σωστά υπόψη τις μεταφορές των ψηφίων, και το κάναμε από αριστερά προς τα δεξιά, εκμεταλλευόμενοι πονηρά το γεγονός ότι οι μεταφορές δεν γίνονται πουθενά. Επομένως, η νομιμότητα της εγγραφής 0,(9) εξαρτάται από το αν αναγνωρίζουμε τη νομιμότητα ενός τέτοιου πολλαπλασιασμού με μια στήλη ή όχι.

Επομένως, μπορούμε γενικά να πούμε ότι ο συμβολισμός 0,(9) είναι λανθασμένος - και σε κάποιο βαθμό είναι σωστός. Ωστόσο, εφόσον ο συμβολισμός a ,(b ) είναι αποδεκτός, είναι απλώς άσχημο να τον εγκαταλείψουμε όταν b = 9. Είναι καλύτερα να αποφασίσετε τι σημαίνει μια τέτοια καταχώρηση. Έτσι, αν γενικά δεχθούμε τον συμβολισμό 0,(9), τότε αυτός ο συμβολισμός, φυσικά, σημαίνει τον αριθμό ένα.

Μένει μόνο να προσθέσουμε ότι αν χρησιμοποιούσαμε, ας πούμε, το τριαδικό σύστημα αριθμών, τότε όταν διαιρούμε με μια στήλη του ενός (1 3) με το τρία (10 3) θα παίρναμε 0,1 3 (διαβάστε "σημείο μηδέν το ένα τρίτο"), και όταν διαιρούμε ένα με δύο θα είναι 0,(1) 3.

Άρα η περιοδικότητα ενός κλάσματος-αριθμού δεν είναι κάποιο αντικειμενικό χαρακτηριστικό ενός κλάσματος-αριθμού, αλλά απλώς παρενέργειαχρησιμοποιώντας ένα ή άλλο σύστημα αριθμών.

Συμβαίνει ότι για ευκολία των υπολογισμών πρέπει να μετατρέψετε ένα συνηθισμένο κλάσμα σε δεκαδικό και αντίστροφα. Θα μιλήσουμε για το πώς να το κάνουμε αυτό σε αυτό το άρθρο. Ας δούμε τους κανόνες για τη μετατροπή συνηθισμένων κλασμάτων σε δεκαδικά και αντίστροφα, και ας δώσουμε επίσης παραδείγματα.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Θα εξετάσουμε τη μετατροπή συνηθισμένων κλασμάτων σε δεκαδικά, ακολουθώντας μια συγκεκριμένη ακολουθία. Αρχικά, ας δούμε πώς τα συνηθισμένα κλάσματα με παρονομαστή που είναι πολλαπλάσιο του 10 μετατρέπονται σε δεκαδικά: 10, 100, 1000, κ.λπ. Τα κλάσματα με τέτοιους παρονομαστές είναι, στην πραγματικότητα, μια πιο περίπλοκη σημείωση δεκαδικών κλασμάτων.

Στη συνέχεια, θα δούμε πώς να μετατρέψουμε συνηθισμένα κλάσματα με οποιονδήποτε παρονομαστή, όχι απλώς πολλαπλάσιο του 10, σε δεκαδικά κλάσματα. Σημειώστε ότι κατά τη μετατροπή συνηθισμένων κλασμάτων σε δεκαδικά, δεν λαμβάνονται μόνο πεπερασμένα δεκαδικά κλάσματα, αλλά και άπειρα περιοδικά δεκαδικά κλάσματα.

Ας ξεκινήσουμε!

Μετάφραση συνηθισμένων κλασμάτων με παρονομαστές 10, 100, 1000 κ.λπ. σε δεκαδικά ψηφία

Πρώτα απ 'όλα, ας πούμε ότι ορισμένα κλάσματα απαιτούν κάποια προετοιμασία πριν μετατραπούν σε δεκαδική μορφή. Τι είναι αυτό; Πριν από τον αριθμό στον αριθμητή, πρέπει να προσθέσετε τόσα μηδενικά, ώστε ο αριθμός των ψηφίων στον αριθμητή να γίνει ίσος με τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή. Για παράδειγμα, για το κλάσμα 3100, ο αριθμός 0 πρέπει να προστεθεί μία φορά στα αριστερά του 3 στον αριθμητή. Το κλάσμα 610, σύμφωνα με τον κανόνα που αναφέρθηκε παραπάνω, δεν χρειάζεται τροποποίηση.

Ας δούμε ένα ακόμη παράδειγμα, μετά από το οποίο θα διατυπώσουμε έναν κανόνα που είναι ιδιαίτερα βολικός στη χρήση στην αρχή, ενώ δεν υπάρχει μεγάλη εμπειρία στη μετατροπή κλασμάτων. Έτσι, το κλάσμα 1610000 μετά την προσθήκη μηδενικών στον αριθμητή θα μοιάζει με το 001510000.

Πώς να μετατρέψετε ένα κοινό κλάσμα με παρονομαστή 10, 100, 1000 κ.λπ. σε δεκαδικό;

Κανόνας για τη μετατροπή συνηθισμένων κατάλληλων κλασμάτων σε δεκαδικούς

1. Γράψε το 0 και μετά βάλε κόμμα.
2. Καταγράφουμε τον αριθμό από τον αριθμητή που προέκυψε αφού προσθέσουμε μηδενικά.

Τώρα ας περάσουμε στα παραδείγματα.

Παράδειγμα 1: Μετατροπή κλασμάτων σε δεκαδικά

Ας μετατρέψουμε το κλάσμα 39.100 σε δεκαδικό.

Αρχικά, κοιτάμε το κλάσμα και βλέπουμε ότι δεν χρειάζεται να πραγματοποιήσουμε προπαρασκευαστικές ενέργειες - ο αριθμός των ψηφίων στον αριθμητή συμπίπτει με τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή.

Ακολουθώντας τον κανόνα, γράφουμε 0, βάζουμε ένα δεκαδικό ψηφίο μετά από αυτό και γράφουμε τον αριθμό από τον αριθμητή. Παίρνουμε το δεκαδικό κλάσμα 0,39.

Ας δούμε τη λύση σε ένα άλλο παράδειγμα σχετικά με αυτό το θέμα.

Παράδειγμα 2. Μετατροπή κλασμάτων σε δεκαδικά

Ας γράψουμε το κλάσμα 105 10000000 ως δεκαδικό.

Ο αριθμός των μηδενικών στον παρονομαστή είναι 7 και ο αριθμητής έχει μόνο τρία ψηφία. Ας προσθέσουμε άλλα 4 μηδενικά πριν από τον αριθμό στον αριθμητή:

0000105 10000000

Τώρα γράφουμε το 0, βάζουμε μια υποδιαστολή μετά από αυτό και σημειώνουμε τον αριθμό από τον αριθμητή. Παίρνουμε το δεκαδικό κλάσμα 0,0000105.

Τα κλάσματα που εξετάζονται σε όλα τα παραδείγματα είναι συνηθισμένα σωστά κλάσματα. Πώς όμως μετατρέπετε ένα ακατάλληλο κλάσμα σε δεκαδικό; Ας πούμε αμέσως ότι δεν χρειάζεται προετοιμασία με την προσθήκη μηδενικών για τέτοια κλάσματα. Ας διαμορφώσουμε έναν κανόνα.

Κανόνας για τη μετατροπή συνηθισμένων ακατάλληλων κλασμάτων σε δεκαδικά

1. Γράψτε τον αριθμό που βρίσκεται στον αριθμητή.
2. Χρησιμοποιούμε μια υποδιαστολή για να διαχωρίσουμε τόσα ψηφία στα δεξιά όσα μηδενικά υπάρχουν στον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος.

Παρακάτω είναι ένα παράδειγμα του τρόπου χρήσης αυτού του κανόνα.

Παράδειγμα 3. Μετατροπή κλασμάτων σε δεκαδικά

Ας μετατρέψουμε το κλάσμα 56888038009 100000 από ένα συνηθισμένο ακανόνιστο κλάσμα σε δεκαδικό.

Αρχικά, ας γράψουμε τον αριθμό από τον αριθμητή:

Τώρα, στα δεξιά, χωρίζουμε πέντε ψηφία με υποδιαστολή (ο αριθμός των μηδενικών στον παρονομαστή είναι πέντε). Παίρνουμε:

Το επόμενο ερώτημα που προκύπτει φυσικά είναι: πώς να μετατρέψετε έναν μικτό αριθμό σε δεκαδικό κλάσμα αν ο παρονομαστής του κλασματικού του μέρους είναι ο αριθμός 10, 100, 1000 κ.λπ. Για να μετατρέψετε έναν τέτοιο αριθμό σε δεκαδικό κλάσμα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο κανόνα.

Κανόνας μετατροπής μικτών αριθμών σε δεκαδικούς

1. Ετοιμάζουμε το κλασματικό μέρος του αριθμού, αν χρειαστεί.
2. Καταγράφουμε ολόκληρο τον αρχικό αριθμό και μετά βάζουμε κόμμα.
3. Καταγράφουμε τον αριθμό από τον αριθμητή του κλασματικού μέρους μαζί με τα μηδενικά που προστέθηκαν.

Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 4: Μετατροπή μικτών αριθμών σε δεκαδικούς

Ας μετατρέψουμε τον μικτό αριθμό 23 17 10000 σε δεκαδικό κλάσμα.

Στο κλασματικό μέρος έχουμε την έκφραση 17 10000. Ας το ετοιμάσουμε και ας προσθέσουμε άλλα δύο μηδενικά στα αριστερά του αριθμητή. Παίρνουμε: 0017 10000.

Τώρα γράφουμε ολόκληρο το μέρος του αριθμού και μετά από αυτό βάζουμε κόμμα: 23, . .

Μετά την υποδιαστολή, γράψτε τον αριθμό από τον αριθμητή μαζί με τα μηδενικά. Παίρνουμε το αποτέλεσμα:

23 17 10000 = 23 , 0017

Μετατροπή συνηθισμένων κλασμάτων σε πεπερασμένα και άπειρα περιοδικά κλάσματα

Φυσικά, μπορείτε να μετατρέψετε σε δεκαδικά και συνηθισμένα κλάσματα με παρονομαστή όχι ίσο με 10, 100, 1000 κ.λπ.

Συχνά ένα κλάσμα μπορεί εύκολα να αναχθεί σε νέο παρονομαστή και στη συνέχεια να χρησιμοποιηθεί ο κανόνας που ορίζεται στην πρώτη παράγραφο αυτού του άρθρου. Για παράδειγμα, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος 25 επί 2 και παίρνουμε το κλάσμα 410, το οποίο μετατρέπεται εύκολα στη δεκαδική μορφή 0,4.

Ωστόσο, αυτή η μέθοδος μετατροπής ενός κλάσματος σε δεκαδικό δεν μπορεί πάντα να χρησιμοποιηθεί. Παρακάτω θα εξετάσουμε τι πρέπει να κάνουμε εάν είναι αδύνατο να εφαρμοστεί η εξεταζόμενη μέθοδος.

Θεμελιωδώς νέο τρόποη μετατροπή ενός συνηθισμένου κλάσματος σε δεκαδικό ανάγεται στη διαίρεση του αριθμητή με τον παρονομαστή με μια στήλη. Αυτή η πράξη μοιάζει πολύ με τη διαίρεση φυσικών αριθμών με μια στήλη, αλλά έχει τα δικά της χαρακτηριστικά.

Κατά τη διαίρεση, ο αριθμητής αναπαρίσταται ως δεκαδικό κλάσμα - ένα κόμμα τοποθετείται στα δεξιά του τελευταίου ψηφίου του αριθμητή και προστίθενται μηδενικά. Στο πηλίκο που προκύπτει, τοποθετείται υποδιαστολή όταν τελειώνει η διαίρεση του ακέραιου μέρους του αριθμητή. Το πώς ακριβώς λειτουργεί αυτή η μέθοδος θα γίνει σαφές αφού δούμε τα παραδείγματα.

Παράδειγμα 5. Μετατροπή κλασμάτων σε δεκαδικά

Ας μετατρέψουμε το κοινό κλάσμα 621 4 σε δεκαδικό τύπο.

Ας αναπαραστήσουμε τον αριθμό 621 από τον αριθμητή ως δεκαδικό κλάσμα, προσθέτοντας μερικά μηδενικά μετά την υποδιαστολή. 621 = 621,00

Τώρα ας διαιρέσουμε το 621,00 με το 4 χρησιμοποιώντας μια στήλη. Τα τρία πρώτα βήματα της διαίρεσης θα είναι τα ίδια όπως κατά τη διαίρεση φυσικών αριθμών και θα πάρουμε.

Όταν φτάσουμε στην υποδιαστολή στο μέρισμα και το υπόλοιπο είναι διαφορετικό από το μηδέν, βάζουμε μια υποδιαστολή στο πηλίκο και συνεχίζουμε τη διαίρεση, χωρίς πλέον να δίνουμε σημασία στο κόμμα στο μέρισμα.

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε το δεκαδικό κλάσμα 155, 25, το οποίο είναι το αποτέλεσμα της αντιστροφής του κοινού κλάσματος 621 4

621 4 = 155 , 25

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα για να ενισχύσουμε το υλικό.

Παράδειγμα 6. Μετατροπή κλασμάτων σε δεκαδικά

Ας αντιστρέψουμε το κοινό κλάσμα 21 800.

Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε το κλάσμα 21.000 σε μια στήλη με το 800. Η διαίρεση ολόκληρου του μέρους θα τελειώσει στο πρώτο βήμα, οπότε αμέσως μετά βάζουμε υποδιαστολή στο πηλίκο και συνεχίζουμε τη διαίρεση, χωρίς να προσέχουμε το κόμμα στο μέρισμα μέχρι να πάρουμε υπόλοιπο ίσο με το μηδέν.

Ως αποτέλεσμα, πήραμε: 21.800 = 0,02625.

Τι γίνεται όμως αν, κατά τη διαίρεση, δεν έχουμε υπόλοιπο 0. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η διαίρεση μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον. Ωστόσο, ξεκινώντας από ένα συγκεκριμένο βήμα, τα υπολείμματα θα επαναλαμβάνονται περιοδικά. Αντίστοιχα, οι αριθμοί στο πηλίκο θα επαναληφθούν. Αυτό σημαίνει ότι ένα συνηθισμένο κλάσμα μετατρέπεται σε δεκαδικό άπειρο περιοδικό κλάσμα. Ας το ερμηνεύσουμε αυτό με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 7. Μετατροπή κλασμάτων σε δεκαδικά

Ας μετατρέψουμε το κοινό κλάσμα 19 44 σε δεκαδικό. Για να γίνει αυτό, κάνουμε διαίρεση με στήλη.

Βλέπουμε ότι κατά τη διαίρεση επαναλαμβάνονται τα υπολείμματα 8 και 36. Στην περίπτωση αυτή, οι αριθμοί 1 και 8 επαναλαμβάνονται στο πηλίκο. Αυτή είναι η περίοδος σε δεκαδικό κλάσμα. Κατά την εγγραφή, αυτοί οι αριθμοί τοποθετούνται σε αγκύλες.

Έτσι, το αρχικό συνηθισμένο κλάσμα μετατρέπεται σε άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Ας έχουμε ένα μη αναγώγιμο συνηθισμένο κλάσμα. Τι μορφή θα πάρει; Ποια συνηθισμένα κλάσματα μετατρέπονται σε πεπερασμένα δεκαδικά και ποια μετατρέπονται σε άπειρα περιοδικά;

Αρχικά, ας πούμε ότι αν ένα κλάσμα μπορεί να μειωθεί σε έναν από τους παρονομαστές 10, 100, 1000..., τότε θα έχει τη μορφή τελικού δεκαδικού κλάσματος. Για να μειωθεί ένα κλάσμα σε έναν από αυτούς τους παρονομαστές, ο παρονομαστής του πρέπει να είναι διαιρέτης τουλάχιστον ενός από τους αριθμούς 10, 100, 1000 κ.λπ. Από τους κανόνες για την παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους συντελεστές προκύπτει ότι ο διαιρέτης των αριθμών είναι 10, 100, 1000 κ.λπ. πρέπει, όταν συνυπολογίζεται σε πρώτους παράγοντες, να περιέχει μόνο τους αριθμούς 2 και 5.

Ας συνοψίσουμε όσα ειπώθηκαν:

1. Ένα κοινό κλάσμα μπορεί να μειωθεί σε τελικό δεκαδικό αν ο παρονομαστής του μπορεί να συνυπολογιστεί σε πρώτους παράγοντες 2 και 5.
2. Εάν, εκτός από τους αριθμούς 2 και 5, υπάρχουν και άλλοι πρώτοι αριθμοί στην επέκταση του παρονομαστή, το κλάσμα ανάγεται στη μορφή ενός άπειρου περιοδικού δεκαδικού κλάσματος.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 8. Μετατροπή κλασμάτων σε δεκαδικά

Ποιο από αυτά τα κλάσματα 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 μετατρέπεται σε τελικό δεκαδικό κλάσμα και ποιο - μόνο σε περιοδικό. Ας απαντήσουμε σε αυτή την ερώτηση χωρίς να μετατρέψουμε απευθείας ένα κλάσμα σε δεκαδικό.

Το κλάσμα 47 20, όπως γίνεται εύκολα αντιληπτό, πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 5 ανάγεται σε νέο παρονομαστή 100.

47 20 = 235 100. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι αυτό το κλάσμα μετατρέπεται σε τελικό δεκαδικό κλάσμα.

Η παραγοντοποίηση του παρονομαστή του κλάσματος 7 12 δίνει 12 = 2 · 2 · 3. Δεδομένου ότι ο πρώτος παράγοντας 3 είναι διαφορετικός από το 2 και το 5, αυτό το κλάσμα δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα, αλλά θα έχει τη μορφή ενός άπειρου περιοδικού κλάσματος.

Το κλάσμα 21 56, καταρχάς, πρέπει να μειωθεί. Μετά τη μείωση κατά 7, λαμβάνουμε το μη αναγώγιμο κλάσμα 3 8, ο παρονομαστής του οποίου παραγοντοποιείται για να δώσει 8 = 2 · 2 · 2. Επομένως, είναι ένα πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα.

Στην περίπτωση του κλάσματος 31 17, η παραγοντοποίηση του παρονομαστή είναι ο ίδιος ο πρώτος αριθμός 17. Κατά συνέπεια, αυτό το κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Ένα συνηθισμένο κλάσμα δεν μπορεί να μετατραπεί σε άπειρο και μη περιοδικό δεκαδικό κλάσμα

Παραπάνω μιλήσαμε μόνο για πεπερασμένα και άπειρα περιοδικά κλάσματα. Μπορεί όμως οποιοδήποτε συνηθισμένο κλάσμα να μετατραπεί σε άπειρο μη περιοδικό κλάσμα;

Εμείς απαντάμε: όχι!

Σπουδαίος!

Κατά τη μετατροπή ενός άπειρου κλάσματος σε δεκαδικό, το αποτέλεσμα είναι είτε πεπερασμένος δεκαδικός είτε άπειρος περιοδικός δεκαδικός.

Το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι πάντα μικρότερο από διαιρέτη. Με άλλα λόγια, σύμφωνα με το θεώρημα της διαιρετότητας, αν διαιρέσουμε κάποιο φυσικό αριθμό με τον αριθμό q, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης σε καμία περίπτωση δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από q-1. Αφού ολοκληρωθεί η διαίρεση, είναι δυνατή μία από τις ακόλουθες καταστάσεις:

1. Παίρνουμε ένα υπόλοιπο 0, και εδώ τελειώνει η διαίρεση.
2. Παίρνουμε ένα υπόλοιπο, το οποίο επαναλαμβάνεται σε επόμενη διαίρεση, με αποτέλεσμα ένα άπειρο περιοδικό κλάσμα.

Δεν μπορούν να υπάρχουν άλλες επιλογές κατά τη μετατροπή ενός κλάσματος σε δεκαδικό. Ας πούμε επίσης ότι το μήκος της περιόδου (αριθμός ψηφίων) σε ένα άπειρο περιοδικό κλάσμα είναι πάντα μικρότερο από τον αριθμό των ψηφίων στον παρονομαστή του αντίστοιχου συνηθισμένου κλάσματος.

Μετατροπή δεκαδικών σε κλάσματα

Τώρα ήρθε η ώρα να δούμε την αντίστροφη διαδικασία μετατροπής ενός δεκαδικού κλάσματος σε κοινό κλάσμα. Ας διατυπώσουμε έναν κανόνα μετάφρασης που περιλαμβάνει τρία στάδια. Πώς να μετατρέψετε ένα δεκαδικό κλάσμα σε κοινό κλάσμα;

Κανόνας μετατροπής δεκαδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα κλάσματα

1. Στον αριθμητή γράφουμε τον αριθμό από το αρχικό δεκαδικό κλάσμα, απορρίπτοντας το κόμμα και όλα τα μηδενικά στα αριστερά, αν υπάρχουν.
2. Στον παρονομαστή γράφουμε ένα ακολουθούμενο από τόσα μηδενικά όσα είναι τα ψηφία μετά την υποδιαστολή στο αρχικό δεκαδικό κλάσμα.
3. Εάν είναι απαραίτητο, μειώστε το προκύπτον συνηθισμένο κλάσμα.

Ας δούμε την εφαρμογή αυτού του κανόνα χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Παράδειγμα 8. Μετατροπή δεκαδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα κλάσματα

Ας φανταστούμε τον αριθμό 3.025 ως ένα συνηθισμένο κλάσμα.

1. Γράφουμε το ίδιο το δεκαδικό κλάσμα στον αριθμητή, απορρίπτοντας το κόμμα: 3025.
2. Στον παρονομαστή γράφουμε ένα και μετά από αυτό τρία μηδενικά - αυτά είναι ακριβώς πόσα ψηφία περιέχονται στο αρχικό κλάσμα μετά την υποδιαστολή: 3025 1000.
3. Το προκύπτον κλάσμα 3025 1000 μπορεί να μειωθεί κατά 25, με αποτέλεσμα: 3025 1000 = 121 40.

Παράδειγμα 9. Μετατροπή δεκαδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα κλάσματα

Ας μετατρέψουμε το κλάσμα 0,0017 από δεκαδικό σε συνηθισμένο.

1. Στον αριθμητή γράφουμε το κλάσμα 0, 0017, απορρίπτοντας το κόμμα και τα μηδενικά στα αριστερά. Θα βγει 17.
2. Γράφουμε ένα στον παρονομαστή και μετά από αυτό γράφουμε τέσσερα μηδενικά: 17 10000. Αυτό το κλάσμα είναι μη αναγώγιμο.

Εάν ένα δεκαδικό κλάσμα έχει ένα ακέραιο μέρος, τότε ένα τέτοιο κλάσμα μπορεί να μετατραπεί αμέσως σε μικτό αριθμό. Πώς να το κάνετε αυτό;

Ας διατυπώσουμε έναν ακόμη κανόνα.

Κανόνας μετατροπής δεκαδικών κλασμάτων σε μικτούς αριθμούς.

1. Ο αριθμός πριν από την υποδιαστολή στο κλάσμα γράφεται ως ακέραιο μέρος του μικτού αριθμού.
2. Στον αριθμητή γράφουμε τον αριθμό μετά την υποδιαστολή στο κλάσμα, πετάμε τα μηδενικά στα αριστερά αν υπάρχουν.
3. Στον παρονομαστή του κλασματικού μέρους προσθέτουμε ένα και τόσα μηδενικά όσα ψηφία μετά την υποδιαστολή στο κλασματικό μέρος.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα

Παράδειγμα 10: Μετατροπή δεκαδικού σε μικτό αριθμό

Ας φανταστούμε το κλάσμα 155, 06005 ως μικτό αριθμό.

1. Γράφουμε τον αριθμό 155 ως ακέραιο μέρος.
2. Στον αριθμητή γράφουμε τους αριθμούς μετά την υποδιαστολή, απορρίπτοντας το μηδέν.
3. Γράφουμε ένα και πέντε μηδενικά στον παρονομαστή

Ας μάθουμε έναν μικτό αριθμό: 155 6005 100000

Το κλασματικό μέρος μπορεί να μειωθεί κατά 5. Το συντομεύουμε και παίρνουμε το τελικό αποτέλεσμα:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Μετατροπή άπειρων περιοδικών δεκαδικών σε κλάσματα

Ας δούμε παραδείγματα για το πώς να μετατρέψουμε περιοδικά δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα κλάσματα. Πριν ξεκινήσουμε, ας διευκρινίσουμε: οποιοδήποτε περιοδικό δεκαδικό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε συνηθισμένο κλάσμα.

Η απλούστερη περίπτωση είναι όταν η περίοδος του κλάσματος είναι μηδέν. Ένα περιοδικό κλάσμα με μηδενική τελεία αντικαθίσταται από ένα τελικό δεκαδικό κλάσμα και η διαδικασία αντιστροφής ενός τέτοιου κλάσματος ανάγεται στην αντιστροφή του τελικού δεκαδικού κλάσματος.

Παράδειγμα 11. Μετατροπή περιοδικού δεκαδικού κλάσματος σε κοινό κλάσμα

Ας αντιστρέψουμε το περιοδικό κλάσμα 3, 75 (0).

Καταργώντας τα μηδενικά στα δεξιά, παίρνουμε το τελικό δεκαδικό κλάσμα 3,75.

Μετατρέποντας αυτό το κλάσμα σε ένα συνηθισμένο κλάσμα χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο που συζητήθηκε στις προηγούμενες παραγράφους, λαμβάνουμε:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Τι γίνεται αν η περίοδος του κλάσματος είναι διαφορετική από το μηδέν; Το περιοδικό μέρος πρέπει να θεωρείται ως το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου, η οποία μειώνεται. Ας το εξηγήσουμε αυτό με ένα παράδειγμα:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Υπάρχει ένας τύπος για το άθροισμα των όρων μιας άπειρης φθίνουσας γεωμετρικής προόδου. Αν ο πρώτος όρος της προόδου είναι b και ο παρονομαστής q είναι τέτοιος ώστε 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Ας δούμε μερικά παραδείγματα χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο.

Παράδειγμα 12. Μετατροπή περιοδικού δεκαδικού κλάσματος σε κοινό κλάσμα

Ας έχουμε ένα περιοδικό κλάσμα 0, (8) και πρέπει να το μετατρέψουμε σε συνηθισμένο.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Εδώ έχουμε μια άπειρη μείωση γεωμετρική πρόοδοςμε τον πρώτο όρο 0, 8 και παρονομαστή 0, 1.

Ας εφαρμόσουμε τον τύπο:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Αυτό είναι το απαιτούμενο συνηθισμένο κλάσμα.

Για να εμπεδώσετε το υλικό, εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα.

Παράδειγμα 13. Μετατροπή περιοδικού δεκαδικού κλάσματος σε κοινό κλάσμα

Ας αντιστρέψουμε το κλάσμα 0, 43 (18).

Πρώτα γράφουμε το κλάσμα ως άπειρο άθροισμα:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Ας δούμε τους όρους σε παρένθεση. Αυτή η γεωμετρική πρόοδος μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Προσθέτουμε το αποτέλεσμα στο τελικό κλάσμα 0, 43 = 43 100 και παίρνουμε το αποτέλεσμα:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Αφού προσθέσουμε αυτά τα κλάσματα και μειώσουμε, παίρνουμε την τελική απάντηση:

0 , 43 (18) = 19 44

Για να ολοκληρώσουμε αυτό το άρθρο, θα πούμε ότι τα μη περιοδικά άπειρα δεκαδικά κλάσματα δεν μπορούν να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Περιοδικό κλάσμα

ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα στο οποίο, ξεκινώντας από ένα ορισμένο σημείο, υπάρχει μόνο μια περιοδικά επαναλαμβανόμενη συγκεκριμένη ομάδα ψηφίων. Για παράδειγμα, 1.3181818...; Εν ολίγοις, αυτό το κλάσμα γράφεται ως εξής: 1.3(18), δηλαδή τοποθετούν την περίοδο σε αγκύλες (και λένε: «18 στην περίοδο»). Το P. ονομάζεται καθαρό αν η περίοδος αρχίζει αμέσως μετά την υποδιαστολή, για παράδειγμα 2(71) = 2,7171..., και μικτή αν μετά την υποδιαστολή υπάρχουν αριθμοί που προηγούνται της περιόδου, για παράδειγμα 1,3(18). Ο ρόλος των δεκαδικών κλασμάτων στην αριθμητική οφείλεται στο γεγονός ότι όταν οι ορθολογικοί αριθμοί, δηλαδή τα συνηθισμένα (απλά) κλάσματα, αντιπροσωπεύονται με δεκαδικά κλάσματα, λαμβάνονται πάντα είτε πεπερασμένα είτε περιοδικά κλάσματα. Πιο συγκεκριμένα: ένα τελικό δεκαδικό κλάσμα προκύπτει όταν ο παρονομαστής ενός μη αναγώγιμου απλού κλάσματος δεν περιέχει άλλους πρώτους παράγοντες εκτός από το 2 και το 5. σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα P. και, επιπλέον, είναι καθαρό εάν ο παρονομαστής ενός δεδομένου μη αναγώγιμου κλάσματος δεν περιέχει καθόλου τους συντελεστές 2 και 5 και μικτό εάν περιέχεται τουλάχιστον ένας από αυτούς τους παράγοντες στον παρονομαστή. Οποιοδήποτε Π.Δ. μπορεί να μετατραπεί σε απλό κλάσμα(δηλαδή ισούται με κάποιο ρητό αριθμό). Ένα καθαρό κλάσμα ισούται με ένα απλό κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι η περίοδος και ο παρονομαστής παριστάνεται με τον αριθμό 9, γραμμένο τόσες φορές όσα ψηφία υπάρχουν στην περίοδο. Κατά τη μετατροπή ενός μικτού κλάσματος σε απλό κλάσμα, ο αριθμητής είναι η διαφορά μεταξύ του αριθμού που αντιπροσωπεύεται από τους αριθμούς που προηγούνται της δεύτερης περιόδου και του αριθμού που αντιπροσωπεύεται από τους αριθμούς που προηγούνται της πρώτης περιόδου. Για να συνθέσετε τον παρονομαστή, πρέπει να γράψετε τον αριθμό 9 όσες φορές υπάρχουν αριθμοί στην περίοδο και να προσθέσετε τόσα μηδενικά στα δεξιά όσα υπάρχουν αριθμοί πριν από την περίοδο. Αυτοί οι κανόνες προϋποθέτουν ότι το δεδομένο P. είναι σωστό, δηλαδή δεν περιέχει ολόκληρες μονάδες. διαφορετικά δίνεται ιδιαίτερη προσοχή σε όλο το μέρος.

Οι κανόνες για τον προσδιορισμό της διάρκειας της περιόδου ενός κλάσματος που αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο συνηθισμένο κλάσμα είναι επίσης γνωστοί. Για παράδειγμα, για ένα κλάσμα α/σ, Πού r -πρώτος αριθμός και 1 ≤ ένα ≤ p- 1, το μήκος της περιόδου είναι διαιρέτης r - 1. Άρα, για γνωστές προσεγγίσεις σε έναν αριθμό (βλ. Pi) Οι περίοδοι 22/7 και 355/113 είναι ίσες με 6 και 112 αντίστοιχα.

Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια. - Μ.: Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια. 1969-1978 .

Συνώνυμα:

Δείτε τι είναι το "Περιοδικό κλάσμα" σε άλλα λεξικά:

Ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα στο οποίο, ξεκινώντας από ένα συγκεκριμένο μέρος, μια συγκεκριμένη ομάδα ψηφίων (περίοδος) επαναλαμβάνεται περιοδικά, για παράδειγμα. 0,373737... καθαρό περιοδικό κλάσμα ή 0,253737... μικτό περιοδικό κλάσμα... Μεγάλος Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

Κλάσμα, άπειρο κλάσμαΛεξικό ρωσικών συνωνύμων. ουσιαστικό περιοδικού κλάσματος, αριθμός συνωνύμων: 2 άπειρο κλάσμα (2) ... Λεξικό συνωνύμων

Ένα δεκαδικό κλάσμα στο οποίο μια σειρά ψηφίων επαναλαμβάνεται με την ίδια σειρά. Για παράδειγμα, το 0,135135135... είναι ένα π.δ. του οποίου η περίοδος είναι 135 και ισούται με το απλό κλάσμα 135/999 = 5/37. Λεξικό ξένων λέξεων που περιλαμβάνονται στη ρωσική γλώσσα. Παβλένκοφ Φ... Λεξικό ξένων λέξεων της ρωσικής γλώσσας

Δεκαδικός είναι ένα κλάσμα με παρονομαστή 10n, όπου n είναι φυσικός αριθμός. Έχει ειδικό σχήμακαταχωρήσεις: ένα ακέραιο μέρος στο δεκαδικό σύστημα αριθμών, μετά ένα κόμμα και μετά ένα κλασματικό μέρος στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και ο αριθμός των ψηφίων του κλασματικού μέρους ... Wikipedia

Ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα στο οποίο, ξεκινώντας από ένα ορισμένο σημείο, μια συγκεκριμένη ομάδα ψηφίων (περίοδος) επαναλαμβάνεται περιοδικά. για παράδειγμα, 0,373737... καθαρό περιοδικό κλάσμα ή 0,253737... μικτό περιοδικό κλάσμα. * * * ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ…… Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

Ένα ατελείωτο δεκαδικό κλάσμα στο οποίο, ξεκινώντας από ένα συγκεκριμένο σημείο, ο ορισμός επαναλαμβάνεται περιοδικά. ομάδα ψηφίων (περίοδος). για παράδειγμα, 0,373737... καθαρό P. d ή 0,253737... μικτή P. d. Φυσιογνωσία. Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

Δείτε μέρος... Λεξικό ρωσικών συνωνύμων και παρόμοιων εκφράσεων. υπό. εκδ. N. Abramova, M.: Russian Dictionaries, 1999. fraction trifle, part; dunst, μπάλα, γεύμα, buckshot? κλασματικός αριθμόςΛεξικό ρωσικών συνωνύμων... Λεξικό συνωνύμων

περιοδικό δεκαδικό- - [Λ.Γ.Σουμένκο. Αγγλο-ρωσικό λεξικό για την τεχνολογία πληροφοριών. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] Θέματα Πληροφορικήγενικά EN κυκλοφορούν δεκαδικά επαναλαμβανόμενα δεκαδικά περιοδικά δεκαδικά περιοδικά δεκαδικά ... Οδηγός Τεχνικού Μεταφραστή

Εάν κάποιος ακέραιος αριθμός a διαιρεθεί με έναν άλλο ακέραιο b, δηλ. αναζητείται ένας αριθμός x που ικανοποιεί τη συνθήκη bx = a, τότε μπορούν να προκύψουν δύο περιπτώσεις: είτε στη σειρά των ακεραίων υπάρχει ένας αριθμός x που ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη, είτε αποδεικνύεται,…… Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό F.A. Brockhaus και I.A. Έφρον

Ένα κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής είναι ακέραιος αριθμός 10. Τα κλάσματα γράφονται χωρίς παρονομαστή, χωρίζοντας τόσα ψηφία στον αριθμητή στα δεξιά με κόμμα όσα μηδενικά υπάρχουν στον παρονομαστή. Για παράδειγμα, σε έναν τέτοιο δίσκο, το μέρος στα αριστερά... ... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

Θυμάστε πώς στο πρώτο μάθημα σχετικά με τα δεκαδικά είπα ότι υπάρχουν αριθμητικά κλάσματα που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως δεκαδικοί (βλ. μάθημα "Δεκαδικοί"); Μάθαμε επίσης πώς να συνυπολογίζουμε τους παρονομαστές των κλασμάτων για να δούμε αν υπήρχαν άλλοι αριθμοί εκτός από το 2 και το 5.

Λοιπόν: είπα ψέματα. Και σήμερα θα μάθουμε πώς να μετατρέπουμε απολύτως οποιοδήποτε αριθμητικό κλάσμα σε δεκαδικό. Ταυτόχρονα, θα εξοικειωθούμε με μια ολόκληρη κατηγορία κλασμάτων με άπειρο σημαντικό μέρος.

Περιοδικό δεκαδικό είναι κάθε δεκαδικό που:

1. Το σημαντικό μέρος αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό ψηφίων.
2. Σε ορισμένα διαστήματα επαναλαμβάνονται οι αριθμοί στο σημαντικό μέρος.

Το σύνολο των επαναλαμβανόμενων ψηφίων που αποτελούν το σημαντικό μέρος ονομάζεται περιοδικό μέρος ενός κλάσματος και ο αριθμός των ψηφίων σε αυτό το σύνολο ονομάζεται περίοδος του κλάσματος. Το υπόλοιπο τμήμα του σημαντικού μέρους, το οποίο δεν επαναλαμβάνεται, ονομάζεται μη περιοδικό μέρος.

Δεδομένου ότι υπάρχουν πολλοί ορισμοί, αξίζει να εξεταστούν λεπτομερώς αρκετά από αυτά τα κλάσματα:

Αυτό το κλάσμα εμφανίζεται πιο συχνά σε προβλήματα. Μη περιοδικό μέρος: 0; περιοδικό μέρος: 3; διάρκεια περιόδου: 1.

Μη περιοδικό μέρος: 0,58; περιοδικό μέρος: 3; διάρκεια περιόδου: ξανά 1.

Μη περιοδικό μέρος: 1; περιοδικό μέρος: 54; διάρκεια περιόδου: 2.

Μη περιοδικό μέρος: 0; περιοδικό μέρος: 641025; διάρκεια περιόδου: 6. Για ευκολία, τα επαναλαμβανόμενα μέρη χωρίζονται μεταξύ τους με ένα κενό - αυτό δεν είναι απαραίτητο σε αυτήν τη λύση.

Μη περιοδικό μέρος: 3066; περιοδικό μέρος: 6; διάρκεια περιόδου: 1.

Όπως μπορείτε να δείτε, ο ορισμός ενός περιοδικού κλάσματος βασίζεται στην έννοια σημαντικό μέρος ενός αριθμού. Επομένως, εάν έχετε ξεχάσει τι είναι, συνιστώ να το επαναλάβετε - δείτε το μάθημα "".

Μετάβαση σε περιοδικό δεκαδικό κλάσμα

Θεωρήστε ένα συνηθισμένο κλάσμα της μορφής a /b. Ας παραγοντοποιήσουμε τον παρονομαστή του σε πρώτους παράγοντες. Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Η επέκταση περιέχει μόνο τους παράγοντες 2 και 5. Αυτά τα κλάσματα μετατρέπονται εύκολα σε δεκαδικά ψηφία - δείτε το μάθημα «Δεκαδικοί». Δεν μας ενδιαφέρουν τέτοιοι άνθρωποι.
2. Υπάρχει κάτι άλλο στην επέκταση εκτός από το 2 και το 5. Στην περίπτωση αυτή, το κλάσμα δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως δεκαδικό, αλλά μπορεί να μετατραπεί σε περιοδικό δεκαδικό.

Για να ορίσετε ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα, πρέπει να βρείτε τα περιοδικά και τα μη περιοδικά μέρη του. Πως; Μετατρέψτε το κλάσμα σε ακατάλληλο κλάσμα και, στη συνέχεια, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή χρησιμοποιώντας μια γωνία.

Θα συμβούν τα εξής:

1. Θα χωρίσει πρώτα ολόκληρο μέρος, αν υπάρχει?
2. Μπορεί να υπάρχουν αρκετοί αριθμοί μετά την υποδιαστολή.
3. Μετά από λίγο θα ξεκινήσουν οι αριθμοί επαναλαμβάνω.

Αυτό είναι όλο! Οι επαναλαμβανόμενοι αριθμοί μετά την υποδιαστολή συμβολίζονται με το περιοδικό μέρος και αυτοί που βρίσκονται μπροστά με το μη περιοδικό μέρος.

Εργο. Μετατρέψτε τα συνηθισμένα κλάσματα σε περιοδικά δεκαδικά ψηφία:

Όλα τα κλάσματα χωρίς ακέραιο μέρος, οπότε απλά διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή με μια "γωνία":

Όπως μπορείτε να δείτε, τα υπόλοιπα επαναλαμβάνονται. Ας γράψουμε το κλάσμα στη «σωστή» μορφή: 1,733 ... = 1,7(3).

Το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα: 0,5833 ... = 0,58(3).

Το γράφουμε σε κανονική μορφή: 4.0909 ... = 4,(09).

Παίρνουμε το κλάσμα: 0,4141 ... = 0,(41).

Μετάβαση από το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα στο συνηθισμένο κλάσμα

Θεωρήστε το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα X = abc (a 1 b 1 c 1). Απαιτείται η μετατροπή του σε κλασικό «διώροφο». Για να το κάνετε αυτό, ακολουθήστε τέσσερα απλά βήματα:

1. Να βρείτε την περίοδο του κλάσματος, δηλ. μετρήστε πόσα ψηφία υπάρχουν στο περιοδικό μέρος. Έστω αυτός ο αριθμός k.
2. Να βρείτε την τιμή της παράστασης Χ · 10 κ. Αυτό ισοδυναμεί με τη μετατόπιση της υποδιαστολής προς τα δεξιά σε μια πλήρη περίοδο - δείτε το μάθημα "Πολλαπλασιασμός και διαίρεση δεκαδικών αριθμών".
3. Η αρχική έκφραση πρέπει να αφαιρεθεί από τον αριθμό που προκύπτει. Σε αυτή την περίπτωση, το περιοδικό τμήμα «καίγεται» και παραμένει κοινό κλάσμα;
4. Βρείτε το Χ στην εξίσωση που προκύπτει. Μετατρέπουμε όλα τα δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα κλάσματα.

Εργο. Μείωση σε συνηθισμένο ακατάλληλο κλάσμααριθμοί:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Δουλεύουμε με το πρώτο κλάσμα: X = 9,(6) = 9,666 ...

Οι παρενθέσεις περιέχουν μόνο ένα ψηφίο, οπότε η περίοδος είναι k = 1. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζουμε αυτό το κλάσμα με 10 k = 10 1 = 10. Έχουμε:

10Χ = 10 9,6666... ​​= 96,666...

Αφαιρέστε το αρχικό κλάσμα και λύστε την εξίσωση:

10X − X = 96.666 ... − 9.666 ... = 96 − 9 = 87;
9Χ = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Τώρα ας δούμε το δεύτερο κλάσμα. Άρα X = 32, (39) = 32,393939...

Περίοδος k = 2, άρα πολλαπλασιάστε τα πάντα με 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Αφαιρέστε ξανά το αρχικό κλάσμα και λύστε την εξίσωση:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Ας προχωρήσουμε στο τρίτο κλάσμα: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Το διάγραμμα είναι το ίδιο, οπότε θα δώσω απλώς τους υπολογισμούς:

Περίοδος k = 1 ⇒ πολλαπλασιάστε τα πάντα με 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9Χ = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Τέλος, το τελευταίο κλάσμα: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Και πάλι, για λόγους ευκολίας, τα περιοδικά μέρη χωρίζονται μεταξύ τους με κενά. Έχουμε:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.