Μπορείτε να παραγγείλετε λεπτομερής λύσητο καθήκον σου!!!

Μια ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο κάτω από το πρόσημο μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης («sin x, cos x, tan x» ή «ctg x») ονομάζεται τριγωνομετρική εξίσωση και είναι οι τύποι τους που θα εξετάσουμε περαιτέρω.

Οι απλούστερες εξισώσεις είναι «sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a», όπου «x» είναι η γωνία που πρέπει να βρεθεί, «a» είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Ας γράψουμε τους τύπους ρίζας για καθένα από αυτά.

1. Εξίσωση `sin x=a`.

Για το `|a|>1` δεν έχει λύσεις.

Όταν `|α| \leq 1` έχει άπειρος αριθμόςαποφάσεις.

Τύπος ρίζας: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Εξίσωση `cos x=a`

Για `|a|>1` - όπως στην περίπτωση του ημιτονοειδούς, δεν έχει λύσεις μεταξύ των πραγματικών αριθμών.

Όταν `|α| Το \leq 1` έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

Τύπος ρίζας: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Ειδικές περιπτώσεις για ημίτονο και συνημίτονο σε γραφήματα.

3. Εξίσωση `tg x=a`

Έχει άπειρο αριθμό λύσεων για οποιεσδήποτε τιμές του 'a'.

Τύπος ρίζας: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Εξίσωση `ctg x=a`

Έχει επίσης έναν άπειρο αριθμό λύσεων για οποιεσδήποτε τιμές του 'a'.

Τύπος ρίζας: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Τύποι για τις ρίζες των τριγωνομετρικών εξισώσεων στον πίνακα

Για ημιτονοειδή:
Για το συνημίτονο:
Για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη:
Τύποι επίλυσης εξισώσεων που περιέχουν αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων

Η επίλυση οποιασδήποτε τριγωνομετρικής εξίσωσης αποτελείται από δύο στάδια:

• με τη βοήθεια της μετατροπής του στο απλούστερο.
• λύστε την απλούστερη εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τους τύπους ρίζας και τους πίνακες που γράφτηκαν παραπάνω.

Ας δούμε τις κύριες μεθόδους λύσης χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Αλγεβρική μέθοδος.

Αυτή η μέθοδος περιλαμβάνει την αντικατάσταση μιας μεταβλητής και την αντικατάστασή της σε μια ισότητα.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

κάντε μια αντικατάσταση: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, μετά `2y^2-3y+1=0`,

βρίσκουμε τις ρίζες: `y_1=1, y_2=1/2`, από τις οποίες ακολουθούν δύο περιπτώσεις:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Απάντηση: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Παραγοντοποίηση.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `sin x+cos x=1`.

Διάλυμα. Ας μετακινήσουμε όλους τους όρους της ισότητας προς τα αριστερά: `sin x+cos x-1=0`. Χρησιμοποιώντας , μετασχηματίζουμε και παραγοντοποιούμε την αριστερή πλευρά:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Απάντηση: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Αναγωγή σε ομοιογενή εξίσωση

Αρχικά, πρέπει να μειώσετε αυτήν την τριγωνομετρική εξίσωση σε μία από τις δύο μορφές:

`a sin x+b cos x=0` (ομογενής εξίσωση πρώτου βαθμού) ή `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ομογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού).

Στη συνέχεια, διαιρέστε και τα δύο μέρη με «cos x \ne 0» - για την πρώτη περίπτωση, και με «cos^2 x \ne 0» - για τη δεύτερη. Λαμβάνουμε εξισώσεις για «tg x»: «a tg x+b=0» και «a tg^2 x + b tg x +c =0», οι οποίες πρέπει να λυθούν χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Διάλυμα. Ας γράψουμε τη δεξιά πλευρά ως `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Αυτή είναι μια ομοιογενής τριγωνομετρική εξίσωση του δεύτερου βαθμού, διαιρούμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της με το «cos^2 x \ne 0», παίρνουμε:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Ας εισάγουμε την αντικατάσταση `tg x=t`, με αποτέλεσμα `t^2 + t - 2=0`. Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι «t_1=-2» και «t_2=1». Τότε:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Απάντηση. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Πηγαίνετε στη μισή γωνία

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Διάλυμα. Ας εφαρμόσουμε τους τύπους διπλής γωνίας, με αποτέλεσμα: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 συν^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Εφαρμόζοντας την αλγεβρική μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω, λαμβάνουμε:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Απάντηση. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Εισαγωγή βοηθητικής γωνίας

Στην τριγωνομετρική εξίσωση «a sin x + b cos x =c», όπου a,b,c είναι συντελεστές και x είναι μια μεταβλητή, διαιρέστε και τις δύο πλευρές με το «sqrt (a^2+b^2)»:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))».

Οι συντελεστές στην αριστερή πλευρά έχουν τις ιδιότητες του ημιτόνου και του συνημιτόνου, δηλαδή το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι ίσο με 1 και οι μονάδες τους δεν είναι μεγαλύτερες από 1. Ας τους συμβολίσουμε ως εξής: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, τότε:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο ακόλουθο παράδειγμα:

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `3 sin x+4 cos x=2`.

Διάλυμα. Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της ισότητας με το `sqrt (3^2+4^2)`, παίρνουμε:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))».

`3/5 αμαρτία x+4/5 cos x=2/5`.

Ας συμβολίσουμε `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Εφόσον `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, τότε λαμβάνουμε το `\varphi=arcsin 4/5` ως βοηθητική γωνία. Στη συνέχεια γράφουμε την ισότητά μας με τη μορφή:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Εφαρμόζοντας τον τύπο για το άθροισμα των γωνιών για το ημίτονο, γράφουμε την ισότητά μας με την ακόλουθη μορφή:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Απάντηση. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Κλασματικές ορθολογικές τριγωνομετρικές εξισώσεις

Πρόκειται για ισότητες με κλάσματα των οποίων οι αριθμητές και οι παρονομαστές περιέχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Διάλυμα. Πολλαπλασιάστε και διαιρέστε τη δεξιά πλευρά της ισότητας με το «(1+cos x)». Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Λαμβάνοντας υπόψη ότι ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι ίσος με μηδέν, παίρνουμε «1+cos x \ne 0», «cos x \ne -1», «x \ne \pi+2\pi n, n \in Z».

Ας εξισώσουμε τον αριθμητή του κλάσματος με μηδέν: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Στη συνέχεια `sin x=0` ή `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Δεδομένου ότι ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, οι λύσεις είναι `x=2\pi n, n \in Z` και `x=\pi /2+2\pi n` , `n \σε Z`.

Απάντηση. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Η τριγωνομετρία, και ειδικότερα οι τριγωνομετρικές εξισώσεις, χρησιμοποιούνται σχεδόν σε όλους τους τομείς της γεωμετρίας, της φυσικής και της μηχανικής. Η φοίτηση ξεκινά στην 10η τάξη, υπάρχουν πάντα εργασίες για την Ενιαία Κρατική Εξέταση, οπότε προσπαθήστε να θυμάστε όλους τους τύπους τριγωνομετρικές εξισώσεις- σίγουρα θα σας φανούν χρήσιμα!

Ωστόσο, δεν χρειάζεται καν να τα απομνημονεύσετε, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσετε την ουσία και να μπορέσετε να την αντλήσετε. Δεν είναι τόσο δύσκολο όσο φαίνεται. Δείτε μόνοι σας βλέποντας το βίντεο.

Στην αρχή αυτού του άρθρου, εξετάσαμε την έννοια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Ο κύριος σκοπός τους είναι να μελετήσουν τα βασικά της τριγωνομετρίας και να μελετήσουν περιοδικές διαδικασίες. Και δεν ήταν μάταια που σχεδιάσαμε τον τριγωνομετρικό κύκλο, γιατί στις περισσότερες περιπτώσεις οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ορίζονται ως ο λόγος των πλευρών ενός τριγώνου ή ορισμένων τμημάτων του σε έναν κύκλο μονάδας. Ανέφερα επίσης την αναμφισβήτητα τεράστια σημασία της τριγωνομετρίας στη σύγχρονη ζωή. Αλλά η επιστήμη δεν μένει ακίνητη, με αποτέλεσμα να μπορούμε να επεκτείνουμε σημαντικά το πεδίο εφαρμογής της τριγωνομετρίας και να μεταφέρουμε τις διατάξεις της σε πραγματικούς και μερικές φορές μιγαδικούς αριθμούς.

Τύποι τριγωνομετρίαςΥπάρχουν διάφοροι τύποι. Ας τα δούμε με τη σειρά.

1. Λόγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων ίδιας γωνίας

Εδώ ερχόμαστε να εξετάσουμε μια τέτοια έννοια όπως βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες.

Τριγωνομετρική ταυτότητα είναι μια ισότητα που αποτελείται από τριγωνομετρικές σχέσεις και η οποία ικανοποιείται για όλες τις τιμές των γωνιών που περιλαμβάνονται σε αυτήν.

Ας δούμε τις πιο σημαντικές τριγωνομετρικές ταυτότητες και τις αποδείξεις τους:

Η πρώτη ταυτότητα προκύπτει από τον ίδιο τον ορισμό της εφαπτομένης.

Πάρτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που έχει οξεία γωνία x στην κορυφή Α.



Για να αποδείξετε τις ταυτότητες, πρέπει να χρησιμοποιήσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

Τώρα διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ισότητας με (AB) 2 και υπενθυμίζοντας τους ορισμούς της αμαρτίας και της γωνίας συν, λαμβάνουμε τη δεύτερη ταυτότητα:

(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1

sin x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

αμαρτία 2 x + cos 2 x = 1

Για να αποδείξουμε την τρίτη και τέταρτη ταυτότητα, χρησιμοποιούμε την προηγούμενη απόδειξη.

Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε και τις δύο πλευρές της δεύτερης ταυτότητας με cos 2 x:

sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

sin 2 x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Με βάση την πρώτη ταυτότητα tg x = sin x /cos x λαμβάνουμε την τρίτη:

1 + μαύρισμα 2 x = 1/cos 2 x

Τώρα ας διαιρέσουμε τη δεύτερη ταυτότητα με αμαρτία 2 x:

αμαρτία 2 x/ αμαρτία 2 x + συν 2 x/ αμαρτία 2 x = 1/ αμαρτία 2 x

1+ συν 2 x/ αμαρτία 2 x = 1/ αμαρτία 2 x

cos 2 x/ sin 2 x δεν είναι τίποτα περισσότερο από 1/tg 2 x, οπότε παίρνουμε την τέταρτη ταυτότητα:

1 + 1/tg 2 x = 1/sin 2 x

Ήρθε η ώρα να θυμηθούμε το θεώρημα του αθροίσματος εσωτερικές γωνίεςτρίγωνο, το οποίο δηλώνει ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου = 180 0. Αποδεικνύεται ότι στην κορυφή Β του τριγώνου υπάρχει μια γωνία της οποίας η τιμή είναι 180 0 – 90 0 – x = 90 0 – x.



Ας θυμηθούμε ξανά τους ορισμούς για το sin και cos και ας λάβουμε την πέμπτη και την έκτη ταυτότητα:

sin x = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = sin x

Τώρα ας κάνουμε τα εξής:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = cos x

Όπως μπορείτε να δείτε, όλα είναι στοιχειώδη εδώ.

Υπάρχουν και άλλες ταυτότητες που χρησιμοποιούνται για την επίλυση μαθηματικών ταυτοτήτων, θα τις δώσω απλά στη μορφή πληροφορίες αναφοράς, γιατί όλα πηγάζουν από τα παραπάνω.



2. Έκφραση τριγωνομετρικών συναρτήσεων μεταξύ τους

   (η επιλογή του σημείου μπροστά από τη ρίζα καθορίζεται από ποια από τα τέταρτα του κύκλου βρίσκεται η γωνία;)







3. Ακολουθούν οι τύποι για την πρόσθεση και την αφαίρεση γωνιών:



4. Φόρμουλες για διπλές, τριπλές και μισές γωνίες.

   Σημειώνω ότι όλα προέρχονται από τους προηγούμενους τύπους.

sin 2x =2sin x*cos x

cos 2x =cos 2 x -sin 2 x =1-2sin 2 x =2cos 2 x -1

tg 2x = 2tgx/(1 - tg 2 x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x =3sin x - 4sin 3 x

cos3х =4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx – tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

σtg 3x = (сtg 3 x – 3сtg x) /(3сtg 2 x - 1)









5. Τύποι μετατροπής τριγωνομετρικών παραστάσεων:

Τον πέμπτο αιώνα π.Χ αρχαίος Έλληνας φιλόσοφοςΟ Ζήνων από την Ελαία διατύπωσε τις περίφημες απορίας του, η πιο γνωστή από τις οποίες είναι η απορία «Αχιλλέας και η Χελώνα». Να πώς ακούγεται:

Ας πούμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα και είναι χίλια βήματα πίσω της. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει αυτή την απόσταση, η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Όταν ο Αχιλλέας τρέχει εκατό βήματα, η χελώνα σέρνεται άλλα δέκα βήματα, και ούτω καθεξής. Η διαδικασία θα συνεχιστεί επ’ άπειρον, ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.

Αυτό το σκεπτικό έγινε ένα λογικό σοκ για όλες τις επόμενες γενιές. Αριστοτέλης, Διογένης, Καντ, Χέγκελ, Χίλμπερτ... Όλοι θεωρούσαν την απορία του Ζήνωνα με τον ένα ή τον άλλο τρόπο. Το σοκ ήταν τόσο δυνατό που " ...οι συζητήσεις συνεχίζονται μέχρι σήμερα η επιστημονική κοινότητα δεν έχει καταφέρει ακόμη να καταλήξει σε κοινή γνώμη για την ουσία των παραδόξων...συμμετείχαν στη μελέτη του θέματος. μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, νέες φυσικές και φιλοσοφικές προσεγγίσεις. κανένα από αυτά δεν έγινε μια γενικά αποδεκτή λύση στο πρόβλημα..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Όλοι καταλαβαίνουν ότι τους κοροϊδεύουν, αλλά κανείς δεν καταλαβαίνει σε τι συνίσταται η εξαπάτηση.

Από μαθηματική άποψη, ο Ζήνων στην απορία του έδειξε ξεκάθαρα τη μετάβαση από την ποσότητα στο . Αυτή η μετάβαση συνεπάγεται εφαρμογή αντί για μόνιμες. Από όσο καταλαβαίνω, η μαθηματική συσκευή για τη χρήση μεταβλητών μονάδων μέτρησης είτε δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί, είτε δεν έχει εφαρμοστεί στην απορία του Ζήνωνα. Η εφαρμογή της συνηθισμένης λογικής μας οδηγεί σε μια παγίδα. Εμείς, λόγω της αδράνειας της σκέψης, εφαρμόζουμε σταθερές μονάδες χρόνου στην αμοιβαία τιμή. Από φυσική άποψη, αυτό μοιάζει να επιβραδύνεται ο χρόνος μέχρι να σταματήσει τελείως τη στιγμή που ο Αχιλλέας προλαβαίνει τη χελώνα. Αν ο χρόνος σταματήσει, ο Αχιλλέας δεν μπορεί πλέον να ξεπεράσει τη χελώνα.

Αν γυρίσουμε τη συνηθισμένη μας λογική, όλα μπαίνουν στη θέση τους. Ο Αχιλλέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Κάθε επόμενο τμήμα της διαδρομής του είναι δέκα φορές μικρότερο από το προηγούμενο. Αντίστοιχα, ο χρόνος που δαπανάται για την αντιμετώπισή του είναι δέκα φορές μικρότερος από τον προηγούμενο. Εάν εφαρμόσουμε την έννοια του «άπειρου» σε αυτήν την κατάσταση, τότε θα ήταν σωστό να πούμε «Ο Αχιλλέας θα προλάβει τη χελώνα απείρως γρήγορα».

Πώς να αποφύγετε αυτή τη λογική παγίδα; Παραμείνετε σε σταθερές μονάδες χρόνου και μην μεταβείτε σε αντίστροφες μονάδες. Στη γλώσσα του Ζήνωνα μοιάζει με αυτό:

Στον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει χίλια βήματα, η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Στο επόμενο χρονικό διάστημα ίσο με το πρώτο, ο Αχιλλέας θα τρέξει άλλα χίλια βήματα και η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα. Τώρα ο Αχιλλέας είναι οκτακόσια βήματα μπροστά από τη χελώνα.

Αυτή η προσέγγιση περιγράφει επαρκώς την πραγματικότητα χωρίς λογικά παράδοξα. Αλλά αυτό δεν είναι μια πλήρης λύση στο πρόβλημα. Η δήλωση του Αϊνστάιν για το ακαταμάχητο της ταχύτητας του φωτός μοιάζει πολύ με την απορία του Ζήνωνα «Ο Αχιλλέας και η Χελώνα». Πρέπει ακόμα να μελετήσουμε, να ξανασκεφτούμε και να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Και η λύση πρέπει να αναζητηθεί όχι σε απείρως μεγάλους αριθμούς, αλλά σε μονάδες μέτρησης.

Μια άλλη ενδιαφέρουσα απορία του Ζήνωνα λέει για ένα ιπτάμενο βέλος:

Ένα ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο, αφού σε κάθε στιγμή του χρόνου είναι σε ηρεμία, και αφού είναι σε ηρεμία σε κάθε στιγμή του χρόνου, είναι πάντα σε ηρεμία.

Σε αυτήν την απορία, το λογικό παράδοξο ξεπερνιέται πολύ απλά - αρκεί να διευκρινίσουμε ότι σε κάθε στιγμή ένα ιπτάμενο βέλος βρίσκεται σε ηρεμία σε διαφορετικά σημεία του χώρου, που στην πραγματικότητα είναι κίνηση. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ένα άλλο σημείο. Από μια φωτογραφία ενός αυτοκινήτου στο δρόμο είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ούτε το γεγονός της κίνησής του ούτε η απόσταση από αυτό. Για να προσδιορίσετε αν ένα αυτοκίνητο κινείται, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες που τραβήχτηκαν από το ίδιο σημείο σε διαφορετικά χρονικά σημεία, αλλά δεν μπορείτε να προσδιορίσετε την απόσταση από αυτές. Για να προσδιορίσετε την απόσταση από ένα αυτοκίνητο, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες από διαφορετικά σημεία του χώρου σε μια χρονική στιγμή, αλλά από αυτές δεν μπορείτε να προσδιορίσετε το γεγονός της κίνησης (φυσικά, χρειάζεστε επιπλέον δεδομένα για υπολογισμούς, η τριγωνομετρία θα σας βοηθήσει ). Αυτό που θέλω να επισημάνω ιδιαίτερη προσοχή, είναι ότι δύο σημεία στο χρόνο και δύο σημεία στο χώρο είναι διαφορετικά πράγματα που δεν πρέπει να συγχέονται, γιατί παρέχουν διαφορετικές ευκαιρίες για έρευνα.

Τετάρτη 4 Ιουλίου 2018

Οι διαφορές μεταξύ συνόλου και πολλαπλών συνόλων περιγράφονται πολύ καλά στη Wikipedia. Ας δούμε.

Όπως μπορείτε να δείτε, "δεν μπορούν να υπάρχουν δύο πανομοιότυπα στοιχεία σε ένα σύνολο", αλλά εάν υπάρχουν πανομοιότυπα στοιχεία σε ένα σύνολο, ένα τέτοιο σύνολο ονομάζεται "πολυσύνολο". Τα λογικά όντα δεν θα καταλάβουν ποτέ μια τέτοια παράλογη λογική. Αυτό είναι το επίπεδο των παπαγάλων που μιλάνε και των εκπαιδευμένων πιθήκων, που δεν έχουν νοημοσύνη από τη λέξη «εντελώς». Οι μαθηματικοί λειτουργούν ως απλοί εκπαιδευτές, κηρύττοντας μας τις παράλογες ιδέες τους.

Μια φορά κι έναν καιρό, οι μηχανικοί που κατασκεύασαν τη γέφυρα βρίσκονταν σε μια βάρκα κάτω από τη γέφυρα ενώ δοκίμαζαν τη γέφυρα. Αν η γέφυρα κατέρρεε, ο μέτριος μηχανικός πέθαινε κάτω από τα ερείπια του δημιουργήματός του. Αν η γέφυρα μπορούσε να αντέξει το φορτίο, ο ταλαντούχος μηχανικός κατασκεύασε άλλες γέφυρες.

Ανεξάρτητα από το πόσο κρύβονται οι μαθηματικοί πίσω από τη φράση «να με νου, είμαι στο σπίτι», ή μάλλον, «τα μαθηματικά μελετούν αφηρημένες έννοιες», υπάρχει ένας ομφάλιος λώρος που τις συνδέει άρρηκτα με την πραγματικότητα. Αυτός ο ομφάλιος λώρος είναι χρήματα. Ας εφαρμόσουμε τη μαθηματική θεωρία συνόλων στους ίδιους τους μαθηματικούς.

Σπουδάσαμε πολύ καλά μαθηματικά και τώρα καθόμαστε στο ταμείο και βγάζουμε μισθούς. Έρχεται λοιπόν σε εμάς ένας μαθηματικός για τα λεφτά του. Του μετράμε όλο το ποσό και το απλώνουμε στο τραπέζι μας σε διαφορετικούς σωρούς, στους οποίους βάζουμε λογαριασμούς της ίδιας ονομαστικής αξίας. Στη συνέχεια, παίρνουμε έναν λογαριασμό από κάθε σωρό και δίνουμε στον μαθηματικό το «μαθηματικό σύνολο του μισθού» του. Ας εξηγήσουμε στον μαθηματικό ότι θα λάβει τους υπόλοιπους λογαριασμούς μόνο όταν αποδείξει ότι ένα σύνολο χωρίς πανομοιότυπα στοιχεία δεν είναι ίσο με ένα σύνολο με πανομοιότυπα στοιχεία. Εδώ αρχίζει η διασκέδαση.

Πρώτα απ 'όλα, θα λειτουργήσει η λογική των βουλευτών: "Αυτό μπορεί να εφαρμοστεί σε άλλους, αλλά όχι σε μένα!" Τότε θα αρχίσουν να μας καθησυχάζουν ότι τα χαρτονομίσματα της ίδιας ονομαστικής αξίας έχουν διαφορετικούς αριθμούς λογαριασμού, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορούν να θεωρηθούν τα ίδια στοιχεία. Εντάξει, ας μετρήσουμε τους μισθούς σε νομίσματα - δεν υπάρχουν αριθμοί στα νομίσματα. Εδώ ο μαθηματικός θα αρχίσει να θυμάται μανιωδώς τη φυσική: σε διαφορετικά νομίσματα υπάρχει διαφορετικές ποσότητεςβρωμιά, κρυσταλλική δομή και ατομική διάταξη κάθε νομίσματος είναι μοναδική...

Και τώρα έχω τα περισσότερα ενδιαφέρουσα ερώτηση: πού βρίσκεται η γραμμή πέρα ​​από την οποία τα στοιχεία ενός πολυσυνόλου μετατρέπονται σε στοιχεία ενός συνόλου και αντίστροφα; Δεν υπάρχει τέτοια γραμμή - όλα αποφασίζονται από σαμάνους, η επιστήμη δεν είναι καν κοντά στο να ψεύδεται εδώ.

Δες εδώ. Επιλέγουμε γήπεδα ποδοσφαίρουμε την ίδια περιοχή χωραφιού. Οι περιοχές των πεδίων είναι οι ίδιες - που σημαίνει ότι έχουμε ένα πολυσύνολο. Αλλά αν δούμε τα ονόματα των ίδιων γηπέδων, παίρνουμε πολλά, γιατί τα ονόματα είναι διαφορετικά. Όπως μπορείτε να δείτε, το ίδιο σύνολο στοιχείων είναι και σύνολο και πολυσύνολο. Ποιο είναι το σωστό; Και εδώ ο μαθηματικός-σαμάνος-αιχμηρός βγάζει έναν άσσο ατού από το μανίκι του και αρχίζει να μας λέει είτε για σετ είτε για πολυσύνολο. Σε κάθε περίπτωση, θα μας πείσει ότι έχει δίκιο.

Για να κατανοήσουμε πώς λειτουργούν οι σύγχρονοι σαμάνοι με τη θεωρία συνόλων, συνδέοντάς την με την πραγματικότητα, αρκεί να απαντήσουμε σε μια ερώτηση: πώς διαφέρουν τα στοιχεία ενός συνόλου από τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου; Θα σας δείξω, χωρίς κανένα «νοητό ως μη ενιαίο σύνολο» ή «μη νοητό ως ενιαίο σύνολο».

Κυριακή 18 Μαρτίου 2018

Το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού είναι ένας χορός σαμάνων με ντέφι, που δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά. Ναι, στα μαθήματα των μαθηματικών διδασκόμαστε να βρίσκουμε το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού και να το χρησιμοποιούμε, αλλά γι' αυτό είναι σαμάνοι, για να μάθουν στους απογόνους τους τις δεξιότητες και τη σοφία τους, διαφορετικά οι σαμάνοι απλά θα πεθάνουν.

Χρειάζεστε αποδείξεις; Ανοίξτε τη Wikipedia και προσπαθήστε να βρείτε τη σελίδα "Άθροισμα ψηφίων ενός αριθμού". Αυτή δεν υπάρχει. Δεν υπάρχει τύπος στα μαθηματικά που να μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί το άθροισμα των ψηφίων οποιουδήποτε αριθμού. Εξάλλου, οι αριθμοί είναι γραφικά σύμβολα με τα οποία γράφουμε αριθμούς και στη γλώσσα των μαθηματικών η εργασία ακούγεται ως εξής: «Βρείτε το άθροισμα των γραφικών συμβόλων που αντιπροσωπεύουν οποιονδήποτε αριθμό». Οι μαθηματικοί δεν μπορούν να λύσουν αυτό το πρόβλημα, αλλά οι σαμάνοι μπορούν να το κάνουν εύκολα.

Ας μάθουμε τι και πώς κάνουμε για να βρούμε το άθροισμα των ψηφίων ενός δεδομένου αριθμού. Και λοιπόν, ας έχουμε τον αριθμό 12345. Τι πρέπει να κάνουμε για να βρούμε το άθροισμα των ψηφίων αυτού του αριθμού; Ας εξετάσουμε όλα τα βήματα με τη σειρά.

1. Σημειώστε τον αριθμό σε ένα κομμάτι χαρτί. Τι έχουμε κάνει; Μετατρέψαμε τον αριθμό σε σύμβολο γραφικού αριθμού. Δεν πρόκειται για μαθηματική πράξη.

2. Κόψτε μια εικόνα που προκύπτει σε πολλές εικόνες που περιέχουν μεμονωμένους αριθμούς. Η κοπή μιας εικόνας δεν είναι μαθηματική πράξη.

3. Μετατρέψτε μεμονωμένα γραφικά σύμβολα σε αριθμούς. Δεν πρόκειται για μαθηματική πράξη.

4. Προσθέστε τους αριθμούς που προκύπτουν. Τώρα αυτό είναι μαθηματικά.

Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού 12345 είναι 15. Αυτά είναι τα «μαθήματα κοπής και ραπτικής» που διδάσκονται από σαμάνους που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό.

Από μαθηματική άποψη, δεν έχει σημασία σε ποιο σύστημα αριθμών γράφουμε έναν αριθμό. Έτσι, μέσα διαφορετικά συστήματαΣτον λογισμό, το άθροισμα των ψηφίων του ίδιου αριθμού θα είναι διαφορετικό. Στα μαθηματικά, το σύστημα αριθμών υποδεικνύεται ως δείκτης στα δεξιά του αριθμού. ΜΕ ένας μεγάλος αριθμός 12345 Δεν θέλω να κοροϊδεύω το κεφάλι μου, ας δούμε τον αριθμό 26 από το άρθρο για το . Ας γράψουμε αυτόν τον αριθμό σε δυαδικά, οκταδικά, δεκαδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών. Δεν θα εξετάσουμε κάθε βήμα κάτω από ένα μικροσκόπιο, το έχουμε ήδη κάνει. Ας δούμε το αποτέλεσμα.

Όπως μπορείτε να δείτε, σε διαφορετικά συστήματα αριθμών το άθροισμα των ψηφίων του ίδιου αριθμού είναι διαφορετικό. Αυτό το αποτέλεσμα δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά. Είναι το ίδιο σαν να προσδιορίζατε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου σε μέτρα και εκατοστά, θα είχατε εντελώς διαφορετικά αποτελέσματα.

Το μηδέν φαίνεται το ίδιο σε όλα τα συστήματα αριθμών και δεν έχει άθροισμα ψηφίων. Αυτό είναι ένα άλλο επιχείρημα υπέρ του γεγονότος ότι. Ερώτηση για μαθηματικούς: πώς ορίζεται κάτι που δεν είναι αριθμός στα μαθηματικά; Τι, για τους μαθηματικούς δεν υπάρχει τίποτα εκτός από αριθμούς; Μπορώ να το επιτρέψω αυτό για σαμάνους, αλλά όχι για επιστήμονες. Η πραγματικότητα δεν αφορά μόνο τους αριθμούς.

Το αποτέλεσμα που προκύπτει θα πρέπει να θεωρείται ως απόδειξη ότι τα αριθμητικά συστήματα είναι μονάδες μέτρησης για αριθμούς. Εξάλλου, δεν μπορούμε να συγκρίνουμε αριθμούς με διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Αν οι ίδιες ενέργειες με διαφορετικές μονάδες μέτρησης της ίδιας ποσότητας οδηγούν σε διαφορετικά αποτελέσματααφού τα συγκρίνεις, σημαίνει ότι δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά.

Τι είναι τα πραγματικά μαθηματικά; Αυτό συμβαίνει όταν το αποτέλεσμα μιας μαθηματικής πράξης δεν εξαρτάται από το μέγεθος του αριθμού, τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιείται και από το ποιος εκτελεί αυτήν την ενέργεια.

Σημάδι στην πόρτα Ανοίγει την πόρτα και λέει:

Ωχ! Αυτή δεν είναι η γυναικεία τουαλέτα;
- Νεαρή γυναίκα! Αυτό είναι ένα εργαστήριο για τη μελέτη της άφιλης αγιότητας των ψυχών κατά την ανάληψή τους στον ουρανό! Φωτοστέφανο στην κορυφή και βέλος επάνω. Ποια άλλη τουαλέτα;

Θηλυκό... Το φωτοστέφανο από πάνω και το βέλος κάτω είναι αρσενικό.

Αν κάτι τέτοιο αναβοσβήνει μπροστά στα μάτια σας πολλές φορές την ημέρα σχεδιαστική τέχνη,

Τότε δεν είναι περίεργο που βρίσκετε ξαφνικά ένα περίεργο εικονίδιο στο αυτοκίνητό σας:

Προσωπικά, προσπαθώ να δω μείον τέσσερις μοίρες σε ένα άτομο που σκάει (μία εικόνα) (μια σύνθεση πολλών εικόνων: σύμβολο μείον, αριθμός τέσσερα, χαρακτηρισμός βαθμού). Και δεν νομίζω ότι αυτό το κορίτσι είναι ανόητο που δεν ξέρει φυσική. Απλώς έχει ένα ισχυρό στερεότυπο για την αντίληψη γραφικών εικόνων. Και αυτό μας διδάσκουν συνέχεια οι μαθηματικοί. Εδώ είναι ένα παράδειγμα.

Το 1Α δεν είναι «μείον τέσσερις μοίρες» ή «ένα α». Αυτό είναι το "pooping man" ή ο αριθμός "είκοσι έξι" σε δεκαεξαδικό συμβολισμό. Όσοι εργάζονται συνεχώς σε αυτό το σύστημα αριθμών αντιλαμβάνονται αυτόματα έναν αριθμό και ένα γράμμα ως ένα γραφικό σύμβολο.

Σε αυτό το άρθρο θα ρίξουμε μια περιεκτική ματιά. Οι βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες είναι ισότητες που δημιουργούν μια σύνδεση μεταξύ του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας και επιτρέπουν σε κάποιον να βρει οποιαδήποτε από αυτές τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις μέσω μιας γνωστής άλλης.

Ας απαριθμήσουμε αμέσως τις κύριες τριγωνομετρικές ταυτότητες που θα αναλύσουμε σε αυτό το άρθρο. Ας τους γράψουμε σε έναν πίνακα και παρακάτω θα δώσουμε την έξοδο αυτών των τύπων και θα παρέχουμε τις απαραίτητες εξηγήσεις.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Σχέση μεταξύ ημιτόνου και συνημιτόνου μιας γωνίας

Μερικές φορές δεν μιλούν για τις κύριες τριγωνομετρικές ταυτότητες που αναφέρονται στον παραπάνω πίνακα, αλλά για ένα μοναδικό βασική τριγωνομετρική ταυτότηταείδος . Η εξήγηση για αυτό το γεγονός είναι αρκετά απλή: οι ισότητες λαμβάνονται από την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα αφού διαιρεθούν και τα δύο μέρη της με και αντίστοιχα, και οι ισότητες Και ακολουθήστε τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Θα μιλήσουμε για αυτό με περισσότερες λεπτομέρειες στις επόμενες παραγράφους.

Δηλαδή, είναι η ισότητα που έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, στην οποία δόθηκε το όνομα της κύριας τριγωνομετρικής ταυτότητας.

Πριν αποδείξουμε το κύριο τριγωνομετρική ταυτότητα, ας δώσουμε τη διατύπωσή του: το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι πανομοιότυπα ίσο με ένα. Τώρα ας το αποδείξουμε.

Η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα χρησιμοποιείται πολύ συχνά όταν μετατροπή τριγωνομετρικών εκφράσεων. Επιτρέπει το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας γωνίας να αντικατασταθεί από ένα. Όχι λιγότερο συχνά, η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα χρησιμοποιείται με την αντίστροφη σειρά: η μονάδα αντικαθίσταται από το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου οποιασδήποτε γωνίας.

Εφαπτομένη και συνεφαπτομένη μέσω ημιτόνου και συνημίτονος

Ταυτότητες που συνδέουν την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη με το ημίτονο και το συνημίτονο μιας οπτικής γωνίας και ακολουθήστε αμέσως από τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Πράγματι, εξ ορισμού, το ημίτονο είναι η τεταγμένη του y, το συνημίτονο είναι η τετμημένη του x, η εφαπτομένη είναι ο λόγος της τεταγμένης προς την τετμημένη, δηλαδή, και η συνεφαπτομένη είναι ο λόγος της τετμημένης προς την τεταγμένη, δηλαδή, .

Χάρη σε τέτοια προφανή των ταυτοτήτων και Η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη συχνά ορίζονται όχι μέσω της αναλογίας τετμημένης και τεταγμένης, αλλά μέσω της αναλογίας ημιτόνου και συνημιτονοειδούς. Άρα η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι ο λόγος του ημιτόνου προς το συνημίτονο αυτής της γωνίας και η συνεφαπτομένη είναι ο λόγος του συνημιτονοειδούς προς το ημίτονο.

Συμπερασματικά της παραγράφου αυτής, να σημειωθεί ότι οι ταυτότητες και λαμβάνουν χώρα για όλες τις γωνίες στις οποίες έχουν νόημα οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις που περιλαμβάνονται σε αυτές. Άρα ο τύπος ισχύει για οποιαδήποτε , εκτός από (αλλιώς ο παρονομαστής θα έχει μηδέν, και δεν ορίσαμε διαίρεση με το μηδέν), και ο τύπος - για όλα , διαφορετικά από , όπου z είναι οποιοδήποτε .

Σχέση εφαπτομένης και συνεφαπτομένης

Μια ακόμη πιο εμφανής τριγωνομετρική ταυτότητα από τις δύο προηγούμενες είναι η ταυτότητα που συνδέει την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη μιας γωνίας της μορφής . Είναι σαφές ότι ισχύει για οποιεσδήποτε άλλες γωνίες εκτός από το , διαφορετικά δεν ορίζονται είτε η εφαπτομένη είτε η συνεφαπτομένη.

Απόδειξη του τύπου πολύ απλό. Εξ ορισμού και από πού . Η απόδειξη θα μπορούσε να είχε γίνει λίγο διαφορετικά. Από , Αυτό .

Άρα, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη της ίδιας γωνίας στην οποία έχουν νόημα είναι .