ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Μια διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση που συνδέει την τιμή κάποιας άγνωστης συνάρτησης σε ένα ορισμένο σημείο και την τιμή των παραγώγων της διαφορετικών τάξεων στο ίδιο σημείο. Μια διαφορική εξίσωση περιέχει στον συμβολισμό της μια άγνωστη συνάρτηση, τις παραγώγους της και ανεξάρτητες μεταβλητές. Ωστόσο, δεν είναι κάθε εξίσωση που περιέχει παραγώγους μιας άγνωστης συνάρτησης διαφορική εξίσωση.
Η τάξη μιας διαφορικής εξίσωσης είναι η μεγαλύτερη τάξη των παραγώγων που περιλαμβάνονται σε αυτήν.
Η διαδικασία επίλυσης μιας διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται ολοκλήρωση.
Όλες οι διαφορικές εξισώσεις μπορούν να χωριστούν σε γραμμικές και μη γραμμικές.
Μια μη γραμμική διαφορική εξίσωση είναι μια διαφορική εξίσωση (κανονική ή μερική διαφορική) στην οποία τουλάχιστον μία από τις παραγώγους μιας άγνωστης συνάρτησης (συμπεριλαμβανομένης της παραγώγου μηδενικής τάξης - η ίδια η άγνωστη συνάρτηση) εισάγεται μη γραμμικά.
Μερικές φορές επί Ν.Δ.Ε. νοείται ως η πιο γενική εξίσωση ενός συγκεκριμένου τύπου. Για παράδειγμα, καλείται μια μη γραμμική συνηθισμένη διαφορική εξίσωση 1ης τάξης. εξίσωση με αυθαίρετη συνάρτηση σε αυτή την περίπτωση, μια γραμμική συνηθισμένη διαφορική εξίσωση 1ης τάξης αντιστοιχεί στην ειδική περίπτωση
N.d.u. με μερικές παραγώγους 1ης τάξης για μια άγνωστη συνάρτηση z ανεξάρτητων μεταβλητών έχει τη μορφή:
όπου το F είναι μια αυθαίρετη συνάρτηση των ορισμάτων του.
Τύποι μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης
Διαχωρισμένες Μεταβλητές Εξισώσεις
Γενικό ολοκλήρωμα
Γενικό ολοκλήρωμα
Εξίσωση σε ολικά διαφορικά
Υπάρχει μια συνάρτηση u(x, y) τέτοια που
Το γενικό ολοκλήρωμα της εξίσωσης στις συνολικές διαφορικές είναι u(x, y) = C.
Η συνάρτηση u μπορεί να αναπαρασταθεί ως
Ομογενής εξίσωση
όπου P(x, y), Q(x, y) είναι ομοιογενείς συναρτήσεις του ίδιου βαθμού
Η αντικατάσταση y = ux, dy = xdu + udx μετατρέπει την ομογενή εξίσωση σε γραμμική εξίσωση ως προς τη συνάρτηση u:
Εξίσωση της φόρμας
1. Εάν οι ευθείες τέμνονται στο σημείο (x0, y0), τότε η αντικατάσταση οδηγεί σε ομοιογενή εξίσωση
2. Εάν οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε η αντικατάσταση οδηγεί σε εξίσωση με χωριστές μεταβλητές
εξίσωση Bernoulli
Η αντικατάσταση μειώνεται σε γραμμική
Εξίσωση Riccati
Εάν κάποια από τις λύσεις είναι γνωστή, τότε η εξίσωση μειώνεται σε
γραμμική αντικατάσταση.
Η εξίσωση του Lagrange
Διαφοροποιώντας ως προς το x και θέτοντας το y" = p, καταλήγουμε σε μια γραμμική εξίσωση για το x ως συνάρτηση του p:
Η εξίσωση του Clairaut
Μια ειδική περίπτωση της εξίσωσης Lagrange.
ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ.
Εξισώσεις Riccati
Επίλυση διαφορικής εξίσωσης
y" = y + y2 + 1.
Αυτή η εξίσωση είναι η απλούστερη εξίσωση Riccati με σταθερούς συντελεστές. Οι μεταβλητές x, y διαχωρίζονται εύκολα εδώ, έτσι γενική λύσηη εξίσωση ορίζεται ως εξής:
διαφορική εξίσωση λύση Bernoulli
Λύστε την εξίσωση Riccati
Θα αναζητήσουμε μια συγκεκριμένη λύση με τη μορφή:
Αντικαθιστώντας αυτό στην εξίσωση, βρίσκουμε:
παίρνουμε τετραγωνική εξίσωσηγια γ:
Μπορούμε να επιλέξουμε οποιαδήποτε τιμή του c. Για παράδειγμα, έστω c = 2. Τώρα που η συγκεκριμένη λύση είναι γνωστή, ας κάνουμε την αντικατάσταση:
Ας το συνδέσουμε ξανά στην αρχική εξίσωση Riccati:
Όπως μπορείτε να δείτε, έχουμε λάβει την εξίσωση Bernoulli με την παράμετρο m = 2. Ας κάνουμε μια ακόμη αντικατάσταση:
Ας διαιρέσουμε την εξίσωση Bernoulli με z2 (υποθέτοντας ότι z ? 0) και να τη γράψουμε ως προς τη μεταβλητή v:
Η τελευταία εξίσωση είναι γραμμική και μπορεί εύκολα να λυθεί χρησιμοποιώντας έναν συντελεστή ολοκλήρωσης:
Η γενική λύση μιας γραμμικής εξίσωσης καθορίζεται από τη συνάρτηση
Τώρα θα επιστρέψουμε διαδοχικά στις προηγούμενες μεταβλητές. Εφόσον z = 1/v, η γενική λύση για το z γράφεται ως εξής:
Οθεν,
Μπορείτε να μετονομάσετε τη σταθερά: 3C = C1 και να γράψετε την απάντηση στη φόρμα
που είναι το C1; αυθαίρετος πραγματικός αριθμός.
Εξισώσεις Bernoulli
Αυτή η εξίσωση είναι η εξίσωση του Bernoulli με μια κλασματική παράμετρο m = 1/2. Μπορεί να αναχθεί σε μια γραμμική διαφορική εξίσωση χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση
Παραγωγό νέο χαρακτηριστικόΤο z(x) θα είναι ίσο
Ας διαιρέσουμε την αρχική εξίσωση Bernoulli με
Παρόμοια με άλλα παραδείγματα σε αυτήν την ιστοσελίδα, η ρίζα y = 0 είναι επίσης μια ασήμαντη λύση της διαφορικής εξίσωσης. Επομένως μπορούμε να γράψουμε:
Αντικαθιστώντας το y με το z, βρίσκουμε:
Άρα έχουμε μια γραμμική εξίσωση για τη συνάρτηση z(x). Ο συντελεστής ολοκλήρωσης εδώ θα είναι ίσος με
Ας επιλέξουμε τη συνάρτηση u(x) = x ως συντελεστή ολοκλήρωσης. Μπορείτε να ελέγξετε ότι μετά τον πολλαπλασιασμό με το u(x), η αριστερή πλευρά της εξίσωσης θα είναι η παράγωγος του γινομένου z(x)u(x):
Τότε η γενική λύση της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης θα καθοριστεί από την έκφραση:
Επιστρέφοντας στην αρχική συνάρτηση y(x), γράφουμε τη λύση σε άρρητη μορφή:
Η πλήρης απάντηση λοιπόν μοιάζει με:
Διαχωρίσιμες εξισώσεις
Βρείτε όλες τις λύσεις σε μια διαφορική εξίσωση
Ας μετατρέψουμε την εξίσωση ως εξής:
Προφανώς, η διαίρεση με το ey δεν οδηγεί σε απώλεια λύσης, αφού το ey > 0. Μετά την ολοκλήρωση, λαμβάνουμε
Αυτή η απάντηση μπορεί να εκφραστεί ρητά:
Η τελευταία παράσταση υποθέτει ότι η σταθερά C > 0 για να ικανοποιήσει το πεδίο ορισμού της λογαριθμικής συνάρτησης.
Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση στην εξίσωση, με
Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση ως εξής:
Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με το 1 + π.χ.
Από 1 + ex > 0, δεν χάσαμε καμία λύση κατά τη διαίρεση. Ας ενσωματώσουμε την εξίσωση που προκύπτει:
Τώρα ας βρούμε τη σταθερά C από την αρχική συνθήκη y(0) = 0.
Επομένως, η τελική απάντηση είναι:
Η εξίσωση του Clairaut
Υποθέτοντας y" = p, μπορεί να γραφτεί με τη μορφή
Διαφοροποιώντας ως προς τη μεταβλητή x, βρίσκουμε:
Αντικαταστήστε το dy με pdx:
Εξισώνοντας τον πρώτο παράγοντα με μηδέν, παίρνουμε:
Τώρα ας το συνδέσουμε στη δεύτερη εξίσωση:
Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια γενική λύση για τη δεδομένη εξίσωση Clairaut. Γραφικά, αυτή η λύση αναπαρίσταται ως μια οικογένεια γραμμών μιας παραμέτρου. Εξισώνοντας τον δεύτερο παράγοντα με το μηδέν, βρίσκουμε μια άλλη λύση:
Η εξίσωση αυτή αντιστοιχεί σε ειδική λύση της διαφορικής εξίσωσης και γράφεται σε παραμετρική μορφή ως
Εξαιρώντας το p από το σύστημα, λαμβάνουμε την ακόλουθη εξίσωση ολοκληρωτικής καμπύλης:
Από γεωμετρική άποψη, μια παραβολή
είναι το περίβλημα της οικογένειας των γραμμών που καθορίζεται από τη γενική λύση.
Να βρείτε γενικές και ειδικές λύσεις στη διαφορική εξίσωση
Ας εισάγουμε την παράμετρο y" = p:
Διαφοροποιώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης ως προς τη μεταβλητή x, λαμβάνουμε:
Αφού dy = pdx, μπορούμε να γράψουμε:
Θεωρούμε την περίπτωση dp = 0. Τότε p = C. Αντικαθιστώντας την στην εξίσωση, βρίσκουμε τη γενική λύση:
Γραφικά, αυτή η λύση αντιστοιχεί σε μια οικογένεια ευθειών γραμμών μιας παραμέτρου.
Η δεύτερη περίπτωση περιγράφεται από την εξίσωση
Ας βρούμε την αντίστοιχη παραμετρική έκφραση για το y:
Η παράμετρος p μπορεί να εξαιρεθεί από τους τύπους για x και y. Τετραγωνίζοντας τις τελευταίες εξισώσεις και προσθέτοντάς τις, παίρνουμε:
Η έκφραση που προκύπτει είναι η εξίσωση ενός κύκλου ακτίνας 1 που βρίσκεται στην αρχή. Έτσι, η μοναδική λύση αντιπροσωπεύεται από έναν κύκλο μονάδας στο επίπεδο xy, το οποίο είναι το περίβλημα μιας οικογένειας ευθειών γραμμών.
ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ
1. Ν.Σ. Piskunov "Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός", τόμος δεύτερος, εκδοτικός οίκος "Nauka", Μόσχα 1985
2. V. F. Zaitsev, A. D. Polyanin. Εγχειρίδιο Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων. Μ.: Fizmatlit, 2001.
3. Κ.Ν. Lungu, V.P. Norin et al "Συλλογή προβλημάτων στα ανώτερα μαθηματικά", δεύτερο έτος, Μόσχα: Iris-press, 2007
4. Ε. Καμκέ. Εγχειρίδιο Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων. Μ.: Nauka, 1976.
5. Πηγές πληροφοριών στο Διαδίκτυο.
Η απλούστερη εξίσωση 1 είναι μια εξίσωση της μορφής Όπως είναι γνωστό από την πορεία του ολοκληρωτικού λογισμού, η συνάρτηση y βρίσκεται με την ενσωμάτωση
Ορισμός.Μια εξίσωση της μορφής ονομάζεται διαφορική εξίσωση με διαχωρισμένες μεταβλητές.Μπορεί να γραφτεί με τη μορφή
Ενσωματώνουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης και παίρνουμε το λεγόμενο γενικό ολοκλήρωμα (ή γενική λύση).
Παράδειγμα.
Διάλυμα.Ας γράψουμε την εξίσωση στη μορφή 
Ας ενσωματώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης: 
(γενικό ολοκλήρωμα διαφορικής εξίσωσης).
Ορισμός.Μια εξίσωση της μορφής ονομάζεται εξίσωση με χωριστές μεταβλητές,αν οι συναρτήσεις μπορούν να αναπαρασταθούν ως γινόμενο συναρτήσεων
δηλαδή η εξίσωση έχει τη μορφή
Για να λύσουμε μια τέτοια διαφορική εξίσωση, πρέπει να τη μειώσουμε στη μορφή μιας διαφορικής εξίσωσης με διαχωρισμένες μεταβλητές, για την οποία διαιρούμε την εξίσωση στο γινόμενο 
Πράγματι, διαιρώντας όλους τους όρους της εξίσωσης με το γινόμενο 
,
–διαφορική εξίσωση με διαχωρισμένες μεταβλητές.
Για να το λύσουμε αρκεί να ενσωματώσουμε όρο προς όρο
Όταν λύνετε μια διαφορική εξίσωση με χωριστές μεταβλητές, μπορείτε να καθοδηγηθείτε από τα ακόλουθα αλγόριθμος (κανόνας) διαχωρισμού μεταβλητών.
Πρώτο βήμα.Αν μια διαφορική εξίσωση περιέχει παράγωγο 
, θα πρέπει να γραφτεί ως λόγος διαφορών: 
Δεύτερο βήμα.Πολλαπλασιάστε την εξίσωση επί 
, στη συνέχεια ομαδοποιούμε τους όρους που περιέχουν το διαφορικό της συνάρτησης και το διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής 
.
Τρίτο βήμα.Εκφράσεις που λαμβάνονται με 
, το αναπαριστάνουμε ως γινόμενο δύο παραγόντων, καθένας από τους οποίους περιέχει μόνο μία μεταβλητή ( 
). Εάν μετά από αυτό η εξίσωση γίνει ορατή, διαιρώντας την με το γινόμενο 
, λαμβάνουμε μια διαφορική εξίσωση με διαχωρισμένες μεταβλητές.
Τέταρτο βήμα.Ενσωματώνοντας την εξίσωση όρο προς όρο, λαμβάνουμε μια γενική λύση της αρχικής εξίσωσης (ή του γενικού ολοκλήρωσής της).
Εξετάστε τις εξισώσεις
№ 2.
№ 3.
Η διαφορική εξίσωση #1 είναι μια διαχωρίσιμη διαφορική εξίσωση, εξ ορισμού. Διαιρέστε την εξίσωση με το γινόμενο 
Παίρνουμε την εξίσωση
Ενσωματώνοντας, παίρνουμε 
ή 
Η τελευταία σχέση είναι το γενικό ολοκλήρωμα αυτής της διαφορικής εξίσωσης.
Στη διαφορική εξίσωση Νο 2 αντικαθιστούμε 
πολλαπλασιάστε με 
, παίρνουμε
γενική λύση διαφορικής εξίσωσης.
Η διαφορική εξίσωση αριθ.
ή 
,
βλέπουμε ότι η έκφραση 
με τη μορφή προϊόντος δύο παραγόντων (ένας -
μόνο Με y, το άλλο – μόνο με Χ) είναι αδύνατο να φανταστεί κανείς. Σημειώστε ότι μερικές φορές είναι απαραίτητο να εκτελέσουμε αλγεβρικούς μετασχηματισμούς για να δούμε ότι μια δεδομένη διαφορική εξίσωση είναι με διαχωρισμένες μεταβλητές.
Παράδειγμα αρ. 4. Με δεδομένη μια εξίσωση, μετατρέψτε την εξίσωση μετακινώντας τον κοινό παράγοντα προς τα αριστερά 
Διαιρέστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης με το γινόμενο 
παίρνουμε
Ας ενσωματώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης:
όπου 
είναι το γενικό ολοκλήρωμα αυτής της εξίσωσης.
(ΕΝΑ) 
Σημειώστε ότι αν η σταθερά ολοκλήρωσης είναι γραμμένη στη μορφή
ή 
, τότε το γενικό ολοκλήρωμα αυτής της εξίσωσης μπορεί να έχει διαφορετική μορφή:
– γενικό ολοκλήρωμα. (σι) Έτσι, το γενικό ολοκλήρωμα της ίδιας διαφορικής εξίσωσης μπορεί να έχειδιαφορετικό σχήμα Χ. Σε κάθε περίπτωση, είναι σημαντικό να αποδειχθεί ότι το γενικό ολοκλήρωμα που προκύπτει ικανοποιεί τη δεδομένη διαφορική εξίσωση. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να κάνετε διαφοροποίηση κατά y
και οι δύο πλευρές της ισότητας που ορίζουν το γενικό ολοκλήρωμα, λαμβάνοντας υπόψη ότι Χυπάρχει μια λειτουργία από Με. 
Μετά την αποβολή παίρνουμε πανομοιότυπες διαφορικές εξισώσεις (πρωτότυπες). Αν το γενικό ολοκλήρωμα, (προβολή (
ΕΝΑ 
)), Αυτό
Αν το γενικό ολοκλήρωμα
(τύπος (β)), στη συνέχεια
Λαμβάνουμε την ίδια εξίσωση όπως στην προηγούμενη περίπτωση (α).
Ας εξετάσουμε τώρα απλές και σημαντικές κατηγορίες εξισώσεων πρώτης τάξης που μπορούν να αναχθούν σε εξισώσεις με διαχωρίσιμες μεταβλητές.
Τότε ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε σε ένα πιο σύνθετο θέμα, δηλαδή τη λύση των διαφορικών εξισώσεων (ΔΕ, στην κοινή γλώσσα, diffurs). Δεν είναι όμως όλα τόσο τρομακτικά όσο φαίνονται με την πρώτη ματιά.
Διαφορική εξίσωση: τι είναι;
Μια διαφορική εξίσωση (DE) είναι μια εξίσωση που, μαζί με την ίδια τη συνάρτηση (και τα ορίσματά της), περιέχει επίσης την παράγωγό της ή πολλές παραγώγους.
Διαφορική εξίσωση: τι άλλο πρέπει να γνωρίζετε; Το πρώτο (και πιο σημαντικό) πράγμα που θα χρειαστείτε είναι η δυνατότητα να προσδιορίσετε σωστά τον τύπο της διαφορικής εξίσωσης. Δεύτερον, αλλά όχι λιγότερο σημαντικό, είναι η ικανότητα της καλής ενσωμάτωσης και διαφοροποίησης.Δεν είναι μυστικό ότι οι διαφορικές εξισώσεις μπορούν να είναι
| διαφορετικών τύπων | . Αλλά... πρώτα, ας σημειώσουμε ότι τα τηλεχειριστήρια έχουν διαφορετική σειρά. Η σειρά της διαφορικής εξίσωσης είναι η τάξη της υψηλότερης παραγώγου που περιλαμβάνεται στη διαφορική εξίσωση. Η ταξινόμηση των συστημάτων ελέγχου σύμφωνα με τη σειρά της εξίσωσης φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: | Σειρά εξίσωσης |
|---|---|---|
| Τύπος εξίσωσης |  |
|
| Παράδειγμα |  |
|
| … | … | … |
| εγώ |  |
Τις περισσότερες φορές έχουμε να αντιμετωπίσουμε συστήματα ελέγχου πρώτης και δεύτερης τάξης, λιγότερο συχνά της τρίτης. Στο 99% των περιπτώσεων, τα προβλήματα περιέχουν τρεις τύπους διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης: εξισώσεις με χωριστές μεταβλητές, ομοιογενείς εξισώσεις και γραμμικές ανομοιογενείς εξισώσεις. Μερικές φορές υπάρχουν και σπανιότεροι τύποι διαφορικών εξισώσεων: εξισώσεις σε ολικά διαφορικά, εξισώσεις Bernoulli, κ.λπ. Μεταξύ των διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης, υπάρχουν συχνά εξισώσεις που μπορούν να αναχθούν σε διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης, γραμμικές ομοιογενείς και ανομοιογενείς εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές .
Διαφορική εξίσωση: λύση - τι σημαίνει και πώς να τη βρείτε;
Όταν λύνουμε μια ΔΕ, μας ζητείται να βρούμε είτε μια γενική λύση (γενικό ολοκλήρωμα) είτε μια συγκεκριμένη λύση. Γενική λύση y = f(x, C)εξαρτάται από κάποια σταθερά ( ΜΕ— const), και η συγκεκριμένη λύση δεν εξαρτάται από: y = f(x, C 0).
Να ολοκληρωθεί δοκιμαστική εργασία №3
Οδηγίες
(θέματα 12-16)
Θέμα 12. Διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης.
Piskunov, κεφ. VIII, § 1-8, εξ. 1-68
Danko, μέρος II, κεφ. IV, §1
12.1 Ορισμός διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης.
1.Ορισμός. Ισότητα που σχετίζεται με την ανεξάρτητη μεταβλητή Χ, λειτουργία στοκαι οι παράγωγοι (ή διαφορικά) αυτής της συνάρτησης ονομάζονται διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης (DY 1)εκείνοι.
F(x,y,y")=0ή y"=f (x,y)
Λύστε μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης- σημαίνει εύρεση μιας άγνωστης συνάρτησης y.
2.Γενική λύσημιας διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης ονομάζεται συνάρτηση y=j(x,c), Πού ντο- μια σταθερά που, όταν αντικαθίσταται σε μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, τη μετατρέπει σε ταυτότητα. Σε αεροπλάνο XOYγενική λύση y=j(x,c)εκφράζει μια οικογένεια ολοκληρωμένων καμπυλών.
3. Κάθε απόφαση y= j (x,С 0)που λαμβάνεται από τη γενική λύση σε μια συγκεκριμένη τιμή C=C 0κάλεσε ιδιωτική λύσηδιαφορική εξίσωση πρώτης τάξης.
4. Το πρόβλημα της εύρεσης μιας συγκεκριμένης λύσης σε μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη
Ή, ή
|
5. -DE 1 με διαχωρίσιμες μεταβλητές.
6. - ODE 1 – ομογενής διαφορική εξίσωση 1ης τάξης ή , όπου , είναι ομοιογενείς συναρτήσεις μιας διάστασης. Χρησιμοποιείται αντικατάσταση
7. , όπου . DE 1, μειώθηκε σε ομοιογενές με υποκατάσταση
Πού είναι το σημείο τομής των γραμμών
Εάν , τότε χρησιμοποιείται αντικατάσταση
8. , όπου - ονομάζεται ολική διαφορική εξίσωση.
Πού είναι το συνολικό διαφορικό της συνάρτησης
Η επίλυση αυτής της εξίσωσης σημαίνει εύρεση της συνάρτησης Και.
9. - γραμμικό τηλεχειριστήριο 1 (LDU 1)
Αν , τότε η εξίσωση είναι ανομοιογενής,
Αν , τότε η εξίσωση είναι ομοιογενής.
Το LDU 1 είναι ενσωματωμένο:
1) Μέθοδος Bernoulli (χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση y = andv, Πού uΚαι v-άγνωστες ακόμα λειτουργίες)
2) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Lagrange, μεταβάλλοντας μια αυθαίρετη σταθερά.
10. , όπου m- αριθμός, m¹0, m¹1- Διαφορική εξίσωση Bernoulli, λυμένη είτε με αντικατάσταση y= υπεριώδες, ή τη μέθοδο Lagrange (βλέπε παράγραφο 9).
12.2. Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων.
Εργασία 1. Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση στο DE 1 που να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη.
Διάλυμα: Αυτή είναι μια εξίσωση με χωριστές μεταβλητές.
Επειδή , τότε η εξίσωση θα έχει τη μορφή:
Ή - αφού διαχωριστούν οι μεταβλητές.
Ενσωματώνοντας και τις δύο πλευρές της τελευταίας εξίσωσης, παίρνουμε:
Ή - γενική λύση
Χρησιμοποιώντας την αρχική συνθήκη , βρίσκουμε . Στη συνέχεια, ένα συγκεκριμένο διάλυμα εξάγεται από το γενικό διάλυμα:
Εργασία 2.
Διάλυμα:Αυτή η εξίσωση είναι ομοιογενής, αφού οι συντελεστές για dxΚαι dyείναι ομοιογενείς συναρτήσεις της ίδιας διάστασης (η δεύτερη) σε σχέση με τις μεταβλητές xΚαι y. Εφαρμογή αντικατάστασης y=xt, Πού t- κάποια συνάρτηση ορίσματος x. Αν y=xt, μετά το διαφορικό dy = d(xt) = tdx+ xdt, και αυτή η εξίσωση θα έχει τη μορφή:
2xxtdt+(x²t²-x²) (tdx+xdt)= 0
Μειώθηκε κατά x², θα έχουμε:
2tdx+(t²-1) (tdx+xdt)=0
2tdx+(t²-1) tdx+x (t²-1)dt=0
t(2+t2-1) dx+x (t²-1)dt=0
t(1+t²)dx= x(1-t²)dt;.
Έχουμε λάβει μια διαχωρισμένη μεταβλητή εξίσωση σε σχέση με xΚαι t. Με την ολοκλήρωση, βρίσκουμε τη γενική λύση αυτής της εξίσωσης:
Ενισχύοντας, βρίσκουμε , ή x(1+t²)=Ct. Από την εισαγόμενη αντικατάσταση προκύπτει ότι . Επομένως, ή x²+y²= Κυείναι η γενική λύση αυτής της εξίσωσης.
Εργασία 3. Να βρείτε τη γενική λύση της εξίσωσης y"-y tg x=2 xsec x.
Διάλυμα:Αυτή η εξίσωση είναι γραμμική, αφού περιέχει την επιθυμητή συνάρτηση y και την παράγωγό της y"σε πρώτο βαθμό και δεν περιέχει τα έργα τους.
Εφαρμογή αντικατάστασης y=uv, Πού uΚαι v–μερικές άγνωστες συναρτήσεις ορισμάτων x. Αν y=uv, Αυτό y"= (uv)"= u"v+uv"και αυτή η εξίσωση θα έχει τη μορφή: u"v+uv"-uvtg x= 2x sec x,
v(u"-utg x)+ uv"= 2xsec x. (1)
Δεδομένου ότι η απαιτούμενη λειτουργία yπαρουσιάζεται ως γινόμενο δύο άλλων άγνωστων συναρτήσεων, τότε μια από αυτές μπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα. Ας επιλέξουμε μια λειτουργία uώστε η έκφραση στην παρένθεση στην αριστερή πλευρά της ανισότητας (1) να μηδενιστεί, δηλαδή επιλέγουμε τη συνάρτηση uώστε να υπάρχει ισότητα
u"-utg x= 0 (2)
Με αυτή την επιλογή της συνάρτησης u, η εξίσωση (1) παίρνει τη μορφή
uv"= 2x sec x. (3)
Η εξίσωση (2) είναι μια χωριστή εξίσωση ως προς το u και το x. Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση:
ln u= -ln cos x, ή
(Για να πραγματοποιηθεί η ισότητα (2), αρκεί να βρεθεί μια συγκεκριμένη λύση που να ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση. Επομένως, για λόγους απλότητας, κατά την ολοκλήρωση αυτής της εξίσωσης, βρίσκουμε τη συγκεκριμένη λύση που αντιστοιχεί στην τιμή της αυθαίρετης σταθεράς C = 0 .) Αντικαθιστώντας σε (3) την έκφραση που βρέθηκε για εσύ,παίρνουμε:
secxv"= 2xsecx; v"= 2x; dv= 2xdx.Ενσωματώνοντας, παίρνουμε v=x²+C. Τότε y=secx(x²+C)είναι η γενική λύση αυτής της εξίσωσης.
12.3.Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο.
1. Ποια εξίσωση ονομάζεται διαφορική;
2. Πώς καθορίζεται η σειρά μιας εξίσωσης; Παραδείγματα.
3. Τι σημαίνει να αποφασίζεις;
4. Ποια συνάρτηση ονομάζεται λύση;
5. Ποια λύση λέγεται γενική, ειδική;
6. Πώς να βρείτε μια συγκεκριμένη λύση με βάση τις αρχικές συνθήκες; Καταγράψτε ένα σχέδιο πράξεων που εκτελούνται κατά την επίλυση ενός παραδείγματος y"- 2x= 0 στις αρχικές συνθήκες y(-2)= 4.
7. Διατύπωση γεωμετρική σημασίαγενικές και ειδικές λύσεις.
Διαφορική εξίσωσηείναι μια σχέση που μοιάζει F(x 1 ,x 2 ,x 3 ,..,y,y′,y′′,...y (n)) = 0, και το οποίο συσχετίζει τις ανεξάρτητες μεταβλητές x 1, x 2, x 3,...συνάρτηση y αυτών των ανεξάρτητων μεταβλητών και των παραγώγων της μέχρι εγώ-η σειρά. Επιπλέον, η λειτουργία φάορίζεται και διαφοροποιείται αρκετές φορές σε ένα ορισμένο εύρος αλλαγών στα ορίσματα του.
Συνήθεις διαφορικές εξισώσειςείναι διαφορικές εξισώσεις που περιέχουν μόνο μία ανεξάρτητη μεταβλητή.
Μερικές διαφορικές εξισώσεις- πρόκειται για διαφορικές εξισώσεις που περιέχουν 2 ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές.
Μια διαφορική εξίσωση 1ης τάξης στη γενική περίπτωση περιέχει:
1) ανεξάρτητη μεταβλητή Χ;
2) εξαρτημένη μεταβλητή y(λειτουργία);
3) η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης: y’ .
Σε κάποιες εξισώσεις πρώτης τάξης μπορεί να μην υπάρχει Χή/και y, αλλά αυτό δεν είναι ουσιαστικό - είναι σημαντικό οι διαφορικές εξισώσεις να έχουν την 1η παράγωγο y’ , και δεν υπήρχαν παράγωγα υψηλότερης τάξης - y’’ , y’’’ και ούτω καθεξής.
Διαφορική εξίσωση- μια εξίσωση που συνδέει την τιμή της παραγώγου μιας συνάρτησης με την ίδια τη συνάρτηση, τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής και τους αριθμούς (παραμέτρους). Η σειρά των παραγώγων που περιλαμβάνονται στην εξίσωση μπορεί να είναι διαφορετική (τυπικά δεν περιορίζεται). Οι παράγωγοι, οι συναρτήσεις, οι ανεξάρτητες μεταβλητές και οι παράμετροι μπορούν να συμπεριληφθούν στην εξίσωση σε διάφορους συνδυασμούς ή μπορεί να απουσιάζει εντελώς η 1η παράγωγος εκτός από την πρώτη. Δεν αποδεικνύεται ότι είναι διαφορική εξίσωση κάθε εξίσωση που περιέχει παραγώγους μιας άγνωστης συνάρτησης. Για παράδειγμα, δεν είναι διαφορική εξίσωση.
Μια διαφορική εξίσωση τάξης μεγαλύτερης της 1ης μπορεί να μετατραπεί σε ένα σύστημα εξισώσεων 1ης τάξης στο οποίο ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τη σειρά της αρχικής εξίσωσης.
Ταξινόμηση διαφορικών εξισώσεων.
Σειρά διαφορικής εξίσωσηςείναι η τάξη της υψηλότερης παραγώγου που περιλαμβάνεται σε αυτήν.
Βαθμός διαφορικής εξίσωσηςείναι ο εκθέτης στον οποίο αυξάνεται η παράγωγος υψηλότερης τάξης.
Για παράδειγμα, 1η τάξη 2ου βαθμού εξίσωση:
Για παράδειγμα, εξίσωση 4ης τάξης 1ου βαθμού:
Μερικές φορές οι διαφορικές εξισώσεις γράφονται ως (περιλαμβάνει διαφορικά):
(x 2
- 3
xy 2
)
dx + (xy 2
- 3
x 2
y)
dy = 0;
Σε αυτή την περίπτωση, οι μεταβλητές xΚαι yπρέπει να θεωρείται ίσο. Εάν είναι απαραίτητο, μια τέτοια εξίσωση μπορεί να αναχθεί σε μια μορφή που περιέχει ρητά την παράγωγο y". Διαιρέστε με dx:
Αφού και , σημαίνει ότι η εξίσωση παίρνει μια μορφή που περιέχει μια παράγωγο 1ης τάξης.
