Για να γράψετε έναν ορθολογικό αριθμό m/n ως δεκαδικό κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Στην περίπτωση αυτή, το πηλίκο γράφεται ως πεπερασμένο ή άπειρο δεκαδικό κλάσμα.
Γράψτε αυτόν τον αριθμό ως δεκαδικό κλάσμα.
Διάλυμα. Διαιρέστε τον αριθμητή κάθε κλάσματος σε μια στήλη με τον παρονομαστή του: ΕΝΑ)διαιρέστε το 6 με το 25. σι)διαιρέστε το 2 με το 3? V)διαιρέστε το 1 με το 2 και, στη συνέχεια, προσθέστε το κλάσμα που προκύπτει σε ένα - το ακέραιο μέρος αυτού του μικτού αριθμού.
Αμείωτος κοινά κλάσματα, των οποίων οι παρονομαστές δεν περιέχουν πρώτους παράγοντες εκτός από 2 Και 5 , γράφονται ως τελικό δεκαδικό κλάσμα.
ΣΕ παράδειγμα 1σε περίπτωση ΕΝΑ)παρονομαστής 25=5·5; σε περίπτωση V)ο παρονομαστής είναι 2, οπότε πήραμε τον τελικό δεκαδικά 0,24 και 1,5. Σε περίπτωση σι)ο παρονομαστής είναι 3, οπότε το αποτέλεσμα δεν μπορεί να γραφτεί ως πεπερασμένο δεκαδικό.
Είναι δυνατόν, χωρίς μακρά διαίρεση, να μετατραπεί σε δεκαδικό κλάσμα ένα τέτοιο συνηθισμένο κλάσμα, ο παρονομαστής του οποίου δεν περιέχει άλλους διαιρέτες εκτός από το 2 και το 5; Ας το καταλάβουμε! Ποιο κλάσμα λέγεται δεκαδικό και γράφεται χωρίς κλασματική γραμμή; Απάντηση: κλάσμα με παρονομαστή 10; 100; 1000, κλπ. Και καθένας από αυτούς τους αριθμούς είναι ένα γινόμενο ίσοςαριθμός δύο και πέντε. Στην πραγματικότητα: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 κ.λπ.
Κατά συνέπεια, ο παρονομαστής ενός μη αναγώγιμου συνηθισμένου κλάσματος θα πρέπει να αναπαρασταθεί ως το γινόμενο των «δύο» και «πέντε» και στη συνέχεια πολλαπλασιάζεται με το 2 και (ή) 5, έτσι ώστε τα «δύο» και τα «πέντε» να γίνουν ίσα. Τότε ο παρονομαστής του κλάσματος θα είναι ίσος με 10 ή 100 ή 1000 κ.λπ. Για να διασφαλίσουμε ότι η τιμή του κλάσματος δεν αλλάζει, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή του κλάσματος με τον ίδιο αριθμό με τον οποίο πολλαπλασιάσαμε τον παρονομαστή.
Εκφράστε τα ακόλουθα κοινά κλάσματα ως δεκαδικά ψηφία:
Διάλυμα. Κάθε ένα από αυτά τα κλάσματα είναι μη αναγώγιμο. Ας συνυπολογίσουμε τον παρονομαστή κάθε κλάσματος σε πρώτους παράγοντες.
20=2·2·5. Συμπέρασμα: λείπει ένα «Α».
8=2·2·2. Συμπέρασμα: λείπουν τρία «Α».
25=5·5. Συμπέρασμα: λείπουν δύο «δύο».
Σχόλιο.Στην πράξη, συχνά δεν χρησιμοποιούν παραγοντοποίηση του παρονομαστή, αλλά απλώς θέτουν το ερώτημα: με πόσο πρέπει να πολλαπλασιαστεί ο παρονομαστής ώστε το αποτέλεσμα να είναι ένα με μηδενικά (10 ή 100 ή 1000 κ.λπ.). Και τότε ο αριθμητής πολλαπλασιάζεται με τον ίδιο αριθμό.
Έτσι, σε περίπτωση ΕΝΑ)(παράδειγμα 2) από τον αριθμό 20 μπορείτε να πάρετε 100 πολλαπλασιάζοντας με το 5, επομένως, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί 5.
Σε περίπτωση σι)(παράδειγμα 2) από τον αριθμό 8 δεν θα ληφθεί ο αριθμός 100, αλλά ο αριθμός 1000 θα προκύψει πολλαπλασιάζοντας με το 125. Τόσο ο αριθμητής (3) όσο και ο παρονομαστής (8) του κλάσματος πολλαπλασιάζονται με το 125.
Σε περίπτωση V)(παράδειγμα 2) από το 25 παίρνετε 100 αν πολλαπλασιάσετε με το 4. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμητής 8 πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί 4.
Ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα στο οποίο ένα ή περισσότερα ψηφία επαναλαμβάνονται αμετάβλητα στην ίδια ακολουθία ονομάζεται περιοδικόςως δεκαδικό. Το σύνολο των επαναλαμβανόμενων ψηφίων ονομάζεται περίοδος αυτού του κλάσματος. Για συντομία, η περίοδος ενός κλάσματος γράφεται μία φορά, μέσα σε παρένθεση.
Σε περίπτωση σι)(παράδειγμα 1) υπάρχει μόνο ένα επαναλαμβανόμενο ψηφίο και είναι ίσο με 6. Επομένως, το αποτέλεσμά μας 0,66... θα γραφτεί ως εξής: 0,(6) . Διαβάζουν: σημείο μηδέν, έξι στην περίοδο.
Εάν υπάρχουν ένα ή περισσότερα μη επαναλαμβανόμενα ψηφία μεταξύ της υποδιαστολής και της πρώτης περιόδου, τότε ένα τέτοιο περιοδικό κλάσμα ονομάζεται μικτό περιοδικό κλάσμα.
Ένα μη αναγώγιμο κοινό κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής είναι μαζί με άλλουςο πολλαπλασιαστής περιέχει πολλαπλασιαστή 2 ή 5 , στρέφεται σε μικτός περιοδικό κλάσμα.
Γράψε τους αριθμούς ως δεκαδικό κλάσμα:
Οποιοσδήποτε ρητός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.
Γράψτε τους αριθμούς ως άπειρο περιοδικό κλάσμα.
Περιοδικό κλάσμα ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα στο οποίο, ξεκινώντας από ένα ορισμένο σημείο, υπάρχει μόνο μια περιοδικά επαναλαμβανόμενη συγκεκριμένη ομάδα ψηφίων. Για παράδειγμα, 1.3181818...; Εν ολίγοις, αυτό το κλάσμα γράφεται ως εξής: 1.3(18), δηλαδή τοποθετούν την περίοδο σε αγκύλες (και λένε: «18 στην περίοδο»). Το P. ονομάζεται καθαρό αν η περίοδος αρχίζει αμέσως μετά την υποδιαστολή, για παράδειγμα 2(71) = 2,7171..., και μικτή αν μετά την υποδιαστολή υπάρχουν αριθμοί που προηγούνται της περιόδου, για παράδειγμα 1,3(18). Ο ρόλος των δεκαδικών κλασμάτων στην αριθμητική οφείλεται στο γεγονός ότι όταν οι ορθολογικοί αριθμοί, δηλαδή τα συνηθισμένα (απλά) κλάσματα, αντιπροσωπεύονται με δεκαδικά κλάσματα, λαμβάνονται πάντα είτε πεπερασμένα είτε περιοδικά κλάσματα. Πιο συγκεκριμένα: ένα τελικό δεκαδικό κλάσμα προκύπτει όταν ο παρονομαστής ενός μη αναγώγιμου απλού κλάσματος δεν περιέχει άλλους πρώτους παράγοντες εκτός από το 2 και το 5. σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα P. και, επιπλέον, είναι καθαρό εάν ο παρονομαστής ενός δεδομένου μη αναγώγιμου κλάσματος δεν περιέχει καθόλου τους συντελεστές 2 και 5 και μικτό εάν περιέχεται τουλάχιστον ένας από αυτούς τους παράγοντες στον παρονομαστή. Οποιοδήποτε Π.Δ. μπορεί να μετατραπεί σε απλό κλάσμα(δηλαδή ισούται με κάποιο ρητό αριθμό). Ένα καθαρό κλάσμα ισούται με ένα απλό κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι η περίοδος και ο παρονομαστής παριστάνεται με τον αριθμό 9, γραμμένο τόσες φορές όσα ψηφία υπάρχουν στην περίοδο. Κατά τη μετατροπή ενός μικτού κλάσματος σε απλό κλάσμα, ο αριθμητής είναι η διαφορά μεταξύ του αριθμού που αντιπροσωπεύεται από τους αριθμούς που προηγούνται της δεύτερης περιόδου και του αριθμού που αντιπροσωπεύεται από τους αριθμούς που προηγούνται της πρώτης περιόδου. Για να συνθέσετε τον παρονομαστή, πρέπει να γράψετε τον αριθμό 9 όσες φορές υπάρχουν αριθμοί στην περίοδο και να προσθέσετε τόσα μηδενικά στα δεξιά όσα υπάρχουν αριθμοί πριν από την περίοδο. Αυτοί οι κανόνες προϋποθέτουν ότι το δεδομένο P. είναι σωστό, δηλαδή δεν περιέχει ολόκληρες μονάδες. διαφορετικά δίνεται ιδιαίτερη προσοχή σε όλο το μέρος. Οι κανόνες για τον προσδιορισμό της διάρκειας της περιόδου ενός κλάσματος που αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο συνηθισμένο κλάσμα είναι επίσης γνωστοί. Για παράδειγμα, για ένα κλάσμα α/σ, Πού r -πρώτος αριθμός και 1 ≤ ένα ≤ p- 1, το μήκος της περιόδου είναι διαιρέτης r - 1. Άρα, για γνωστές προσεγγίσεις σε έναν αριθμό (βλ. Pi)
Οι περίοδοι 22/7 και 355/113 είναι ίσες με 6 και 112 αντίστοιχα.
Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια. - Μ.: Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια. 1969-1978 .
Συνώνυμα:Δείτε τι είναι το "Περιοδικό κλάσμα" σε άλλα λεξικά:
Ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα στο οποίο, ξεκινώντας από ένα συγκεκριμένο μέρος, μια συγκεκριμένη ομάδα ψηφίων (περίοδος) επαναλαμβάνεται περιοδικά, για παράδειγμα. 0,373737... καθαρό περιοδικό κλάσμα ή 0,253737... μικτό περιοδικό κλάσμα... Μεγάλος Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό
Κλάσμα, άπειρο κλάσμαΛεξικό ρωσικών συνωνύμων. ουσιαστικό περιοδικού κλάσματος, αριθμός συνωνύμων: 2 άπειρο κλάσμα (2) ... Λεξικό συνωνύμων
Ένα δεκαδικό κλάσμα στο οποίο μια σειρά ψηφίων επαναλαμβάνεται με την ίδια σειρά. Για παράδειγμα, το 0,135135135... είναι ένα π.δ. του οποίου η περίοδος είναι 135 και ισούται με το απλό κλάσμα 135/999 = 5/37. Λεξικό ξένων λέξεων που περιλαμβάνονται στη ρωσική γλώσσα. Παβλένκοφ Φ... Λεξικό ξένων λέξεων της ρωσικής γλώσσας
Δεκαδικός είναι ένα κλάσμα με παρονομαστή 10n, όπου n είναι φυσικός αριθμός. Έχει ειδικό σχήμακαταχωρήσεις: ένα ακέραιο μέρος στο δεκαδικό σύστημα αριθμών, μετά ένα κόμμα και μετά ένα κλασματικό μέρος στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και ο αριθμός των ψηφίων του κλασματικού μέρους ... Wikipedia
Ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα στο οποίο, ξεκινώντας από ένα ορισμένο σημείο, μια συγκεκριμένη ομάδα ψηφίων (περίοδος) επαναλαμβάνεται περιοδικά. για παράδειγμα, 0,373737... καθαρό περιοδικό κλάσμα ή 0,253737... μικτό περιοδικό κλάσμα. * * * ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ…… Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό
Ένα ατελείωτο δεκαδικό κλάσμα στο οποίο, ξεκινώντας από ένα συγκεκριμένο σημείο, ο ορισμός επαναλαμβάνεται περιοδικά. ομάδα ψηφίων (περίοδος). για παράδειγμα, 0,373737... καθαρό P. d ή 0,253737... μικτή P. d. Φυσιογνωσία. Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό
Δείτε μέρος... Λεξικό ρωσικών συνωνύμων και παρόμοιων εκφράσεων. υπό. εκδ. N. Abramova, M.: Russian Dictionaries, 1999. fraction trifle, part; dunst, μπάλα, γεύμα, buckshot? κλασματικός αριθμόςΛεξικό ρωσικών συνωνύμων... Λεξικό συνωνύμων
περιοδικό δεκαδικό- - [Λ.Γ.Σουμένκο. Αγγλο-ρωσικό λεξικό για την τεχνολογία πληροφοριών. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] Θέματα Πληροφορικήγενικά EN κυκλοφορούν δεκαδικά επαναλαμβανόμενα δεκαδικά περιοδικά δεκαδικά περιοδικά δεκαδικά ... Οδηγός Τεχνικού Μεταφραστή
Εάν κάποιος ακέραιος αριθμός a διαιρεθεί με έναν άλλο ακέραιο b, δηλ. αναζητείται ένας αριθμός x που ικανοποιεί τη συνθήκη bx = a, τότε μπορούν να προκύψουν δύο περιπτώσεις: είτε στη σειρά των ακεραίων υπάρχει ένας αριθμός x που ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη, είτε αποδεικνύεται,…… Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό F.A. Brockhaus και I.A. Έφρον
Ένα κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής είναι ακέραιος αριθμός 10. Τα κλάσματα γράφονται χωρίς παρονομαστή, χωρίζοντας τόσα ψηφία στον αριθμητή στα δεξιά με κόμμα όσα μηδενικά υπάρχουν στον παρονομαστή. Για παράδειγμα, σε έναν τέτοιο δίσκο, το μέρος στα αριστερά... ... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια
Άπειρα δεκαδικά
Οι δεκαδικοί μετά την υποδιαστολή μπορούν να περιέχουν άπειρο αριθμό ψηφίων.
Άπειρα δεκαδικά- αυτά είναι δεκαδικά κλάσματα, τα οποία περιέχουν άπειρο αριθμό ψηφίων.
Ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα είναι σχεδόν αδύνατο να καταγραφεί πλήρως, επομένως όταν τα γράφετε, περιορίζονται μόνο σε έναν ορισμένο πεπερασμένο αριθμό ψηφίων μετά την υποδιαστολή, μετά την οποία βάζουν μια έλλειψη, η οποία δείχνει μια απεριόριστα συνεχόμενη ακολουθία ψηφίων.
Παράδειγμα 1
Για παράδειγμα, $0,443340831\dots ; 3.1415935432\dots ; 135.126730405\dots ; 4.33333333333\dots ; 676,68349349\dots$.
Ας δούμε τα δύο τελευταία άπειρα δεκαδικά. Στο κλάσμα $4.33333333333\dots$ το ψηφίο $3$ επαναλαμβάνεται ατελείωτα, και στο κλάσμα $676.68349349\dots$ η ομάδα ψηφίων $3$, $4$ και $9$ επαναλαμβάνεται από το τρίτο δεκαδικό ψηφίο. Τέτοια άπειρα δεκαδικά κλάσματα ονομάζονται περιοδικά.
Περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί
Περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί(ή περιοδικά κλάσματα) είναι άπειρα δεκαδικά κλάσματα, στην καταγραφή των οποίων κάποιος αριθμός ή ομάδα αριθμών, που ονομάζεται περίοδος του κλάσματος, επαναλαμβάνεται ατελείωτα από ένα συγκεκριμένο δεκαδικό ψηφίο).
Παράδειγμα 2
Για παράδειγμα, η περίοδος του περιοδικού κλάσματος $4.33333333333\dots$ είναι το ψηφίο $3$ και η περίοδος του κλάσματος $676.68349349\dots$ είναι η ομάδα ψηφίων $349$.
Για συντομία στη σύνταξη άπειρων περιοδικών δεκαδικών κλασμάτων, συνηθίζεται να γράφεται η περίοδος μία φορά, περικλείοντάς την σε παρένθεση. Για παράδειγμα, το περιοδικό κλάσμα $4.33333333333\dots$ γράφεται $4,(3)$ και το περιοδικό κλάσμα $676.68349349\dots$ γράφεται $676.68(349)$.
Τα άπειρα περιοδικά δεκαδικά κλάσματα λαμβάνονται μετατρέποντας κοινά κλάσματα των οποίων οι παρονομαστές περιέχουν πρώτους παράγοντες διαφορετικούς από $2$ και $5$ σε δεκαδικά κλάσματα.
Οποιοδήποτε πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα (και ακέραιος) μπορεί να γραφτεί ως περιοδικό κλάσμα προσθέτοντας έναν άπειρο αριθμό ψηφίων $0$ στα δεξιά.
Παράδειγμα 3
Για παράδειγμα, το πεπερασμένο δεκαδικό $45,12$ θα μπορούσε να γραφτεί ως περιοδικό κλάσμα ως $45,12(0)$ και ο ακέραιος $(74)$ ως άπειρο περιοδικό δεκαδικό θα μπορούσε να είναι $74(0)$.
Στην περίπτωση περιοδικών κλασμάτων που έχουν περίοδο 9, χρησιμοποιήστε μια μετάβαση σε μια άλλη σημειογραφία ενός περιοδικού κλάσματος με περίοδο $0$. Μόνο για αυτόν τον σκοπό, η περίοδος 9 αντικαθίσταται από την περίοδο $0$ και η τιμή του επόμενου υψηλότερου ψηφίου αυξάνεται κατά $1$.
Παράδειγμα 4
Για παράδειγμα, το περιοδικό κλάσμα $7,45(9)$ μπορεί να αντικατασταθεί από το περιοδικό κλάσμα $7,46(0)$ ή το ισοδύναμο δεκαδικό κλάσμα $7,46$.
Παριστάνονται άπειρα δεκαδικά περιοδικά κλάσματα ορθολογικούς αριθμούς. Με άλλα λόγια, οποιοδήποτε περιοδικό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε κοινό κλάσμα και οποιοδήποτε κοινό κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως περιοδικό κλάσμα.
Μετατροπή κλασμάτων σε πεπερασμένα και άπειρα περιοδικά δεκαδικά
Όχι μόνο τα συνηθισμένα κλάσματα με παρονομαστές $10, 100, \dots$ μπορούν να μετατραπούν σε δεκαδικό κλάσμα.
Σε ορισμένες περιπτώσεις, το αρχικό κοινό κλάσμα μπορεί εύκολα να μειωθεί σε παρονομαστή $10$, $100$ ή $1\000$, μετά το οποίο το κλάσμα που προκύπτει μπορεί να αναπαρασταθεί ως δεκαδικό κλάσμα.
Παράδειγμα 5
Για να μετατρέψετε το κλάσμα $\frac(3)(5)$ σε κλάσμα με παρονομαστή $10$, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος επί $2$, μετά από το οποίο παίρνουμε $\frac(6)( 10)$, το οποίο δεν είναι δύσκολο να μεταφραστεί στο δεκαδικό κλάσμα 0,6$.
Για άλλες περιπτώσεις, χρησιμοποιείται μια άλλη μέθοδος μετατροπής ενός κοινού κλάσματος σε δεκαδικό):
ο αριθμητής πρέπει να αντικατασταθεί με ένα δεκαδικό κλάσμα με οποιοδήποτε αριθμό μηδενικών μετά την υποδιαστολή·
διαιρέστε τον αριθμητή του κλάσματος με τον παρονομαστή (η διαίρεση πραγματοποιείται ως διαίρεση φυσικών αριθμών σε μια στήλη και στο πηλίκο τοποθετείται μια υποδιαστολή μετά το τέλος της διαίρεσης ολόκληρου του μέρους του μερίσματος).
Παράδειγμα 6
Μετατρέψτε το κλάσμα $\frac(621)(4)$ σε δεκαδικό.
Διάλυμα.
Ας αντιπροσωπεύσουμε τον αριθμό $621$ στον αριθμητή ως δεκαδικό κλάσμα. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε μια υποδιαστολή και, για αρχή, δύο μηδενικά μετά από αυτήν. Στη συνέχεια, αν χρειαστεί, μπορείτε να προσθέσετε περισσότερα μηδενικά. Λοιπόν, λάβαμε 621,00 $.
Ας διαιρέσουμε τον αριθμό $621,00$ με $4$ σε μια στήλη:
Εικόνα 1.
Η διαίρεση έφτασε στην υποδιαστολή στο μέρισμα και το υπόλοιπο δεν ήταν μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, τοποθετείται μια υποδιαστολή στο πηλίκο και η διαίρεση συνεχίζεται σε μια στήλη, ανεξάρτητα από τα κόμματα:
Εικόνα 2.
Το υπόλοιπο είναι μηδέν, που σημαίνει ότι η διαίρεση έχει τελειώσει.
Απάντηση: $155,25$.
Είναι πιθανό κατά τη διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή ενός συνηθισμένου κλάσματος, το υπόλοιπο να μην έχει ως αποτέλεσμα $0$. Στην περίπτωση αυτή, η διαίρεση μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον. Ξεκινώντας από μια συγκεκριμένη στιγμή, τα υπόλοιπα από τη διαίρεση επαναλαμβάνονται περιοδικά, πράγμα που σημαίνει ότι επαναλαμβάνονται και οι αριθμοί στο πηλίκο. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι αυτό το συνηθισμένο κλάσμα θα μετατραπεί σε ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.
Παράδειγμα 7
Μετατρέψτε το κλάσμα $\frac(19)(44)$ σε δεκαδικό.
Διάλυμα.)
Για να μετατρέψετε ένα κοινό κλάσμα σε δεκαδικό, εκτελέστε μακρά διαίρεση:
Εικόνα 3.
Στη διαίρεση, τα υπόλοιπα $8$ και $36$ επαναλαμβάνονται και στο πηλίκο επαναλαμβάνονται επίσης οι αριθμοί $1$ και $8$. Έτσι, το αρχικό συνηθισμένο κλάσμα $\frac(19)(44)$ μετατράπηκε σε περιοδικό κλάσμα $\frac(19)(44)=0,43181818\dots =0,43(18)$.
Απάντηση: $0,43(18)$.
Γενικό συμπέρασμα σχετικά με τη μετατροπή συνηθισμένων κλασμάτων σε δεκαδικά:
Εάν ο παρονομαστής μπορεί να αποσυντεθεί σε πρώτους παράγοντες, μεταξύ των οποίων θα υπάρχουν μόνο οι αριθμοί $2$ και $5$, τότε ένα τέτοιο κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε τελικό δεκαδικό κλάσμα.
εάν, εκτός από τους αριθμούς $2$ και $5$, η επέκταση του παρονομαστή περιέχει και άλλους πρώτους αριθμούς, τότε ένα τέτοιο κλάσμα μετατρέπεται σε άπειρο δεκαδικό περιοδικό κλάσμα.
Ότι αν γνωρίζουν τη θεωρία των σειρών, τότε χωρίς αυτήν δεν μπορούν να εισαχθούν μεταματικές έννοιες. Επιπλέον, αυτοί οι άνθρωποι πιστεύουν ότι όποιος δεν το χρησιμοποιεί ευρέως είναι αδαής. Ας αφήσουμε τις απόψεις αυτών των ανθρώπων στη συνείδησή τους. Ας καταλάβουμε καλύτερα τι είναι ένα άπειρο περιοδικό κλάσμα και πώς πρέπει να το αντιμετωπίζουμε εμείς οι αμόρφωτοι που δεν γνωρίζουμε όρια.
Ας διαιρέσουμε το 237 με το 5. Όχι, δεν χρειάζεται να εκκινήσετε την Αριθμομηχανή. Ας θυμηθούμε καλύτερα το γυμνάσιο (ή ακόμα και το δημοτικό;) και ας το χωρίσουμε σε μια στήλη:
Λοιπόν, θυμήθηκες; Μετά μπορείς να ασχοληθείς.
Η έννοια του «κλάσματος» στα μαθηματικά έχει δύο έννοιες:
- Μη ακέραιος αριθμός.
- Μη ακέραια μορφή.
- Απλό (ή κατακόρυφος) κλάσματα, όπως 1/2 ή 237/5.
- Δεκαδικά κλάσματα, όπως 0,5 ή 47,4.
Στα μαθηματικά, γενικά, η δεκαδική μέτρηση ήταν πάντα αποδεκτή και επομένως τα δεκαδικά κλάσματα είναι πιο βολικά από τα απλά, δηλαδή ένα κλάσμα με δεκαδικό παρονομαστή (Vladimir Dal. Λεξικόζωντανή μεγάλη ρωσική γλώσσα. "Δέκα").Και αν ναι, τότε θέλω να κάνω κάθε κάθετο κλάσμα δεκαδικό («οριζόντιο»). Και για να γίνει αυτό χρειάζεται απλώς να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Ας πάρουμε, για παράδειγμα, το κλάσμα 1/3 και ας προσπαθήσουμε να κάνουμε δεκαδικό από αυτό.
Ακόμη και ένας εντελώς αμόρφωτος άνθρωπος θα παρατηρήσει: όσο καιρό κι αν χρειαστεί, δεν θα χωρίσει: τα τρίδυμα θα συνεχίσουν να εμφανίζονται επ' άπειρον. Ας το γράψουμε λοιπόν: 0,33... Εννοούμε «τον αριθμό που προκύπτει όταν διαιρούμε το 1 με το 3» ή, εν συντομία, «το ένα τρίτο». Φυσικά, το ένα τρίτο είναι κλάσμα με την πρώτη έννοια της λέξης και το "1/3" και το "0,33..." είναι κλάσματα με τη δεύτερη έννοια της λέξης, δηλαδή έντυπα συμμετοχήςένας αριθμός που βρίσκεται στην αριθμητική γραμμή σε τέτοια απόσταση από το μηδέν που αν τον αφήσετε στην άκρη τρεις φορές, θα πάρετε ένα.
Τώρα ας προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 5 με το 6:
Ας το ξαναγράψουμε: 0,833... Εννοούμε «τον αριθμό που παίρνετε όταν διαιρέσετε το 5 με το 6» ή, εν συντομία, «πέντε έκτα». Ωστόσο, δημιουργείται σύγχυση εδώ: σημαίνει αυτό 0,83333 (και μετά επαναλαμβάνονται οι τριπλέτες) ή 0,833833 (και μετά επαναλαμβάνεται το 833). Επομένως, η σημειογραφία με έλλειψη δεν μας ταιριάζει: δεν είναι σαφές πού αρχίζει το επαναλαμβανόμενο μέρος (λέγεται "περίοδος"). Επομένως, θα βάλουμε την περίοδο σε αγκύλες, ως εξής: 0,(3); 0,8 (3).
0,(3) δεν είναι εύκολο ισοδυναμείτο ένα τρίτο, δηλαδή Υπάρχειτο ένα τρίτο, επειδή εφεύραμε ειδικά αυτόν τον συμβολισμό για να αναπαραστήσουμε αυτόν τον αριθμό ως δεκαδικό κλάσμα.
Αυτή η καταχώρηση ονομάζεται άπειρο περιοδικό κλάσμα, ή απλά ένα περιοδικό κλάσμα.
Κάθε φορά που διαιρούμε έναν αριθμό με έναν άλλο, αν δεν πάρουμε ένα πεπερασμένο κλάσμα, παίρνουμε ένα άπειρο περιοδικό κλάσμα, δηλαδή κάποια μέρα οι ακολουθίες των αριθμών θα αρχίσουν σίγουρα να επαναλαμβάνονται. Το γιατί συμβαίνει αυτό μπορεί να γίνει κατανοητό καθαρά κερδοσκοπικά εξετάζοντας προσεκτικά τον αλγόριθμο διαίρεσης στηλών:
Στα σημεία που επισημαίνονται με σημάδια επιλογής, δεν μπορείτε να λαμβάνετε αποτελέσματα συνεχώς διαφορετικά ζευγάριααριθμοί (επειδή υπάρχει, κατ' αρχήν, ένας πεπερασμένος αριθμός τέτοιων ζευγών). Και μόλις εμφανιστεί ένα τέτοιο ζευγάρι, που ήδη υπήρχε, η διαφορά θα είναι επίσης η ίδια - και τότε η όλη διαδικασία θα αρχίσει να επαναλαμβάνεται. Δεν χρειάζεται να το ελέγξετε αυτό, γιατί είναι προφανές ότι αν επαναλάβετε τις ίδιες ενέργειες, τα αποτελέσματα θα είναι τα ίδια.
Τώρα που καταλάβαμε καλά ουσίαπεριοδικό κλάσμα, ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε το ένα τρίτο με το τρία. Ναι, φυσικά, θα λάβετε ένα, αλλά ας γράψουμε αυτό το κλάσμα σε δεκαδική μορφή και ας το πολλαπλασιάσουμε σε μια στήλη (η ασάφεια δεν προκύπτει εδώ λόγω της έλλειψης, αφού όλοι οι αριθμοί μετά την υποδιαστολή είναι ίδιοι):
Και πάλι παρατηρούμε ότι τα εννιά, τα εννιά και τα εννιά θα εμφανίζονται συνέχεια μετά την υποδιαστολή. Δηλαδή, χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό αντίστροφης αγκύλης, παίρνουμε 0,(9). Εφόσον γνωρίζουμε ότι το γινόμενο ενός τρίτου και τριών είναι ένα, τότε το 0.(9) είναι ένας τόσο φανταχτερός τρόπος γραφής ενός. Ωστόσο, δεν είναι σωστό να χρησιμοποιείται αυτή η μορφή εγγραφής, επειδή μια ενότητα μπορεί να γραφτεί τέλεια χωρίς τη χρήση τελείας, όπως η εξής: 1.
Όπως μπορείτε να δείτε, το 0,(9) είναι μία από εκείνες τις περιπτώσεις όπου ο ακέραιος αριθμός γράφεται σε μορφή κλάσματος, όπως 3/3 ή 7,0. Δηλαδή, το 0,(9) είναι κλάσμα μόνο με τη δεύτερη έννοια της λέξης, αλλά όχι με την πρώτη.
Έτσι, χωρίς όρια ή σειρές, καταλάβαμε τι είναι το 0.(9) και πώς να το αντιμετωπίσουμε.
Αλλά ας θυμόμαστε ακόμα ότι στην πραγματικότητα είμαστε έξυπνοι και μελετημένοι στην ανάλυση. Πράγματι, είναι δύσκολο να αρνηθεί κανείς ότι:
Αλλά, ίσως, κανείς δεν θα διαφωνήσει με το γεγονός ότι:
Όλα αυτά είναι φυσικά αλήθεια. Πράγματι, το 0,(9) είναι και το άθροισμα της ανηγμένης σειράς και του διπλού ημίτονος της υποδεικνυόμενης γωνίας και ο φυσικός λογάριθμος του αριθμού Euler.
Αλλά ούτε το ένα, ούτε το άλλο, ούτε το τρίτο είναι ορισμός.
Το να πούμε ότι το 0,(9) είναι το άθροισμα της άπειρης σειράς 9/(10 n), με n ίσο με ένα, είναι το ίδιο με το να πούμε ότι το ημίτονο είναι το άθροισμα της άπειρης σειράς Taylor:
Αυτό απόλυτα σωστό, και αυτό είναι το πιο σημαντικό γεγονός για τα υπολογιστικά μαθηματικά, αλλά δεν είναι ορισμός και, το πιο σημαντικό, δεν φέρνει ένα άτομο πιο κοντά στην κατανόηση ουσιαστικάκόλπος Η ουσία του ημιτόνου μιας ορισμένης γωνίας είναι ότι απλά τα πάνταη αναλογία του ποδιού απέναντι από τη γωνία προς την υποτείνουσα.
Άρα, ένα περιοδικό κλάσμα είναι απλά τα πάνταένα δεκαδικό κλάσμα που προκύπτει όταν κατά τη διαίρεση με στήλητο ίδιο σύνολο αριθμών θα επαναληφθεί. Εδώ δεν υπάρχει ίχνος ανάλυσης.
Και εδώ είναι που τίθεται το ερώτημα: από πού προέρχεται; καθόλουπήραμε τον αριθμό 0,(9); Τι διαιρούμε με τι με μια στήλη για να το πάρουμε; Πράγματι, δεν υπάρχουν αριθμοί τέτοιοι ώστε όταν χωρίζονται σε μια στήλη, να εμφανίζονται ατελείωτα εννιά. Αλλά καταφέραμε να πάρουμε αυτόν τον αριθμό πολλαπλασιάζοντας το 0,(3) με το 3 με μια στήλη; Όχι πραγματικά. Εξάλλου, πρέπει να πολλαπλασιάσετε από τα δεξιά προς τα αριστερά για να λάβετε σωστά υπόψη τις μεταφορές των ψηφίων, και το κάναμε από αριστερά προς τα δεξιά, εκμεταλλευόμενοι πονηρά το γεγονός ότι οι μεταφορές δεν γίνονται πουθενά. Επομένως, η νομιμότητα της εγγραφής 0,(9) εξαρτάται από το αν αναγνωρίζουμε τη νομιμότητα ενός τέτοιου πολλαπλασιασμού με μια στήλη ή όχι.
Επομένως, μπορούμε γενικά να πούμε ότι ο συμβολισμός 0,(9) είναι λανθασμένος - και σε κάποιο βαθμό είναι σωστός. Ωστόσο, δεδομένου ότι ο συμβολισμός a ,(b ) είναι αποδεκτός, είναι απλώς άσχημο να τον εγκαταλείψουμε όταν b = 9. Είναι καλύτερα να αποφασίσετε τι σημαίνει μια τέτοια καταχώρηση. Έτσι, αν γενικά δεχθούμε τον συμβολισμό 0,(9), τότε αυτός ο συμβολισμός, φυσικά, σημαίνει τον αριθμό ένα.
Μένει μόνο να προσθέσουμε ότι αν χρησιμοποιούσαμε, ας πούμε, το τριαδικό σύστημα αριθμών, τότε όταν διαιρούμε με μια στήλη του ενός (1 3) με το τρία (10 3) θα παίρναμε 0,1 3 (διαβάστε "σημείο μηδέν το ένα τρίτο"), και όταν διαιρούμε ένα με δύο θα είναι 0,(1) 3.
Άρα η περιοδικότητα ενός κλάσματος-αριθμού δεν είναι κάποιο αντικειμενικό χαρακτηριστικό ενός κλάσματος-αριθμού, αλλά απλώς παρενέργειαχρησιμοποιώντας ένα ή άλλο σύστημα αριθμών.
§ 114. Μετατροπή συνηθισμένου κλάσματος σε δεκαδικό.Η μετατροπή ενός κοινού κλάσματος σε δεκαδικό σημαίνει την εύρεση ενός δεκαδικού κλάσματος που θα ήταν ίσο με το δεδομένο κοινό κλάσμα. Κατά τη μετατροπή συνηθισμένων κλασμάτων σε δεκαδικά, θα συναντήσουμε δύο περιπτώσεις:
1) όταν τα συνηθισμένα κλάσματα μπορούν να μετατραπούν σε δεκαδικά ακριβώς;
2) όταν τα συνηθισμένα κλάσματα μπορούν να μετατραπούν μόνο σε δεκαδικά περίπου. Ας εξετάσουμε αυτές τις περιπτώσεις διαδοχικά.
1. Πώς να μετατρέψετε ένα συνηθισμένο μη αναγώγιμο κλάσμα σε δεκαδικό ή, με άλλα λόγια, πώς να αντικαταστήσετε ένα συνηθισμένο κλάσμα με ένα δεκαδικό ίσο με αυτό;
Στην περίπτωση που τα συνηθισμένα κλάσματα μπορούν να είναι ακριβώςμετατρέπεται σε δεκαδικό, υπάρχει δύο τρόπουςτέτοια θεραπεία.
Ας θυμηθούμε πώς να αντικαταστήσουμε ένα κλάσμα με ένα άλλο που είναι ίσο με το πρώτο ή πώς να μετακινηθείτε από το ένα κλάσμα στο άλλο χωρίς να αλλάξετε την τιμή του πρώτου. Αυτό το κάναμε όταν μειώσαμε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή (§86). Όταν ανάγουμε κλάσματα σε κοινό παρονομαστή, προχωράμε ως εξής: βρίσκουμε κοινός παρονομαστήςγια δεδομένα κλάσματα, υπολογίζουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για κάθε κλάσμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή κάθε κλάσματος με αυτόν τον παράγοντα.
Έχοντας παρατηρήσει αυτό, ας πάρουμε το μη αναγώγιμο κλάσμα 3/20 και ας προσπαθήσουμε να το μετατρέψουμε σε δεκαδικό. Ο παρονομαστής αυτού του κλάσματος είναι 20, αλλά πρέπει να το φέρετε σε έναν άλλο παρονομαστή, ο οποίος θα παριστάνεται με ένα με μηδενικά. Θα αναζητήσουμε τον μικρότερο παρονομαστή του ενός ακολουθούμενο από μηδενικά.
Πρώτος τρόποςΗ μετατροπή ενός κλάσματος σε δεκαδικό βασίζεται στην αποσύνθεση του παρονομαστή σε πρώτους παράγοντες.
Πρέπει να μάθετε με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσετε το 20, έτσι ώστε το γινόμενο να εκφράζεται ως ένα ακολουθούμενο από μηδενικά. Για να το μάθετε, πρέπει πρώτα να θυμηθείτε σε ποιους πρώτους παράγοντες διασπώνται οι αριθμοί που αντιπροσωπεύονται από ένα και μηδενικά. Αυτές είναι οι αποσυνθέσεις:
10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.
Βλέπουμε ότι ο αριθμός που αντιπροσωπεύεται από ένα με μηδενικά διασπάται μόνο σε δύο και πέντε, και δεν υπάρχουν άλλοι παράγοντες στην επέκταση. Επιπλέον, δύο και πέντε περιλαμβάνονται στο expansion στον ίδιο αριθμό. Και, τέλος, ο αριθμός αυτών και άλλων παραγόντων χωριστά είναι ίσος με τον αριθμό των μηδενικών μετά το ένα στην εικόνα ενός δεδομένου αριθμού.
Ας δούμε τώρα πώς αποσυντίθεται το 20 σε πρώτους συντελεστές: 20 = 2 2 5. Από αυτό είναι σαφές ότι στην αποσύνθεση του αριθμού 20 υπάρχουν δύο δύο και ένα πέντε. Αυτό σημαίνει ότι αν προσθέσουμε ένα πέντε σε αυτούς τους παράγοντες, θα πάρουμε έναν αριθμό που αντιπροσωπεύεται από ένα με μηδενικά. Με άλλα λόγια, για να έχει ο παρονομαστής έναν αριθμό που αντιπροσωπεύεται από ένα με μηδενικά αντί για 20, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το 20 με το 5 και για να μην αλλάξει η τιμή του κλάσματος, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του επί 5. , δηλ.
Έτσι, για να μετατρέψετε ένα συνηθισμένο κλάσμα σε δεκαδικό, πρέπει να αποσυνθέσετε τον παρονομαστή αυτού του συνηθισμένου κλάσματος σε πρώτους παράγοντες και στη συνέχεια να εξισώσετε τον αριθμό των δύο και πέντε σε αυτό, εισάγοντας σε αυτό (και, φυσικά, στον αριθμητή ) οι συντελεστές που λείπουν στον απαιτούμενο αριθμό.
Ας εφαρμόσουμε αυτό το συμπέρασμα σε ορισμένα κλάσματα.
Μετατρέψτε το 3/50 σε δεκαδικό. Ο παρονομαστής αυτού του κλάσματος επεκτείνεται ως εξής:
Αυτό σημαίνει ότι του λείπει ένα δελτίο. Ας το προσθέσουμε:
Μετατρέψτε το 7/40 σε δεκαδικό.
Ο παρονομαστής αυτού του κλάσματος διασπάται ως εξής: 40 = 2 2 2 5, δηλαδή λείπουν δύο πεντάδες. Ας τα εισάγουμε στον αριθμητή και στον παρονομαστή ως παράγοντες:
Από όσα αναφέρθηκαν, δεν είναι δύσκολο να συμπεράνουμε ποια συνηθισμένα κλάσματα μετατρέπονται ακριβώς σε δεκαδικά. Είναι προφανές ότι ένα μη αναγώγιμο συνηθισμένο κλάσμα, ο παρονομαστής του οποίου δεν περιέχει άλλους πρώτους παράγοντες εκτός από το 2 και το 5, μετατρέπεται ακριβώς σε δεκαδικό. Ένα δεκαδικό κλάσμα, το οποίο προκύπτει αντιστρέφοντας κάποιο συνηθισμένο κλάσμα, θα έχει τόσα δεκαδικά ψηφία όσες φορές ο παρονομαστής του συνηθισμένου κλάσματος μετά την αναγωγή του περιλαμβάνει τον αριθμητικά κυρίαρχο παράγοντα 2 ή 5.
Αν πάρουμε το κλάσμα 9/40, τότε, πρώτον, θα μετατραπεί σε δεκαδικό, επειδή ο παρονομαστής του περιλαμβάνει τους συντελεστές 2 2 2 5, και δεύτερον, το δεκαδικό κλάσμα που προκύπτει θα έχει 3 δεκαδικά ψηφία, επειδή ο αριθμητικά κυρίαρχος παράγοντας 2 μπαίνει σε επέκταση τρεις φορές. Οντως:
Δεύτερος τρόπος(διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή).
Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να μετατρέψετε τα 3/4 σε δεκαδικό κλάσμα. Γνωρίζουμε ότι το 3/4 είναι το πηλίκο του 3 διαιρούμενο με το 4. Μπορούμε να βρούμε αυτό το πηλίκο διαιρώντας το 3 με το 4. Ας κάνουμε το εξής:
Έτσι, 3/4 = 0,75.
Ένα άλλο παράδειγμα: μετατρέψτε το 5/8 σε δεκαδικό κλάσμα.
Άρα 5 / 8 = 0,625.
Έτσι, για να μετατρέψετε ένα κλάσμα σε δεκαδικό, απλά πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή του κλάσματος με τον παρονομαστή του.
2. Ας εξετάσουμε τώρα τη δεύτερη από τις περιπτώσεις που αναφέρονται στην αρχή της παραγράφου, δηλαδή την περίπτωση που ένα συνηθισμένο κλάσμα δεν μπορεί να μετατραπεί σε ακριβή δεκαδικό.
Ένα συνηθισμένο μη αναγώγιμο κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής περιέχει οποιουσδήποτε πρώτους παράγοντες εκτός του 2 και του 5 δεν μπορεί να μετατραπεί ακριβώς σε δεκαδικό. Στην πραγματικότητα, για παράδειγμα, το κλάσμα 8/15 δεν μπορεί να μετατραπεί σε δεκαδικό, αφού ο παρονομαστής του 15 διασπάται σε δύο παράγοντες: 3 και 5.
Δεν μπορούμε να εξαλείψουμε το τριπλό από τον παρονομαστή και δεν μπορούμε να επιλέξουμε έναν ακέραιο έτσι ώστε, αφού πολλαπλασιάσουμε τον δεδομένο παρονομαστή με αυτόν, το γινόμενο να εκφραστεί ως ένα ακολουθούμενο από μηδενικά.
Σε τέτοιες περιπτώσεις, μπορούμε μόνο να μιλήσουμε προσέγγισησυνηθισμένα κλάσματα σε δεκαδικούς.
Πώς γίνεται αυτό; Αυτό γίνεται με τη διαίρεση του αριθμητή ενός κοινού κλάσματος με τον παρονομαστή, δηλαδή σε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιείται η δεύτερη μέθοδος μετατροπής ενός κοινού κλάσματος σε δεκαδικό. Αυτό σημαίνει ότι αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται τόσο για ακριβή όσο και κατά προσέγγιση χειρισμό.
Εάν ένα κλάσμα μετατραπεί ακριβώς σε δεκαδικό, τότε η διαίρεση παράγει ένα τελικό δεκαδικό κλάσμα.
Εάν ένα συνηθισμένο κλάσμα δεν μετατρέπεται σε ακριβές δεκαδικό, τότε η διαίρεση παράγει ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα.
Εφόσον δεν μπορούμε να πραγματοποιήσουμε μια ατέρμονη διαδικασία διαίρεσης, πρέπει να σταματήσουμε τη διαίρεση σε κάποιο δεκαδικό ψηφίο, δηλαδή να κάνουμε μια κατά προσέγγιση διαίρεση. Μπορούμε, για παράδειγμα, να σταματήσουμε τη διαίρεση στο πρώτο δεκαδικό ψηφίο, δηλαδή να περιοριστούμε στα δέκατα. αν χρειαστεί, μπορούμε να σταματήσουμε στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο, παίρνοντας εκατοστά κλπ. Σε αυτές τις περιπτώσεις, λέμε ότι στρογγυλοποιούμε ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα. Η στρογγυλοποίηση γίνεται με την ακρίβεια που απαιτείται για την επίλυση αυτού του προβλήματος.
§ 115. Η έννοια του περιοδικού κλάσματος.
Ένα διαρκές δεκαδικό κλάσμα στο οποίο ένα ή περισσότερα ψηφία επαναλαμβάνονται αμετάβλητα στην ίδια ακολουθία ονομάζεται περιοδικό δεκαδικό κλάσμα. Για παράδειγμα:
0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...
Καλείται ένα σύνολο επαναλαμβανόμενων αριθμών περίοδοςαυτό το κλάσμα. Η περίοδος του πρώτου από τα κλάσματα που γράφτηκαν παραπάνω είναι 3, η περίοδος του δεύτερου κλάσματος είναι 12, η περίοδος του τρίτου κλάσματος είναι 234. Αυτό σημαίνει ότι η περίοδος μπορεί να αποτελείται από πολλά ψηφία - ένα, δύο, τρία κ.λπ. Το πρώτο σύνολο επαναλαμβανόμενων ψηφίων ονομάζεται πρώτη περίοδος, το δεύτερο ολότητα - δεύτερη περίοδος κ.λπ., δηλ.
Τα περιοδικά κλάσματα μπορεί να είναι καθαρά ή μικτά. Ένα περιοδικό κλάσμα ονομάζεται καθαρό αν η περίοδος του αρχίζει αμέσως μετά την υποδιαστολή. Αυτό σημαίνει ότι τα περιοδικά κλάσματα που γράφτηκαν παραπάνω θα είναι καθαρά. Αντίθετα, ένα περιοδικό κλάσμα ονομάζεται μικτό εάν έχει ένα ή περισσότερα μη επαναλαμβανόμενα ψηφία μεταξύ της υποδιαστολής και της πρώτης περιόδου, για παράδειγμα:
2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160
Για να συντομεύσετε το γράμμα, μπορείτε να γράψετε τους αριθμούς περιόδου μία φορά σε αγκύλες και να μην βάζετε έλλειψη μετά τις αγκύλες, δηλαδή αντί για 0,33... μπορείτε να γράψετε 0,(3). αντί για 2,515151... μπορείτε να γράψετε 2,(51); αντί για 0,2333... μπορείς να γράψεις 0,2(3). αντί για 0,8333... μπορείς να γράψεις 0,8(3).
Τα περιοδικά κλάσματα διαβάζονται ως εξής:
0,(3) - 0 ακέραιοι, 3 στην περίοδο.
7,2(3) - 7 ακέραιοι, 2 πριν από την περίοδο, 3 στην περίοδο.
5.00(17) - 5 ακέραιοι, δύο μηδενικά πριν από την περίοδο, 17 στην περίοδο.
Πώς προκύπτουν τα περιοδικά κλάσματα; Έχουμε ήδη δει ότι κατά τη μετατροπή των κλασμάτων σε δεκαδικούς, μπορεί να υπάρχουν δύο περιπτώσεις.
Πρώτα, ο παρονομαστής ενός συνηθισμένου μη αναγώγιμου κλάσματος δεν περιέχει άλλους παράγοντες εκτός από το 2 και το 5. Στην περίπτωση αυτή, το συνηθισμένο κλάσμα γίνεται τελικό δεκαδικό.
Δεύτερο,ο παρονομαστής ενός συνηθισμένου μη αναγώγιμου κλάσματος περιέχει οποιουσδήποτε πρώτους παράγοντες εκτός του 2 και του 5. Στην περίπτωση αυτή, το συνηθισμένο κλάσμα δεν μετατρέπεται σε τελικό δεκαδικό. Στην τελευταία αυτή περίπτωση, η προσπάθεια μετατροπής ενός κλάσματος σε δεκαδικό διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή οδηγεί σε ένα άπειρο κλάσμα που θα είναι πάντα περιοδικό.
Για να το δούμε αυτό, ας δούμε ένα παράδειγμα. Ας προσπαθήσουμε να μετατρέψουμε το κλάσμα 18/7 σε δεκαδικό.
Φυσικά, γνωρίζουμε εκ των προτέρων ότι ένα κλάσμα με τέτοιο παρονομαστή δεν μπορεί να μετατραπεί σε τελικό δεκαδικό και μιλάμε μόνο για μια κατά προσέγγιση μετατροπή. Διαιρέστε τον αριθμητή 18 με τον παρονομαστή 7.
Πήραμε οκτώ δεκαδικά ψηφία στο πηλίκο. Δεν χρειάζεται να συνεχιστεί περαιτέρω η διαίρεση, γιατί έτσι κι αλλιώς δεν θα τελειώσει. Αλλά από αυτό είναι σαφές ότι η διαίρεση μπορεί να συνεχιστεί επ 'αόριστον και έτσι να ληφθούν νέοι αριθμοί στο πηλίκο. Αυτοί οι νέοι αριθμοί θα προκύψουν επειδή θα έχουμε πάντα υπολείμματα. αλλά κανένα υπόλοιπο δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από τον διαιρέτη, που για εμάς είναι 7.
Ας δούμε τι ισορροπίες είχαμε: 4; 5; 1; 3; 2; β, δηλαδή αυτοί ήταν αριθμοί μικρότεροι από το 7. Προφανώς, δεν μπορούν να είναι περισσότεροι από έξι από αυτούς και με περαιτέρω συνέχιση της διαίρεσης θα πρέπει να επαναληφθούν και μετά από αυτούς θα επαναληφθούν τα ψηφία του πηλίκου. Το παραπάνω παράδειγμα επιβεβαιώνει αυτή την ιδέα: τα δεκαδικά ψηφία στο πηλίκο είναι με αυτή τη σειρά: 571428, και μετά εμφανίστηκαν ξανά οι αριθμοί 57 Αυτό σημαίνει ότι η πρώτη περίοδος τελείωσε και η δεύτερη αρχίζει.
Ετσι, ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα που προκύπτει με την αντιστροφή ενός κοινού κλάσματος θα είναι πάντα περιοδικό.
Αν ένα περιοδικό κλάσμα συναντάται κατά την επίλυση ενός προβλήματος, τότε αυτό λαμβάνεται με την ακρίβεια που απαιτούν οι συνθήκες του προβλήματος (στο δέκατο, στο εκατοστό, στο χιλιοστό κ.λπ.).
§ 116. Κοινές ενέργειες με συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα.
Όταν αποφασίζει διάφορα καθήκονταΘα συναντήσουμε περιπτώσεις όπου το πρόβλημα αφορά τόσο συνηθισμένα όσο και δεκαδικά κλάσματα.
Σε αυτές τις περιπτώσεις, μπορείτε να πάτε με διαφορετικούς τρόπους.
1. Μετατρέψτε όλα τα κλάσματα σε δεκαδικά.Αυτό είναι βολικό επειδή οι υπολογισμοί με δεκαδικά κλάσματα είναι ευκολότεροι από ό,τι με τα συνηθισμένα κλάσματα. Για παράδειγμα,
Ας μετατρέψουμε τα κλάσματα 3/4 και 1 1/5 σε δεκαδικά:
2. Μετατρέψτε όλα τα κλάσματα σε συνηθισμένα κλάσματα.Αυτό γίνεται πιο συχνά σε περιπτώσεις όπου υπάρχουν συνηθισμένα κλάσματα που δεν μετατρέπονται σε τελικά δεκαδικά.
Για παράδειγμα, 
Ας μετατρέψουμε τα δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα κλάσματα:
3. Οι υπολογισμοί πραγματοποιούνται χωρίς μετατροπή ορισμένων κλασμάτων σε άλλα.
Αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο όταν το παράδειγμα περιλαμβάνει μόνο πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Για παράδειγμα,
Ας ξαναγράψουμε το παράδειγμα ως εξής:
4. Σε ορισμένες περιπτώσεις μετατρέψτε όλα τα κλάσματα σε δεκαδικά(ακόμα και αυτά που μετατρέπονται σε περιοδικές) και βρίσκουν κατά προσέγγιση αποτέλεσμα. Για παράδειγμα,
Ας μετατρέψουμε τα 2/3 σε δεκαδικό κλάσμα, περιοριζόμενοι στα χιλιοστά.
