Δίνονται οι σχέσεις μεταξύ των βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων - ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης τριγωνομετρικούς τύπους. Και δεδομένου ότι υπάρχουν πολλές συνδέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών συναρτήσεων, αυτό εξηγεί την αφθονία των τριγωνομετρικών τύπων. Ορισμένοι τύποι συνδέουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις της ίδιας γωνίας, άλλοι - συναρτήσεις πολλαπλής γωνίας, άλλοι - σας επιτρέπουν να μειώσετε τη μοίρα, τέταρτο - να εκφράσετε όλες τις συναρτήσεις μέσω της εφαπτομένης μισής γωνίας κ.λπ.
Σε αυτό το άρθρο θα παραθέσουμε με τη σειρά όλα τα κύρια τριγωνομετρικούς τύπους, που επαρκούν για την επίλυση της συντριπτικής πλειοψηφίας των τριγωνομετρικών προβλημάτων. Για ευκολία απομνημόνευσης και χρήσης, θα τα ομαδοποιήσουμε κατά σκοπό και θα τα καταχωρήσουμε σε πίνακες.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες
Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητεςορίστε τη σχέση μεταξύ ημιτόνου, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης μιας γωνίας. Προκύπτουν από τον ορισμό του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, καθώς και από την έννοια του μοναδιαίου κύκλου. Σας επιτρέπουν να εκφράσετε μια τριγωνομετρική συνάρτηση ως προς οποιαδήποτε άλλη.
Για μια λεπτομερή περιγραφή αυτών των τύπων τριγωνομετρίας, την παραγωγή τους και παραδείγματα εφαρμογής, δείτε το άρθρο.
Φόρμουλες μείωσης
Φόρμουλες μείωσηςακολουθούν από τις ιδιότητες του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, δηλαδή αντανακλούν την ιδιότητα της περιοδικότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, την ιδιότητα της συμμετρίας, καθώς και την ιδιότητα της μετατόπισης κατά μια δεδομένη γωνία. Αυτοί οι τριγωνομετρικοί τύποι σάς επιτρέπουν να μετακινηθείτε από την εργασία με αυθαίρετες γωνίες στην εργασία με γωνίες που κυμαίνονται από μηδέν έως 90 μοίρες.
Το σκεπτικό αυτών των τύπων, ένας μνημονικός κανόνας για την απομνημόνευσή τους και παραδείγματα εφαρμογής τους μπορούν να μελετηθούν στο άρθρο.
Τύποι προσθήκης
Τριγωνομετρικοί τύποι πρόσθεσηςΔείξτε πώς εκφράζονται οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις του αθροίσματος ή της διαφοράς δύο γωνιών ως προς τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις αυτών των γωνιών. Αυτοί οι τύποι χρησιμεύουν ως βάση για την εξαγωγή των ακόλουθων τριγωνομετρικών τύπων.
Φόρμουλες για διπλό, τριπλό κ.λπ. γωνία
Φόρμουλες για διπλό, τριπλό κ.λπ. γωνία (ονομάζονται και τύποι πολλαπλών γωνιών) δείχνουν πώς οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις του διπλού, του τριπλού κ.λπ. Οι γωνίες () εκφράζονται ως τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας μόνο γωνίας. Η παραγωγή τους βασίζεται σε τύπους πρόσθεσης.
Αναλυτικότερες πληροφορίες συλλέγονται στους τύπους του άρθρου για διπλό, τριπλό κ.λπ. γωνία
Τύποι μισής γωνίας
Τύποι μισής γωνίαςνα δείξετε πώς εκφράζονται οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας μισής γωνίας ως προς το συνημίτονο μιας ολόκληρης γωνίας. Αυτοί οι τριγωνομετρικοί τύποι προκύπτουν από τους τύπους διπλής γωνίας.
Το συμπέρασμά τους και παραδείγματα εφαρμογής βρίσκονται στο άρθρο.
Τύποι μείωσης πτυχίου
Τριγωνομετρικοί τύποι για μείωση μοιρώνέχουν σχεδιαστεί για να διευκολύνουν τη μετάβαση από τις φυσικές δυνάμεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε ημίτονο και συνημίτονο στον πρώτο βαθμό, αλλά σε πολλαπλές γωνίες. Με άλλα λόγια, σας επιτρέπουν να μειώσετε τις δυνάμεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στην πρώτη.
Τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά τριγωνομετρικών συναρτήσεων
Κύριος σκοπός τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά τριγωνομετρικών συναρτήσεωνείναι να πάμε στο γινόμενο των συναρτήσεων, το οποίο είναι πολύ χρήσιμο κατά την απλοποίηση τριγωνομετρικών παραστάσεων. Αυτοί οι τύποι χρησιμοποιούνται επίσης ευρέως στην επίλυση τριγωνομετρικές εξισώσεις, αφού σας επιτρέπουν να συνυπολογίσετε το άθροισμα και τη διαφορά των ημιτόνων και των συνημιτόνων.
Τύποι για το γινόμενο ημιτόνων, συνημιτόνων και ημιτονοειδών συνημιτόνων
Η μετάβαση από το γινόμενο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε ένα άθροισμα ή διαφορά πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τους τύπους για το γινόμενο ημιτόνων, συνημιτόνων και ημιτόνου προς συνημίτονο.
Πνευματικά δικαιώματα από έξυπνους μαθητές
Με την επιφύλαξη παντός δικαιώματος.
Προστατεύεται από το νόμο περί πνευματικών δικαιωμάτων. Κανένα μέρος του www.site, συμπεριλαμβανομένων εσωτερικά υλικάΚαι εξωτερικός σχεδιασμός, δεν επιτρέπεται να αναπαραχθεί σε οποιαδήποτε μορφή ή να χρησιμοποιηθεί χωρίς την προηγούμενη γραπτή άδεια του κατόχου των πνευματικών δικαιωμάτων.
Τριγωνομετρικές ταυτότητες- αυτές είναι ισότητες που καθορίζουν μια σχέση μεταξύ του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας, η οποία σας επιτρέπει να βρείτε οποιαδήποτε από αυτές τις συναρτήσεις, υπό την προϋπόθεση ότι οποιαδήποτε άλλη είναι γνωστή.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Αυτή η ταυτότητα λέει ότι το άθροισμα του τετραγώνου του ημιτόνου μιας γωνίας και του τετραγώνου του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι ίσο με ένα, γεγονός που στην πράξη καθιστά δυνατό τον υπολογισμό του ημιτόνου μιας γωνίας όταν είναι γνωστό το συνημίτονό του και αντίστροφα .
Κατά τη μετατροπή τριγωνομετρικών παραστάσεων, αυτή η ταυτότητα χρησιμοποιείται πολύ συχνά, η οποία σας επιτρέπει να αντικαταστήσετε το άθροισμα των τετραγώνων του συνημιτόνου και του ημιτόνου μιας γωνίας με ένα και επίσης να εκτελέσετε τη λειτουργία αντικατάστασης με την αντίστροφη σειρά.
Εύρεση εφαπτομένης και συνεφαπτομένης με χρήση ημιτόνου και συνημίτονος
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Αυτές οι ταυτότητες σχηματίζονται από τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Άλλωστε, αν το δεις, τότε εξ ορισμού η τεταγμένη y είναι ημίτονο και η τετμημένη x είναι συνημίτονο. Τότε η εφαπτομένη θα είναι ίση με τον λόγο \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)και η αναλογία \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- θα είναι συνεφαπτομένη.
Ας προσθέσουμε ότι μόνο για τέτοιες γωνίες \άλφα στις οποίες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις που περιλαμβάνονται σε αυτές έχουν νόημα, οι ταυτότητες θα ισχύουν, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Για παράδειγμα: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)ισχύει για γωνίες \άλφα που διαφέρουν από \frac(\pi)(2)+\pi z, Α ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- για γωνία \άλφα διαφορετική από \pi z, το z είναι ακέραιος.
Σχέση εφαπτομένης και συνεφαπτομένης
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Αυτή η ταυτότητα ισχύει μόνο για γωνίες \άλφα που διαφέρουν από \frac(\pi)(2) z. Διαφορετικά, δεν θα καθοριστεί είτε συνεφαπτομένη είτε εφαπτομένη.
Με βάση τα παραπάνω σημεία, παίρνουμε ότι tg \alpha = \frac(y)(x), Α ctg \alpha=\frac(x)(y). Από αυτό προκύπτει ότι tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Έτσι, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη της ίδιας γωνίας στην οποία έχουν νόημα είναι αμοιβαία αντίστροφοι αριθμοί.
Σχέσεις μεταξύ εφαπτομένης και συνημιτονοειδούς, συνεφαπτομένης και ημιτόνου
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- το άθροισμα του τετραγώνου της εφαπτομένης της γωνίας \άλφα και 1 είναι ίσο με το αντίστροφο τετράγωνο του συνημιτόνου αυτής της γωνίας. Αυτή η ταυτότητα ισχύει για όλα τα \alpha εκτός από \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- το άθροισμα του 1 και του τετραγώνου της συνεφαπτομένης της γωνίας \άλφα είναι ίσο με το αντίστροφο τετράγωνο του ημιτόνου της δεδομένης γωνίας. Αυτή η ταυτότητα ισχύει για οποιοδήποτε \alpha διαφορετικό από το \pi z.
Παραδείγματα με λύσεις προβλημάτων με χρήση τριγωνομετρικών ταυτοτήτων
Παράδειγμα 1
Βρείτε τα \sin \alpha και tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12Και \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Δείξε λύση
Διάλυμα
Οι συναρτήσεις \sin \alpha και \cos \alpha σχετίζονται με τον τύπο \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Αντικατάσταση σε αυτόν τον τύπο \cos \alpha = -\frac12, παίρνουμε:
\sin^(2)\alpha + \αριστερά (-\frac12 \δεξιά)^2 = 1
Αυτή η εξίσωση έχει 2 λύσεις:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Κατά συνθήκη \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Στο δεύτερο τρίμηνο το ημίτονο είναι θετικό, άρα \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Για να βρούμε το tan \alpha, χρησιμοποιούμε τον τύπο tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Παράδειγμα 2
Βρείτε \cos \alpha και ctg \alpha αν και \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Δείξε λύση
Διάλυμα
Αντικατάσταση στη φόρμουλα \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1δεδομένου αριθμού \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), παίρνουμε \αριστερά (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Αυτή η εξίσωση έχει δύο λύσεις \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Κατά συνθήκη \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Στο δεύτερο τρίμηνο το συνημίτονο είναι αρνητικό, άρα \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Για να βρούμε το ctg \alpha , χρησιμοποιούμε τον τύπο ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Γνωρίζουμε τις αντίστοιχες τιμές.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Τον πέμπτο αιώνα π.Χ αρχαίος Έλληνας φιλόσοφοςΟ Ζήνων από την Ελαία διατύπωσε τις περίφημες απορίας του, η πιο γνωστή από τις οποίες είναι η απορία «Αχιλλέας και η Χελώνα». Να πώς ακούγεται:Ας πούμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα και είναι χίλια βήματα πίσω της. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει αυτή την απόσταση, η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Όταν ο Αχιλλέας τρέχει εκατό βήματα, η χελώνα σέρνεται άλλα δέκα βήματα, και ούτω καθεξής. Η διαδικασία θα συνεχιστεί επ’ άπειρον, ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.
Αυτό το σκεπτικό έγινε ένα λογικό σοκ για όλες τις επόμενες γενιές. Αριστοτέλης, Διογένης, Καντ, Χέγκελ, Χίλμπερτ... Όλοι θεωρούσαν την απορία του Ζήνωνα με τον ένα ή τον άλλο τρόπο. Το σοκ ήταν τόσο δυνατό που " ...οι συζητήσεις συνεχίζονται μέχρι σήμερα η επιστημονική κοινότητα δεν έχει καταφέρει ακόμη να καταλήξει σε κοινή γνώμη για την ουσία των παραδόξων...συμμετείχαν στη μελέτη του θέματος. μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, νέες φυσικές και φιλοσοφικές προσεγγίσεις. κανένα από αυτά δεν έγινε μια γενικά αποδεκτή λύση στο πρόβλημα..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Όλοι καταλαβαίνουν ότι τους κοροϊδεύουν, αλλά κανείς δεν καταλαβαίνει σε τι συνίσταται η εξαπάτηση.
Από μαθηματική άποψη, ο Ζήνων στην απορία του έδειξε ξεκάθαρα τη μετάβαση από την ποσότητα στο . Αυτή η μετάβαση συνεπάγεται εφαρμογή αντί για μόνιμες. Από όσο καταλαβαίνω, η μαθηματική συσκευή για τη χρήση μεταβλητών μονάδων μέτρησης είτε δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί, είτε δεν έχει εφαρμοστεί στην απορία του Ζήνωνα. Η εφαρμογή της συνηθισμένης λογικής μας οδηγεί σε μια παγίδα. Εμείς, λόγω της αδράνειας της σκέψης, εφαρμόζουμε σταθερές μονάδες χρόνου στην αμοιβαία τιμή. Από φυσική άποψη, αυτό μοιάζει να επιβραδύνεται ο χρόνος μέχρι να σταματήσει τελείως τη στιγμή που ο Αχιλλέας προλαβαίνει τη χελώνα. Αν ο χρόνος σταματήσει, ο Αχιλλέας δεν μπορεί πλέον να ξεπεράσει τη χελώνα.
Αν γυρίσουμε τη συνηθισμένη μας λογική, όλα μπαίνουν στη θέση τους. Ο Αχιλλέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Κάθε επόμενο τμήμα της διαδρομής του είναι δέκα φορές μικρότερο από το προηγούμενο. Αντίστοιχα, ο χρόνος που δαπανάται για την αντιμετώπισή του είναι δέκα φορές μικρότερος από τον προηγούμενο. Εάν εφαρμόσουμε την έννοια του «άπειρου» σε αυτήν την κατάσταση, τότε θα ήταν σωστό να πούμε «Ο Αχιλλέας θα προλάβει τη χελώνα απείρως γρήγορα».
Πώς να αποφύγετε αυτή τη λογική παγίδα; Παραμείνετε σε σταθερές μονάδες χρόνου και μην μεταβείτε σε αντίστροφες μονάδες. Στη γλώσσα του Ζήνωνα μοιάζει με αυτό:
Στον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει χίλια βήματα, η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Στο επόμενο χρονικό διάστημα ίσο με το πρώτο, ο Αχιλλέας θα τρέξει άλλα χίλια βήματα και η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα. Τώρα ο Αχιλλέας είναι οκτακόσια βήματα μπροστά από τη χελώνα.
Αυτή η προσέγγιση περιγράφει επαρκώς την πραγματικότητα χωρίς λογικά παράδοξα. Αλλά αυτό δεν είναι μια πλήρης λύση στο πρόβλημα. Η δήλωση του Αϊνστάιν για το ακαταμάχητο της ταχύτητας του φωτός μοιάζει πολύ με την απορία του Ζήνωνα «Ο Αχιλλέας και η Χελώνα». Πρέπει ακόμα να μελετήσουμε, να ξανασκεφτούμε και να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Και η λύση πρέπει να αναζητηθεί όχι σε απείρως μεγάλους αριθμούς, αλλά σε μονάδες μέτρησης.
Μια άλλη ενδιαφέρουσα απορία του Ζήνωνα λέει για ένα ιπτάμενο βέλος:
Ένα ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο, αφού σε κάθε στιγμή του χρόνου είναι σε ηρεμία, και αφού είναι σε ηρεμία σε κάθε στιγμή του χρόνου, είναι πάντα σε ηρεμία.
Σε αυτήν την απορία, το λογικό παράδοξο ξεπερνιέται πολύ απλά - αρκεί να διευκρινίσουμε ότι σε κάθε στιγμή ένα ιπτάμενο βέλος βρίσκεται σε ηρεμία σε διαφορετικά σημεία του χώρου, που στην πραγματικότητα είναι κίνηση. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ένα άλλο σημείο. Από μια φωτογραφία ενός αυτοκινήτου στο δρόμο είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ούτε το γεγονός της κίνησής του ούτε η απόσταση από αυτό. Για να προσδιορίσετε αν ένα αυτοκίνητο κινείται, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες που τραβήχτηκαν από το ίδιο σημείο σε διαφορετικά χρονικά σημεία, αλλά δεν μπορείτε να προσδιορίσετε την απόσταση από αυτές. Για να προσδιορίσετε την απόσταση από ένα αυτοκίνητο, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες από διαφορετικά σημεία του χώρου σε μια χρονική στιγμή, αλλά από αυτές δεν μπορείτε να προσδιορίσετε το γεγονός της κίνησης (φυσικά, χρειάζεστε επιπλέον δεδομένα για υπολογισμούς, η τριγωνομετρία θα σας βοηθήσει ). Αυτό που θέλω να επισημάνω ιδιαίτερη προσοχή, είναι ότι δύο σημεία στο χρόνο και δύο σημεία στο χώρο είναι διαφορετικά πράγματα που δεν πρέπει να συγχέονται, γιατί παρέχουν διαφορετικές ευκαιρίες για έρευνα.
Τετάρτη 4 Ιουλίου 2018
Οι διαφορές μεταξύ συνόλου και πολλαπλών συνόλων περιγράφονται πολύ καλά στη Wikipedia. Ας δούμε.
Όπως μπορείτε να δείτε, "δεν μπορούν να υπάρχουν δύο πανομοιότυπα στοιχεία σε ένα σύνολο", αλλά εάν υπάρχουν πανομοιότυπα στοιχεία σε ένα σύνολο, ένα τέτοιο σύνολο ονομάζεται "πολυσύνολο". Τα λογικά όντα δεν θα καταλάβουν ποτέ μια τέτοια παράλογη λογική. Αυτό είναι το επίπεδο των παπαγάλων που μιλάνε και των εκπαιδευμένων πιθήκων, που δεν έχουν νοημοσύνη από τη λέξη «εντελώς». Οι μαθηματικοί λειτουργούν ως απλοί εκπαιδευτές, κηρύττοντας μας τις παράλογες ιδέες τους.
Μια φορά κι έναν καιρό, οι μηχανικοί που κατασκεύασαν τη γέφυρα βρίσκονταν σε μια βάρκα κάτω από τη γέφυρα ενώ δοκίμαζαν τη γέφυρα. Αν η γέφυρα κατέρρεε, ο μέτριος μηχανικός πέθαινε κάτω από τα ερείπια του δημιουργήματός του. Αν η γέφυρα μπορούσε να αντέξει το φορτίο, ο ταλαντούχος μηχανικός κατασκεύασε άλλες γέφυρες.
Ανεξάρτητα από το πόσο κρύβονται οι μαθηματικοί πίσω από τη φράση «να με νου, είμαι στο σπίτι», ή μάλλον, «τα μαθηματικά μελετούν αφηρημένες έννοιες», υπάρχει ένας ομφάλιος λώρος που τις συνδέει άρρηκτα με την πραγματικότητα. Αυτός ο ομφάλιος λώρος είναι χρήματα. Ας εφαρμόσουμε τη μαθηματική θεωρία συνόλων στους ίδιους τους μαθηματικούς.
Σπουδάσαμε πολύ καλά μαθηματικά και τώρα καθόμαστε στο ταμείο και βγάζουμε μισθούς. Έρχεται λοιπόν σε εμάς ένας μαθηματικός για τα λεφτά του. Του μετράμε όλο το ποσό και το απλώνουμε στο τραπέζι μας σε διαφορετικούς σωρούς, στους οποίους βάζουμε λογαριασμούς της ίδιας ονομαστικής αξίας. Στη συνέχεια, παίρνουμε έναν λογαριασμό από κάθε σωρό και δίνουμε στον μαθηματικό το «μαθηματικό σύνολο του μισθού» του. Ας εξηγήσουμε στον μαθηματικό ότι θα λάβει τους υπόλοιπους λογαριασμούς μόνο όταν αποδείξει ότι ένα σύνολο χωρίς πανομοιότυπα στοιχεία δεν είναι ίσο με ένα σύνολο με πανομοιότυπα στοιχεία. Εδώ αρχίζει η διασκέδαση.
Πρώτα απ 'όλα, θα λειτουργήσει η λογική των βουλευτών: "Αυτό μπορεί να εφαρμοστεί σε άλλους, αλλά όχι σε μένα!" Τότε θα αρχίσουν να μας καθησυχάζουν ότι τα χαρτονομίσματα της ίδιας ονομαστικής αξίας έχουν διαφορετικούς αριθμούς λογαριασμού, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορούν να θεωρηθούν τα ίδια στοιχεία. Εντάξει, ας μετρήσουμε τους μισθούς σε νομίσματα - δεν υπάρχουν αριθμοί στα νομίσματα. Εδώ ο μαθηματικός θα αρχίσει να θυμάται μανιωδώς τη φυσική: σε διαφορετικά νομίσματα υπάρχει διαφορετικές ποσότητεςβρωμιά, κρυσταλλική δομή και ατομική διάταξη κάθε νομίσματος είναι μοναδική...
Και τώρα έχω τα περισσότερα ενδιαφέρουσα ερώτηση: πού βρίσκεται η γραμμή πέρα από την οποία τα στοιχεία ενός πολυσυνόλου μετατρέπονται σε στοιχεία ενός συνόλου και αντίστροφα; Δεν υπάρχει τέτοια γραμμή - όλα αποφασίζονται από σαμάνους, η επιστήμη δεν είναι καν κοντά στο να ψεύδεται εδώ.
Δες εδώ. Επιλέγουμε γήπεδα ποδοσφαίρουμε την ίδια περιοχή χωραφιού. Οι περιοχές των πεδίων είναι οι ίδιες - που σημαίνει ότι έχουμε ένα πολυσύνολο. Αλλά αν δούμε τα ονόματα των ίδιων γηπέδων, παίρνουμε πολλά, γιατί τα ονόματα είναι διαφορετικά. Όπως μπορείτε να δείτε, το ίδιο σύνολο στοιχείων είναι και σύνολο και πολυσύνολο. Ποιο είναι το σωστό; Και εδώ ο μαθηματικός-σαμάνος-αιχμηρός βγάζει έναν άσσο ατού από το μανίκι του και αρχίζει να μας λέει είτε για σετ είτε για πολυσύνολο. Σε κάθε περίπτωση, θα μας πείσει ότι έχει δίκιο.
Για να κατανοήσουμε πώς λειτουργούν οι σύγχρονοι σαμάνοι με τη θεωρία συνόλων, συνδέοντάς την με την πραγματικότητα, αρκεί να απαντήσουμε σε μια ερώτηση: πώς διαφέρουν τα στοιχεία ενός συνόλου από τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου; Θα σας δείξω, χωρίς κανένα «νοητό ως μη ενιαίο σύνολο» ή «μη νοητό ως ενιαίο σύνολο».
Κυριακή 18 Μαρτίου 2018
Το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού είναι ένας χορός σαμάνων με ντέφι, που δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά. Ναι, στα μαθήματα των μαθηματικών διδασκόμαστε να βρίσκουμε το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού και να το χρησιμοποιούμε, αλλά γι' αυτό είναι σαμάνοι, για να μάθουν στους απογόνους τους τις δεξιότητες και τη σοφία τους, διαφορετικά οι σαμάνοι απλά θα πεθάνουν.
Χρειάζεστε αποδείξεις; Ανοίξτε τη Wikipedia και προσπαθήστε να βρείτε τη σελίδα "Άθροισμα ψηφίων ενός αριθμού". Αυτή δεν υπάρχει. Δεν υπάρχει τύπος στα μαθηματικά που να μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί το άθροισμα των ψηφίων οποιουδήποτε αριθμού. Εξάλλου, οι αριθμοί είναι γραφικά σύμβολα με τα οποία γράφουμε αριθμούς και στη γλώσσα των μαθηματικών η εργασία ακούγεται ως εξής: «Βρείτε το άθροισμα των γραφικών συμβόλων που αντιπροσωπεύουν οποιονδήποτε αριθμό». Οι μαθηματικοί δεν μπορούν να λύσουν αυτό το πρόβλημα, αλλά οι σαμάνοι μπορούν να το κάνουν εύκολα.
Ας μάθουμε τι και πώς κάνουμε για να βρούμε το άθροισμα των ψηφίων ενός δεδομένου αριθμού. Και λοιπόν, ας έχουμε τον αριθμό 12345. Τι πρέπει να κάνουμε για να βρούμε το άθροισμα των ψηφίων αυτού του αριθμού; Ας εξετάσουμε όλα τα βήματα με τη σειρά.
1. Σημειώστε τον αριθμό σε ένα κομμάτι χαρτί. Τι έχουμε κάνει; Μετατρέψαμε τον αριθμό σε σύμβολο γραφικού αριθμού. Δεν πρόκειται για μαθηματική πράξη.
2. Κόψτε μια εικόνα που προκύπτει σε πολλές εικόνες που περιέχουν μεμονωμένους αριθμούς. Η κοπή μιας εικόνας δεν είναι μαθηματική πράξη.
3. Μετατρέψτε μεμονωμένα γραφικά σύμβολα σε αριθμούς. Δεν πρόκειται για μαθηματική πράξη.
4. Προσθέστε τους αριθμούς που προκύπτουν. Τώρα αυτό είναι μαθηματικά.
Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού 12345 είναι 15. Αυτά είναι τα «μαθήματα κοπής και ραπτικής» που διδάσκονται από σαμάνους που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό.
Από μαθηματική άποψη, δεν έχει σημασία σε ποιο σύστημα αριθμών γράφουμε έναν αριθμό. Έτσι, μέσα διαφορετικά συστήματαΣτον λογισμό, το άθροισμα των ψηφίων του ίδιου αριθμού θα είναι διαφορετικό. Στα μαθηματικά, το σύστημα αριθμών υποδεικνύεται ως δείκτης στα δεξιά του αριθμού. ΜΕ ένας μεγάλος αριθμός 12345 Δεν θέλω να κοροϊδεύω το κεφάλι μου, ας δούμε τον αριθμό 26 από το άρθρο για το . Ας γράψουμε αυτόν τον αριθμό σε δυαδικά, οκταδικά, δεκαδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών. Δεν θα εξετάσουμε κάθε βήμα κάτω από ένα μικροσκόπιο, το έχουμε ήδη κάνει. Ας δούμε το αποτέλεσμα.
Όπως μπορείτε να δείτε, σε διαφορετικά συστήματα αριθμών το άθροισμα των ψηφίων του ίδιου αριθμού είναι διαφορετικό. Αυτό το αποτέλεσμα δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά. Είναι το ίδιο σαν να προσδιορίζατε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου σε μέτρα και εκατοστά, θα είχατε εντελώς διαφορετικά αποτελέσματα.
Το μηδέν φαίνεται το ίδιο σε όλα τα συστήματα αριθμών και δεν έχει άθροισμα ψηφίων. Αυτό είναι ένα άλλο επιχείρημα υπέρ του γεγονότος ότι. Ερώτηση για μαθηματικούς: πώς ορίζεται κάτι που δεν είναι αριθμός στα μαθηματικά; Τι, για τους μαθηματικούς δεν υπάρχει τίποτα εκτός από αριθμούς; Μπορώ να το επιτρέψω αυτό για σαμάνους, αλλά όχι για επιστήμονες. Η πραγματικότητα δεν αφορά μόνο τους αριθμούς.
Το αποτέλεσμα που προκύπτει θα πρέπει να θεωρείται ως απόδειξη ότι τα αριθμητικά συστήματα είναι μονάδες μέτρησης για αριθμούς. Εξάλλου, δεν μπορούμε να συγκρίνουμε αριθμούς με διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Αν οι ίδιες ενέργειες με διαφορετικές μονάδες μέτρησης της ίδιας ποσότητας οδηγούν σε διαφορετικά αποτελέσματααφού τα συγκρίνεις, σημαίνει ότι δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά.
Τι είναι τα πραγματικά μαθηματικά; Αυτό συμβαίνει όταν το αποτέλεσμα μιας μαθηματικής πράξης δεν εξαρτάται από το μέγεθος του αριθμού, τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιείται και από το ποιος εκτελεί αυτήν την ενέργεια.
Ωχ! Αυτή δεν είναι η γυναικεία τουαλέτα;
- Νεαρή γυναίκα! Αυτό είναι ένα εργαστήριο για τη μελέτη της άφιλης αγιότητας των ψυχών κατά την ανάληψή τους στον ουρανό! Φωτοστέφανο στην κορυφή και βέλος επάνω. Ποια άλλη τουαλέτα;
Θηλυκό... Το φωτοστέφανο από πάνω και το βέλος κάτω είναι αρσενικό.
Αν κάτι τέτοιο αναβοσβήνει μπροστά στα μάτια σας πολλές φορές την ημέρα σχεδιαστική τέχνη,
Τότε δεν είναι περίεργο που βρίσκετε ξαφνικά ένα περίεργο εικονίδιο στο αυτοκίνητό σας:
Προσωπικά, προσπαθώ να δω μείον τέσσερις μοίρες σε ένα άτομο που σκάει (μία εικόνα) (μια σύνθεση πολλών εικόνων: σύμβολο μείον, αριθμός τέσσερα, χαρακτηρισμός βαθμού). Και δεν νομίζω ότι αυτό το κορίτσι είναι ανόητο που δεν ξέρει φυσική. Απλώς έχει ένα ισχυρό στερεότυπο για την αντίληψη γραφικών εικόνων. Και αυτό μας διδάσκουν συνέχεια οι μαθηματικοί. Εδώ είναι ένα παράδειγμα.
Το 1Α δεν είναι «μείον τέσσερις μοίρες» ή «ένα α». Αυτό είναι το "pooping man" ή ο αριθμός "είκοσι έξι" σε δεκαεξαδικό συμβολισμό. Όσοι εργάζονται συνεχώς σε αυτό το σύστημα αριθμών αντιλαμβάνονται αυτόματα έναν αριθμό και ένα γράμμα ως ένα γραφικό σύμβολο.
Το άρθρο περιγράφει λεπτομερώς τις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες Αυτές οι ισότητες καθορίζουν τη σχέση μεταξύ sin, cos, t g, c t g μιας δεδομένης γωνίας. Εάν μια συνάρτηση είναι γνωστή, μια άλλη μπορεί να βρεθεί μέσω αυτής.
Τριγωνομετρικές ταυτότητες που πρέπει να ληφθούν υπόψη σε αυτό το άρθρο. Παρακάτω δείχνουμε ένα παράδειγμα παραγωγής τους με επεξήγηση.
sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 αμαρτία 2 α
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ας μιλήσουμε για μια σημαντική τριγωνομετρική ταυτότητα, που θεωρείται η βάση της τριγωνομετρίας.
sin 2 α + cos 2 α = 1
Οι δεδομένες ισότητες t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α προκύπτουν από την κύρια διαιρώντας και τα δύο μέρη με το sin 2 α και το cos 2 α. Μετά από αυτό λαμβάνουμε t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α και t g α · c t g α = 1 - αυτό είναι συνέπεια των ορισμών του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης.
Η ισότητα sin 2 α + cos 2 α = 1 είναι η κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα. Για να το αποδείξετε, πρέπει να στραφείτε στο θέμα του κύκλου μονάδας.
Έστω οι συντεταγμένες του σημείου Α (1, 0), το οποίο μετά από περιστροφή κατά γωνία α γίνεται σημείο Α 1. Εξ ορισμού του sin και του cos, το σημείο A 1 θα λάβει συντεταγμένες (cos α, sin α). Εφόσον το A 1 βρίσκεται εντός του κύκλου μονάδας, αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες πρέπει να ικανοποιούν την συνθήκη x 2 + y 2 = 1 αυτού του κύκλου. Η έκφραση cos 2 α + sin 2 α = 1 πρέπει να ισχύει. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να αποδειχθεί το βασικό τριγωνομετρική ταυτότηταγια όλες τις γωνίες περιστροφής α.
Στην τριγωνομετρία, η έκφραση sin 2 α + cos 2 α = 1 χρησιμοποιείται ως πυθαγόρειο θεώρημα στην τριγωνομετρία. Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε μια λεπτομερή απόδειξη.
Χρησιμοποιώντας έναν κύκλο μονάδας, περιστρέφουμε το σημείο Α με συντεταγμένες (1, 0) γύρω από το κεντρικό σημείο Ο κατά γωνία α. Μετά την περιστροφή, το σημείο αλλάζει συντεταγμένες και γίνεται ίσο με A 1 (x, y). Κατεβάζουμε την κάθετη ευθεία A 1 H στο O x από το σημείο A 1.
Το σχήμα δείχνει ξεκάθαρα ότι έχει σχηματιστεί ένα ορθογώνιο τρίγωνο O A 1 N Το μέτρο των σκελών O A 1 N και O N είναι ίσα, η καταχώρηση θα έχει την ακόλουθη μορφή: | A 1 H | = | y | , | O N | = | x | . Η υποτείνουσα O A 1 έχει τιμή ίση με την ακτίνα του μοναδιαίου κύκλου, | O A 1 | = 1. Χρησιμοποιώντας αυτήν την έκφραση, μπορούμε να γράψουμε την ισότητα χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα: | A 1 N | 2 + | O N | 2 = | O A 1 | 2. Ας γράψουμε αυτήν την ισότητα ως | y | 2 + | x | 2 = 1 2, που σημαίνει y 2 + x 2 = 1.
Χρησιμοποιώντας τον ορισμό των sin α = y και cos α = x, αντικαθιστούμε τα δεδομένα της γωνίας αντί για τις συντεταγμένες των σημείων και προχωράμε στην ανισότητα sin 2 α + cos 2 α = 1.
Η βασική σύνδεση μεταξύ αμαρτίας και συν μιας γωνίας είναι δυνατή μέσω αυτής της τριγωνομετρικής ταυτότητας. Έτσι, μπορούμε να υπολογίσουμε την αμαρτία μιας γωνίας με γνωστό συν και αντίστροφα. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να επιλύσουμε το sin 2 α + cos 2 = 1 σε σχέση με το sin και cos, τότε λαμβάνουμε εκφράσεις της μορφής sin α = ± 1 - cos 2 α και cos α = ± 1 - sin 2 α , αντίστοιχα. Το μέγεθος της γωνίας α καθορίζει το πρόσημο μπροστά από τη ρίζα της έκφρασης. Για λεπτομερή εξήγηση, πρέπει να διαβάσετε την ενότητα για τον υπολογισμό του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς τύπους.
Τις περισσότερες φορές, ο βασικός τύπος χρησιμοποιείται για τον μετασχηματισμό ή την απλοποίηση τριγωνομετρικών παραστάσεων. Είναι δυνατό να αντικατασταθεί το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου με 1. Η αντικατάσταση μιας ταυτότητας μπορεί να είναι είτε με άμεση είτε με αντίστροφη σειρά: η μονάδα αντικαθίσταται από την έκφραση του αθροίσματος των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου.
Εφαπτομένη και συνεφαπτομένη μέσω ημιτόνου και συνημίτονος
Από τον ορισμό του συνημιτονοειδούς και του ημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, είναι σαφές ότι διασυνδέονται μεταξύ τους, γεγονός που σας επιτρέπει να μετατρέψετε ξεχωριστά τις απαραίτητες ποσότητες.
t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α
Από τον ορισμό, το ημίτονο είναι η τεταγμένη του y και το συνημίτονο είναι η τετμημένη του x. Εφαπτομένη είναι η σχέση μεταξύ τεταγμένης και τετμημένης. Έτσι έχουμε:
t g α = y x = sin α cos α , και η συνεφαπτομένη έκφραση έχει την αντίθετη σημασία, δηλαδή
c t g α = x y = cos α sin α .
Συνεπάγεται ότι οι προκύπτουσες ταυτότητες t g α = sin α cos α και c t g α = cos α sin α προσδιορίζονται χρησιμοποιώντας γωνίες sin και cos. Ως εφαπτομένη θεωρείται ο λόγος του ημιτόνου προς το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας και η συνεφαπτομένη είναι το αντίθετο.
Σημειώστε ότι τα t g α = sin α cos α και c t g α = cos α sin α ισχύουν για οποιαδήποτε τιμή της γωνίας α, οι τιμές της οποίας περιλαμβάνονται στο εύρος. Από τον τύπο t g α = sin α cos α η τιμή της γωνίας α είναι διαφορετική από το π 2 + π · z, και c t g α = cos α sin α παίρνει την τιμή της γωνίας α διαφορετική από π · z, το z παίρνει το τιμή οποιουδήποτε ακέραιου αριθμού.
Σχέση εφαπτομένης και συνεφαπτομένης
Υπάρχει ένας τύπος που δείχνει τη σχέση μεταξύ των γωνιών μέσω της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Αυτή η τριγωνομετρική ταυτότητα είναι σημαντική στην τριγωνομετρία και συμβολίζεται ως t g α · c t g α = 1. Είναι λογικό για α με οποιαδήποτε τιμή εκτός από π 2 · z, διαφορετικά οι συναρτήσεις δεν θα οριστούν.
Ο τύπος t g α · c t g α = 1 έχει τις δικές του ιδιαιτερότητες στην απόδειξη. Από τον ορισμό έχουμε ότι t g α = y x και c t g α = x y, επομένως παίρνουμε t g α · c t g α = y x · x y = 1. Μετασχηματίζοντας την έκφραση και αντικαθιστώντας t g α = sin α cos α και c t g α = cos α sin α, λαμβάνουμε t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1.
Τότε η έκφραση της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης έχει την έννοια του πότε τελικά λαμβάνουμε αμοιβαία αντίστροφους αριθμούς.
Εφαπτομένη και συνημίτονο, συνεφαπτομένη και ημίτονο
Έχοντας μετασχηματίσει τις κύριες ταυτότητες, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η εφαπτομένη σχετίζεται μέσω του συνημιτονοειδούς και η συνεφαπτομένη μέσω του ημιτόνου. Αυτό φαίνεται από τους τύπους t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α.
Ο ορισμός είναι ο εξής: το άθροισμα του τετραγώνου της εφαπτομένης μιας γωνίας και του 1 ισοδυναμεί με ένα κλάσμα, όπου στον αριθμητή έχουμε 1, και στον παρονομαστή το τετράγωνο του συνημιτόνου μιας δεδομένης γωνίας και το άθροισμα του τετραγώνου της συνεφαπτομένης της γωνίας είναι το αντίθετο. Χάρη στην τριγωνομετρική ταυτότητα sin 2 α + cos 2 α = 1, μπορούμε να διαιρέσουμε τις αντίστοιχες πλευρές με το cos 2 α και να πάρουμε t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, όπου η τιμή του cos 2 α δεν πρέπει να είναι ίση με μηδέν. Κατά τη διαίρεση με το sin 2 α, λαμβάνουμε την ταυτότητα 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α, όπου η τιμή του sin 2 α δεν πρέπει να είναι ίση με μηδέν.
Από τις παραπάνω εκφράσεις βρήκαμε ότι η ταυτότητα t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α ισχύει για όλες τις τιμές της γωνίας α που δεν ανήκουν στο π 2 + π · z και 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α για τιμές του α που δεν ανήκουν στο διάστημα π · z.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
