समारोह- यह एक ऐसी चीज़ है जो दो (या अधिक) वेरिएबल्स को एक दूसरे से जोड़ती है। दूसरे शब्दों में, यदि हम दूसरे वेरिएबल का मान जानते हैं तो फ़ंक्शन एक वेरिएबल को खोजने में मदद करता है। उदाहरण के लिए, यदि हमारी जेब में 100 रूबल हैं, और एक चॉकलेट बार की कीमत 50 रूबल है, तो हम 2 चॉकलेट बार खरीद सकते हैं। अगर हमारी जेब में 200 रूबल हैं तो हम 4 चॉकलेट खरीद सकते हैं। इस मामले में, पहला चर वह राशि है जो हमारी जेब में है, और दूसरा चर वह चॉकलेट की संख्या है जिसे हम खरीद सकते हैं। एक चॉकलेट बार की कीमत 50 रूबल है, यह इस पर निर्भर नहीं करता कि हमारे पास कितना पैसा है, इसलिए यह मूल्य स्थिर है।
आप इस मामले के लिए एक फ़ंक्शन बना सकते हैं: य = 50एक्स, कहाँ पर- आपकी जेब में पैसा, एक्स- चॉकलेट की संख्या.
स्वाभाविक रूप से, कार्य अधिक जटिल हो सकते हैं। लेकिन गणित में OGE समस्याओं को हल करने के लिए, यह जानना पर्याप्त है कि बुनियादी कार्यों के ग्राफ़ कैसे दिखते हैं।
1. फॉर्म y = kx + b (सीधी रेखा) का कार्य
इस समारोह में केऔर बीये संख्याएं हैं. फ़ंक्शन को लिखा जा सकता है विभिन्न रूपों में: य = एक्स,य = 2एक्स, य = 3एक्स – 4, य = -9एक्स +44, य= आदि मुख्य विशेषता x की उपस्थिति है ( एक्स) पहली घात तक (अर्थात, सभी मामले जब हम विभाजित नहीं करते हैं एक्स).
संख्या केइस मामले में, यह निर्धारित करता है कि रेखा किस दिशा में झुकी हुई है। अगर के > 0
, तो फ़ंक्शन दाईं ओर बढ़ता है। अगर के < 0
, फिर फ़ंक्शन बाईं ओर बढ़ता है।
संख्या बी य. अगर बी >0
, फिर ग्राफ़ मूल बिंदु के ऊपर y-अक्ष को काटता है, अगर बी < 0
- नीचे।
2. रूप का फलन y = ax 2 + bx +c (परवलय)
इस समारोह में ए, बी, सी– संख्याएँ. फ़ंक्शन को विभिन्न रूपों में लिखा जा सकता है: वाई = एक्स 2, य = 3एक्स 2 + 8, य = 2एक्स 2 -4एक्स + 10,y = -x 2 – 9एक्स +1,य =- 7, आदि. मुख्य विशेषता x वर्ग की उपस्थिति है ( एक्स 2).
संख्या ए
परवलय की शाखाएँ किस दिशा में (ऊपर या नीचे) निर्देशित हैं, इसके लिए जिम्मेदार है (मैं इसे एक खुश स्माइली और एक दुखद स्माइली भी कहता हूँ)। अगर ए > 0
, फिर एक हर्षित स्माइली, अगर ए < 0
- दुखद.
संख्या बीपरवलय का प्रारंभिक बिंदु (विभक्ति बिंदु) अक्ष के सापेक्ष किस दिशा (दाएं या बाएं) में स्थानांतरित होता है, इसके लिए जिम्मेदार है य. अगर बी > 0 , फिर ग्राफ़ बाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है, अगर बी < 0 - दांई ओर।
संख्या सी
- यह अक्ष के साथ ग्राफ का प्रतिच्छेदन बिंदु है य. अगर सी >0
, तो ग्राफ़ अक्ष को प्रतिच्छेद करता है यमूल से ऊपर, अगर सी < 0
- नीचे।
3. फॉर्म y = k/x + b (हाइपरबोला) का कार्य
यह फ़ंक्शन दिखने में स्ट्रेट लाइन फ़ंक्शन के समान है, अपवाद के साथ एक्सहर में है. यह बिलकुल वही है विशिष्ट विशेषता. संख्या के क्वार्टरों में समारोह की व्यवस्था करने के लिए जिम्मेदार है, अगर के > 0 , तो हाइपरबोला की शाखाएँ पहली और तीसरी तिमाही में स्थित होती हैं, अगर के < 0 , तो शाखाएँ दूसरी और चौथी तिमाही में स्थित होती हैं।
संख्या ए
संपूर्ण फ़ंक्शन को नीचे स्थानांतरित करने के लिए ज़िम्मेदार है ( ए < 0
) या ऊपर ( ए > 0
).
4. प्रपत्र y = a का फलन (प्रत्यक्ष)
इस मामले में फ़ंक्शन जैसा दिखता है सीधा, अक्ष के समानांतर एक्स . उदाहरण के लिए पर= 2, यह एक सीधी रेखा है जो अक्ष के समानांतर चलती है एक्सऔर अक्ष को प्रतिच्छेद करता है परबिंदु 2 पर.
5. प्रपत्र y = √x का फलन
कार्यों में यह प्रकार बहुत कम पाया जाता है, लेकिन इसे याद रखना बेहतर है। यह व्यावहारिक रूप से एक परवलय है, लेकिन 90 0 तक दक्षिणावर्त घुमाया जाता है, और इसके निचले आधे हिस्से का भी अभाव है। यदि यह स्पष्ट नहीं है, तो बस चित्र देखें:
किसी दिए गए बिंदु $x_0$ पर किसी फ़ंक्शन $y = f(x)$ का व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन की वृद्धि और उसके तर्क की संबंधित वृद्धि के अनुपात की सीमा है, बशर्ते कि उत्तरार्द्ध शून्य हो जाता है:
$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$
विभेदन व्युत्पन्न खोजने की क्रिया है।
कुछ प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्नों की तालिका
| समारोह | यौगिक |
| $सी$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^(n-1)$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $√x$ | $(1)/(2√x)$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
विभेदीकरण के बुनियादी नियम
1. योग (अंतर) का व्युत्पन्न, व्युत्पन्नों के योग (अंतर) के बराबर है
$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$
फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$
किसी योग (अंतर) का व्युत्पन्न, व्युत्पन्नों के योग (अंतर) के बराबर होता है।
$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + synx - (1)/(x^2)$
2. उत्पाद का व्युत्पन्न
$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$
व्युत्पन्न $f(x)=4x cosx$ ज्ञात करें
$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$
3. भागफल का व्युत्पन्न
$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $
व्युत्पन्न $f(x)=(5x^5)/(e^x)$ ज्ञात करें
$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$
4. किसी जटिल फलन का अवकलज अवकलज के गुणनफल के बराबर होता है बाह्य कार्यआंतरिक कार्य के व्युत्पन्न के लिए
$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$
$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
व्युत्पत्ति का भौतिक अर्थ
यदि कोई भौतिक बिंदु सीधी रेखा में चलता है और उसका समन्वय कानून $x(t)$ के अनुसार समय के आधार पर बदलता है, तो इस बिंदु की तात्कालिक गति फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर होती है।
बिंदु $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$ कानून के अनुसार समन्वय रेखा के साथ चलता है, जहां $x(t)$ समय $t$ पर निर्देशांक है। किस समय बिंदु की गति $12$ के बराबर होगी?
1. गति $x(t)$ का व्युत्पन्न है, तो आइए दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
$v(t) = x"(t) = 1.5 2t -3 = 3t -3$
2. यह पता लगाने के लिए कि किस समय $t$ पर गति $12$ के बराबर थी, हम समीकरण बनाते हैं और हल करते हैं:
व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ
याद रखें कि एक रेखा का समीकरण जो निर्देशांक अक्षों के समानांतर नहीं है, उसे $y = kx + b$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहां $k$ रेखा का ढलान है। गुणांक $k$ सीधी रेखा और $Ox$ अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।
बिंदु $x_0$ पर फ़ंक्शन $f(x)$ का व्युत्पन्न इस बिंदु पर ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के ढलान $k$ के बराबर है:
इसलिए, हम एक सामान्य समानता बना सकते हैं:
$f"(x_0) = k = tanα$
चित्र में, फ़ंक्शन $f(x)$ की स्पर्शरेखा बढ़ती है, इसलिए गुणांक $k > 0$। चूँकि $k > 0$, तो $f"(x_0) = tanα > 0$। स्पर्शरेखा और सकारात्मक दिशा $Ox$ के बीच का कोण $α$ तीव्र है।
चित्र में, फ़ंक्शन $f(x)$ की स्पर्शरेखा घटती है, इसलिए, गुणांक $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
चित्र में, फ़ंक्शन $f(x)$ की स्पर्शरेखा $Ox$ अक्ष के समानांतर है, इसलिए, गुणांक $k = 0$, इसलिए, $f"(x_0) = tan α = 0$। बिंदु $x_0$ जिस पर $f "(x_0) = 0$, कहा जाता है चरम.
यह आंकड़ा फ़ंक्शन $y=f(x)$ का एक ग्राफ़ और भुज $x_0$ वाले बिंदु पर खींचे गए इस ग्राफ़ की एक स्पर्शरेखा दिखाता है। बिंदु $x_0$ पर फ़ंक्शन $f(x)$ के व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें।
ग्राफ़ की स्पर्शरेखा बढ़ती है, इसलिए, $f"(x_0) = tan α > 0$
$f"(x_0)$ को खोजने के लिए, हम $Ox$ अक्ष की स्पर्शरेखा और सकारात्मक दिशा के बीच झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम त्रिभुज $ABC$ की स्पर्शरेखा बनाते हैं।
आइए कोण $BAC$ की स्पर्श रेखा ज्ञात करें। (एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात है।)
$tg बीएसी = (बीसी)/(एसी) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0.25
$f"(x_0) = tg BAC = 0.25$
उत्तर: $0.25$
व्युत्पन्न का उपयोग बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल को खोजने के लिए भी किया जाता है:
यदि किसी अंतराल पर $f"(x) > 0$, तो इस अंतराल पर फ़ंक्शन $f(x)$ बढ़ रहा है।
यदि $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
यह आंकड़ा फ़ंक्शन $y = f(x)$ का ग्राफ़ दिखाता है। बिंदुओं $х_1,х_2,х_3...х_7$ में से वे बिंदु खोजें जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न नकारात्मक है।
उत्तर में इन बिंदुओं की संख्या लिखिए।
चित्र फ़ंक्शन y = f(x) का ग्राफ और भुज x 0 वाले बिंदु पर इसकी स्पर्शरेखा दिखाता है। बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात करें। K 0 K = -0.5 के = 0.5 0 K = -0.5 K = 0.5"> 0 K = -0.5 K = 0.5"> 0 K = -0.5 K = 0.5" title=' चित्र में फ़ंक्शन y = f(x) का ग्राफ दिखाया गया है ) और भुज x 0 के साथ बिंदु पर स्पर्श रेखा। बिंदु x 0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए। K 0 K = -0.5 K = 0.5"> title="चित्र फ़ंक्शन y = f(x) का ग्राफ़ और भुज x 0 वाले बिंदु पर इसकी स्पर्शरेखा दिखाता है। बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात करें। K 0 K = -0.5 के = 0.5"> !}
यह आंकड़ा अंतराल (-1;17) पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। फलन f(x) के घटने के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में, उनमें से सबसे बड़े की लंबाई बताएं। एफ(एक्स) 
अंतराल पर 0, फिर फ़ंक्शन f(x)" title='चित्र फ़ंक्शन y = f(x) का एक ग्राफ़ दिखाता है। बिंदुओं x 1, x 2, x 3, x 4 में से खोजें , x 5, x 6 और x 7 वे बिंदु हैं जिन पर फलन f(x) का अवकलज धनात्मक है। उत्तर में, अंतराल पर पाए गए बिंदुओं की संख्या लिखिए फलन f(x)" class="link_thumb"> 8 !}चित्र फ़ंक्शन y = f(x) का ग्राफ़ दिखाता है। बिंदुओं x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 और x 7 में से वे बिंदु खोजें जिन पर फलन f(x) का अवकलज धनात्मक है। उत्तर में मिले अंकों की संख्या लिखिए। यदि किसी अंतराल पर f (x) > 0 है, तो इस अंतराल पर फलन f (x) बढ़ता है उत्तर: 2 अंतराल पर 0, फिर अंतराल पर फ़ंक्शन f(x)"> 0, फिर इस अंतराल पर फ़ंक्शन f(x) बढ़ता है उत्तर: अंतराल पर 2"> 0, फिर फ़ंक्शन f(x)" शीर्षक= "पर चित्र फ़ंक्शन y = f(x) का एक ग्राफ दिखाता है। बिंदुओं x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 और x 7 में से उन बिंदुओं को खोजें जिन पर फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न सकारात्मक है। उत्तर लिखें। यदि अंतराल पर f (x) > 0 है, तो फ़ंक्शन f(x) है।"> title="चित्र फ़ंक्शन y = f(x) का ग्राफ़ दिखाता है। बिंदुओं x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 और x 7 में से वे बिंदु खोजें जिन पर फलन f(x) का अवकलज धनात्मक है। उत्तर में मिले अंकों की संख्या लिखिए। यदि किसी अंतराल पर f (x) > 0 है, तो फलन f(x)"> !}
यह आंकड़ा अंतराल (-9; 2) पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। खंड -8 पर किस बिंदु पर; -4 फ़ंक्शन f(x) लेता है उच्चतम मूल्य? खंड पर -8; -4 एफ(एक्स) 
फ़ंक्शन y = f(x) को अंतराल (-5; 6) पर परिभाषित किया गया है। चित्र फ़ंक्शन y = f(x) का ग्राफ़ दिखाता है। बिंदुओं x 1, x 2, ..., x 7 में से वे बिंदु खोजें जिन पर फलन f(x) का अवकलज शून्य के बराबर है। उत्तर में मिले अंकों की संख्या लिखिए। उत्तर: 3 बिंदु x 1, x 4, x 6 और x 7 चरम बिंदु हैं। बिंदु x 4 पर कोई f (x) नहीं है
साहित्य 4 बीजगणित और आरंभिक विश्लेषण वर्ग। सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक, बुनियादी स्तर / श्री ए. अलीमोव और अन्य, - एम.: शिक्षा, सेमेनोव ए.एल. एकीकृत राज्य परीक्षा: गणित में 3000 समस्याएं। - एम.: पब्लिशिंग हाउस "एग्जाम", गेंडेन्स्टीन एल.ई., एर्शोवा ए.पी., एर्शोवा ए.एस. ग्रेड 7-11 के लिए उदाहरणों के साथ बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत के लिए एक दृश्य मार्गदर्शिका। - एम.: इलेक्सा, इलेक्ट्रॉनिक संसाधनएकीकृत राज्य परीक्षा कार्य बैंक खोलें।
