संख्याओं का मापांकयदि यह संख्या गैर-ऋणात्मक है, तो यह संख्या स्वयं कहलाती है, या यदि यह ऋणात्मक है, तो विपरीत चिह्न वाली वही संख्या कहलाती है।

उदाहरण के लिए, संख्या 6 का मापांक 6 है, और संख्या -6 का मापांक भी 6 है।

अर्थात्, किसी संख्या के मापांक को निरपेक्ष मान के रूप में समझा जाता है, इस संख्या के चिह्न को ध्यान में रखे बिना इसका निरपेक्ष मान।

इसे इस प्रकार नामित किया गया है: |6|, | एक्स|, |ए| वगैरह।

("संख्या मॉड्यूल" अनुभाग में अधिक विवरण)।

मापांक के साथ समीकरण.

उदाहरण 1 . प्रश्न हल करें|10 एक्स - 5| = 15.

समाधान.

नियम के अनुसार, समीकरण दो समीकरणों के संयोजन के बराबर है:

10एक्स - 5 = 15
10एक्स - 5 = -15

हमने निर्णय किया:

10एक्स = 15 + 5 = 20
10एक्स = -15 + 5 = -10

एक्स = 20: 10
एक्स = -10: 10

एक्स = 2
एक्स = -1

उत्तर: एक्स 1 = 2, एक्स 2 = -1.

उदाहरण 2 . प्रश्न हल करें|2 एक्स + 1| = एक्स + 2.

समाधान.

चूँकि मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है एक्स+ 2 ≥ 0. तदनुसार:

एक्स ≥ -2.

आइए दो समीकरण बनाएं:

2एक्स + 1 = एक्स + 2
2एक्स + 1 = -(एक्स + 2)

हमने निर्णय किया:

2एक्स + 1 = एक्स + 2
2एक्स + 1 = -एक्स - 2

2एक्स - एक्स = 2 - 1
2एक्स + एक्स = -2 - 1

एक्स = 1
एक्स = -1

दोनों संख्याएँ -2 से बड़ी हैं। तो दोनों समीकरण की जड़ें हैं।

उत्तर: एक्स 1 = -1, एक्स 2 = 1.

उदाहरण 3 . प्रश्न हल करें

|एक्स + 3| - 1
————— = 4
एक्स - 1

समाधान.

यदि हर शून्य नहीं है तो समीकरण समझ में आता है - इसका मतलब है यदि एक्स≠ 1. आइए इस स्थिति को ध्यान में रखें। हमारी पहली क्रिया सरल है - हम केवल अंश से छुटकारा नहीं पाते हैं, बल्कि इसे परिवर्तित करते हैं ताकि मॉड्यूल को उसके शुद्ध रूप में प्राप्त किया जा सके:

|एक्स+3| - 1 = 4 · ( एक्स - 1),

|एक्स + 3| - 1 = 4एक्स - 4,

|एक्स + 3| = 4एक्स - 4 + 1,

|एक्स + 3| = 4एक्स - 3.

अब हमारे पास समीकरण के बाईं ओर मापांक के अंतर्गत केवल एक अभिव्यक्ति है। पर चलते हैं।
किसी संख्या का मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है - अर्थात, यह शून्य से बड़ा या शून्य के बराबर होना चाहिए। तदनुसार, हम असमानता को हल करते हैं:

4एक्स - 3 ≥ 0

4एक्स ≥ 3

एक्स ≥ 3/4

इस प्रकार, हमारे पास दूसरी शर्त है: समीकरण का मूल कम से कम 3/4 होना चाहिए।

नियम के अनुसार, हम दो समीकरणों का एक सेट बनाते हैं और उन्हें हल करते हैं:

एक्स + 3 = 4एक्स - 3
एक्स + 3 = -(4एक्स - 3)

एक्स + 3 = 4एक्स - 3
एक्स + 3 = -4एक्स + 3

एक्स - 4एक्स = -3 - 3
एक्स + 4एक्स = 3 - 3

एक्स = 2
एक्स = 0

हमें दो उत्तर मिले. आइए जाँच करें कि क्या वे मूल समीकरण की जड़ें हैं।

हमारी दो स्थितियाँ थीं: समीकरण का मूल 1 के बराबर नहीं हो सकता, और यह कम से कम 3/4 होना चाहिए। वह है एक्स ≠ 1, एक्स≥ 3/4. ये दोनों स्थितियाँ प्राप्त दो उत्तरों में से केवल एक के अनुरूप हैं - संख्या 2। इसका मतलब है कि केवल यही मूल समीकरण का मूल है।

उत्तर: एक्स = 2.

मापांक के साथ असमानताएँ.

उदाहरण 1 . असमानता का समाधान करें| एक्स - 3| < 4

समाधान.

मॉड्यूल नियम कहता है:

|ए| = ए, अगर ए ≥ 0.

|ए| = -ए, अगर ए < 0.

मॉड्यूल में गैर-नकारात्मक और नकारात्मक दोनों संख्याएं हो सकती हैं। इसलिए हमें दोनों मामलों पर विचार करना होगा: एक्स- 3 ≥ 0 और एक्स - 3 < 0.

1) कब एक्स- 3 ≥ 0 हमारी मूल असमानता वैसी ही बनी हुई है, केवल मापांक चिह्न के बिना:
एक्स - 3 < 4.

2) कब एक्स - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(एक्स - 3) < 4.

कोष्ठक खोलने पर, हमें मिलता है:

-एक्स + 3 < 4.

इस प्रकार, इन दो स्थितियों से हम असमानताओं की दो प्रणालियों के एकीकरण पर पहुंचे:

एक्स - 3 ≥ 0
एक्स - 3 < 4

एक्स - 3 < 0
-एक्स + 3 < 4

आइए उन्हें हल करें:

एक्स ≥ 3
एक्स < 7

एक्स < 3
एक्स > -1

तो, हमारा उत्तर दो सेटों का मिलन है:

3 ≤ एक्स < 7 U -1 < एक्स < 3.

सबसे छोटा और निर्धारित करें उच्चतम मूल्य. ये -1 और 7 हैं। इसके अलावा एक्स-1 से अधिक लेकिन 7 से कम.
अलावा, एक्स≥ 3. इसका मतलब है कि असमानता का समाधान इन चरम संख्याओं को छोड़कर -1 से 7 तक की संख्याओं का पूरा सेट है।

उत्तर: -1 < एक्स < 7.

या: एक्स ∈ (-1; 7).

ऐड-ऑन.

1) हमारी असमानता को हल करने का एक सरल और छोटा तरीका है - ग्राफिक रूप से। ऐसा करने के लिए, आपको एक क्षैतिज अक्ष (चित्र 1) खींचने की आवश्यकता है।

अभिव्यक्ति | एक्स - 3| < 4 означает, что расстояние от точки एक्सबिंदु 3 से चार इकाई कम है। हम अक्ष पर संख्या 3 अंकित करते हैं और उसके बायीं और दायीं ओर 4 प्रभागों को गिनते हैं। बाईं ओर हम बिंदु -1 पर आएंगे, दाईं ओर - बिंदु 7 पर। इस प्रकार, अंक एक्सहमने उन्हें बिना हिसाब लगाए बस देख लिया।

इसके अलावा, असमानता की स्थिति के अनुसार, -1 और 7 स्वयं समाधान के सेट में शामिल नहीं हैं। इस प्रकार, हमें उत्तर मिलता है:

1 < एक्स < 7.

2) लेकिन एक और समाधान है जो ग्राफ़िकल विधि से भी सरल है। ऐसा करने के लिए, हमारी असमानता को निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए:

4 < एक्स - 3 < 4.

आख़िरकार, मापांक नियम के अनुसार ऐसा ही होता है। गैर-ऋणात्मक संख्या 4 और समान ऋणात्मक संख्या -4 असमानता को हल करने की सीमाएँ हैं।

4 + 3 < एक्स < 4 + 3

1 < एक्स < 7.

उदाहरण 2 . असमानता का समाधान करें| एक्स - 2| ≥ 5

समाधान.

यह उदाहरण पिछले वाले से काफी अलग है. बायां भाग 5 से बड़ा या 5 के बराबर है। C ज्यामितीय बिंदुदृष्टिकोण से, असमानता का समाधान वे सभी संख्याएँ हैं जो बिंदु 2 से 5 इकाइयों या अधिक की दूरी पर हैं (चित्र 2)। ग्राफ़ दिखाता है कि ये सभी संख्याएँ हैं जो -3 से कम या उसके बराबर हैं और 7 से बड़ी या उसके बराबर हैं। इसका मतलब है कि हमें उत्तर पहले ही मिल चुका है।

उत्तर: -3 ≥ एक्स ≥ 7.

साथ ही, हम मुक्त पद को बाएँ और दाएँ विपरीत चिह्न के साथ पुनर्व्यवस्थित करके समान असमानता को हल करते हैं:

5 ≥ एक्स - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ एक्स ≥ 5 + 2

उत्तर वही है: -3 ≥ एक्स ≥ 7.

या: एक्स ∈ [-3; 7]

उदाहरण हल हो गया है.

उदाहरण 3 . असमानता का समाधान करें 6 एक्स 2 - | एक्स| - 2 ≤ 0

समाधान.

संख्या एक्सयह एक धनात्मक संख्या, ऋणात्मक संख्या या शून्य हो सकता है। इसलिए, हमें तीनों परिस्थितियों को ध्यान में रखना होगा। जैसा कि आप जानते हैं, उन्हें दो असमानताओं में ध्यान में रखा जाता है: एक्स≥ 0 और एक्स < 0. При एक्स≥ 0 हम अपनी मूल असमानता को वैसे ही फिर से लिखते हैं, केवल मापांक चिह्न के बिना:

6x 2 - एक्स - 2 ≤ 0.

अब दूसरे मामले के बारे में: यदि एक्स < 0. Модулем ऋणात्मक संख्याविपरीत चिह्न के साथ वही संख्या है. अर्थात्, हम मापांक के नीचे विपरीत चिह्न के साथ संख्या लिखते हैं और फिर से स्वयं को मापांक चिह्न से मुक्त करते हैं:

6एक्स 2 - (-एक्स) - 2 ≤ 0.

कोष्ठक का विस्तार:

6एक्स 2 + एक्स - 2 ≤ 0.

इस प्रकार, हमें समीकरणों की दो प्रणालियाँ प्राप्त हुईं:

6एक्स 2 - एक्स - 2 ≤ 0
एक्स ≥ 0

6एक्स 2 + एक्स - 2 ≤ 0
एक्स < 0

हमें प्रणालियों में असमानताओं को हल करने की आवश्यकता है - और इसका मतलब है कि हमें दो द्विघात समीकरणों की जड़ों को खोजने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम असमानताओं के बाएँ पक्ष को शून्य के बराबर करते हैं।

आइए पहले वाले से शुरू करें:

6एक्स 2 - एक्स - 2 = 0.

द्विघात समीकरण को कैसे हल करें - "द्विघात समीकरण" अनुभाग देखें। हम तुरंत उत्तर देंगे:

एक्स 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

असमानताओं की पहली प्रणाली से हम पाते हैं कि मूल असमानता का समाधान -1/2 से 2/3 तक संख्याओं का संपूर्ण सेट है। हम समाधानों का संघ लिखते हैं एक्स ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

आइए अब दूसरा द्विघात समीकरण हल करें:

6एक्स 2 + एक्स - 2 = 0.

इसकी जड़ें:

एक्स 1 = -2/3, एक्स 2 = 1/2.

निष्कर्ष: कब एक्स < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

आइए दोनों उत्तरों को मिलाएं और अंतिम उत्तर प्राप्त करें: समाधान इन चरम संख्याओं सहित -2/3 से 2/3 तक की संख्याओं का संपूर्ण सेट है।

उत्तर: -2/3 ≤ एक्स ≤ 2/3.

या: एक्स ∈ [-2/3; 2/3].

अंक शास्त्र विज्ञान की बुद्धिमत्ता का प्रतीक है,

वैज्ञानिक कठोरता और सरलता का एक मॉडल,

विज्ञान में उत्कृष्टता और सुंदरता का मानक।

रूसी दार्शनिक, प्रोफेसर ए.वी. वोलोशिनोव

मापांक के साथ असमानताएँ

स्कूली गणित में हल करने वाली सबसे कठिन समस्याएँ असमानताएँ हैं, मापांक चिह्न के अंतर्गत चर युक्त। ऐसी असमानताओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको मॉड्यूल के गुणों का अच्छा ज्ञान होना चाहिए और उनका उपयोग करने का कौशल होना चाहिए।

बुनियादी अवधारणाएँ और गुण

किसी वास्तविक संख्या का मापांक (पूर्ण मान)।द्वारा निरूपित और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

को सरल गुणमॉड्यूल में निम्नलिखित संबंध शामिल हैं:

और ।

टिप्पणी, अंतिम दो गुण किसी भी सम डिग्री के लिए मान्य हैं।

इसके अलावा, यदि, कहाँ, तब और

अधिक जटिल गुणमॉड्यूल, जिसका मॉड्यूली के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय प्रभावी ढंग से उपयोग किया जा सकता है, निम्नलिखित प्रमेयों के माध्यम से तैयार किए गए हैं:

प्रमेय 1.किसी भी विश्लेषणात्मक कार्य के लिएऔर असमानता सत्य है.

प्रमेय 2.समानता असमानता के समान.

प्रमेय 3.समानता असमानता के समान.

स्कूली गणित में सबसे आम असमानताएँ, मापांक चिह्न के अंतर्गत अज्ञात चर युक्त, स्वरूप की असमानताएँ हैंऔर, कहाँ कुछ सकारात्मक स्थिरांक.

प्रमेय 4.असमानता दोहरी असमानता के बराबर, और असमानता का समाधानअसमानताओं के एक समूह को हल करने में कमी आती हैऔर ।

यह प्रमेय प्रमेय 6 और 7 का एक विशेष मामला है।

अधिक जटिल असमानताएँ, एक मॉड्यूल युक्त प्रपत्र की असमानताएं हैं, और ।

ऐसी असमानताओं को हल करने की विधियाँ निम्नलिखित तीन प्रमेयों का उपयोग करके तैयार की जा सकती हैं।

प्रमेय 5.असमानता असमानताओं की दो प्रणालियों के संयोजन के बराबर है

मैं (1)

सबूत।के बाद से

इससे (1) की वैधता का पता चलता है।

प्रमेय 6.असमानता असमानताओं की प्रणाली के समतुल्य है

सबूत।क्योंकि , फिर असमानता सेयह उसका अनुसरण करता है . इस शर्त के तहत, असमानताऔर इस मामले में असमानताओं की दूसरी प्रणाली (1) असंगत हो जाएगी।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय 7.असमानता एक असमानता और असमानताओं की दो प्रणालियों के संयोजन के बराबर है

मैं (3)

सबूत।तब से, असमानता हमेशा निष्पादित, अगर ।

होने देना फिर असमानताअसमानता के बराबर होगा, जिससे दो असमानताओं का एक सेट निकलता हैऔर ।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

आइए विचार करें विशिष्ट उदाहरण"असमानताएं" विषय पर समस्याओं का समाधान, मापांक चिह्न के अंतर्गत चर युक्त।"

मापांक के साथ असमानताओं को हल करना

अधिकांश सरल विधिमापांक के साथ असमानताओं को हल करना विधि है, मॉड्यूल विस्तार पर आधारित। यह विधि सार्वभौमिक है, हालाँकि, सामान्य स्थिति में, इसके उपयोग से बहुत बोझिल गणनाएँ हो सकती हैं। इसलिए, छात्रों को ऐसी असमानताओं को हल करने के लिए अन्य (अधिक प्रभावी) तरीकों और तकनीकों को जानना चाहिए। विशेष रूप से, प्रमेयों को लागू करने में कौशल होना आवश्यक है, इस लेख में दिया गया है.

उदाहरण 1.असमानता का समाधान करें

. (4)

समाधान।हम "शास्त्रीय" विधि - मॉड्यूल प्रकट करने की विधि का उपयोग करके असमानता (4) को हल करेंगे। इस प्रयोजन के लिए, हम संख्या अक्ष को विभाजित करते हैंडॉट्स और अंतरालों में और तीन मामलों पर विचार करें।

1. यदि , तो , , , और असमानता (4) का रूप ले लेती हैया ।

चूंकि मामले पर यहां विचार किया गया है, यह असमानता (4) का समाधान है।

2. यदि, तब असमानता से (4) हम प्राप्त करते हैंया . अंतरालों के प्रतिच्छेदन के बाद सेऔर खाली है, तो विचाराधीन समाधानों के अंतराल पर कोई असमानता नहीं है (4)।

3. यदि, तब असमानता (4) का रूप ले लेती हैया । यह तो स्पष्ट है असमानता का भी एक समाधान है (4)।

उत्तर: , ।

उदाहरण 2.असमानता का समाधान करें.

समाधान।चलिए मान लेते हैं. क्योंकि , तब दी गई असमानता का रूप ले लेती हैया । के बाद से और यहीं से यह अनुसरण करता हैया ।

हालाँकि, इसलिए या।

उदाहरण 3.असमानता का समाधान करें

. (5)

समाधान।क्योंकि , तो असमानता (5) असमानताओं के बराबर हैया । यहाँ से, प्रमेय 4 के अनुसार, हमारे पास असमानताओं का एक समूह हैऔर ।

उत्तर: , ।

उदाहरण 4.असमानता का समाधान करें

. (6)

समाधान।चलो निरूपित करें. फिर असमानता (6) से हमें असमानताएं, या, प्राप्त होती हैं।

यहाँ से, अंतराल विधि का उपयोग करना, हम पाते हैं । क्योंकि , फिर यहाँ हमारे पास असमानताओं की एक प्रणाली है

सिस्टम की पहली असमानता का समाधान (7) दो अंतरालों का मिलन हैऔर , और दूसरी असमानता का समाधान दोहरी असमानता है. इससे यह निष्कर्ष निकलता है, असमानताओं की प्रणाली (7) का समाधान दो अंतरालों का मिलन हैऔर ।

उत्तर: ,

उदाहरण 5.असमानता का समाधान करें

. (8)

समाधान। आइए हम असमानता (8) को इस प्रकार रूपांतरित करें:

या ।

अंतराल विधि का उपयोग करना, हमें असमानता (8) का समाधान मिलता है।

उत्तर: ।

टिप्पणी। यदि हम प्रमेय 5 की शर्तों में डालते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 6.असमानता का समाधान करें

. (9)

समाधान। असमानता (9) से यह अनुसरण करता है. आइए हम असमानता (9) को इस प्रकार रूपांतरित करें:

या

चूँकि , तब या .

उत्तर: ।

उदाहरण 7.असमानता का समाधान करें

. (10)

समाधान।चूँकि तथा , तब अथवा .

इस संबंध में और असमानता (10) का रूप ले लेती है

या

. (11)

यह उसका अनुसरण करता है या . चूँकि, तब असमानता (11) का तात्पर्य या से भी है।

उत्तर: ।

टिप्पणी। यदि हम प्रमेय 1 को असमानता के बाईं ओर लागू करते हैं (10), तो हमें मिलता है . इससे और असमानता (10) का पता चलता है, क्या या . क्योंकि , तब असमानता (10) का रूप ले लेती हैया ।

उदाहरण 8.असमानता का समाधान करें

. (12)

समाधान।के बाद से और असमानता (12) से यह अनुसरण करता हैया । हालाँकि, इसलिए या। यहां से हमें या मिलता है।

उत्तर: ।

उदाहरण 9.असमानता का समाधान करें

. (13)

समाधान।प्रमेय 7 के अनुसार, असमानता (13) का समाधान या है।

अब रहने दो. उस मामले में और असमानता (13) का रूप ले लेती हैया ।

यदि आप अंतरालों को जोड़ते हैंऔर , तब हमें प्रपत्र की असमानता (13) का समाधान प्राप्त होता है.

उदाहरण 10.असमानता का समाधान करें

. (14)

समाधान।आइए हम असमानता (14) को समकक्ष रूप में फिर से लिखें:। यदि हम इस असमानता के बाईं ओर प्रमेय 1 लागू करते हैं, तो हमें असमानता प्राप्त होती है।

यहाँ से और प्रमेय 1 से यह अनुसरण करता है, वह असमानता (14) किसी भी मूल्य के लिए संतुष्ट है.

उत्तर: कोई भी संख्या.

उदाहरण 11.असमानता का समाधान करें

. (15)

समाधान। प्रमेय 1 को असमानता के बाईं ओर लागू करना (15), हम पाते हैं . यह और असमानता (15) समीकरण उत्पन्न करते हैं, जिसका स्वरूप है.

प्रमेय 3 के अनुसार, समीकरण असमानता के समान. यहीं से हमें मिलता है.

उदाहरण 12.असमानता का समाधान करें

. (16)

समाधान. असमानता (16) से, प्रमेय 4 के अनुसार, हमें असमानताओं की एक प्रणाली प्राप्त होती है

असमानता को हल करते समयआइए प्रमेय 6 का उपयोग करें और असमानताओं की एक प्रणाली प्राप्त करेंजिससे यह अनुसरण करता है.

असमानता पर विचार करें. प्रमेय 7 के अनुसार, हमें असमानताओं का एक सेट मिलता हैऔर । दूसरी जनसंख्या असमानता किसी भी वास्तविक के लिए मान्य है.

इस तरह , असमानता का समाधान (16) है.

उदाहरण 13.असमानता का समाधान करें

. (17)

समाधान।प्रमेय 1 के अनुसार हम लिख सकते हैं

(18)

असमानता (17) को ध्यान में रखते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दोनों असमानताएँ (18) समानता में बदल जाती हैं, अर्थात। समीकरणों की एक प्रणाली है

प्रमेय 3 के अनुसार यह प्रणालीसमीकरण असमानताओं की प्रणाली के बराबर है

या

उदाहरण 14.असमानता का समाधान करें

. (19)

समाधान।के बाद से। आइए हम असमानता के दोनों पक्षों (19) को उस अभिव्यक्ति से गुणा करें, जो केवल किसी भी मान के लिए लेता है सकारात्मक मूल्य. तब हमें एक असमानता प्राप्त होती है जो कि असमानता (19) के बराबर होती है

यहां से हमें या , कहां मिलता है . चूँकि और तो असमानता का समाधान (19) हैऔर ।

उत्तर: , ।

मापांक के साथ असमानताओं को हल करने के तरीकों के अधिक गहन अध्ययन के लिए, हम पाठ्यपुस्तकों की ओर रुख करने की सलाह देते हैं, अनुशंसित साहित्य की सूची में दिया गया है।

1. कॉलेजों/एड के आवेदकों के लिए गणित में समस्याओं का संग्रह। एम.आई. स्कैनवी. - एम.: शांति और शिक्षा, 2013. - 608 पी।

2. सुप्रुन वी.पी. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: असमानताओं को हल करने और सिद्ध करने की विधियाँ। - एम.: लेनानंद/यूआरएसएस, 2018. - 264 पी।

3. सुप्रुन वी.पी. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: गैर-मानक तरीकेसमस्या को सुलझाना। - एम.: सीडी "लिब्रोकॉम" / यूआरएसएस, 2017. - 296 पी।

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मॉड्यूल के साथ असमानताओं को प्रकट करने के तरीकों (नियमों) में सबमॉड्यूलर फ़ंक्शंस के निरंतर संकेत के अंतराल का उपयोग करके मॉड्यूल के क्रमिक प्रकटीकरण शामिल हैं। अंतिम संस्करण में, कई असमानताएँ प्राप्त होती हैं जिनसे अंतराल या अंतराल पाए जाते हैं जो समस्या की शर्तों को पूरा करते हैं।

आइए व्यवहार में सामान्य उदाहरणों को हल करने की ओर आगे बढ़ें।

मापांक के साथ रैखिक असमानताएँ

रैखिक से हमारा तात्पर्य उन समीकरणों से है जिनमें एक चर समीकरण में रैखिक रूप से प्रवेश करता है।

उदाहरण 1. असमानता का समाधान खोजें

समाधान:
समस्या की स्थितियों से यह पता चलता है कि मॉड्यूल x=-1 और x=-2 पर शून्य हो जाते हैं।

ये बिंदु संख्या रेखा को अंतरालों में तोड़ देते हैं

इनमें से प्रत्येक अंतराल में हम दी गई असमानता को हल करते हैं। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, हम सबमॉड्यूलर फ़ंक्शंस के स्थिर चिह्न वाले क्षेत्रों के चित्रमय चित्र बनाते हैं। उन्हें प्रत्येक कार्य के संकेतों वाले क्षेत्रों के रूप में दर्शाया गया है

या सभी कार्यों के संकेतों के साथ अंतराल।

पहले अंतराल में हम मॉड्यूल का विस्तार करते हैं

हम दोनों पक्षों को शून्य से एक से गुणा करते हैं, और असमानता का चिह्न विपरीत में बदल जाएगा। यदि आपके लिए इस नियम का उपयोग करना कठिन है, तो आप माइनस से छुटकारा पाने के लिए प्रत्येक भाग को साइन के पीछे ले जा सकते हैं। अंत में तुम्हें प्राप्त होगा

जिस क्षेत्र पर समीकरण हल किए गए थे, उसके साथ सेट x>-3 का प्रतिच्छेदन अंतराल (-3;-2) होगा। उन लोगों के लिए जिन्हें समाधान ढूंढना आसान लगता है, आप ग्राफ़िक रूप से इन क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन खींच सकते हैं

क्षेत्रों का सामान्य प्रतिच्छेदन ही समाधान होगा। यदि सख्ती से असमान है, तो किनारों को शामिल नहीं किया गया है। यदि सख्त नहीं है, तो प्रतिस्थापन द्वारा जाँच करें।

दूसरे अंतराल पर हमें मिलता है

क्रॉस सेक्शन अंतराल (-2;-5/3) होगा।

ग्राफ़िक रूप से समाधान इस प्रकार दिखेगातीसरे अंतराल पर हमें मिलता है

यह शर्त

वांछित डोमेन में समाधान प्रदान नहीं करता. चूँकि बिंदु x=-2 पर दो समाधान (-3;-2) और (-2;-5/3) बॉर्डर पाए गए, हम इसकी भी जाँच करते हैं।इस प्रकार बिंदु x=-2 एक समाधान है।

सामान्य समाधान
इसे ध्यान में रखते हुए यह (-3;5/3) जैसा दिखेगा।

समाधान:
उदाहरण 2. असमानता का समाधान खोजें

|x-2|-|x-3|>=|x-4|

सबमॉड्यूलर फ़ंक्शंस के शून्य बिंदु x=2, x=3, x=4 होंगे।

इन बिंदुओं से कम तर्क मानों के लिए, सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन नकारात्मक हैं, और बड़े मानों के लिए, वे सकारात्मक हैं।

बिंदु वास्तविक अक्ष को चार अंतरालों में विभाजित करते हैं। हम स्थिर चिह्न के अंतराल के अनुसार मॉड्यूल का विस्तार करते हैं और असमानताओं को हल करते हैं।

1) पहले अंतराल में, सभी सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन नकारात्मक होते हैं, इसलिए मॉड्यूल का विस्तार करते समय, हम चिह्न को विपरीत में बदल देते हैं।

3) बिंदु x=3 और x=4 के बीच के अंतराल पर, पहला और दूसरा सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन सकारात्मक हैं, और तीसरा नकारात्मक है। इसके आधार पर हमें प्राप्त होता है

यह स्थिति दर्शाती है कि संपूर्ण अंतराल मापांक के साथ असमानता को संतुष्ट करेगा।

4) x>4 के मानों के लिए सभी फ़ंक्शनों में सकारात्मक चिह्न होते हैं। मॉड्यूल का विस्तार करते समय, हम उनका चिह्न नहीं बदलते हैं।

अंतराल के साथ प्रतिच्छेदन पर पाई गई स्थिति समाधान का निम्नलिखित सेट देती है

चूंकि असमानता सभी अंतरालों पर हल हो गई है, इसलिए x के सभी पाए गए मानों का सामान्य मान ज्ञात करना बाकी है।

समाधान दो अंतराल होगा

यह उदाहरण समाप्त करता है.
उदाहरण 3. असमानता का समाधान खोजें

समाधान:
||x-1|-5|>3-2x

हमारे पास मापांक से मापांक के साथ असमानता है। ऐसी असमानताएं तब प्रकट होती हैं जब मॉड्यूल नेस्ट किए जाते हैं, शुरुआत उन मॉड्यूल से होती है जो अधिक गहराई में स्थित होते हैं। सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन x-1 को x=1 पर शून्य में परिवर्तित किया जाता है। 1 से अधिक छोटे मानों के लिए यह ऋणात्मक है और x>1 के लिए धनात्मक है। इसी के आधार पर हम खुलासा करते हैंइनडोर मॉड्यूल

और प्रत्येक अंतराल पर असमानता पर विचार करें।

सबसे पहले, शून्य से अनंत तक के अंतराल पर विचार करें<-4:

सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन x=-4 पर शून्य है। छोटे मूल्यों पर यह सकारात्मक है, बड़े मूल्यों पर यह नकारात्मक है। आइए x के लिए मॉड्यूल का विस्तार करें

जिस क्षेत्र पर हम विचार कर रहे हैं, उसके प्रतिच्छेदन पर हमें समाधानों का एक सेट प्राप्त होता है

अगला कदम अंतराल पर मॉड्यूल का विस्तार करना है (-4;1)

मॉड्यूल के विस्तार क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए, हम समाधान अंतराल प्राप्त करते हैं

याद रखें: यदि मॉड्यूल के साथ ऐसी अनियमितताओं में आपको एक सामान्य बिंदु की सीमा पर दो अंतराल मिलते हैं, तो, एक नियम के रूप में, यह भी एक समाधान है।

ऐसा करने के लिए, आपको बस जांच करने की आवश्यकता है।

इस मामले में, हम बिंदु x=-4 को प्रतिस्थापित करते हैं।
तो x=-4 समाधान है.

आइए x>1 के लिए आंतरिक मॉड्यूल का विस्तार करें<6.
x के लिए सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन नकारात्मक

हमें जो मॉड्यूल मिलता है उसका विस्तार करना

अंतराल (1;6) वाले अनुभाग में यह स्थिति समाधानों का एक खाली सेट देती है।

x>6 के लिए हमें असमानता प्राप्त होती है
साथ ही हल करने पर हमें एक खाली सेट मिला।

उपरोक्त सभी को ध्यान में रखते हुए, मॉड्यूल के साथ असमानता का एकमात्र समाधान निम्नलिखित अंतराल होगा।

द्विघात समीकरणों वाले मापांक वाली असमानताएँ
उदाहरण 4. असमानता का समाधान खोजें

समाधान:
|x^2+3x|>=2-x^2

सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन बिंदु x=0, x=-3 पर गायब हो जाता है।
शून्य से एक का सरल प्रतिस्थापन

हम स्थापित करते हैं कि यह अंतराल (-3;0) में शून्य से कम है और इसके परे सकारात्मक है। आइए उन क्षेत्रों में मॉड्यूल का विस्तार करें जहां सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन सकारात्मक है

सुविधा के लिए, हम बिंदु x=0 को प्रतिस्थापित करते हैं, जो अंतराल (-2;1/2) से संबंधित है।

इस अंतराल में फ़ंक्शन नकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि समाधान निम्नलिखित सेट x होगा

यहां समाधान वाले क्षेत्रों के किनारों को कोष्ठक द्वारा दर्शाया गया है, यह निम्नलिखित नियम को ध्यान में रखते हुए जानबूझकर किया गया था;

याद रखें: यदि मापांक के साथ एक असमानता, या एक साधारण असमानता सख्त है, तो पाए गए क्षेत्रों के किनारे समाधान नहीं हैं, लेकिन यदि असमानताएं सख्त नहीं हैं (), तो किनारे समाधान हैं (वर्ग कोष्ठक द्वारा इंगित)।

इस नियम का उपयोग कई शिक्षकों द्वारा किया जाता है: यदि एक सख्त असमानता दी गई है, और गणना के दौरान आप समाधान में एक वर्ग कोष्ठक ([,]) लिखते हैं, तो वे स्वचालित रूप से इसे गलत उत्तर के रूप में गिनेंगे। इसके अलावा, परीक्षण करते समय, यदि मॉड्यूल के साथ एक गैर-सख्त असमानता दी गई है, तो समाधानों के बीच वर्ग कोष्ठक वाले क्षेत्रों की तलाश करें।

अंतराल (-3;0) पर, मॉड्यूल का विस्तार करते हुए, हम फ़ंक्शन के चिह्न को विपरीत में बदलते हैं

असमानता प्रकटीकरण के क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए समाधान का स्वरूप होगा

पिछले क्षेत्र के साथ मिलकर यह दो अर्ध-अंतराल देगा
उदाहरण 5. असमानता का समाधान खोजें

समाधान:
9x^2-|x-3|>=9x-2<3.

एक गैर-सख्त असमानता दी गई है जिसका सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन बिंदु x=3 पर शून्य के बराबर है।

छोटे मूल्यों के लिए यह नकारात्मक है, बड़े मूल्यों के लिए यह सकारात्मक है। अंतराल x पर मॉड्यूल का विस्तार करें

समीकरण के विभेदक का पता लगाना