) और हर द्वारा हर (हमें उत्पाद का हर मिलता है)।

भिन्नों को गुणा करने का सूत्र:

उदाहरण के लिए:

इससे पहले कि आप अंश और हर को गुणा करना शुरू करें, आपको यह जांचना होगा कि क्या भिन्न को कम किया जा सकता है। यदि आप भिन्न को कम कर सकते हैं, तो आपके लिए आगे की गणना करना आसान हो जाएगा।

एक सामान्य भिन्न को भिन्न से विभाजित करना.

प्राकृतिक संख्याओं से युक्त भिन्नों को विभाजित करना।

यह उतना डरावना नहीं है जितना लगता है। जैसे कि जोड़ के मामले में, हम पूर्णांक को हर में एक के साथ भिन्न में परिवर्तित करते हैं। उदाहरण के लिए:

मिश्रित भिन्नों को गुणा करना।

भिन्नों को गुणा करने के नियम (मिश्रित):

• मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करना;
• भिन्नों के अंश और हर को गुणा करना;
• अंश कम करें;
• यदि आपको कोई अनुचित भिन्न मिलता है, तो हम अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदल देते हैं।

ध्यान देना!एक मिश्रित भिन्न को दूसरे मिश्रित भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्न के रूप में बदलना होगा, और फिर साधारण भिन्न को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका।

किसी सामान्य भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने की दूसरी विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक हो सकता है।

ध्यान देना!किसी भिन्न को इससे गुणा करना प्राकृतिक संख्याभिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना और अंश को अपरिवर्तित छोड़ना आवश्यक है।

ऊपर दिए गए उदाहरण से, यह स्पष्ट है कि इस विकल्प का उपयोग करना तब अधिक सुविधाजनक होता है जब किसी भिन्न के हर को बिना किसी शेषफल के किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जाता है।

मल्टीस्टोरी अंश.

हाई स्कूल में, तीन मंजिला (या अधिक) भिन्न अक्सर सामने आते हैं। उदाहरण:

ऐसे भिन्न को उसके सामान्य रूप में लाने के लिए, 2 बिंदुओं से विभाजन का उपयोग करें:

ध्यान देना!भिन्नों को विभाजित करते समय विभाजन का क्रम बहुत महत्वपूर्ण होता है। सावधान रहें, यहां भ्रमित होना आसान है।

कृपया ध्यान उदाहरण के लिए:

किसी एक को किसी भिन्न से विभाजित करने पर परिणाम वही भिन्न होगा, केवल उलटा:

भिन्नों को गुणा और विभाजित करने के लिए व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है। सभी गणनाएँ सावधानीपूर्वक और सटीक, एकाग्र और स्पष्ट रूप से करें। मानसिक गणनाओं में खोए रहने से बेहतर है कि अपने मसौदे में कुछ अतिरिक्त पंक्तियाँ लिख लें।

2. विभिन्न प्रकार के भिन्न वाले कार्यों में साधारण भिन्न के प्रकार पर जाएँ।

3. हम सभी भिन्नों को तब तक कम करते हैं जब तक कि उन्हें कम करना संभव न हो जाए।

4. हम 2 बिंदुओं से विभाजन का उपयोग करके बहु-स्तरीय भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को सामान्य में बदलते हैं।

5. अपने दिमाग में एक इकाई को भिन्न से विभाजित करें, बस भिन्न को पलट दें।

साधारण भिन्नात्मक संख्याएँ सबसे पहले स्कूली बच्चों को 5वीं कक्षा में मिलती हैं और जीवन भर उनका साथ देती हैं, क्योंकि रोजमर्रा की जिंदगी में अक्सर किसी वस्तु पर समग्र रूप से नहीं, बल्कि अलग-अलग टुकड़ों में विचार करना या उपयोग करना आवश्यक होता है। इस विषय का अध्ययन शुरू करें - शेयर। शेयर बराबर हिस्से हैं, जिसमें यह या वह वस्तु विभाजित है। आखिरकार, यह व्यक्त करना हमेशा संभव नहीं होता है, उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद की लंबाई या कीमत को कुछ माप के भागों या शेयरों को ध्यान में रखा जाना चाहिए; क्रिया "विभाजित करना" से निर्मित - भागों में विभाजित करना, और अरबी मूल होने के कारण, "अंश" शब्द स्वयं 8 वीं शताब्दी में रूसी भाषा में उत्पन्न हुआ था।

भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को लंबे समय से गणित की सबसे कठिन शाखा माना जाता है। 17वीं शताब्दी में, जब गणित पर पहली पाठ्यपुस्तकें सामने आईं, तो उन्हें "टूटी हुई संख्या" कहा गया, जिसे समझना लोगों के लिए बहुत मुश्किल था।

आधुनिक रूपसरल भिन्नात्मक शेषफल, जिनके भाग एक क्षैतिज रेखा द्वारा अलग किए जाते हैं, को सबसे पहले फाइबोनैचि - पीसा के लियोनार्डो द्वारा प्रचारित किया गया था। उनकी रचनाएँ 1202 की हैं। लेकिन इस लेख का उद्देश्य पाठक को सरल और स्पष्ट रूप से यह समझाना है कि मिश्रित भिन्नों को कैसे गुणा किया जाता है विभिन्न भाजक.

विभिन्न हरों से भिन्नों को गुणा करना

प्रारंभ में यह निर्धारित करने लायक है भिन्नों के प्रकार:

• सही;
• ग़लत;
• मिश्रित।

इसके बाद, आपको यह याद रखना होगा कि भिन्नात्मक संख्याओं को कैसे गुणा किया जाता है समान भाजक. इस प्रक्रिया के नियम को स्वतंत्र रूप से तैयार करना मुश्किल नहीं है: सरल भिन्नों को समान हरों से गुणा करने का परिणाम एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति है, जिसका अंश अंशों का गुणनफल है, और हर इन भिन्नों के हरों का गुणनफल है। . अर्थात्, वास्तव में, नया हर आरंभ में मौजूद हर में से एक का वर्ग है।

गुणा करते समय विभिन्न हरों वाली सरल भिन्नेंदो या दो से अधिक कारकों के लिए नियम नहीं बदलता:

ए/बी * सी/डी = ए*सी / b*d.

अंतर केवल इतना है कि भिन्नात्मक रेखा के नीचे बनी संख्या विभिन्न संख्याओं का गुणनफल होगी और स्वाभाविक रूप से, इसे एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का वर्ग नहीं कहा जा सकता है।

उदाहरणों का उपयोग करके विभिन्न हरों के साथ भिन्नों के गुणन पर विचार करना उचित है:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

उदाहरण भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को कम करने के तरीकों का उपयोग करते हैं। आप केवल हर संख्या के साथ अंश संख्या को कम कर सकते हैं; भिन्न रेखा के ऊपर या नीचे आसन्न कारकों को कम नहीं किया जा सकता है।

सरल के साथ-साथ भिन्नात्मक संख्याएँ, मिश्रित भिन्न की अवधारणा है। एक मिश्रित संख्या में एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है, अर्थात यह इन संख्याओं का योग है:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

गुणा कैसे काम करता है?

विचार हेतु अनेक उदाहरण दिये गये हैं।

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

उदाहरण किसी संख्या के गुणन का उपयोग करता है साधारण भिन्नात्मक भाग, इस क्रिया के नियम को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ए* बी/सी = ए*बी /सी।

वास्तव में, ऐसा उत्पाद समान भिन्नात्मक शेषफलों का योग है, और पदों की संख्या इस प्राकृतिक संख्या को इंगित करती है। विशेष मामला:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

किसी संख्या को भिन्नात्मक शेषफल से गुणा करने का एक और उपाय है। आपको बस हर को इस संख्या से विभाजित करना होगा:

डी* ई/एफ = ई/एफ: डी.

इस तकनीक का उपयोग तब उपयोगी होता है जब हर को बिना किसी शेषफल वाली प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जाता है या, जैसा कि वे कहते हैं, एक पूर्ण संख्या से विभाजित किया जाता है।

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें और पहले वर्णित तरीके से उत्पाद प्राप्त करें:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

इस उदाहरण में प्रस्तुतिकरण विधि शामिल है मिश्रित अंशगलत तरीके से इसे फॉर्म में भी दर्शाया जा सकता है सामान्य सूत्र:

ए बीसी = ए*बी+सी/सी, हर कहां है नया अंशपूर्ण भाग को हर से गुणा करने और मूल भिन्नात्मक शेषफल के अंश के साथ जोड़ने से बनता है, और हर वही रहता है।

यह प्रक्रिया भी काम करती है विपरीत पक्ष. पूर्ण भाग और भिन्नात्मक शेषफल को अलग करने के लिए, आपको अंश को विभाजित करना होगा अनुचित अंशइसके हर को "कोने" के साथ।

अनुचित भिन्नों का गुणा करनाआम तौर पर स्वीकृत तरीके से उत्पादित। एकल भिन्न रेखा के नीचे लिखते समय, आपको इस पद्धति का उपयोग करके संख्याओं को कम करने और परिणाम की गणना करना आसान बनाने के लिए आवश्यकतानुसार भिन्नों को कम करने की आवश्यकता है।

जटिल गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए इंटरनेट पर कई सहायक मौजूद हैं विभिन्न विविधताएँकार्यक्रम. पर्याप्त संख्या में ऐसी सेवाएँ भिन्नों का गुणन गिनने में सहायता प्रदान करती हैं अलग-अलग नंबरहर में - भिन्नों की गणना के लिए तथाकथित ऑनलाइन कैलकुलेटर। वे न केवल गुणा करने में सक्षम हैं, बल्कि साधारण भिन्नों और मिश्रित संख्याओं के साथ अन्य सभी सरल अंकगणितीय ऑपरेशन भी करने में सक्षम हैं। इसके साथ काम करना आसान है; आप वेबसाइट पेज पर उपयुक्त फ़ील्ड भरें, गणितीय ऑपरेशन का चिह्न चुनें, और "गणना करें" पर क्लिक करें। प्रोग्राम स्वचालित रूप से गणना करता है.

भिन्नों के साथ अंकगणितीय संक्रियाओं का विषय मिडिल और हाई स्कूल के छात्रों की शिक्षा के दौरान प्रासंगिक है। हाई स्कूल में, वे अब सबसे सरल प्रजाति पर विचार नहीं करते हैं, लेकिन पूर्णांक भिन्नात्मक अभिव्यक्तियाँ, लेकिन पहले प्राप्त परिवर्तन और गणना के नियमों का ज्ञान अपने मूल रूप में लागू किया जाता है। अच्छी तरह से महारत हासिल बुनियादी ज्ञान पूर्ण आत्मविश्वास देता है सफल निर्णयसबसे कठिन कार्य.

अंत में, लेव निकोलाइविच टॉल्स्टॉय के शब्दों को उद्धृत करना समझ में आता है, जिन्होंने लिखा था: “मनुष्य एक अंश है। अपने अंश - अपने गुणों - को बढ़ाना किसी व्यक्ति के वश में नहीं है, लेकिन कोई भी व्यक्ति अपने हर - अपने बारे में अपनी राय को कम कर सकता है, और इस कमी के साथ अपनी पूर्णता के करीब आ सकता है।

आप भिन्नों के साथ विभाजन सहित सब कुछ कर सकते हैं। यह आलेख साधारण भिन्नों का विभाजन दर्शाता है। परिभाषाएँ दी जाएंगी और उदाहरणों पर चर्चा की जाएगी। आइए हम भिन्नों को प्राकृतिक संख्याओं से विभाजित करने और इसके विपरीत पर विस्तार से ध्यान दें। एक उभयनिष्ठ भिन्न को मिश्रित संख्या से विभाजित करने पर चर्चा की जाएगी।

भिन्नों को विभाजित करना

भाग गुणन का व्युत्क्रम है। विभाजित करते समय, अज्ञात कारक को किसी अन्य कारक के ज्ञात उत्पाद के साथ पाया जाता है, जहां इसका दिया गया अर्थ साधारण अंशों के साथ संरक्षित किया जाता है।

यदि किसी उभयनिष्ठ भिन्न a b को c d से विभाजित करना आवश्यक है, तो ऐसी संख्या निर्धारित करने के लिए आपको भाजक c d से गुणा करना होगा, इससे अंततः लाभांश a b मिलेगा। आइए एक संख्या प्राप्त करें और इसे a b · d c लिखें, जहां d c, c d संख्या का व्युत्क्रम है। गुणन के गुणों का उपयोग करके समानताएं लिखी जा सकती हैं, अर्थात्: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, जहां अभिव्यक्ति a b · d c, a b को c d से विभाजित करने का भागफल है।

यहां से हम साधारण भिन्नों को विभाजित करने का नियम प्राप्त करते हैं और बनाते हैं:

परिभाषा 1

एक सामान्य भिन्न a b को c d से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करना होगा।

आइए नियम को अभिव्यक्ति के रूप में लिखें: a b: c d = a b · d c

भाग के नियम गुणा तक आते हैं। इस पर टिके रहने के लिए, आपको भिन्नों को गुणा करने की अच्छी समझ होनी चाहिए।

आइए सामान्य भिन्नों के विभाजन पर विचार करें।

उदाहरण 1

9 7 को 5 3 से विभाजित करें. परिणाम को भिन्न के रूप में लिखें.

समाधान

संख्या 5 3 व्युत्क्रम भिन्न 3 5 है। साधारण भिन्नों को विभाजित करने के लिए नियम का प्रयोग करना आवश्यक है। हम इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखते हैं: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35।

उत्तर: 9 7: 5 3 = 27 35 .

भिन्नों को कम करते समय, यदि अंश हर से बड़ा है तो पूरे भाग को अलग कर दें।

उदाहरण 2

भाग 8 15: 24 65. उत्तर को भिन्न के रूप में लिखें।

समाधान

हल करने के लिए, आपको भाग से गुणा की ओर बढ़ना होगा। आइए इसे इस रूप में लिखें: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

कमी करना आवश्यक है, और यह इस प्रकार किया जाता है: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

संपूर्ण भाग का चयन करें और 13 9 = 1 4 9 प्राप्त करें।

उत्तर: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

एक असाधारण भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना

हम भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं: a b को प्राकृतिक संख्या n से विभाजित करने के लिए, आपको केवल हर को n से गुणा करना होगा। यहाँ से हमें अभिव्यक्ति मिलती है: a b: n = a b · n.

विभाजन नियम गुणन नियम का परिणाम है। इसलिए, एक प्राकृतिक संख्या को भिन्न के रूप में प्रस्तुत करने से इस प्रकार की समानता मिलेगी: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n।

भिन्न के इस विभाजन पर एक संख्या से विचार करें।

उदाहरण 3

भिन्न 16 45 को संख्या 12 से विभाजित करें।

समाधान

आइए भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करने का नियम लागू करें। हमें प्रपत्र 16 45: 12 = 16 45 · 12 का व्यंजक प्राप्त होता है।

आइए भिन्न को कम करें. हमें 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 प्राप्त होता है।

उत्तर: 16 45: 12 = 4 135 .

किसी प्राकृत संख्या को भिन्न से विभाजित करना

विभाजन नियम समान है हेकिसी प्राकृतिक संख्या को साधारण भिन्न से विभाजित करने का नियम: किसी प्राकृतिक संख्या n को साधारण भिन्न a b से विभाजित करने के लिए, संख्या n को भिन्न a b के व्युत्क्रम से गुणा करना आवश्यक है।

नियम के आधार पर, हमारे पास n: a b = n · b a है, और एक प्राकृतिक संख्या को एक साधारण भिन्न से गुणा करने के नियम के लिए धन्यवाद, हमें अपनी अभिव्यक्ति n: a b = n · b a के रूप में मिलती है। इस विभाजन पर एक उदाहरण से विचार करना आवश्यक है।

उदाहरण 4

25 को 15 से भाग दें 28.

समाधान

हमें भाग से गुणा की ओर बढ़ने की जरूरत है। आइए इसे अभिव्यक्ति 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 के रूप में लिखें। आइए भिन्न को कम करें और परिणाम भिन्न 46 2 3 के रूप में प्राप्त करें।

उत्तर: 25: 15 28 = 46 2 3 .

किसी भिन्न को मिश्रित संख्या से विभाजित करना

किसी सामान्य भिन्न को मिश्रित संख्या से विभाजित करते समय, आप आसानी से सामान्य भिन्न को विभाजित करना शुरू कर सकते हैं। आपको एक मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलने की आवश्यकता है।

उदाहरण 5

भिन्न 35 16 को 3 1 8 से विभाजित करें।

समाधान

चूँकि 3 1 8 एक मिश्रित संख्या है, आइए इसे एक अनुचित भिन्न के रूप में निरूपित करें। तब हमें 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 प्राप्त होता है। अब भिन्नों को विभाजित करते हैं। हमें प्राप्त होता है 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

उत्तर: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

मिश्रित संख्या को विभाजित करना सामान्य संख्याओं की तरह ही किया जाता है।

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टी पाठ का प्रकार: ONZ (नए ज्ञान की खोज - गतिविधि-आधारित शिक्षण पद्धति की तकनीक का उपयोग करके)।

मुख्य लक्ष्य:

1. किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने की विधियाँ निकालना;
2. किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने की क्षमता विकसित करना;
3. भिन्नों के विभाजन को दोहराना और सुदृढ़ करना;
4. भिन्नों को कम करने, विश्लेषण करने और समस्याओं को हल करने की क्षमता को प्रशिक्षित करें।

उपकरण प्रदर्शन सामग्री:

1. ज्ञान को अद्यतन करने के कार्य:

भावों की तुलना करें:

संदर्भ:

2. परीक्षण (व्यक्तिगत) कार्य।

1. विभाजन करें:

2. गणना की पूरी श्रृंखला निष्पादित किए बिना विभाजन निष्पादित करें:।

मानक:

• किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करते समय, आप हर को उस संख्या से गुणा कर सकते हैं, लेकिन अंश को वही छोड़ सकते हैं।

• यदि अंश किसी प्राकृतिक संख्या से विभाज्य है, तो भिन्न को इस संख्या से विभाजित करते समय, आप अंश को संख्या से विभाजित कर सकते हैं और हर को वही छोड़ सकते हैं।

पाठ प्रगति

I. शैक्षिक गतिविधियों के लिए प्रेरणा (आत्मनिर्णय)।

मंच का उद्देश्य:

1. शैक्षिक गतिविधियों ("आवश्यक") के संदर्भ में छात्र के लिए आवश्यकताओं को अद्यतन करने का आयोजन करें;
2. विषयगत ढाँचे ("मैं कर सकता हूँ") स्थापित करने के लिए छात्र गतिविधियों को व्यवस्थित करें;
3. शैक्षिक गतिविधियों ("मैं चाहता हूँ") में शामिल करने की आंतरिक आवश्यकता विकसित करने के लिए छात्र के लिए परिस्थितियाँ बनाएँ।

चरण I पर शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

नमस्ते! मुझे गणित पाठ में आप सभी को देखकर खुशी हुई। मुझे आशा है कि यह पारस्परिक है।

दोस्तों, पिछले पाठ में आपने कौन सा नया ज्ञान प्राप्त किया? (अंशों को विभाजित करें)।

सही। भिन्नों का विभाजन करने में आपको क्या मदद मिलती है? (नियम, गुण)।

हमें इस ज्ञान की आवश्यकता कहां है? (उदाहरणों, समीकरणों, समस्याओं में)।

बहुत अच्छा! आपने पिछले पाठ में असाइनमेंट अच्छा किया था। क्या आप आज स्वयं नये ज्ञान की खोज करना चाहते हैं? (हाँ)।

फिर - चलो चलें! और पाठ का आदर्श वाक्य यह होगा कि "आप अपने पड़ोसी को ऐसा करते हुए देखकर गणित नहीं सीख सकते!"

द्वितीय. ज्ञान को अद्यतन करना और परीक्षण कार्रवाई में व्यक्तिगत कठिनाइयों को ठीक करना।

मंच का उद्देश्य:

1. नए ज्ञान के निर्माण के लिए सीखी गई क्रिया के तरीकों को अद्यतन करने की व्यवस्था करें। इन विधियों को मौखिक रूप से (भाषण में) और प्रतीकात्मक रूप से (मानक) रिकॉर्ड करें और उनका सामान्यीकरण करें;
2. मानसिक संचालन के कार्यान्वयन को व्यवस्थित करें और संज्ञानात्मक प्रक्रियाएँ, नए ज्ञान के निर्माण के लिए पर्याप्त;
3. परीक्षण कार्रवाई और उसके स्वतंत्र कार्यान्वयन और औचित्य के लिए प्रेरित करना;
4. परीक्षण कार्रवाई के लिए एक व्यक्तिगत कार्य प्रस्तुत करें और नई शैक्षिक सामग्री की पहचान करने के लिए उसका विश्लेषण करें;
5. शैक्षिक लक्ष्य और पाठ के विषय का निर्धारण व्यवस्थित करें;
6. परीक्षण कार्रवाई के कार्यान्वयन को व्यवस्थित करें और कठिनाई को ठीक करें;
7. प्राप्त प्रतिक्रियाओं का विश्लेषण व्यवस्थित करें और परीक्षण कार्रवाई करने या उसे उचित ठहराने में व्यक्तिगत कठिनाइयों को रिकॉर्ड करें।

चरण II में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

सामने से, टैबलेट (व्यक्तिगत बोर्ड) का उपयोग करना।

1. भावों की तुलना करें:

(ये भाव समान हैं)

आपने कौन सी दिलचस्प बातें नोटिस कीं? (प्रत्येक अभिव्यक्ति में लाभांश के अंश और हर, भाजक के अंश और हर में समान संख्या में वृद्धि हुई है। इस प्रकार, अभिव्यक्तियों में लाभांश और भाजक उन भिन्नों द्वारा दर्शाए जाते हैं जो एक दूसरे के बराबर होते हैं)।

अभिव्यक्ति का अर्थ ढूंढें और इसे अपने टेबलेट पर लिखें। (2)

मैं इस संख्या को भिन्न के रूप में कैसे लिख सकता हूँ?

आपने विभाजन की कार्रवाई कैसे की? (बच्चे नियम का उच्चारण करते हैं, शिक्षक बोर्ड पर अक्षर चिन्ह लगाते हैं)

2. केवल परिणामों की गणना करें और रिकॉर्ड करें:

3. परिणाम जोड़ें और उत्तर लिखें। (2)

कार्य 3 में प्राप्त संख्या का नाम क्या है? (प्राकृतिक)

क्या आपको लगता है कि आप भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित कर सकते हैं? (हाँ, हम कोशिश करेंगे)

ये कोशिश करें।

4. व्यक्तिगत (परीक्षण) कार्य.

विभाजन निष्पादित करें: (केवल उदाहरण)

आपने विभाजित करने के लिए किस नियम का उपयोग किया? (भिन्नों को भिन्नों से विभाजित करने के नियम के अनुसार)

अब भिन्न को इससे बड़ी प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें सरल तरीके से, गणना की पूरी श्रृंखला निष्पादित किए बिना: (उदाहरण बी)। मैं आपको इसके लिए 3 सेकंड का समय दूंगा.

कौन 3 सेकंड में कार्य पूरा नहीं कर सका?

ये किसने किया? (ऐसी कोई बात नहीं)

क्यों? (हमें रास्ता नहीं पता)

तुम्हें क्या मिला? (कठिनाई)

आपको क्या लगता है हम कक्षा में क्या करेंगे? (भिन्नों को प्राकृतिक संख्याओं से विभाजित करें)

यह सही है, अपनी नोटबुक खोलें और पाठ का विषय लिखें: "एक भिन्न को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना।"

जब आप पहले से ही भिन्नों को विभाजित करना जानते हैं तो यह विषय नया क्यों लगता है? (एक नया तरीका चाहिए)

सही। आज हम एक ऐसी तकनीक स्थापित करेंगे जो किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना सरल बना देगी।

तृतीय. समस्या के स्थान और कारण की पहचान करना।

मंच का उद्देश्य:

1. पूर्ण किए गए कार्यों की बहाली का आयोजन करें और उस स्थान - चरण, संचालन - को रिकॉर्ड (मौखिक और प्रतीकात्मक) करें - जहां कठिनाई उत्पन्न हुई;
2. उपयोग की गई विधि (एल्गोरिदम) के साथ छात्रों के कार्यों के सहसंबंध को व्यवस्थित करें और कठिनाई के कारण के बाहरी भाषण में निर्धारण करें - वह विशिष्ट ज्ञान, कौशल या क्षमताएं जिनकी इस प्रकार की प्रारंभिक समस्या को हल करने के लिए कमी है।

चरण III में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

आपको कौन सा कार्य पूरा करना था? (गणना की पूरी श्रृंखला से गुजरे बिना एक भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें)

आपको किस कारण कठिनाई हुई? (हम इसे त्वरित विधि का उपयोग करके कम समय में हल नहीं कर सके)

पाठ में हमने अपने लिए क्या लक्ष्य निर्धारित किया है? (खोजो तेज तरीकाकिसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना)

आपकी क्या मदद होगी? (भिन्नों को विभाजित करने का नियम पहले से ही ज्ञात है)

चतुर्थ. किसी समस्या से बाहर निकलने के लिए एक परियोजना का निर्माण करना।

मंच का उद्देश्य:

1. परियोजना लक्ष्य का स्पष्टीकरण;
2. विधि का चयन (स्पष्टीकरण);
3. साधनों का निर्धारण (एल्गोरिदम);
4. लक्ष्य प्राप्त करने के लिए योजना बनाना।

चरण IV पर शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

चलिए परीक्षण कार्य पर वापस आते हैं। आपने कहा कि आपने भिन्नों को विभाजित करने के नियम के अनुसार विभाजन किया है? (हाँ)

ऐसा करने के लिए, किसी प्राकृत संख्या को भिन्न से बदलें? (हाँ)

आपके अनुसार कौन सा चरण (या चरण) छोड़ा जा सकता है?

(समाधान श्रृंखला बोर्ड पर खुली है:

विश्लेषण करें और निष्कर्ष निकालें। (स्टेप 1)

यदि कोई उत्तर नहीं है, तो हम आपको प्रश्नों के माध्यम से ले जाते हैं:

प्राकृतिक विभाजक कहाँ गया? (हर में)

क्या अंश बदल गया है? (नहीं)

तो आप कौन सा कदम "छोड़" सकते हैं? (स्टेप 1)

कार्य योजना:

• किसी भिन्न के हर को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करें।
• हम अंश नहीं बदलते.
• हमें एक नया अंश मिलता है।

वी. निर्मित परियोजना का कार्यान्वयन।

मंच का उद्देश्य:

1. छूटे हुए ज्ञान को प्राप्त करने के उद्देश्य से निर्मित परियोजना को लागू करने के लिए संचारी बातचीत का आयोजन करें;
2. भाषण और संकेतों (एक मानक का उपयोग करके) में कार्रवाई की निर्मित विधि की रिकॉर्डिंग व्यवस्थित करें;
3. प्रारंभिक समस्या के समाधान को व्यवस्थित करें और कठिनाई को दूर करने का तरीका रिकॉर्ड करें;
4. नए ज्ञान की सामान्य प्रकृति के स्पष्टीकरण का आयोजन करें।

चरण V पर शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

अब जल्दी से टेस्ट केस को नए तरीके से चलाएं।

अब क्या आप कार्य को शीघ्रता से पूरा कर पाये? (हाँ)

बताएं कि आपने यह कैसे किया? (बच्चे बात करते हैं)

इसका मतलब है कि हमने नया ज्ञान प्राप्त किया है: किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का नियम।

बहुत अच्छा! इसे जोड़े में कहें.

फिर एक छात्र कक्षा से बोलता है। हम नियम-एल्गोरिदम को मौखिक रूप से और बोर्ड पर एक मानक के रूप में तय करते हैं।

अब अक्षर पदनाम दर्ज करें और हमारे नियम का सूत्र लिखें।

छात्र बोर्ड पर नियम बताते हुए लिखता है: किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करते समय, आप हर को इस संख्या से गुणा कर सकते हैं, लेकिन अंश को वही छोड़ सकते हैं।

(हर कोई अपनी नोटबुक में सूत्र लिखता है)।

अब उत्तर पर विशेष ध्यान देते हुए परीक्षण कार्य को हल करने की श्रृंखला का फिर से विश्लेषण करें। आपने क्या किया? (अंश 15 के अंश को संख्या 3 से विभाजित (कम) किया गया)

यह संख्या क्या है? (प्राकृतिक, भाजक)

तो फिर आप भिन्न को प्राकृतिक संख्या से कैसे विभाजित कर सकते हैं? (जांचें: यदि किसी भिन्न का अंश इस प्राकृतिक संख्या से विभाज्य है, तो आप अंश को इस संख्या से विभाजित कर सकते हैं, परिणाम को नए अंश के अंश में लिख सकते हैं, और हर को वही छोड़ सकते हैं)

इस विधि को सूत्र के रूप में लिखिए। (छात्र नियम का उच्चारण करते समय उसे बोर्ड पर लिखता है। सभी लोग सूत्र को अपनी नोटबुक में लिखते हैं।)

चलिए पहली विधि पर वापस आते हैं। आप इसका उपयोग कर सकते हैं यदि a:n? (हां यह है सामान्य विधि)

और दूसरी विधि का उपयोग करना कब सुविधाजनक है? (जब भिन्न के अंश को बिना किसी शेषफल के किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जाता है)

VI. बाह्य वाणी में उच्चारण के साथ प्राथमिक समेकन।

मंच का उद्देश्य:

1. बाहरी भाषण (सामने से, जोड़े या समूहों में) में उनके उच्चारण के साथ मानक समस्याओं को हल करते समय बच्चों की कार्रवाई की एक नई पद्धति को आत्मसात करने का आयोजन करें।

चरण VI में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

नए तरीके से करें गणना:

• संख्या 363 (ए; डी) - नियम का उच्चारण करते हुए बोर्ड पर प्रदर्शन किया गया।
• संख्या 363 (ई; एफ) - नमूने के अनुसार जाँच के साथ जोड़े में।

सातवीं. मानक के अनुसार स्व-परीक्षण के साथ स्वतंत्र कार्य।

मंच का उद्देश्य:

1. कार्रवाई के एक नए तरीके के लिए छात्रों के कार्यों को स्वतंत्र रूप से पूरा करने का आयोजन करें;
2. मानक के साथ तुलना के आधार पर स्व-परीक्षण व्यवस्थित करें;
3. निष्पादन के परिणामों के आधार पर स्वतंत्र कार्यकार्रवाई के एक नए तरीके को आत्मसात करने पर चिंतन का आयोजन करें।

चरण VII में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

नए तरीके से करें गणना:

• क्रमांक 363 (बी; सी)

छात्र मानक के अनुसार जांच करते हैं और निष्पादन की शुद्धता को चिह्नित करते हैं। त्रुटियों के कारणों का विश्लेषण किया जाता है और त्रुटियों को ठीक किया जाता है।

शिक्षक उन छात्रों से पूछते हैं जिन्होंने गलतियाँ कीं, इसका कारण क्या है?

इस स्तर पर, यह महत्वपूर्ण है कि प्रत्येक छात्र स्वतंत्र रूप से अपने काम की जाँच करे।

आठवीं. ज्ञान प्रणाली में समावेशन एवं पुनरावृत्ति।

मंच का उद्देश्य:

1. नए ज्ञान के अनुप्रयोग की सीमाओं की पहचान व्यवस्थित करें;
2. सार्थक निरंतरता सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक शैक्षिक सामग्री की पुनरावृत्ति व्यवस्थित करें।

आठवें चरण में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

भविष्य की शैक्षिक गतिविधियों के लिए एक दिशा के रूप में पाठ में अनसुलझे कठिनाइयों की रिकॉर्डिंग व्यवस्थित करें;

होमवर्क की चर्चा और रिकॉर्डिंग का आयोजन करें।

चरण IX में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

1. वार्ता:

दोस्तों, आज आपने कौन सा नया ज्ञान खोजा है? (किसी भिन्न को सरल तरीके से प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना सीखा)

एक सामान्य विधि तैयार करें. (कहते हैं)

आप इसका उपयोग किस प्रकार और किन मामलों में कर सकते हैं? (कहते हैं)

नये तरीके का क्या फायदा?

क्या हमने अपना पाठ लक्ष्य प्राप्त कर लिया है? (हाँ)

आपने अपने लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए किस ज्ञान का उपयोग किया? (कहते हैं)

क्या आपके लिए सब कुछ ठीक रहा?

कठिनाइयाँ क्या थीं?

2. गृहकार्य:खंड 3.2.4.; संख्या 365(एल, एन, ओ, पी); क्रमांक 370.

3. अध्यापक:मुझे खुशी है कि आज हर कोई सक्रिय था और कठिनाई से बाहर निकलने का रास्ता खोजने में कामयाब रहा। और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि एक नया भवन खोलते और स्थापित करते समय वे पड़ोसी नहीं थे। पाठ के लिए धन्यवाद, बच्चों!

अंश संपूर्ण का एक या अधिक भाग होता है, जिसे आमतौर पर एक (1) माना जाता है। प्राकृतिक संख्याओं की तरह, आप भिन्नों के साथ सभी बुनियादी अंकगणितीय ऑपरेशन (जोड़, घटाव, भाग, गुणा) कर सकते हैं, ऐसा करने के लिए, आपको भिन्नों के साथ काम करने की विशेषताओं को जानना होगा और उनके प्रकारों के बीच अंतर करना होगा; भिन्न कई प्रकार की होती हैं: दशमलव और साधारण, या साधारण। प्रत्येक प्रकार के भिन्न की अपनी विशिष्टताएँ होती हैं, लेकिन एक बार जब आप अच्छी तरह से समझ जाते हैं कि उन्हें कैसे संभालना है, तो आप भिन्न के साथ किसी भी उदाहरण को हल करने में सक्षम होंगे, क्योंकि आप भिन्न के साथ अंकगणितीय गणना करने के बुनियादी सिद्धांतों को जान लेंगे। आइए उदाहरण देखें कि किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से कैसे विभाजित किया जाए अलग - अलग प्रकारअंशों

एक साधारण भिन्न को प्राकृतिक संख्या से कैसे विभाजित करें?
साधारण या साधारण भिन्न वे होते हैं जो संख्याओं के अनुपात के रूप में लिखे जाते हैं जिनमें अंश के शीर्ष पर लाभांश (अंशांक) दर्शाया जाता है और नीचे अंश का भाजक (हर) दर्शाया जाता है। ऐसे भिन्न को पूर्ण संख्या से कैसे विभाजित करें? आइए एक उदाहरण देखें! मान लीजिए कि हमें 8/12 को 2 से विभाजित करना है।

ऐसा करने के लिए हमें कई कार्य करने होंगे:
इस प्रकार, यदि हमें किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से विभाजित करने की समस्या का सामना करना पड़ता है, तो समाधान आरेख कुछ इस तरह दिखेगा:

इसी प्रकार, आप किसी भी साधारण भिन्न को पूर्णांक से विभाजित कर सकते हैं।

दशमलव को पूर्ण संख्या से कैसे विभाजित करें?
दशमलव एक भिन्न है जो एक इकाई को दस, एक हजार, इत्यादि भागों में विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। दशमलव के साथ अंकगणित काफी सरल है.

आइए एक उदाहरण देखें कि भिन्न को पूर्ण संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। मान लीजिए कि हमें दशमलव अंश 0.925 को प्राकृतिक संख्या 5 से विभाजित करने की आवश्यकता है।

संक्षेप में, आइए हम दो मुख्य बिंदुओं पर ध्यान दें जो दशमलव अंशों को पूर्णांक से विभाजित करने का कार्य करते समय महत्वपूर्ण हैं:

• अलगाव के लिए दशमलवस्तंभ विभाजन का उपयोग प्राकृतिक संख्या के लिए किया जाता है;
  
• जब लाभांश के पूरे भाग का विभाजन पूरा हो जाता है तो भागफल में अल्पविराम लगाया जाता है।
  

इन्हें लागू करना सरल नियम, आप हमेशा किसी भी दशमलव को आसानी से विभाजित कर सकते हैं या साधारण अंशएक पूर्णांक द्वारा.