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13. 방정식 3-4cos 2 x=0을 푼다. 구간에 속하는 근의 합을 구합니다.
공식: 1+cos2α=2cos 2 α를 사용하여 코사인의 정도를 줄여보겠습니다. 우리는 동등한 방정식을 얻습니다.
3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. 평등의 양쪽을 (-2)로 나누고 가장 간단한 삼각 방정식을 얻습니다.
14. b 5 찾기 기하학적 진행, b 4 =25이고 b 6 =16인 경우.
두 번째부터 시작하는 기하수열의 각 항은 인접한 항의 산술 평균과 같습니다.
(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1 . (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25·16 ⇒ b 5 =±5·4 ⇒ b 5 =±20이 됩니다.
15. 함수의 도함수를 구하세요: f(x)=tgx-ctgx.
16. 가장 위대한 것을 찾아내고 가장 작은 값함수 y(x)=x 2 -12x+27
세그먼트에.
함수의 최대값과 최소값을 찾으려면 y=f(x) 세그먼트에, 세그먼트 끝과 이 세그먼트에 속하는 임계점에서 이 함수의 값을 찾은 다음 얻은 모든 값에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택해야 합니다.
x=3과 x=7에서 함수의 값을 찾아보겠습니다. 즉, 세그먼트의 끝 부분에 있습니다.
y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;
y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.
이 함수의 도함수를 구하세요: y'(x)=(x 2 -12x+27)' =2x-12=2(x-6); 임계점 x=6이 이 구간에 속합니다. x=6에서 함수의 값을 찾아봅시다.
y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. 이제 얻은 세 가지 값 중에서 0을 선택합니다. -8 및 -9 최대 및 최소: 가장 큰 경우. =0; 이름으로 =-9.
17. 찾다 일반적인 견해함수에 대한 역도함수:
이 간격은 이 함수의 정의 영역입니다. 답은 f(x)가 아니라 F(x)로 시작해야 합니다. 결국 우리는 역도함수를 찾고 있습니다. 정의에 따르면, 함수 F(x)는 등식이 F'(x)=f(x)인 경우 함수 f(x)의 역도함수입니다. 따라서 주어진 함수를 얻을 때까지 제안된 답의 파생물을 간단히 찾을 수 있습니다. 엄격한 솔루션은 주어진 함수의 적분을 계산하는 것입니다. 우리는 다음 공식을 적용합니다.
19. 꼭지점이 A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6)인 경우 삼각형 ABC의 중앙값 BD를 포함하는 선에 대한 방정식을 작성하십시오.
직선의 방정식을 작성하려면 이 직선의 두 점의 좌표를 알아야 하는데, 우리는 점 B의 좌표만 알고 있습니다. 중앙값 BD는 반대쪽을 반으로 나누기 때문에 점 D가 선분의 중간점입니다. 교류. 세그먼트 중간의 좌표는 세그먼트 끝의 해당 좌표의 절반합입니다. D점의 좌표를 구해보자.
20. 믿다:
24. 직각기둥의 밑면에 있는 정삼각형의 면적은 다음과 같습니다.
이 문제는 옵션 0021의 문제 번호 24와 반대입니다.
25. 패턴을 찾아 누락된 숫자를 삽입하세요: 1; 4; 9; 16; ...
분명히 이 숫자는 25 , 왜냐하면 우리에게는 일련의 자연수의 제곱이 주어지기 때문입니다:
1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …
모두에게 행운과 성공을 기원합니다!
성공적으로 해결하려면 삼각 방정식사용하기 편리하다 감소 방법이전에 해결된 문제에 대해 이 방법의 본질이 무엇인지 알아 봅시다.
제안된 문제에서는 이전에 해결된 문제를 확인한 다음 연속적인 등가 변환을 사용하여 주어진 문제를 더 간단한 문제로 줄여야 합니다.
따라서 삼각 방정식을 풀 때 일반적으로 등가 방정식의 특정 유한 시퀀스를 생성하며, 그 마지막 링크는 명확한 솔루션이 있는 방정식입니다. 가장 간단한 삼각 방정식을 푸는 기술이 개발되지 않으면 더 복잡한 방정식을 푸는 것이 어렵고 비효율적이라는 점을 기억하는 것이 중요합니다.
또한 삼각 방정식을 풀 때 여러 가지 가능한 해결 방법이 있다는 사실을 잊지 말아야 합니다.
예 1. 구간에서 방정식 cos x = -1/2의 근 수를 구합니다.
해결책:
방법 I함수 y = cos x 및 y = -1/2를 플로팅하고 구간에서 공통점의 수를 찾아보겠습니다(그림 1).
함수 그래프에는 두 가지가 있으므로 공통점구간 에서 방정식은 이 구간에 두 개의 근을 포함합니다.
II 방법.삼각원(그림 2)을 사용하여 cos x = -1/2인 구간에 속하는 점의 수를 알아냅니다. 그림은 방정식에 두 개의 근이 있음을 보여줍니다. 
III 방법.삼각 방정식의 근에 대한 공식을 사용하여 방정식 cos x = -1/2을 풉니다.
x = ± 아크코사인(-1/2) + 2πk, k – 정수(k € Z);
x = ± (π – 아크코사인 1/2) + 2πk, k – 정수 (k € Z);
x = ± (π – π/3) + 2πk, k – 정수 (k € Z);
x = ± 2π/3 + 2πk, k – 정수(k € Z).
구간에는 근 2π/3과 -2π/3 + 2π가 포함되며, k는 정수입니다. 따라서 방정식은 주어진 구간에서 두 개의 근을 갖습니다.
답: 2.
앞으로 삼각 방정식은 제안된 방법 중 하나를 사용하여 풀릴 것이며 많은 경우 다른 방법의 사용을 배제하지 않습니다.
예 2. 방정식 tg (x + π/4) = 1의 구간 [-2π; 2π].
해결책:
삼각 방정식의 근에 대한 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.
x + π/4 = 아크탄젠트 1 + πk, k – 정수(k € Z);
x + π/4 = π/4 + πk, k – 정수(k € Z);
x = πk, k – 정수(k € Z);
간격 [-2π; 2π]는 -2π 숫자에 속합니다. -π; 0; π; 2π. 따라서 방정식은 주어진 구간에서 5개의 근을 가집니다.
답: 5.
예 3. 구간 [-π;에서 cos 2 x + sin x · cos x = 1 방정식의 근 수를 구합니다. π].
해결책:
1 = sin 2 x + cos 2 x (기본 삼각법 항등식)이므로 원래 방정식의 형식은 다음과 같습니다.
cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;
죄 2 x – 죄 x cos x = 0;
sin x(sin x – cos x) = 0. 곱은 0과 같습니다. 이는 요소 중 적어도 하나가 0과 같아야 함을 의미합니다. 따라서:
사인 x = 0 또는 사인 x – cos x = 0.
cos x = 0이 되는 변수의 값은 두 번째 방정식의 근이 아니므로(같은 숫자의 사인과 코사인이 동시에 0이 될 수는 없음) 두 번째 방정식의 양변을 나눕니다. cos x 기준:
죄 x = 0 또는 죄 x / cos x - 1 = 0.
두 번째 방정식에서는 tg x = sin x / cos x라는 사실을 사용합니다.
sin x = 0 또는 tan x = 1. 공식을 사용하면 다음과 같습니다.
x = πk 또는 x = π/4 + πk, k – 정수(k € Z).
첫 번째 근 계열부터 간격 [-π; π]는 숫자 -π에 속합니다. 0; π. 두 번째 계열: (π/4 – π) 및 π/4.
따라서 원래 방정식의 5개 근은 간격 [-π에 속합니다. π].
답: 5.
예 4. 구간 [-π; 1.1π].
해결책:
방정식을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.
tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 으로 교체합니다.
tg x + сtgx = a라고 둡니다. 방정식의 양변을 제곱해 보겠습니다.
(tg x + сtg x) 2 = a 2. 대괄호를 확장해 보겠습니다.
tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2.
tg x · сtgx = 1이므로 tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2입니다. 이는 다음을 의미합니다.
tg 2 x + сtg 2 x = 2 – 2.
이제 원래 방정식은 다음과 같습니다.
2 – 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. Vieta의 정리를 사용하면 a = -1 또는 a = -2임을 알 수 있습니다.
역대입을 해보면 다음과 같습니다.
tg x + сtgx = -1 또는 tg x + сtgx = -2. 결과 방정식을 풀어 봅시다.
tg x + 1/tgx = -1 또는 tg x + 1/tgx = -2.
두 개의 상호 역수 특성을 통해 우리는 첫 번째 방정식에 근이 없다는 것을 결정하고 두 번째 방정식으로부터 다음을 얻습니다.
tg x = -1, 즉 x = -π/4 + πk, k – 정수(k € Z).
간격 [-π; 1,1π]는 근에 속합니다: -π/4; -π/4 + π. 그 합계:
-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.
답: π/2.
예 5. 구간 [-π; 0.5π].
해결책:
공식 sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2)를 사용해 보겠습니다.
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x 그리고 방정식은 다음과 같습니다.
2sin 2x cos x = 사인 2x;
2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. 괄호에서 공통인수 sin 2x를 빼자
sin 2x(2cos x – 1) = 0. 결과 방정식을 풉니다.
죄 2x = 0 또는 2cos x – 1 = 0; 
사인 2x = 0 또는 cos x = 1/2;
2x = πk 또는 x = ±π/3 + 2πk, k – 정수(k € Z).
그러므로 우리는 뿌리를 가지고 있다
x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – 정수(k € Z).
간격 [-π; 0.5π]는 근 -π에 속합니다. -π/2; 0; π/2(첫 번째 근 계열에서); π/3(두 번째 시리즈에서); -π/3(세 번째 계열에서). 그들의 산술 평균은 다음과 같습니다:
(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.
답: -π/6.
예 6. 구간 [-1.25π; 2π].
해결책:
이 방정식은 1차 동차 방정식입니다. 두 부분을 모두 cosx로 나눕니다(같은 숫자의 사인과 코사인이 동시에 0이 될 수 없기 때문에 cos x = 0인 변수의 값은 이 방정식의 근이 아닙니다). 원래 방정식은 다음과 같습니다.
x = -π/4 + πk, k – 정수(k € Z).
간격 [-1.25π; 2π]는 근 -π/4에 속합니다. (-π/4 + π); 및 (-π/4 + 2π).
따라서 주어진 구간에는 방정식의 세 가지 근이 포함됩니다.
답: 3.
가장 중요한 일을 하는 방법을 배우십시오. 문제 해결을 위한 계획을 명확하게 상상하면 모든 삼각 방정식이 이해될 것입니다.
아직도 질문이 있으신가요? 삼각 방정식을 푸는 방법을 모르시나요?
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웹사이트에서 자료의 전체 또는 일부를 복사하는 경우 출처에 대한 링크가 필요합니다.
수업 목표:
- 가장 간단한 삼각 방정식을 풀기 위한 공식을 반복합니다.
- 삼각 방정식을 풀 때 근을 선택하는 세 가지 주요 방법을 고려하십시오.
불평등에 의한 선택, 분모에 의한 선택, 간격에 의한 선택.
장비:멀티미디어 장비.
체계적인 논평.
- 수업 주제의 중요성에 대해 학생들의 관심을 이끌어냅니다.
- 근을 선택하는 데 필요한 삼각 방정식은 통합 상태 시험의 주제별 테스트에서 종종 발견됩니다.
이러한 문제를 해결하면 학생들은 이전에 습득한 지식을 통합하고 심화할 수 있습니다.
수업 진행
되풀이. 가장 간단한 삼각 방정식(화면)을 풀기 위한 공식을 기억해 두는 것이 유용합니다.
| 가치 | 방정식 | 방정식을 푸는 공식 |
| 죄x=a | ||
| 죄x=a | ~에 방정식에는 해가 없다 | |
| a=0 | 죄x=0 | |
| a=1 | 죄x= 1 |
 |
| a= -1 | 죄x= -1 |
 |
| cosx=a | ||
| cosx=a | 방정식에는 해가 없다 | |
| a=0 | cosx=0 |
 |
| a=1 | cosx= 1 | |
| a= -1 | cosx= -1 |
 |
| tgx=a | ||
| ctgx=a |
뿌리를 선택할 때 삼각 방정식방정식의 해법 작성 sinx=a, сosx=a전체적으로 더 정당합니다. 문제를 해결할 때 이를 확인하겠습니다.
방정식 풀기.
일. 방정식을 풀어보세요 
해결책.이 방정식은 다음 시스템과 동일합니다.
원을 생각해 보세요. 각 시스템의 뿌리를 표시하고 불평등이 발생한 원 부분을 호로 표시하겠습니다. 쌀. 1)
쌀. 1
우리는 그것을 얻습니다 
원래 방정식의 해가 될 수 없습니다.
답변:
이 문제에서 우리는 불평등을 기준으로 근을 선택했습니다.
다음 문제에서는 분모에 의한 선택을 수행하겠습니다. 이를 위해 분자의 근을 선택하지만 분모의 근이 되지 않도록 합니다.
작업 2.방정식을 푼다.
해결책. 연속적인 등가 전이를 사용하여 방정식의 해를 작성해 보겠습니다.
시스템의 방정식과 부등식을 풀 때 우리는 솔루션에 다음을 넣습니다. 다른 글자, 이는 정수를 나타냅니다. 그림에서 설명하면 방정식의 근을 원으로 표시하고 분모의 근을 십자로 표시합니다(그림 2).
쌀. 2
그림에서 분명히 알 수 있듯이 
– 원래 방정식의 해.
원에 해당 점을 그리는 시스템을 사용하면 근을 선택하는 것이 더 쉽다는 사실에 학생들의 주의를 환기시키겠습니다.
답변:
작업 3.방정식을 풀어보세요
3sin2x = 10 cos 2 x – 2/
세그먼트에 속하는 방정식의 모든 근을 찾습니다.
해결책.이 문제에서는 문제의 조건에 따라 지정된 간격으로 근이 선택됩니다. 간격으로 근을 선택하는 방법은 두 가지 방법으로 수행할 수 있습니다. 즉, 정수에 대한 변수 값을 검색하거나 부등식을 해결하는 것입니다.
이 방정식에서는 첫 번째 방법을 사용하여 근을 선택하고 다음 문제에서는 부등식을 해결하여 근을 선택합니다.
메인을 이용해보자 삼각함수 항등식그리고 사인의 이중각 공식. 우리는 방정식을 얻습니다
6sinxcosx = 10cos 2 x – sin 2 x – cos 2 x,저것들. 죄 2 x – 9cos 2 x+ 6sinxcosx = 0
왜냐하면 그렇지 않으면 죄x = 0, 이는 사인과 코사인이 모두 0인 각도가 없기 때문에 그럴 수 없습니다. 사인 2 x+ cos 2 x = 0.
방정식의 양변을 다음과 같이 나누어 보겠습니다. 왜냐하면 2x.우리는 얻는다 tg 2 x+ 6tgx – 9 = 0/
허락하다 tgx = t, 그 다음에 t 2 + 6t – 9 = 0, t 1 = 2, t 2 = –8.
tgx = 2 또는 tg = -8;
각 계열을 개별적으로 고려하여 간격 내부의 점과 왼쪽 및 오른쪽의 한 점을 찾아보겠습니다.
만약에 k=0, 저것 x=arctg2. 이 근은 고려 중인 간격에 속합니다.
만약에 k=1, 저것 x=arctg2+.이 근은 고려 중인 간격에도 속합니다.
만약에 k=2, 저것 
. 분명하다 주어진 루트우리의 격차에 속하지 않습니다.
우리는 이 간격의 오른쪽에 있는 한 점을 고려했습니다. k=3,4,…고려되지 않습니다.
만약에 k = -1,우리는 – 간격에 속하지 않습니다.
가치 k = –2, –3,…고려되지 않습니다.
따라서 이 급수에서 두 근은 간격에 속합니다.
이전 사례와 유사하게, 우리는 다음을 확인합니다. n = 0그리고 n = 2,그러므로 언제 p = –1, –2,…p = 3.4,…우리는 간격에 속하지 않는 근을 얻게 될 것입니다. 오직 언제 n=1우리는 이 간격에 속하는 를 얻습니다.
답변:
작업 4.방정식을 풀어보세요 6sin 2 x+2sin 2 2x=5그리고 간격 에 속하는 근을 나타냅니다.
해결책.방정식을 주자 6sin 2 x+2sin 2 2x=5에게 이차 방정식비교적 cos2x.
어디 cos2x 
여기서는 이중 부등식을 사용하여 구간에 선택 방법을 적용합니다.
왜냐하면 에게정수 값만 취하며 가능합니다. k=2,k=3.
~에 k=2우리는 , 와 함께 k=3우리는 받을 것입니다.
답변: 
방법론적 논평.교사는 학생들의 참여를 통해 칠판에서 이 네 가지 문제를 해결하는 것이 좋습니다. 다음 문제를 해결하려면 딸에게 강한 학생을 불러 추론에 최대한의 독립성을 부여하는 것이 좋습니다.
작업 5.방정식을 풀어보세요
해결책.분자를 변환하여 방정식을 더 간단한 형태로 줄입니다.
결과 방정식은 두 시스템의 조합과 동일합니다.
간격에서 근 선택 (0; 5) 두 가지 방법으로 해보겠습니다. 첫 번째 방법은 집계의 첫 번째 시스템에 대한 것이고, 두 번째 방법은 집계의 두 번째 시스템에 대한 것입니다.
, 0
왜냐하면 에게는 정수라면 k=1. 그 다음에 x =– 원래 방정식의 해.
집계의 두 번째 시스템을 고려하십시오.
만약에 n=0, 저것 
. ~에 n = -1; -2;…해결책이 없을 것입니다.
만약에 n=1, 
– 시스템의 해와 그에 따른 원래 방정식.
만약에 n=2, 저것
어떤 결정도 없을 것입니다.
