Modulinių lygčių sprendimas. Internetinis skaičiuotuvas Lygčių ir nelygybių sprendimas moduliais

Šiame straipsnyje mes išsamiai išanalizuosime skaičiaus modulis. Pateiksime įvairius skaičiaus modulio apibrėžimus, supažindinsime su žymėjimu ir pateiksime grafines iliustracijas. Tuo pačiu pasvarstykime įvairių pavyzdžių skaičiaus modulio radimas pagal apibrėžimą. Po to išvardysime ir pagrįsime pagrindines modulio savybes. Straipsnio pabaigoje kalbėsime apie tai, kaip nustatomas ir randamas kompleksinio skaičiaus modulis.

Puslapio naršymas.

Skaičių modulis – apibrėžimas, žymėjimas ir pavyzdžiai

Pirmiausia pristatome skaičiaus modulio žymėjimas. Skaičiaus a modulį rašysime kaip , tai yra į kairę ir į dešinę nuo skaičiaus dėsime vertikalius brūkšnelius, sudarydami modulio ženklą. Pateikime porą pavyzdžių. Pavyzdžiui, modulis −7 gali būti parašytas kaip ; modulis 4.125 parašytas kaip , o modulis turi formos žymėjimą.

Toliau pateiktame modulio apibrėžime nurodomi , taigi ir sveikieji skaičiai, racionalieji ir neracionalieji skaičiai, kaip realiųjų skaičių aibės sudedamosios dalys. Kalbėsime apie kompleksinio skaičiaus modulį in.

Apibrėžimas.

Skaičiaus a modulis– tai yra pats skaičius a, jei a yra teigiamas skaičius, arba skaičius −a, priešingas skaičiui a, jei a yra neigiamas skaičius arba 0, jei a=0 .

Garsinis skaičiaus modulio apibrėžimas dažnai rašomas tokia forma , šis įrašas reiškia, kad jei a>0 , jei a=0 ir jei a<0 .

Įrašas gali būti pateiktas kompaktiškesne forma . Šis žymėjimas reiškia, kad jei (a yra didesnis arba lygus 0), o jei a<0 .

Taip pat yra įrašas . Čia reikėtų atskirai paaiškinti atvejį, kai a=0. Šiuo atveju turime , bet −0=0, nes nulis laikomas skaičiumi, kuris yra priešingas jam pačiam.

Duokim skaičiaus modulio radimo pavyzdžiai naudojant nurodytą apibrėžimą. Pavyzdžiui, suraskime skaičių 15 ir . Pradėkime nuo suradimo. Kadangi skaičius 15 yra teigiamas, jo modulis pagal apibrėžimą yra lygus pačiam šiam skaičiui, ty . Koks yra skaičiaus modulis? Kadangi yra neigiamas skaičius, jo modulis yra lygus skaičiui, priešingam skaičiui, tai yra skaičiui . Taigi,.

Baigdami šį klausimą, pateikiame vieną išvadą, kurią labai patogu naudoti praktikoje ieškant skaičiaus modulio. Iš skaičiaus modulio apibrėžimo išplaukia, kad skaičiaus modulis yra lygus skaičiui po modulio ženklu, neatsižvelgiant į jo ženklą, o iš aukščiau aptartų pavyzdžių tai labai aiškiai matyti. Nurodytas teiginys paaiškina, kodėl taip pat vadinamas skaičiaus modulis absoliuti skaičiaus vertė. Taigi skaičiaus modulis ir absoliuti skaičiaus reikšmė yra vienas ir tas pats.

Skaičiaus modulis kaip atstumas

Geometriškai skaičiaus modulis gali būti interpretuojamas kaip atstumas. Duokim nustatant skaičiaus modulį per atstumą.

Apibrėžimas.

Skaičiaus a modulis– tai atstumas nuo pradžios taško koordinačių tiesėje iki taško, atitinkančio skaičių a.

Šis apibrėžimas atitinka pirmoje pastraipoje pateiktą skaičiaus modulio apibrėžimą. Paaiškinkime šį dalyką. Atstumas nuo pradžios iki taško, atitinkančio teigiamą skaičių, yra lygus šiam skaičiui. Nulis atitinka pradinę vietą, todėl atstumas nuo pradžios iki taško, kurio koordinatė 0 yra lygus nuliui (nereikia atidėti vieno vieneto atkarpos, o ne vienos atkarpos, kuri sudaro bet kurią vieneto atkarpos dalį patekti iš taško O į tašką, kurio koordinatė 0). Atstumas nuo pradžios iki taško, kurio koordinatė yra neigiama, yra lygus skaičiui, priešingam šio taško koordinatei, nes jis yra lygus atstumui nuo pradžios iki taško, kurio koordinatė yra priešinga.

Pavyzdžiui, skaičiaus 9 modulis yra lygus 9, nes atstumas nuo pradžios iki taško, kurio koordinatė 9, yra lygus devyniems. Pateikime kitą pavyzdį. Taškas su koordinate −3,25 yra 3,25 atstumu nuo taško O, taigi .

Nurodytas skaičiaus modulio apibrėžimas yra ypatingas dviejų skaičių skirtumo modulio apibrėžimo atvejis.

Apibrėžimas.

Dviejų skaičių skirtumo modulis a ir b lygus atstumui tarp koordinačių linijos taškų su koordinatėmis a ir b.

Tai yra, jei yra pateikti taškai koordinačių tiesėje A(a) ir B(b), tai atstumas nuo taško A iki taško B yra lygus skaičių a ir b skirtumo moduliui. Jei tašką B laikysime tašku O (kilmė), tada gausime skaičiaus modulio apibrėžimą, pateiktą šios pastraipos pradžioje.

Skaičiaus modulio nustatymas naudojant aritmetinę kvadratinę šaknį

Retkarčiais pasitaiko modulio nustatymas per aritmetinę kvadratinę šaknį.

Pavyzdžiui, apskaičiuokime skaičių modulius −30 ir remdamiesi šiuo apibrėžimu. Turime. Panašiai apskaičiuojame dviejų trečdalių modulį: .

Skaičiaus modulio apibrėžimas per aritmetinę kvadratinę šaknį taip pat atitinka apibrėžimą, pateiktą šio straipsnio pirmoje pastraipoje. Parodykime. Tegu a yra teigiamas skaičius, o −a – neigiamas skaičius. Tada Ir , jei a = 0 , tada .

Modulio savybės

Modulis turi keletą būdingų rezultatų - modulio savybės. Dabar pateiksime pagrindinius ir dažniausiai naudojamus iš jų. Pagrįsdami šias savybes, remsimės skaičiaus modulio apibrėžimu pagal atstumą.

Pradėkime nuo akivaizdžiausios modulio savybės - Skaičiaus modulis negali būti neigiamas skaičius. Pažodine forma ši savybė turi bet kurio skaičiaus a formą. Šią savybę labai lengva pagrįsti: skaičiaus modulis yra atstumas, o atstumas negali būti išreikštas neigiamu skaičiumi.

Pereikime prie kitos modulio nuosavybės. Skaičiaus modulis lygus nuliui tada ir tik tada, kai šis skaičius lygus nuliui. Nulio modulis pagal apibrėžimą yra lygus nuliui. Nulis atitinka pradinę vietą; joks kitas koordinačių linijos taškas neatitinka nulio, nes kiekvienas realusis skaičius yra susietas su vienu koordinačių linijos tašku. Dėl tos pačios priežasties bet koks skaičius, išskyrus nulį, atitinka tašką, kuris skiriasi nuo pradžios. Ir atstumas nuo pradžios iki bet kurio taško, išskyrus tašką O, nėra lygus nuliui, nes atstumas tarp dviejų taškų yra lygus nuliui tada ir tik tada, kai šie taškai sutampa. Aukščiau pateiktas samprotavimas įrodo, kad tik nulio modulis yra lygus nuliui.

Eikime toliau. Priešingi skaičiai turi vienodus modulius, tai yra, bet kuriam skaičiui a. Iš tiesų, du koordinačių linijos taškai, kurių koordinatės yra priešingi skaičiai, yra vienodu atstumu nuo pradžios, o tai reiškia, kad priešingų skaičių moduliai yra lygūs.

Ši modulio savybė yra: Dviejų skaičių sandaugos modulis yra lygus šių skaičių modulių sandaugai, tai yra,. Pagal apibrėžimą skaičių a ir b sandaugos modulis yra lygus arba a·b, jei , arba −(a·b), jei . Iš realiųjų skaičių daugybos taisyklių išplaukia, kad skaičių a ir b modulių sandauga yra lygi arba a·b, , arba −(a·b), jei , kas įrodo nagrinėjamą savybę.

Dalyvio a dalinys, padalytas iš b, yra lygus skaičiaus modulio daliniui, padalytam iš modulio b, tai yra,. Pagrįskime šią modulio savybę. Kadangi koeficientas yra lygus sandaugai, tada. Dėl ankstesnės nuosavybės turime . Belieka naudoti lygybę , kuri galioja pagal skaičiaus modulio apibrėžimą.

Ši modulio savybė parašyta kaip nelygybė: , a , b ir c yra savavališki realieji skaičiai. Rašytinė nelygybė yra ne kas kita trikampio nelygybė. Kad tai būtų aišku, paimkime koordinačių linijos taškus A(a), B(b), C(c) ir apsvarstykime išsigimusią trikampį ABC, kurio viršūnės yra toje pačioje tiesėje. Pagal apibrėžimą skirtumo modulis yra lygus atkarpos AB ilgiui, - atkarpos AC ilgiui ir - atkarpos CB ilgiui. Kadangi bet kurios trikampio kraštinės ilgis neviršija kitų dviejų kraštinių ilgių sumos, tai nelygybė yra teisinga , todėl nelygybė taip pat teisinga.

Ką tik įrodyta nelygybė yra daug dažnesnė formoje . Parašyta nelygybė paprastai laikoma atskira modulio savybe su formuluote: „ Dviejų skaičių sumos modulis neviršija šių skaičių modulių sumos“ Bet nelygybė tiesiogiai išplaukia iš nelygybės, jei vietoj b dedame −b ir imsime c=0.

Kompleksinio skaičiaus modulis

Duokim kompleksinio skaičiaus modulio apibrėžimas. Tegul tai mums duota kompleksinis skaičius, parašytas algebrine forma, kur x ir y yra kai kurie realieji skaičiai, atitinkamai reiškiantys tikrosią ir įsivaizduojamą tam tikro kompleksinio skaičiaus z dalis ir yra įsivaizduojamas vienetas.

Instrukcijos

Jei modulis vaizduojamas kaip ištisinė funkcija, tada jo argumento reikšmė gali būti teigiama arba neigiama: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Nesunku pastebėti, kad kompleksinių skaičių sudėjimas ir atėmimas vadovaujasi ta pačia taisykle, kaip ir sudėjimas ir .

Dviejų kompleksinių skaičių sandauga yra lygi:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Kadangi i^2 = -1, galutinis rezultatas yra:

(x1*x2 – y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Kompleksinių skaičių eksponentiškumo ir šaknų ištraukimo operacijos apibrėžiamos taip pat, kaip ir realiųjų skaičių. Tačiau kompleksinėje srityje bet kuriam skaičiui yra lygiai n skaičių b, kurių b^n = a, tai yra, n n-ojo laipsnio šaknų.

Visų pirma, tai reiškia, kad bet kuri n laipsnio algebrinė lygtis su vienu kintamuoju turi tiksliai n sudėtingų šaknų, kai kurios iš jų gali būti .

Video tema

Šaltiniai:

Paskaita „Sudėtingi skaičiai“ 2019 m

Šaknis yra piktograma, nurodanti matematinę skaičiaus radimo operaciją, kurią padidinus iki galios, nurodytos prieš šaknies ženklą, turėtų būti gautas skaičius, nurodytas po šiuo ženklu. Dažnai norint išspręsti problemas, susijusias su šaknimis, nepakanka vien apskaičiuoti vertę. Būtina atlikti papildomas operacijas, iš kurių viena yra skaičiaus, kintamojo ar išraiškos įvedimas po šaknies ženklu.

Instrukcijos

Nustatykite šaknies eksponentą. Rodiklis yra sveikasis skaičius, nurodantis laipsnį, iki kurio turi būti padidintas šaknies apskaičiavimo rezultatas, kad būtų gauta radikali išraiška (skaičius, iš kurio išgaunama ši šaknis). Šakninis eksponentas kaip viršutinis indeksas prieš šaknies piktogramą. Jei šis nenurodytas, tai yra kvadratinė šaknis, kurios galia yra du. Pavyzdžiui, šaknies √3 rodiklis yra du, ³√3 rodiklis yra trys, šaknies ⁴√3 rodiklis yra keturi ir t.

Padidinkite skaičių, kurį norite įvesti po šaknies ženklu iki laipsnio, lygaus šios šaknies eksponentui, kurį nustatėte atlikdami ankstesnį veiksmą. Pavyzdžiui, jei po šaknies ženklu ⁴√3 reikia įvesti skaičių 5, tada šaknies laipsnio indeksas yra keturi ir reikia 5 padidinimo iki ketvirtosios laipsnio rezultato 5⁴=625. Tai galite padaryti bet kokiu jums patogiu būdu – savo galva, naudodami skaičiuotuvą ar atitinkamas priglobtas paslaugas.

Įveskite reikšmę, gautą ankstesniame žingsnyje, po šaknies ženklu kaip radikalios išraiškos daugiklį. Ankstesniame veiksme naudotame pavyzdyje po šaknies pridėjus ⁴√3 5 (5*⁴√3), šį veiksmą galima atlikti taip: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Jei įmanoma, supaprastinkite gautą radikalią išraišką. Ankstesnių veiksmų pavyzdyje tereikia padauginti skaičius po šaknies ženklu: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Taip užbaigiama numerio įvedimo po šaknimi operacija.

Jei problema yra nežinomų kintamųjų, aukščiau aprašytus veiksmus galima atlikti bendra forma. Pavyzdžiui, jei reikia įvesti nežinomą kintamąjį x po ketvirtąja šaknies šaknimi, o radikali išraiška yra 5/x³, tada visą veiksmų seką galima parašyti taip: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Šaltiniai:

kaip vadinamas šaknies ženklas?

Realiųjų skaičių nepakanka norint išspręsti bet kokią kvadratinę lygtį. Paprasčiausia kvadratinė lygtis, neturinti šaknų tarp realių skaičių, yra x^2+1=0. Ją sprendžiant paaiškėja, kad x=±sqrt(-1), ir pagal elementarios algebros dėsnius iš neigiamo ištraukti lyginio laipsnio šaknį skaičių tai draudžiama.

Modulis yra vienas iš tų dalykų, apie kuriuos, atrodo, visi yra girdėję, bet iš tikrųjų niekas to nesupranta. Todėl šiandien bus didelė pamoka, skirta spręsti lygtis su moduliais.

Iš karto pasakysiu: pamoka nebus sunki. Ir apskritai moduliai yra gana paprasta tema. „Taip, žinoma, tai nėra sudėtinga! Man tai pučia protą! – sakys ne vienas studentas, bet visi šie smegenų lūžiai įvyksta dėl to, kad daugumos žmonių galvose yra ne žinios, o kažkoks mėšlas. O šios pamokos tikslas – mėšlą paversti žiniomis :)

Šiek tiek teorijos

Taigi, eime. Pradėkime nuo svarbiausio dalyko: kas yra modulis? Leiskite jums priminti, kad skaičiaus modulis yra tiesiog tas pats skaičius, bet paimtas be minuso ženklo. Tai yra, pavyzdžiui, $\left| -5 \right|=5$. Arba $\left| -129,5 \dešinė|=129,5 USD.

Ar tai taip paprasta? Taip, paprasta. Kokia tada yra absoliuti teigiamo skaičiaus vertė? Čia dar paprasčiau: teigiamo skaičiaus modulis yra lygus pačiam skaičiui: $\left| 5 \right|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5 USD ir kt.

\[\left| -a \right|=\left| a\right|\]

Kitas svarbus faktas: modulis niekada nėra neigiamas. Kad ir kokį skaičių imtume – teigiamą ar neigiamą – jo modulis visada būna teigiamas (arba, kraštutiniais atvejais, nulis). Štai kodėl modulis dažnai vadinamas absoliučia skaičiaus verte.

Be to, jei sujungsime teigiamo ir neigiamo skaičiaus modulio apibrėžimą, gausime visuotinį visų skaičių modulio apibrėžimą. Būtent: skaičiaus modulis yra lygus pačiam skaičiui, jei skaičius yra teigiamas (arba nulis), arba lygus priešingam skaičiui, jei skaičius yra neigiamas. Tai galite parašyti kaip formulę:

Taip pat yra nulio modulis, bet jis visada lygus nuliui. Be to, nulis yra vienintelis skaičius, kuris neturi priešingybės.

Taigi, jei atsižvelgsime į funkciją $y=\left| x \right|$ ir pabandykite nupiešti jo grafiką, gausite kažką panašaus į tai:

Modulio grafikas ir lygties sprendimo pavyzdys

Iš šios nuotraukos iš karto aišku, kad $\left| -m \right|=\left| m \right|$, o modulio grafikas niekada nenukrenta žemiau x ašies. Bet tai dar ne viskas: raudona linija žymi tiesę $y=a$, kuri, esant teigiamam $a$, iš karto suteikia dvi šaknis: $((x)_(1))$ ir $((x) _(2)) $, bet apie tai pakalbėsime vėliau :)

Be grynai algebrinio apibrėžimo, yra ir geometrinis. Tarkime, kad skaičių eilutėje yra du taškai: $((x)_(1))$ ir $((x)_(2))$. Šiuo atveju išraiška $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ yra tiesiog atstumas tarp nurodytų taškų. Arba, jei norite, atkarpos, jungiančios šiuos taškus, ilgis:

Modulis yra atstumas tarp taškų skaičių tiesėje

Šis apibrėžimas taip pat reiškia, kad modulis visada yra neneigiamas. Bet užtenka apibrėžimų ir teorijos – pereikime prie realių lygčių :)

Pagrindinė formulė

Gerai, mes išsiaiškinome apibrėžimą. Tačiau tai nepalengvino. Kaip išspręsti lygtis, kuriose yra būtent šis modulis?

Ramiai, tik ramiai. Pradėkime nuo paprasčiausių dalykų. Apsvarstykite kažką panašaus:

\[\left| x\right|=3\]

Taigi $x$ modulis yra 3. Kam gali būti lygus $x$? Na, sprendžiant iš apibrėžimo, mes esame gana patenkinti $ x = 3 $. Tikrai:

\[\left| 3\right|=3\]

Ar yra kitų skaičių? Atrodo, kad dangtelis užsimena, kad yra. Pavyzdžiui, $x=-3$ taip pat yra $\left| -3 \right|=3$, t.y. reikalaujama lygybė tenkinama.

Tai gal jei ieškosime ir galvosime, rasime daugiau skaičių? Tačiau pripažinkime: nebėra skaičių. Lygtis $\left| x \right|=3$ turi tik dvi šaknis: $x=3$ ir $x=-3$.

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Tegul funkcija $f\left(x \right)$ stovi po modulio ženklu, o ne kintamuoju $x$, ir vietoj trigubo dešinėje įdėkite savavališką skaičių $a$. Gauname lygtį:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]

Taigi, kaip mes galime tai išspręsti? Leiskite jums priminti: $f\left(x \right)$ yra savavališka funkcija, $a$ yra bet koks skaičius. Tie. Visai nieko! Pavyzdžiui:

\[\left| 2x+1 \right|=5\]

\[\left| 10x-5 \right|=-65\]

Atkreipkime dėmesį į antrąją lygtį. Iš karto apie jį galima pasakyti: jis neturi šaknų. Kodėl? Viskas yra teisinga: nes reikalaujama, kad modulis būtų lygus neigiamam skaičiui, o tai niekada neįvyksta, nes mes jau žinome, kad modulis visada yra teigiamas skaičius arba, kraštutiniais atvejais, nulis.

Bet su pirmąja lygtimi viskas yra smagiau. Yra dvi parinktys: arba po modulio ženklu yra teigiama išraiška, o tada $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, arba ši išraiška vis tiek neigiama, o tada $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. Pirmuoju atveju mūsų lygtis bus perrašyta taip:

\[\left| 2x+1 \right|=5\RightArrow 2x+1=5\]

Ir staiga paaiškėja, kad submodulinė išraiška $2x+1$ tikrai teigiama – ji lygi skaičiui 5. Tai yra galime saugiai išspręsti šią lygtį - gauta šaknis bus atsakymo dalis:

Tie, kurie ypač nepasitiki, gali pabandyti pakeisti rastą šaknį į pradinę lygtį ir įsitikinti, kad po moduliu tikrai yra teigiamas skaičius.

Dabar pažiūrėkime į neigiamos submodulinės išraiškos atvejį:

\[\left\( \begin(lygiuoti)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(lygiuoti) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Rodyklė dešinėn 2x+1=-5\]

Oi! Vėlgi, viskas aišku: padarėme prielaidą, kad $2x+1 \lt 0$, ir gavome, kad $2x+1=-5$ – išties ši išraiška mažesnė už nulį. Išsprendžiame gautą lygtį, jau tiksliai žinodami, kad rasta šaknis mums tiks:

Iš viso vėl gavome du atsakymus: $x=2$ ir $x=3$. Taip, skaičiavimų suma pasirodė šiek tiek didesnė nei labai paprastoje lygtyje $\left| x \right|=3$, bet niekas iš esmės nepasikeitė. Tai gal yra koks universalus algoritmas?

Taip, toks algoritmas egzistuoja. O dabar mes jį analizuosime.

Modulio ženklo atsikratymas

Pateikiame lygtį $\left| f\left(x \right) \right|=a$ ir $a\ge 0$ (kitaip, kaip jau žinome, šaknų nėra). Tada galite atsikratyti modulio ženklo naudodami šią taisyklę:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Taigi mūsų lygtis su moduliu skyla į dvi dalis, bet be modulio. Štai visa technologija! Pabandykime išspręsti porą lygčių. Pradėkime nuo šito

\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Panagrinėkime atskirai, kada dešinėje yra dešimt pliuso, ir atskirai, kai yra minusas. Turime:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

tai viskas! Gavome dvi šaknis: $x=1.2$ ir $x=-2.8$. Visas sprendimas truko pažodžiui dvi eilutes.

Gerai, nekyla klausimų, pažiūrėkime į ką nors rimtesnio:

\[\left| 7-5x\right|=13\]

Vėl atidarome modulį su pliusu ir minusu:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\RightArrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Vėl pora eilučių – ir atsakymas paruoštas! Kaip sakiau, moduliuose nėra nieko sudėtingo. Jums tereikia atsiminti keletą taisyklių. Todėl judame toliau ir pradedame nuo tikrai sudėtingesnių užduočių.

Dešinės pusės kintamojo atvejis

Dabar apsvarstykite šią lygtį:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\]

Ši lygtis iš esmės skiriasi nuo visų ankstesnių. Kaip? O tai, kad lygybės ženklo dešinėje yra išraiška $2x$ – ir mes negalime iš anksto žinoti, ar ji teigiama, ar neigiama.

Ką tokiu atveju daryti? Pirma, mes turime tai kartą ir visiems laikams suprasti jei dešinioji lygties pusė pasirodys neigiama, tada lygtis neturės šaknų- jau žinome, kad modulis negali būti lygus neigiamam skaičiui.

Ir antra, jei dešinioji dalis vis dar yra teigiama (arba lygi nuliui), galite elgtis lygiai taip pat, kaip ir anksčiau: tiesiog atidarykite modulį atskirai su pliuso ženklu ir atskirai su minuso ženklu.

Taigi suformuluojame taisyklę savavališkoms funkcijoms $f\left(x \right)$ ir $g\left(x \right)$ :

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\(\begin(lygiuoti)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end (lygiuoti) \right.\]

Kalbant apie mūsų lygtį, gauname:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\RightArrow \left\( \begin (lygiuoti)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(lygiuoti) \right.\]

Na, mes kažkaip susitvarkysime su reikalavimu $2x\ge 0$. Galų gale galime kvailai pakeisti šaknis, kurias gauname iš pirmosios lygties, ir patikrinti, ar nelygybė galioja, ar ne.

Taigi išspręskime pačią lygtį:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\RightArrow 3x=0\RightArrow x=0. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Na, kuri iš šių dviejų šaknų atitinka $2x\ge 0$ reikalavimą? Taip abu! Todėl atsakymas bus du skaičiai: $x=(4)/(3)\;$ ir $x=0$. Tai yra sprendimas :)

Įtariu, kad kai kuriems studentams jau pradeda nuobodžiauti? Na, pažvelkime į dar sudėtingesnę lygtį:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Nors tai atrodo blogai, iš tikrųjų tai vis tiek yra ta pati „modulis lygus funkcijai“ formos lygtis:

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

Ir tai išspręsta lygiai taip pat:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rodyklė dešinėn \kairė\( \begin(lygiuoti)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(lygiuoti) \right.\]

Su nelygybe spręsime vėliau – ji kažkaip per daug bloga (tiesą sakant, paprasta, bet mes jos neišspręsime). Kol kas geriau susitvarkyti su gautomis lygtimis. Panagrinėkime pirmąjį atvejį - tai yra tada, kai modulis išplečiamas pliuso ženklu:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Na, tai niekaip, kad reikia surinkti viską iš kairės, atsinešti panašių ir pažiūrėti, kas bus. Ir štai kas atsitinka:

\[\begin(lygiuoti)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Iš skliaustų išimame bendrą koeficientą $((x)^(2))$ ir gauname labai paprastą lygtį:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\RightArrow \left[ \begin (lygiuoti)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\pabaiga (lygiuoti) \dešinė.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Čia mes pasinaudojome svarbia sandaugos savybe, dėl kurios paskaičiavome pradinį daugianarį: sandauga yra lygi nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui.

Dabar lygiai taip pat nagrinėkime antrąją lygtį, kuri gaunama išplečiant modulį minuso ženklu:

\[\begin(lygiuoti)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Vėlgi tas pats: sandauga lygi nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Turime:

\[\left[ \begin (lygiuoti)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end (lygiuoti) \right.\]

Na, gavome tris šaknis: $x=0$, $x=1.5$ ir $x=(2)/(3)\;$. Na, o kuris iš šio rinkinio pateks į galutinį atsakymą? Norėdami tai padaryti, atminkite, kad turime papildomą apribojimą nelygybės forma:

Kaip atsižvelgti į šį reikalavimą? Tiesiog pakeiskime rastas šaknis ir patikrinkime, ar nelygybė galioja šiems $x$, ar ne. Turime:

\[\begin(align)& x=0\Rodyklė dešinėn x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rodyklė dešinėn x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rodyklė dešinėn x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Taigi šaknis $x=1.5$ mums netinka. Ir atsakant bus tik dvi šaknys:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Kaip matote, net ir šiuo atveju nebuvo nieko sudėtingo – lygtys su moduliais visada sprendžiamos naudojant algoritmą. Jums tereikia gerai suprasti daugianarius ir nelygybes. Todėl pereiname prie sudėtingesnių užduočių – jau bus ne vienas, o du moduliai.

Lygtys su dviem moduliais

Iki šiol studijavome tik paprasčiausias lygtis – buvo vienas modulis ir dar kažkas. Mes nusiuntėme šį „kažką kitą“ į kitą nelygybės dalį, esančią toliau nuo modulio, kad galiausiai viskas būtų redukuota į $\left| formos lygtį. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ arba dar paprastesnis $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Bet darželis baigėsi – laikas svarstyti apie ką nors rimtesnio. Pradėkime nuo tokių lygčių:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Tai formulės „modulis lygus moduliui“ lygtis. Iš esmės svarbus dalykas yra kitų terminų ir veiksnių nebuvimas: tik vienas modulis kairėje, dar vienas modulis dešinėje - ir nieko daugiau.

Kažkas dabar manys, kad tokias lygtis sunkiau išspręsti nei tas, kurias iki šiol tyrėme. Bet ne: šias lygtis dar lengviau išspręsti. Štai formulė:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Viskas! Submodulines išraiškas tiesiog prilyginame, prieš vieną iš jų padėdami pliuso arba minuso ženklą. Ir tada mes išsprendžiame gautas dvi lygtis - ir šaknys yra paruoštos! Jokių papildomų apribojimų, jokių nelygybių ir pan. Tai labai paprasta.

Pabandykime išspręsti šią problemą:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\]

Elementaru, Vatsonai! Modulių išplėtimas:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rodyklė dešinėn 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Panagrinėkime kiekvieną atvejį atskirai:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rodyklė dešinėn 2x+3=-2x+7. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Pirmoji lygtis neturi šaknų. Nes kada yra $3=-7$? Kokiomis $x$ vertėmis? „Kas po velnių yra $x$? Ar tu užmėtytas akmenimis? Ten iš viso nėra $x$ “, - sakote jūs. Ir tu būsi teisus. Gavome lygybę, kuri nepriklauso nuo kintamojo $x$, o tuo pačiu ir pati lygybė yra neteisinga. Todėl ir nėra šaknų :)

Su antrąja lygtimi viskas yra šiek tiek įdomiau, bet ir labai, labai paprasta:

Kaip matote, viskas buvo išspręsta pažodžiui per kelias eilutes - nieko kito nesitikėjome iš tiesinės lygties :)

Dėl to galutinis atsakymas yra: $x=1$.

Taigi kaip? Sunku? Žinoma, kad ne. Pabandykime ką nors kita:

\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

Vėlgi turime $\left| formos lygtį f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Todėl mes nedelsdami jį perrašome, atskleisdami modulio ženklą:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Galbūt dabar kas nors paklaus: „Ei, kokia nesąmonė? Kodėl „pliusas-minusas“ rodomas dešinėje išraiškoje, o ne kairėje? Nusiramink, dabar aš viską paaiškinsiu. Iš tiesų, gerąja prasme mes turėjome perrašyti savo lygtį taip:

Tada reikia atidaryti skliaustus, perkelti visus terminus į vieną lygybės ženklo pusę (kadangi lygtis, aišku, abiem atvejais bus kvadratinė), o tada rasti šaknis. Tačiau reikia pripažinti: kai „pliusas-minusas“ yra prieš tris terminus (ypač kai vienas iš šių terminų yra kvadratinė išraiška), tai kažkaip atrodo sudėtingiau nei situacija, kai „pliusas-minusas“ yra tik prieš du terminus.

Tačiau niekas netrukdo mums perrašyti pradinės lygties taip:

Kas atsitiko? Nieko ypatingo: jie tiesiog sukeitė kairę ir dešinę puses. Mažas dalykas, kuris galiausiai palengvins mūsų gyvenimą :)

Apskritai, mes išsprendžiame šią lygtį, atsižvelgdami į galimybes su pliusu ir minusu:

\[\begin(lygiuoti)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rodyklė dešinėn ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rodyklė dešinėn ((x)^(2))-2x+1=0. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Pirmoji lygtis turi šaknis $x=3$ ir $x=1$. Antrasis paprastai yra tikslus kvadratas:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Todėl jis turi tik vieną šaknį: $x=1$. Bet mes jau gavome šią šaknį anksčiau. Taigi į galutinį atsakymą pateks tik du skaičiai:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Misija įvykdyta! Galite paimti pyragą iš lentynos ir valgyti. Yra 2, tavo vidurinis :)

Svarbi pastaba. Identiškų šaknų buvimas skirtingiems modulio išplėtimo variantams reiškia, kad pradiniai daugianariai yra faktorinuojami, o tarp šių veiksnių tikrai bus bendras. Tikrai:

\[\begin(lygiuoti)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \dešinė|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Viena iš modulio ypatybių: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (t. y. sandaugos modulis yra lygus modulio sandaugai), todėl pradinę lygtį galima perrašyti taip:

\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]

Kaip matote, mes tikrai turime bendrą veiksnį. Dabar, jei surenkate visus modulius vienoje pusėje, galite išimti šį veiksnį iš skliaustų:

\[\begin(lygiuoti)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \dešinė|; \\& \left| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Na, o dabar atminkite, kad produktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui:

\[\left[ \begin(lygiuoti)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\pabaiga (lygiuoti) \dešinė.\]

Taigi pradinė lygtis su dviem moduliais buvo sumažinta iki dviejų paprasčiausių lygčių, apie kurias kalbėjome pačioje pamokos pradžioje. Tokios lygtys gali būti išspręstos tiesiog poroje eilučių :)

Ši pastaba gali atrodyti be reikalo sudėtinga ir praktiškai nepritaikoma. Tačiau iš tikrųjų galite susidurti su daug sudėtingesnėmis problemomis nei tos, apie kurias šiandien žiūrime. Juose modulius galima derinti su polinomais, aritmetinėmis šaknimis, logaritmais ir kt. Ir tokiose situacijose galimybė sumažinti bendrą lygties laipsnį ką nors išimant iš skliaustų gali būti labai labai naudinga.

Dabar norėčiau paanalizuoti dar vieną lygtį, kuri iš pirmo žvilgsnio gali pasirodyti beprotiška. Daugelis studentų įstringa, net ir tie, kurie mano, kad gerai išmano modulius.

Tačiau šią lygtį išspręsti yra dar lengviau nei anksčiau. Ir jei suprasite kodėl, gausite dar vieną triuką, kaip greitai išspręsti lygtis su moduliais.

Taigi lygtis yra tokia:

\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Ne, tai nėra rašybos klaida: tai pliusas tarp modulių. Ir mes turime rasti, kiek $ x $ dviejų modulių suma yra lygi nuliui :)

kame visgi problema? Tačiau problema ta, kad kiekvienas modulis yra teigiamas skaičius arba, kraštutiniais atvejais, nulis. Kas atsitiks, jei pridėsite du teigiamus skaičius? Akivaizdu, kad vėl teigiamas skaičius:

\[\begin(lygiuoti)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(lygiuoti)\]

Paskutinė eilutė gali suteikti jums idėją: vienintelis laikas, kai modulių suma yra nulis, yra tada, kai kiekvienas modulis yra lygus nuliui:

O kada modulis lygus nuliui? Tik vienu atveju – kai submodulinė išraiška lygi nuliui:

' x=-2 \\& x=1 \\\pabaiga (lygiuoti) \dešinė.\]

Taigi, turime tris taškus, kuriuose pirmasis modulis atstatomas į nulį: 0, 1 ir −1; taip pat du taškai, kuriuose antrasis modulis atstatomas į nulį: −2 ir 1. Tačiau reikia, kad abu moduliai būtų atstatyti į nulį vienu metu, todėl tarp rastų skaičių turime pasirinkti tuos, kurie yra įtraukti į nulį. abu rinkiniai. Akivaizdu, kad toks skaičius yra tik vienas: $x=1$ – tai bus galutinis atsakymas.

Skilimo metodas

Na, mes jau išsprendėme daugybę problemų ir išmokome daug technikų. Ar manote, kad tai viskas? Bet ne! Dabar pažvelgsime į galutinę techniką - ir tuo pačiu svarbiausią. Kalbėsime apie lygčių padalijimą su moduliu. Apie ką mes net kalbėsime? Grįžkime šiek tiek atgal ir pažvelkime į paprastą lygtį. Pavyzdžiui tai:

\[\left| 3x-5 \right|=5-3x\]

Iš esmės mes jau žinome, kaip išspręsti tokią lygtį, nes tai yra standartinė $\left| formos konstrukcija. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Tačiau pabandykime pažvelgti į šią lygtį kiek kitu kampu. Tiksliau, apsvarstykite išraišką po modulio ženklu. Leiskite jums priminti, kad bet kurio skaičiaus modulis gali būti lygus pačiam skaičiui arba gali būti priešingas šiam skaičiui:

\[\left| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end (lygiuoti) \right.\]

Tiesą sakant, ši dviprasmybė yra visa problema: kadangi skaičius po moduliu kinta (jis priklauso nuo kintamojo), mums neaišku, ar jis teigiamas, ar neigiamas.

Bet ką daryti, jei iš pradžių reikalaujate, kad šis skaičius būtų teigiamas? Pavyzdžiui, reikalaukime, kad $3x-5 \gt 0$ – tokiu atveju garantuotai gausime teigiamą skaičių po modulio ženklu ir galime visiškai atsikratyti šio modulio:

Taigi mūsų lygtis pavirs tiesine, kurią galima lengvai išspręsti:

Tiesa, visos šios mintys turi prasmę tik esant sąlygai $3x-5 \gt 0$ – mes patys įvedėme šį reikalavimą, norėdami vienareikšmiškai atskleisti modulį. Todėl pakeiskime rastą $x=\frac(5)(3)$ į šią sąlygą ir patikrinkime:

Pasirodo, kad nurodytai $x$ vertei mūsų reikalavimas neįvykdytas, nes išraiška pasirodė lygi nuliui, o mums reikia, kad ji būtų griežtai didesnė už nulį. Liūdna :(

Bet viskas gerai! Juk yra dar vienas variantas $3x-5 \lt 0$. Be to: yra ir atvejis $3x-5=0$ – į tai taip pat reikia atsižvelgti, kitaip sprendimas bus neišsamus. Taigi, apsvarstykite atvejį $3x-5 \lt 0$:

Akivaizdu, kad modulis atsidarys su minuso ženklu. Bet tada susidaro keista situacija: tiek kairėje, tiek dešinėje pradinėje lygtyje išryškės ta pati išraiška:

Įdomu, kiek $x$ išraiška $5-3x$ bus lygi išraiškai $5-3x$? Net kapitonui Akivaizdumui nuo tokių lygčių užspringtų seilė, bet žinome: ši lygtis yra tapatybė, t.y. tai tiesa bet kuriai kintamojo reikšmei!

Tai reiškia, kad mums tiks bet koks $x$. Tačiau turime apribojimą:

Kitaip tariant, atsakymas bus ne vienas skaičius, o visas intervalas:

Galiausiai, belieka apsvarstyti dar vieną atvejį: $3x-5=0$. Čia viskas paprasta: po moduliu bus nulis, o nulio modulis taip pat lygus nuliui (tai tiesiogiai išplaukia iš apibrėžimo):

Bet tada pradinė lygtis $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ bus perrašyti taip:

Šią šaknį jau gavome aukščiau, kai nagrinėjome $3x-5 \gt 0$ atvejį. Be to, ši šaknis yra lygties $3x-5=0$ sprendimas - tai yra apribojimas, kurį mes patys įdiegėme norėdami iš naujo nustatyti modulį.

Taigi, be intervalo, mes taip pat pasitenkinsime skaičiumi, esančiu pačioje šio intervalo pabaigoje:

Šaknų jungimas modulio lygtyse

Bendras galutinis atsakymas: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Atsakyme į gana paprastą (iš esmės tiesinę) lygtį su moduliu nėra labai įprasta įžvelgti tokią niekšybę, tikrai, pripraskite: modulio sunkumas yra tas, kad atsakymai tokiose lygtyse gali būti visiškai nenuspėjami.

Daug svarbiau yra kažkas kita: mes ką tik išanalizavome universalų algoritmą, kaip išspręsti lygtį su moduliu! Ir šis algoritmas susideda iš šių žingsnių:

Kiekvieną lygties modulį prilyginkite nuliui. Gauname kelias lygtis;
Išspręskite visas šias lygtis ir skaičių eilutėje pažymėkite šaknis. Dėl to tiesi linija bus padalinta į kelis intervalus, kurių kiekviename visi moduliai yra unikaliai atskleisti;
Išspręskite pradinę kiekvieno intervalo lygtį ir sujunkite atsakymus.

tai viskas! Liko tik vienas klausimas: ką daryti su 1 žingsnyje gautomis šaknimis? Tarkime, kad turime dvi šaknis: $x=1$ ir $x=5$. Jie padalins skaičių eilutę į 3 dalis:

Skaičių linijos padalijimas į intervalus naudojant taškus

Taigi, kokie yra intervalai? Akivaizdu, kad jų yra trys:

Kairiausias: $x \lt 1$ — pats vienetas neįtraukiamas į intervalą;
Centrinis: $1\le x \lt 5$ - čia vienas įtrauktas į intervalą, bet penki neįtraukiami;
Dešinėje: $x\ge 5$ – čia yra tik penki!

Manau, kad jūs jau suprantate modelį. Kiekvienas intervalas apima kairįjį galą ir neapima dešiniojo.

Iš pirmo žvilgsnio toks įrašas gali pasirodyti nepatogus, nelogiškas ir apskritai kažkoks beprotiškas. Bet patikėkite manimi: šiek tiek pasipraktikavęs pamatysite, kad šis metodas yra patikimiausias ir netrukdo vienareikšmiškai atidaryti modulius. Geriau naudoti tokią schemą, nei kiekvieną kartą galvoti: duoti kairįjį/dešinįjį galą esamam intervalui arba „įmesti“ į kitą.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

Jei reikia – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismo procese ir (arba) remiantis viešais prašymais arba Rusijos Federacijos valdžios institucijų prašymais – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Lygčių ir nelygybių sprendimas moduliu dažnai sukelia sunkumų. Tačiau jei gerai suprantate, kas tai yra skaičiaus modulis, Ir kaip teisingai išplėsti išraiškas, kuriose yra modulio ženklas, tada buvimas lygtyje išraiška po modulio ženklu, nustoja būti kliūtimi jos sprendimui.

Šiek tiek teorijos. Kiekvienas skaičius turi dvi charakteristikas: absoliučią skaičiaus reikšmę ir jo ženklą.

Pavyzdžiui, skaičius +5 arba tiesiog 5 turi „+“ ženklą ir absoliučią reikšmę 5.

Skaičius -5 turi "-" ženklą ir absoliučią reikšmę 5.

Absoliučios skaičių 5 ir -5 reikšmės yra 5.

Absoliuti skaičiaus x reikšmė vadinama skaičiaus moduliu ir žymima |x|.

Kaip matome, skaičiaus modulis yra lygus pačiam skaičiui, jei šis skaičius yra didesnis arba lygus nuliui, ir šiam skaičiui su priešingu ženklu, jei šis skaičius yra neigiamas.

Tas pats pasakytina apie visas išraiškas, rodomas po modulio ženklu.

Modulio išplėtimo taisyklė atrodo taip:

|f(x)|= f(x), jei f(x) ≥ 0, ir

|f(x)|= - f(x), jei f(x)< 0

Pavyzdžiui |x-3|=x-3, jei x-3≥0 ir |x-3|=-(x-3)=3-x, jei x-3<0.

Norėdami išspręsti lygtį, kurioje yra išraiška po modulio ženklu, pirmiausia turite išplėsti modulį pagal modulio išplėtimo taisyklę.

Tada mūsų lygtis arba nelygybė tampa į dvi skirtingas lygtis, egzistuojančias dviejuose skirtinguose skaitiniuose intervaluose.

Viena lygtis egzistuoja skaitiniame intervale, kuriame išraiška po modulio ženklu yra neneigiama.

Ir antroji lygtis egzistuoja intervale, kuriame išraiška po modulio ženklu yra neigiama.

Pažiūrėkime į paprastą pavyzdį.

Išspręskime lygtį:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Atidarykime modulį.

|x-3|=x-3, jei x-3≥0, t.y. jei x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, jei x-3<0, т.е. если х<3

2. Gavome du skaitinius intervalus: x≥3 ir x<3.

Panagrinėkime, į kokias lygtis kiekviename intervale transformuojama pradinė lygtis:

A) Jei x≥3 |x-3|=x-3, mūsų sužeidimas turi tokią formą:

Dėmesio! Ši lygtis egzistuoja tik intervale x≥3!

Atidarykime skliaustus ir pateiksime panašius terminus:

ir išspręskite šią lygtį.

Ši lygtis turi šaknis:

x 1 = 0, x 2 = 3

Dėmesio! kadangi lygtis x-3=-x 2 +4x-3 egzistuoja tik intervale x≥3, mus domina tik tos šaknys, kurios priklauso šiam intervalui. Šią sąlygą tenkina tik x 2 =3.

B) ties x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Dėmesio! Ši lygtis egzistuoja tik intervale x<3!

Atidarykime skliaustus ir pateikime panašius terminus. Gauname lygtį:

x 1 = 2, x 2 = 3

Dėmesio! kadangi lygtis 3-x=-x 2 +4x-3 egzistuoja tik intervale x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Taigi: iš pirmojo intervalo imame tik šaknį x=3, iš antrojo - šaknį x=2.