Reduktimi i thyesave në emëruesin më të ulët të përbashkët, rregulla, shembuj, zgjidhje

Për të zgjidhur shembuj me thyesa, duhet të jeni në gjendje të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët. Më poshtë janë udhëzimet e hollësishme.

Si të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët - konceptin

Emëruesi më i vogël i përbashkët (LCD) me fjalë të thjeshtaështë numri minimal që pjesëtohet me emëruesit e të gjitha thyesave në këtë shembull. Me fjalë të tjera, quhet shumëfishi më i vogël i zakonshëm (LCM). NOS përdoret vetëm nëse emëruesit e thyesave janë të ndryshëm.

Si të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët - shembuj

Le të shohim shembuj të gjetjes së NOC-ve.

Llogaritni: 3/5 + 2/15.

Zgjidhja (sekuenca e veprimeve):

Shikojmë emëruesit e thyesave, sigurohemi që të jenë të ndryshëm dhe shprehjet të jenë sa më të shkurtuara.
Gjejmë numrin më të vogël që pjesëtohet edhe me 5 edhe me 15. Ky numër do të jetë 15. Kështu, 3/5 + 2/15 = ?/15.
Ne e kuptuam emëruesin. Çfarë do të jetë në numërues? Një shumëzues shtesë do të na ndihmojë ta kuptojmë këtë. Një faktor shtesë është numri i marrë duke pjesëtuar NZ me emëruesin e një fraksioni të caktuar. Për 3/5, faktori shtesë është 3, pasi 15/5 = 3. Për fraksionin e dytë, faktori shtesë është 1, pasi 15/15 = 1.
Pasi kemi zbuluar faktorin shtesë, ne e shumëzojmë atë me numëruesit e thyesave dhe shtojmë vlerat që rezultojnë. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Përgjigje: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Nëse në shembull shtojmë ose zbresim jo 2, por 3 ose më shumë fraksione, atëherë NCD duhet kërkuar për aq fraksione sa janë dhënë.

Llogaritni: 1/2 – 5/12 + 3/6

Zgjidhja (sekuenca e veprimeve):

Gjetja e emëruesit më të ulët të përbashkët. Numri minimal i pjesëtueshëm me 2, 12 dhe 6 është 12.
Marrim: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
Ne jemi duke kërkuar për shumëzues shtesë. Për 1/2 – 6; për 5/12 – 1; për 3/6 – 2.
Ne shumëzojmë me numëruesit dhe caktojmë shenjat përkatëse: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

Përgjigje: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.

Ky artikull shpjegon si të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët Dhe si të konvertohen thyesat në emërues i përbashkët . Së pari jepen përkufizimet e emëruesit të përbashkët të thyesave dhe emëruesit më të vogël të përbashkët dhe tregohet se si të gjendet emëruesi i përbashkët i thyesave. Më poshtë është një rregull për reduktimin e thyesave në një emërues të përbashkët dhe shembuj të zbatimit të këtij rregulli. Si përfundim, diskutohen shembuj të sjelljes së tre ose më shumë thyesave në një emërues të përbashkët.

Navigimi i faqes.

Çfarë quhet reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët?

Tani mund të themi se çfarë është të reduktosh thyesat në një emërues të përbashkët. Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët- Ky është shumëzimi i numëruesve dhe emëruesve të thyesave të dhëna me faktorë të tillë shtesë, saqë rezultati është thyesa me emërues të njëjtë.

Emëruesi i përbashkët, përkufizimi, shembuj

Tani është koha për të përcaktuar emëruesin e përbashkët të thyesave.

Me fjalë të tjera, emëruesi i përbashkët i një grupi të caktuar thyesash të zakonshme është cilido numri natyror, e cila është e pjesëtueshme me të gjithë emëruesit e këtyre thyesave.

Nga përkufizimi i dhënë rrjedh se një grup i caktuar thyesash ka pafundësisht shumë emërues të përbashkët, pasi ekziston një numër i pafundëm shumëfishësh të përbashkët të të gjithë emëruesve të grupit origjinal të thyesave.

Përcaktimi i emëruesit të përbashkët të thyesave ju lejon të gjeni emëruesit e përbashkët të thyesave të dhëna. Le të, për shembull, duke pasur parasysh thyesat 1/4 dhe 5/6, emëruesit e tyre janë përkatësisht 4 dhe 6. Shumëfisha të përbashkët pozitivë të numrave 4 dhe 6 janë numrat 12, 24, 36, 48, ... Secili nga këta numra është emërues i përbashkët i thyesave 1/4 dhe 5/6.

Për të konsoliduar materialin, merrni parasysh zgjidhjen e shembullit të mëposhtëm.

Shembull.

A mund të reduktohen thyesat 2/3, 23/6 dhe 7/12 në një emërues të përbashkët 150?

Zgjidhje.

Për t'iu përgjigjur pyetjes, duhet të zbulojmë nëse numri 150 është një shumëfish i përbashkët i emëruesve 3, 6 dhe 12. Për ta bërë këtë, le të kontrollojmë nëse 150 është i pjesëtueshëm me secilin prej këtyre numrave (nëse është e nevojshme, shihni rregullat dhe shembujt e pjesëtimit të numrave natyrorë, si dhe rregullat dhe shembujt e pjesëtimit të numrave natyrorë me një mbetje): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (6 të mbetura) .

Kështu që, 150 nuk është i plotpjesëtueshëm me 12, prandaj 150 nuk është shumëfish i përbashkët i 3, 6 dhe 12. Prandaj, numri 150 nuk mund të jetë emëruesi i përbashkët i thyesave origjinale.

Përgjigje:

është e ndaluar.

Emëruesi më i ulët i përbashkët, si ta gjejmë atë?

Në bashkësinë e numrave që janë emërues të përbashkët të thyesave të dhëna, ekziston një numër natyror më i vogël, i cili quhet emëruesi më i vogël i përbashkët. Le të formulojmë përkufizimin e emëruesit më të ulët të përbashkët të këtyre thyesave.

Përkufizimi.

Emëruesi më i ulët i përbashkëtështë numri më i vogël i të gjithë emëruesve të përbashkët të këtyre thyesave.

Mbetet të merremi me pyetjen se si të gjejmë pjesëtuesin më të vogël të përbashkët.

Meqenëse është pjesëtuesi i përbashkët më pak pozitiv i një grupi të caktuar numrash, LCM e emëruesve të thyesave të dhëna përfaqëson emëruesin më të vogël të përbashkët të thyesave të dhëna.

Kështu, gjetja e emëruesit më të vogël të përbashkët të thyesave zbret në emëruesit e atyre thyesave. Le të shohim zgjidhjen e shembullit.

Shembull.

Gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët të thyesave 3/10 dhe 277/28.

Zgjidhje.

Emëruesit e këtyre thyesave janë 10 dhe 28. Emëruesi i përbashkët më i ulët i dëshiruar gjendet si LCM e numrave 10 dhe 28. Në rastin tonë është e lehtë: pasi 10=2·5, dhe 28=2·2·7, atëherë LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Përgjigje:

140 .

Si të reduktohen thyesat në një emërues të përbashkët? Rregulla, shembuj, zgjidhje

Thyesat e zakonshme zakonisht rezultojnë në një emërues të përbashkët më të ulët. Tani do të shkruajmë një rregull që shpjegon se si t'i reduktojmë thyesat në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët.

Rregulla për reduktimin e thyesave në emëruesin më të ulët të përbashkët përbëhet nga tre hapa:

Së pari, gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët të thyesave.
Së dyti, një faktor shtesë llogaritet për çdo thyesë duke pjesëtuar emëruesin më të ulët të përbashkët me emëruesin e secilës thyesë.
Së treti, numëruesi dhe emëruesi i secilës thyesë shumëzohen me faktorin shtesë të saj.

Le të zbatojmë rregullin e deklaruar për të zgjidhur shembullin e mëposhtëm.

Shembull.

Zvogëloni thyesat 5/14 dhe 7/18 në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët.

Zgjidhje.

Le të kryejmë të gjitha hapat e algoritmit për reduktimin e thyesave në emëruesin më të ulët të përbashkët.

Së pari gjejmë emëruesin më të vogël të përbashkët, i cili është i barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 14 dhe 18. Meqenëse 14=2·7 dhe 18=2·3·3, atëherë LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

Tani ne llogarisim faktorë shtesë me ndihmën e të cilëve thyesat 5/14 dhe 7/18 do të reduktohen në emëruesin 126. Për thyesën 5/14 faktori shtesë është 126:14=9, kurse për thyesën 7/18 faktori shtesë është 126:18=7.

Mbetet të shumëzojmë numëruesit dhe emëruesit e thyesave 5/14 dhe 7/18 me faktorë shtesë përkatësisht 9 dhe 7. kemi dhe .

Pra, reduktimi i thyesave 5/14 dhe 7/18 në emëruesin më të ulët të përbashkët është i plotë. Fraksionet që rezultuan ishin 45/126 dhe 49/126.

Emëruesi i thyesës aritmetike a / b është numri b, i cili tregon madhësinë e thyesave të një njësie nga e cila përbëhet thyesa. Emëruesi i një thyese algjebrike A / B është shprehja algjebrike B. Për të kryer veprime aritmetike me thyesa, ato duhet të reduktohen në emëruesin më të ulët të përbashkët.

Do t'ju duhet

Për të punuar me thyesat algjebrike dhe për të gjetur emëruesin më të ulët të përbashkët, duhet të dini si të faktorizoni polinomet.

Udhëzimet

Le të shqyrtojmë reduktimin e dy thyesave aritmetike n/m dhe s/t në emëruesin më të vogël të përbashkët, ku n, m, s, t janë numra të plotë. Është e qartë se këto dy thyesa mund të reduktohen në çdo emërues të pjesëtueshëm me m dhe t. Por ata përpiqen të çojnë në emëruesin më të ulët të përbashkët. Është e barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve m dhe t të thyesave të dhëna. Shumëfishi më i vogël (LMK) i një numri është më i vogli i pjesëtueshëm me të gjithë numrat e dhënë në të njëjtën kohë. Ato. në rastin tonë, duhet të gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave m dhe t. Shënuar si LCM (m, t). Më pas, fraksionet shumëzohen me ato përkatëse: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

Le të gjejmë emëruesin më të ulët të përbashkët të tre thyesave: 4/5, 7/8, 11/14. Së pari, le të zgjerojmë emëruesit 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Më pas, llogaritni LCM (5, 8, 14) duke shumëzuar të gjithë numrat e përfshirë në të paktën një nga zgjerimet. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Vini re se nëse një faktor ndodh në zgjerimin e disa numrave (faktori 2 në zgjerimin e emëruesve 8 dhe 14), atëherë marrim faktorin në një shkallë më të madhe (2^3 në rastin tonë).

Pra, ai i përgjithshëm është marrë. Është e barabartë me 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Këtu marrim numrat me të cilët duhet të shumëzojmë thyesat me emëruesit përkatës për t'i sjellë ato në emëruesin më të ulët të përbashkët. Ne marrim 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Reduktimi në emëruesin më të ulët të përbashkët thyesat algjebrike kryhet sipas analogjisë me aritmetikën. Për qartësi, le ta shohim problemin duke përdorur një shembull. Le të jepen dy thyesa (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) dhe (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Le të faktorizojmë të dy emëruesit. Vini re se emëruesi i thyesës së parë është një katror i përsosur: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Për

Fillimisht doja të përfshija teknikat e emëruesve të përbashkët në seksionin Shtimi dhe Zbritja e Thyjeve. Por doli se kishte aq shumë informacione dhe rëndësia e tij është aq e madhe (në fund të fundit, jo vetëm fraksionet numerike kanë emërues të përbashkët), sa është më mirë ta studiojmë këtë çështje veç e veç.

Pra, le të themi se kemi dy thyesa me emërues të ndryshëm. Dhe ne duam të sigurohemi që emëruesit të bëhen të njëjtë. Vetia themelore e një fraksioni vjen në shpëtim, e cila, më lejoni t'ju kujtoj, tingëllon si kjo:

Një thyesë nuk do të ndryshojë nëse numëruesi dhe emëruesi i saj shumëzohen me të njëjtin numër të ndryshëm nga zero.

Kështu, nëse i zgjidhni saktë faktorët, emëruesit e thyesave do të bëhen të barabartë - ky proces quhet reduktim në një emërues të përbashkët. Dhe numrat e kërkuar, "mbrëmje jashtë" emëruesit, quhen faktorë shtesë.

Pse duhet t'i reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët? Këtu janë vetëm disa arsye:

Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm. Nuk ka asnjë mënyrë tjetër për të kryer këtë operacion;
Krahasimi i thyesave. Ndonjëherë reduktimi në një emërues të përbashkët e thjeshton shumë këtë detyrë;
Zgjidhja e problemeve që përfshijnë thyesa dhe përqindje. Përqindjet janë në thelb shprehje të zakonshme që përmbajnë thyesa.

Ka shumë mënyra për të gjetur numra që, kur shumëzohen me ta, do t'i bëjnë emëruesit e thyesave të barabartë. Ne do të shqyrtojmë vetëm tre prej tyre - në mënyrë që të rritet kompleksiteti dhe, në një farë kuptimi, efektiviteti.

Shumëzim kryq

Më e thjeshta dhe mënyrë të besueshme, e cila garantohet të barazojë emëruesit. Ne do të veprojmë "në mënyrë të pandërprerë": ne shumëzojmë thyesën e parë me emëruesin e thyesës së dytë dhe të dytën me emëruesin e të parës. Si rezultat, emëruesit e të dy thyesave do të bëhen të barabartë me produktin e emëruesit origjinal. Hidhi nje sy:

Si faktorë shtesë, merrni parasysh emëruesit e thyesave fqinje. Ne marrim:

Po, është kaq e thjeshtë. Nëse sapo keni filluar të studioni fraksionet, është më mirë të punoni duke përdorur këtë metodë - në këtë mënyrë do të siguroheni nga shumë gabime dhe do të jeni të garantuar të merrni rezultatin.

E vetmja pengesë këtë metodë- duhet të numëroni shumë, sepse emëruesit shumëzohen "përgjatë", dhe rezultati mund të jetë shumë numra të mëdhenj. Ky është çmimi që duhet paguar për besueshmërinë.

Metoda e pjesëtuesit të përbashkët

Kjo teknikë ndihmon për të reduktuar ndjeshëm llogaritjet, por, për fat të keq, përdoret mjaft rrallë. Metoda është si më poshtë:

Përpara se të shkoni drejt përpara (d.m.th., duke përdorur metodën e kryqëzuar), hidhini një sy emëruesve. Ndoshta njëri prej tyre (ai që është më i madh) është i ndarë në tjetrin.
Numri që rezulton nga kjo pjesëtim do të jetë një faktor shtesë për thyesën me emërues më të vogël.
Në këtë rast, një fraksion me një emërues të madh nuk ka nevojë të shumëzohet me asgjë - këtu qëndrojnë kursimet. Në të njëjtën kohë, probabiliteti i gabimit zvogëlohet ndjeshëm.

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Vini re se 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Meqenëse në të dyja rastet njëri emërues ndahet pa mbetje nga tjetri, ne përdorim metodën e faktorëve të përbashkët. Ne kemi:

Vini re se thyesa e dytë nuk u shumëzua fare me asgjë. Në fakt, ne e përgjysmojmë sasinë e llogaritjes!

Nga rruga, unë nuk i mora rastësisht thyesat në këtë shembull. Nëse jeni të interesuar, provoni t'i numëroni duke përdorur metodën e kryqëzuar. Pas reduktimit, përgjigjet do të jenë të njëjta, por do të ketë shumë më tepër punë.

Kjo është forca e metodës pjesëtuesit e përbashkët, por, e përsëris, mund të përdoret vetëm në rastin kur njëri prej emërtuesve ndahet me tjetrin pa mbetje. Gjë që ndodh mjaft rrallë.

Metoda më pak e zakonshme e shumëfishtë

Kur i reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët, në thelb po përpiqemi të gjejmë një numër që është i pjesëtueshëm me secilin prej emëruesit. Pastaj sjellim emëruesit e të dy thyesave në këtë numër.

Ka shumë numra të tillë, dhe më i vogli prej tyre nuk do të jetë domosdoshmërisht i barabartë me produktin e drejtpërdrejtë të emëruesve të thyesave origjinale, siç supozohet në metodën "kryq".

Për shembull, për emëruesit 8 dhe 12, numri 24 është mjaft i përshtatshëm, pasi 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ky numër është shumë më i vogël se produkti 8 · 12 = 96.

Numri më i vogël, i cili është i pjesëtueshëm me secilin prej emërtuesve, quhet shumëfishi i tyre më i vogël i përbashkët (LCM).

Shënim: Shumëfishi më i vogël i përbashkët i a dhe b shënohet me LCM(a ; b) . Për shembull, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 .

Nëse arrini të gjeni një numër të tillë, shuma totale e llogaritjeve do të jetë minimale. Shikoni shembujt:

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Vini re se 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktorët 2 dhe 3 janë të përbashkët (nuk kanë faktorë të përbashkët përveç 1), dhe faktori 117 është i zakonshëm. Prandaj LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Po kështu, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktorët 3 dhe 4 janë të dyfishtë, dhe faktori 5 është i zakonshëm. Prandaj LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Tani le t'i sjellim thyesat në emërues të përbashkët:

Vini re se sa i dobishëm ishte faktorizimi i emëruesve origjinal:

Pasi zbuluam faktorë të njëjtë, arritëm menjëherë te shumëfishi më i vogël i përbashkët, i cili, në përgjithësi, është një problem jo i parëndësishëm;
Nga zgjerimi që rezulton mund të zbuloni se cilët faktorë "mungojnë" në secilën fraksion. Për shembull, 234 · 3 = 702, pra, për fraksionin e parë faktori shtesë është 3.

Për të vlerësuar se sa ndryshim bën metoda e shumëfishtë më pak e zakonshme, provoni të llogaritni këta shembuj të njëjtë duke përdorur metodën e kryqëzuar. Sigurisht, pa një kalkulator. Mendoj se pas kësaj komentet do të jenë të panevojshme.

Mos mendoni se nuk do të ketë thyesa kaq komplekse në shembujt realë. Ata takohen gjatë gjithë kohës, dhe detyrat e mësipërme nuk janë kufiri!

Problemi i vetëm është se si ta gjejmë këtë NOC. Ndonjëherë gjithçka mund të gjendet në disa sekonda, fjalë për fjalë "me sy", por në përgjithësi kjo është një detyrë komplekse llogaritëse që kërkon shqyrtim të veçantë. Ne nuk do ta prekim atë këtu.