Si të shkurtojmë në ekuacione të mëdha. Reduktimi i thyesave algjebrike

Divizioni dhe numëruesi dhe emëruesi i thyesës mbi to pjesëtues i përbashkët , ndryshe nga një, quhet duke reduktuar një fraksion.

Për të zvogëluar një thyesë të përbashkët, duhet të ndani numëruesin dhe emëruesin e saj me të njëjtin numër natyror.

Ky numër është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numëruesit dhe emëruesit të thyesës së dhënë.

Më poshtë janë të mundshme formularët e regjistrimit të vendimeve Shembuj për reduktimin e thyesave të zakonshme.

Studenti ka të drejtë të zgjedhë çdo formë regjistrimi.

Shembuj. Thjeshtoni thyesat.

Zvogëloni thyesën me 3 (pjesëtoni numëruesin me 3;

pjesëtoje emëruesin me 3).

Zvogëloni thyesën me 7.

Veprimet e treguara i kryejmë në numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

Pjesa që rezulton zvogëlohet me 5.

Le ta zvogëlojmë këtë pjesë 4) në 5·7³- pjesëtuesi më i madh i përbashkët (GCD) i numëruesit dhe emëruesit, i cili përbëhet nga faktorët e përbashkët të numëruesit dhe emëruesit, të marrë në fuqinë me eksponentin më të vogël.

Le të faktorizojmë numëruesin dhe emëruesin e kësaj thyese në faktorë të thjeshtë.

Ne marrim: 756=2²·3³·7 Dhe 1176=2³·3·7².

Përcaktoni GCD (pjesëtuesin më të madh të përbashkët) të numëruesit dhe emëruesit të thyesës 5) .

Ky është produkt i faktorëve të përbashkët të marrë me eksponentët më të ulët.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Numëruesin dhe emëruesin e kësaj thyese e ndajmë me gcd-në e tyre, d.m.th. 2²·3·7 marrim një thyesë të pareduktueshme 9/14 .

Ose ishte e mundur të shkruhet zbërthimi i numëruesit dhe emëruesit në formën e një produkti të faktorëve të thjeshtë, pa përdorur konceptin e fuqisë, dhe më pas të zvogëlohet thyesa duke kryqëzuar të njëjtët faktorë në numërues dhe emërues. Kur nuk ka mbetur asnjë faktor identik, ne i shumëzojmë faktorët e mbetur veçmas në numërues dhe veçmas në emërues dhe shkruajmë thyesën që rezulton. 9/14 .

Dhe së fundi, ishte e mundur të zvogëlohej ky fraksion 5) gradualisht, duke aplikuar shenjat e pjesëtimit të numrave si për numëruesin ashtu edhe për emëruesin e thyesës. Le të mendojmë kështu: numrat 756 Dhe 1176 mbarojnë me një numër çift, që do të thotë që të dy pjesëtohen me 2 . E zvogëlojmë thyesën me 2 . Numëruesi dhe emëruesi fraksion i ri- numrat 378 Dhe 588 e ndarë edhe në 2 . E zvogëlojmë thyesën me 2 . Vërejmë se numri 294 - madje, dhe 189 është tek, dhe zvogëlimi me 2 nuk është më i mundur. Le të kontrollojmë pjesëtueshmërinë e numrave 189 Dhe 294 në 3 .

(1+8+9)=18 pjesëtohet me 3 dhe (2+9+4)=15 plotpjesëtohet me 3, pra vetë numrat 189 Dhe 294 ndahen në 3 . E zvogëlojmë thyesën me 3 . Me tutje, 63 pjesëtohet me 3 dhe 98 - Jo. Le të shohim faktorë të tjerë kryesorë. Të dy numrat janë të pjesëtueshëm me 7 . E zvogëlojmë thyesën me 7 dhe marrim thyesën e pareduktueshme 9/14 .

Llogaritësi online funksionon reduktim thyesat algjebrike në përputhje me rregullën e zvogëlimit të thyesave: zëvendësimi i thyesës fillestare me një thyesë të barabartë, por me një numërues dhe emërues më të vogël, d.m.th. Njëkohësisht pjesëtimi i numëruesit dhe emëruesit të një thyese me faktorin e përbashkët më të madh të përbashkët (GCD). Llogaritësi shfaqet gjithashtu zgjidhje e detajuar, e cila do t'ju ndihmojë të kuptoni sekuencën e reduktimit.

E dhënë:

Zgjidhja:

Kryerja e reduktimit të fraksionit

duke kontrolluar mundësinë e kryerjes së reduktimit të thyesave algjebrike

1) Përcaktimi i pjesëtuesit më të madh të përbashkët (GCD) të numëruesit dhe emëruesit të një thyese

përcaktimi i pjesëtuesit më të madh të përbashkët (GCD) të numëruesit dhe emëruesit të një thyese algjebrike

2) Zvogëlimi i numëruesit dhe emëruesit të një thyese

duke zvogëluar numëruesin dhe emëruesin e një thyese algjebrike

3) Zgjedhja e të gjithë pjesës së një thyese

duke ndarë të gjithë pjesën e një thyese algjebrike

4) Shndërrimi i një thyese algjebrike në një thyesë dhjetore

shndërrimi i një thyese algjebrike në dhjetore

Ndihmë për zhvillimin e faqes së internetit të projektit

I dashur vizitor i faqes.
Nëse nuk keni mundur të gjeni atë që po kërkoni, sigurohuni që të shkruani për të në komente, atë që aktualisht mungon në faqe. Kjo do të na ndihmojë të kuptojmë se në cilin drejtim duhet të ecim më tej, dhe vizitorët e tjerë së shpejti do të mund të marrin materialin e nevojshëm.
Nëse faqja doli të jetë e dobishme për ju, dhuroni faqen për projektin vetëm 2 ₽ dhe ne do të dimë se po ecim në drejtimin e duhur.

Faleminderit që ndaluat!

I. Procedura për reduktimin e një thyese algjebrike duke përdorur një kalkulator në internet:

Për të zvogëluar një thyesë algjebrike, futni vlerat e numëruesit dhe emëruesit të fraksionit në fushat përkatëse. Nëse thyesa është e përzier, atëherë plotësoni edhe fushën që i përgjigjet të gjithë pjesës së thyesës. Nëse thyesa është e thjeshtë, atëherë lëreni të gjithë fushën e pjesës bosh.
Për të specifikuar një thyesë negative, vendosni një shenjë minus në të gjithë pjesën e thyesës.
Në varësi të fraksionit algjebrik të specifikuar, sekuenca e mëposhtme e veprimeve kryhet automatikisht:

përcaktimi i pjesëtuesit më të madh të përbashkët (GCD) të numëruesit dhe emëruesit të një thyese;
duke zvogëluar numëruesin dhe emëruesin e një thyese me gcd;
duke theksuar të gjithë pjesën e një thyese, nëse numëruesi i thyesës fundore është më i madh se emëruesi.
shndërrimi i thyesës së fundit algjebrike në një thyesë dhjetore rrumbullakosur në të qindtën më të afërt.

Reduktimi mund të rezultojë në një fraksion të papërshtatshëm. Në këtë rast, thyesa e papërshtatshme përfundimtare do të theksohet e gjithë pjesa e saj dhe thyesa përfundimtare do të shndërrohet në një thyesë të duhur.

II. Per referim:

Një thyesë është një numër i përbërë nga një ose më shumë pjesë (fraksione) të një njësie. Një thyesë e zakonshme (thyesë e thjeshtë) shkruhet si dy numra (numëruesi i thyesës dhe emëruesi i thyesës) të ndarë nga një shirit horizontal (shiriti i thyesës) që tregon shenjën e pjesëtimit. Numëruesi i një thyese është numri mbi vijën e thyesës. Numëruesi tregon se sa aksione janë marrë nga e tëra. Emëruesi i një thyese është numri nën vijën e thyesës. Emëruesi tregon në sa pjesë të barabarta ndahet e tëra. Një thyesë e thjeshtë është një thyesë që nuk ka një pjesë të plotë. Një fraksion i thjeshtë mund të jetë i duhur ose i papërshtatshëm. thyesë e duhur - një thyesë numëruesi i së cilës është më pak se emëruesi, pra një thyesë e duhur është gjithmonë më e vogël se një. Shembull i thyesave të duhura: 8/7, 11/19, 16/17. thyesë e papërshtatshme - një thyesë në të cilën numëruesi është më i madh ose i barabartë me emëruesin, prandaj një thyesë e papërshtatshme është gjithmonë me shume se nje ose e barabartë me të. Shembull i thyesave jo të duhura: 7/6, 8/7, 13/13. thyesa e përzier është një numër që përmban një numër të plotë dhe një thyesë të duhur, dhe tregon shumën e atij numri të plotë dhe të thyesës së duhur. Çdo fraksion i përzier mund të shndërrohet në një fraksion të papërshtatshëm thyesë e thjeshtë. Shembull i thyesave të përziera: 1¼, 2½, 4¾.

III. Shënim:

Blloku i të dhënave burimore është theksuar e verdhe , blloku i llogaritjeve të ndërmjetme është theksuar me blu, blloku i zgjidhjes është theksuar me të gjelbër.
Për të mbledhur, zbritur, shumëzuar dhe pjesëtuar thyesat e zakonshme ose të përziera, përdorni kalkulatorin online të thyesave me zgjidhje të detajuara.

Herën e fundit kemi bërë një plan, pas të cilit mund të mësoni se si të zvogëloni shpejt thyesat. Tani le të shohim shembuj specifikë të reduktimit të thyesave.

Shembuj.

Le të kontrollojmë nëse numri më i madh është i pjesëtueshëm me numrin më të vogël (numërues me emërues ose emërues me numërues)? Po, në të tre këta shembuj, numri më i madh pjesëtohet me numrin më të vogël. Kështu, çdo thyesë e zvogëlojmë me numrin më të vogël (me numërues ose emërues). Ne kemi:

Le të kontrollojmë nëse numri më i madh është i pjesëtueshëm me numrin më të vogël? Jo, nuk ndahet.

Më pas kalojmë në kontrollimin e pikës tjetër: a mbaron hyrja e numëruesit dhe e emëruesit me një, dy ose më shumë zero? Në shembullin e parë, numëruesi dhe emëruesi përfundojnë me zero, në shembullin e dytë dy zero dhe në të tretin tre zero. Kjo do të thotë që ne zvogëlojmë thyesën e parë me 10, të dytën me 100 dhe të tretën me 1000:

Kemi marrë thyesa të pareduktueshme.

Një numër më i madh nuk mund të pjesëtohet me një numër më të vogël dhe numrat nuk mbarojnë me zero.

Tani le të kontrollojmë nëse numëruesi dhe emëruesi janë në të njëjtën kolonë në tabelën e shumëzimit? 36 dhe 81 janë të dy pjesëtueshëm me 9, 28 dhe 63 pjesëtohen me 7, dhe 32 dhe 40 pjesëtohen me 8 (ato gjithashtu pjesëtohen me 4, por nëse ka një zgjedhje, ne gjithmonë do të zvogëlojmë me një më të madh). Kështu vijmë te përgjigjet:

Të gjithë numrat e fituar janë thyesa të pareduktueshme.

Një numër më i madh nuk mund të pjesëtohet me një numër më të vogël. Por rekordi i numëruesit dhe i emëruesit përfundon me zero. Pra, ne e zvogëlojmë thyesën me 10:

Ky fraksion ende mund të reduktohet. Ne kontrollojmë tabelën e shumëzimit: të dy 48 dhe 72 janë të pjestueshëm me 8. Ne e zvogëlojmë thyesën me 8:

Ne gjithashtu mund ta zvogëlojmë thyesën që rezulton me 3:

Ky fraksion është i pakalueshëm.

Numri më i madh nuk pjesëtohet me numrin më të vogël. Numëruesi dhe emëruesi mbarojnë me zero. Kjo do të thotë se ne e zvogëlojmë thyesën me 10.

Ne kontrollojmë numrat e marrë në numërues dhe emërues për dhe. Meqenëse shuma e shifrave të 27 dhe 531 është e pjesëtueshme me 3 dhe 9, kjo pjesë mund të zvogëlohet ose me 3 ose me 9. Ne zgjedhim atë më të madhen dhe zvogëlojmë me 9. Rezultati është një fraksion i pakalueshëm.

Reduktimi i thyesave është i nevojshëm për të reduktuar fraksionin në më shumë pamje e thjeshtë, për shembull, në përgjigjen e marrë si rezultat i zgjidhjes së një shprehjeje.

Reduktimi i thyesave, përkufizimi dhe formula.

Çfarë janë thyesat reduktuese? Çfarë do të thotë të reduktosh një fraksion?

Përkufizimi:
Thyesat reduktuese- ky është pjesëtimi i numëruesit dhe emëruesit të një thyese me të njëjtin numër pozitiv jo të barabartë me zero dhe një. Si rezultat i zvogëlimit, fitohet një thyesë me numërues dhe emërues më të vogël, e barabartë me thyesën e mëparshme sipas.

Formula për reduktimin e thyesave prona kryesore numrat racionalë.

\(\frac(p \herë n)(q \herë n)=\frac(p)(q)\)

Le të shohim një shembull:
Zvogëloni thyesën \(\frac(9)(15)\)

Zgjidhja:
Ne mund të faktorizojmë një pjesë në faktorët kryesorë dhe të anulojmë faktorët e zakonshëm.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \herë 3)(5 \herë 3)=\frac(3)(5) \times \ngjyrë(e kuqe) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \herë 1=\frac(3)(5)\)

Përgjigje: pas reduktimit kemi marrë thyesën \(\frac(3)(5)\). Sipas vetive themelore të numrave racionalë, thyesat origjinale dhe rezultuese janë të barabarta.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Si të zvogëloni fraksionet? Reduktimi i një fraksioni në formën e tij të pareduktueshme.

Për të marrë një fraksion të pakalueshëm si rezultat, na duhet gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët (GCD) për numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

Ka disa mënyra për të gjetur GCD; në shembull do të përdorim zbërthimin e numrave në faktorë të thjeshtë.

Merrni thyesën e pakalueshme \(\frac(48)(136)\).

Zgjidhja:
Le të gjejmë GCD(48, 136). Le t'i shkruajmë numrat 48 dhe 136 në faktorët kryesorë.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\ngjyrë(e kuqe) (2 \herë 2 \herë 2) \herë 2 \herë 3)(\ngjyrë(e kuqe) (2 \herë 2 \herë 2) \herë 17)=\frac(\ngjyra(e kuqe) (6) \herë 2 \herë 3)(\ngjyrë(e kuqe) (6) \herë 17)=\frac(2 \herë 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Rregulli për reduktimin e një thyese në një formë të pareduktueshme.

Ju duhet të gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët për numëruesin dhe emëruesin.
Ju duhet të ndani numëruesin dhe emëruesin me pjesëtuesin më të madh të përbashkët për të marrë një thyesë të pakalueshme si rezultat i pjesëtimit.

Shembull:
Zvogëloni thyesën \(\frac(152)(168)\).

Zgjidhja:
Le të gjejmë GCD(152, 168). Le t'i shkruajmë numrat 152 dhe 168 në faktorët kryesorë.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\ngjyrë(të kuqe) (6) \herë 19)(\ngjyrë(e kuqe) (6) \herë 21)=\frac(19)(21)\)

Përgjigje: \(\frac(19)(21)\) është një thyesë e pareduktueshme.

Reduktimi i fraksioneve të pahijshme.

Si të prerë thyesë e papërshtatshme?
Rregullat për reduktimin e thyesave janë të njëjta për thyesat e duhura dhe të papërshtatshme.

Le të shohim një shembull:
Zvogëloni thyesën e papërshtatshme \(\frac(44)(32)\).

Zgjidhja:
Le të shkruajmë numëruesin dhe emëruesin në faktorë të thjeshtë. Dhe pastaj ne do të reduktojmë faktorët e përbashkët.

\(\frac(44)(32)=\frac(\ngjyrë(e kuqe) (2 \herë 2) \herë 11)(\ngjyrë(e kuqe) (2 \herë 2) \herë 2 \herë 2 \herë 2 )=\frac(11)(2 \herë 2 \herë 2)=\frac(11)(8)\)

Reduktimi i fraksioneve të përziera.

Thyesat e përziera duke përdorur të njëjtat rregulla si thyesat e zakonshme. I vetmi ndryshim është se ne mundemi mos e prekni të gjithë pjesën, por zvogëloni pjesën thyesore ose fraksion i përzier konvertohet në një fraksion të papërshtatshëm, zvogëlohet dhe kthehet përsëri në një fraksion të duhur.

Le të shohim një shembull:
Anuloni thyesën e përzier \(2\frac(30)(45)\).

Zgjidhja:
Le ta zgjidhim në dy mënyra:
Mënyra e parë:
Le ta shkruajmë pjesën thyesore në faktorë të thjeshtë, por nuk do ta prekim të gjithë pjesën.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \herë \ngjyrë(e kuqe) (5 \herë 3))(3 \herë \ngjyrë(e kuqe) (5 \herë 3))=2\ frak (2) (3)\)

Mënyra e dytë:
Le ta kthejmë fillimisht në një thyesë të papërshtatshme dhe më pas ta shkruajmë në faktorët kryesorë dhe ta zvogëlojmë. Le ta shndërrojmë thyesën e papërshtatshme që rezulton në një thyesë të duhur.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \herë 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \herë \ngjyra(e kuqe) (5 \herë 3) \herë 2 \herë 2)(3 \herë \ngjyrë(e kuqe) (3 \herë 5))=\frac(2 \herë 2 \herë 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Pyetje të ngjashme:
A mund të zvogëloni thyesat kur mblidhni ose zbritni?
Përgjigje: jo, së pari duhet të shtoni ose zbrisni thyesat sipas rregullave dhe vetëm më pas t'i zvogëloni ato. Le të shohim një shembull:

Vlerësoni shprehjen \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Zgjidhja:
Ata shpesh bëjnë gabim duke reduktuar të njëjtët numra në numërues dhe emërues, në rastin tonë numrin 20, por ato nuk mund të zvogëlohen derisa të keni përfunduar mbledhjen dhe zbritjen.

\(\frac(50+\ngjyrë(e kuqe) (20)-10)(\ngjyrë(e kuqe) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \herë 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Me çfarë numrash mund të zvogëloni një thyesë?
Përgjigje: Ju mund të zvogëloni një thyesë me faktorin më të madh të përbashkët ose me pjesëtuesin e përbashkët të numëruesit dhe emëruesit. Për shembull, fraksioni \(\frac(100)(150)\).

Le t'i shkruajmë numrat 100 dhe 150 në faktorët kryesorë.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Pjesëtuesi më i madh i përbashkët do të jetë numri gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \herë 50)(3 \herë 50)=\frac(2)(3)\)

Morëm thyesën e pakalueshme \(\frac(2)(3)\).

Por nuk është e nevojshme që gjithmonë të pjesëtohet me gcd; një thyesë e pakalueshme nuk nevojitet gjithmonë; ju mund ta zvogëloni thyesën me një pjesëtues të thjeshtë të numëruesit dhe emëruesit. Për shembull, numri 100 dhe 150 kanë një pjesëtues të përbashkët të 2. Le të zvogëlojmë thyesën \(\frac(100)(150)\) me 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \herë 50)(2 \herë 75)=\frac(50)(75)\)

Morëm thyesën e reduktueshme \(\frac(50)(75)\).

Cilat fraksione mund të reduktohen?
Përgjigje: Ju mund të zvogëloni thyesat në të cilat numëruesi dhe emëruesi kanë një pjesëtues të përbashkët. Për shembull, fraksioni \(\frac(4)(8)\). Numri 4 dhe 8 kanë një numër me të cilin janë të dy pjesëtueshëm - numri 2. Prandaj, një pjesë e tillë mund të zvogëlohet me numrin 2.

Shembull:
Krahasoni dy thyesat \(\frac(2)(3)\) dhe \(\frac(8)(12)\).

Këto dy thyesa janë të barabarta. Le të hedhim një vështrim më të afërt në thyesën \(\frac(8)(12)\):

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \herë 4)(3 \herë 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\herë 1=\frac(2)(3)\)

Nga këtu marrim, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Dy thyesa janë të barabarta nëse dhe vetëm nëse njëra prej tyre fitohet duke zvogëluar thyesën tjetër me faktorin e përbashkët të numëruesit dhe emëruesit.

Shembull:
Nëse është e mundur, zvogëloni thyesat e mëposhtme: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)

Zgjidhja:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \herë \ngjyrë(e kuqe) (5) \herë 3 \herë 3)(\ngjyrë(e kuqe) (5) \herë 13)=\frac (2 \herë 3 \herë 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\ngjyrë(e kuqe) (3 \herë 3) \herë 3)(\ngjyrë(e kuqe) (3 \herë 3) \herë 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) fraksion i pareduktueshëm
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\ngjyra(e kuqe) (2 \herë 5 \herë 5) \herë 2)(\ngjyrë(e kuqe) (2 \herë 5 \herë 5) \ herë 5)=\frac(2)(5)\)

Në këtë artikull do të shikojmë veprimet bazë me thyesat algjebrike:

duke reduktuar thyesat
shumëzimi i thyesave
pjesëtimin e thyesave

Le të fillojmë me reduktimi i thyesave algjebrike.

Do të duket se, algoritmi e dukshme.

për të zvogëloni thyesat algjebrike, duhet

1. Faktoroni numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

2. Zvogëloni faktorët e barabartë.

Sidoqoftë, nxënësit e shkollës shpesh bëjnë gabim duke "zvogëluar" jo faktorët, por termat. Për shembull, ka amatorë që "zvogëlojnë" thyesat dhe marrin si rezultat, gjë që, natyrisht, nuk është e vërtetë.

Le të shohim shembuj:

1. Zvogëloni fraksionin:

1. Le të faktorizojmë numëruesin duke përdorur formulën e katrorit të shumës, dhe emëruesin duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve

2. Ndajeni numëruesin dhe emëruesin me

2. Zvogëloni fraksionin:

1. Të faktorizojmë numëruesin. Meqenëse numëruesi përmban katër terma, ne përdorim grupimin.

2. Të faktorizojmë emëruesin. Mund të përdorim edhe grupimin.

3. Le të shkruajmë thyesën që kemi marrë dhe të zvogëlojmë të njëjtët faktorë:

Shumëzimi i thyesave algjebrike.

Kur shumëzojmë thyesat algjebrike, ne shumëzojmë numëruesin me numëruesin dhe shumëzojmë emëruesin me emërues.

E rëndësishme! Nuk ka nevojë të nxitoni për të shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e një thyese. Pasi të kemi shkruar prodhimin e numëruesve të thyesave në numërues dhe prodhimin e emëruesve në emërues, duhet të faktorizojmë çdo faktor dhe ta zvogëlojmë thyesën.

Le të shohim shembuj:

3. Thjeshtoni shprehjen:

1. Të shkruajmë prodhimin e thyesave: në numërues prodhimin e numëruesve dhe në emërues prodhimin e emëruesve:

2. Le të faktorizojmë çdo kllapa:

Tani duhet të reduktojmë të njëjtët faktorë. Vini re se shprehjet dhe ndryshojnë vetëm në shenjë: dhe si rezultat i pjesëtimit të shprehjes së parë me të dytën marrim -1.