Plotësoni fjalitë: 1). Ekuacioni është... 2). Rrënja e ekuacionit është... 3). Zgjidhja e një ekuacioni do të thotë...

I. Zgjidhini me gojë ekuacionet: 1). 2). 3). 4). 5). 6). 7). 8). 9). 6 x + 18=0 2 x + 5=0 5 x – 3=0 -3 x + 9=0 -5 x + 1=0 -2 x – 10=0 6 x – 7=5 x 9 x + 6 =10 x 5 x - 12=8 x

Cili nga ekuacionet e mëposhtme nuk ka zgjidhje: a). 2 x – 14 = x + 7 b). 2 x - 14 = 2 (x – 7) c). x – 7 = 2 x + 14 g). 2 x- 14 = 2 x + 7?

Cili ekuacion ka pafundësisht shumë zgjidhje: a). 4 x – 12 = x – 12 b). 4 x – 12 = 4 x + 12 c). 4 (x – 3) = 4 x – 12 g). 4 (x – 3) = x – 10?

EKUACIONET E FORMËS kx + b = 0, ku k, b janë dhënë numra, QUHEN LINEAR. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve lineare: 1). hapni kllapat 2). zhvendosni termat që përmbajnë të panjohurën në anën e majtë, dhe termat që nuk përmbajnë të panjohurën në anën e djathtë (shenja e termit të transferuar është e kundërt); 3). sjell anëtarë të ngjashëm; 4). pjesëtoni të dyja anët e ekuacionit me koeficientin e të panjohurës nëse nuk është i barabartë me zero.

Zgjidheni në fletore Grupi I: Nr 681 fq 63 6(4 -x)+3 x=3 Grupi III: Nr.767 fq : Grupi II: Nr 697 fq 63 x-1 +(x+2) = -4(-5 -x)-5

Ekuacioni i formës aх2 + bх + c =0, ku a≠ 0, b, c janë çdo numër real, quhet kuadratik. Ekuacione jo të plota: aх2 + bх =0 (c=0), aх2 + c =0 (b=0).

II. Zgjidhini me gojë ekuacionet kuadratike, duke treguar nëse janë të plota apo jo të plota: 1). x2 + 15 x=0 2). -x2 +2 x = 0 3). x2 -25=0 4). -x2 +9 =0 5). -x2 - 16 =0 6). x2 - 8 x + 15=0 7). x2 + 5 x + 6=0 8). x2 + x - 12 =0 9). (-x-5)(-x+ 6)=0 10). x2 -4 x +4 =0

PYETJE: 1). Cila veti e ekuacioneve është përdorur për të zgjidhur të paplotat ekuacionet kuadratike? 2). Cilat metoda të faktorizimit të një polinomi janë përdorur për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota? 3). Cili është algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike?

1). Prodhimi i dy faktorëve është i barabartë me zero, nëse njëri prej tyre është zero, i dyti nuk e humb kuptimin e tij: ab = 0 nëse a = 0 ose b = 0. 2). Zëvendësimi i një faktori të përbashkët dhe a 2 - b 2 =(a – b)(a + b) është formula për diferencën e katrorëve. 3). Ekuacioni i plotë kuadratik ax2 + bx + c = o. D=b 2 – 4 ac, nëse D>0, 2 rrënjë; D = 0, 1 rrënjë; D

Teorema e anasjelltë me teoremën e Vietës: Nëse numrat a, b, c, x 1 dhe x 2 janë të tillë që x 1 x 2 = x 1 + x 2 =, dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit a x 2 + bx + c = 0

ZGJIDHNI EKUACIONET: Grupi I: Nr.802 faqe 71 x2 - 5 x- 36 =0 Grupi II: Nr.810 faqe 71 3 x2 - x + 21=5 x2 Grupi III: x4 -5 x2 - 36 =0

III. ZGJIDHNI EKUACIONET: Grupi I dhe II: Nr 860 Grupi III: =0 =0 Si quhen ekuacione të tilla? Çfarë vetie përdoret për zgjidhjen e tyre?

Një ekuacion racional është një ekuacion i formës =0. Një thyesë është e barabartë me zero nëse numëruesi është zero dhe emëruesi nuk është zero. =0, nëse a = 0, b≠ 0.

Shkurtimisht nga historia e matematikës Matematikanët e Egjiptit të Lashtë ishin në gjendje të zgjidhnin ekuacionet kuadratike dhe lineare. Shkencëtari mesjetar persian Al-Khorezmi (shekulli IX) prezantoi për herë të parë algjebrën si një shkencë të pavarur të metodat e përgjithshme zgjidhjet e ekuacioneve lineare dhe kuadratike, dhanë një klasifikim të këtyre ekuacioneve. Një zbulim i ri i madh në matematikë lidhet me emrin e shkencëtarit francez Francois Vieta (shek. XVI). Ishte ai që futi shkronjat në algjebër. Ai është përgjegjës për teoremën e famshme mbi rrënjët e ekuacioneve kuadratike. Dhe traditën e shënimit të sasive të panjohura me shkronjat e fundit të alfabetit latin (x, y, z) ia detyrojmë një matematikani tjetër francez - Rene Descartes (XVII).

Detyrë shtëpie Punë me faqet: - Banka e hapur e detyrave OGE (matematikë) http: //85. 142. 162. 126/os/xmodules/qprint/index. php? proj=DE 0 E 276 E 49 7 AB 3784 C 3 FC 4 CC 20248 DC 0 ; - "Unë do të zgjidh OGE" nga D. Gushchin https: //oge. sdamgia. ru/ ; - Faqja e internetit e A. Larin (opsioni 119) http: //alexlarin. neto/. Tutoriale: - Libër mësuesi Yu M. Kolyagin "Algjebra e 9-të", M., "Iluminizmi", 2014, f. 308 -310; - “3000 detyra” nën. redaktuar nga I. V. Yashchenko, M., "Provimi", 2017, f. 5974.

Informacion për prindërit Sistemi i përgatitjes për OGE në matematikë 1). Përsëritje shoqëruese në mësimet 2). Rishikimi përfundimtar në fund të vitit 3). Klasat me zgjedhje(të shtunave) 4). Sistemi i detyrave të shtëpisë - duke punuar me faqet Unë do të ZGJIDH OGE, HAPUR BANK FIPI, FAQJA A. LARINA. 5). Konsultime individuale (të hënën)

Detyra e katërt në modulin e algjebrës teston njohuritë për përdorimin e fuqive dhe shprehjeve radikale.

Gjatë kryerjes së detyrës nr.4 të OGE në matematikë, testohen jo vetëm aftësitë e llogaritjes dhe transformimit të shprehjeve numerike, por edhe aftësia për të transformuar shprehjet algjebrike. Mund t'ju duhet të kryeni veprime me fuqi me një eksponent numër të plotë, me polinome dhe transformime identike të shprehjeve racionale.

Në përputhje me materialet e provimit kryesor, mund të ketë detyra që kërkojnë kryerjen e transformimeve identike të shprehjeve racionale, faktorizimin e polinomeve, përdorimin e përqindjeve dhe proporcioneve dhe testet e pjesëtueshmërisë.

Përgjigja në detyrën 4 është një nga numrat 1; 2; 3; 4 që korrespondon me numrin e përgjigjes së propozuar për detyrën.

Teoria për detyrën nr.4

Nga materiali teorik do të na duhet Rregullat për trajtimin e gradave:

Rregullat për të punuar me shprehjet radikale:

Në versionet e mia të analizuara, këto rregulla janë paraqitur - në analizën e versionit të parë të detyrës së tretë, janë paraqitur rregullat për trajtimin e gradave, dhe në versionin e dytë dhe të tretë, analizohen shembuj të punës me shprehje radikale.

Analiza e opsioneve tipike për detyrën nr. 4 OGE në matematikë

Versioni i parë i detyrës

Cila nga shprehjet e mëposhtme për çdo vlerë të n është e barabartë me prodhimin 121 11 n?

1. 121n
2. 11n+2
3. 11 2n
4. 11n+3

Zgjidhja:

Për të zgjidhur këtë problem, duhet të mbani mend sa vijon rregullat për trajtimin e gradave :

• Kur shumëzohen, fuqitë mblidhen
• kur mblidhen shkallët zbriten
• Kur ngrihet një fuqi në një fuqi, fuqitë shumëfishohen
• gjatë nxjerrjes së rrënjës ndahen shkallët

Përveç kësaj, për ta zgjidhur atë është e nevojshme të përfaqësohet 121 si një fuqi prej 11, që është saktësisht 11 2.

121 11 n = 11 2 11 n

Duke marrë parasysh rregullin e shumëzimit, ne shtojmë shkallët:

11 2 11 n = 11 n+2

Prandaj, përgjigja e dytë na përshtatet.

Versioni i dytë i detyrës

Cila nga shprehjet e mëposhtme ka vlerën më të madhe?

1. 2√11
2. 2√10

Zgjidhja:

Për të zgjidhur këtë detyrë, duhet t'i sillni të gjitha shprehjet në një formë të përgjithshme - paraqisni shprehjet në formën e shprehjeve radikale:

Zhvendosni 3 në rrënjë:

3√5 = √(3² 5) = √(9 5) = √45

Zhvendosni 2 në rrënjë:

2√11 = √(2² 11) = √(4 11) =√44

Zhvendosni 2 në rrënjë:

2√10 = √(2² 10) = √(4 10) =√40

Ne katror 6.5:

6,5 = √(6,5²) = √42,25

Le të shohim të gjitha opsionet që rezultojnë:

1. 3√5 = √45
2. 2√11 = √44
3. 2√10 = √40
4. 6,5 = √42,25

Prandaj, përgjigjja e saktë është e para

Versioni i tretë i detyrës

Cili nga këta numra është racional?

1. √810
2. √8,1
3. √0,81
4. të gjithë këta numra janë irracionalë

Zgjidhja:

Për të zgjidhur këtë problem, duhet të veproni si më poshtë:

Së pari, le të kuptojmë fuqinë e cilit numër konsiderohet në këtë shembull - ky është numri 9, pasi katrori i tij është 81, dhe kjo tashmë është disi e ngjashme me shprehjet në përgjigje. Tjetra, le të shohim format e numrit 9 - këto mund të jenë:

Konsideroni secilën prej tyre:

0,9 = √(0,9)² = √0,81

90 = √(90²) = √8100

Prandaj, numri √0.81 është racional, ndërsa numrat e mbetur

edhe pse të ngjashme me formën 9 në katror, ​​ato nuk janë racionale.

Kështu, përgjigjja e saktë është e treta.

Versioni i katërt i detyrës

Me kërkesën e një pajtimtari të komunitetit tim Ka zbritur Diana, këtu është një analizë e detyrës së mëposhtme nr. 4:

Cili nga numrat e mëposhtëm është vlera e shprehjes?

Zgjidhja:

Vini re se emëruesi përmban një ndryshim (4 - √14), të cilin duhet ta heqim qafe. Si ta bëni këtë?

Për ta bërë këtë, mbani mend formulën për shumëzimin e shkurtuar, përkatësisht ndryshimin e katrorëve! Për ta zbatuar atë saktë në këtë detyrë, duhet të mbani mend rregullat për trajtimin e fraksioneve. Në këtë rast, mbani mend se thyesa nuk ndryshon nëse numëruesi dhe emëruesi shumëzohen me të njëjtin numër ose shprehje. Për diferencën e katrorëve na mungon shprehja (4 + √14), që do të thotë se me të shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin.

Pas kësaj, marrim 4 + √14 në numërues, dhe ndryshimin e katrorëve në emërues: 4² - (√14)². Pas kësaj, emëruesi llogaritet lehtësisht:

Në total, veprimet tona duken kështu:

Versioni i pestë i detyrës (versioni demo i OGE 2017)

Cila shprehje është numër racional?

1. √6-3
2. √3 √5
3. (√5)²
4. (√6-3)²

Zgjidhja:

Në këtë detyrë testohen aftësitë tona në veprimet me numra irracionalë.

Le të shohim çdo opsion përgjigjeje në zgjidhje:

√6 në vetvete është një numër irracional për të zgjidhur probleme të tilla, mjafton të mbani mend se rrënjën mund ta nxirrni në mënyrë racionale nga katrorët numrat natyrorë, për shembull, 4, 9, 16, 25...

Kur zbritet nga një numër irracional ndonjë numër tjetër përveç tij, ai përsëri do të çojë në një numër irracional, kështu që në këtë version fitohet një numër irracional.

Kur shumëzojmë rrënjët, mund ta nxjerrim rrënjën nga produkti i shprehjeve radikale, domethënë:

√3 √5 = √(3 5) = √15

Por √15 është irracionale, kështu që kjo përgjigje nuk është e përshtatshme.

Gjatë ndërtimit rrenja katrore në katror, ​​ne thjesht marrim një shprehje radikale (për të qenë më të saktë, një shprehje radikale modulore, por në rastin e një numri, si në këtë version, kjo nuk ka rëndësi), prandaj:

Ky opsion përgjigjeje na përshtatet.

Kjo shprehje paraqet vazhdimin e pikës 1, por nëse √6-3 është një numër irracional, atëherë ai nuk mund të shndërrohet në numër racional nga asnjë veprim i njohur për ne.

Toylonov Argymai dhe Toylonov Erkei

Arsimi matematikor i marrë në një shkollë gjithëpërfshirëse është një komponent thelbësor arsimi i përgjithshëm dhe kulturës së përgjithshme njeriu modern. Pothuajse gjithçka që rrethon njeriun modern është e gjitha e lidhur disi me matematikën. A arritjet e fundit në fizikë, teknologji dhe teknologjia e informacionit mos lini asnjë dyshim se në të ardhmen gjendja e punëve do të mbetet e njëjtë. Prandaj, zgjidhja e shumë problemeve praktike zbret në zgjidhje lloje të ndryshme ekuacionet që duhet të mësoni t'i zgjidhni.

Dhe që nga viti 2013, certifikimi në matematikë në përfundim të shkollës fillore është kryer në formën e OGE. Ashtu si Provimi i Unifikuar i Shtetit, Provimi i Unifikuar i Shtetit është krijuar për të kryer certifikimin jo vetëm në algjebër, por edhe në të gjithë kursin e matematikës të shkollës bazë.

Pjesa më e madhe e detyrave, në një mënyrë apo tjetër, zbret në hartimin e ekuacioneve dhe zgjidhjeve të tyre. Për të kaluar në studimin e kësaj teme, na duhej t'i përgjigjeshim pyetjeve: “Çfarë lloje ekuacionesh gjenden në detyrat e OGE? " dhe "Çfarë mënyrash ka për të zgjidhur këto ekuacione?"

Kështu, ekziston nevoja për të studiuar të gjitha llojet e ekuacioneve që gjenden në detyrat e OGE. Të gjitha sa më sipër përcakton

Qëllimi Puna është të plotësohen të gjitha llojet e ekuacioneve që gjenden në detyrat e OGE sipas llojit dhe të analizohen metodat kryesore të zgjidhjes së këtyre ekuacioneve.

Për të arritur këtë qëllim, ne kemi vendosur si më poshtë detyrat:

1) Eksploroni burimet kryesore për përgatitjen për provimet kryesore të shtetit.

2) Plotësoni të gjitha ekuacionet sipas llojit.

3) Analizoni metodat për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve.

4) Hartoni një koleksion me të gjitha llojet e ekuacioneve dhe metodat për zgjidhjen e tyre.

Objekti i studimit: ekuacionet

Lënda e studimit: ekuacionet në detyrat OGE.

Shkarko:

Pamja paraprake:

Institucion arsimor buxhetor komunal

"Shkolla e mesme Chibitskaya"

PROJEKT TRAJNIMOR:

"EKUACIONET NË DETYRAT OGE"

Toylonov Erkei

nxënësit e klasës së 8-të

drejtuese: Nadezhda Vladimirovna Toilonova, mësuese matematike.

Afati kohor i zbatimit të projektit:

nga 13.12.2017 deri më 13.02. 2018

Prezantimi…………………………………………………………………………………..
Referenca historike ……………………………………………………
Kapitulli 1 Zgjidhja e ekuacioneve ……………………………………………
1.1 Zgjidhja e ekuacioneve lineare………………………………………
1.2 Ekuacionet kuadratike………………………………………………
1.2.1 Ekuacionet kuadratike jo të plota……………………………………	9-11
1.2.2 Ekuacionet e plota kuadratike………………………………………	11-14
1.2.3 Metoda të veçanta për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike…………….	14-15
1.3 Ekuacionet racionale…………………………………….	15-17
Kapitulli 2 Ekuacionet komplekse………………………………………….	18-24
Përfundime …………………………………………………………………
Lista e referencave …………………………………………………………
Shtojca 1 “Ekuacionet lineare” ………………………………….	26-27
Shtojca 2 “Ekuacionet kuadratike jo të plota” ……………………	28-30
Shtojca 3 “Ekuacionet e plota kuadratike” ………………………	31-33
Shtojca 4 “Ekuacionet racionale” …………………………….	34-35
Shtojca 5 “Ekuacionet komplekse” …………………………………..	36-40

PREZANTIMI

Edukimi matematikor i marrë në një shkollë gjithëpërfshirëse është një komponent thelbësor i arsimit të përgjithshëm dhe kulturës së përgjithshme të njeriut modern. Pothuajse gjithçka që rrethon njeriun modern është e gjitha e lidhur disi me matematikën. Dhe përparimet e fundit në fizikë, inxhinieri dhe teknologjinë e informacionit nuk lënë asnjë dyshim se në të ardhmen gjendja e punëve do të mbetet e njëjtë. Prandaj, zgjidhja e shumë problemeve praktike zbret në zgjidhjen e llojeve të ndryshme të ekuacioneve që duhet të mësoni se si t'i zgjidhni.

Dhe që nga viti 2013, certifikimi në matematikë në përfundim të shkollës fillore është kryer në formën e OGE. Ashtu si Provimi i Unifikuar i Shtetit, Provimi i Unifikuar i Shtetit është krijuar për të kryer certifikimin jo vetëm në algjebër, por edhe në të gjithë kursin e matematikës të shkollës bazë.

Pjesa më e madhe e detyrave, në një mënyrë apo tjetër, zbret në hartimin e ekuacioneve dhe zgjidhjeve të tyre. Për të kaluar në studimin e kësaj teme, na duhej t'i përgjigjeshim pyetjeve: “Çfarë lloje ekuacionesh gjenden në detyrat e OGE? " dhe "Çfarë mënyrash ka për të zgjidhur këto ekuacione?"

Kështu, ekziston nevoja për të studiuar të gjitha llojet e ekuacioneve që gjenden në detyrat e OGE. Të gjitha sa më sipër përcaktonrëndësia e problemit të punës së kryer.

Qëllimi Puna është të plotësohen të gjitha llojet e ekuacioneve që gjenden në detyrat e OGE sipas llojit dhe të analizohen metodat kryesore të zgjidhjes së këtyre ekuacioneve.

Për të arritur këtë qëllim, ne kemi vendosur si më poshtë detyrat:

1) Eksploroni burimet kryesore për përgatitjen për provimet kryesore të shtetit.

2) Plotësoni të gjitha ekuacionet sipas llojit.

3) Analizoni metodat për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve.

4) Hartoni një koleksion me të gjitha llojet e ekuacioneve dhe metodat për zgjidhjen e tyre.

Objekti i studimit: ekuacionet

Lënda e studimit:ekuacionet në detyrat OGE.

Plani i punës së projektit:

1. Formulimi i temës së projektit.
2. Përzgjedhja e materialit nga burimet zyrtare për një temë të caktuar.
3. Përpunimi dhe sistematizimi i informacionit.
4. Zbatimi i projektit.
5. Dizajni i projektit.
6. Mbrojtja e projektit.

Problem : thelloni kuptimin tuaj të ekuacioneve. Tregoni metodat kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve të paraqitura në detyrat e OGE në pjesën e parë dhe të dytë.

Kjo punë është një përpjekje për të përgjithësuar dhe sistemuar materialin e studiuar dhe për të mësuar të reja. Projekti përfshin: ekuacione lineare me kalimin e termave nga një pjesë e ekuacionit në tjetrin dhe duke përdorur vetitë e ekuacioneve, si dhe problemet e zgjidhura nga ekuacioni, të gjitha llojet e ekuacioneve kuadratike dhe metodat për zgjidhjen e ekuacioneve racionale.

Matematika... zbulon rendin, simetrinë dhe sigurinë,

dhe këto janë llojet më të rëndësishme të bukurisë.

Aristoteli.

Referencë historike

Në ato kohë të largëta, kur të urtët filluan të mendonin për barazitë që përmbanin sasi të panjohura, ndoshta nuk kishte monedha apo portofol. Por kishte grumbuj, si dhe tenxhere dhe shporta, të cilat ishin perfekte për rolin e ruajtjes që mund të mbanin një numër të panjohur artikujsh. “Kërkojmë një grumbull që së bashku me dy të tretat, gjysmën dhe një të shtatën e tij bëjnë 37...”, mësohet në mijëvjeçarin II para Krishtit. erë e re Shkrimtari egjiptian Ahmes. Në problemet e lashta matematikore të Mesopotamisë, Indisë, Kinës, Greqisë, sasi të panjohura shprehnin numrin e pallonjve në kopsht, numrin e demave në tufë dhe tërësinë e gjërave që merreshin parasysh gjatë ndarjes së pasurisë. Shkrimtarët, zyrtarët dhe priftërinjtë e iniciuar në njohuritë e fshehta, të trajnuar mirë në shkencën e llogarive, i përballuan me mjaft sukses detyra të tilla.

Burimet që kanë arritur tek ne tregojnë se shkencëtarët e lashtë zotëronin disa teknikat e përgjithshme zgjidhjen e problemeve me sasi të panjohura. Megjithatë, asnjë papirus ose tabletë balte nuk përmban një përshkrim të këtyre teknikave. Autorët vetëm herë pas here i kanë dhënë llogaritjet e tyre numerike me komente të dobëta si: "Shiko!", "Bëje këtë!", "E gjete të duhurin". Në këtë kuptim, përjashtim është "Aritmetika" e matematikanit grek Diophantus të Aleksandrisë (shekulli III) - një koleksion problemesh për kompozimin e ekuacioneve me një paraqitje sistematike të zgjidhjeve të tyre.

Sidoqoftë, doracaku i parë për zgjidhjen e problemeve që u bë i njohur gjerësisht ishte vepra e shkencëtarit të Bagdadit të shekullit të 9-të. Muhamed bin Musa el-Kuarizmi. Fjala "al-xhabr" nga emri arab i këtij traktati - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Libri i restaurimit dhe kundërshtimit") - me kalimin e kohës u shndërrua në fjalën e njohur "algjebër", dhe al- Vetë puna e Kuarizmit shërbeu si pikënisje në zhvillimin e shkencës së zgjidhjes së ekuacioneve.

Pra, cili është ekuacioni?

Ekziston një ekuacion i të drejtave, një ekuacion i kohës (përkthimi i kohës së vërtetë diellore në mesatare koha diellore, pranuar në bujtinë dhe në shkencë; astr.), etj.

Në matematikë është një barazi matematikore që përmban një ose më shumë sasi të panjohura dhe që ruan vlefshmërinë e saj vetëm për vlera të caktuara të këtyre sasive të panjohura.

Në ekuacionet me një ndryshore, e panjohura zakonisht shënohet me shkronjën " X". Vlera e "x" ", duke plotësuar këto kushte, quhet rrënja e ekuacionit.

Ka ekuacione të ndryshme specie:

sëpatë + b = 0. - Ekuacioni linear.
sëpatë 2 + bx + c = 0. - Ekuacioni kuadratik.
sëpatë 4 + bx 2 + c = 0. - Ekuacioni bikuadratik.

– Ekuacioni racional.

– Ekuacioni irracional.
Ka të tillamënyra për të zgjidhur ekuacionet Si: algjebrike, aritmetike dhe gjeometrike. Le të shqyrtojmë metodën algjebrike.

Zgjidhe ekuacionin- kjo është për të gjetur vlera të tilla të X që, kur zëvendësohen në shprehjen origjinale, do të na japin barazinë e saktë ose do të provojnë se nuk ka zgjidhje. Zgjidhja e ekuacioneve, edhe pse e vështirë, është emocionuese. Në fund të fundit, është vërtet befasuese kur një rrjedhë e tërë numrash varet nga një numër i panjohur.

Në ekuacionet për të gjetur të panjohurën, duhet të transformoni dhe thjeshtoni shprehjen origjinale. Dhe kështu që kur ndryshoni pamjen thelbi i shprehjes nuk ndryshoi. Shndërrime të tilla quhen identike ose ekuivalente.

Kapitulli 1 Zgjidhja e ekuacioneve

1.1 Zgjidhja e ekuacioneve lineare.

Tani do të shikojmë zgjidhjet e ekuacioneve lineare. Kujtojmë se një ekuacion i formësquhet ekuacion linear ose ekuacion i shkallës së parë pasi me ndryshoren " X » grada e lartë është në shkallën e parë.

Zgjidhja e ekuacionit linear është shumë e thjeshtë:

Shembulli 1: Zgjidheni ekuacionin 3 x +3=5 x

Një ekuacion linear zgjidhet duke transferuar terma që përmbajnë të panjohura në anën e majtë të shenjës së barabartë, koeficientë të lirë në anën e djathtë të shenjës së barabartë:

3 x – 5 x = – 3

2 x=-3

x =1,5

Quhet vlera e ndryshores që e kthen ekuacionin në barazi të vërtetë rrënja e ekuacionit.

Pas kontrollit marrim:

Pra, 1.5 është rrënja e ekuacionit.

Përgjigje: 1.5.

Zgjidhja e ekuacioneve me metodën e transferimit të termave nga një pjesë e ekuacionit në tjetrin, në të cilën shenja e termave ndryshon në të kundërtën dhe përdoret Vetitë ekuacionet - të dyja anët e një ekuacioni mund të shumëzohen (pjestohen) me të njëjtin numër ose shprehje jozero, mund të merren parasysh kur zgjidhen ekuacionet e mëposhtme.

Shembulli 2. Zgjidh ekuacionet:

a) 6 x +1=− 4 x ; b) 8+7 x =9 x +4; c) 4(x −8)=− 5.

Zgjidhje.

a) Duke përdorur metodën e transferimit që zgjidhim

6 x + 4 x = ─1;

10 x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0.1.

Ekzaminimi:

Përgjigje: –0.1

b) Ngjashëm me shembullin e mëparshëm, ne zgjidhim duke përdorur metodën e transferimit:

Përgjigje: 2.

c) Në këtë ekuacion, është e nevojshme të hapen kllapat, duke zbatuar vetinë shpërndarëse të shumëzimit në lidhje me veprimin e mbledhjes.

Përgjigje: 6.75.

1.2 Ekuacionet kuadratike

Ekuacioni i formës quhet ekuacion kuadratik, ku a – koeficienti i lartë, b – koeficienti mesatar, с – term i lirë.

Në varësi të gjasave a, b dhe c – ekuacioni mund të jetë i plotë ose jo i plotë, i dhënë ose jo i dhënë.

1.2.1 Ekuacionet kuadratike jo të plota

Le të shqyrtojmë mënyrat për të zgjidhur ekuacionet jo të plota kuadratike:

1) Le të fillojmë të kuptojmë zgjidhjen e llojit të parë të ekuacioneve kuadratike jo të plota për c=0 . Ekuacionet kuadratike jo të plota të formës a x 2 +b x=0 ju lejon të vendosnimetoda e faktorizimit. Në veçanti, metoda e kllapave.

Natyrisht, ne mundemi, të vendosur në anën e majtë të ekuacionit, për të cilin mjafton të nxjerrim faktorin e përbashkët nga kllapat x . Kjo na lejon të kalojmë nga ekuacioni origjinal jo i plotë kuadratik në një ekuacion ekuivalent të formës: x·(a·x+b)=0 .

Dhe ky ekuacion është i barabartë me kombinimin e dy ekuacioneve x=0 ose a·x+b=0 , e fundit prej të cilave është lineare dhe ka një rrënjë x=− .

a x 2 +b x=0 ka dy rrënjë

x=0 dhe x=− .

2) Tani le të shohim se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota, në të cilat koeficienti b është zero dhe c≠0 , pra ekuacionet e formës a x 2 +c=0 . Ne e dimë se lëvizja e një termi nga njëra anë e ekuacionit në tjetrën me shenjën e kundërt, si dhe pjesëtimi i të dy anëve të ekuacionit me një numër jozero, jep një ekuacion të barabartë. Prandaj, ne mund të kryejmë transformimet ekuivalente të mëposhtme të ekuacionit kuadratik jo të plotë a x 2 +c=0:

• transferimi nga në anën e djathtë, e cila jep ekuacionin a x 2 =−c,
• dhe ndajini të dyja pjesët me a , marrim.

Ekuacioni që rezulton na lejon të nxjerrim përfundime rreth rrënjëve të tij.

Nëse numri – është negativ, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë. Ky pohim rrjedh nga fakti se katrori i çdo numri është një numër jo negativ.

Nëse është një numër pozitiv, atëherë situata me rrënjët e ekuacionit është e ndryshme. Në këtë rast, duhet të mbani mend se ekziston një rrënjë e ekuacionit, është një numër. Rrënja e ekuacionit llogaritet sipas skemës së mëposhtme:

Dihet se zëvendësimi në ekuacion në vend të x rrënjët e tij e kthejnë ekuacionin në një barazi të vërtetë.

Le të përmbledhim informacionin në këtë paragraf. Ekuacioni kuadratik jo i plotë a x 2 +c=0 është ekuivalente me ekuacionin, e cila

3) Zgjidhjet e ekuacioneve kuadratike jo të plota në të cilat koeficientët b dhe c janë të barabarta me zero, pra me ekuacionet e formës a x 2 =0. Ekuacioni a x 2 =0 pason x 2 =0 , e cila përftohet nga origjinali duke pjesëtuar të dyja pjesët me një numër jo zero a . Natyrisht, rrënja e ekuacionit x 2 =0 është zero, pasi 0 2 =0 . Ky ekuacion nuk ka rrënjë të tjera.

Pra, ekuacioni kuadratik jo i plotë a x 2 =0 ka një rrënjë të vetme x=0.

Shembulli 3. Zgjidh ekuacionet: a) x 2 = 5x, nëse ekuacioni ka disa rrënjë, atëherë tregoni më të voglin prej tyre në përgjigjen tuaj;

b) , nëse ekuacioni ka disa rrënjë, atëherë tregoni më të madhin prej tyre në përgjigjen tuaj;

c) x 2 −9=0, nëse ekuacioni ka disa rrënjë, atëherë tregoni më të voglin prej tyre në përgjigjen tuaj.

Zgjidhje.

Ne kemi marrë një ekuacion kuadratik jo të plotë për të cilin nuk ka term të lirë. Ne zgjidhim duke përdorur metodën e kllapave.

U Ekuacioni mund të bëhet me dy rrënjë, më e vogla prej të cilave është 0.

Përgjigje: 0.

b) . Ngjashëm me shembullin e mëparshëm, ne përdorim metodën e kllapave

Përgjigja duhet të tregojë rrënjët më të mëdha. Ky është numri 2.

Përgjigje: 2.

V) . Ky ekuacion është një ekuacion kuadratik jo i plotë që nuk ka një koeficient mesatar.

Më e vogla nga këto rrënjë është numri - 3.

Përgjigje: -3.

1.2.2 Ekuacionet e plota kuadratike.

1. Diskriminuese, formula bazë për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Ekziston një formulë rrënjësore.

Le ta shkruajmë formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik hap pas hapi:

1) D=b 2 −4 a c - të ashtuquajturat.

a) nëse D

b) nëse D>0, atëherë ekuacioninuk ka një rrënjë:

c) nëse D nuk ka dy rrënjë:

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike duke përdorur formulat rrënjë

Në praktikë, kur zgjidhni ekuacionet kuadratike, mund të përdorni menjëherë formulën rrënjësore për të llogaritur vlerat e tyre. Por kjo lidhet më shumë me gjetjen e rrënjëve komplekse.

Sidoqoftë, në një kurs shkollor algjebër zakonisht nuk flasim për komplekse, por për rrënjët reale të një ekuacioni kuadratik. Në këtë rast, këshillohet që përpara se të përdorni formulat për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, fillimisht të gjeni diskriminuesin, të siguroheni që ai të jetë jo negativ (përndryshe, mund të konkludojmë se ekuacioni nuk ka rrënjë reale). dhe vetëm atëherë llogaritni vlerat e rrënjëve.

Arsyetimi i mësipërm na lejon të shkruajmëalgoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik. Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik a x 2 +b x+c=0, ju duhet:

• sipas formulës diskriminuese D=b 2 −4 a c llogarit vlerën e tij;
• konkludojmë se një ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë reale nëse diskriminuesi është negativ;
• llogaritni rrënjën e vetme të ekuacionit duke përdorur formulën nëse D=0 ;
• gjeni dy rrënjë reale të një ekuacioni kuadratik duke përdorur formulën e rrënjës nëse diskriminuesi është pozitiv.

2. Diskriminues, formula e dytë për rrënjët e një ekuacioni kuadratik (me koeficient të dytë çift).

Për të zgjidhur ekuacionet kuadratike të formës, me një koeficient çift b=2k ka një formulë tjetër.

Le të regjistrojmë një të re formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik në:

1) D’=k 2 −a c - të ashtuquajturatdiskriminues i një ekuacioni kuadratik.

a) nëse D' nuk ka rrënjë të vërteta;

b) nëse D’>0, atëherë ekuacioninuk ka një rrënjë:

c) nëse D' nuk ka dy rrënjë:

Shembulli 4. Zgjidhja e ekuacionit 2x 2 −3x+1=0.. Nëse ekuacioni ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

Zgjidhje. Në rastin e parë, kemi koeficientët e mëposhtëm të ekuacionit kuadratik: a=2 , b=-3 dhe c=1 D=b 2 −4·a·c=(-3) 2 −4·2·1=9-8=1 . Që nga 1>0

Ne kemi Ne morëm dy rrënjë, më e madhja prej të cilave është numri 1.

Përgjigje: 1.

Shembulli 5. Zgjidheni ekuacionin x 2 −21=4x.

Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

Zgjidhje. Për analogji me shembullin e mëparshëm, ne lëvizim 4h në anën e majtë të shenjës së barabartë dhe marrim:

Në këtë rast kemi koeficientët e mëposhtëm të ekuacionit kuadratik: a=1, k=-2 dhe c=−21 . Sipas algoritmit, së pari duhet të llogaritni diskriminuesin D’=k 2 −a·c=(-2) 2 −1·(−21)=4+21=25 . Numri 25>0 , pra, diskriminuesi është më i madh se zero, atëherë ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë reale. Le t'i gjejmë ato duke përdorur formulën rrënjë

Përgjigje: 7.

1.2.3 Metoda të veçanta për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

1) Marrëdhënia midis rrënjëve dhe koeficientëve të një ekuacioni kuadratik. Teorema e Vietës.

Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik shpreh rrënjët e ekuacionit përmes koeficientëve të tij. Bazuar në formulën e rrënjës, mund të merrni marrëdhënie të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve.

Formula më e famshme dhe më e zbatueshme quhet Teorema e Vietës.

Teorema: Le - rrënjët e ekuacionit kuadratik të dhënë. Atëherë produkti i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë, dhe shuma e rrënjëve është e barabartë me vlerën e kundërt të koeficientit të dytë:

Duke përdorur formulat e shkruara tashmë, mund të merrni një sërë lidhjesh të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacionit kuadratik. Për shembull, ju mund të shprehni shumën e katrorëve të rrënjëve të një ekuacioni kuadratik në terma të koeficientëve të tij.

Shembulli 6. a) Zgjidhe ekuacionin x 2

b) Zgjidhe ekuacionin x 2

c) Zgjidheni ekuacionin x 2

Zgjidhje.

a) Zgjidhe ekuacionin x 2 −6x+5=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

Zgjedhja e rrënjëve më të vogla

Përgjigje: 1

b) Zgjidhe ekuacionin x 2 +7x+10=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

Duke zbatuar teoremën e Vietës, ne shkruajmë formula për rrënjët

Duke arsyetuar logjikisht, arrijmë në përfundimin se. Zgjedhja e rrënjëve më të mëdha

Përgjigje: ─2.

c) Zgjidheni ekuacionin x 2 ─5x─14=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

Duke zbatuar teoremën e Vietës, ne shkruajmë formula për rrënjët

Duke arsyetuar logjikisht, arrijmë në përfundimin se. Zgjedhja e rrënjëve më të vogla

Përgjigje: ─2.

1.3 Ekuacionet racionale

Nëse ju jepet një ekuacion me thyesa të formësme një ndryshore në numërues ose emërues, atëherë një shprehje e tillë quhet ekuacion racional. Një ekuacion racional është çdo ekuacion që përfshin të paktën një shprehje racionale. Ekuacionet racionale zgjidhen në të njëjtën mënyrë si çdo ekuacion: të njëjtat veprime kryhen në të dy anët e ekuacionit derisa ndryshorja të izolohet në njërën anë të ekuacionit. Megjithatë, ekzistojnë 2 metoda për zgjidhjen e ekuacioneve racionale.

1) Shumëzimi i kryqëzuar.Nëse është e nevojshme, rishkruani ekuacionin që ju është dhënë në mënyrë që të ketë një thyesë (një shprehje racionale) në secilën anë; vetëm atëherë mund të përdorni metodën e shumëzimit të kryqëzuar.

Shumëzoni numëruesin e thyesës së majtë me emëruesin e së djathtës. Përsëriteni këtë me numëruesin e thyesës së djathtë dhe emëruesin e së majtës.

• Shumëzimi kryq kryq bazohet në parimet bazë algjebrike. Në shprehjet racionale dhe thyesat e tjera, mund të shpëtoni nga numëruesi duke shumëzuar numëruesit dhe emëruesit e dy thyesave në përputhje me rrethanat.
• Barazoni shprehjet që rezultojnë dhe thjeshtojini ato.
• Zgjidheni ekuacionin që rezulton, domethënë gjeni "x". Nëse "x" është në të dy anët e ekuacionit, izolojeni atë në njërën anë të ekuacionit.

2) Më së paku emërues i përbashkët(NOZ) përdoret për të thjeshtuar këtë ekuacion.Kjo metodë përdoret kur nuk mund të shkruani një ekuacion të dhënë me një shprehje racionale në secilën anë të ekuacionit (dhe përdorni metodën e kryqëzuar të shumëzimit). Kjo metodë përdoret kur ju jepet një ekuacion racional me 3 ose më shumë thyesa (në rastin e dy thyesave, është më mirë të përdorni shumëzim të kryqëzuar).

• Gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët të thyesave (ose shumëfishin më të vogël të përbashkët).NOZ është numri më i vogël, e cila pjesëtohet në mënyrë të barabartë me çdo emërues.
• Shumëzoni si numëruesin ashtu edhe emëruesin e secilës thyesë me një numër të barabartë me rezultatin e pjesëtimit të NOC me emëruesin përkatës të secilës thyesë.
• Gjeni x. Tani që i keni reduktuar thyesat në një emërues të përbashkët, mund të hiqni qafe emëruesin. Për ta bërë këtë, shumëzojeni secilën anë të ekuacionit me emëruesin e përbashkët. Pastaj zgjidhni ekuacionin që rezulton, domethënë gjeni "x". Për ta bërë këtë, izoloni variablin në njërën anë të ekuacionit.

Shembulli 7. Zgjidh ekuacionet: a); b) c) .

Zgjidhje.

A) . Ne përdorim metodën e shumëzimit kryq.

Hapim kllapat dhe paraqesim terma të ngjashëm.

mori një ekuacion linear me një të panjohur

Përgjigje: ─10.

b) , ngjashëm me shembullin e mëparshëm, ne aplikojmë metodën e shumëzimit të kryqëzuar.

Përgjigje: ─1.9.

V) , ne përdorim metodën e emëruesit më të vogël të përbashkët (LCD).

Në këtë shembull, emëruesi i përbashkët do të ishte 12.

Përgjigje: 5.

Kapitulli 2 Ekuacionet komplekse

Ekuacionet që i përkasin kategorisë së ekuacioneve komplekse mund të kombinojnë metoda dhe teknika të ndryshme zgjidhjeje. Por, në një mënyrë apo tjetër, të gjitha ekuacionet me metodën e arsyetimit logjik dhe veprimeve ekuivalente çojnë në ekuacione që janë studiuar më parë.

Shembulli 7. Zgjidheni ekuacionin ( x +3) 2 =(x +8) 2 .

Zgjidhje. Duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit, do të hapim kllapat:

Ne i transferojmë të gjitha termat përtej shenjës së barabartë dhe sjellim të ngjashme,

Përgjigje: 5.5.

Shembulli 8. Zgjidh ekuacionet: a)(− 5 x +3)(− x +6)=0, b) (x +2)(− x +6)=0.

Zgjidhje.

a)(− 5 x +3)(− x +6)=0; Le të hapim kllapat dhe të paraqesim terma të ngjashëm

kemi marrë një ekuacion të plotë kuadratik, të cilin do ta zgjidhim nëpërmjet formulës së parë diskriminuese

ekuacioni ka dy rrënjë

Përgjigje: 0.6 dhe 6.

b) (x +2)(− x +6)=0, për këtë ekuacion do të bëjmë arsyetim logjik (produkti është i barabartë me zero kur njëri prej faktorëve është i barabartë me zero). Do të thotë

Përgjigje: ─2 dhe 6.

Shembulli 9. Zgjidh ekuacionet:, b) .

Zgjidhje. Le të gjejmë emëruesin më të ulët të përbashkët

Le të shkruajmë në rend zbritës të shkallëve të ndryshores

; mori një ekuacion të plotë kuadratik me një koeficient të dytë çift

Ekuacioni ka dy rrënjë reale

Përgjigje:.

b) . Arsyetimi është i ngjashëm me a). Gjetja e një NPD

Hapim kllapat dhe paraqesim terma të ngjashëm

të zgjidhë ekuacionin e plotë kuadratik me formulën e përgjithshme

Përgjigje:.

Shembulli 10. Zgjidh ekuacionet:

Zgjidhje.

A) , Vërejmë se në anën e majtë shprehja brenda kllapave paraqet formulën e shumëzimit të shkurtuar, më saktë katrorin e shumës së dy shprehjeve. Le ta transformojmë atë

; zhvendosni termat e këtij ekuacioni në njërën anë

le ta vendosim jashtë kllapave

Produkti është zero kur një nga faktorët është zero. Do të thotë,

Përgjigje: ─2, ─1 dhe 1.

b) Ne arsyetojmë në të njëjtën mënyrë si për shembull a)

, nga teorema e Vietës

Përgjigje:

Shembulli 11. Zgjidh ekuacionet a)

Zgjidhje.

A) ; [në anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit mund të përdorni metodën e nxjerrjes së kllapave, dhe në anën e majtë do të nxjerrim, dhe në anën e djathtë vendosim numrin 16.]

[le të lëvizim gjithçka në njërën anë dhe të zbatojmë edhe një herë metodën e kllapave. Ne do të nxjerrim faktorin e përbashkët]

[produkti është zero kur një nga faktorët është zero.]

Përgjigje:

b) . [Ky ekuacion është i ngjashëm me ekuacionin a). Prandaj, në këtë rast, ne aplikojmë metodën e grupimit]

Përgjigje:

Shembulli 12. Zgjidhe ekuacionin=0.

Zgjidhje.

0 [ekuacioni bikuadratik. Zgjidhet me ndryshim të metodës së ndryshores].

0; [Duke zbatuar teoremën e Vietës marrim rrënjët]

. [kthehu te variablat e mëparshëm]

Përgjigje:

Shembulli 13. Zgjidhe ekuacionin

Zgjidhje. [ekuacioni biquadratik, ne heqim qafe fuqitë çift duke përdorur shenjat e modulit.]

[Ne morëm dy ekuacione kuadratike, të cilat i zgjidhim duke përdorur formulën bazë për rrënjët e një ekuacioni kuadratik]

asnjë ekuacion i rrënjëve reale nuk ka dy rrënjë

Përgjigje:

Shembulli 14. Zgjidhe ekuacionin

Zgjidhje.

ODZ:

[transferoni të gjithë termat e ekuacionit në anën e majtë dhe sillni terma të ngjashëm]

[Ne morëm ekuacionin kuadratik të reduktuar, i cili zgjidhet lehtësisht duke përdorur teoremën e Vieta]

Numri – 1 nuk e plotëson ODZ-në e ekuacionit të dhënë, kështu që nuk mund të jetë rrënja e këtij ekuacioni. Kjo do të thotë se vetëm numri 7 është rrënja.

Përgjigje: 7.

Shembulli 15. Zgjidhe ekuacionin

Zgjidhje.

Shuma e katrorëve të dy shprehjeve mund të jetë e barabartë me zero vetëm nëse shprehjet janë të barabarta me zero në të njëjtën kohë. Domethënë

[Ne zgjidhim secilin ekuacion veç e veç]

Nga teorema e Vietës

Koincidenca e rrënjëve e barabartë me –5 do të jetë rrënja e ekuacionit.

Përgjigje: - 5.

PËRFUNDIM

Duke përmbledhur rezultatet e punës së bërë, mund të konkludojmë: ekuacionet luajnë një rol të madh në zhvillimin e matematikës. Ne sistematizuam njohuritë e marra dhe përmbledhëm materialin e trajtuar. Kjo njohuri mund të na përgatisë për provimet e ardhshme.

Puna jonë bën të mundur që t'i hedhim një vështrim tjetër detyrave që na shtron matematika.

• në fund të projektit, ne sistemuam dhe përgjithësuam metodat e studiuara më parë për zgjidhjen e ekuacioneve;
• u njoh me mënyrat e reja të zgjidhjes së ekuacioneve dhe vetitë e ekuacioneve;

• Ne shikuam të gjitha llojet e ekuacioneve që janë në detyrat e OGE si në pjesën e parë ashtu edhe në pjesën e dytë.
• Ne krijuam një koleksion metodologjik "Ekuacionet në detyrat e OGE".

Ne besojmë se qëllimi i vendosur për ne është të marrim parasysh të gjitha llojet e ekuacioneve në detyrat e kryesore provimin e shtetit në matematikë kemi arritur.

Lista e literaturës së përdorur:

1. B.V. Gnedenko “Matematika në bota moderne" Moska "Iluminizmi" 1980

2. Po.I. Perelman "Algjebër argëtuese". Moska "Shkenca" 1978

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

Shtojca 1

Ekuacionet lineare

1. Gjeni rrënjën e ekuacionit

2. Gjeni rrënjën e ekuacionit

3. Gjeni rrënjën e ekuacionit

Shtojca 2

Ekuacionet kuadratike jo të plota

1. Zgjidheni ekuacionin x 2 = 5x. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

2. Zgjidhe ekuacionin 2x 2 = 8x. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

3. Zgjidhe ekuacionin 3x 2 = 9x. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

4. Zgjidhe ekuacionin 4x 2 = 20x. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

5. Zgjidhe ekuacionin 5x 2 = 35x. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

6. Zgjidheni ekuacionin 6x 2 = 36x. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

7. Zgjidh ekuacionin 7x 2 = 42x. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

8. Zgjidhe ekuacionin 8x 2 = 72x. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

9. Zgjidheni ekuacionin 9x 2 = 54x. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

10. Zgjidhe ekuacionin 10x2 = 80x. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

11. Zgjidheni ekuacionin 5x2 −10x=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

12. Zgjidhe ekuacionin 3x2 −9x=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

13. Zgjidhe ekuacionin 4x2 −16x=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

14. Zgjidhe ekuacionin 5x2 +15x=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

15. Zgjidhe ekuacionin 3x2 +18x=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

16. Zgjidhe ekuacionin 6x2 +24x=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

17. Zgjidhe ekuacionin 4x2 −20x=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

18. Zgjidhe ekuacionin 5x2 +20x=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

19. Zgjidh ekuacionin 7x2 −14x=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

20. Zgjidhe ekuacionin 3x2 +12x=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

21. Zgjidh ekuacionin x2 −9=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

22. Zgjidh ekuacionin x2 −121=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

23. Zgjidh ekuacionin x2 −16=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

24. Zgjidh ekuacionin x2 −25=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

25. Zgjidh ekuacionin x2 −49=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

26. Zgjidh ekuacionin x2 −81=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

27. Zgjidh ekuacionin x2 −4=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

28. Zgjidh barazimin x2 −64=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

29. Zgjidhe ekuacionin x2 −36=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

30. Zgjidh barazimin x2 −144=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

31. Zgjidh ekuacionin x2 −9=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

32. Zgjidh ekuacionin x2 −121=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

33. Zgjidh ekuacionin x2 −16=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

34. Zgjidh ekuacionin x2 −25=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

35. Zgjidh barazimin x2 −49=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

36. Zgjidh ekuacionin x2 −81=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

37. Zgjidh ekuacionin x2 −4=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

38. Zgjidh ekuacionin x2 −64=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

39. Zgjidhe ekuacionin x2 −36=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

40. Zgjidh barazimin x2 −144=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

Shtojca 3

Ekuacionet e plota kuadratike

1. Zgjidheni ekuacionin x2 +3x=10. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

2. Zgjidheni ekuacionin x2 +7x=18. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

3. Zgjidheni ekuacionin x2 +2x=15. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

4. Zgjidheni ekuacionin x2 −6x=16. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

5. Zgjidheni ekuacionin x2 −3x=18. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

6. Zgjidhe ekuacionin x2 −18=7x. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

7. Zgjidheni ekuacionin x2 +4x=21. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

8. Zgjidheni ekuacionin x2 −21=4x. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

9. Zgjidheni ekuacionin x2 −15=2x. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

10. Zgjidh ekuacionin x2 −5x=14. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

11. Zgjidheni ekuacionin x2 +6=5x. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

12. Zgjidheni ekuacionin x2 +4=5x. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

13. Zgjidh ekuacionin x2 −x=12. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

14. Zgjidh ekuacionin x2 +4x=5. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

15. Zgjidh ekuacionin x2 −7x=8. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

16. Zgjidheni ekuacionin x2 +7=8x. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

17. Zgjidheni ekuacionin x2 +18=9x. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

18. Zgjidheni ekuacionin x2 +10=7x. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

19. Zgjidh ekuacionin x2 −20=x. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

20. Zgjidh barazimin x2 −35=2x. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

21. Zgjidhe ekuacionin 2x2 −3x+1=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

22. Zgjidhe ekuacionin 5x2 +4x−1=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

23. Zgjidhe ekuacionin 2x2 +5x−7=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

24. Zgjidhe ekuacionin 5x2 −12x+7=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

25. Zgjidhe ekuacionin 5x2 −9x+4=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

26. Zgjidh ekuacionin 8x2 −12x+4=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

27. Zgjidh ekuacionin 8x2 −10x+2=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

28. Zgjidhe ekuacionin 6x2 −9x+3=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

29. Zgjidhe ekuacionin 5x2 +9x+4=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

30. Zgjidhe ekuacionin 5x2 +8x+3=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

31. Zgjidh ekuacionin x2 −6x+5=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

32. Zgjidh ekuacionin x2 −7x+10=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

33. Zgjidh ekuacionin x2 −9x+18=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

34. Zgjidh ekuacionin x2 −10x+24=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

35. Zgjidh barazimin x2 −11x+30=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

36. Zgjidh ekuacionin x2 −8x+12=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

37. Zgjidh ekuacionin x2 −10x+21=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

38. Zgjidh ekuacionin x2 −9x+8=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

39. Zgjidhe ekuacionin x2 −11x+18=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

40. Zgjidh barazimin x2 −12x+20=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

Shtojca 4.

Ekuacionet racionale.

1. Gjeni rrënjën e ekuacionit

2. Gjeni rrënjën e ekuacionit

3. Gjeni rrënjën e ekuacionit

4. Gjeni rrënjën e ekuacionit

5. Gjeni rrënjën e ekuacionit

6. Gjeni rrënjën e ekuacionit.

7. Gjeni rrënjën e ekuacionit

8. Gjeni rrënjën e ekuacionit

9. Gjeni rrënjën e ekuacionit.

10. Gjeni rrënjën e ekuacionit

11. Gjeni rrënjën e ekuacionit.

12. Gjeni rrënjën e ekuacionit

13. Gjeni rrënjën e ekuacionit

14. Gjeni rrënjën e ekuacionit

15. Gjeni rrënjën e ekuacionit

16. Gjeni rrënjën e ekuacionit

17. Gjeni rrënjën e ekuacionit

18. Gjeni rrënjën e ekuacionit

19. Gjeni rrënjën e ekuacionit

20. Gjeni rrënjën e ekuacionit

21. Gjeni rrënjën e ekuacionit

22. Gjeni rrënjën e ekuacionit

23. Gjeni rrënjën e ekuacionit

Shtojca 5

Ekuacionet komplekse.

1. Gjeni rrënjën e ekuacionit (x+3)2 =(x+8)2 .

2. Gjeni rrënjën e ekuacionit (x−5)2 =(x+10)2 .

3. Gjeni rrënjën e ekuacionit (x+9)2 =(x+6)2 .

4. Gjeni rrënjën e ekuacionit (x+10)2 =(x−9)2 .

5. Gjeni rrënjën e ekuacionit (x−5)2 =(x−8)2 .

6. Gjeni rrënjën e ekuacionit.

7.Gjeni rrënjën e ekuacionit.

8. Gjeni rrënjën e ekuacionit.

9. Gjeni rrënjën e ekuacionit.

10. Gjeni rrënjën e ekuacionit.

11. Zgjidh barazimin (x+2)(− x+6)=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

12. Zgjidh barazimin (x+3)(− x−2)=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

13. Zgjidh barazimin (x−11)(− x+9)=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

14. Zgjidh barazimin (x−1)(− x−4)=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

15. Zgjidh barazimin (x−2)(− x−1)=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

16. Zgjidh barazimin (x+20)(− x+10)=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

17. Zgjidhe ekuacionin (x−2)(− x−3)=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

18. Zgjidhe ekuacionin (x−7)(− x+2)=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

19. Zgjidheni ekuacionin (x−5)(− x−10)=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

20. Zgjidhe ekuacionin (x+10)(− x−8)=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

21. Zgjidh barazimin (− 5x+3)(− x+6)=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

22. Zgjidhe ekuacionin (− 2x+1)(− 2x−7)=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

23. Zgjidhe ekuacionin (− x−4)(3x+3)=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

24. Zgjidhet ekuacioni (x−6)(4x−6)=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

25. Zgjidhe ekuacionin (− 5x−3)(2x−1)=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

26. Zgjidhe ekuacionin (x−2)(− 2x−3)=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

27. Zgjidh barazimin (5x+2)(− x−4)=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

28. Zgjidhe ekuacionin (x−6)(− 5x−9)=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

29. Zgjidhe ekuacionin (6x−3)(− x+3)=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të madhe si përgjigje.

30. Zgjidh barazimin (5x−2)(− x+3)=0. Nëse një ekuacion ka më shumë se një rrënjë, shkruani rrënjën më të vogël si përgjigje.

31. Zgjidhe ekuacionin

32. Zgjidhe ekuacionin

33. Zgjidhe ekuacionin

34. Zgjidhe ekuacionin

35. Zgjidhe ekuacionin

36. Zgjidhe ekuacionin

37. Zgjidhe ekuacionin

38. Zgjidhe ekuacionin

39. Zgjidhe ekuacionin

40 Zgjidhe ekuacionin

41. Zgjidh barazimin x(x2 +2x+1)=2(x+1).

42. Zgjidheni ekuacionin (x−1)(x2 +4x+4)=4(x+2).

43. Zgjidh barazimin x(x2 +6x+9)=4(x+3).

44. Zgjidhet ekuacioni (x−1)(x2 +8x+16)=6(x+4).

45. Zgjidh barazimin x(x2 +2x+1)=6(x+1).

46. ​​Zgjidh ekuacionin (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3).

47. Zgjidhet ekuacioni (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).

48. Zgjidh barazimin x(x2 +4x+4)=3(x+2).

49. Zgjidhet ekuacioni (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1).

50. Zgjidhet ekuacioni (x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3).

51. Zgjidhe ekuacionin (x+2)4 −4(x+2)2 −5=0.

52. Zgjidhe ekuacionin (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. Zgjidhe ekuacionin (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. Zgjidh ekuacionin (x−1)4 −2 (x−1)2 −3=0.

55. Zgjidh ekuacionin (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.

56. Zgjidh ekuacionin (x−3)4 −3 (x−3)2 −10=0.

57. Zgjidhe ekuacionin (x+4)4 −6(x+4)2 −7=0.
58. Zgjidh ekuacionin (x−4)4 −4 (x−4)2 −21=0.

59. Zgjidhe ekuacionin (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. Zgjidh ekuacionin (x−2)4 +3 (x−2)2 −10=0.

61. Zgjidh ekuacionin x3 +3x2 =16x+48.

62. Zgjidh ekuacionin x3 +4x2 =4x+16.

63. Zgjidh ekuacionin x3 +6x2 =4x+24.

64. Zgjidh barazimin x3 +6x2 =9x+54.

65. Zgjidh ekuacionin x3 +3x2 =4x+12.

66. Zgjidh ekuacionin x3 +2x2 =9x+18.

67. Zgjidh ekuacionin x3 +7x2 =4x+28.

68. Zgjidh ekuacionin x3 +4x2 =9x+36.

69. Zgjidhe ekuacionin x3 +5x2 =4x+20.

70. Zgjidhe ekuacionin x3 +5x2 =9x+45.

71. Zgjidh barazimin x3 +3x2 −x−3=0.

72. Zgjidheni ekuacionin x3 +4x2 −4x−16=0.

73. Zgjidh barazimin x3 +5x2 −x−5=0.

74. Zgjidh barazimin x3 +2x2 −x−2=0.

75. Zgjidh barazimin x3 +3x2 −4x−12=0.

76. Zgjidh barazimin x3 +2x2 −9x−18=0.

77. Zgjidh ekuacionin x3 +4x2 −x−4=0.

78. Zgjidhe ekuacionin x3 +4x2 −9x−36=0.

79. Zgjidh barazimin x3 +5x2 −4x−20=0.
80. Zgjidh barazimin x3 +5x2 −9x−45=0.

81. Zgjidh barazimin x4 =(x−20)2 .

82. Zgjidh ekuacionin x4 =(2x−15)2 .

83. Zgjidh ekuacionin x4 =(3x−10)2 .

84. Zgjidh ekuacionin x4 =(4x−5)2 .

85. Zgjidhe ekuacionin x4 =(x−12)2 .

86. Zgjidhe ekuacionin x4 =(2x−8)2 .

87. Zgjidh ekuacionin x4 =(3x−4)2 .

88. Zgjidhe ekuacionin x4 =(x−6)2 .

89. Zgjidh ekuacionin x4 =(2x−3)2 .

90. Zgjidh barazimin x4 =(x−2)2 .

91. Zgjidhe ekuacionin

92. Zgjidhe ekuacionin

93. Zgjidhe ekuacionin

94. Zgjidhe ekuacionin

95. Zgjidhe ekuacionin

96. Zgjidhe ekuacionin

97. Zgjidhe ekuacionin

98. Zgjidhe ekuacionin

99. Zgjidhe ekuacionin

100. Zgjidhe ekuacionin

101. Zgjidhe ekuacionin.

102. Zgjidhe ekuacionin

103. Zgjidhe ekuacionin

104. Zgjidhe ekuacionin

105. Zgjidhe ekuacionin

106. Zgjidhe ekuacionin

107. Zgjidhe ekuacionin

108. Zgjidhe ekuacionin

109. Zgjidhe ekuacionin

110. Zgjidhe ekuacionin

! Nga teoria në praktikë;

! Nga e thjeshta në komplekse

MAOU "Shkolla e Mesme Platoshin",

mësuesja e matematikës, Melekhina G.V.

Forma e përgjithshme ekuacioni linear: sëpatë + b = 0 ,

Ku a Dhe b– numrat (koeficientët).

• Nëse a = 0 Dhe b = 0, Kjo 0x + 0 = 0 – rrënjë pafundësisht;
• Nëse a = 0 Dhe b ≠ 0, Kjo 0x + b = 0- nuk ka zgjidhje;
• Nëse a ≠ 0 Dhe b = 0 , Kjo sëpatë + 0 = 0 – një rrënjë, x = 0;
• Nëse a ≠ 0 Dhe b ≠ 0 , Kjo sëpatë + b = 0 - një rrënjë,

! Nëse X është në fuqinë e parë dhe nuk është në emërues, atëherë ai është një ekuacion linear

! Dhe nëse ekuacioni linear është komplekse :

! Termat me X shkojnë në të majtë, pa X - në të djathtë.

! Këto ekuacione janë gjithashtu lineare .

! Vetia kryesore e proporcionit (kryq).

! Hapni kllapat, me X në të majtë, pa X në të djathtë.

• nëse koeficienti a = 1, atëherë thirret ekuacioni dhënë :

• nëse koeficienti b = 0 ose/dhe c = 0, atëherë thirret ekuacioni jo të plota :

! Formulat bazë

! Më shumë formula

Ekuacioni bikuadratik- quhet ekuacion i formës sëpatë 4 +bx 2 + c = 0 .

Ekuacioni bikuadratik reduktohet në ekuacioni kuadratik duke përdorur zëvendësimin, atëherë

Ne marrim një ekuacion kuadratik:

Le të gjejmë rrënjët dhe të kthehemi te zëvendësimi:

Shembulli 1:

Zgjidheni ekuacionin x 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Zgjidhja:

Zëvendësimi: x 2 = t.

t 2 + 5t – 36 = 0. Rrënjët e ekuacionit janë t 1 = -9 dhe t 2 = 4.

x 2 = -9 ose x 2 = 4.

Përgjigje: Në ekuacionin e parë nuk ka rrënjë, por në të dytin: x = ±2.

Shembulli 2:

Zgjidhe ekuacionin (2x – 1) 4 – 25 (2x – 1) 2 + 144 = 0.

Zgjidhja:

Zëvendësimi: (2x – 1) 2 = t.

t 2 – 25t + 144 = 0. Rrënjët e ekuacionit janë t 1 = 9 dhe t 2 = 16.

(2x – 1) 2 = 9 ose (2x – 1) 2 = 16.

2x – 1 = ±3 ose 2x – 1 = ±4.

Ekuacioni i parë ka dy rrënjë: x = 2 dhe x = -1, i dyti gjithashtu ka dy rrënjë: x = 2,5 dhe x = -1,5.

Përgjigje: -1,5; -1; 2; 2.5.

1) X 4 - 9 X 2 = 0; 2) 4 X 4 - x 2 = 0;

1) X 4 + x 2 - 2 = 0;

2) X 4 - 3 X 2 - 4 = 0; 3) 9 X 4 + 8 X 2 - 1 = 0; 4) 20 X 4 - X 2 - 1 = 0.

Zgjidhini ekuacionet duke zgjedhur nga ana e majtë katror i plotë :

1) X 4 - 20 X 2 + 64 = 0; 2) X 4 - 13 X 2 + 36 = 0; 3) X 4 - 4 X 2 + 1 = 0; 4) X 4 + 2 X 2 +1 = 0.

! Mbani mend katrorin e shumës dhe katrorin e diferencës

Shprehje racionaleështë një shprehje algjebrike e përbërë nga numra dhe një ndryshore x duke përdorur veprimet e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit, pjesëtimit dhe fuqizimit me një eksponent natyror.

Nëse r(x)është një shprehje racionale, pastaj ekuacioni r(x)=0 quhet ekuacion racional.

Algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni racional:

1. Zhvendosni të gjithë termat e ekuacionit në njërën anë.

2. Shndërroni këtë pjesë të ekuacionit në formë thyesa algjebrike p(x)/q(x)

3. Zgjidhe ekuacionin p(x)=0

4. Për secilën rrënjë të ekuacionit p(x)=0 kontrolloni nëse e plotëson kushtin q(x)≠0 ose jo. Nëse po, atëherë kjo është rrënja e ekuacionit të dhënë; nëse jo, atëherë është një rrënjë e jashtme dhe nuk duhet të përfshihet në përgjigje.

! Le të kujtojmë zgjidhjen e ekuacionit racional thyesor:

! Për të zgjidhur ekuacionet, është e dobishme të kujtoni formulat e shkurtuara të shumëzimit:

Nëse një ekuacion përmban një ndryshore nën shenjën e rrënjës katrore, atëherë thirret ekuacioni irracionale .

Metoda e katrorit të të dy anëve të një ekuacioni- metoda kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale.

Pasi të keni zgjidhur ekuacionin racional që rezulton, është e nevojshme që kontrolloni , heqja e rrënjëve të mundshme të jashtme.

Përgjigje: 5; 4

Një shembull tjetër:

Ekzaminimi:

Shprehja nuk ka kuptim.

Përgjigje: asnjë zgjidhje.

ZGJIDHJA E EKUACIONET

përgatitje për OGE

klasa e 9-të

përgatitur nga mësuesja e matematikës GBOU shkolla nr. 14 e rrethit Nevskit të Shën Petersburgut Putrova Marina Nikolaevna

Perfundo fjalite:

1). Ekuacioni është...

2). Rrënja e ekuacionit është...

3). Zgjidhja e një ekuacioni do të thotë...

I.Të zgjidhë ekuacionet me gojë:

• 1). 6x + 18=0
• 2). 2x + 5=0
• 3). 5x – 3=0
• 4). -3x + 9=0
• 5). -5x + 1=0
• 6). -2х – 10=0
• 7). 6x – 7=5x
• 8). 9x + 6=10x
• 9). 5x - 12=8x

Cili nga ekuacionet e mëposhtme nuk ka zgjidhje:

A). 2x – 14 = x + 7

b). 2x - 14 = 2 (x - 7)

V). x – 7 = 2x + 14

G). 2x- 14 = 2x + 7?

Cili ekuacion ka pafundësisht shumë zgjidhje:

A). 4x – 12 = x – 12

b). 4x – 12 = 4x + 12

V). 4 (x – 3) = 4x – 12

G). 4 (x – 3) = x – 10?

EKUACIONET E LLOJIT

kx + b = 0

ATO QUHEN LINEARE.

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve lineare :

1). zhvendosni termat që përmbajnë të panjohurën në anën e majtë, dhe termat që nuk përmbajnë të panjohurën në anën e djathtë (shenja e termit të transferuar është e kundërt);

2). sjell anëtarë të ngjashëm;

3).pjestoni të dyja anët e ekuacionit me koeficientin e të panjohurës nëse nuk është i barabartë me zero.

Zgjidh ekuacionet në fletoret tuaja :

Grupi II: Nr 697 f.63

x-1 +(x+2) = -4(-5-x)-5

Grupi I:

№ 681 faqe 63

6(4x)+3x=3

Grupi III: Nr.767 f.67

(x + 6) 2 + (x + 3) 2 = 2 x 2

Ekuacioni i formës

ah 2 + bх + c =0,

ku a≠0, b, c - çdo numër real quhet katror.

Ekuacionet jo të plota:

ah 2 + bх =0 (c=0),

ah 2 + c =0 (b=0).

II. Zgjidhini gojarisht ekuacionet kuadratike, duke treguar nëse ato janë të plota apo jo të plota:

1). 5x 2 + 15x=0

2). -X 2 +2x = 0

3). X 2 -25=0

4). -X 2 +9 =0

5). -X 2 - 16 =0

6). X 2 - 8x + 15=0

7 ) . X 2 + 5x + 6=0

8). X 2 + x - 12 =0

9).(-x-5)(-x+ 6)=0

PYETJE:

1). Cila veti e ekuacioneve është përdorur për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota?

2). Cilat metoda të faktorizimit të një polinomi janë përdorur për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota?

3). Cili është algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike ?

0,2 rrënjë; D = 0, 1 rrënjë; D X 1.2 =" gjerësi = 640"

1). Prodhimi i dy faktorëve është i barabartë me zero, nëse njëri prej tyre është i barabartë me zero, i dyti nuk e humb kuptimin e tij: ab = 0 , Nëse a = 0 ose b = 0 .

2). Shtimi i një shumëzuesi të përbashkët dhe

a 2 -b 2 =(a – b)(a + b) - formula për dallimin e katrorëve.

3). Ekuacioni i plotë kuadratik ah 2 + bx + c = o.

D=b 2 – 4ac nëse D0, 2 rrënjë;

D = 0, 1 rrënjë;

X 1,2 =

ZGJIDHNI EKUACIONET :

Grupi I: Nr 802 fq X 2 - 5x- 36 =0

Grupi II: Nr.810 fq 3x 2 - x + 21=5x 2

Grupi III: X 4 -5x 2 - 36 =0

III. ZGJIDHNI EKUACIONET :

Grupi I dhe II: Nr. 860 = 0

Grupi III: =0

Si quhen ekuacione të tilla? Çfarë vetie përdoret për zgjidhjen e tyre?

Një ekuacion racional është një ekuacion i formës

Një thyesë është e barabartë me zero nëse numëruesi është zero dhe emëruesi nuk është zero. =0, nëse a = 0, b≠0.

Histori e shkurtër e matematikës

• Matematikanët e Egjiptit të Lashtë ishin në gjendje të zgjidhnin ekuacionet kuadratike dhe lineare.

• Shkencëtari mesjetar persian Al-Khorezmi (shek. IX) prezantoi për herë të parë algjebrën si një shkencë të pavarur të metodave të përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve lineare dhe kuadratike dhe dha një klasifikim të këtyre ekuacioneve.

• Një zbulim i ri i madh në matematikë lidhet me emrin e shkencëtarit francez Francois Vieta (shek. XVI). Ishte ai që futi shkronjat në algjebër. Ai është përgjegjës për teoremën e famshme mbi rrënjët e ekuacioneve kuadratike.

• Dhe traditën e shënimit të sasive të panjohura me shkronjat e fundit të alfabetit latin (x, y, z) ia detyrojmë një matematikani tjetër francez - Rene Descartes (XVII).

Al-Kuarizmi

Francois Viet

Rene Dekarti

Detyre shtepie

Puna me faqet e internetit :

- Banka e hapur e detyrave OGE (matematikë) http://85.142.162.126/os/xmodules/qprint/index.php?proj=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0 ;

- "Unë do të zgjidh OGE" nga D. Gushchin https://oge.sdamgia.ru/ ;

- Faqja e internetit e A. Larin (opsioni 119) http://alexlarin.net/ .

Tutorial:

- Libri shkollor Yu.M Kolyagin "Algjebra e 9-të", M., "Iluminizmi", 2014, f. 308-310;

- “3000 detyra” nën. redaktuar nga I.V. Yashchenko, M., “Provim”, 2017, fq.59-74.