Në disa probleme të fizikës, nuk është e mundur të vendoset një lidhje e drejtpërdrejtë midis sasive që përshkruajnë procesin. Por është e mundur të merret një barazi që përmban derivatet e funksioneve në studim. Kështu lindin ekuacionet diferenciale dhe nevoja për t'i zgjidhur ato për të gjetur një funksion të panjohur.

Ky artikull është menduar për ata që janë përballur me problemin e zgjidhjes ekuacioni diferencial, në të cilën funksioni i panjohur është funksion i një ndryshoreje. Teoria është e strukturuar në atë mënyrë që me njohuri zero të ekuacioneve diferenciale, të mund të përballeni me detyrën tuaj.

Çdo lloj ekuacioni diferencial i caktohet një metodë zgjidhjeje me shpjegime të hollësishme dhe zgjidhje për shembuj dhe probleme tipike. E tëra çfarë ju duhet të bëni është të përcaktoni llojin e ekuacionit diferencial të problemit tuaj, të gjeni një shembull të ngjashëm të analizuar dhe të kryeni veprime të ngjashme.

Për të zgjidhur me sukses ekuacionet diferenciale, do t'ju duhet gjithashtu aftësia për të gjetur grupe antiderivativësh ( integrale të pacaktuara) funksione të ndryshme. Nëse është e nevojshme, ju rekomandojmë t'i referoheni seksionit.

Së pari, ne do të shqyrtojmë llojet e ekuacioneve diferenciale të zakonshme të rendit të parë që mund të zgjidhen në lidhje me derivatin, më pas do të kalojmë në ODE të rendit të dytë, pastaj do të ndalemi në ekuacionet e rendit më të lartë dhe do të përfundojmë me sistemet e ekuacionet diferenciale.

Kujtojmë se nëse y është funksion i argumentit x.

Ekuacionet diferenciale të rendit të parë.

Ekuacionet diferenciale më të thjeshta të rendit të parë të formës.

Le të shkruajmë disa shembuj të telekomandës së tillë .

Ekuacionet diferenciale mund të zgjidhet në lidhje me derivatin duke pjesëtuar të dyja anët e barazisë me f(x) . Në këtë rast, arrijmë në një ekuacion që do të jetë ekuivalent me atë origjinal për f(x) ≠ 0. Shembuj të ODE-ve të tilla janë .

Nëse ka vlera të argumentit x në të cilat funksionet f(x) dhe g(x) zhduken njëkohësisht, atëherë shfaqen zgjidhje shtesë. Zgjidhje shtesë të ekuacionit dhënë x janë çdo funksion të përcaktuar për këto vlera argumenti. Shembuj të ekuacioneve të tilla diferenciale përfshijnë:

Ekuacionet diferenciale të rendit të dytë.

Ekuacione diferenciale homogjene lineare të rendit të dytë me koeficientë konstante.

LDE me koeficientë konstante është një lloj shumë i zakonshëm i ekuacionit diferencial. Zgjidhja e tyre nuk është veçanërisht e vështirë. Së pari, gjenden rrënjët e ekuacionit karakteristik . Për p dhe q të ndryshme, janë të mundshme tre raste: rrënjët e ekuacionit karakteristik mund të jenë reale dhe të ndryshme, reale dhe përkuese. ose konjugate komplekse. Në varësi të vlerave të rrënjëve të ekuacionit karakteristik, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial shkruhet si , ose , ose përkatësisht.

Për shembull, merrni parasysh një ekuacion linear homogjen diferencial të rendit të dytë me koeficientë konstante. Rrënjët e ekuacionit të tij karakteristik janë k 1 = -3 dhe k 2 = 0. Rrënjët janë reale dhe të ndryshme, prandaj zgjidhja e përgjithshme e një LODE me koeficientë konstante ka formën


Ekuacione diferenciale johomogjene lineare të rendit të dytë me koeficientë konstante.

Zgjidhja e përgjithshme e një LDDE të rendit të dytë me koeficientë konstante y kërkohet në formën e shumës së zgjidhjes së përgjithshme të LDDE përkatëse. dhe një zgjidhje të veçantë për ekuacionin origjinal johomogjen, që është, . Paragrafi i mëparshëm i kushtohet gjetjes së një zgjidhjeje të përgjithshme për një ekuacion diferencial homogjen me koeficientë konstante. Dhe një zgjidhje e veçantë përcaktohet ose me metodën e koeficientëve të pacaktuar për një formë të caktuar të funksionit f(x) në anën e djathtë të ekuacionit origjinal, ose me metodën e ndryshimit të konstantave arbitrare.

Si shembuj të LDDE-ve të rendit të dytë me koeficientë konstante, ne japim


Kuptoni teorinë dhe njihuni me të zgjidhje të detajuara Ne ju ofrojmë shembuj në faqe ekuacione diferenciale lineare johomogjene të rendit të dytë me koeficientë konstante.

Ekuacionet lineare homogjene diferenciale (LODE) dhe ekuacionet diferenciale johomogjene lineare (LNDEs) të rendit të dytë.

Një rast i veçantë i ekuacioneve diferenciale të këtij lloji janë LODE dhe LDDE me koeficientë konstante.

Zgjidhja e përgjithshme e LODE në një segment të caktuar përfaqësohet nga një kombinim linear i dy zgjidhjeve të pjesshme lineare të pavarura y 1 dhe y 2 të këtij ekuacioni, d.m.th. .

Vështirësia kryesore qëndron pikërisht në gjetjen e zgjidhjeve të pjesshme lineare të pavarura për një ekuacion diferencial të këtij lloji. Në mënyrë tipike, zgjidhjet e veçanta zgjidhen nga sistemet e mëposhtme të funksioneve linearisht të pavarura:


Megjithatë, zgjidhjet e veçanta nuk paraqiten gjithmonë në këtë formë.

Një shembull i një LOD është .

Zgjidhja e përgjithshme e LDDE kërkohet në formën , ku është zgjidhja e përgjithshme e LDDE-së përkatëse dhe është zgjidhja e veçantë e ekuacionit diferencial origjinal. Ne sapo folëm për gjetjen e tij, por mund të përcaktohet duke përdorur metodën e ndryshimit të konstantave arbitrare.

Mund të jepet një shembull i LNDU .

Ekuacionet diferenciale të rendit më të lartë.

Ekuacionet diferenciale që lejojnë një reduktim sipas rendit.

Rendi i ekuacionit diferencial , i cili nuk përmban funksionin e dëshiruar dhe derivatet e tij deri në rendin k-1, mund të reduktohet në n-k duke zëvendësuar .

Në këtë rast, ekuacioni diferencial origjinal do të reduktohet në . Pas gjetjes së zgjidhjes së tij p(x), mbetet të kthehemi në zëvendësim dhe të përcaktojmë funksionin e panjohur y.

Për shembull, ekuacioni diferencial pas zëvendësimit, ai do të bëhet një ekuacion me ndryshore të ndashme dhe rendi i tij do të reduktohet nga i treti në i pari.

Përmbajtja e artikullit

EKUACIONET DIFERENCIALE. Shumë ligje fizike që rregullojnë fenomene të caktuara shkruhen në formën e një ekuacioni matematik që shpreh një marrëdhënie të caktuar midis sasive të caktuara. Shpesh ne po flasim për marrëdhënien midis sasive që ndryshojnë me kalimin e kohës, për shembull, efikasiteti i motorit, i matur me distancën që një makinë mund të përshkojë me një litër karburant, varet nga shpejtësia e makinës. Ekuacioni përkatës përmban një ose më shumë funksione dhe derivatet e tyre dhe quhet ekuacion diferencial. (Shpejtësia e ndryshimit të distancës me kalimin e kohës përcaktohet nga shpejtësia; prandaj, shpejtësia është një derivat i distancës; në mënyrë të ngjashme, nxitimi është një derivat i shpejtësisë, pasi nxitimi përcakton shkallën e ndryshimit të shpejtësisë me kohën.) Rëndësi e madhe, që kanë ekuacionet diferenciale për matematikën dhe veçanërisht për aplikimet e saj, shpjegohen me faktin se studimi i shumë problemeve fizike dhe teknike zbret në zgjidhjen e ekuacioneve të tilla. Ekuacionet diferenciale luajnë një rol të rëndësishëm edhe në shkencat e tjera, si biologjia, ekonomia dhe inxhinieria elektrike; në fakt, ato lindin kudo ku ka nevojë për një përshkrim sasior (numerik) të dukurive (pasi Bota ndryshimet me kalimin e kohës dhe kushtet ndryshojnë nga një vend në tjetrin).

Shembuj.

Shembujt e mëposhtëm ofrojnë një kuptim më të mirë se si detyra të ndryshme janë formuluar në gjuhën e ekuacioneve diferenciale.

1) Ligji i zbërthimit të disa substancave radioaktive është se shkalla e kalbjes është proporcionale me sasinë e disponueshme të kësaj substance. Nëse x– sasia e substancës në një moment të caktuar kohor t, atëherë ky ligj mund të shkruhet si më poshtë:

Ku dx/dtështë shkalla e kalbjes, dhe k– disa karakteristika pozitive konstante këtë substancë. (Shenja minus në anën e djathtë tregon këtë x zvogëlohet me kalimin e kohës; një shenjë plus, e nënkuptuar gjithmonë kur shenja nuk shprehet në mënyrë eksplicite, do të thotë se x rritet me kalimin e kohës.)

2) Ena përmban fillimisht 10 kg kripë të tretur në 100 m 3 ujë. Nëse uje i paster derdhet në enë me një shpejtësi prej 1 m 3 në minutë dhe përzihet në mënyrë të barabartë me tretësirën, dhe tretësira që rezulton rrjedh nga ena me të njëjtën shpejtësi, atëherë sa kripë do të ketë në enë në çdo moment të mëpasshëm kohor? Nëse x– sasia e kripës (në kg) në enë në të njëjtën kohë t, pastaj në çdo kohë t 1 m 3 tretësirë ​​në enë përmban x/100 kg kripë; prandaj sasia e kripës zvogëlohet me shpejtësi x/100 kg/min, ose

3) Le të ketë masa në trup m pezulluar nga fundi i sustës, një forcë rivendosëse vepron në përpjesëtim me sasinë e tensionit në sustë. Le x– sasia e devijimit të trupit nga pozicioni i ekuilibrit. Pastaj, sipas ligjit të dytë të Njutonit, i cili thotë se nxitimi (derivati ​​i dytë i x nga koha, e caktuar d 2 x/dt 2) proporcionale me forcën:

Ana e djathtë ka një shenjë minus sepse forca rivendosëse zvogëlon shtrirjen e sustës.

4) Ligji i ftohjes së trupit thotë se sasia e nxehtësisë në një trup zvogëlohet në raport me ndryshimin në temperaturën e trupit dhe mjedisi. Nëse një filxhan kafe e ngrohur në një temperaturë prej 90°C ndodhet në një dhomë ku temperatura është 20°C, atëherë

Ku T– temperatura e kafesë në kohë t.

5) Ministri i Jashtëm i shtetit të Blefuscu pretendon se programi i armëve i miratuar nga Lilliput e detyron vendin e tij të rrisë sa më shumë shpenzimet ushtarake. Deklarata të ngjashme bën edhe ministri i Jashtëm i Liliputit. Situata që rezulton (në interpretimin e saj më të thjeshtë) mund të përshkruhet me saktësi nga dy ekuacione diferenciale. Le x Dhe y- shpenzimet për armatimin e Liliputit dhe Blefuskut. Duke supozuar se Lilliput rrit shpenzimet e tij për armatimet në një normë proporcionale me shkallën e rritjes së shpenzimeve për armatimet e Blefuscu dhe anasjelltas, marrim:

ku janë anëtarët sëpatë Dhe - nga përshkruani shpenzimet ushtarake të çdo vendi, k Dhe l janë konstante pozitive. (Ky problem u formulua për herë të parë në këtë mënyrë në 1939 nga L. Richardson.)

Pasi të jetë shkruar problemi në gjuhën e ekuacioneve diferenciale, duhet të përpiqeni t'i zgjidhni ato, d.m.th. gjeni sasitë, ritmet e ndryshimit të të cilave përfshihen në ekuacione. Ndonjëherë zgjidhjet gjenden në formën e formulave të qarta, por më shpesh ato mund të paraqiten vetëm në formë të përafërt ose të merren informacione rreth tyre. informacion cilësor. Shpesh mund të jetë e vështirë të përcaktohet nëse ekziston një zgjidhje, e lëre më të gjendet një zgjidhje. Një pjesë e rëndësishme e teorisë së ekuacioneve diferenciale përbëhet nga të ashtuquajturat "teorema të ekzistencës", në të cilat vërtetohet ekzistenca e një zgjidhjeje për një ose një tjetër lloj ekuacioni diferencial.

Formulimi origjinal matematik i një problemi fizik zakonisht përmban supozime thjeshtuese; Kriteri i arsyeshmërisë së tyre mund të jetë shkalla e konsistencës së zgjidhjes matematikore me vëzhgimet e disponueshme.

Zgjidhjet e ekuacioneve diferenciale.

Ekuacioni diferencial, për shembull dy/dx = x/y, është i kënaqur jo nga një numër, por nga një funksion, në këtë rast të veçantë i tillë që grafiku i tij në çdo pikë, për shembull në një pikë me koordinata (2,3), të ketë një tangjente me një koeficient këndor të barabartë me raportin e koordinatat (në shembullin tonë, 2/3). Kjo është e lehtë për t'u verifikuar nëse ndërtoni numër i madh pikë dhe nga secila të vendoset një segment i shkurtër me një pjerrësi përkatëse. Zgjidhja do të jetë një funksion, grafiku i të cilit prek secilën nga pikat e tij në segmentin përkatës. Nëse ka mjaft pika dhe segmente, atëherë përafërsisht mund të përvijojmë rrjedhën e kurbave të zgjidhjes (tre kurba të tilla janë paraqitur në Fig. 1). Ekziston saktësisht një kurbë zgjidhje që kalon nëpër secilën pikë me y Nr. 0. Çdo zgjidhje individuale quhet zgjidhje e pjesshme e një ekuacioni diferencial; nëse është e mundur të gjendet një formulë që përmban të gjitha zgjidhjet e veçanta (me përjashtim të disa zgjidhjeve të veçanta), atëherë ata thonë se është marrë një zgjidhje e përgjithshme. Një zgjidhje e veçantë përfaqëson një funksion, ndërsa një zgjidhje e përgjithshme përfaqëson një familje të tërë të tyre. Zgjidhja e një ekuacioni diferencial do të thotë të gjesh zgjidhjen e tij të veçantë ose të përgjithshme. Në shembullin që po shqyrtojmë, zgjidhja e përgjithshme ka formën y 2 – x 2 = c, Ku c- çdo numër; një zgjidhje e veçantë që kalon në pikën (1,1) ka formën y = x dhe rezulton se kur c= 0; një zgjidhje e veçantë që kalon në pikën (2,1) ka formën y 2 – x 2 = 3. Kushti që kërkon që kurba e zgjidhjes të kalojë, për shembull, përmes pikës (2,1), quhet kusht fillestar (pasi ajo specifikon pikën e fillimit në lakoren e zgjidhjes).

Mund të tregohet se në shembullin (1) zgjidhja e përgjithshme ka formën x = ce –kt, Ku c– një konstante që mund të përcaktohet, për shembull, duke treguar sasinë e substancës në t= 0. Ekuacioni nga shembulli (2) është një rast i veçantë i ekuacionit nga shembulli (1), që korrespondon k= 1/100. Gjendja fillestare x= 10 në t= 0 jep një zgjidhje të veçantë x = 10e –t/100 . Ekuacioni nga shembulli (4) ka një zgjidhje të përgjithshme T = 70 + ce –kt dhe zgjidhje private 70 + 130 - kt; për të përcaktuar vlerën k, nevojiten të dhëna shtesë.

Ekuacioni diferencial dy/dx = x/y quhet ekuacion i rendit të parë, pasi përmban derivatin e parë (rendi i një ekuacioni diferencial zakonisht konsiderohet të jetë rendi i derivatit më të lartë të përfshirë në të). Për shumicën (edhe pse jo të gjitha) ekuacionet diferenciale të llojit të parë që dalin në praktikë, vetëm një kurbë zgjidhjesh kalon nëpër secilën pikë.

Ekzistojnë disa lloje të rëndësishme të ekuacioneve diferenciale të rendit të parë që mund të zgjidhen në formën e formulave që përmbajnë vetëm funksione elementare - fuqitë, eksponentët, logaritmet, sinuset dhe kosinuset, etj. Ekuacione të tilla përfshijnë sa vijon.

Ekuacione me ndryshore të ndashme.

Ekuacionet e formës dy/dx = f(x)/g(y) mund të zgjidhet duke e shkruar në diferenciale g(y)dy = f(x)dx dhe duke integruar të dyja pjesët. Në rastin më të keq, zgjidhja mund të përfaqësohet në formën e integraleve të funksioneve të njohura. Për shembull, në rastin e ekuacionit dy/dx = x/y ne kemi f(x) = x, g(y) = y. Duke e shkruar në formë ydy = xdx dhe duke u integruar, marrim y 2 = x 2 + c. Ekuacionet me variabla të ndashëm përfshijnë ekuacione nga shembujt (1), (2), (4) (ato mund të zgjidhen në mënyrën e përshkruar më sipër).

Ekuacionet në diferencialet totale.

Nëse ekuacioni diferencial ka formën dy/dx = M(x,y)/N(x,y), Ku M Dhe N janë dy funksione të dhëna, atëherë mund të paraqitet si M(x,y)dx – N(x,y)dy= 0. Nëse ana e majtë është diferenciali i ndonjë funksioni F(x,y), atëherë ekuacioni diferencial mund të shkruhet si dF(x,y) = 0, që është ekuivalente me ekuacionin F(x,y) = konst. Kështu, kurbat e zgjidhjes së ekuacionit janë "vijat e niveleve konstante" të funksionit, ose vendndodhja e pikave që plotësojnë ekuacionet F(x,y) = c. Ekuacioni ydy = xdx(Fig. 1) - me ndryshore të ndashme, dhe të njëjtat - në diferenciale totale: për t'u siguruar për këtë të fundit, e shkruajmë në formën ydy – xdx= 0, d.m.th. d(y 2 – x 2) = 0. Funksioni F(x,y) në këtë rast është e barabartë me (1/2)( y 2 – x 2); Disa nga linjat e tij të nivelit konstant janë paraqitur në Fig. 1.

Ekuacionet lineare.

Ekuacionet lineare janë ekuacione të "shkallës së parë" - funksioni i panjohur dhe derivatet e tij shfaqen në ekuacione të tilla vetëm në shkallën e parë. Kështu, ekuacioni diferencial linear i rendit të parë ka formën dy/dx + fq(x) = q(x), Ku fq(x) Dhe q(x) – funksione që varen vetëm nga x. Zgjidhja e tij mund të shkruhet gjithmonë duke përdorur integrale të funksioneve të njohura. Shumë lloje të tjera të ekuacioneve diferenciale të rendit të parë zgjidhen duke përdorur teknika të veçanta.

Ekuacionet e rendit më të lartë.

Shumë ekuacione diferenciale që hasin fizikanët janë ekuacione të rendit të dytë (d.m.th., ekuacione që përmbajnë derivate të dyta, për shembull, është ekuacioni i lëvizjes së thjeshtë harmonike nga shembulli (3). md 2 x/dt 2 = –kx. Në përgjithësi, mund të presim që një ekuacion i rendit të dytë të ketë zgjidhje të pjesshme që plotësojnë dy kushte; për shembull, mund të kërkohet që kurba e zgjidhjes të kalojë nëpër një pikë të caktuar në në këtë drejtim. Në rastet kur ekuacioni diferencial përmban një parametër të caktuar (një numër vlera e të cilit varet nga rrethanat), zgjidhjet e llojit të kërkuar ekzistojnë vetëm për vlera të caktuara të këtij parametri. Për shembull, merrni parasysh ekuacionin md 2 x/dt 2 = –kx dhe ne do ta kërkojmë atë y(0) = y(1) = 0. Funksioni yє 0 është padyshim një zgjidhje, por nëse është një shumëfish numër i plotë fq, d.m.th. k = m 2 n 2 fq 2, ku nështë një numër i plotë, por në realitet vetëm në këtë rast ka zgjidhje të tjera, përkatësisht: y= mëkat npx. Vlerat e parametrave për të cilat ekuacioni ka zgjidhje të veçanta quhen karakteristikë ose eigenvalues; ata luajnë një rol të rëndësishëm në shumë detyra.

Ekuacioni i lëvizjes së thjeshtë harmonike është një shembull i një klase të rëndësishme ekuacionesh, përkatësisht ekuacioneve diferenciale lineare me koeficientë konstante. Më shumë shembull i përgjithshëm(edhe rendi i dytë) – ekuacion

Ku a Dhe b- konstante të dhëna, f(x) është një funksion i dhënë. Ekuacione të tilla mund të zgjidhen menyra te ndryshme, për shembull, duke përdorur transformimin integral të Laplace. E njëjta gjë mund të thuhet për ekuacionet lineare të rendit më të lartë me koeficientë konstante. Ekuacionet lineare me koeficientë të ndryshueshëm gjithashtu luajnë një rol të rëndësishëm.

Ekuacionet diferenciale jolineare.

Ekuacionet që përmbajnë funksione të panjohura dhe derivatet e tyre ndaj fuqive më të larta se të parat ose në një mënyrë më komplekse quhen jolineare. NË vitet e fundit po tërheqin gjithnjë e më shumë vëmendjen. Fakti është se ekuacionet fizike janë zakonisht lineare vetëm me një përafrim të parë; Hulumtimet e mëtejshme dhe më të sakta, si rregull, kërkojnë përdorimin e ekuacioneve jolineare. Për më tepër, shumë probleme janë të natyrës jolineare. Meqenëse zgjidhjet e ekuacioneve jolineare janë shpesh shumë komplekse dhe të vështira për t'u paraqitur me formula të thjeshta, një pjesë e rëndësishme e teorisë moderne i kushtohet analizës cilësore të sjelljes së tyre, d.m.th. zhvillimi i metodave që bëjnë të mundur, pa zgjidhur ekuacionin, të thuhet diçka domethënëse për natyrën e zgjidhjeve në tërësi: për shembull, që ato janë të gjitha të kufizuara, ose kanë një natyrë periodike, ose varen në një mënyrë të caktuar nga koeficientët.

Zgjidhjet e përafërta të ekuacioneve diferenciale mund të gjenden numerikisht, por kjo kërkon shumë kohë. Me ardhjen kompjuterë me shpejtësi të lartë kjo kohë u zvogëlua shumë, gjë që hapi mundësi të reja për zgjidhjen numerike të shumë problemeve që më parë ishin të pazgjidhshme për një zgjidhje të tillë.

Teoremat e ekzistencës.

Teorema e ekzistencës është një teoremë që thotë se, në kushte të caktuara, një ekuacion diferencial i caktuar ka një zgjidhje. Ka ekuacione diferenciale që nuk kanë zgjidhje ose kanë më shumë se sa pritej. Qëllimi i një teoreme ekzistence është të na bindë se një ekuacion i caktuar ka në të vërtetë një zgjidhje dhe më shpesh të na sigurojë se ka saktësisht një zgjidhje të llojit të kërkuar. Për shembull, ekuacioni që kemi hasur tashmë dy/dx = –2y ka saktësisht një zgjidhje që kalon nëpër secilën pikë të planit ( x,y), dhe meqenëse ne kemi gjetur tashmë një zgjidhje të tillë, ne e kemi zgjidhur plotësisht këtë ekuacion. Nga ana tjetër, ekuacioni ( dy/dx) 2 = 1 – y 2 ka shumë zgjidhje. Midis tyre janë të drejta y = 1, y= –1 dhe kthesa y= mëkat ( x + c). Zgjidhja mund të përbëhet nga disa segmente të këtyre vijave të drejta dhe kthesave, që kalojnë në njëra-tjetrën në pikat e kontaktit (Fig. 2).

Ekuacionet diferenciale të pjesshme.

Një ekuacion diferencial i zakonshëm është një deklaratë në lidhje me derivatin e një funksioni të panjohur të një ndryshoreje. Një ekuacion diferencial i pjesshëm përmban një funksion të dy ose më shumë ndryshoreve dhe derivateve të atij funksioni në lidhje me të paktën dy ndryshore të ndryshme.

Në fizikë, shembuj të ekuacioneve të tilla janë ekuacioni i Laplace

X, y) brenda rrethit nëse vlerat u të specifikuara në secilën pikë të rrethit kufizues. Meqenëse problemet me më shumë se një ndryshore në fizikë janë rregull dhe jo përjashtim, është e lehtë të imagjinohet se sa e gjerë është tema e teorisë së ekuacioneve diferenciale të pjesshme.

Një ekuacion diferencial është një ekuacion që përfshin një funksion dhe një ose më shumë prej derivateve të tij. Në shumicën e problemeve praktike, funksionet përfaqësojnë sasi fizike, derivatet korrespondojnë me ritmet e ndryshimit të këtyre sasive dhe një ekuacion përcakton marrëdhënien midis tyre.

Ky artikull diskuton metodat për zgjidhjen e disa llojeve të ekuacioneve diferenciale të zakonshme, zgjidhjet e të cilave mund të shkruhen në formën funksionet elementare, pra polinomiale, eksponenciale, logaritmike dhe trigonometrike, si dhe funksionet e tyre të anasjellta. Shumë nga këto ekuacione shfaqen në jeta reale, megjithëse shumica e ekuacioneve të tjera diferenciale nuk mund të zgjidhen me këto metoda, dhe për to përgjigja shkruhet në formën e funksioneve të veçanta ose serive të fuqisë, ose gjendet me metoda numerike.

Për të kuptuar këtë artikull, duhet të jeni të aftë në llogaritjen diferenciale dhe integrale, si dhe të keni një kuptim të caktuar të derivateve të pjesshme. Rekomandohet gjithashtu të njihen bazat e algjebrës lineare siç zbatohen për ekuacionet diferenciale, veçanërisht ekuacionet diferenciale të rendit të dytë, megjithëse njohuritë e llogaritjes diferenciale dhe integrale janë të mjaftueshme për zgjidhjen e tyre.

Informacion paraprak

• Ekuacionet diferenciale kanë një klasifikim të gjerë. Ky artikull flet për ekuacionet diferenciale të zakonshme, pra për ekuacionet që përfshijnë një funksion të një ndryshoreje dhe derivatet e saj. Ekuacionet diferenciale të zakonshme janë shumë më të lehta për t'u kuptuar dhe zgjidhur sesa ekuacionet diferenciale të pjesshme, të cilat përfshijnë funksione të disa variablave. Ky artikull nuk diskuton ekuacionet diferenciale të pjesshme, pasi metodat për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve zakonisht përcaktohen nga forma e tyre e veçantë.
  • Më poshtë janë disa shembuj të ekuacioneve diferenciale të zakonshme.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+kx=0)
  • Më poshtë janë disa shembuj të ekuacioneve diferenciale të pjesshme.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\i pjesshëm y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alfa (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Rendit i një ekuacioni diferencial përcaktohet nga rendi i derivatit më të lartë të përfshirë në këtë ekuacion. I pari nga ekuacionet diferenciale të zakonshme të mësipërme është i rendit të parë, ndërsa i dyti është një ekuacion i rendit të dytë. Diplomë e një ekuacioni diferencial është fuqia më e lartë në të cilën është ngritur një nga termat e këtij ekuacioni.
  • Për shembull, ekuacioni më poshtë është i rendit të tretë dhe i shkallës së dytë.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d))x^(3))\ djathtas)^(2)+(\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))=0)
• Ekuacioni diferencial është ekuacioni diferencial linear në rast se funksioni dhe të gjithë derivatet e tij janë në shkallën e parë. Përndryshe ekuacioni është ekuacioni diferencial jolinear. Ekuacionet diferenciale lineare janë të jashtëzakonshme në atë që zgjidhjet e tyre mund të përdoren për të formuar kombinime lineare që do të jenë gjithashtu zgjidhje për ekuacionin e dhënë.
  • Më poshtë janë disa shembuj të ekuacioneve diferenciale lineare.
    • d y d x + p (x) y = q (x) (\style display (\frac ((\ mathrm (d) )y)((\ mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) )
    • x 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d))x^(2) ))+ax(\frac ((\ mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+nga=0)
  • Më poshtë janë disa shembuj të ekuacioneve diferenciale jolineare. Ekuacioni i parë është jolinear për shkak të termit sinus.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)\theta)((\mathrm (d))t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\ mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\djathtas)^(2)+tx^(2)=0)
• Vendim i përbashkët ekuacioni diferencial i zakonshëm nuk është unik, ai përfshin konstantet arbitrare të integrimit. Në shumicën e rasteve, numri i konstantave arbitrare është i barabartë me rendin e ekuacionit. Në praktikë, vlerat e këtyre konstanteve përcaktohen në bazë të dhënë kushtet fillestare, domethënë sipas vlerave të funksionit dhe derivateve të tij në x = 0. (\displaystyle x=0.) Numri i kushteve fillestare që janë të nevojshme për të gjetur zgjidhje private ekuacioni diferencial, në shumicën e rasteve është gjithashtu i barabartë me rendin e ekuacionit të dhënë.
  • Për shembull, ky artikull do të shikojë zgjidhjen e ekuacionit më poshtë. Ky është një ekuacion diferencial linear i rendit të dytë. Zgjidhja e tij e përgjithshme përmban dy konstante arbitrare. Për të gjetur këto konstante është e nevojshme të njihen kushtet fillestare në x (0) (\displaystyle x(0)) Dhe x ′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Zakonisht kushtet fillestare përcaktohen në pikë x = 0, (\displaystyle x=0,), edhe pse kjo nuk është e nevojshme. Ky artikull do të diskutojë gjithashtu se si të gjeni zgjidhje të veçanta për kushtet e dhëna fillestare.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Hapat

Pjesa 1

Ekuacionet e rendit të parë

Kur përdorni këtë shërbim, disa informacione mund të transferohen në YouTube.

Kjo faqe është parë 69,354 herë.

A ju ndihmoi ky artikull?

Gjeni një funksion f bazuar në një varësi të caktuar, i cili përfshin vetë funksionin me argumente dhe derivatet e tij. Ky lloj problemi është i rëndësishëm në fizikë, kimi, ekonomi, teknologji dhe fusha të tjera të shkencës. Varësi të tilla quhen ekuacione diferenciale. Për shembull, y" - 2xy = 2 është një ekuacion diferencial i rendit të parë. Le të shohim se si zgjidhen këto lloj ekuacionesh.

Çfarë është kjo?

Një ekuacion që duket si ky:

• f(y, y", ..., y(10), y(11), ..., y(k), x) = 0,

quhet difur i zakonshëm dhe karakterizohet si ekuacion i rendit k, dhe varet nga x dhe derivatet y", y"", ... - deri në kth.

Varietetet

Në rastin kur funksioni që gjendet në një ekuacion diferencial varet vetëm nga një argument, lloji i ekuacionit diferencial quhet i zakonshëm. Me fjalë të tjera, në ekuacion funksioni f dhe të gjithë derivatet e tij varen vetëm nga argumenti x.

Kur funksioni i dëshiruar varet nga disa argumente të ndryshme, ekuacionet quhen ekuacione diferenciale të pjesshme. Në përgjithësi ato duken si:

• f(x, fx", ..., y, fy"..., z, ..., fz"", ...),

ku shprehja fx" është derivati ​​i funksionit në lidhje me argumentin x, dhe fz"" është derivati ​​i dyfishtë i funksionit në lidhje me argumentin z, etj.

Zgjidhje

Është e lehtë të merret me mend se çfarë saktësisht konsiderohet një zgjidhje për diferencialin. ekuacionet Ky funksion, zëvendësimi i të cilit në ekuacion jep një rezultat identik në të dy anët e shenjës së barabartë, quhet zgjidhje. Për shembull, ekuacioni t""+a2t = 0 ka një zgjidhje në formën t = 3Cos(ax) - Sin(ax):

1 t"= -3aSin(ax) - aCos(ax) 2 t""= -3a2Cos(ax) + a2Sin(ax) 3 t""+a2t= (-3a2Cos(ax) + a2Sin(ax)) + a2 (3Cos(sëpatë) - Sin(sëpatë))

Duke thjeshtuar ekuacionin 3, zbulojmë se t""+a2t = 0 për të gjitha vlerat e argumentit x. Sidoqoftë, ia vlen të bëni një rezervim menjëherë. Ekuacioni t = 3Cos(ax) - Sin(ax) nuk është zgjidhja e vetme, por vetëm një e një grupi të pafund, i cili përshkruhet me formulën mCos(ax) + nSin(ax), ku m dhe n janë numra arbitrar .

Arsyeja për këtë marrëdhënie është përkufizimi i një funksioni antiderivativ në llogaritjen integrale: nëse Q është një antiderivativ (më saktë, një nga shumë) për një funksion q, atëherë ∫q(x) dx = Q(x) + C, ku C është një konstante arbitrare që vendoset në zero në veprim të kundërt - duke marrë derivatin e funksionit Q"(x).

Le të heqim dorë nga përkufizimi se çfarë është një zgjidhje e një ekuacioni të rendit kth. Nuk është e vështirë të imagjinohet se sa më i lartë të jetë rendi i derivatit, aq më shumë konstante shfaqen gjatë procesit të integrimit. Gjithashtu duhet sqaruar se përkufizimi i përshkruar më sipër për zgjidhjen nuk është i plotë. Por për matematikanët e shekullit të 17-të ishte e mjaftueshme.

Më poshtë do të shqyrtojmë vetëm llojet kryesore të ekuacioneve diferenciale të rendit të parë. Më themelore dhe e thjeshtë. Përveç tyre, ka edhe diferenciale të tjera. ekuacionet: homogjene, në diferenciale totale dhe Bernoulli. Por zgjidhja e të gjithave shpesh përfshin metodën e variablave të ndashëm, të cilat do të diskutohen më poshtë.

Ndarja e variablave si zgjidhje

F = 0 - paraqet diferencialin. ekuacioni i rendit 1. Kur zgjidhet të këtij lloji ekuacionet diferenciale, ato reduktohen lehtësisht në formën y" = f. Pra, për shembull, ekuacioni ey" - 1 - xy = 0 reduktohet në formën y" = ln(1 + xy). Operacioni i reduktimit të një ekuacioni diferencial për një formë të ngjashme quhet rezolucioni i tij në lidhje me derivatin y".

Pas zgjidhjes së ekuacionit, duhet ta sillni atë në formë diferenciale. Kjo bëhet duke shumëzuar të gjitha anët e ekuacionit me dx. Nga y" = f marrim y"dx = fdx. Duke marrë parasysh faktin se y"dx = dy, marrim një ekuacion në formën:

• dy = f dx - që quhet formë diferenciale.

Natyrisht, y" = f(x) është ekuacioni diferencial më i thjeshtë i rendit të parë. Zgjidhja e tij arrihet me integrim të thjeshtë. Më shumë pamje komplekseështë q(y)*y" = p(x), në të cilin q(y) është një funksion në varësi të y, dhe p(x) është një funksion në varësi të x. Duke e reduktuar atë në formë diferenciale, marrim:

• q(y)dy = p(x)dx

Është e lehtë të shihet pse ekuacioni quhet i ndarë: ana e majtë përmban vetëm ndryshoren y dhe ana e djathtë përmban vetëm x. Një ekuacion i tillë zgjidhet duke përdorur teoremën e mëposhtme: nëse një funksion p ka një antiderivativ P, dhe q ka një antiderivativ Q, atëherë integrali dikatër do të jetë Q(y) = P(x) + C.

Le të zgjidhim ekuacionin z"(x)ctg(z) = 1/x. Duke e reduktuar këtë ekuacion në formën diferenciale: ctg(z)dz = dx/x; dhe duke marrë integralin e të dyja anëve ∫ctg(z)dz = ∫dx/x marrim një zgjidhje në pamje e përgjithshme: C + ln|sin(z)| = ln|x|. Për hir të bukurisë, ky ekuacion sipas rregullave të logaritmeve mund të shkruhet në një formë tjetër, nëse vendosim C = ln W - fitojmë W|sin(z)| = |x| ose, edhe më e thjeshtë, WSin(z) = x.

Ekuacionet e formës dy/dx = q(y)p(x)

Ndarja e variablave mund të zbatohet në ekuacionet e formës y" = q(y)p(x). Është e nevojshme të merret parasysh vetëm rasti kur q(y) në një numër a zhduket. Kjo është, q(a ) = 0. Në këtë rast, funksioni y = a do të jetë zgjidhje, pasi për të y" = 0, pra, edhe q(a)p(x) është e barabartë me zero. Për të gjitha vlerat e tjera ku q(y) nuk është e barabartë me 0, mund të shkruajmë formën diferenciale:

• p(x) dx = dy / q(y),

duke i integruar, marrim një zgjidhje të përgjithshme.

Le të zgjidhim ekuacionin S" = t2(S-a)(S-b). Natyrisht, rrënjët e ekuacionit janë numrat a dhe b. Prandaj, S=a dhe S=b janë zgjidhje të këtij ekuacioni. Për vlerat e tjera të S kemi një formë diferenciale: dS/[(S-a) (S-b)] = t2dt Nga ku është e lehtë të merret integrali i përgjithshëm.

Ekuacionet e formës H(y)W(x)y" + M(y)J(x) = 0

Duke lejuar ky lloj ekuacioni për y" marrim: y" = - C(x)D(y) / A(x)B(y). Forma diferenciale e këtij ekuacioni do të jetë:

• W(x)H(y)dy + J(x)M(y)dx = 0

Për të zgjidhur këtë ekuacion, duhet të marrim parasysh zero raste. Nëse a është një rrënjë e W(x), atëherë x = a është një integral, pasi nga kjo rrjedh se dx = 0. Në mënyrë të ngjashme, me rastin nëse b është një rrënjë e M(y). Më pas, për gamën e vlerave të x për të cilat W dhe M nuk zhduken, ne mund t'i ndajmë variablat duke i ndarë me shprehjen W(x)M(y). Pas së cilës shprehja mund të integrohet.

Shumë lloje ekuacionesh për të cilat në shikim të parë është e pamundur të zbatohet ndarja e variablave rezultojnë të jenë të tilla. Për shembull, në trigonometri kjo arrihet përmes transformimeve të identitetit. Gjithashtu, disa zëvendësime të zgjuara shpesh mund të jenë të përshtatshme, pas së cilës mund të përdoret metoda e variablave të ndara. Llojet e ekuacioneve diferenciale të rendit të parë mund të duken shumë të ndryshme.

Ekuacionet lineare

Një lloj po aq i rëndësishëm ekuacionesh diferenciale, zgjidhja e të cilave ndodh me zëvendësimin dhe reduktimin e tyre në metodën e ndryshoreve të ndara.

• Q(x)y + P(x)y" = R(x) - paraqet një ekuacion që është linear kur merret parasysh në lidhje me një funksion dhe derivatin e tij. P, Q, R - paraqesin funksione të vazhdueshme.

Për rastet kur P(x) nuk është e barabartë me 0, mund ta sillni ekuacionin në një formë të zgjidhur në lidhje me y" duke i ndarë të gjitha pjesët me P(x).

• y" + h(x)y = j(x), në të cilën h(x) dhe j(x) përfaqësojnë raportet e funksioneve Q/P dhe R/P, përkatësisht.

Zgjidhje për ekuacionet lineare

Një ekuacion linear mund të quhet homogjen në rastin kur j(x) = 0, pra h(x)y+ y" = 0. Një ekuacion i tillë quhet homogjen dhe mund të ndahet lehtësisht: y"/y = -h (x). Duke e integruar atë, marrim: ln|y| = -H(x) + ln(C). Nga ku y shprehet si y = Ce-H(x).

Për shembull, z" = zCos(x). Duke i ndarë variablat dhe duke e sjellë ekuacionin në formë diferenciale, dhe më pas duke u integruar, marrim se zgjidhja e përgjithshme do të ketë shprehjen y = CeSin(x).

Një ekuacion linear në formën e tij të përgjithshme quhet johomogjen, domethënë j(x) nuk është i barabartë me 0. Zgjidhja e tij përbëhet nga disa faza. Së pari ju duhet të zgjidhni ekuacionin homogjen. Kjo do të thotë, barazoni j(x) me zero. Le të jetë u një nga zgjidhjet e ekuacionit linear homogjen përkatës. Atëherë vlen identiteti u" + h(x)u = 0.

Le të bëjmë një ndryshim të formës y = uv në y" + h(x)y = j(x) dhe të marrim (uv)" + h(x)uv = j(x) ose u"v + uv" + h(x)uv = j(x). Duke e reduktuar ekuacionin në formën u(u" + h(x)u) + uv" = j(x), mund të shohim se në pjesën e parë u" + h(x)u = 0. Nga marrim v" (x) = j (x) / u(x). Prej këtu llogarisim antiderivativin ∫v = V+C. Duke kryer zëvendësimin e kundërt, gjejmë y = u(V+C), ku u është zgjidhja e ekuacionit homogjen dhe V është antiderivati ​​i relacionit j/u.

Le të gjejmë një zgjidhje për ekuacionin y"-2xy = 2, i cili i përket llojit të ekuacioneve diferenciale të rendit të parë. Për ta bërë këtë, fillimisht zgjidhim ekuacionin homogjen u" - 2xu = 0. Përftojmë u = e2x + C. Për thjeshtësi të zgjidhjes, vendosim C = 0, d.m.th. sepse për të zgjidhur problemin na duhet vetëm një nga zgjidhjet, dhe jo të gjitha opsionet e mundshme.

Pastaj kryejmë zëvendësimin y = vu dhe marrim v"(x)u + v(u"(x) - 2u(x)x) = 2. Pastaj: v"(x)e2x = 2, prej nga v"(x ) = 2e-2x. Atëherë antiderivati ​​V(x) = -∫e-2xd(-2x) = - e-2x + C. Si rezultat, zgjidhja e përgjithshme për y" - 2xy = 2 do të jetë y = uv = (-1)( e2x + C) e -2x = - 1 - Ce-2x.

Si të përcaktohet lloji i ekuacionit diferencial? Për ta bërë këtë, duhet ta zgjidhni atë në lidhje me derivatin dhe të shihni nëse mund të përdorni metodën e ndarjes së variablave drejtpërdrejt ose me zëvendësim.