Analitik üsuldan istifadə edərək xətlərin kəsişmə nöqtəsini necə tapmaq olar. S.6.3 İki xəttin kəsişmə nöqtəsini necə tapmaq olar

Əgər iki xətt paralel deyilsə, onlar qaçılmaz olaraq bir nöqtədə kəsişəcəklər. kəşf edin koordinatları xal 2 xəttin kəsişməsinə, tapşırığın hansı məlumatı təqdim etməsindən asılı olaraq həm qrafik, həm də arifmetik olaraq icazə verilir.

Sizə lazım olacaq

– rəsmdə iki düz xətt;
– 2 düz xəttin tənlikləri.

Təlimatlar

1. Əgər xətlər artıq qrafikdə çəkilibsə, həlli qrafik olaraq tapın. Bunu etmək üçün hər iki və ya xətlərdən birini davam etdirin ki, onlar kəsişsin. Bundan sonra, kəsişmə nöqtəsini qeyd edin və ondan x oxuna perpendikulyar endirin (hər zamankı kimi, oh).

2. Oxda qeyd olunan miqyas işarələrindən istifadə edərək, həmin nöqtə üçün x dəyərini tapın. Oxun müsbət istiqamətindədirsə (sıfır işarəsinin sağında), onda onun dəyəri düzgün olacaq, əks halda mənfi olacaq;

3. Kəsişmə nöqtəsinin ordinatını da düzgün tapın. Nöqtənin proyeksiyası sıfır işarəsindən yuxarıda yerləşirsə, düzgündürsə, mənfidir; Nöqtənin koordinatlarını (x, y) şəklində yazın - məsələnin həlli budur.

4. Xətlər y=khx+b düsturları şəklində verilmişdirsə, siz problemi qrafik şəkildə də həll edə bilərsiniz: xətləri koordinat toruna çəkin və yuxarıda göstərilən üsulla həllini tapın.

5. Bu düsturlardan istifadə edərək problemin həllini tapmağa çalışın. Bunun üçün bu tənliklərdən sistem yaradıb həll edin. Tənliklər y=khx+b şəklində verilirsə, sadəcə olaraq hər iki tərəfi x ilə bərabərləşdirin və x-i kəşf edin. Sonra x-in qiymətini tənliklərdən birinə əlavə edin və y-ni tapın.

6. Cramer metodundan istifadə edərək bir həll tapa bilərsiniz. Bu halda tənlikləri A1x+B1y+C1=0 və A2x+B2y+C2=0 formasına endirin. Kramer düsturuna görə x=-(C1B2-C2B1)/(A1B2-A2B1) və y=-(A1C2-A2C1)/(A1B2-A2B1). Nəzərə alın ki, məxrəc sıfırdırsa, xətlər paralel və ya üst-üstə düşür və müvafiq olaraq kəsişmir.

7. Əgər sizə fəzada kanonik formada xətlər verilirsə, həll yolunu axtarmağa başlamazdan əvvəl xətlərin paralel olub olmadığını yoxlayın. Bunun üçün t-dən əvvəl göstəriciləri qiymətləndirin, əgər onlar mütənasibdirsə, deyək ki, x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t və x=-1+6t, y=-1+4t, z. =-5 +2t, onda xətlər paraleldir. Bundan əlavə, xətlər kəsişə bilər, bu halda sistemin həlli olmayacaq.

8. Xətlərin kəsişdiyini bilsəniz, onların kəsişmə nöqtəsini tapın. Birincisi, müxtəlif sətirlərdən dəyişənləri bərabərləşdirin, şərti olaraq birinci sətir üçün t-ni u və 2-ci sətir üçün v ilə əvəz edin. Əgər sizə x=t-1, y=2t+1, z=t+2 və x=t+1, y=t+1, z=2t+8 sətirləri verilsə, u-1 kimi ifadələr alacaqsınız. =v +1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. Bir tənlikdən u ifadə edin, onu başqa tənliklə əvəz edin və v tapın (bu məsələdə u=-2,v=-4). İndi kəsişmə nöqtəsini tapmaq üçün t yerinə alınan dəyərləri əvəz edin (birinci və ya ikinci tənlikdə fərqi yoxdur) və x=-3, y=-3, z nöqtəsinin koordinatlarını alın. =0.

2 kəsişən hesab etmək birbaşa Onları bir müstəvidə nəzərdən keçirmək kifayətdir, çünki kəsişən iki xətt eyni müstəvidə yerləşir. Bunların tənliklərini bilmək birbaşa, onların nöqtəsinin koordinatını aşkar etmək mümkündür kəsişmələr .

Sizə lazım olacaq

xətlərin tənlikləri

Təlimatlar

1. Dekart koordinatlarında xəttin ümumi tənliyi belə görünür: Ax+By+C = 0. İki xətt kəsişsin. Birinci sətrin tənliyi Ax+By+C = 0, 2-ci sətir Dx+Ey+F = 0. Aşkar etmək üçün bütün göstəricilər (A, B, C, D, E, F) göstərilməlidir bir nöqtə kəsişmələr bunlar birbaşa bu 2 xətti tənliyin sistemini həll etmək lazımdır.

2. Həll etmək üçün birinci tənliyi E, ikincini isə B ilə vurmaq rahatdır. Nəticədə tənliklər belə görünəcək: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. İkinci tənliyi çıxdıqdan sonra birincidən tənlik alırsınız: (AE- DB)x = FB-CE. Beləliklə, x = (FB-CE)/(AE-DB) analoji olaraq birinci tənlikdir ilkin sistem Siz D-ə, ikincini A-ya vura bilərsiniz, sonra ikincini birincidən yenidən çıxara bilərsiniz. Nəticədə, y = (CD-FA)/(AE-DB) nəticədə alınan x və y dəyərləri nöqtənin koordinatları olacaqdır kəsişmələr birbaşa .

3. Tənliklər birbaşa düz xəttin maillik bucağının tangensinə bərabər olan k bucaq indeksi vasitəsilə də yazıla bilər. Bu halda xəttin tənliyi y = kx+b formasına malikdir. İndi birinci sətrin tənliyi y = k1*x+b1, 2-ci xəttin tənliyi isə y = k2*x+b2 olsun.

4. Bu 2 tənliyin sağ tərəflərini bərabərləşdirsək, alarıq: k1*x+b1 = k2*x+b2. Buradan asanlıqla x = (b1-b2)/(k2-k1) əldə etmək olar. Bu x qiymətini hər hansı tənlikdə əvəz etdikdən sonra belə çıxır: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). X və y dəyərləri nöqtənin koordinatlarını təyin edəcək kəsişmələr birbaşa.Əgər iki xətt paralel və ya üst-üstə düşürsə, onda onların universal nöqtələri yoxdur və ya müvafiq olaraq hədsiz çox sayda universal nöqtələr var. Bu hallarda k1 = k2, nöqtələrin koordinatları üçün məxrəclər kəsişmələr yox olacaq, buna görə də sistemin klassik həlli olmayacaq, sistemin yalnız bir klassik həlli ola bilər, bu da şərtsizdir, çünki iki fərqli və paralel olmayan xəttin yalnız bir nöqtəsi ola bilər. kəsişmələr .

Mövzu ilə bağlı video

İki ölçülü fəzada iki xətt yalnız (x,y) koordinatları ilə müəyyən edilmiş bir nöqtədə kəsişir. Hər iki xətt onların kəsişmə nöqtəsindən keçdiyi üçün (x,y) koordinatları bu xətləri təsvir edən hər iki tənliyi təmin etməlidir. Bəzi əlavə bacarıqlarla siz parabolaların və digər kvadrat əyrilərin kəsişmə nöqtələrini tapa bilərsiniz.

Addımlar

İki xəttin kəsişmə nöqtəsi

Tənliyin sol tərəfindəki “y” dəyişənini təcrid edərək hər bir sətirin tənliyini yazın. Tənliyin digər şərtləri tənliyin sağ tərəfində yerləşdirilməlidir. Ola bilsin ki, sizə verilən tənlik “y” əvəzinə f(x) və ya g(x) dəyişənini ehtiva edəcək; bu halda, belə bir dəyişəni təcrid edin. Bir dəyişəni təcrid etmək üçün tənliyin hər iki tərəfində müvafiq riyaziyyatı yerinə yetirin.

Xətlərin tənlikləri sizə verilməyibsə, bildiyiniz məlumat əsasında.
Misal. Tənliklərlə təsvir edilmiş düz xətlər verilmişdir y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). İkinci tənlikdə "y" təcrid etmək üçün tənliyin hər iki tərəfinə 12 rəqəmini əlavə edin:

Siz hər iki xəttin kəsişmə nöqtəsini, yəni koordinatları (x, y) hər iki tənliyi təmin edən nöqtəni axtarırsınız. “y” dəyişəni hər bir tənliyin sol tərəfində olduğundan, hər bir tənliyin sağ tərəfində yerləşən ifadələr bərabərləşdirilə bilər. Yeni bir tənlik yazın.
- Misal. Çünki y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) Və y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x), onda aşağıdakı bərabərliyi yaza bilərik: .
“x” dəyişəninin qiymətini tapın. Yeni tənlikdə yalnız bir dəyişən var, "x". “x”i tapmaq üçün tənliyin hər iki tərəfində müvafiq riyaziyyatı yerinə yetirməklə həmin dəyişəni tənliyin sol tərəfində təcrid edin. Siz x = __ formasının tənliyini almalısınız (əgər bunu edə bilmirsinizsə, bu bölməyə baxın).
- Misal. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
- Əlavə et 2 x (\displaystyle 2x) tənliyin hər tərəfinə:
- 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
- Tənliyin hər tərəfdən 3-ü çıxarın:
- 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
- Tənliyin hər tərəfini 3-ə bölün:
- x = 3 (\displaystyle x=3).
“y” dəyişəninin qiymətini hesablamaq üçün “x” dəyişəninin tapılmış dəyərindən istifadə edin. Bunu etmək üçün tapılmış “x” dəyərini düz xəttin tənliyində (hər hansı) əvəz edin.
- Misal. x = 3 (\displaystyle x=3) Və y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
- y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
- y = 6 (\displaystyle y=6)
Cavabı yoxlayın. Bunun üçün “x” dəyərini xəttin digər tənliyində əvəz edin və “y” qiymətini tapın. Qəbul etsəniz fərqli məna"y", hesablamalarınızın düzgünlüyünü yoxlayın.
- Misal: x = 3 (\displaystyle x=3) Və y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
- y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
- y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
- y = 6 (\displaystyle y=6)
- Siz y üçün eyni dəyəri aldınız, ona görə də hesablamalarınızda heç bir səhv yoxdur.
Koordinatları (x,y) yazın."X" və "y" dəyərlərini hesablayaraq, iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapdınız. Kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını (x,y) şəklində yazın.
- Misal. x = 3 (\displaystyle x=3) Və y = 6 (\displaystyle y=6)
- Beləliklə, iki düz xətt koordinatları (3,6) olan bir nöqtədə kəsişir.
Xüsusi hallarda hesablamalar. Bəzi hallarda “x” dəyişəninin qiymətini tapmaq olmur. Ancaq bu, səhv etdiyiniz demək deyil. Aşağıdakı şərtlərdən biri yerinə yetirildikdə xüsusi hal baş verir:
- Əgər iki xətt paraleldirsə, onlar kəsişmir. Bu halda, “x” dəyişəni sadəcə olaraq azalacaq və tənliyiniz mənasız bərabərliyə çevriləcək (məsələn, 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). Bu halda cavabınızda xətlərin kəsişmədiyini və ya həlli olmadığını yazın.
- Hər iki tənlik bir düz xətti təsvir edirsə, onda sonsuz sayda kəsişmə nöqtələri olacaqdır. Bu vəziyyətdə, "x" dəyişəni sadəcə azalacaq və tənliyiniz ciddi bərabərliyə çevriləcək (məsələn, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). Bu halda cavabınızda iki xəttin üst-üstə düşdüyünü yazın.
Kvadrat funksiyalarla bağlı problemlər
1. Kvadrat funksiyanın tərifi. Kvadrat funksiyada bir və ya daha çox dəyişən ikinci dərəcəyə malikdir (lakin daha yüksək deyil), məsələn, x 2 (\displaystyle x^(2)) və ya y 2 (\displaystyle y^(2)). Kvadrat funksiyaların qrafikləri kəsişməyən və ya bir və ya iki nöqtədə kəsişən əyrilərdir. Bu bölmədə kvadrat əyrilərin kəsişmə nöqtəsini və ya nöqtələrini necə tapacağınızı sizə xəbər verəcəyik.
2. Tənliyin sol tərəfindəki “y” dəyişənini təcrid edərək hər bir tənliyi yenidən yazın. Tənliyin digər şərtləri tənliyin sağ tərəfində yerləşdirilməlidir.
  - Misal. Qrafiklərin kəsişmə nöqtəsini (nöqtələrini) tapın x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) Və
  - Tənliyin sol tərəfindəki "y" dəyişənini təcrid edin:
  - Və y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
  - Bu nümunədə sizə bir kvadrat və bir funksiya verilmişdir xətti funksiya. Unutmayın ki, sizə iki kvadratik funksiya verilirsə, hesablamalar aşağıda göstərilən addımlara bənzəyir.
3. Hər bir tənliyin sağ tərəfindəki ifadələri bərabərləşdirin.“y” dəyişəni hər bir tənliyin sol tərəfində olduğu üçün hər bir tənliyin sağ tərəfində yerləşən ifadələr bərabərləşdirilə bilər.
  - Misal. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) Və y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)
4. Yaranan tənliyin bütün şərtlərini onun sol tərəfinə köçürün və sağ tərəfə 0 yazın. Bunu etmək üçün bəzi əsas riyaziyyat işləri aparın. Bu, yaranan tənliyi həll etməyə imkan verəcəkdir.
  - Misal. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
  - Tənliyin hər iki tərəfindən "x" çıxarın:
  - x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
  - Tənliyin hər iki tərəfindən 7 çıxın:
5. Qərar ver kvadrat tənlik. Tənliyin bütün şərtlərini onun sol tərəfinə köçürməklə, kvadrat tənlik alırsınız. Üç yolla həll edilə bilər: xüsusi bir düsturdan istifadə edərək və.
  - Misal. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
  - Tənliyi faktorlara ayırdığınız zaman iki binomial alırsınız, onlar vurulduqda sizə orijinal tənliyi verir. Bizim nümunəmizdə birinci termin x 2 (\displaystyle x^(2)) x * x-ə parçalana bilər. Bunu yazın: (x)(x) = 0
  - Bizim nümunəmizdə sərbəst -6 termini aşağıdakı amillərə bölünə bilər: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
  - Bizim nümunəmizdə ikinci termin x (və ya 1x)-dir. 1 əldə edənə qədər dummy terminin hər bir cüt amilini (nümunəmizdə -6) əlavə edin. Bizim nümunəmizdə dummy termin uyğun amil cütü -2 və 3 ədədləridir ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), çünki − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
  - Tapılan nömrə cütü ilə boş yerləri doldurun: .
6. İki qrafikin kəsişməsinin ikinci nöqtəsini unutma. Problemi tez və çox diqqətlə həll etsəniz, ikinci kəsişmə nöqtəsini unuta bilərsiniz. İki kəsişmə nöqtəsinin x koordinatlarını necə tapmaq olar:
  - Nümunə (faktorizasiya). Əgər tənlikdə. (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) mötərizədə olan ifadələrdən biri 0-a bərabər olacaq, onda bütün tənlik 0-a bərabər olacaq. Buna görə də bunu belə yaza bilərik: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) Və x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (yəni tənliyin iki kökünü tapdınız).
  - Nümunə (düsturdan istifadə etmək və ya mükəmməl kvadratı tamamlamaq). Bu üsullardan birini istifadə edərkən, həll görünəcək kvadrat kök. Məsələn, nümunəmizdəki tənlik formasını alacaq x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)/2). Unutmayın ki, kvadrat kök götürərkən iki həll yolu tapacaqsınız. Bizim vəziyyətimizdə: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), Və 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Beləliklə, iki tənlik yazın və x-in iki qiymətini tapın.
7. Qrafiklər bir nöqtədə kəsişir və ya heç kəsişmir. Bu cür hallar aşağıdakı şərtlər yerinə yetirildikdə baş verir:
  - Qrafiklər bir nöqtədə kəsişirsə, onda kvadrat tənlik eyni amillərə parçalanır, məsələn, (x-1) (x-1) = 0 və 0-ın kvadrat kökü düsturda görünür ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). Bu vəziyyətdə tənliyin yalnız bir həlli var.
  - Qrafiklər ümumiyyətlə kəsişmirsə, onda tənliyi faktorlara ayırmaq olmaz və kvadrat kökü mənfi rəqəm(Məsələn, − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). Bu halda cavabınızda heç bir həll yolu olmadığını yazın.

Koordinat üsulu ilə bəzi həndəsi məsələləri həll edərkən xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq lazımdır. Çox vaxt bir müstəvidə iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını axtarmaq lazımdır, lakin bəzən kosmosda iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını təyin etməyə ehtiyac var. Bu yazıda iki xəttin kəsişdiyi nöqtənin koordinatlarını tapmaqla məşğul olacağıq.

Səhifə naviqasiyası.

İki xəttin kəsişmə nöqtəsi tərifdir.

Əvvəlcə iki xəttin kəsişmə nöqtəsini təyin edək.

Beləliklə, müstəvidə ümumi tənliklərlə müəyyən edilmiş iki düz xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq üçün verilmiş düz xətlərin tənliklərindən ibarət sistemi həll etmək lazımdır.

Məsələnin həllinə baxaq.

Misal.

X-9y+14=0 və 5x-2y-16=0 tənlikləri ilə müstəvidə düzbucaqlı koordinat sistemində müəyyən edilmiş iki xəttin kəsişmə nöqtəsini tapın.

Həll.

Bizə iki ümumi xət tənliyi verilir, gəlin onlardan bir sistem yaradaq: . Yaranan tənliklər sisteminin həlli onun birinci tənliyini x dəyişəninə görə həll etməklə və bu ifadəni ikinci tənliyə əvəz etməklə asanlıqla tapılır:

Tənliklər sisteminin tapılmış həlli bizə iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin istənilən koordinatlarını verir.

Cavab:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 və 5x-2y-16=0 .

Beləliklə, müstəvidə ümumi tənliklərlə müəyyən edilən iki düz xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq iki naməlum dəyişəni olan iki xətti tənlik sisteminin həllinə gəlir. Bəs müstəvidəki xətlər ümumi tənliklərlə deyil, fərqli tipli tənliklərlə verilirsə (bax: müstəvidəki xəttin tənlik növlərinə baxın)? Bu hallarda siz əvvəlcə xətlərin tənliklərini ümumi formaya endirə bilərsiniz və yalnız bundan sonra kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapa bilərsiniz.

Misal.

Və .

Həll.

Verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmazdan əvvəl onların tənliklərini -ə endiririk ümumi görünüş. Parametrik düz xətt tənliklərindən keçid bu xəttin ümumi tənliyi aşağıdakı kimidir:

İndi düz xəttin kanonik tənliyi ilə lazımi hərəkətləri yerinə yetirək:

Beləliklə, xətlərin kəsişmə nöqtəsinin istənilən koordinatları formalı tənliklər sisteminin həllidir. . Bunu həll etmək üçün istifadə edirik:

Cavab:

M 0 (-5, 1)

Müstəvidə iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmağın başqa bir yolu var. Xətlərdən biri formanın parametrik tənlikləri ilə verildikdə istifadə etmək rahatdır , digəri isə fərqli tipli düz xəttin tənliyidir. Bu halda, başqa bir tənlikdə x və y dəyişənlərinin yerinə ifadələri əvəz edə bilərsiniz. Və , buradan verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsinə uyğun olan qiyməti almaq mümkün olacaq. Bu halda xətlərin kəsişmə nöqtəsi koordinatlara malikdir.

Bu üsuldan istifadə edərək əvvəlki nümunədən xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapaq.

Misal.

Xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını təyin edin Və .

Həll.

Düz xətt ifadəsini tənliyə əvəz edək:

Yaranan tənliyi həll etdikdən sonra əldə edirik. Bu dəyər xətlərin ümumi nöqtəsinə uyğundur Və . Parametrik tənliklərə düz xətti əvəz etməklə kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını hesablayırıq:
.

Cavab:

M 0 (-5, 1) .

Şəkili tamamlamaq üçün daha bir məqamı müzakirə etmək lazımdır.

Müstəvidə iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmazdan əvvəl verilmiş xətlərin həqiqətən kəsişdiyinə əmin olmaq faydalıdır. Əgər ilkin xətlərin üst-üstə düşdüyü və ya paralel olduğu ortaya çıxarsa, o zaman belə xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaqdan söhbət gedə bilməz.

Əlbəttə ki, belə bir yoxlama olmadan edə bilərsiniz və dərhal formanın tənliklər sistemini yarada bilərsiniz və həll edin. Əgər tənliklər sisteminin unikal həlli varsa, o zaman ilkin xətlərin kəsişdiyi nöqtənin koordinatlarını verir. Əgər tənliklər sisteminin həlli yoxdursa, onda ilkin xətlərin paralel olduğu qənaətinə gələ bilərik (çünki verilmiş xəttin hər iki tənliyini eyni vaxtda təmin edəcək x və y cüt həqiqi ədədləri yoxdur). Tənliklər sisteminə sonsuz sayda həll yollarının mövcudluğundan belə nəticə çıxır ki, ilkin düz xətlərin sonsuz çoxlu ortaq nöqtələri var, yəni üst-üstə düşür.

Bu vəziyyətlərə uyğun olan nümunələrə baxaq.

Misal.

Xətlərin kəsişdiyini və kəsişdiyini öyrənin və kəsişirsə, kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın.

Həll.

Xətlərin verilmiş tənlikləri tənliklərə uyğundur Və . Bu tənliklərdən ibarət sistemi həll edək .

Aydındır ki, sistemin tənlikləri bir-biri vasitəsilə xətti şəkildə ifadə olunur (sistemin ikinci tənliyi birincidən onun hər iki hissəsini 4-ə vurmaqla alınır), buna görə də tənliklər sisteminin sonsuz sayda həlli var. Beləliklə, tənliklər eyni xətti müəyyən edir və biz bu xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaqdan danışa bilmərik.

Cavab:

Tənliklər və düzbucaqlı Oxy koordinat sistemində eyni düz xətti müəyyən edir, buna görə də kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq haqqında danışa bilmərik.

Misal.

Xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın Və , mümkünsə.

Həll.

Problemin vəziyyəti xətlərin kəsişməməsinə imkan verir. Bu tənliklərdən sistem yaradaq. Bunu həll etmək üçün müraciət edək, çünki bu, tənliklər sisteminin uyğunluğunu və ya uyğunsuzluğunu müəyyən etməyə imkan verir və uyğundursa, həllini tapın:

Gauss metodunun birbaşa keçidindən sonra sistemin son tənliyi yanlış bərabərliyə çevrildi, buna görə də tənliklər sisteminin həlli yoxdur. Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, ilkin xətlər paraleldir və bu xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaqdan söhbət gedə bilməz.

İkinci həll.

Verilmiş xətlərin kəsişib-kəsişmədiyini öyrənək.

- normal xətt vektoru , və vektor normal xətt vektorudur . İcranı yoxlayaq Və : bərabərlik doğrudur, ona görə də verilmiş xətlərin normal vektorları kollineardır. Sonra bu xətlər paralel və ya üst-üstə düşür. Beləliklə, biz orijinal xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapa bilmirik.

Cavab:

Verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq mümkün deyil, çünki bu xətlər paraleldir.

Misal.

2x-1=0 və kəsişirsə, xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın.

Həll.

Verilmiş xətlərin ümumi tənlikləri olan tənliklər sistemini tərtib edək: . Bu tənliklər sisteminin əsas matrisinin təyinedicisi sıfırdan fərqlidir , buna görə də tənliklər sistemi verilmiş xətlərin kəsişməsini göstərən unikal həllinə malikdir.

Xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq üçün sistemi həll etməliyik:

Nəticə həlli bizə xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını verir, yəni 2x-1=0 və .

Cavab:

Fəzada iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarının tapılması.

Üçölçülü fəzada iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları oxşar şəkildə tapılır.

Nümunələrin həlli yollarına baxaq.

Misal.

Tənliklərlə fəzada verilmiş iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın Və .

Həll.

Verilmiş xətlərin tənliklərindən tənliklər sistemi tərtib edək: . Bu sistemin həlli bizə fəzada xətlərin kəsişmə nöqtəsinin tələb olunan koordinatlarını verəcəkdir. Yazılı tənliklər sisteminin həllini tapaq.

Sistemin əsas matrisi formaya malikdir , və uzadılmış - .

müəyyən edək A və T matrisinin dərəcəsi. istifadə edirik

Perpendikulyar xətt

Bu tapşırıq, yəqin ki, məktəb dərsliklərində ən populyar və tələb olunanlardan biridir. Bu mövzuya əsaslanan tapşırıqlar müxtəlifdir. Bu, iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin tərifidir, bu həm də orijinal xəttdəki nöqtədən istənilən bucaqda keçən xəttin tənliyinin tərifidir.

Hesablamalarımızda istifadə edilən məlumatlardan istifadə edərək bu mövzunu əhatə edəcəyik

Məhz orada düz xəttin ümumi tənliyinin bucaq əmsalı olan tənliyə və əksinə çevrilməsinə və verilən şərtlərə uyğun olaraq düz xəttin qalan parametrlərinin təyin edilməsinə baxılırdı.

Bu səhifənin həsr olunduğu problemləri həll etmək üçün bizə nə çatışmır?

1. İki kəsişən xətt arasındakı bucaqlardan birinin hesablanması üçün düsturlar.

Tənliklərlə verilmiş iki sətirimiz varsa:

onda bucaqlardan biri belə hesablanır:

2. Verilmiş nöqtədən keçən yamaclı düz xəttin tənliyi

Formula 1-dən biz iki sərhəd dövlətini görə bilərik

a) o zaman və buna görə də bu iki verilmiş xətt paralel olduqda (və ya üst-üstə düşür)

b) , onda və buna görə də bu xətlər perpendikulyar olduqda, yəni düz bucaq altında kəsişir.

Bu cür məsələlərin həlli üçün verilmiş düz xəttdən başqa hansı ilkin məlumatlar ola bilər?

Düz xəttin nöqtəsi və ikinci düz xəttin onu kəsdiyi bucaq

Xəttin ikinci tənliyi

Bot hansı problemləri həll edə bilər?

1. İki sətir verilir (açıq və ya dolayı yolla, məsələn, iki nöqtə ilə). Kəsişmə nöqtəsini və onların kəsişdiyi bucaqları hesablayın.

2. Bir düz xətt, düz xətt üzərində nöqtə və bir bucaq verilmişdir. Verilmiş xətti müəyyən bucaq altında kəsən düz xəttin tənliyini təyin edin

Nümunələr

İki xətt tənliklərlə verilir. Bu xətlərin kəsişmə nöqtəsini və onların kəsişdiyi bucaqları tapın

line_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Aşağıdakı nəticəni alırıq

Birinci sətrin tənliyi

y = 2,2 x + (1,2)

İkinci xəttin tənliyi

y = 0,4285714285714 x + (-5)

İki düz xəttin kəsişmə bucağı (dərəcə ilə)

-42.357454705937

İki xəttin kəsişmə nöqtəsi

x = -3.5

y = -6,5

Unutmayın ki, iki sətrin parametrləri vergüllə, hər bir sətrin parametrləri isə nöqtəli vergüllə ayrılır.

Düz xətt iki nöqtədən (1:-4) və (5:2) keçir. (-2:-8) nöqtəsindən keçən və ilkin xətti 30 dərəcə bucaq altında kəsən xəttin tənliyini tapın.

Biz bir düz xətti bilirik, çünki onun keçdiyi iki nöqtəni bilirik.

İkinci xəttin tənliyini müəyyən etmək qalır. Biz bir nöqtəni bilirik, lakin ikinci yerinə birinci xəttin ikinci ilə kəsişdiyi bucaq göstərilir.

Deyəsən hər şey məlumdur, amma burada əsas məsələ səhv etməməkdir. Söhbət x oxu ilə xətt arasında deyil, birinci və ikinci xətt arasındakı bucaqdan (30 dərəcə) gedir.

Ona görə də biz bu cür paylaşım edirik. Birinci xəttin parametrlərini təyin edək və onun x oxunu hansı bucaq altında kəsdiyini öyrənək.

sətir xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Ümumi tənlik Ax+By+C = 0

Əmsal A = -6

B faktoru = 4

C faktoru = 22

Əmsal a= 3,666666666667

əmsalı b = -5,5

əmsalı k = 1,5

Oxa meyl bucağı (dərəcə ilə) f = 56.309932474019

Əmsal p = 3,0508510792386

Əmsal q = 2,5535900500422

Nöqtələr arası məsafə=7.211102550928

Birinci xəttin oxu bucaq altında kəsdiyini görürük 56.309932474019 dərəcə.

Mənbə məlumatları ikinci xəttin birinci ilə necə kəsişdiyini dəqiq demir. Axı siz şərtləri ödəyən iki xətt qura bilərsiniz, birincisi SAAT ƏQBƏRİNƏ 30 dərəcə, ikincisi isə saat əqrəbinin əksinə 30 dərəcə fırladı.

Gəlin onları sayaq

İkinci sətir saat əqrəbinin əksinə 30 dərəcə fırlanırsa, ikinci xətt x oxu ilə kəsişmə dərəcəsinə sahib olacaq 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 dərəcə

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Düz xətt parametrləri verilmiş parametrlər

Ümumi tənlik Ax+By+C = 0

A əmsalı = 23.011106998916

B əmsalı = -1,4840558255286

C əmsalı = 34,149767393603

x/a+y/b seqmentlərində düz xəttin tənliyi = 1

Əmsal a= -1,4840558255286

əmsalı b = 23.011106998916

Bucaq əmsalı y = kx + b olan düz xəttin tənliyi

əmsalı k = 15,505553499458

Oxa meyl bucağı (dərəcə ilə) f = 86.309932474019

x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0 xəttinin normal tənliyi

Əmsal p = -1,4809790664999

Əmsal q = 3,0771888256405

Nöqtələr arası məsafə=23.058912962428

Nöqtədən düz xəttə qədər olan məsafə li =

yəni ikinci sətir tənliyimiz y=-dir 15.505553499458x+ 23.011106998916

Bununla onlayn kalkulyator müstəvidə xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapa bilərsiniz. verilmiş ətraflı həlli izahatlarla. Xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq üçün xətlərin tənliyinin növünü ("kanonik", "parametrik" və ya "ümumi") təyin edin, xanalara xətlərin tənliklərinin əmsallarını daxil edin və "Həll et" düyməsini basın. " düyməsi. Aşağıdakı nəzəri hissəyə və ədədi nümunələrə baxın.

Xəbərdarlıq

Bütün xanalar silinsin?

Bağlayın Təmizləyin

Məlumat daxiletmə təlimatları.Ədədlər tam ədədlər (məsələn: 487, 5, -7623 və s.), onluq (məs. 67., 102.54 və s.) və ya kəsr kimi daxil edilir. Kəsr a/b şəklində daxil edilməlidir, burada a və b (b>0) tam və ya onluq ədəddir. Nümunələr 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 və s.

Müstəvidə xətlərin kəsişmə nöqtəsi - nəzəriyyə, nümunələr və həllər

1. Ümumi formada verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsi.

Oksi L 1 və L 2:

Genişləndirilmiş bir matris quraq:

Əgər B" 2 =0 və İLƏ" 2 =0, onda xətti tənliklər sisteminin çoxlu həlli var. Buna görə düz L 1 və L 2 matç. Əgər B" 2 =0 və İLƏ" 2 ≠0, onda sistem uyğunsuzdur və buna görə də xətlər paraleldir və yoxdur ortaq nöqtə. Əgər B" 2 ≠0 olarsa, xətti tənliklər sisteminin unikal həlli olur. İkinci tənlikdən tapırıq y: y=İLƏ" 2 /B" 2 və əldə edilən dəyəri tapdığımız birinci tənliyə əvəz etməklə x: x=−İLƏ 1 −B 1 y. Xətlərin kəsişmə nöqtəsini aldıq L 1 və L 2: M(x, y).