Necə həll etmək olar mənfi dərəcə. Eksponentasiya

Aydındır ki, başqa kəmiyyətlər kimi gücə malik ədədlər də əlavə edilə bilər , əlamətləri ilə bir-birinin ardınca əlavə etməklə.

Beləliklə, a 3 və b 2-nin cəmi 3 + b 2-dir.
3 - b n və h 5 -d 4-ün cəmi 3 - b n + h 5 - d 4-dür.

Oranlar eyni dəyişənlərin bərabər gücləriəlavə və ya çıxa bilər.

Beləliklə, 2a 2 və 3a 2-nin cəmi 5a 2-yə bərabərdir.

Bu da aydındır ki, əgər siz iki kvadrat a, üç kvadrat a və ya beş kvadrat a alsanız.

Amma dərəcələr müxtəlif dəyişənlər Və müxtəlif dərəcələr eyni dəyişənlər, işarələri ilə əlavə edilərək tərtib edilməlidir.

Beləliklə, 2 və 3-ün cəmi 2 + a 3-ün cəmidir.

Aydındır ki, a-nın kvadratı və a-nın kubu a-nın kvadratının iki qatına deyil, a-nın iki qatına bərabərdir.

3 b n və 3a 5 b 6-nın cəmi 3 b n + 3a 5 b 6-dır.

Çıxarma səlahiyyətlər əlavə ilə eyni şəkildə həyata keçirilir, istisna olmaqla, əlavələrin əlamətləri müvafiq olaraq dəyişdirilməlidir.

Və ya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Çoxalma gücləri

Güclü ədədləri, digər kəmiyyətlər kimi, onları bir-birinin ardınca yazmaqla, aralarında vurma işarəsi ilə və ya olmadan çoxaltmaq olar.

Beləliklə, a 3-ün b 2-yə vurulmasının nəticəsi 3 b 2 və ya aaabb olur.

Və ya:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Son nümunədəki nəticə eyni dəyişənləri əlavə etməklə sıralana bilər.
İfadə aşağıdakı formanı alacaq: a 5 b 5 y 3.

Bir neçə ədədi (dəyişənləri) güclərlə müqayisə edərək görə bilərik ki, əgər onlardan hər hansı ikisi vurularsa, nəticədə gücü bərabər olan ədəd (dəyişən) olur. məbləğ termin dərəcələri.

Beləliklə, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Burada 5 vurmanın nəticəsinin gücüdür, 2 + 3-ə bərabərdir, şərtlərin səlahiyyətlərinin cəmidir.

Beləliklə, a n .a m = a m+n .

a n üçün a, n-nin gücü qədər amil kimi qəbul edilir;

Və m dərəcəsi m bərabər olduğu qədər əmsal kimi qəbul edilir;

Buna görə də, eyni əsaslara malik olan səlahiyyətlər, səlahiyyətlərin eksponentlərini əlavə etməklə vurula bilər.

Beləliklə, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Və x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Və ya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) çarpın.
Cavab: x 4 - y 4.
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) çarpın.

Bu qayda göstəriciləri olan ədədlər üçün də keçərlidir mənfi.

1. Beləliklə, a -2 .a -3 = a -5 . Bunu (1/aa) kimi yazmaq olar.(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

a + b a - b ilə vurularsa, nəticə 2 - b 2 olacaq: yəni

İki ədədin cəmi və ya fərqinin vurulmasının nəticəsi onların kvadratlarının cəminə və ya fərqinə bərabərdir.

İki ədədin cəmini və fərqini çarparsanız kvadrat, nəticə bu ədədlərin cəminə və ya fərqinə bərabər olacaq dördüncü dərəcə.

Beləliklə, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Dərəcələrin bölünməsi

Güclü ədədləri digər ədədlər kimi dividenddən çıxmaqla və ya kəsr şəklində yerləşdirməklə bölmək olar.

Beləliklə, a 3 b 2-nin b 2-yə bölünməsi a 3-ə bərabərdir.

Və ya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5-in 3-ə bölünməsinin yazılması $\frac(a^5)(a^3)$ kimi görünür. Amma bu 2-yə bərabərdir. Bir sıra nömrələrdə
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
istənilən ədədi digərinə bölmək olar və göstərici bərabər olacaqdır fərq bölünən ədədlərin göstəriciləri.

Eyni baza ilə dərəcələri bölərkən onların göstəriciləri çıxarılır..

Beləliklə, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Yəni, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Və a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yəni, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Və ya:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Qayda olan nömrələr üçün də keçərlidir mənfi dərəcə dəyərləri.
-5-in -3-ə bölünməsinin nəticəsi -2-dir.
Həmçinin, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 və ya $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Bu cür əməliyyatlardan cəbrdə çox geniş istifadə olunduğundan, vurma və səlahiyyətlərin bölünməsini çox yaxşı mənimsəmək lazımdır.

Güclü ədədləri ehtiva edən kəsrlərlə misalların həlli nümunələri

1. Göstəriciləri $\frac(5a^4)(3a^2)$ qədər azaldın Cavab: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Göstəriciləri $\frac(6x^6)(3x^5)$ azaldın. Cavab: $\frac(2x)(1)$ və ya 2x.

3. a 2 /a 3 və a -3 /a -4 göstəricilərini azaldın və ortaq məxrəcə gətirin.
a 2 .a -4 a -2 birinci paydır.
a 3 .a -3 0 = 1, ikinci paydır.
a 3 .a -4 a -1 , ümumi paydır.
Sadələşdirmədən sonra: a -2 /a -1 və 1/a -1 .

4. 2a 4 /5a 3 və 2 /a 4 göstəricilərini azaldın və ortaq məxrəcə gətirin.
Cavab: 2a 3 /5a 7 və 5a 5 /5a 7 və ya 2a 3 /5a 2 və 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4-ü (a - b)/3-ə vurun.

6. (a 5 + 1)/x 2-ni (b 2 - 1)/(x + a) ilə vurun.

7. b 4 /a -2-ni h -3 /x və a n /y -3-ə vurun.

8. 4 /y 3-ü 3 /y 2-yə bölün. Cavab: a/y.

9. (h 3 - 1)/d 4-ü (d n + 1)/saata bölün.

Cəbrdə və bütün riyaziyyatda əsas xüsusiyyətlərdən biri dərəcədir. Əlbəttə ki, 21-ci əsrdə bütün hesablamaları onlayn kalkulyatorda etmək olar, lakin beyin inkişafı üçün bunu özünüz necə edəcəyinizi öyrənmək daha yaxşıdır.

Bu yazıda bu təriflə bağlı ən vacib məsələləri nəzərdən keçirəcəyik. Məhz, bunun ümumiyyətlə nə olduğunu və əsas funksiyalarının nə olduğunu, riyaziyyatda hansı xüsusiyyətlərin olduğunu anlayacağıq.

Hesablamanın necə göründüyünə və əsas düsturların nə olduğuna dair nümunələrə baxaq. Kəmiyyətlərin əsas növlərinə və onların digər funksiyalardan nə ilə fərqləndiyinə baxaq.

Bu kəmiyyətdən istifadə edərək necə həll edəcəyimizi anlayaq müxtəlif vəzifələr. Nümunələrlə göstərəcəyik ki, sıfır gücə yüksəltmək, irrasional, mənfi və s.

Onlayn eksponentasiya kalkulyatoru

Bir ədədin gücü nədir

“Rəqəmi gücə çatdırmaq” ifadəsi nəyi nəzərdə tutur?

Ədədin n gücü ardıcıl olaraq a n dəfə böyüklük amillərinin məhsuludur.

Riyazi olaraq belə görünür:

a n = a * a * a * …a n .

Məsələn:

Üçüncü dərəcədə 2 3 = 2. = 2 * 2 * 2 = 8;
4 2 = 4 addım atmaq. iki = 4 * 4 = 16;
5 4 = 5 addım. dörd = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
5 addımda 10 5 = 10. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
4 addımda 10 4 = 10. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Aşağıda 1-dən 10-a qədər kvadratlar və kublar cədvəli verilmişdir.

1-dən 10-a qədər dərəcələr cədvəli

Aşağıda təbii ədədlərin müsbət güclərə - "1-dən 100-ə qədər" artırılmasının nəticələri verilmişdir.

Ch-lo	2-ci st.	3-cü mərhələ
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Dərəcələrin xüsusiyyətləri

Belə bir riyazi funksiyanın xarakterik xüsusiyyəti nədir? Əsas xüsusiyyətlərə baxaq.

Alimlər aşağıdakıları müəyyən etdilər bütün dərəcələr üçün xarakterik əlamətlər:

a n * a m = (a) (n+m) ;
a n: a m = (a) (n-m) ;
(a b) m =(a) (b*m) .

Nümunələrlə yoxlayaq:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Digər tərəfdən, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Eynilə: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Əks halda 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Fərqli olarsa necə? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Gördüyünüz kimi, qaydalar işləyir.

Amma nə haqqında toplama və çıxma ilə? Bu sadədir. Əvvəlcə eksponentasiya, sonra isə toplama və çıxma aparılır.

Nümunələrə baxaq:

3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Diqqət yetirin: əvvəlcə çıxsanız, qayda yerinə yetirilməyəcək: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Ancaq bu halda, ilk növbədə əlavəni hesablamalısınız, çünki mötərizədə hərəkətlər var: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Necə istehsal etmək olar hesablamalar daha çox çətin hallar ? Sifariş eynidir:

mötərizələr varsa, onlardan başlamaq lazımdır;
sonra eksponentasiya;
sonra vurma və bölmə əməliyyatlarını yerinə yetirin;
toplamadan, çıxmadan sonra.

Yemək spesifik xassələri, bütün dərəcələr üçün xarakterik deyil:

m dərəcəsinə qədər a ədədinin n-ci kökü belə yazılacaq: a m / n.
Kəsiri qüvvəyə qaldırarkən: həm pay, həm də onun məxrəci bu prosedura tabedir.
Bir iş qurarkən müxtəlif nömrələr bir gücə, ifadə bu ədədlərin hasilinə verilmiş gücə uyğun olacaq. Yəni: (a * b) n = a n * b n .
Ədədi mənfi gücə qaldırarkən, 1-i eyni əsrdə bir ədədə bölmək lazımdır, lakin "+" işarəsi ilə.
Əgər kəsrin məxrəci mənfi qüvvəyə bərabərdirsə, onda bu ifadə payın hasilinə və məxrəc müsbət qüvvəyə bərabər olacaqdır.
Hər hansı bir rəqəm 0 = 1 gücünə və gücə. 1 = özünüzə.

Bu qaydalar bəzi hallarda vacibdir; biz onları aşağıda daha ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.

Mənfi eksponentli dərəcə

Nə vaxt etməli mənfi dərəcə, yəni göstərici mənfi olduqda?

4 və 5-ci xassələrə əsaslanır(yuxarıdakı nöqtəyə baxın), belə çıxır:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

Və əksinə:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Bəs bu kəsrdirsə?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Təbii göstərici ilə dərəcə

Göstəriciləri tam ədədlərə bərabər olan dərəcə kimi başa düşülür.

Xatırlamaq lazım olanlar:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1... və s.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3... və s.

Bundan əlavə, əgər (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... onda nəticə “+” işarəsi ilə olacaq. Mənfi ədəd tək gücə qaldırılırsa, əksinə.

Ümumi xüsusiyyətlər və yuxarıda təsvir edilən bütün spesifik xüsusiyyətlər də onlara xasdır.

Fraksiya dərəcəsi

Bu tip bir sxem kimi yazıla bilər: A m / n. Belə oxuyun: A rəqəminin n-ci kökündən m-ə qədər.

Kəsr göstərici ilə istədiyinizi edə bilərsiniz: onu azaltmaq, hissələrə bölmək, başqa bir gücə qaldırmaq və s.

İrrasional göstərici ilə dərəcə

α irrasional ədəd və A ˃ 0 olsun.

Belə bir göstərici ilə dərəcənin mahiyyətini anlamaq üçün, Müxtəlif mümkün hallara baxaq:

A = 1. Nəticə 1-ə bərabər olacaq. Aksiom olduğu üçün - bütün güclərdə 1 birə bərabərdir;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – rasional ədədlər;

0˂А˂1.

Bu halda, əksinədir: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 ikinci abzasdakı kimi eyni şərtlərdə.

Məsələn, eksponent π ədədidir. Bu rasionaldır.

r 1 – bu halda 3-ə bərabərdir;

r 2 – 4-ə bərabər olacaq.

Sonra A = 1 üçün 1 π = 1.

A = 2, sonra 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, sonra (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Belə dərəcələr yuxarıda təsvir edilən bütün riyazi əməliyyatlar və spesifik xüsusiyyətlərlə xarakterizə olunur.

Nəticə

Ümumiləşdirək - bu kəmiyyətlər nə üçün lazımdır, bu cür funksiyaların üstünlükləri nələrdir? Əlbəttə ki, ilk növbədə, nümunələri həll edərkən riyaziyyatçıların və proqramçıların həyatını sadələşdirirlər, çünki hesablamaları minimuma endirməyə, alqoritmləri qısaltmağa, məlumatları sistemləşdirməyə və daha çox şeyə imkan verir.

Bu bilik başqa harada faydalı ola bilər? İstənilən işçi ixtisasında: tibb, farmakologiya, stomatologiya, tikinti, texnologiya, mühəndislik, dizayn və s.

Məktəbdən hamımız eksponentasiya qaydasını bilirik: N eksponentli istənilən ədəd bu ədədi N dəfə özünə vurmağın nəticəsinə bərabərdir. Başqa sözlə, 7-nin 3-ün qüvvəsinə görə 7-nin özünə üç dəfə vurulması, yəni 343. Başqa bir qayda odur ki, istənilən kəmiyyəti 0-ın qüvvəsinə qaldırmaq bir verir, mənfi kəmiyyəti yüksəltmək isə adi yüksəltmənin nəticəsidir. cütdürsə güc, təkdirsə mənfi işarə ilə eyni nəticə.

Qaydalar həm də nömrənin necə qaldırılacağına cavab verir mənfi dərəcə. Bunu etmək üçün qurmaq lazımdır adi şəkildə göstəricinin modulu üçün tələb olunan dəyər və sonra vahidi nəticəyə bölün.

Bu qaydalardan aydın olur ki, icra real problemlər böyük miqdarların idarə edilməsi mövcudluğu tələb edəcəkdir texniki vasitələr. Öz əlinizlə iyirmi-otuza qədər rəqəmlərin maksimum diapazonunu, sonra isə üç-dörd dəfə çoxalda bilərsiniz. Bu, nəticəyə görə birini bölmək deyil. Buna görə də, əlində xüsusi mühəndislik kalkulyatoru olmayanlar üçün Excel-də bir rəqəmi mənfi gücə necə qaldıracağınızı sizə xəbər verəcəyik.

Excel proqramında problemlərin həlli

Eksponentasiya ilə bağlı problemləri həll etmək üçün Excel sizə iki seçimdən birini istifadə etməyə imkan verir.

Birincisi, standart "qapaq" işarəsi olan formulun istifadəsidir. İş vərəqinin hüceyrələrinə aşağıdakı məlumatları daxil edin:

Eyni şəkildə, istədiyiniz dəyəri istənilən gücə yüksəldə bilərsiniz - mənfi, fraksiya. Gəlin aşağıdakı addımları yerinə yetirək və rəqəmi mənfi gücə necə qaldırmaq barədə suala cavab verək. Misal:

Siz =B2^-C2-ni birbaşa düsturda düzəldə bilərsiniz.

İkinci seçim, iki tələb edən hazır "Dərəcə" funksiyasından istifadə etməkdir tələb olunan arqumentlər- rəqəm və göstərici. Onu istifadə etməyə başlamaq üçün düsturun başlanğıcını göstərən istənilən boş xanaya bərabər işarəsini (=) qoyun və yuxarıdakı sözləri daxil edin. Yalnız əməliyyatda iştirak edəcək iki hüceyrəni seçmək (və ya xüsusi nömrələri əl ilə göstərmək) və Enter düyməsini sıxmaq qalır. Bir neçə sadə nümunəyə baxaq.

Formula

Nəticə

DƏRƏCƏ(B2;C2)

DƏRƏCƏ(B3;C3)

0,002915

Gördüyünüz kimi, Excel-dən istifadə edərək rəqəmi mənfi gücə və adi gücə necə yüksəltmək barədə mürəkkəb bir şey yoxdur. Axı, bu problemi həll etmək üçün həm tanış "qapaq" simvolundan, həm də yadda saxlamaq asan olan proqramın daxili funksiyasından istifadə edə bilərsiniz. Bu, mütləq bir artıdır!

Daha mürəkkəb nümunələrə keçək. Ədədin mənfi kəsr gücünə necə yüksəldilməsi qaydasını xatırlayaq və Excel-də bu problemin çox asanlıqla həll olunduğunu görəcəyik.

Fraksiya göstəriciləri

Bir sözlə, kəsr göstəricisi olan ədədin hesablanması alqoritmi aşağıdakı kimidir.

Kəsiri düzgün və ya yanlış kəsrə çevirin.
Nömrəmizi nəticədə çevrilmiş fraksiyanın payına qədər qaldırın.
Əvvəlki abzasda alınan ədəddən kökün göstəricisinin birinci mərhələdə alınan kəsrin məxrəci olması şərti ilə kökü hesablayın.

Razılaşın ki, hətta kiçik ədədlər və düzgün fraksiyalarla işləyərkən belə hesablamalar çox vaxt apara bilər. Excel elektron cədvəl prosessorunun hansı rəqəmin hansı gücə qaldırıldığına əhəmiyyət verməməsi yaxşıdır. İş yerində həll etməyə çalışın Excel vərəqi aşağıdakı misal:

Yuxarıdakı qaydalardan istifadə edərək, hesablamanın düzgün aparıldığını yoxlaya və əmin ola bilərsiniz.

Məqaləmizin sonunda düsturlar və nəticələr olan bir cədvəl şəklində bir ədədin mənfi gücə yüksəldilməsinin bir neçə nümunəsini, həmçinin kəsr ədədləri və gücləri ilə işləməyin bir neçə nümunəsini təqdim edəcəyik.

Nümunə cədvəli

Excel iş vərəqinizdə aşağıdakı nümunələrə baxın. Hər şeyin düzgün işləməsi üçün formulun surətini çıxararkən qarışıq istinaddan istifadə etməlisiniz. Qaldırılan nömrəni ehtiva edən sütunun nömrəsini və göstəricini ehtiva edən cərgənin nömrəsini düzəldin. Düsturunuz belə görünməlidir: “=$B4^C$3.”

Nömrə/dərəcə

Nəzərə alın ki, müsbət ədədlər (hətta tam olmayanlar da) heç bir eksponent üçün problemsiz hesablana bilər. Hər hansı bir ədədi tam ədədlərə qaldırmaqla bağlı heç bir problem yoxdur. Ancaq mənfi ədədi kəsr gücünə qaldırmaq sizin üçün səhv olacaq, çünki mənfi ədədlərin artırılması ilə bağlı məqaləmizin əvvəlində göstərilən qaydaya əməl etmək mümkün deyil, çünki paritet yalnız BÜTÜN ədədin xarakterik xüsusiyyətidir.

Mövzu üzrə dərs və təqdimat: "Mənfi göstəricili göstərici. Tərif və məsələnin həlli nümunələri"

Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, öz şərhlərinizi, rəylərinizi, arzularınızı bildirməyi unutmayın. Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılıb.

Integral onlayn mağazasında 8-ci sinif üçün tədris vəsaitləri və simulyatorlar
Dərslik üçün dərslik Muravin G.K.

Dərslik üçün dərslik Alimov Ş.A.

Mənfi göstərici ilə dərəcənin təyini
Uşaqlar, biz rəqəmləri güclərə çatdırmağı yaxşı bacarırıq.

Məsələn: $2^4=2*2*2*2=16$ $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.
Biz yaxşı bilirik ki, sıfır qüvvəsi olan istənilən ədəd birə bərabərdir. $a^0=1$, $a≠0$.
Sual yaranır ki, rəqəmi mənfi gücə qaldırsanız nə olar? Məsələn, $2^(-2)$ rəqəmi nəyə bərabər olacaq?
Bu sualı verən ilk riyaziyyatçılar qərara gəldilər ki, təkəri yenidən kəşf etməyə dəyməz və dərəcələrin bütün xüsusiyyətlərinin dəyişməz qalması yaxşı idi. Yəni, eyni baza ilə gücləri çoxaldarkən eksponentlər toplanır.
Bu halı nəzərdən keçirək: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.

Biz tapdıq ki, belə ədədlərin hasili bir verməlidir. Məhsuldakı vahid qarşılıqlı ədədləri vurmaqla əldə edilir, yəni $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.
Bu cür mülahizə aşağıdakı tərifə gətirib çıxardı. Tərif. Əgər $n$ - natural ədəd

və $a≠0$, onda bərabərlik yerinə yetirilir: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
Tez-tez istifadə olunan mühüm şəxsiyyət: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.

Xüsusilə, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Həll nümunələri
Misal 1.

Hesablayın: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
Həll.
Hər bir termini ayrıca nəzərdən keçirək.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Əlavə və çıxma əməliyyatlarını yerinə yetirmək qalır: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.

Cavab: $6\frac(1)(4)$.
Misal 2.

Hesablayın: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
Verilmiş ədədi $\frac(1)(729)$ sadə ədədinin gücü kimi təqdim edin.
Lakin 729 9 ilə bitən sadə ədəd deyil. Bu ədədin üçünün qüvvəsi olduğunu güman etmək olar. 729-u ardıcıl olaraq 3-ə bölün.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Altı əməliyyat yerinə yetirildi və bu o deməkdir: $729=3^6$.
Tapşırığımız üçün:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Cavab: $3^(-6)$.

Misal 3. İfadəni güc kimi ifadə edin: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Həll. Birinci hərəkət həmişə mötərizə içərisində yerinə yetirilir, sonra vurma $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4))))(a^((-5)))) a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Cavab: $a$.

Misal 4. Şəxsiyyəti sübut edin:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Həll.
Sol tərəfdə, mötərizədə hər bir faktoru ayrıca nəzərdən keçiririk.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y) ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2) )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Bölmə apardığımız kəsrə keçək.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Gəlin bölgünü edək.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Biz sübut etməli olduğumuz düzgün şəxsiyyəti əldə etdik.

Dərsin sonunda güclərlə işləmə qaydalarını bir daha yazacağıq, burada göstərici tam ədəddir.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Müstəqil həll ediləcək problemlər

1. Hesablayın: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Verilmiş ədədi $\frac(1)(16384)$ sadə ədədinin gücü kimi təqdim edin.
3. İfadəni güc kimi ifadə edin:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Şəxsiyyəti sübut edin:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Dərəcə formulları mürəkkəb ifadələrin azaldılması və sadələşdirilməsi prosesində, tənliklərin və bərabərsizliklərin həllində istifadə olunur.

Nömrə c edir n- ədədin gücü a Nə vaxt:

Dərəcələrlə əməliyyatlar.

1. Eyni baza ilə dərəcələri vurmaqla onların göstəriciləri əlavə edilir:

a m·a n = a m + n .

2. Eyni əsaslı dərəcələri bölərkən onların göstəriciləri çıxılır:

3. Məhsulun gücü 2 və ya daha çox amillər bu amillərin səlahiyyətlərinin hasilinə bərabərdir:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Kəsirin dərəcəsi divident və bölən dərəcələrinin nisbətinə bərabərdir:

(a/b) n = a n /b n .

5. Gücü bir gücə yüksəltməklə, eksponentlər vurulur:

(a m) n = a m n .

Yuxarıdakı hər bir düstur soldan sağa və əksinə istiqamətlərdə doğrudur.

Məsələn. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Köklərlə əməliyyatlar.

1. Bir neçə amillərin hasilinin kökü bu amillərin köklərinin hasilinə bərabərdir:

2. Nisbətin kökü dividend və köklərin bölən nisbətinə bərabərdir:

3. Bir qüdrətə kök qaldırarkən radikal rəqəmi bu gücə yüksəltmək kifayətdir:

4. Kökün dərəcəsini artırsanız n bir dəfə və eyni zamanda qurmaq n inci güc radikal bir rəqəmdir, onda kökün dəyəri dəyişməyəcək:

5. Əgər kökün dərəcəsini azaldırsanız n eyni zamanda kökü çıxarın n- radikal ədədin ci gücü, onda kökün qiyməti dəyişməyəcək:

Mənfi eksponentli dərəcə. Müsbət olmayan (tam) eksponentli müəyyən bir ədədin gücü, qeyri-müsbət eksponentin mütləq qiymətinə bərabər olan göstəricisi olan eyni ədədin gücünə bölünməsi kimi müəyyən edilir: