İki düz xəttin kəsişməsi onlayn. Xətlər kəsişirmi: müstəvidə seqmentlərin kəsişməsi

Koordinat metodundan istifadə edərək həndəsi məsələni həll etmək üçün həllində koordinatları istifadə olunan kəsişmə nöqtəsi lazımdır. Bir müstəvidə iki xəttin kəsişməsinin koordinatlarını axtarmaq və ya kosmosda eyni xətlərin koordinatlarını təyin etmək lazım olduqda bir vəziyyət yaranır. Bu məqalədə verilmiş xətlərin kəsişdiyi nöqtələrin koordinatlarının tapılması halları nəzərdən keçirilir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İki xəttin kəsişmə nöqtələrini müəyyən etmək lazımdır.

Müstəvidə xətlərin nisbi mövqeyinə aid bölmə göstərir ki, onlar üst-üstə düşə, paralel ola, bir ümumi nöqtədə kəsişə və ya kəsişə bilər. Kosmosda bir ortaq nöqtə varsa, iki xətt kəsişən adlanır.

Xətlərin kəsişmə nöqtəsinin tərifi belə səslənir:

Tərif 1

İki xəttin kəsişdiyi nöqtə onların kəsişmə nöqtəsi adlanır. Başqa sözlə, kəsişən xətlərin nöqtəsi kəsişmə nöqtəsidir.

Aşağıdakı şəklə baxaq.

İki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmazdan əvvəl aşağıdakı nümunəni nəzərdən keçirmək lazımdır.

Əgər müstəvidə O x y koordinat sistemi varsa, onda iki a və b düz xətti göstərilmişdir. a xətti A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, b xətti üçün - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 formasının ümumi tənliyinə uyğundur. Onda M 0 (x 0 , y 0) müstəvinin müəyyən nöqtəsidir, M 0 nöqtəsinin bu xətlərin kəsişmə nöqtəsi olub-olmayacağını müəyyən etmək lazımdır;

Problemi həll etmək üçün tərifə riayət etmək lazımdır. Sonra xətlər koordinatları verilmiş A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 və A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 tənliklərinin həlli olan nöqtədə kəsişməlidir. Bu o deməkdir ki, kəsişmə nöqtəsinin koordinatları bütün verilmiş tənliklərdə əvəz olunur. Əvəz etdikdən sonra düzgün eyniliyi verirlərsə, M 0 (x 0 , y 0) onların kəsişmə nöqtəsi hesab olunur.

Misal 1

5 x - 2 y - 16 = 0 və 2 x - 5 y - 19 = 0 kəsişən iki xətt verilmişdir. Koordinatları (2, - 3) olan M 0 nöqtəsi kəsişmə nöqtəsi olacaqmı.

Həll

Xətlərin kəsişməsinin etibarlı olması üçün M 0 nöqtəsinin koordinatlarının xətlərin tənliklərini təmin etməsi lazımdır. Bu, onları əvəz etməklə yoxlanıla bilər. Bunu anlayırıq

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Hər iki bərabərlik doğrudur, yəni M 0 (2, - 3) verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsidir.

Bu həlli aşağıdakı şəklin koordinat xəttində təsvir edək.

Cavab: koordinatları (2, - 3) olan verilmiş nöqtə verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsi olacaqdır.

Misal 2

5 x + 3 y - 1 = 0 və 7 x - 2 y + 11 = 0 xətləri M 0 (2, - 3) nöqtəsində kəsişəcəkmi?

Həll

Problemi həll etmək üçün nöqtənin koordinatlarını bütün tənliklərdə əvəz etmək lazımdır. Bunu anlayırıq

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

İkinci bərabərlik doğru deyil, bu o deməkdir ki, verilmiş nöqtə 7 x - 2 y + 11 = 0 xəttinə aid deyil. Buradan əldə edirik ki, M 0 nöqtəsi xətlərin kəsişmə nöqtəsi deyil.

Rəsm açıq şəkildə göstərir ki, M 0 xətlərin kəsişmə nöqtəsi deyil. Onların koordinatları ilə ümumi nöqtəsi var (- 1, 2).

Cavab: koordinatları (2, - 3) olan nöqtə verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsi deyil.

Müstəvidə verilmiş tənliklərdən istifadə edərək iki xəttin kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarını tapmağa davam edirik.

İki kəsişən a və b xətləri O x y nöqtəsində yerləşən A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 və A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 formasının tənlikləri ilə müəyyən edilir. M 0 kəsişmə nöqtəsini təyin edərkən biz A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 və A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 tənliklərindən istifadə edərək koordinatları axtarmağa davam etməliyik.

Tərifdən aydın olur ki, M 0 xətlərin ümumi kəsişmə nöqtəsidir. Bu halda onun koordinatları A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 və A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 tənliklərini təmin etməlidir. Başqa sözlə, A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 nəticəsində yaranan sistemin həlli budur.

Bu o deməkdir ki, kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq üçün bütün tənlikləri sistemə əlavə etmək və onu həll etmək lazımdır.

Misal 3

Müstəvidə x - 9 y + 14 = 0 və 5 x - 2 y - 16 = 0 olan iki düz xətt verilmişdir. onların kəsişməsini tapmaq lazımdır.

Həll

Tənliyin şərtləri haqqında məlumatlar sistemə toplanmalıdır, bundan sonra x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 alırıq. Bunu həll etmək üçün birinci tənlik x üçün həll edilir və ifadə ikinci ilə əvəz olunur:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Yaranan nömrələr tapılmalı olan koordinatlardır.

Cavab: M 0 (4, 2) x - 9 y + 14 = 0 və 5 x - 2 y - 16 = 0 xətlərinin kəsişmə nöqtəsidir.

Koordinatların tapılması xətti tənliklər sisteminin həllinə gəlir. Şərtlə fərqli bir tənlik növü verilirsə, o zaman normal formaya salınmalıdır.

Misal 4

x - 5 = y - 4 - 3 və x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R xətlərinin kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarını təyin edin.

Həll

Əvvəlcə tənlikləri ümumi formaya gətirməlisiniz. Onda alırıq ki, x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R aşağıdakı kimi çevrilir:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Sonra x - 5 = y - 4 - 3 kanonik formasının tənliyini götürüb çeviririk. Bunu anlayırıq

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Buradan əldə edirik ki, koordinatlar kəsişmə nöqtəsidir

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Koordinatları tapmaq üçün Kramer metodundan istifadə edək:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y = 22 22 = 1

Cavab: M 0 (- 5 , 1) .

Bir müstəvidə yerləşən xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq üçün bir yol da var. Sətirlərdən biri x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R formasının parametrik tənlikləri ilə verildikdə tətbiq edilir. Sonra x dəyərinin əvəzinə x = x 1 + a x λ və y = y 1 + a y λ əvəz edirik, burada koordinatları x 1 + a x λ 0, y 1 olan kəsişmə nöqtəsinə uyğun olaraq λ = λ 0 alırıq. + a y λ 0 .

Misal 5

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R və x - 5 = y - 4 - 3 xəttinin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını təyin edin.

Həll

x - 5 = y - 4 - 3-də x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ ifadəsi ilə əvəz etmək lazımdır, onda alırıq:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Həll edərkən tapırıq ki, λ = - 1. Buradan belə nəticə çıxır ki, x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R və x - 5 = y - 4 - 3 xətləri arasında kəsişmə nöqtəsi var. Koordinatları hesablamaq üçün parametrik tənlikdə λ = - 1 ifadəsini əvəz etmək lazımdır. Onda alırıq ki, x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

Cavab: M 0 (- 5 , 1) .

Mövzunu tam başa düşmək üçün bəzi nüansları bilmək lazımdır.

Əvvəlcə xətlərin yerini başa düşməlisiniz. Onlar kəsişdikdə koordinatları tapacağıq, başqa hallarda həll olmayacaq; Bu yoxlamadan qaçmaq üçün A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 şəklində bir sistem yarada bilərsiniz. Əgər həll yolu varsa, xətlərin kəsişdiyi qənaətinə gəlirik. Əgər həll yoxdursa, o zaman paraleldirlər. Bir sistemin sonsuz sayda həlli olduqda, onların üst-üstə düşdüyü deyilir.

Misal 6

Verilmiş xətlər x 3 + y - 4 = 1 və y = 4 3 x - 4. Onların ortaq nöqtəsi olub-olmadığını müəyyənləşdirin.

Həll

Verilmiş tənlikləri sadələşdirərək 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 və 4 3 x - y - 4 = 0 alırıq.

Tənliklər sonrakı həll üçün bir sistemdə toplanmalıdır:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Buradan görə bilərik ki, tənliklər bir-biri ilə ifadə olunur, onda sonsuz sayda həll variantı əldə edirik. Sonra x 3 + y - 4 = 1 və y = 4 3 x - 4 tənlikləri eyni xətti müəyyənləşdirir. Buna görə də kəsişmə nöqtələri yoxdur.

Cavab: verilmiş tənliklər eyni düz xətti müəyyən edir.

Misal 7

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 və 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 kəsişən xətlərin nöqtəsinin koordinatlarını tapın.

Həll

Şərtə görə, bu mümkündür, xətlər kəsişməyəcək. Tənliklər sistemini yaratmaq və həll etmək lazımdır. Həll etmək üçün Gauss metodundan istifadə etmək lazımdır, çünki onun köməyi ilə tənliyi uyğunluq üçün yoxlamaq mümkündür. Forma sistemini alırıq:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Yanlış bərabərlik əldə etdik, yəni sistemin həlli yoxdur. Xətlərin paralel olduğu qənaətinə gəlirik. Heç bir kəsişmə nöqtəsi yoxdur.

İkinci həll.

Əvvəlcə xətlərin kəsişməsinin mövcudluğunu müəyyən etməlisiniz.

n 1 → = (2, 2 - 3) xəttinin normal vektoru 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0, onda vektor n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7-dir. 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 xətti üçün normal vektor.

n 1 → = (2, 2 - 3) və n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) vektorlarının kollinearlığını yoxlamaq lazımdır. 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 formasının bərabərliyini alırıq. Düzdür, çünki 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Buradan belə çıxır ki, vektorlar kollineardır. Bu o deməkdir ki, xətlər paraleldir və kəsişmə nöqtələri yoxdur.

Cavab: kəsişmə nöqtələri yoxdur, xətlər paraleldir.

Misal 8

Verilmiş 2 x - 1 = 0 və y = 5 4 x - 2 xətlərinin kəsişməsinin koordinatlarını tapın.

Həll

Həll etmək üçün tənliklər sistemini tərtib edirik. alırıq

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Baş matrisin determinantını tapaq. Bunun üçün 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Sıfıra bərabər olmadığı üçün sistemin 1 həlli var. Bundan belə çıxır ki, xətlər kəsişir. Kesişmə nöqtələrinin koordinatlarını tapmaq sistemini həll edək:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Biz müəyyən etdik ki, verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsi M 0 (1 2, - 11 8) koordinatlarına malikdir.

Cavab: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Fəzada iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarının tapılması

Eyni şəkildə fəzada düz xətlərin kəsişmə nöqtələri tapılır.

O x y z koordinat müstəvisində kəsişən müstəvilərin tənlikləri ilə a və b düz xətləri verildikdə, verilmiş A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 sistemindən istifadə etməklə təyin oluna bilən a düz xətti var. = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 və düz xətt b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0.

M 0 nöqtəsi xətlərin kəsişmə nöqtəsi olduqda, onun koordinatları hər iki tənliyin həlli olmalıdır. Sistemdə xətti tənliklər əldə edirik:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Nümunələrdən istifadə edərək oxşar tapşırıqlara baxaq.

Misal 9

Verilmiş x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 və 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 xətlərinin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın.

Həll

x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 sistemini tərtib edirik və həll edirik. Koordinatları tapmaq üçün matris vasitəsilə həll etməlisiniz. Sonra A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 formasının əsas matrisini və genişlənmiş T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 matrisini alırıq. Matrisin Qauss dərəcəsini təyin edirik.

Bunu anlayırıq

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Buradan belə çıxır ki, genişləndirilmiş matrisin dərəcəsi 3 dəyərinə malikdir. Onda x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 tənliklər sistemi yalnız bir həlllə nəticələnir.

Əsas minorun determinantı 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 olarsa, sonuncu tənlik tətbiq edilmir. Alırıq ki, x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Sistemin həlli x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Bu o deməkdir ki, x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 və 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 kəsişmə nöqtəsinin (1, - 3, 0) koordinatları var.

Cavab: (1 , - 3 , 0) .

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 formasının sistemi = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0-ın yalnız bir həlli var. Bu o deməkdir ki, a və b xətləri kəsişir.

Digər hallarda tənliyin həlli yoxdur, yəni ümumi nöqtələr də yoxdur. Yəni koordinatları olan nöqtəni tapmaq mümkün deyil, çünki o, mövcud deyil.

Buna görə də A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z formasında sistem + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 Qauss üsulu ilə həll edilir. Uyğun deyilsə, xətlər kəsişmir. Əgər sonsuz sayda həll yolu varsa, onlar üst-üstə düşür.

Matrisin əsas və genişləndirilmiş dərəcələrini hesablamaqla həll edə və sonra Kronecker-Capelli teoremini tətbiq edə bilərsiniz. Biz bir, çoxlu və ya ümumiyyətlə heç bir həll yolu alırıq.

Misal 10

x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 və x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 xətlərinin tənlikləri verilmişdir. Kəsişmə nöqtəsini tapın.

Həll

Əvvəlcə tənliklər sistemi yaradaq. Alırıq ki, x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Bunu Gauss metodundan istifadə edərək həll edirik:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Aydındır ki, sistemin həlli yoxdur, yəni xətlər kəsişmir. Heç bir kəsişmə nöqtəsi yoxdur.

Cavab: kəsişmə nöqtəsi yoxdur.

Xətlər konik və ya parametrik tənliklərdən istifadə edilərək verilirsə, onları kəsişən müstəvilərin tənlikləri formasına endirməli və sonra koordinatları tapmalısınız.

Misal 11

O x y z-də iki x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R və x 2 = y - 3 0 = z 5 sətirləri verilmişdir. Kəsişmə nöqtəsini tapın.

Həll

Düz xətləri kəsişən iki müstəvi tənlikləri ilə təyin edirik. Bunu anlayırıq

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 koordinatlarını tapırıq, bunun üçün matrisin dərəcələrini hesablayırıq. Matrisin dərəcəsi 3, əsas minoru isə 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, yəni sonuncu tənlik sistemdən xaric edilməlidir. Bunu anlayırıq

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Sistemi Kramer metodundan istifadə edərək həll edək. Alırıq ki, x = - 2 y = 3 z = - 5. Buradan alırıq ki, verilmiş xətlərin kəsişməsi koordinatları (- 2, 3, - 5) olan nöqtə verir.

Cavab: (- 2 , 3 , - 5) .

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Oh-oh-oh-oh-oh... yaxşı, çətindi, sanki özünə bir cümlə oxuyurdu =) Ancaq istirahət sonradan kömək edəcək, xüsusən də bu gündən uyğun aksesuarları aldım. Ona görə də birinci bölməyə keçək, ümid edirəm ki, məqalənin sonuna kimi şən əhval-ruhiyyəni qoruyacağam.

İki düz xəttin nisbi mövqeyi

Bu, tamaşaçıların xorla oxuduğu zaman olur. İki düz xətt ola bilər:

1) uyğunluq;

2) paralel olsun: ;

3) və ya bir nöqtədə kəsişir: .

Butaforlara kömək : Riyazi kəsişmə işarəsini xatırlayın, çox tez-tez görünəcək. Qeyd, xəttin nöqtədəki xətt ilə kəsişdiyini bildirir.

İki xəttin nisbi mövqeyini necə təyin etmək olar?

Birinci halda başlayaq:

İki xətt yalnız və yalnız onların müvafiq əmsalları mütənasib olduqda üst-üstə düşür, yəni bərabərliklərin təmin olunduğu bir ədəd “lambda” var

Düz xətləri nəzərdən keçirək və müvafiq əmsallardan üç tənlik yaradaq: . Hər bir tənlikdən belə çıxır ki, bu xətlər üst-üstə düşür.

Həqiqətən, əgər tənliyin bütün əmsalları –1-ə (işarələri dəyişdirin) və tənliyin bütün əmsallarını vurun 2-yə kəsildikdə, eyni tənliyi alırsınız: .

İkinci hal, xətlər paralel olduqda:

Dəyişənlərin əmsalları mütənasib olduqda iki xətt paraleldir: , Amma.

Nümunə olaraq iki düz xətti nəzərdən keçirək. Dəyişənlər üçün müvafiq əmsalların mütənasibliyini yoxlayırıq:

Bununla belə, tamamilə aydındır.

Üçüncü hal, xətlər kəsişdikdə:

İki xətt yalnız və yalnız dəyişənlərin əmsalları mütənasib OLMAdıqda kəsişir, yəni “lambda”nın elə bir dəyəri YOXDUR ki, bərabərliklər təmin edilsin

Beləliklə, düz xətlər üçün bir sistem yaradacağıq:

Birinci tənlikdən belə çıxır ki, , ikinci tənlikdən isə: , deməkdir sistem uyğunsuzdur(həll yoxdur). Beləliklə, dəyişənlərin əmsalları mütənasib deyil.

Nəticə: xətlər kəsişir

Praktik məsələlərdə siz indicə müzakirə olunan həll sxemindən istifadə edə bilərsiniz. Yeri gəlmişkən, bu, sinifdə baxdığımız vektorların kollinearlığını yoxlamaq alqoritmini çox xatırladır. Vektorların xətti (in) asılılığı anlayışı. Vektorların əsasları. Ancaq daha sivil bir qablaşdırma var:

Misal 1

Tapın nisbi mövqe birbaşa:

Həll düz xətlərin istiqamətləndirici vektorlarının öyrənilməsinə əsaslanaraq:

a) Tənliklərdən xətlərin istiqamət vektorlarını tapırıq: .

, bu o deməkdir ki, vektorlar kollinear deyil və xətlər kəsişir.

Hər halda, yol ayrıcında işarələri olan bir daş qoyacağam:

Qalanları daşın üstündən tullanır və daha da irəli gedirlər, birbaşa Ölümsüz Kaşçeyə doğru gedirlər =)

b) Xətlərin istiqamət vektorlarını tapın:

Xətlər eyni istiqamət vektoruna malikdir, yəni ya paralel, ya da üst-üstə düşür. Burada determinantı saymağa ehtiyac yoxdur.

Aydındır ki, naməlumların əmsalları mütənasibdir və .

Bərabərliyin doğru olub olmadığını öyrənək:

Beləliklə,

c) Xətlərin istiqamət vektorlarını tapın:

Bu vektorların koordinatlarından ibarət determinantı hesablayaq:
, buna görə də istiqamət vektorları kollineardır. Xətlər ya paralel, ya da üst-üstə düşür.

“Lambda” mütənasiblik əmsalı birbaşa kollinear istiqamət vektorlarının nisbətindən asanlıqla görmək olar. Bununla belə, bunu tənliklərin öz əmsalları vasitəsilə də tapmaq olar: .

İndi bərabərliyin doğru olub olmadığını öyrənək. Hər iki pulsuz şərt sıfırdır, buna görə də:

Alınan dəyər bu tənliyi təmin edir (ümumiyyətlə istənilən ədəd onu təmin edir).

Beləliklə, xətlər üst-üstə düşür.

Cavab verin:

Çox tezliklə şifahi olaraq müzakirə olunan problemi bir neçə saniyə ərzində həll etməyi öyrənəcəksiniz (və ya artıq öyrənmisiniz). Bu baxımdan heç bir şey təklif etməyin mənasını görmürəm müstəqil qərar, həndəsi təməldə başqa bir vacib kərpic qoymaq daha yaxşıdır:

Verilmiş birinə paralel xətti necə qurmaq olar?

Bu ən sadə tapşırığı bilməməsinə görə Quldur Bülbül ağır cəzalandırır.

Misal 2

Düz xətt tənliklə verilir. Nöqtədən keçən paralel xəttin tənliyini yazın.

Həll: Naməlum xətti hərflə işarə edək. Şərt onun haqqında nə deyir? Düz xətt nöqtədən keçir. Əgər xətlər paraleldirsə, o zaman aydındır ki, “tse” düz xəttinin istiqamət vektoru “de” düz xəttini qurmaq üçün də uyğundur.

İstiqamət vektorunu tənlikdən çıxarırıq:

Cavab verin:

Nümunə həndəsə sadə görünür:

Analitik test aşağıdakı addımlardan ibarətdir:

1) Xətlərin eyni istiqamət vektoruna malik olmasını yoxlayırıq (xəttin tənliyi düzgün sadələşdirilməyibsə, vektorlar kollinear olacaq).

2) Nöqtənin yaranan tənliyə cavab verib-vermədiyini yoxlayın.

Əksər hallarda analitik test asanlıqla şifahi şəkildə həyata keçirilə bilər. İki bərabərliyə baxın və bir çoxunuz heç bir rəsm çəkmədən xətlərin paralelliyini tez müəyyən edəcəksiniz.

Bu gün müstəqil həllər üçün nümunələr yaradıcı olacaq. Çünki hələ də Baba Yaga ilə rəqabət aparmalı olacaqsınız və o, bilirsiniz ki, hər cür tapmacaları sevir.

Misal 3

Əgər xəttinə paralel nöqtədən keçən xətt üçün tənlik yazın

Bunu həll etməyin rasional və o qədər də rasional olmayan yolu var. Ən çox qısayol- dərsin sonunda.

Paralel xətlərlə bir az işlədik və sonra onlara qayıdacağıq. Üst-üstə düşən xətlər məsələsi az maraq doğurur, ona görə də məktəb kurikulumundan sizə çox tanış olan problemi nəzərdən keçirək:

İki xəttin kəsişmə nöqtəsini necə tapmaq olar?

Düzdürsə nöqtəsində kəsişir, onda onun koordinatları həll yoludur xətti tənliklər sistemləri

Xətlərin kəsişmə nöqtəsini necə tapmaq olar? Sistemi həll edin.

Buyurun həndəsi məna iki naməlumda iki xətti tənlik sistemləri- bunlar bir müstəvidə iki kəsişən (ən çox) xəttdir.

Misal 4

Xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın

Həll: Həll etməyin iki yolu var - qrafik və analitik.

Qrafik üsul sadəcə verilmiş xətləri çəkmək və kəsişmə nöqtəsini birbaşa rəsmdən tapmaqdır:

Məqsədimiz budur: . Yoxlamaq üçün onun koordinatlarını xəttin hər bir tənliyinə əvəz etməlisiniz; Başqa sözlə, bir nöqtənin koordinatları sistemin həllidir. Əslində, biz qrafik həll yoluna baxdıq xətti tənliklər sistemləri iki tənlik, iki naməlum.

Qrafik üsul, əlbəttə ki, pis deyil, lakin nəzərə çarpan çatışmazlıqlar var. Xeyr, məsələ yeddinci sinif şagirdlərinin bu cür qərar verməsində deyil, məsələ ondadır ki, düzgün və DƏQQİ rəsm yaratmaq üçün vaxt lazımdır. Bundan əlavə, bəzi düz xətləri qurmaq o qədər də asan deyil və kəsişmə nöqtəsi özü də otuzuncu səltənətdə notebook vərəqindən kənarda yerləşə bilər.

Ona görə də kəsişmə nöqtəsini axtarmaq daha məqsədəuyğundur analitik üsul. Sistemi həll edək:

Sistemi həll etmək üçün tənliklərin müddət üzrə əlavə edilməsi üsulundan istifadə edilmişdir. Müvafiq bacarıqları inkişaf etdirmək üçün dərs alın Tənliklər sistemini necə həll etmək olar?

Cavab verin:

Yoxlama əhəmiyyətsizdir - kəsişmə nöqtəsinin koordinatları sistemin hər bir tənliyini təmin etməlidir.

Misal 5

Xətlərin kəsişdiyi halda onların kəsişmə nöqtəsini tapın.

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Tapşırığı bir neçə mərhələyə bölmək rahatdır. Vəziyyətin təhlili bunun zəruri olduğunu göstərir:
1) Düz xəttin tənliyini yazın.
2) Düz xəttin tənliyini yazın.
3) Xətlərin nisbi mövqeyini tapın.
4) Əgər xətlər kəsişirsə, onda kəsişmə nöqtəsini tapın.

Fəaliyyət alqoritminin işlənməsi bir çox həndəsi məsələlər üçün xarakterikdir və mən dəfələrlə buna diqqət yetirəcəyəm.

Tam həll və dərsin sonunda cavab:

Dərsin ikinci hissəsinə çatana qədər bir cüt ayaqqabı belə köhnəlməmişdi:

Perpendikulyar xətlər. Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə.
Düz xətlər arasındakı bucaq

Tipik və çox vacib bir vəzifə ilə başlayaq. Birinci hissədə biz buna paralel düz bir xətt çəkməyi öyrəndik və indi toyuq ayaqları üzərindəki daxma 90 dərəcə dönəcək:

Verilmiş birinə perpendikulyar bir xətti necə qurmaq olar?

Misal 6

Düz xətt tənliklə verilir. Nöqtədən keçən xəttə perpendikulyar tənlik yazın.

Həll: Şərtlə məlumdur ki . Xəttin istiqamət vektorunu tapmaq yaxşı olardı. Xətlər perpendikulyar olduğundan hiylə sadədir:

Tənlikdən normal vektoru “çıxarırıq”: düz xəttin istiqamət vektoru olacaq.

Nöqtə və istiqamət vektorundan istifadə edərək düz xəttin tənliyini tərtib edək:

Cavab verin:

Həndəsi eskizi genişləndirək:

Hmmm... Narıncı göy, narıncı dəniz, narıncı dəvə.

Həllin analitik yoxlanışı:

1) Tənliklərdən istiqamət vektorlarını çıxarırıq və köməyi ilə vektorların skalyar hasili xətlərin doğrudan da perpendikulyar olduğu qənaətinə gəlirik: .

Yeri gəlmişkən, normal vektorlardan istifadə edə bilərsiniz, daha da asandır.

2) Nöqtənin yaranan tənliyə cavab verib-vermədiyini yoxlayın .

Test, yenə də şifahi olaraq həyata keçirmək asandır.

Misal 7

Tənlik məlumdursa, perpendikulyar xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın və dövr.

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Problemdə bir neçə hərəkət var, ona görə də həll nöqtəsini nöqtə-nöqtədə formalaşdırmaq rahatdır.

Maraqlı səyahətimiz davam edir:

Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə

Qarşımızda düz bir çay zolağı var və vəzifəmiz ona ən qısa yolla çatmaqdır. Heç bir maneə yoxdur və ən optimal marşrut perpendikulyar boyunca hərəkət etmək olacaq. Yəni bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə perpendikulyar seqmentin uzunluğudur.

Həndəsədə məsafə ənənəvi olaraq yunan hərfi “rho” ilə işarələnir, məsələn: – “em” nöqtəsindən “de” düz xəttinə qədər olan məsafə.

Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə düsturu ilə ifadə edilir

Misal 8

Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafəni tapın

Həll: yalnız rəqəmləri düsturda diqqətlə əvəz etmək və hesablamaları aparmaq lazımdır:

Cavab verin:

Gəlin rəsm çəkək:

Nöqtədən xəttə qədər tapılan məsafə tam olaraq qırmızı seqmentin uzunluğuna bərabərdir. Damalı kağızda 1 ədəd miqyasda bir rəsm çəksəniz. = 1 sm (2 hüceyrə), sonra məsafəni adi bir hökmdarla ölçmək olar.

Eyni rəsm əsasında başqa bir tapşırığı nəzərdən keçirək:

Tapşırıq düz xəttə nisbətən nöqtəyə simmetrik olan nöqtənin koordinatlarını tapmaqdır . Mən addımları özünüz yerinə yetirməyi təklif edirəm, lakin həll alqoritmini ara nəticələrlə təsvir edəcəyəm:

1) Xəttə perpendikulyar olan xətti tapın.

2) Xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın: .

Hər iki hərəkət bu dərsdə ətraflı müzakirə olunur.

3) Nöqtə seqmentin orta nöqtəsidir. Biz orta və uclardan birinin koordinatlarını bilirik. By seqmentin orta nöqtəsinin koordinatları üçün düsturlar tapırıq.

Məsafənin də 2,2 vahid olduğunu yoxlamaq yaxşı olardı.

Burada hesablamalarda çətinliklər yarana bilər, lakin mikrokalkulyator qüllədə böyük köməkdir, hesablamağa imkan verir. adi fraksiyalar. Mən sizə dəfələrlə məsləhət vermişəm və yenə də tövsiyə edəcəyəm.

İki paralel xətt arasındakı məsafəni necə tapmaq olar?

Misal 9

İki paralel xətt arasındakı məsafəni tapın

Bu, özünüz qərar verməyiniz üçün başqa bir nümunədir. Mən sizə bir az ipucu verəcəyəm: bunu həll etməyin sonsuz bir çox yolu var. Dərsin sonunda brifinq, amma özünüz üçün təxmin etməyə çalışmaq daha yaxşıdır, düşünürəm ki, ixtiranız yaxşı inkişaf etmişdir.

İki düz xətt arasındakı bucaq

Hər künc bir tıxacdır:

Həndəsədə iki düz xətt arasındakı bucaq DAHA KİÇİ bucaq kimi qəbul edilir və ondan avtomatik nəticə çıxarır ki, o, geniş ola bilməz. Şəkildə qırmızı qövslə göstərilən bucaq kəsişən xətlər arasındakı bucaq hesab edilmir. Və onun "yaşıl" qonşusu və ya əks yönümlüdür"moruq" küncü.

Əgər xətlər perpendikulyardırsa, onda 4 bucaqdan hər hansı birini aralarındakı bucaq kimi qəbul etmək olar.

Bucaqlar necə fərqlidir? Orientasiya. Birincisi, bucağın "sürüşdüyü" istiqamət əsaslıdır. İkincisi, mənfi yönümlü bucaq mənfi işarə ilə yazılır, məsələn, əgər .

Bunu sənə niyə dedim? Görünür, biz adi bucaq anlayışı ilə başa düşə bilərik. Fakt budur ki, bucaqları tapacağımız düsturlar asanlıqla mənfi nəticə ilə nəticələnə bilər və bu sizi təəccübləndirməməlidir. Mənfi işarəsi olan bir bucaq daha pis deyil və çox xüsusi bir həndəsi məna daşıyır. Rəsmdə mənfi bir bucaq üçün onun istiqamətini oxla (saat yönünde) göstərməyi unutmayın.

İki düz xətt arasındakı bucağı necə tapmaq olar?İki iş düsturu var:

Misal 10

Xətlər arasındakı bucağı tapın

Həll Və Birinci üsul

-dəki tənliklərlə verilmiş iki düz xətti nəzərdən keçirin ümumi görünüş:

Düzdürsə perpendikulyar deyil, Bu yönümlü Aralarındakı bucaq düsturla hesablana bilər:

Məxrəcə çox diqqət yetirək - bu dəqiqdir nöqtəli məhsul düz xətlərin yönləndirici vektorları:

Əgər , onda düsturun məxrəci sıfıra çevrilir və vektorlar ortoqonal, xətlər isə perpendikulyar olacaqdır. Məhz buna görə də düsturda düz xətlərin qeyri-perpendikulyarlığı ilə bağlı qeyd-şərt qoyulmuşdur.

Yuxarıda göstərilənlərə əsasən, həlli iki mərhələdə rəsmiləşdirmək rahatdır:

1) Xətlərin istiqamət vektorlarının skalyar hasilini hesablayaq:
, yəni xətlər perpendikulyar deyil.

2) Düsturdan istifadə edərək düz xətlər arasındakı bucağı tapın:

Tərs funksiyadan istifadə edərək bucağın özünü tapmaq asandır. Bu vəziyyətdə, arktangentin qəribəliyindən istifadə edirik (bax. Elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri):

Cavab verin:

Cavabda biz dəqiq dəyəri, eləcə də kalkulyatordan istifadə edərək hesablanmış təxmini dəyəri (tercihen həm dərəcə, həm də radyanla) göstəririk.

Yaxşı, mənfi, mənfi, böyük bir şey deyil. Budur həndəsi təsvir:

Təəccüblü deyil ki, bucaq mənfi istiqamətə malikdir, çünki problemin ifadəsində birinci nömrə düz xəttdir və bucağın “açılması” məhz onunla başlamışdır.

Əgər həqiqətən müsbət bucaq əldə etmək istəyirsinizsə, xətləri dəyişdirməlisiniz, yəni ikinci tənlikdən əmsalları götürməlisiniz. , və birinci tənlikdən əmsalları götürün. Bir sözlə, birbaşa ilə başlamaq lazımdır .

İki xətt verilsin və onların kəsişmə nöqtəsini tapmaq lazımdır. Bu nöqtə verilmiş iki xəttin hər birinə aid olduğu üçün onun koordinatları həm birinci xəttin tənliyini, həm də ikinci xəttin tənliyini təmin etməlidir.

Beləliklə, iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq üçün tənliklər sistemini həll etmək lazımdır.

Misal 1. Xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın və

Həll. İstənilən kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tənliklər sistemini həll etməklə tapacağıq

M kəsişmə nöqtəsinin koordinatları var

Onun tənliyindən istifadə edərək düz xəttin necə qurulacağını göstərək. Düz xətt çəkmək üçün onun iki nöqtəsini bilmək kifayətdir. Bu nöqtələrin hər birini qurmaq üçün onun koordinatlarından biri üçün ixtiyari qiymət təyin edirik və sonra tənlikdən digər koordinat üçün uyğun qiyməti tapırıq.

Düz xəttin ümumi tənliyində cari koordinatlardakı hər iki əmsal sıfıra bərabər deyilsə, bu düz xətti qurmaq üçün onun koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapmaq daha yaxşıdır.

Misal 2. Düz xətt qurun.

Həll. Bu xəttin absis oxu ilə kəsişmə nöqtəsini tapırıq. Bunun üçün onların tənliklərini birlikdə həll edirik:

və alırıq. Beləliklə, bu xəttin absis oxu ilə kəsişməsinin M (3; 0) nöqtəsi tapılmışdır (şək. 40).

Sonra bu xəttin tənliyini və ordinat oxunun tənliyini birlikdə həll edin

xəttin ordinat oxu ilə kəsişmə nöqtəsini tapırıq. Nəhayət, onun iki nöqtəsindən M və düz xətt çəkirik

Əgər iki xətt paralel deyilsə, onlar qaçılmaz olaraq bir nöqtədə kəsişəcəklər. kəşf edin koordinatları xal 2 xəttin kəsişməsinə, tapşırığın hansı məlumatı təqdim etməsindən asılı olaraq həm qrafik, həm də arifmetik olaraq icazə verilir.

Sizə lazım olacaq

– rəsmdə iki düz xətt;
– 2 düz xəttin tənlikləri.

Təlimatlar

1. Əgər xətlər artıq qrafikdə çəkilibsə, həlli qrafik olaraq tapın. Bunu etmək üçün hər iki və ya xətlərdən birini davam etdirin ki, onlar kəsişsin. Bundan sonra, kəsişmə nöqtəsini qeyd edin və ondan x oxuna perpendikulyar endirin (hər zamankı kimi, oh).

2. Oxda qeyd olunan miqyas işarələrindən istifadə edərək, həmin nöqtə üçün x dəyərini tapın. Oxun müsbət istiqamətindədirsə (sıfır işarəsinin sağında), onda onun dəyəri düzgün olacaq, əks halda mənfi olacaq;

3. Kəsişmə nöqtəsinin ordinatını da düzgün tapın. Nöqtənin proyeksiyası sıfır işarəsindən yuxarıda yerləşirsə, düzgündürsə, mənfidir; Nöqtənin koordinatlarını (x, y) şəklində yazın - məsələnin həlli budur.

4. Xətlər y=khx+b düsturları şəklində verilmişdirsə, siz problemi qrafik şəkildə də həll edə bilərsiniz: xətləri koordinat toruna çəkin və yuxarıda göstərilən üsulla həllini tapın.

5. Bu düsturlardan istifadə edərək problemin həllini tapmağa çalışın. Bunun üçün bu tənliklərdən sistem yaradıb həll edin. Tənliklər y=khx+b şəklində verilirsə, sadəcə olaraq hər iki tərəfi x ilə bərabərləşdirin və x-i kəşf edin. Sonra x-in qiymətini tənliklərdən birinə əlavə edin və y-ni tapın.

6. Cramer metodundan istifadə edərək bir həll tapa bilərsiniz. Bu halda tənlikləri A1x+B1y+C1=0 və A2x+B2y+C2=0 formasına endirin. Kramer düsturuna görə x=-(C1B2-C2B1)/(A1B2-A2B1) və y=-(A1C2-A2C1)/(A1B2-A2B1). Nəzərə alın ki, məxrəc sıfırdırsa, xətlər paralel və ya üst-üstə düşür və müvafiq olaraq kəsişmir.

7. Əgər sizə fəzada kanonik formada xətlər verilirsə, həll yolunu axtarmağa başlamazdan əvvəl xətlərin paralel olub olmadığını yoxlayın. Bunun üçün t-dən əvvəl göstəriciləri qiymətləndirin, əgər onlar mütənasibdirsə, deyək ki, x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t və x=-1+6t, y=-1+4t, z. =-5 +2t, onda xətlər paraleldir. Bundan əlavə, xətlər kəsişə bilər, bu halda sistemin həlli olmayacaq.

8. Xətlərin kəsişdiyini bilsəniz, onların kəsişmə nöqtəsini tapın. Birincisi, müxtəlif sətirlərdən dəyişənləri bərabərləşdirin, şərti olaraq birinci sətir üçün t-ni u və 2-ci sətir üçün v ilə əvəz edin. Əgər sizə x=t-1, y=2t+1, z=t+2 və x=t+1, y=t+1, z=2t+8 sətirləri verilsə, u-1 kimi ifadələr alacaqsınız. =v +1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. Bir tənlikdən u ifadə edin, onu başqa tənliklə əvəz edin və v tapın (bu məsələdə u=-2,v=-4). İndi kəsişmə nöqtəsini tapmaq üçün t yerinə alınan dəyərləri əvəz edin (birinci və ya ikinci tənlikdə fərqi yoxdur) və x=-3, y=-3, z nöqtəsinin koordinatlarını alın. =0.

2 kəsişən hesab etmək birbaşa Onları bir müstəvidə nəzərdən keçirmək kifayətdir, çünki kəsişən iki xətt eyni müstəvidə yerləşir. Bunların tənliklərini bilmək birbaşa, onların nöqtəsinin koordinatını aşkar etmək mümkündür kəsişmələr .

Sizə lazım olacaq

xətlərin tənlikləri

Təlimatlar

1. Dekart koordinatlarında xəttin ümumi tənliyi belə görünür: Ax+By+C = 0. İki xətt kəsişsin. Birinci sətrin tənliyi Ax+By+C = 0, 2-ci sətir Dx+Ey+F = 0. Aşkar etmək üçün bütün göstəricilər (A, B, C, D, E, F) göstərilməlidir bir nöqtə kəsişmələr bunlar birbaşa bu 2 xətti tənliyin sistemini həll etmək lazımdır.

2. Həll etmək üçün birinci tənliyi E, ikincini isə B ilə vurmaq rahatdır. Nəticədə tənliklər belə görünəcək: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. İkinci tənliyi çıxdıqdan sonra birincidən tənlik alırsınız: (AE- DB)x = FB-CE. Beləliklə, x = (FB-CE)/(AE-DB) analoji olaraq birinci tənlikdir ilkin sistem Siz D-ə, ikincini A-ya vura bilərsiniz, sonra ikincini birincidən yenidən çıxara bilərsiniz. Nəticədə, y = (CD-FA)/(AE-DB) nəticədə alınan x və y dəyərləri nöqtənin koordinatları olacaqdır kəsişmələr birbaşa .

3. Tənliklər birbaşa düz xəttin maillik bucağının tangensinə bərabər olan k bucaq indeksi vasitəsilə də yazıla bilər. Bu halda xəttin tənliyi y = kx+b formasına malikdir. İndi birinci sətrin tənliyi y = k1*x+b1, 2-ci xəttin tənliyi isə y = k2*x+b2 olsun.

4. Bu 2 tənliyin sağ tərəflərini bərabərləşdirsək, alarıq: k1*x+b1 = k2*x+b2. Buradan asanlıqla x = (b1-b2)/(k2-k1) əldə etmək olar. Bu x qiymətini hər hansı tənlikdə əvəz etdikdən sonra belə çıxır: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). X və y dəyərləri nöqtənin koordinatlarını təyin edəcək kəsişmələr birbaşa.Əgər iki xətt paralel və ya üst-üstə düşürsə, onda onların universal nöqtələri yoxdur və ya müvafiq olaraq hədsiz çox sayda universal nöqtələr var. Bu hallarda k1 = k2, nöqtələrin koordinatları üçün məxrəclər kəsişmələr yox olacaq, buna görə də sistemin klassik həlli olmayacaq, sistemin yalnız bir klassik həlli ola bilər, bu da şərtsizdir, çünki iki fərqli və paralel olmayan xəttin yalnız bir nöqtəsi ola bilər. kəsişmələr .

Mövzu ilə bağlı video

Bununla onlayn kalkulyator müstəvidə xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapa bilərsiniz. verilmiş ətraflı həlli izahatlarla. Xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq üçün xətlərin tənliyinin növünü ("kanonik", "parametrik" və ya "ümumi") təyin edin, xanalara xətlərin tənliklərinin əmsallarını daxil edin və "Həll et" düyməsini basın. " düyməsi. Aşağıdakı nəzəri hissəyə və ədədi nümunələrə baxın.

Xəbərdarlıq

Bütün xanalar silinsin?

Bağlayın Təmizləyin

Məlumat daxiletmə təlimatları.Ədədlər tam ədədlər (məsələn: 487, 5, -7623 və s.), onluq (məs. 67., 102.54 və s.) və ya kəsr kimi daxil edilir. Kəsr a/b şəklində daxil edilməlidir, burada a və b (b>0) tam və ya onluq ədəddir. Nümunələr 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 və s.

Müstəvidə xətlərin kəsişmə nöqtəsi - nəzəriyyə, nümunələr və həllər

1. Ümumi formada verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsi.

Oksi L 1 və L 2:

Genişləndirilmiş bir matris quraq:

Əgər B" 2 =0 və İLƏ" 2 =0, onda xətti tənliklər sisteminin çoxlu həlli var. Buna görə düz L 1 və L 2 matç. Əgər B" 2 =0 və İLƏ" 2 ≠0, onda sistem uyğunsuzdur və buna görə də xətlər paraleldir və yoxdur ortaq nöqtə. Əgər B" 2 ≠0 olarsa, xətti tənliklər sisteminin unikal həlli olur. İkinci tənlikdən tapırıq y: y=İLƏ" 2 /B" 2 və əldə edilən dəyəri tapdığımız birinci tənliyə əvəz etməklə x: x=−İLƏ 1 −B 1 y. Xətlərin kəsişmə nöqtəsini aldıq L 1 və L 2: M(x, y).