Sådan finder du det mindste fælles multiplum af to tal. Metoder til at finde det mindste fælles multiplum, nok

Største fælles divisor

Definition 2

Hvis et naturligt tal a er deleligt med et naturligt tal $b$, kaldes $b$ en divisor af $a$, og $a$ kaldes et multiplum af $b$.

Lad $a$ og $b$ være naturlige tal. Nummeret $c$ kaldes fælles divisor for både $a$ og $b$.

Sættet af fælles divisorer for tallene $a$ og $b$ er endeligt, da ingen af disse divisorer kan være større end $a$. Det betyder, at der blandt disse divisorer er den største, som kaldes den største fælles divisor af tallene $a$ og $b$ og er angivet med følgende notationer:

$GCD\(a;b)\ eller \D\(a;b)$

For at finde den største fælles divisor af to tal skal du bruge:

Find produktet af tallene fundet i trin 2. Det resulterende tal vil være den ønskede største fælles divisor.

Eksempel 1

Find gcd'en for tallene $121$ og $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Vælg de tal, der er inkluderet i udvidelsen af disse tal

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Find produktet af tallene fundet i trin 2. Det resulterende tal vil være den ønskede største fælles divisor.

$GCD=2\cdot 11=22$

Eksempel 2

Find gcd af monomialerne $63$ og $81$.

Vi vil finde i henhold til den præsenterede algoritme. Sådan gør du:

Lad os indregne tallene i primfaktorer

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Vi udvælger de tal, der indgår i udvidelsen af disse tal

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Lad os finde produktet af tallene fundet i trin 2. Det resulterende tal vil være den ønskede største fælles divisor.

$GCD=3\cdot 3=9$

Du kan finde gcd af to tal på en anden måde ved at bruge et sæt af divisorer af tal.

Eksempel 3

Find gcd'en for tallene $48$ og $60$.

Løsning:

Lad os finde mængden af divisorer for tallet $48$: $\venstre$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Lad os nu finde sættet af divisorer af tallet $60$:$\ \venstre$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$ $

Lad os finde skæringspunktet mellem disse sæt: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - dette sæt vil bestemme sættet af fælles divisorer for tallene $48$ og $60 $. Det største element i dette sæt vil være tallet $12$. Det betyder, at den største fælles divisor af tallene $48$ og $60$ er $12$.

Definition af NPL

Definition 3

Fælles multipla af naturlige tal$a$ og $b$ er et naturligt tal, der er et multiplum af både $a$ og $b$.

Fælles multipla af tal er tal, der er delelige med de oprindelige tal uden en rest For eksempel vil de fælles multipla for tallene $25$ og $50$ være tallene $50,100,150,200$ osv.

Det mindste fælles multiplum vil blive kaldt det mindste fælles multiplum og vil blive betegnet LCM$(a;b)$ eller K$(a;b).$

For at finde LCM for to tal skal du:

Faktortal ind i primfaktorer
Skriv de faktorer ned, der er en del af det første tal, og læg til dem de faktorer, der er en del af det andet og ikke er en del af det første

Eksempel 4

Find LCM for tallene $99$ og $77$.

Vi vil finde i henhold til den præsenterede algoritme. Til dette

Faktortal ind i primfaktorer

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Skriv ned de faktorer, der indgår i den første

føje til dem multiplikatorer, der er en del af den anden og ikke en del af den første

Find produktet af tallene fundet i trin 2. Det resulterende tal vil være det ønskede mindste fælles multiplum

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Det er ofte en meget arbejdskrævende opgave at udarbejde lister over taldelere. Der er en måde at finde GCD kaldet den euklidiske algoritme.

Udsagn, som den euklidiske algoritme er baseret på:

Hvis $a$ og $b$ er naturlige tal, og $a\vdots b$, så er $D(a;b)=b$

Hvis $a$ og $b$ er naturlige tal, således at $b

Ved at bruge $D(a;b)= D(a-b;b)$ kan vi successivt reducere de tal, der overvejes, indtil vi når et talpar, således at det ene af dem er deleligt med det andet. Så vil det mindste af disse tal være den ønskede største fælles divisor for tallene $a$ og $b$.

Egenskaber for GCD og LCM

Ethvert fælles multiplum af $a$ og $b$ er deleligt med K$(a;b)$
Hvis $a\vdots b$, så К$(a;b)=a$

Hvis K$(a;b)=k$ og $m$ er et naturligt tal, så K$(am;bm)=km$

Hvis $d$ er en fælles divisor for $a$ og $b$, så K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

Hvis $a\vdots c$ og $b\vdots c$, så er $\frac(ab)(c)$ det fælles multiplum af $a$ og $b$

For alle naturlige tal $a$ og $b$ gælder ligheden

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Enhver fælles divisor for tallene $a$ og $b$ er en divisor af tallet $D(a;b)$

Multiplikation på kryds og tværs

Fælles Divisor-metode

Opgave. Find betydningen af udtrykkene:

For at forstå, hvor stor en forskel den mindst almindelige multiple-metode gør, kan du prøve at beregne de samme eksempler ved hjælp af kryds- og tværs-metoden.

Fællesnævner for brøker

Selvfølgelig uden lommeregner. Jeg tror, at kommentarer efter dette vil være unødvendige.

Se også:

I starten ønskede jeg at inkludere støbningsmetoder fællesnævner i afsnittet "At tilføje og trække brøker fra." Men der viste sig at være så meget information, og dens betydning er så stor (trods alt har ikke kun numeriske brøker fællesnævnere), at det er bedre at studere dette spørgsmål separat.

Så lad os sige, at vi har to brøker med forskellige nævnere. Og vi vil gerne sikre os, at nævnerne bliver de samme. Den grundlæggende egenskab ved en brøk kommer til undsætning, som, lad mig minde dig om, lyder sådan her:

En brøk vil ikke ændre sig, hvis dens tæller og nævner ganges med det samme tal bortset fra nul.

Hvis du vælger faktorerne rigtigt, bliver brøkernes nævnere ens - denne proces kaldes. Og de nødvendige tal, "udligner" nævnerne, kaldes.

Hvorfor skal vi reducere brøker til en fællesnævner? Her er blot et par grunde:

Addere og trække brøker med forskellige nævnere. Der er ingen anden måde at udføre denne operation på;
Sammenligning af brøker. Nogle gange forenkler reduktion til en fællesnævner denne opgave i høj grad;
Løsning af problemer, der involverer brøker og procenter. Procentdele er i det væsentlige almindelige udtryk, der indeholder brøker.

Der er mange måder at finde tal på, som, når de ganges med dem, vil gøre nævnerne af brøker ens. Vi vil kun overveje tre af dem - i rækkefølge efter stigende kompleksitet og i en vis forstand effektivitet.

Multiplikation på kryds og tværs

Den enkleste og pålidelig måde, som med garanti vil udligne nævnerne. Vi vil handle "på hovedet": vi multiplicerer den første brøk med nævneren af den anden brøk, og den anden med nævneren i den første. Som et resultat vil nævnerne af begge brøker blive lig med produktet af de oprindelige nævnere. Tag et kig:

Opgave. Find betydningen af udtrykkene:

Som yderligere faktorer skal du overveje nævnerne af nabobrøker. Vi får:

Ja, så enkelt er det. Hvis du lige er begyndt at studere brøker, er det bedre at arbejde med denne metode - på denne måde sikrer du dig mod mange fejl og får med garanti resultatet.

Den eneste ulempe denne metode- man skal tælle meget, for nævnerne ganges “gennemgående”, og resultatet kan blive meget store tal. Dette er prisen, man skal betale for pålidelighed.

Fælles Divisor-metode

Denne teknik hjælper med at reducere beregninger betydeligt, men den bruges desværre ret sjældent. Metoden er som følger:

Før du går ligeud (dvs. ved at bruge kryds og tværs-metoden), skal du tage et kig på nævnerne. Måske er den ene af dem (den der er større) opdelt i den anden.
Tallet fra denne division vil være en ekstra faktor for brøken med en mindre nævner.
I dette tilfælde skal en brøk med en stor nævner slet ikke ganges med noget – det er her besparelsen ligger. Samtidig er sandsynligheden for fejl kraftigt reduceret.

Opgave. Find betydningen af udtrykkene:

Bemærk at 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Da den ene nævner i begge tilfælde er divideret uden en rest med den anden, bruger vi metoden med fælles faktorer. Vi har:

Bemærk, at den anden brøk ikke blev ganget med noget overhovedet. Faktisk halverede vi mængden af beregninger!

Jeg tog i øvrigt ikke brøkerne i dette eksempel tilfældigt. Hvis du er interesseret, så prøv at tælle dem ved hjælp af kryds- og tværs-metoden. Efter reduktion vil svarene være de samme, men der vil være meget mere arbejde.

Dette er den fælles divisormetodes magt, men igen kan den kun bruges, når en af nævnerne er divideret med den anden uden en rest. Hvilket sker ret sjældent.

Mindst almindelig multiple metode

Når vi reducerer brøker til en fællesnævner, forsøger vi i det væsentlige at finde et tal, der er deleligt med hver nævner. Så bringer vi nævnerne af begge brøker til dette tal.

Der er mange af sådanne tal, og det mindste af dem vil ikke nødvendigvis være lig med det direkte produkt af nævnerne af de oprindelige brøker, som det antages i "kryds-kryds"-metoden.

For eksempel, for nævnere 8 og 12, er tallet 24 ganske passende, da 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Dette tal er meget mindre end produktet 8 12 = 96.

Det mindste tal, der er deleligt med hver af nævnerne, kaldes deres (LCM).

Notation: Det mindste fælles multiplum af a og b betegnes LCM(a; b). For eksempel, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Hvis det lykkes dig at finde et sådant tal, vil den samlede mængde af beregninger være minimal. Se på eksemplerne:

Sådan finder du den laveste fællesnævner

Find betydningen af udtrykkene:

Bemærk at 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktor 2 og 3 er coprime (har ingen fælles faktorer udover 1), og faktor 117 er fælles. Derfor LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Ligeledes 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 og 4 er coprime, og faktor 5 er fælles. Derfor LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Lad os nu bringe brøkerne til fællesnævnere:

Læg mærke til, hvor nyttigt det var at faktorisere de oprindelige nævnere:

Efter at have opdaget identiske faktorer, nåede vi straks frem til det mindste fælles multiplum, hvilket generelt set er et ikke-trivielt problem;
Fra den resulterende udvidelse kan du finde ud af, hvilke faktorer der "mangler" i hver brøk. For eksempel er 234 · 3 = 702, derfor er den ekstra faktor 3 for den første brøk.

Tro ikke, at der ikke vil være så komplekse brøker i de rigtige eksempler. De mødes hele tiden, og ovenstående opgaver er ikke grænsen!

Det eneste problem er, hvordan man finder netop denne NOC. Nogle gange kan alt findes på få sekunder, bogstaveligt talt "ved øjet", men generelt er dette en kompleks beregningsopgave, der kræver separat overvejelse. Det vil vi ikke komme ind på her.

Se også:

Reduktion af brøker til en fællesnævner

Jeg ønskede oprindeligt at inkludere fællesnævnerteknikker i afsnittet om at tilføje og trække brøker fra. Men der viste sig at være så meget information, og dens betydning er så stor (trods alt har ikke kun numeriske brøker fællesnævnere), at det er bedre at studere dette spørgsmål separat.

En brøk vil ikke ændre sig, hvis dens tæller og nævner ganges med det samme tal bortset fra nul.

Hvis du vælger faktorerne rigtigt, bliver brøkernes nævnere ens - denne proces kaldes. Og de nødvendige tal, "udligner" nævnerne, kaldes.

Hvorfor skal vi reducere brøker til en fællesnævner?

Fællesnævner, begreb og definition.

Her er blot et par grunde:

Addere og trække brøker med forskellige nævnere. Der er ingen anden måde at udføre denne operation på;
Sammenligning af brøker. Nogle gange forenkler reduktion til en fællesnævner denne opgave i høj grad;
Løsning af problemer, der involverer brøker og procenter. Procentdele er i det væsentlige almindelige udtryk, der indeholder brøker.

Multiplikation på kryds og tværs

Den enkleste og mest pålidelige metode, som med garanti vil udligne nævnerne. Vi vil handle "på hovedet": vi multiplicerer den første brøk med nævneren af den anden brøk, og den anden med nævneren i den første. Som et resultat vil nævnerne af begge brøker blive lig med produktet af de oprindelige nævnere. Tag et kig:

Opgave. Find betydningen af udtrykkene:

Som yderligere faktorer skal du overveje nævnerne af nabobrøker. Vi får:

Ja, så enkelt er det. Hvis du lige er begyndt at studere brøker, er det bedre at arbejde med denne metode - på denne måde sikrer du dig mod mange fejl og får med garanti resultatet.

Den eneste ulempe ved denne metode er, at du skal tælle meget, fordi nævnerne ganges "hele vejen", og resultatet kan blive meget store tal. Dette er prisen, man skal betale for pålidelighed.

Fælles Divisor-metode

Denne teknik hjælper med at reducere beregninger betydeligt, men den bruges desværre ret sjældent. Metoden er som følger:

Før du går ligeud (dvs. ved at bruge kryds og tværs-metoden), skal du tage et kig på nævnerne. Måske er den ene af dem (den der er større) opdelt i den anden.
Tallet fra denne division vil være en ekstra faktor for brøken med en mindre nævner.
I dette tilfælde skal en brøk med en stor nævner slet ikke ganges med noget – det er her besparelsen ligger. Samtidig er sandsynligheden for fejl kraftigt reduceret.

Opgave. Find betydningen af udtrykkene:

Bemærk at 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Da den ene nævner i begge tilfælde er divideret uden en rest med den anden, bruger vi metoden med fælles faktorer. Vi har:

Bemærk, at den anden brøk ikke blev ganget med noget overhovedet. Faktisk halverede vi mængden af beregninger!

Dette er den fælles divisormetodes magt, men igen kan den kun bruges, når en af nævnerne er divideret med den anden uden en rest. Hvilket sker ret sjældent.

Mindst almindelig multiple metode

Når vi reducerer brøker til en fællesnævner, forsøger vi i det væsentlige at finde et tal, der er deleligt med hver nævner. Så bringer vi nævnerne af begge brøker til dette tal.

Der er mange af sådanne tal, og det mindste af dem vil ikke nødvendigvis være lig med det direkte produkt af nævnerne af de oprindelige brøker, som det antages i "kryds-kryds"-metoden.

For eksempel, for nævnere 8 og 12, er tallet 24 ganske passende, da 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Dette tal er meget mindre end produktet 8 12 = 96.

Det mindste tal, der er deleligt med hver af nævnerne, kaldes deres (LCM).

Notation: Det mindste fælles multiplum af a og b betegnes LCM(a; b). For eksempel, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Hvis det lykkes dig at finde et sådant tal, vil den samlede mængde af beregninger være minimal. Se på eksemplerne:

Opgave. Find betydningen af udtrykkene:

Bemærk at 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktor 2 og 3 er coprime (har ingen fælles faktorer udover 1), og faktor 117 er fælles. Derfor LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Ligeledes 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 og 4 er coprime, og faktor 5 er fælles. Derfor LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Lad os nu bringe brøkerne til fællesnævnere:

Læg mærke til, hvor nyttigt det var at faktorisere de oprindelige nævnere:

Efter at have opdaget identiske faktorer, nåede vi straks frem til det mindste fælles multiplum, hvilket generelt set er et ikke-trivielt problem;
Fra den resulterende udvidelse kan du finde ud af, hvilke faktorer der "mangler" i hver brøk. For eksempel er 234 · 3 = 702, derfor er den ekstra faktor 3 for den første brøk.

For at forstå, hvor stor en forskel den mindst almindelige multiple-metode gør, kan du prøve at beregne de samme eksempler ved hjælp af metoden på kryds og tværs. Selvfølgelig uden lommeregner. Jeg tror, at kommentarer efter dette vil være unødvendige.

Tro ikke, at der ikke vil være så komplekse brøker i de rigtige eksempler. De mødes hele tiden, og ovenstående opgaver er ikke grænsen!

Se også:

Reduktion af brøker til en fællesnævner

En brøk vil ikke ændre sig, hvis dens tæller og nævner ganges med det samme tal bortset fra nul.

Hvis du vælger faktorerne rigtigt, bliver brøkernes nævnere ens - denne proces kaldes. Og de nødvendige tal, "udligner" nævnerne, kaldes.

Hvorfor skal vi reducere brøker til en fællesnævner? Her er blot et par grunde:

Addere og trække brøker med forskellige nævnere. Der er ingen anden måde at udføre denne operation på;
Sammenligning af brøker. Nogle gange forenkler reduktion til en fællesnævner denne opgave i høj grad;
Løsning af problemer, der involverer brøker og procenter. Procentdele er i det væsentlige almindelige udtryk, der indeholder brøker.

Multiplikation på kryds og tværs

Tag et kig:

Opgave. Find betydningen af udtrykkene:

Som yderligere faktorer skal du overveje nævnerne af nabobrøker. Vi får:

Ja, så enkelt er det. Hvis du lige er begyndt at studere brøker, er det bedre at arbejde med denne metode - på denne måde sikrer du dig mod mange fejl og får med garanti resultatet.

Den eneste ulempe ved denne metode er, at du skal tælle meget, fordi nævnerne ganges "hele vejen", og resultatet kan blive meget store tal. Dette er prisen, man skal betale for pålidelighed.

Fælles Divisor-metode

Denne teknik hjælper med at reducere beregninger betydeligt, men den bruges desværre ret sjældent. Metoden er som følger:

Før du går ligeud (dvs. ved at bruge kryds og tværs-metoden), skal du tage et kig på nævnerne. Måske er den ene af dem (den der er større) opdelt i den anden.
Tallet fra denne division vil være en ekstra faktor for brøken med en mindre nævner.
I dette tilfælde skal en brøk med en stor nævner slet ikke ganges med noget – det er her besparelsen ligger. Samtidig er sandsynligheden for fejl kraftigt reduceret.

Opgave. Find betydningen af udtrykkene:

Bemærk at 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Da den ene nævner i begge tilfælde er divideret uden en rest med den anden, bruger vi metoden med fælles faktorer. Vi har:

Bemærk, at den anden brøk ikke blev ganget med noget overhovedet. Faktisk halverede vi mængden af beregninger!

Dette er den fælles divisormetodes magt, men igen kan den kun bruges, når en af nævnerne er divideret med den anden uden en rest. Hvilket sker ret sjældent.

Mindst almindelig multiple metode

Når vi reducerer brøker til en fællesnævner, forsøger vi i det væsentlige at finde et tal, der er deleligt med hver nævner. Så bringer vi nævnerne af begge brøker til dette tal.

Der er mange af sådanne tal, og det mindste af dem vil ikke nødvendigvis være lig med det direkte produkt af nævnerne af de oprindelige brøker, som det antages i "kryds-kryds"-metoden.

For eksempel, for nævnere 8 og 12, er tallet 24 ganske passende, da 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Dette tal er meget mindre end produktet 8 12 = 96.

Det mindste tal, der er deleligt med hver af nævnerne, kaldes deres (LCM).

Notation: Det mindste fælles multiplum af a og b betegnes LCM(a; b). For eksempel, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Hvis det lykkes dig at finde et sådant tal, vil den samlede mængde af beregninger være minimal. Se på eksemplerne:

Opgave. Find betydningen af udtrykkene:

Bemærk at 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktor 2 og 3 er coprime (har ingen fælles faktorer udover 1), og faktor 117 er fælles. Derfor LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Ligeledes 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 og 4 er coprime, og faktor 5 er fælles. Derfor LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Lad os nu bringe brøkerne til fællesnævnere:

Læg mærke til, hvor nyttigt det var at faktorisere de oprindelige nævnere:

Efter at have opdaget identiske faktorer, nåede vi straks frem til det mindste fælles multiplum, hvilket generelt set er et ikke-trivielt problem;
Fra den resulterende udvidelse kan du finde ud af, hvilke faktorer der "mangler" i hver brøk. For eksempel er 234 · 3 = 702, derfor er den ekstra faktor 3 for den første brøk.

Tro ikke, at der ikke vil være så komplekse brøker i de rigtige eksempler. De mødes hele tiden, og ovenstående opgaver er ikke grænsen!

Se også:

Reduktion af brøker til en fællesnævner

En brøk vil ikke ændre sig, hvis dens tæller og nævner ganges med det samme tal bortset fra nul.

Hvis du vælger faktorerne rigtigt, bliver brøkernes nævnere ens - denne proces kaldes. Og de nødvendige tal, "udligner" nævnerne, kaldes.

Hvorfor skal vi reducere brøker til en fællesnævner? Her er blot et par grunde:

Addere og trække brøker med forskellige nævnere. Der er ingen anden måde at udføre denne operation på;
Sammenligning af brøker. Nogle gange forenkler reduktion til en fællesnævner denne opgave i høj grad;
Løsning af problemer, der involverer brøker og procenter. Procentdele er i det væsentlige almindelige udtryk, der indeholder brøker.

Multiplikation på kryds og tværs

Opgave. Find betydningen af udtrykkene:

Som yderligere faktorer skal du overveje nævnerne af nabobrøker. Vi får:

Ja, så enkelt er det. Hvis du lige er begyndt at studere brøker, er det bedre at arbejde med denne metode - på denne måde sikrer du dig mod mange fejl og får med garanti resultatet.

Den eneste ulempe ved denne metode er, at du skal tælle meget, fordi nævnerne ganges "hele vejen", og resultatet kan blive meget store tal.

Reduktion af brøker til en fællesnævner

Dette er prisen, man skal betale for pålidelighed.

Fælles Divisor-metode

Denne teknik hjælper med at reducere beregninger betydeligt, men den bruges desværre ret sjældent. Metoden er som følger:

Før du går ligeud (dvs. ved at bruge kryds og tværs-metoden), skal du tage et kig på nævnerne. Måske er den ene af dem (den der er større) opdelt i den anden.
Tallet fra denne division vil være en ekstra faktor for brøken med en mindre nævner.
I dette tilfælde skal en brøk med en stor nævner slet ikke ganges med noget – det er her besparelsen ligger. Samtidig er sandsynligheden for fejl kraftigt reduceret.

Opgave. Find betydningen af udtrykkene:

Bemærk at 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Da den ene nævner i begge tilfælde er divideret uden en rest med den anden, bruger vi metoden med fælles faktorer. Vi har:

Bemærk, at den anden brøk ikke blev ganget med noget overhovedet. Faktisk halverede vi mængden af beregninger!

Dette er den fælles divisormetodes magt, men igen kan den kun bruges, når en af nævnerne er divideret med den anden uden en rest. Hvilket sker ret sjældent.

Mindst almindelig multiple metode

Når vi reducerer brøker til en fællesnævner, forsøger vi i det væsentlige at finde et tal, der er deleligt med hver nævner. Så bringer vi nævnerne af begge brøker til dette tal.

Der er mange af sådanne tal, og det mindste af dem vil ikke nødvendigvis være lig med det direkte produkt af nævnerne af de oprindelige brøker, som det antages i "kryds-kryds"-metoden.

For eksempel, for nævnere 8 og 12, er tallet 24 ganske passende, da 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Dette tal er meget mindre end produktet 8 12 = 96.

Det mindste tal, der er deleligt med hver af nævnerne, kaldes deres (LCM).

Notation: Det mindste fælles multiplum af a og b betegnes LCM(a; b). For eksempel, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Hvis det lykkes dig at finde et sådant tal, vil den samlede mængde af beregninger være minimal. Se på eksemplerne:

Opgave. Find betydningen af udtrykkene:

Bemærk at 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktor 2 og 3 er coprime (har ingen fælles faktorer udover 1), og faktor 117 er fælles. Derfor LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Ligeledes 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 og 4 er coprime, og faktor 5 er fælles. Derfor LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Lad os nu bringe brøkerne til fællesnævnere:

Læg mærke til, hvor nyttigt det var at faktorisere de oprindelige nævnere:

Efter at have opdaget identiske faktorer, nåede vi straks frem til det mindste fælles multiplum, hvilket generelt set er et ikke-trivielt problem;
Fra den resulterende udvidelse kan du finde ud af, hvilke faktorer der "mangler" i hver brøk. For eksempel er 234 · 3 = 702, derfor er den ekstra faktor 3 for den første brøk.

Tro ikke, at der ikke vil være så komplekse brøker i de rigtige eksempler. De mødes hele tiden, og ovenstående opgaver er ikke grænsen!

Når man adderer og subtraherer algebraiske brøker med forskellige nævnere, fører brøkerne først til fællesnævner. Det betyder, at de finder én nævner, der er divideret med den oprindelige nævner af hver algebraisk brøk, der indgår i det givne udtryk.

Som du ved, hvis tælleren og nævneren for en brøk ganges (eller divideres) med det samme tal bortset fra nul, ændres brøkens værdi ikke. Dette er hovedegenskaben ved en brøk. Derfor, når brøker reduceres til en fællesnævner, multiplicerer de i det væsentlige den oprindelige nævner af hver brøk med den manglende faktor for at opnå en fællesnævner. I dette tilfælde skal du gange brøkens tæller med denne faktor (den er forskellig for hver brøk).

For eksempel givet følgende sum af algebraiske brøker:

Det er nødvendigt at forenkle udtrykket, det vil sige tilføje to algebraiske brøker. For at gøre dette skal du først og fremmest bringe brøkleddet til en fællesnævner. Det første skridt er at finde et monomial, der er deleligt med både 3x og 2y. I dette tilfælde er det ønskeligt, at det er det mindste, det vil sige finde det mindste fælles multiplum (LCM) for 3x og 2y.

For numeriske koefficienter og variable søges LCM separat. LCM(3, 2) = 6, og LCM(x, y) = xy. Derefter ganges de fundne værdier: 6xy.

Nu skal vi bestemme med hvilken faktor vi skal gange 3x for at få 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Det betyder, at når man reducerer den første algebraiske brøk til en fællesnævner, skal dens tæller ganges med 2y (nævneren er allerede blevet ganget, når man reducerer til en fællesnævner). Multiplikatoren for tælleren for den anden brøk søges på samme måde. Det vil være lig med 3x.

Således får vi:

Så kan du gå videre som med brøker med samme nævnere: tællerne tilføjes, og en fællesnævner skrives:

Efter transformationer opnås et forenklet udtryk, som er et algebraisk brøk, som er summen af to oprindelige:

Algebraiske brøker i det oprindelige udtryk kan indeholde nævnere, der er polynomier i stedet for monomer (som i eksemplet ovenfor). I dette tilfælde, før du søger efter en fællesnævner, bør du faktorisere nævnerne (hvis det er muligt). Dernæst samles fællesnævneren ud fra forskellige faktorer. Hvis multiplikatoren er i flere oprindelige nævnere, tages den én gang. Hvis multiplikatoren har forskellige potenser i de oprindelige nævnere, tages den med den største. For eksempel:

Her kan polynomiet a 2 – b 2 repræsenteres som produktet (a – b)(a + b). Faktoren 2a – 2b udvides til 2(a – b). Fællesnævneren vil således være 2(a – b)(a + b).

For at reducere brøker til den laveste fællesnævner skal du: 1) finde det mindste fælles multiplum af nævnerne af de givne brøker, det vil være den laveste fællesnævner. 2) find en ekstra faktor for hver brøk, hvorfor dividere ny nævner til nævneren af hver brøk. 3) gange tælleren og nævneren for hver brøk med dens yderligere faktor.

Eksempler. Reducer følgende brøker til deres laveste fællesnævner.

Vi finder det mindste fælles multiplum af nævnerne: LCM(5; 4) = 20, da 20 er det mindste tal, der er deleligt med både 5 og 4. Find for 1. brøk en ekstra faktor 4 (20) : 5=4). For den anden fraktion er den ekstra faktor 5 (20 : 4=5). Vi multiplicerer tælleren og nævneren af 1. brøk med 4, og tæller og nævner af 2. brøk med 5. Vi har reduceret disse brøker til den laveste fællesnævner ( 20 ).

Den laveste fællesnævner for disse brøker er tallet 8, da 8 er deleligt med 4 og sig selv. Der vil ikke være nogen ekstra faktor for 1. brøk (eller vi kan sige, at den er lig med en), for 2. brøk er den ekstra faktor 2 (8 : 4=2). Vi multiplicerer tælleren og nævneren af 2. brøk med 2. Vi har reduceret disse brøker til den laveste fællesnævner ( 8 ).

Disse fraktioner er ikke irreducerbare.

Lad os reducere 1. brøk med 4 og reducere 2. brøk med 2. ( se eksempler på reduktion af almindelige brøker: Sitemap → 5.4.2. Eksempler på reduktion af almindelige brøker). Find LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Den ekstra multiplikator for 1. brøk er 5 (80 : 16=5). Den ekstra faktor for 2. fraktion er 4 (80 : 20=4). Vi gange tælleren og nævneren af 1. brøk med 5, og tæller og nævner af 2. brøk med 4. Vi har reduceret disse brøker til den laveste fællesnævner ( 80 ).

Vi finder den laveste fællesnævner NCD(5 ; 6 og 15)=NOK(5 ; 6 og 15) = 30. Den ekstra faktor til 1. fraktion er 6 (30 : 5=6), er den ekstra faktor til 2. fraktion 5 (30 : 6=5), er den yderligere faktor til 3. brøk 2 (30 : 15=2). Vi gange tælleren og nævneren af 1. brøk med 6, tæller og nævner i 2. brøk med 5, tæller og nævner i 3. brøk med 2. Vi har reduceret disse brøker til den laveste fællesnævner ( 30 ).

Side 1 af 1 1

Denne artikel forklarer hvordan man finder den laveste fællesnævner Og hvordan man reducerer brøker til en fællesnævner. Først gives definitionerne af fællesnævner for brøker og mindste fællesnævner, og det vises, hvordan man finder fællesnævneren for brøker. Nedenfor er en regel for reduktion af brøker til en fællesnævner, og eksempler på anvendelsen af denne regel overvejes. Afslutningsvis diskuteres eksempler på at bringe tre eller flere brøker til en fællesnævner.

Sidenavigation.

Hvad kaldes at reducere brøker til en fællesnævner?

Nu kan vi sige, hvad det er at reducere brøker til en fællesnævner. Reduktion af brøker til en fællesnævner- Dette er multiplikationen af tællere og nævnere af givne brøker med sådanne yderligere faktorer, at resultatet er brøker med de samme nævnere.

Fællesnævner, definition, eksempler

Nu er det tid til at definere fællesnævneren for brøker.

Med andre ord er fællesnævneren for et bestemt sæt almindelige brøker ethvert naturligt tal, der er deleligt med alle nævnerne i disse brøker.

Af den angivne definition følger det, at et givet brøksæt har uendeligt mange fællesnævnere, da der er et uendeligt antal fælles multipla af alle nævnere i det oprindelige brøksæt.

Ved at bestemme fællesnævneren for brøker kan du finde fællesnævnerne for givne brøker. Lad for eksempel, givet brøkerne 1/4 og 5/6, deres nævnere er henholdsvis 4 og 6. Positive fælles multipla af tallene 4 og 6 er tallene 12, 24, 36, 48, ... Ethvert af disse tal er en fællesnævner for brøkerne 1/4 og 5/6.

For at konsolidere materialet skal du overveje løsningen til følgende eksempel.

Eksempel.

Kan brøkerne 2/3, 23/6 og 7/12 reduceres til en fællesnævner på 150?

Løsning.

For at besvare spørgsmålet skal vi finde ud af, om tallet 150 er et fælles multiplum af nævnerne 3, 6 og 12. For at gøre dette, lad os kontrollere, om 150 er deleligt med hvert af disse tal (se om nødvendigt reglerne og eksemplerne på at dividere naturlige tal, samt reglerne og eksemplerne på at dividere naturlige tal med en rest): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (resterende 6).

Så, 150 er ikke ligeligt deleligt med 12, derfor er 150 ikke et fælles multiplum af 3, 6 og 12. Derfor kan tallet 150 ikke være fællesnævneren for de oprindelige brøker.

Svar:

Det er forbudt.

Laveste fællesnævner, hvordan finder man den?

I mængden af tal, der er fællesnævnere for givne brøker, er der et mindste naturligt tal, som kaldes den mindste fællesnævner. Lad os formulere definitionen af den laveste fællesnævner for disse brøker.

Definition.

Laveste fællesnævner er det mindste antal af alle disse brøkers fællesnævnere.

Det er tilbage at beskæftige sig med spørgsmålet om, hvordan man finder den mindste fælles divisor.

Da er den mindst positive fælles divisor af et givet sæt tal, repræsenterer LCM af nævnerne af de givne brøker den mindste fællesnævner af de givne brøker.

At finde den laveste fællesnævner for brøker kommer således ned til nævnerne for disse brøker. Lad os se på løsningen på eksemplet.

Eksempel.

Find den laveste fællesnævner for brøkerne 3/10 og 277/28.

Løsning.

Nævnerne for disse brøker er 10 og 28. Den ønskede laveste fællesnævner findes som LCM for tallene 10 og 28. I vores tilfælde er det nemt: da 10=2·5, og 28=2·2·7, så LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Svar:

140 .

Hvordan reducerer man brøker til en fællesnævner? Regler, eksempler, løsninger

Som regel almindelige brøker føre til den laveste fællesnævner. Vi vil nu skrive en regel ned, der forklarer, hvordan man reducerer brøker til deres laveste fællesnævner.

Regel for reduktion af brøker til laveste fællesnævner består af tre trin:

Find først den laveste fællesnævner for brøkerne.
For det andet beregnes en ekstra faktor for hver brøk ved at dividere den laveste fællesnævner med nævneren for hver brøk.
For det tredje ganges tælleren og nævneren for hver brøk med dens yderligere faktor.

Lad os anvende den angivne regel til at løse det følgende eksempel.

Eksempel.

Reducer brøkerne 5/14 og 7/18 til deres laveste fællesnævner.

Løsning.

Lad os udføre alle trinene i algoritmen for at reducere brøker til den laveste fællesnævner.

Først finder vi den mindste fællesnævner, som er lig med det mindste fælles multiplum af tallene 14 og 18. Da 14=2·7 og 18=2·3·3, så LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

Nu beregner vi yderligere faktorer, ved hjælp af hvilke brøkerne 5/14 og 7/18 reduceres til nævneren 126. For brøken 5/14 er den ekstra faktor 126:14=9, og for brøken 7/18 er den ekstra faktor 126:18=7.

Tilbage er at gange tællere og nævnere af brøkerne 5/14 og 7/18 med yderligere faktorer henholdsvis 9 og 7. Vi har og .