Løsningsmetoder irrationelle ligninger.
Foreløbig forberedelse til lektionen: Eleverne skal kunne løse irrationelle ligninger på en række forskellige måder.
Tre uger før denne lektion får eleverne hjemmeopgave nummer 1: Løs forskellige irrationelle ligninger. (Eleverne finder selvstændigt 6 forskellige irrationelle ligninger og løser dem i par.)
En uge før denne lektion får eleverne hjemmeopgave nr. 2, som de udfører individuelt.
1. Løs ligningenpå forskellige måder.
2. Vurder fordele og ulemper ved hver metode.
3. Optag resultaterne i form af en tabel.
| № p/p | Vej | Fordele | Fejl |
Lektionens mål:
Uddannelsesmæssigt:generalisering af elevernes viden om dette emne, demonstration af forskellige metoder til løsning af irrationelle ligninger, elevers evne til at nærme sig løsning af ligninger fra et forskningsperspektiv.
Uddannelsesmæssigt:fremme af selvstændighed, evnen til at lytte til andre og kommunikere i grupper, øge interessen for emnet.
Udviklingsmæssigt:udvikling af logisk tænkning, algoritmisk kultur, selvuddannelsesevner, selvorganisering, arbejde i par, når de laver lektier, færdigheder til at analysere, sammenligne, generalisere og drage konklusioner.
Udstyr: computer, projektor, lærred, bord “Regler for løsning af irrationelle ligninger”, plakat med citat fra M.V. Lomonosov "Matematik bør kun undervises da, fordi det bringer sindet i orden," kort.
Regler for løsning af irrationelle ligninger.
Lektionstype: lektionsseminar (arbejd i grupper på 5-6 personer, hver gruppe skal have stærke elever).
Lektionens fremskridt
jeg . Organisatorisk øjeblik
(Formidling af emnet og målene for lektionen)
II . Præsentation forskningsarbejde"Metoder til løsning af irrationelle ligninger"
(Arbejdet præsenteres af den studerende, der har udført det.)
III . Analyse af metoder til løsning af hjemmeopgaver
(En elev fra hver gruppe skriver deres foreslåede løsningsmetoder ned på tavlen. Hver gruppe analyserer en af løsningsmetoderne, vurderer fordele og ulemper og drager konklusioner. Eleverne i grupperne tilføjer evt. Gruppens analyse og konklusioner Svarene skal være klare og fyldestgørende.)
Den første metode: hæve begge sider af ligningen til samme styrke og derefter kontrollere.
Løsning.
Lad os kvadrere begge sider af ligningen igen:
Herfra
Undersøgelse:
1. Hvisx=42 så, hvilket betyder nummeret42 er ikke roden til ligningen.
2. Hvisx=2, så, hvilket betyder nummeret2 er roden til ligningen.
Svar:2.
| № p/p | Vej | Fordele | Fejl |
| Hæve begge sider af en ligning til samme potens | 1. Jeg kan se. 2. Tilgængelig. | 1. Verbal optagelse. 2. Svær verifikation. |
Konklusion. Når man løser irrationelle ligninger ved at hæve begge sider af ligningen til samme potens, er det nødvendigt at føre en verbal registrering, som gør løsningen forståelig og tilgængelig. Obligatorisk verifikation er dog nogle gange kompleks og tidskrævende. Denne metode kan bruges til at løse simple irrationelle ligninger, der indeholder 1-2 radikaler.
Den anden metode: ækvivalente transformationer.
Løsning:Lad os kvadrere begge sider af ligningen:
Svar:2.
| № p/p | Vej | Fordele | Fejl |
| Tilsvarende transformationer | 1. Mangel på verbal beskrivelse. 2. Ingen verifikation. 3. Ryd logisk notation. 4. Sekvens af ækvivalente overgange. | 1. Besværlig optagelse. 2. Du kan lave en fejl, når du kombinerer tegnene fra et system og et sæt. |
Konklusion. Når du løser irrationelle ligninger ved hjælp af metoden med ækvivalente overgange, skal du klart vide, hvornår du skal sætte systemets fortegn, og hvornår du skal sætte fortegnet for aggregatet. Optagelsens besværlighed og forskellige kombinationer af system- og kombinationssymboler fører ofte til fejl. Sekvensen af ækvivalente overgange, en klar logisk notation uden en verbal beskrivelse, som ikke kræver verifikation, er imidlertid de ubestridelige fordele ved denne metode.
Den tredje metode: funktionel-grafisk.
Løsning.
Lad os se på funktionerneOg.
1. Funktionberolige; er stigende, pga eksponent er et positivt (ikke heltal) tal.
D(f).
Lad os lave en værditabelxOgf( x).
| 1,5 | 3,5 | |||
| f(x) |
2. Funktionberolige; er faldende.
Lad os finde definitionsdomænet for funktionenD( g).
Lad os lave en værditabelxOgg( x).
| g(x) |
Lad os konstruere disse funktionsgrafer i ét koordinatsystem.
Grafer over funktioner skærer hinanden i abscissepunktetFordi fungeref( x) øges, og funktioneng( x) falder, så vil der kun være én løsning på ligningen.
Svar: 2.
| №p/p | Vej | Fordele | Fejl |
| Funktionel-grafik | 1. Synlighed. 2. Der er ingen grund til at lave komplekse algebraiske transformationer og overvåge ODZ. 3. Giver dig mulighed for at finde antallet af løsninger. | 1. verbal optagelse. 2. Det er ikke altid muligt at finde et præcist svar, og hvis svaret er præcist, så er verifikation nødvendig. |
Konklusion. Den funktionelt-grafiske metode er visuel og giver dig mulighed for at finde antallet af løsninger, men det er bedre at bruge det, når du nemt kan bygge grafer over de funktioner, der overvejes og få et præcist svar. Hvis svaret er omtrentligt, er det bedre at bruge en anden metode.
Fjerde metode: indførelse af en ny variabel.
Løsning.Lad os introducere nye variabler, der betegnerVi får den første ligning af systemet
Lad os skabe den anden ligning af systemet.
For en variabel:
For en variabel
Det er derfor
Vi får et system af to rationelle ligninger, mhpOg
Vender tilbage til variablen, får vi
Introduktion af en ny variabelForenkling - opnåelse af et ligningssystem, der ikke indeholder radikaler
1. Behovet for at spore DID for nye variabler
2. Behovet for at vende tilbage til den oprindelige variabel
Konklusion. Denne metode bruges bedst til irrationelle ligninger, der indeholder radikaler af forskellige grader, eller identiske polynomier under rodtegnet og bag rodtegnet, eller gensidige udtryk under rodtegnet.
- Så gutter, for hver irrationel ligning skal du vælge mest bekvem måde løsninger: klar. Tilgængelig, logisk og kompetent designet. Ræk hånden op, hvem af jer foretrækker:
1) metoden til at hæve begge sider af ligningen til samme styrke med verifikation;
2) metoden med ækvivalente transformationer;
3) funktionel-grafisk metode;
4) metoden til at indføre en ny variabel.
IV . Praktisk del
(Arbejd i grupper. Hver gruppe elever modtager et kort med en ligning og løser det i deres notesbøger. På dette tidspunkt løser en repræsentant fra gruppen et eksempel på tavlen. Elever i hver gruppe løser det samme eksempel som et medlem af deres gruppe og overvåge de korrekte udførelsesopgaver på tavlen Hvis den, der svarer ved tavlen, laver fejl, så rækker den, der bemærker dem, hånden op og hjælper med at rette dem i løbet af lektionen, ud over eksemplet løst af sin gruppe, skal skrive andre foreslået til grupperne i en notesbog og løse dem derhjemme.)
Gruppe 1.
Gruppe 2.
Gruppe 3.
V . Selvstændigt arbejde
(I grupper er der først en diskussion, og derefter begynder eleverne at udføre opgaven. Den rigtige beslutning udarbejdet af læreren vises på skærmen.)
VI . Opsummering af lektionen
Nu ved du, at løsning af irrationelle ligninger kræver, at du har god teoretisk viden, evnen til at anvende dem i praksis, opmærksomhed, hårdt arbejde og intelligens.
Lektier
Løs ligningerne givet til grupperne i løbet af lektionen.
Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.
Indsamling og brug af personlige oplysninger
Personlige oplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere bestemt person eller forbindelse med ham.
Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.
Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.
Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:
- Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse e-mail osv.
Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:
- Samlet af os personlige oplysninger giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
- Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
- Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
- Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.
Videregivelse af oplysninger til tredjemand
Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.
Undtagelser:
- Om nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, retssager og/eller baseret på offentlige anmodninger eller anmodninger fra offentlige myndigheder på Den Russiske Føderations område - videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
- I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.
Beskyttelse af personlige oplysninger
Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.
Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau
For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.
Løsning af irrationelle ligninger.
I denne artikel vil vi tale om løsninger de enkleste irrationelle ligninger.
Irrationel ligning er en ligning, der indeholder en ukendt under rodtegnet.
Lad os se på to typer irrationelle ligninger, som er meget ens ved første øjekast, men i bund og grund er meget forskellige fra hinanden.
(1)
(2)
I den første ligning vi ser, at det ukendte er under tegnet af roden af tredje grad. Vi kan tage den ulige rod af et negativt tal, så i denne ligning er der ingen begrænsninger på hverken udtrykket under rodtegnet eller udtrykket i højre side af ligningen. Vi kan hæve begge sider af ligningen til tredje potens for at slippe af med roden. Vi får en ækvivalent ligning:
Når vi hæver højre og venstre side af ligningen til en ulige potens, kan vi ikke være bange for at få uvedkommende rødder.
Eksempel 1. Lad os løse ligningen 
Lad os hæve begge sider af ligningen til tredje potens. Vi får en ækvivalent ligning:
Lad os flytte alle led til den ene side og sætte x ud af parentes:
Ved at sidestille hver faktor med nul får vi:
Svar: (0;1;2)
Lad os se nærmere på den anden ligning: . På venstre side af ligningen er kvadratroden, som kun tager ikke-negative værdier. Derfor, for at ligningen skal have løsninger, skal højre side også være ikke-negativ. Derfor er betingelsen pålagt i højre side af ligningen:
Title="g(x)>=0"> - это !} betingelse for eksistensen af rødder.
For at løse en ligning af denne type skal du kvadratisere begge sider af ligningen:
(3)
Kvadring kan føre til udseendet af fremmede rødder, så vi har brug for ligningerne:
Title="f(x)>=0"> (4)!}
Ulighed (4) følger imidlertid af betingelse (3): hvis højre side af ligheden indeholder kvadratet af et udtryk, og kvadratet af ethvert udtryk kun kan have ikke-negative værdier, skal venstre side derfor også være ikke- negativ. Derfor følger betingelse (4) automatisk af betingelse (3) og vores ligning svarer til systemet:
Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}
Eksempel 2. Lad os løse ligningen:
.
Lad os gå videre til et tilsvarende system:
Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}
Lad os løse den første ligning i systemet og tjekke, hvilke rødder der opfylder uligheden.
Ulighed title="1-x>=0">удовлетворяет только корень !}
Svar: x=1
Opmærksomhed! Hvis vi i processen med at løse kvadrater på begge sider af ligningen, så skal vi huske, at der kan forekomme fremmede rødder. Derfor skal du enten gå videre til et tilsvarende system, eller i slutningen af løsningen, GØR EN KONTROL: find rødderne og indsæt dem i den oprindelige ligning.
Eksempel 3. Lad os løse ligningen:
For at løse denne ligning skal vi også kvadrere begge sider. Lad os ikke bekymre os om ODZ'en og betingelsen for eksistensen af rødder i denne ligning, men blot foretage et tjek i slutningen af løsningen.
Lad os kvadrere begge sider af ligningen:
Metodeudvikling for valgfaget
"Metoder til løsning af irrationelle ligninger""
INDLEDNING
Det foreslåede valgfag ”Metoder til løsning af irrationelle ligninger” henvender sig til elever i 11. klassetrin på en almen uddannelsesskole og er fagorienteret, rettet mod at udvide elevernes teoretiske og praktiske viden. Valgfaget bygger på den viden og de færdigheder, som eleverne tilegner sig, når de studerer matematik i gymnasiet.
Det særlige ved dette kursus er, at det primært er beregnet til studerende, der ønsker at udvide, uddybe, systematisere, generalisere deres matematiske viden og lære almindelige metoder og teknikker til løsning af irrationelle ligninger. Uddannelsen omfatter problemstillinger, der delvist går ud over de nuværende uddannelser i matematik og ikke-standardiserede metoder, som giver dig mulighed for mere effektivt at løse forskellige problemer.
De fleste USE-opgaver kræver, at kandidater mestrer forskellige metoder til at løse forskellige typer ligninger og deres systemer. Materiale relateret til ligninger og ligningssystemer udgør en væsentlig del af skolens matematikforløb. Relevans af emnevalg valgfag er bestemt af vigtigheden af emnet "Irrationelle ligninger" i skolens matematikkursus og på samme tid af manglen på tid til at overveje ikke-standardiserede metoder og tilgange til løsning af irrationelle ligninger, som findes i gruppens opgaver "C" i Unified State Examination.
Sammen med den grundlæggende opgave at undervise i matematik - at sikre elevernes stærke og bevidste beherskelse af systemet med matematisk viden og færdigheder - sørger dette valgfag for dannelsen af en vedvarende interesse for emnet, udvikling af matematiske evner, øget niveau af matematisk kultur af studerende, hvilket skaber grundlaget for succesfuldt at bestå Unified State Exam og videreuddannelse på universiteter.
Formål med kurset:
Øge forståelsen og praktisk træning ved løsning af irrationelle ligninger;
Undersøgelse af teknikker og metoder til løsning af irrationelle ligninger;
Udvikle evnen til at analysere, fremhæve det vigtigste, danne elementer af kreativ søgning baseret på generaliseringsteknikker;
Udvid elevernes viden om dette emne, forbedre færdigheder og løsningsevner forskellige opgaver for at have bestået Unified State-eksamenen.
Kursusmål:
Udvide viden om metoder og teknikker til løsning af algebraiske ligninger;
Generalisering og systematisering af viden, når man studerer i klasse 10-11 og forbereder sig til Unified State Exam;
Udvikling af evnen til selvstændigt at tilegne sig og anvende viden;
At introducere eleverne til at arbejde med matematisk litteratur;
Udvikling af elevernes logiske tænkning, deres algoritmiske kultur og matematiske intuition;
Forbedring af elevens matematiske kultur.
Det valgfrie kursus indebærer at studere forskellige metoder og tilgange til at løse irrationelle ligninger og udvikle praktiske færdigheder om de emner, der overvejes. Kurset varer 17 timer.
Programmet er kompliceret, overgår det sædvanlige studieforløb, fremmer udviklingen af abstrakt tænkning og udvider den studerendes kognitionsområde. Samtidig opretholder den kontinuitet med eksisterende programmer, som er deres logiske fortsættelse.
Pædagogisk og tematisk plan
№p/p
Lektionens emne
Antal timer
Løsning af ligninger under hensyntagen til rækken af acceptable værdier
Løsning af irrationelle ligninger ved at hæve til naturlige magter
Løsning af ligninger ved at indføre hjælpevariable (erstatningsmetode)
Løsning af en ligning med et radikal af tredje grad.
Identiske transformationer ved løsning af irrationelle ligninger
Ukonventionelle opgaver. Problemer i gruppe "C" i Unified State Exam
Kontrolformer: hjemmetest, selvstændigt arbejde, essays og forskningsartikler.
Som et resultat af at studere dette valgfag, skal de studerende være i stand til at løse forskellige irrationelle ligninger ved hjælp af standard og ikke-standard metoder og teknikker;
mestre algoritmen til løsning af standard irrationelle ligninger;
kunne bruge ligningers egenskaber til at løse ikke-standardiserede problemer;
kunne udføre identitetstransformationer ved løsning af ligninger;
har en klar forståelse af emnerne for en enkelt statslig eksamen, om de vigtigste metoder til at løse dem;
få erfaring med at vælge metoder til løsning af ikke-standardiserede problemer.
HOVEDDEL.
Ligninger, hvor den ukendte størrelse er under det radikale tegn kaldes irrationel.
De enkleste irrationelle ligninger inkluderer ligninger af formen:
Løsningens hovedidé af en irrationel ligning består i at reducere den til en rationel algebraisk ligning, som enten svarer til den oprindelige irrationelle ligning eller er dens konsekvens. Når vi løser irrationelle ligninger, taler vi altid om at finde rigtige rødder.
Lad os se på nogle måder at løse irrationelle ligninger på.
1. Løsning af irrationelle ligninger under hensyntagen til rækkevidden af tilladte værdier (APV).
Området med tilladte værdier af en irrationel ligning består af de værdier af de ukendte, for hvilke alle udtryk under tegnet af en radikal af lige grad er ikke-negative.
Nogle gange giver kendskab til ODZ'en dig mulighed for at bevise, at ligningen ikke har nogen løsninger, og nogle gange giver dig mulighed for at finde løsninger til ligningen ved direkte at erstatte tal fra ODZ'en.
Eksempel 1 . Løs ligningen.
Løsning . Efter at have fundet ODZ af denne ligning, kommer vi til den konklusion, at ODZ af den oprindelige ligning er et enkeltelementsæt. Erstatningx=2ind i denne ligning kommer vi til den konklusion, atx=2er roden til den oprindelige ligning.
Svar : 2 .
Eksempel 2.
Ligningen har ingen løsninger, fordi for hver tilladt værdi af variablen, summen af to ikke negative tal kan ikke være negativ.
Eksempel 3. 
+ 3 = 
.
ODZ:
ODZ-ligningen er et tomt sæt.
Svar: ligningen har ingen rødder.
Eksempel 4. 3
−4
−
=−(2+
).
ODZ:
ODZ: 
. Ved at kontrollere er vi overbevist om, at x=1 er roden af ligningen.
Svar: 1.
Bevis, at ligningen ikke har
rødder.
1. 
= 0.
2. 
=1.
3. 5
.
4.
+ 
=2.
5.=
.
Løs ligningen.
1. .
2. = 0.
3. 
= 92.
4. = 0.
5. 
+
+(x+3)(2005−x)=0.
2. B at hæve begge sider af ligningen til den naturlige magt , altså overgangen fra ligningen
(1)
til ligningen
. (2)
Følgende udsagn er sande:
1) for enhver ligning (2) er en konsekvens af ligning (1);
2) hvis ( n er et ulige tal), derefter ligning (1) og (2 ) er ækvivalente;
3) hvis ( n er et lige tal), så svarer ligning (2) til ligningen
, (3)
og ligning (3) er ækvivalent med sættet af ligninger
. (4)
Især ligningen
(5)
er ækvivalent med ligningssættet (4).
Eksempel 1. Løs ligningen
.
Ligningen svarer til systemet
hvoraf det følger, at x=1, og roden ikke opfylder den anden ulighed. Samtidig kræver en kompetent løsning ikke verifikation.
Svar:x=1.
Eksempel 2. Løs ligningen.
Løsning af den første ligning i dette system, som svarer til ligningen 
, vi får rødderne og . Dog ved disse værdier x uligheden holder ikke, og derfor har denne ligning ingen rødder.
Svar: ingen rødder.
Eksempel 3. Løs ligningen
Ved at isolere det første radikal får vi ligningen
svarende til den originale.
Ved at kvadrere begge sider af denne ligning, da de begge er positive, får vi ligningen
,
som er en konsekvens af den oprindelige ligning. Ved at kvadrere begge sider af denne ligning under den betingelse, at , kommer vi frem til ligningen
.
Denne ligning har rødder, . Den første rod opfylder den oprindelige betingelse, men den anden gør det ikke.
Svar: x=2.
Hvis ligningen indeholder to eller flere radikaler, bliver de først isoleret og derefter kvadreret.
Eksempel 1.
Ved at isolere det første radikal får vi en ligning svarende til den givne. Lad os kvadrere begge sider af ligningen:
Efter at have udført de nødvendige transformationer, kvadrerer vi den resulterende ligning 
Efter at have tjekket, bemærker vi det
er ikke inden for området for acceptable værdier.
Svar: 8.
Svar: 2
Svar: 3; 1.4.
3. Mange irrationelle ligninger løses ved at indføre hjælpevariable.
Praktiske midler løsning af irrationelle ligninger er nogle gange en metode til at introducere en ny variabel, eller "erstatningsmetode" Metoden anvendes normalt, når i lign. nogle udtryk dukker op gentagne gange, afhængigt af en ukendt mængde. Så giver det mening at betegne dette udtryk med et nyt bogstav og prøve at løse ligningen først med hensyn til den introducerede ukendte, og derefter finde den oprindelige ukendte.
Godt valg ny variabel gør strukturen af ligningen mere gennemsigtig. Den nye variabel er nogle gange indlysende, nogle gange noget tilsløret, men "følt" og nogle gange "manifesterer" kun i transformationsprocessen.
Eksempel 1. 
Lade 
t>0, så
t = 
,
t2 +5t-14=0,
t1=-7, t2=2. t=-7 opfylder altså ikke betingelsen t>0
,
x 2 -2x-5=0,
x 1 =1- 
, x 2 = 1+ .
Svar: 1- ; 1+.
Eksempel 2. Løs en irrationel ligning 
Udskiftning:
Omvendt udskiftning: /
Svar:
Eksempel 3. Løs ligningen 
.
Lad os lave udskiftninger: , . Den oprindelige ligning vil blive omskrevet i formen , hvorfra vi finder det EN = 4b Og . Dernæst hæve begge sider af ligningen 
i kvadrat, får vi: Herfra X= 15. Det eneste der er tilbage er at tjekke:
- rigtigt!
Svar: 15.
Eksempel 4. Løs ligningen
Med , får vi en væsentligt enklere irrationel ligning. Lad os kvadrere begge sider af ligningen: .
; 
;
; 
; , .
Hvis du tjekker de fundne værdier og indsætter dem i ligningen, viser det sig, at det er roden af ligningen, og det er en uvedkommende rod.
Vender tilbage til den oprindelige variabel x, får vi en ligning, det vil sige en andengradsligning, løser som vi finder to rødder: ,. Begge rødder opfylder den oprindelige ligning.
Svar: , .
Udskiftning er især nyttig, hvis en ny kvalitet opnås som et resultat, for eksempel bliver en irrationel ligning til en rationel.
Eksempel 6. Løs ligningen.
Lad os omskrive ligningen sådan her: .
Det kan ses, at hvis vi indfører en ny variabel 
, så tager ligningen formen 
, hvor er den uvedkommende rod og .
Fra ligningen får vi .
Svar: , .
Eksempel 7. Løs ligningen 
.
Lad os introducere en ny variabel, .
Som et resultat antager den oprindelige irrationelle ligning form af en andengrad
,
hvorfra vi under hensyntagen til begrænsningen får . Løser vi ligningen, får vi roden. Svar: 2,5.
Opgaver til selvstændig løsning.
1. 
+
=
.
2. 
+
=.
3.
.
5. 
.
4. Metode til at introducere to hjælpevariable.
Formens ligninger 
(Her -en
,
b
,
c
,
d
–
nogle tal m
,
n
–
naturlige tal) og en række andre ligninger kan ofte løses ved at introducere to hjælpeubekendte: og , hvor og efterfølgende overgang til ækvivalent system af rationelle ligninger.
Eksempel 1. Løs ligningen.
At hæve begge sider af denne ligning til fjerde potens lover ikke noget godt. Hvis vi sætter , så omskrives den oprindelige ligning som følger: . Da vi har introduceret to nye ubekendte, er vi nødt til at finde en anden ligning, der vedrører y Og z. For at gøre dette hæver vi lighederne til fjerde potens og bemærker, at . Så vi skal løse ligningssystemet
Ved at kvadrere får vi:
Efter udskiftning har vi: eller . Så har systemet to løsninger: , ; , , og systemet har ingen løsninger.
Det er tilbage at løse systemet med to ligninger med en ukendt
og systemet Den første af dem giver, den anden giver.
Svar: , .
Eksempel 2.
Lade 
Svar: 
5.
Ligninger med et radikal af tredje grad.
Ved løsning af ligninger, der indeholder radikaler af 3. grad, kan det være nyttigt at bruge addition ved identiteter:
Eksempel 1.
.
Lad os hæve begge sider af denne ligning til 3. potens og bruge ovenstående identitet:
Bemærk, at udtrykket i parentes er lig med 1, hvilket følger af den oprindelige ligning. Tager vi dette i betragtning og bringer lignende vilkår, får vi:
Lad os åbne parenteserne, tilføje lignende udtryk og løse andengradsligningen. Dens rødderOg. Hvis vi antager (per definition), at ulige rødder også kan udtrækkes fra negative tal, så er begge opnåede tal løsninger til den oprindelige ligning.
Svar:.
6. Multiplicer begge sider af ligningen med det konjugerede udtryk for en af dem.
Nogle gange kan en irrationel ligning løses ret hurtigt, hvis begge sider ganges med en velvalgt funktion. Selvfølgelig, når begge sider af ligningen multipliceres med en bestemt funktion, kan fremmede løsninger vise sig at være nuller af denne funktion selv. Derfor kræver den foreslåede metode obligatorisk forskning de resulterende værdier.
Eksempel 1. Løs ligningen
Løsning: Lad os vælge en funktion
Lad os gange begge sider af ligningen med den valgte funktion:
Lad os bringe lignende udtryk og få en ækvivalent ligning
Lad os tilføje den oprindelige ligning og den sidste, vi får
Svar: .
7. Identiske transformationer ved løsning af irrationelle ligninger
Når man løser irrationelle ligninger, er det ofte nødvendigt at anvende identiske transformationer forbundet med brugen af velkendte formler. Desværre er disse handlinger nogle gange lige så usikre som at hæve til en jævn magt – løsninger kan opnås eller tabes.
Lad os se på flere situationer, hvor disse problemer opstår, og lære at genkende og forebygge dem.
JEG. Eksempel 1. Løs ligningen.
Løsning. Formlen der gælder her er 
.
Du skal bare tænke på sikkerheden ved dens brug. Det er let at se, at dens venstre og højre side har forskellige definitionsdomæner, og at denne lighed kun er sand under betingelsen. Derfor svarer den oprindelige ligning til systemet
Løser vi dette systems ligning, får vi rødderne og . Den anden rod opfylder ikke systemets ulighedssæt og er derfor en uvedkommende rod af den oprindelige ligning.
Svar: -1 .
II.Den næste farlige transformation ved løsning af irrationelle ligninger er bestemt af formlen.
Hvis du bruger denne formel fra venstre mod højre, udvides ODZ, og du kan erhverve tredjepartsløsninger. Faktisk skal begge funktioner på venstre side være ikke-negative; og til højre skal deres produkt være ikke-negativt.
Lad os se på et eksempel, hvor et problem implementeres ved hjælp af formlen.
Eksempel 2. Løs ligningen.
Løsning. Lad os prøve at løse denne ligning ved at faktorisere
Bemærk, at med denne handling viste løsningen sig at gå tabt, da den passer til den oprindelige ligning og ikke længere passer til den resulterende: det giver ikke mening for . Derfor er det bedre at løse denne ligning ved almindelig kvadrering
Løser vi dette systems ligning, får vi rødderne og . Begge rødder tilfredsstiller systemuligheden.
Svar: , .
III Der er en endnu farligere handling - reduktion med en fælles faktor.
Eksempel 3. Løs ligningen 
.
Forkert ræsonnement: Reducer begge sider af ligningen med , får vi 
.
Der er ikke noget mere farligt og forkert end denne handling. For det første gik en passende løsning til den oprindelige ligning tabt; for det andet blev der indkøbt to tredjepartsløsninger. Det viser sig, at den nye ligning ikke har noget til fælles med den originale! Lad os give den rigtige løsning.
Løsning. Lad os flytte alle led til venstre side af ligningen og indregne det i faktorer
.
Denne ligning svarer til systemet
som har en unik løsning.
Svar: 3 .
KONKLUSION.
Som en del af valgfaget vises ikke-standardiserede teknikker til løsning af komplekse problemer, der med succes udvikler sig logisk tænkning, evnen til blandt mange løsninger at finde den, der er behagelig og rationel for eleven. Dette kursus kræver, at eleverne selvstændigt arbejde, hjælper med at forberede eleverne til at fortsætte deres uddannelse og forbedre niveauet af matematisk kultur.
Arbejdet diskuterede de vigtigste metoder til løsning af irrationelle ligninger, nogle tilgange til løsning af ligninger af højere grader, hvis brug antages ved løsning af Unified State Examination-opgaver, såvel som ved indrejse på universiteter og videregående matematisk uddannelse. Indholdet af grundlæggende begreber og udsagn relateret til teorien om løsning af irrationelle ligninger blev også afsløret. Efter at have bestemt den mest almindelige metode til løsning af ligninger, identificerede vi dens anvendelse i standard- og ikke-standardsituationer. Derudover overvejede vi typiske fejl når du udfører identiske transformationer og måder at overvinde dem på.
Ved afslutningen af kurset får de studerende mulighed for at mestre forskellige metoder og teknikker til at løse ligninger, samtidig med at de lærer at systematisere og generalisere teoretisk information, selvstændigt søge efter løsninger på bestemte problemstillinger og i forbindelse hermed sammensætte en række opgaver og øvelser. om disse emner. Valg komplekst materiale vil hjælpe skolebørn med at udtrykke sig i forskningsaktiviteter.
På den positive side Kurset er muligheden for yderligere anvendelse af studerende af det undersøgte materiale, når de har bestået Unified State Examen og kommer ind på universiteter.
Negativ side er, at ikke alle studerende er i stand til at mestre alle teknikkerne i dette kursus, selvom de har lyst til det, på grund af vanskeligheden ved at de fleste af problemerne bliver løst.
LITTERATUR:
Sharygin I.F. "Matematik for dem, der går ind på universiteter." - 3. udgave, - M.: Bustard, 2000.
Ligninger og uligheder. Referencemanual./ Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. –M.: Eksamen, 1998.
Cherkasov O.Yu., Yakushev A.G. "Matematik: et intensivt eksamensforberedende kursus." – 8. udg., rev. og yderligere – M.:Iris, 2003. – (Hjemmelærer)
Balayan E.N. Komplekse øvelser og varianter af træningsopgaver til Unified State Examen i matematik. Rostov ved Don: Phoenix Publishing House, 2004.
Skanavi M.I. "Samling af problemer i matematik for dem, der går ind på universiteter." - M., "Higher School", 1998.
Igusman O.S. "Matematik på den mundtlige eksamen." - M., Iris, 1999.
Eksamensmateriale til forberedelse til Unified State-eksamen – 2008 – 2012.
V.V Kochagin, M.N. Kochagina "Unified State Examination - 2010. Matematik. Tutor" Moskva "Oplysning" 2010
V.A.Gusev, A.G.Mordkovich "Matematik. Referencematerialer" Moskva "Oplysning" 1988
Kommunal uddannelsesinstitution
"Kuedino Secondary School No. 2"
Metoder til løsning af irrationelle ligninger
Færdiggjort af: Olga Egorova,
Tilsynsførende:
Lærer
matematik,
højeste kvalifikation
Indledning....……………………………………………………………………………………… 3
Afsnit 1. Metoder til løsning af irrationelle ligninger…………………………………6
1.1 Løsning af de irrationelle ligninger i del C……….….….………………………21
Afsnit 2. Individuelle opgaver…………………………………………….....………...24
Svar………………………………………………………………………………………….25
Referenceliste…….…………………………………………………………………….26
Indledning
Matematikundervisning modtaget i en omfattende skole er en væsentlig komponent almen uddannelse og generel kultur moderne mand. Næsten alt, der omgiver det moderne menneske, er på en eller anden måde forbundet med matematik. EN seneste præstationer inden for fysik, teknik og informationsteknologi er der ingen tvivl om, at tingenes tilstand i fremtiden vil forblive den samme. Derfor handler det om at løse mange praktiske problemer med at løse forskellige typer ligninger, som du skal lære at løse. En af disse typer er irrationelle ligninger.
Irrationelle ligninger
En ligning, der indeholder et ukendt (eller et rationelt algebraisk udtryk for en ukendt) under det radikale tegn kaldes irrationel ligning. I elementær matematik findes løsninger til irrationelle ligninger i mængden af reelle tal.
Enhver irrationel ligning kan reduceres til en rationel algebraisk ligning ved hjælp af elementære algebraiske operationer (multiplikation, division, hævning af begge sider af ligningen til en heltalspotens). Man skal huske på, at den resulterende rationelle algebraiske ligning kan vise sig at være ikke-ækvivalent med den oprindelige irrationelle ligning, nemlig at den kan indeholde "ekstra" rødder, der ikke vil være rødder til den oprindelige irrationelle ligning. Derfor, efter at have fundet rødderne til den resulterende rationelle algebraisk ligning, er det nødvendigt at kontrollere, om alle rødderne til den rationelle ligning er rødder til den irrationelle ligning.
I det generelle tilfælde er det vanskeligt at angive nogen universel metode til løsning af enhver irrationel ligning, da det er ønskeligt, at resultatet som følge af transformationer af den oprindelige irrationelle ligning ikke blot er en rationel algebraisk ligning blandt rødderne af hvor der vil være rødderne til den givne irrationelle ligning, men en rationel algebraisk ligning dannet af polynomier af den mindst mulige grad. Ønsket om at opnå den rationelle algebraiske ligning dannet af polynomier af så lille en grad som muligt er ganske naturligt, da det at finde alle rødderne til en rationel algebraisk ligning i sig selv kan vise sig at være en ret vanskelig opgave, som vi kun kan løse fuldstændigt. i et meget begrænset antal tilfælde.
Typer af irrationelle ligninger
At løse irrationelle ligninger af lige grad giver altid flere problemer end at løse irrationelle ligninger af ulige grader. Når man løser irrationelle ligninger af ulige grad, ændres OD ikke. Derfor vil vi nedenfor overveje irrationelle ligninger, hvis grad er lige. Der er to typer irrationelle ligninger:
2.
.
Lad os overveje den første af dem.
ODZ-ligninger: f(x)≥ 0. I ODZ er venstre side af ligningen altid ikke-negativ - derfor kan en løsning kun eksistere, når g(x)≥ 0. I dette tilfælde er begge sider af ligningen ikke-negative, og eksponentiering 2 n giver en ækvivalent ligning. Det forstår vi
Lad os være opmærksomme på det faktum, at i dette tilfælde ODZ udføres automatisk, og du behøver ikke at skrive det, men betingelseng(x) ≥ 0 skal kontrolleres.
Note:
Det er meget vigtig betingelseækvivalens. For det første frigør det eleven fra behovet for at undersøge, og efter at have fundet løsninger kontrolleres betingelsen f(x) ≥ 0 – det radikale udtryks ikke-negativitet. For det andet fokuserer den på at kontrollere tilstandeng(x) ≥ 0 – ikke-negativitet af højre side. Efter at have kvadreret er ligningen løst 
dvs. to ligninger løses på én gang (men på forskellige intervaller af den numeriske akse!):
1. - hvor g(x)≥ 0 og
2. 
- hvor g(x) ≤ 0.
I mellemtiden handler mange, ud af skolens vane med at finde ODZ, præcis det modsatte, når de løser sådanne ligninger:
a) efter at have fundet løsninger, kontrollerer de betingelsen f(x) ≥ 0 (som automatisk er opfyldt), mens de laver regnefejl og får et forkert resultat;
b) ignorere betingelseng(x) ≥ 0 - og igen kan svaret vise sig at være forkert.
Note: Ækvivalensbetingelsen er især nyttig ved løsning af trigonometriske ligninger, hvor det at finde ODZ er relateret til løsning trigonometriske uligheder, hvilket er meget sværere end at løse trigonometriske ligninger. Tjek ind trigonometriske ligninger selv forholdene g(x)≥ 0 er ikke altid let at gøre.
Lad os overveje den anden type irrationelle ligninger.
.
Lad ligningen være givet . Hans ODZ:
I ODZ er begge sider ikke-negative, og kvadrering giver den ækvivalente ligning f(x) =g(x). Derfor, i ODZ eller
Med denne løsningsmetode er det nok at kontrollere ikke-negativiteten af en af funktionerne - du kan vælge en enklere.
Afsnit 1. Metoder til løsning af irrationelle ligninger
1 metode. At slippe af med radikaler ved successivt at hæve begge sider af ligningen til den tilsvarende naturlige magt
Den mest almindeligt anvendte metode til at løse irrationelle ligninger er metoden til at eliminere radikaler ved successivt at hæve begge sider af ligningen til den passende naturlige magt. Det skal huskes, at når begge sider af ligningen hæves til en ulige potens, er den resulterende ligning ækvivalent med den oprindelige, og når begge sider af ligningen hæves til en lige potens, vil den resulterende ligning generelt tale, være ikke-ækvivalent med den oprindelige ligning. Dette kan nemt verificeres ved at hæve begge sider af ligningen til en hvilken som helst lige styrke. Resultatet af denne operation er ligningen 
, hvis sæt af løsninger er en forening af sæt af løsninger: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Dog På trods af denne ulempe er det proceduren med at hæve begge sider af ligningen til en eller anden (ofte jævn) magt, der er den mest almindelige procedure til at reducere en irrationel ligning til en rationel ligning.
Løs ligningen:
Hvor 
- nogle polynomier. På grund af definitionen af rodekstraktionsoperationen i sættet af reelle tal er de tilladte værdier for det ukendte https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 højde =21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.
Da begge sider af ligning 1 blev kvadreret, kan det vise sig, at ikke alle rødder af ligning 2 vil være løsninger til den oprindelige ligning at kontrollere rødderne.
Løs ligningen:
https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">
Kuber begge sider af ligningen, får vi
I betragtning af at https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Den sidste ligning kan have rødder, der generelt set ikke er rødderne til ligningen 
).
Vi kuber begge sider af denne ligning: . Vi omskriver ligningen i formen x3 – x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Ved at kontrollere fastslår vi, at x1 = 0 er en uvedkommende rod af ligningen (-2 ≠ 1), og x2 = 1 opfylder originalen ligning.
Svar: x = 1.
Metode 2. Udskiftning af et tilstødende system af betingelser
Når man løser irrationelle ligninger, der indeholder radikaler af lige rækkefølge, kan der forekomme fremmede rødder i svarene, som ikke altid er lette at identificere. For at gøre det lettere at identificere og kassere uvedkommende rødder, erstattes det straks af et tilstødende system af betingelser, når man løser irrationelle ligninger. Yderligere uligheder i systemet tager faktisk hensyn til ODZ for den ligning, der løses. Du kan finde ODZ separat og tage det i betragtning senere, men det er at foretrække at bruge blandede systemer af betingelser: der er mindre fare for at glemme noget eller ikke tage det i betragtning i processen med at løse ligningen. Derfor er det i nogle tilfælde mere rationelt at bruge overgangsmetoden til blandede systemer.
Løs ligningen: 
Svar: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">
Denne ligning svarer til systemet
Svar: ligningen har ingen løsninger.
Metode 3. Brug af n'te rodegenskaber
Ved løsning af irrationelle ligninger bruges egenskaberne for den n'te rod. Aritmetisk rod n- th grader blandt andet EN ringe til et ikke-negativt nummer n- i hvis magt er lig med EN. Hvis n – endog( 2n), så a ≥ 0, ellers eksisterer roden ikke. Hvis n – ulige( 2 n+1), så er a enhver og = - ..gif" width="45" height="19"> Derefter:
2. 
3. 
4. 
5. 
Når du anvender nogen af disse formler, formelt (uden at tage hensyn til de specificerede begrænsninger), skal det huskes, at VA af venstre og højre del af hver af dem kan være forskellig. For eksempel er udtrykket defineret med f ≥ 0 Og g ≥ 0, og udtrykket er som om f ≥ 0 Og g ≥ 0, og med f ≤ 0 Og g ≤ 0.
For hver af formlerne 1-5 (uden at tage højde for de specificerede begrænsninger) kan ODZ'en på dens højre side være bredere end ODZ'en på venstre side. Det følger heraf, at transformationer af ligningen med den formelle brug af formlerne 1-5 "fra venstre mod højre" (som de er skrevet) fører til en ligning, der er en konsekvens af den oprindelige. I dette tilfælde kan uvedkommende rødder af den oprindelige ligning forekomme, så verifikation er et obligatorisk trin i løsningen af den oprindelige ligning.
Transformationer af ligninger med den formelle brug af formlerne 1-5 "fra højre til venstre" er uacceptable, da det er muligt at bedømme OD for den oprindelige ligning og dermed tabet af rødder.
https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,
som er en konsekvens af den oprindelige. Løsning af denne ligning reduceres til at løse et sæt ligninger 
.
Fra den første ligning i dette sæt finder vi https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> hvorfra vi finder. Således er rødderne til denne ligning kan kun være tal (-1) og (-2).Tjek viser, at begge fundne rødder opfylder denne ligning.
Svar: -1,-2.
Løs ligningen:.
Løsning: ud fra identiteterne erstattes det første led med . Bemærk, at som summen af to ikke-negative tal på venstre side. "Fjern" modulet, og efter at have bragt lignende udtryk, løs ligningen. Siden får vi ligningen. Siden 
, derefter https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">
Svar: x = 4,25.
Metode 4 Introduktion af nye variable
Et andet eksempel på løsning af irrationelle ligninger er metoden til at introducere nye variable, med hensyn til hvilken enten en enklere irrationel ligning eller en rationel ligning opnås.
Løsning af irrationelle ligninger ved at erstatte ligningen med dens konsekvens (efterfulgt af kontrol af rødderne) kan gøres som følger:
1. Find ODZ for den oprindelige ligning.
2. Gå fra ligningen til dens konsekvens.
3. Find rødderne til den resulterende ligning.
4. Tjek, om de fundne rødder er rødderne af den oprindelige ligning.
Checken er som følger:
A) tilhørsforholdet af hver fundne rod til den oprindelige ligning kontrolleres. De rødder, der ikke hører til ODZ'en, er uden for den oprindelige ligning.
B) for hver rod, der indgår i ODZ af den oprindelige ligning, kontrolleres det, om venstre og højre side af hver af ligningerne, der opstår i processen med at løse den oprindelige ligning og hævet til en lige potens, har de samme fortegn. De rødder, som de dele af enhver ligning, der er hævet til en lige styrke, har forskellige tegn, er uvedkommende i forhold til den oprindelige ligning.
C) kun de rødder, der tilhører ODZ af den oprindelige ligning, og for hvilke begge sider af hver af ligningerne, der opstår i processen med at løse den oprindelige ligning og hævet til en lige potens, har de samme fortegn, kontrolleres ved direkte substitution i oprindelige ligning.
Denne metode til at løse på den angivne måde verifikation giver dig mulighed for at undgå besværlige beregninger i tilfælde af direkte substitution af hver af de fundne rødder af den sidste ligning med den oprindelige.
Løs den irrationelle ligning:
.
Sættet af gyldige værdier for denne ligning er:
Putting , efter substitution får vi ligningen
eller tilsvarende ligning
som kan betragtes som en andengradsligning mhp. Løser vi denne ligning, får vi
.
Derfor er løsningssættet af den oprindelige irrationelle ligning foreningen af løsningssættene af følgende to ligninger:
, .
Ved at hæve begge sider af hver af disse ligninger til en terning får vi to rationelle algebraiske ligninger:
, .
Ved at løse disse ligninger finder vi, at denne irrationelle ligning har en enkelt rod x = 2 (ingen verifikation er påkrævet, da alle transformationer er ækvivalente).
Svar: x = 2.
Løs den irrationelle ligning:
Lad os betegne 2x2 + 5x – 2 = t. Så vil den oprindelige ligning antage formen 
. Ved at kvadrere begge sider af den resulterende ligning og bringe lignende udtryk får vi en ligning, der er en konsekvens af den foregående. Af den finder vi t=16.
Vender vi tilbage til det ukendte x, får vi ligningen 2x2 + 5x – 2 = 16, som er en konsekvens af den oprindelige. Ved at kontrollere er vi overbevist om, at dens rødder x1 = 2 og x2 = - 9/2 er rødderne af den oprindelige ligning.
Svar: x1 = 2, x2 = -9/2.
5 metode. Identisk transformation af ligningen
Når du løser irrationelle ligninger, bør du ikke begynde at løse ligningen ved at hæve begge sider af ligningerne til en naturlig potens og forsøge at reducere løsningen af den irrationelle ligning til løsningen af en rationel algebraisk ligning. Først skal vi se, om det er muligt at lave en eller anden identisk transformation af ligningen, der kan forenkle dens løsning markant.
Løs ligningen:
Sættet af acceptable værdier for denne ligning: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Lad os dividere denne ligning med .
.
Vi får:
Når a = 0 vil ligningen ikke have løsninger; når ligningen kan skrives som
for denne ligning har ingen løsninger, da for evt X, der tilhører sættet af tilladte værdier af ligningen, er udtrykket på venstre side af ligningen positivt;
når ligningen har en løsning
Under hensyntagen til, at mængden af tilladte løsninger til ligningen er bestemt af betingelsen, opnår vi endelig:
Når du løser denne irrationelle ligning, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> vil løsningen til ligningen være. For alle andre værdier X ligningen har ingen løsninger.
EKSEMPEL 10:
Løs den irrationelle ligning: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">
Løsning andengradsligning systemet giver to rødder: x1 = 1 og x2 = 4. Den første af de resulterende rødder opfylder ikke systemets ulighed, derfor er x = 4.
Noter
1) Ved at udføre identiske transformationer kan du gøre det uden at tjekke.
2) Uligheden x – 3 ≥0 refererer til identitetstransformationer og ikke til ligningens definitionsdomæne.
3) På venstre side af ligningen er der en aftagende funktion, og på højre side af denne ligning er der en stigende funktion. Grafer af faldende og stigende funktioner i skæringspunktet mellem deres definitionsdomæner kan ikke have mere end én fælles punkt. I vores tilfælde er x = 4 naturligvis abscissen af grafernes skæringspunkt.
Svar: x = 4.
6 metode. Brug af funktionsdomænet til at løse ligninger
Denne metode er mest effektiv, når man løser ligninger, der inkluderer funktioner https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> og finder dens områdedefinitioner (f)..gif" width="53" height="21"> 
.gif" width="88" height="21 src=">, så skal du tjekke om ligningen er korrekt i enderne af intervallet, og hvis< 0, а b >0, så er det nødvendigt at kontrollere med intervaller (a;0) Og . Det mindste heltal i E(y) er 3.
Svar: x = 3.
8 metode. Anvendelse af den afledede til løsning af irrationelle ligninger
Den mest almindelige metode, der bruges til at løse ligninger ved hjælp af den afledte metode, er estimeringsmetoden.
EKSEMPEL 15:
Løs ligningen: (1)
Løsning: Siden https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, eller (2). Overvej funktionen 
..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> overhovedet og stiger derfor. Derfor ligningen 
svarer til, at en ligning har en rod, der er roden til den oprindelige ligning.
Svar:
EKSEMPEL 16:
Løs den irrationelle ligning:
En funktions domæne er et segment. Lad os finde den største og mindste værdi værdierne for denne funktion på intervallet. For at gøre dette finder vi den afledede af funktionen f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Lad os finde funktionens værdier f(x) i enderne af segmentet og ved punktet: Så, men og derfor er lighed kun mulig, hvis https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height= "19 src=" > Kontrol viser, at tallet 3 er roden til denne ligning.
Svar: x = 3.
9 metode. Funktionel
I eksamener beder de dig nogle gange om at løse ligninger, der kan skrives på formen , hvor er en funktion.
For eksempel nogle ligninger: 1) 
2) 
. Faktisk i det første tilfælde 
, i det andet tilfælde 
. Løs derfor irrationelle ligninger vha næste udtalelse: hvis funktionen er strengt stigende på apparatet X og for enhver , så er ligningerne osv. ækvivalente på sættet X .
Løs den irrationelle ligning: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> stiger strengt på sættet R, og https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > som har en enkelt rod Derfor har ligning (1) svarende til den også en enkelt rod
Svar: x = 3.
EKSEMPEL 18:
Løs den irrationelle ligning: 
(1)
Per definition kvadratrod vi finder ud af, at hvis ligning (1) har rødder, så hører de til sættet https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. ( 2)
Overvej, at funktionen https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> strengt øges på dette sæt for enhver ..gif" width="100" højde ="41"> som har en enkelt rod Derfor, og dens ækvivalent på sættet X ligning (1) har en enkelt rod
Svar: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">
Løsning: Denne ligning svarer til et blandet system
