Denne artikel fortsætter temaet transformation algebraiske brøker: overvej en sådan handling som at reducere algebraiske brøker. Lad os definere selve begrebet, formulere en reduktionsregel og analysere praktiske eksempler.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Betydningen af ​​at reducere en algebraisk brøk

I materialer om almindelige brøker så vi på dens reduktion. Vi definerede at reducere en brøk som at dividere dens tæller og nævner med en fælles faktor.

Reduktion af en algebraisk brøk er en lignende operation.

Definition 1

Reduktion af en algebraisk brøk er divisionen af ​​dens tæller og nævner med en fælles faktor. I dette tilfælde, i modsætning til reduktionen af ​​en almindelig brøk (fællesnævneren kan kun være et tal), kan den fælles faktor for tælleren og nævneren for en algebraisk brøk være et polynomium, især et monomial eller et tal.

For eksempel kan den algebraiske brøk 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 reduceres med tallet 3, hvilket resulterer i: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Vi kan reducere den samme brøk med variablen x, og det vil give os udtrykket 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Det er også muligt at reducere en given fraktion med et monomial 3 x eller et hvilket som helst af polynomierne x + 2 år, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y eller 3 x 2 + 6 x y.

Det endelige mål med at reducere en algebraisk brøk er en brøk større end simpel type i bedste fald er en irreducerbar brøkdel.

Er alle algebraiske brøker genstand for reduktion?

Igen, fra materialer på almindelige fraktioner, ved vi, at der er reducerbare og irreducerbare fraktioner. Irreducible brøker er brøker, der ikke har fælles tæller- og nævnerfaktorer ud over 1.

Det er det samme med algebraiske brøker: De kan have fælles faktorer i tælleren og nævneren, eller de kan ikke. Tilstedeværelsen af ​​fælles faktorer giver dig mulighed for at forenkle den oprindelige fraktion gennem reduktion. Når der ikke er fælles faktorer, er det umuligt at optimere en given fraktion ved hjælp af reduktionsmetoden.

I generelle tilfælde er det i betragtning af fraktionstypen ret svært at forstå, om den kan reduceres. Selvfølgelig er tilstedeværelsen af ​​en fælles faktor mellem tælleren og nævneren i nogle tilfælde indlysende. For eksempel i den algebraiske brøk 3 x 2 3 y er det klart, at den fælles faktor er tallet 3.

I brøken - x · y 5 · x · y · z 3 forstår vi også umiddelbart, at den kan reduceres med x, eller y eller x · y. Og alligevel er der meget oftere eksempler på algebraiske brøker, når den fælles faktor for tælleren og nævneren ikke er så let at se, og endnu oftere er den simpelthen fraværende.

For eksempel kan vi reducere brøken x 3 - 1 x 2 - 1 med x - 1, mens den angivne fælles faktor ikke er til stede i indtastningen. Men brøken x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 kan ikke reduceres, da tæller og nævner ikke har en fælles faktor.

Spørgsmålet om at bestemme reducerbarheden af ​​en algebraisk brøk er således ikke så simpelt, og det er ofte lettere at arbejde med en brøk af en given form end at forsøge at finde ud af, om den er reducerbar. I dette tilfælde finder sådanne transformationer sted, der i særlige tilfælde gør det muligt at bestemme den fælles faktor for tælleren og nævneren eller at drage en konklusion om irreducerbarheden af ​​en brøk. Vi vil undersøge dette spørgsmål i detaljer i det næste afsnit af artiklen.

Regel for reduktion af algebraiske brøker

Regel for reduktion af algebraiske brøker består af to sekventielle handlinger:

• finde fælles faktorer for tælleren og nævneren;
• hvis der findes nogen, udføres handlingen med at reducere fraktionen direkte.

Den mest bekvemme metode til at finde fællesnævnere er at faktorisere de polynomier, der er til stede i tælleren og nævneren af ​​en given algebraisk brøk. Dette giver dig mulighed for med det samme tydeligt at se tilstedeværelsen eller fraværet af fælles faktorer.

Selve handlingen med at reducere en algebraisk brøk er baseret på hovedegenskaben for en algebraisk brøk, udtrykt ved ligheden udefineret, hvor a, b, c er nogle polynomier, og b og c er ikke-nul. Det første skridt er at reducere brøken til formen a · c b · c, hvor vi straks bemærker den fælles faktor c. Det andet trin er at udføre en reduktion, dvs. overgang til en brøkdel af formen a b .

Typiske eksempler

På trods af en vis selvfølgelighed, lad os præcisere det særlige tilfælde, når tælleren og nævneren for en algebraisk brøk er ens. Lignende fraktioner er identisk lig med 1 på hele ODZ af variablerne i denne fraktion:

55 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y;

Da almindelige brøker er et særligt tilfælde af algebraiske brøker, lad os huske, hvordan de reduceres. De naturlige tal skrevet i tælleren og nævneren indregnes i primfaktorer, hvorefter de fælles faktorer annulleres (hvis nogen).

For eksempel, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Produktet af simple identiske faktorer kan skrives som potenser, og i processen med at reducere en brøk, skal du bruge egenskaben til at dividere potenser med identiske grunde. Så ville ovenstående løsning være:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(tæller og nævner divideret med en fælles faktor 2 2 3). Eller for klarhedens skyld, baseret på egenskaberne ved multiplikation og division, giver vi løsningen følgende form:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analogt udføres reduktionen af ​​algebraiske fraktioner, hvor tælleren og nævneren har monomer med heltalskoefficienter.

Eksempel 1

Den algebraiske brøk er givet - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Det skal reduceres.

Løsning

Det er muligt at skrive tælleren og nævneren for en given brøk som et produkt af simple faktorer og variable og derefter udføre reduktionen:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

En mere rationel måde ville dog være at skrive løsningen som et udtryk med beføjelser:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Svar:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Når tælleren og nævneren for en algebraisk brøk indeholder numeriske brøkkoefficienter, er der to mulige måder at handle på: enten dividere disse brøkkoefficienter separat, eller først slippe af med brøkkoefficienterne ved at gange tælleren og nævneren med en vis naturligt tal. Den sidste transformation udføres på grund af den grundlæggende egenskab ved en algebraisk brøk (du kan læse om det i artiklen "Reduktion af en algebraisk brøk til en ny nævner").

Eksempel 2

Den givne fraktion er 2 5 x 0, 3 x 3. Det skal reduceres.

Løsning

Det er muligt at reducere fraktionen på denne måde:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Lad os prøve at løse problemet anderledes efter først at være sluppet af med brøkkoefficienter - gange tælleren og nævneren med det mindste fælles multiplum af nævnerne af disse koefficienter, dvs. på LCM (5, 10) = 10. Så får vi:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Svar: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Når vi reducerer algebraiske brøker generel opfattelse, hvor tællere og nævnere kan være enten monomer eller polynomier, kan der være et problem, når den fælles faktor ikke altid er umiddelbart synlig. Eller desuden eksisterer den simpelthen ikke. Derefter, for at bestemme den fælles faktor eller registrere kendsgerningen om dens fravær, faktoriseres tælleren og nævneren for den algebraiske brøk.

Eksempel 3

Den rationelle brøk 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 er givet. Det skal reduceres.

Løsning

Lad os indregne polynomierne i tælleren og nævneren. Lad os sætte det uden for parentes:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Vi ser, at udtrykket i parentes kan konverteres ved hjælp af forkortede multiplikationsformler:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Det ses tydeligt, at det er muligt at reducere en brøkdel med en fælles faktor b 2 (a + 7). Lad os lave en reduktion:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Lad os skrive en kort løsning uden forklaring som en kæde af ligheder:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Svar: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Det sker, at fælles faktorer er skjult af numeriske koefficienter. Så, når du reducerer brøker, er det optimalt at sætte de numeriske faktorer ved højere potenser af tæller og nævner uden for parentes.

Eksempel 4

Givet den algebraiske brøk 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Det er nødvendigt at reducere det, hvis det er muligt.

Løsning

Ved første øjekast eksisterer tælleren og nævneren ikke fællesnævner. Lad os dog prøve at konvertere den givne brøk. Lad os tage faktoren x ud i tælleren:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Nu kan du se en vis lighed mellem udtrykket i parentes og udtrykket i nævneren på grund af x 2 y . Lad os tage de numeriske koefficienter ud af de højere potenser af disse polynomier:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Nu bliver den fælles faktor synlig, vi gennemfører reduktionen:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Svar: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Lad os understrege, at evnen til at reducere rationelle brøker afhænger af evnen til at faktorisere polynomier.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

I denne artikel vil vi se på grundlæggende operationer med algebraiske brøker:

• reducerende fraktioner
• gange brøker
• dividere brøker

Lad os starte med reduktion af algebraiske brøker.

Det ser ud til algoritme indlysende.

Til reducere algebraiske brøker, har brug for

1. Faktor brøkens tæller og nævner.

2. Reducer lige faktorer.

Skolebørn begår dog ofte den fejl at "reducere" ikke faktorerne, men vilkårene. For eksempel er der amatører, der "reducerer" brøker med og får som et resultat, hvilket selvfølgelig ikke er sandt.

Lad os se på eksempler:

1. Reducer en brøkdel:

1. Lad os faktorisere tælleren ved hjælp af formlen for kvadratet af summen, og nævneren ved hjælp af formlen for kvadratforskellen

2. Divider tæller og nævner med

2. Reducer en brøkdel:

1. Lad os faktorisere tælleren. Da tælleren indeholder fire led, bruger vi gruppering.

2. Lad os faktorisere nævneren. Vi kan også bruge gruppering.

3. Lad os skrive den brøk ned, vi fik, og reducere de samme faktorer:

Multiplikation af algebraiske brøker.

Når vi multiplicerer algebraiske brøker, gange vi tælleren med tælleren og gange nævneren med nævneren.

Vigtig! Der er ingen grund til at skynde sig at gange tælleren og nævneren af ​​en brøk. Efter at vi har nedskrevet produktet af tællere af brøkerne i tælleren og produktet af nævnerne i nævneren, skal vi faktorisere hver faktor og reducere brøken.

Lad os se på eksempler:

3. Forenkle udtrykket:

1. Lad os skrive produktet af brøker: i tælleren produktet af tællerne, og i nævneren produktet af nævnerne:

2. Lad os faktorisere hver parentes:

Nu skal vi reducere de samme faktorer. Bemærk, at udtrykkene og kun adskiller sig i tegn: og som et resultat af at dividere det første udtryk med det andet får vi -1.

Så,

Vi deler algebraiske brøker efter følgende regel:

Det vil sige For at dividere med en brøk skal du gange med den "omvendte".

Vi ser, at dividere brøker kommer ned til at gange, og multiplikation kommer i sidste ende til at reducere brøker.

Lad os se på et eksempel:

4. Forenkle udtrykket:

Børn i skolen lærer reglerne for brøkreduktion i 6. klasse. I denne artikel vil vi først fortælle dig, hvad denne handling betyder, derefter vil vi forklare, hvordan man konverterer en reducerbar brøk til en irreducerbar brøk. Næste punkt bliver reglerne for reduktion af brøker, og så kommer vi gradvist til eksemplerne.

Hvad vil det sige at "reducere en brøkdel"?

Så det ved vi alle sammen almindelige brøker opdeles i to grupper: reducerbare og irreducerbare. Allerede ved navnene kan man forstå, at de, der er kontrakterbare, er kontraheret, og de, der er irreducerbare, ikke er kontraheret.

• At reducere en brøk betyder at dividere dens nævner og tæller med deres (andre end én) positive divisor. Resultatet er naturligvis en ny brøk med en mindre nævner og tæller. Den resulterende fraktion vil være lig med den oprindelige fraktion.

Det er værd at bemærke, at i matematikbøger med opgaven "reducer en brøk", betyder det, at du skal reducere den oprindelige brøk til denne irreducerbare form. Hvis vi taler med enkle ord, divider derefter nævneren og tælleren med deres største fælles divisor og der er en reduktion.

Sådan reduceres en brøkdel. Regler for reduktion af brøker (grad 6)

Så der er kun to regler her.

1. Den første regel for at reducere brøker er først at finde den største fælles faktor for nævneren og tælleren for din brøk.
2. Den anden regel: divider nævneren og tælleren med den største fælles divisor, hvilket i sidste ende opnår en irreducerbar brøk.

Hvordan reducerer man en ukorrekt fraktion?

Reglerne for reduktion af brøker er identiske med reglerne for reduktion af uægte brøker.

For at reducere en uægte brøk, skal du først faktorisere nævneren og tælleren i primfaktorer, og først derefter reducere de fælles faktorer.

Reducering af blandede fraktioner

Reglerne for reduktion af fraktioner gælder også for reduktion af blandede fraktioner. Der er kun en lille forskel: vi kan ikke røre hele delen, men reducere fraktionen eller omdanne den blandede fraktion til en ukorrekt fraktion, derefter reducere den og igen omdanne den til en ordentlig fraktion.

Reducere blandede fraktioner muligt på to måder.

Først: skriv brøkdelen i primfaktorer og lad derefter hele delen være.

Den anden måde: konverter det først til en uægte brøk, skriv det til almindelige faktorer, og reducer derefter brøken. Konverter den allerede opnåede uægte brøk til en rigtig brøk.

Eksempler kan ses på billedet ovenfor.

Vi håber virkelig, at vi kunne hjælpe dig og dine børn. De er jo ofte uopmærksomme i timerne, så de skal studere mere intensivt hjemme på egen hånd.

For at forstå, hvordan man reducerer fraktioner, lad os først se på et eksempel.

At reducere en brøk betyder at dividere tæller og nævner med det samme. Både 360 ​​og 420 ender på et tal, så vi kan reducere denne brøk med 2. B ny fraktion Både 180 og 210 er også delelige med 2, så vi reducerer denne brøk med 2. I tallene 90 og 105 er summen af ​​cifrene delelig med 3, så begge disse tal er delelige med 3, vi reducerer brøken med 3. I den nye brøk ender 30 og 35 på 0 og 5, hvilket betyder, at begge tal er delelige med 5, så vi reducerer brøken med 5. Den resulterende brøk seks syvendedele er irreducerbar. Dette er det endelige svar.

Vi kan nå frem til det samme svar på en anden måde.

Både 360 ​​og 420 ender på nul, hvilket betyder, at de er delelige med 10. Vi reducerer brøken med 10. I den nye brøk divideres både tælleren 36 og nævneren 42 med 2. Vi reducerer brøken med 2. I den nye brøk er både tælleren 36 og nævneren 42 divideret med 2. næste brøk divideres både tælleren 18 og nævneren 21 med 3, hvilket betyder, at vi reducerer brøken med 3. Vi kom til resultatet - seks syvendedele.

Og endnu en løsning.

Næste gang vil vi se på eksempler på reduktion af brøker.

Mange elever laver de samme fejl, når de arbejder med brøker. Og alt sammen fordi de glemmer det grundlæggende regler aritmetik. I dag vil vi gentage disse regler på specifikke opgaver, som jeg giver i mine klasser.

Her er opgaven, som jeg tilbyder til alle, der forbereder sig til Unified State Examen i matematik:

Opgave. Et marsvin spiser 150 gram mad om dagen. Men hun voksede op og begyndte at spise 20 % mere. Hvor mange gram foder spiser grisen nu?

Ikke den rigtige beslutning. Dette er et procentproblem, der koger ned til ligningen:

Mange (meget mange) reducerer tallet 100 i tælleren og nævneren af ​​en brøk:

Dette er den fejl, min elev begik lige på dagen, da han skrev denne artikel. Tal, der er blevet afkortet, er markeret med rødt.

Det er overflødigt at sige, at svaret var forkert. Bedøm selv: grisen spiste 150 gram, men begyndte at spise 3150 gram. Stigningen er ikke 20 %, men 21 gange, dvs. med 2000 %.

For at undgå sådanne misforståelser skal du huske den grundlæggende regel:

Kun multiplikatorer kan reduceres. Vilkårene kan ikke reduceres!

Den korrekte løsning på det forrige problem ser således ud:

Tal, der er forkortet i tæller og nævner, er markeret med rødt. Som du kan se, er tælleren produktet, nævneren er det almindeligt nummer. Derfor er nedsættelsen helt lovlig.

Arbejde med proportioner

Et andet problemområde er proportioner. Især når variablen er på begge sider. For eksempel:

Opgave. Løs ligningen:

Forkert løsning - nogle mennesker klør bogstaveligt talt efter at forkorte alt med m:

Reducerede variable er vist med rødt. Udtrykket 1/4 = 1/5 viser sig at være fuldstændig nonsens, disse tal er aldrig lige store.

Og nu - den rigtige beslutning. I bund og grund er det almindeligt lineær ligning. Det kan løses enten ved at flytte alle elementer til den ene side eller ved den grundlæggende egenskab af proportioner:

Mange læsere vil indvende: "Hvor er fejlen i den første løsning?" Nå, lad os finde ud af det. Lad os huske reglen for at arbejde med ligninger:

Enhver ligning kan divideres og ganges med et hvilket som helst tal, ikke-nul.

Gik du glip af tricket? Du kan kun dividere med tal ikke-nul. Især kan du kun dividere med en variabel m hvis m != 0. Men hvad nu hvis m = 0? Lad os erstatte og kontrollere:

Vi fik den korrekte numeriske lighed, dvs. m = 0 er roden af ​​ligningen. For de resterende m != 0 får vi et udtryk på formen 1/4 = 1/5, hvilket naturligvis er forkert. Der er således ingen rødder, der ikke er nul.

Konklusion: at sætte det hele sammen

Så husk tre regler for at løse rationelle brøkligninger:

1. Kun multiplikatorer kan reduceres. Tilføjelser er ikke mulige. Lær derfor at faktorisere tælleren og nævneren;
2. Hovedegenskaben ved proportioner: produktet af de ekstreme elementer er lig med produktet af de midterste;
3. Ligninger kan kun ganges og divideres med andre tal k end nul. Tilfældet k = 0 skal kontrolleres separat.

Husk disse regler og lav ikke fejl.