भिन्नों के साथ क्रियाएँ। साधारण भिन्नों के साथ संक्रियाएँ

गणित में विभिन्न प्रकारसंख्याओं का अध्ययन उनकी शुरुआत से ही किया जाता रहा है। संख्याओं के समुच्चय और उपसमुच्चय बड़ी संख्या में होते हैं। इनमें पूर्णांक, तर्कसंगत, अपरिमेय, प्राकृतिक, सम, विषम, जटिल और भिन्नात्मक हैं। आज हम अंतिम सेट - भिन्नात्मक संख्याओं के बारे में जानकारी का विश्लेषण करेंगे।

भिन्नों की परिभाषा

भिन्न वे संख्याएँ हैं जिनमें एक पूर्णांक भाग और एक इकाई के भिन्न शामिल होते हैं। पूर्णांकों की तरह, दो पूर्णांकों के बीच भिन्नों की अनंत संख्या होती है। गणित में, भिन्नों के साथ संक्रियाएँ उसी तरह की जाती हैं जैसे पूर्णांकों और प्राकृतिक संख्याओं के साथ की जाती हैं। यह काफी सरल है और इसे कुछ पाठों में सीखा जा सकता है।

लेख दो प्रकार प्रस्तुत करता है

सामान्य भिन्न

साधारण भिन्न पूर्णांक भाग a और भिन्न रेखा b/c के माध्यम से लिखी गई दो संख्याएँ हैं। यदि भिन्नात्मक भाग को तर्कसंगत दशमलव रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है तो सामान्य भिन्न अत्यंत सुविधाजनक हो सकते हैं। इसके अलावा, भिन्नात्मक रेखा के माध्यम से अंकगणितीय परिचालन करना अधिक सुविधाजनक है। ऊपरी भाग को अंश कहा जाता है, निचला भाग हर है।

साधारण भिन्नों के साथ संक्रियाएँ: उदाहरण

भिन्न का मुख्य गुण. परअंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने पर जो शून्य नहीं है, परिणाम दी गई संख्या के बराबर है। भिन्न का यह गुण जोड़ के लिए हर प्रदान करने (इस पर नीचे चर्चा की जाएगी) या भिन्न को छोटा करने और गिनती के लिए इसे अधिक सुविधाजनक बनाने का एक उत्कृष्ट तरीका है। ए/बी = ए*सी/बी*सी. उदाहरण के लिए, 36/24 = 6/4 या 9/13 = 18/26

के लिए अग्रणी आम विभाजक. किसी भिन्न का हर प्राप्त करने के लिए, आपको हर को गुणनखंडों के रूप में प्रस्तुत करना होगा, और फिर लुप्त संख्याओं से गुणा करना होगा। उदाहरण के लिए, 7/15 और 12/30; 7/5*3 और 12/5*3*2. हम देखते हैं कि हर में दो का अंतर है, इसलिए हम पहले भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करते हैं। हमें मिलता है: 14/30 और 12/30।

यौगिक भिन्न- पूरे भाग को हाइलाइट करने के साथ साधारण भिन्न। (ए बी/सी) एक मिश्रित भिन्न को एक सामान्य भिन्न के रूप में दर्शाने के लिए, आपको भिन्न के सामने की संख्या को हर से गुणा करना होगा, और फिर इसे अंश के साथ जोड़ना होगा: (ए*सी + बी)/सी।

भिन्नों के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ

भिन्नात्मक संख्याओं के साथ काम करते समय केवल सुप्रसिद्ध अंकगणितीय संक्रियाओं पर विचार करना एक अच्छा विचार होगा।

जोड़ना और घटाना।भिन्नों को जोड़ना और घटाना पूर्ण संख्याओं को जोड़ने और घटाने जितना ही आसान है, एक कठिनाई को छोड़कर - भिन्न रेखा की उपस्थिति। समान हर वाली भिन्नों को जोड़ते समय, आपको केवल दोनों भिन्नों के अंशों को जोड़ने की आवश्यकता होती है; उदाहरण के लिए: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

यदि दो भिन्नों के हर हैं अलग-अलग नंबरसबसे पहले आपको उन्हें एक सामान्य बिंदु पर लाने की आवश्यकता है (यह कैसे करें इसकी चर्चा ऊपर की गई थी)। 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8। घटाव बिल्कुल उसी सिद्धांत का पालन करता है: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9।

गुणन और भाग। कार्रवाईभिन्नों के साथ गुणन निम्नलिखित सिद्धांत के अनुसार होता है: अंश और हर को अलग-अलग गुणा किया जाता है। सामान्य तौर पर, गुणन सूत्र इस तरह दिखता है: a/b *c/d = a*c/b*d. इसके अलावा, जैसे-जैसे आप गुणा करते हैं, आप अंश और हर से समान कारकों को हटाकर भिन्न को कम कर सकते हैं। दूसरे शब्दों में, अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित किया जाता है: 4/16 = 4/4*4 = 1/4।

एक साधारण भिन्न को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के अंश और हर को बदलना होगा और पहले चर्चा किए गए सिद्धांत के अनुसार दो भिन्नों को गुणा करना होगा: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/ 11*25 = 1/5

दशमलव

दशमलव अंशों का अधिक लोकप्रिय और अक्सर उपयोग किया जाने वाला संस्करण है। उन्हें एक पंक्ति में लिखना या कंप्यूटर पर प्रस्तुत करना आसान है। दशमलव की संरचना इस प्रकार है: पहले पूर्ण संख्या लिखी जाती है, और फिर दशमलव बिंदु के बाद भिन्नात्मक भाग लिखा जाता है। मूल रूप से, दशमलव मिश्रित भिन्न होते हैं, लेकिन उनके भिन्नात्मक भाग को 10 के गुणज से विभाजित संख्या द्वारा दर्शाया जाता है। यहीं से उनका नाम आता है। दशमलव भिन्नों के साथ संक्रियाएँ पूर्णांकों के साथ संक्रियाओं के समान हैं, क्योंकि वे भी दशमलव संख्या प्रणाली में लिखी जाती हैं। इसके अलावा, सामान्य भिन्नों के विपरीत, दशमलव अपरिमेय हो सकते हैं। इसका मतलब यह है कि वे अनंत हो सकते हैं। वे इस प्रकार लिखे गए हैं: 7, (3). निम्नलिखित प्रविष्टि में लिखा है: अवधि में सात दशमलव तीन, तीन दसवां हिस्सा।

दशमलव संख्याओं के साथ बुनियादी संचालन

दशमलव को जोड़ना और घटाना.भिन्नों के साथ काम करना पूर्ण प्राकृतिक संख्याओं के साथ काम करने से अधिक कठिन नहीं है। नियम बिल्कुल उन नियमों के समान हैं जिनका उपयोग प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ते या घटाते समय किया जाता है। उन्हें उसी तरह से एक कॉलम माना जा सकता है, लेकिन यदि आवश्यक हो, तो लुप्त स्थानों को शून्य से बदल दें। उदाहरण के लिए: 5.5697 - 1.12. कॉलम घटाव करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु के बाद संख्याओं की संख्या को बराबर करने की आवश्यकता है: (5.5697 - 1.1200)। इसलिए, संख्यात्मक मान नहीं बदलेगा और इसे एक कॉलम में गिना जा सकता है।

के साथ क्रियाएँ दशमलवयदि उनमें से एक भी तर्कहीन है तो निष्पादित नहीं किया जा सकता। ऐसा करने के लिए, आपको दोनों संख्याओं को साधारण भिन्नों में बदलना होगा, और फिर पहले वर्णित तकनीकों का उपयोग करना होगा।

गुणन और भाग।दशमलव को गुणा करना प्राकृतिक भिन्नों को गुणा करने के समान है। उन्हें अल्पविराम पर ध्यान दिए बिना, बस एक कॉलम में गुणा किया जा सकता है, और फिर अंतिम मान में अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है, दशमलव बिंदु के बाद कुल अंकों की समान संख्या दो दशमलव अंशों में होती है। उदाहरण के लिए, 1.5 * 2.23 = 3.345. सब कुछ बहुत सरल है, और यदि आप पहले से ही प्राकृतिक संख्याओं के गुणन में महारत हासिल कर चुके हैं तो इससे कठिनाई नहीं होनी चाहिए।

विभाजन भी प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन के समान ही है, लेकिन थोड़े विचलन के साथ। किसी कॉलम के साथ दशमलव संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक में दशमलव बिंदु को छोड़ना होगा और भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या से लाभांश को गुणा करना होगा। फिर प्राकृतिक संख्याओं की तरह विभाजन करें। अपूर्ण रूप से विभाजित करते समय, आप दाईं ओर लाभांश में शून्य जोड़ सकते हैं, दशमलव बिंदु के बाद उत्तर में भी शून्य जोड़ सकते हैं।

दशमलव के साथ संक्रियाओं के उदाहरण.दशमलव बहुत हैं उपयोगी उपकरणअंकगणितीय गणना के लिए. वे प्राकृतिक संख्याओं, पूर्ण संख्याओं और भिन्नों की सटीकता की सुविधा को जोड़ते हैं। इसके अलावा, कुछ भिन्नों को दूसरे भिन्नों में परिवर्तित करना काफी आसान है। भिन्नों वाली संक्रियाएँ प्राकृतिक संख्याओं वाली संक्रियाओं से भिन्न नहीं हैं।

जोड़: 1.5 + 2.7 = 4.2
घटाव: 3.1 - 1.6 = 1.5
गुणन: 1.7 * 2.3 = 3.91
प्रभाग: 3.6: 0.6 = 6

इसके अलावा, दशमलव प्रतिशत का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयुक्त हैं। तो, 100% = 1; 60% = 0.6; और इसके विपरीत: 0.659 = 65.9%।

भिन्नों के बारे में आपको बस इतना ही जानना चाहिए। लेख में दो प्रकार के भिन्नों की जांच की गई - साधारण और दशमलव। दोनों की गणना करना काफी सरल है, और यदि आपने प्राकृतिक संख्याओं और उनके साथ संचालन में पूरी तरह से महारत हासिल कर ली है, तो आप सुरक्षित रूप से भिन्न सीखना शुरू कर सकते हैं।

भिन्नों के साथ क्रियाएँ।

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

तो, भिन्न क्या हैं, भिन्न के प्रकार, परिवर्तन - हमें याद आया। चलिए मुख्य मुद्दे पर आते हैं.

आप भिन्नों के साथ क्या कर सकते हैं?हाँ, वह सब कुछ जो साथ है साधारण संख्याएँ. जोड़ें, घटाएं, गुणा करें, भाग करें।

इन सभी क्रियाओं के साथ दशमलवभिन्नों के साथ काम करना पूर्ण संख्याओं के साथ काम करने से अलग नहीं है। वास्तव में, यही उनके बारे में अच्छा है, दशमलव वाले। केवल एक चीज यह है कि आपको अल्पविराम सही ढंग से लगाना होगा।

मिश्रित संख्याएँ, जैसा कि मैंने पहले ही कहा, अधिकांश कार्यों के लिए बहुत कम उपयोग के हैं। उन्हें अभी भी साधारण भिन्नों में परिवर्तित करने की आवश्यकता है।

लेकिन कार्रवाई के साथ साधारण अंश वे अधिक चालाक होंगे. और भी बहुत अधिक महत्वपूर्ण! मैं तुम्हें याद दिलाना चाहता हूं: अक्षर, ज्या, अज्ञात आदि आदि के साथ भिन्नात्मक अभिव्यक्ति वाली सभी क्रियाएं सामान्य भिन्न वाली क्रियाओं से भिन्न नहीं होती हैं! साधारण भिन्नों वाली संक्रियाएँ सभी बीजगणित का आधार हैं। यही कारण है कि हम यहां इस पूरे अंकगणित का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

भिन्नों को जोड़ना और घटाना.

हर कोई समान हर वाले भिन्नों को जोड़ (घटा) सकता है (मुझे सचमुच उम्मीद है!)। खैर, मैं उन लोगों को याद दिला दूं जो पूरी तरह से भुलक्कड़ हैं: जोड़ने (घटाने) पर हर नहीं बदलता है। परिणाम का अंश देने के लिए अंशों को जोड़ा (घटाया) जाता है। प्रकार:

संक्षेप में, सामान्य शब्दों में:

यदि हर अलग-अलग हों तो क्या होगा? फिर, भिन्न के मूल गुण का उपयोग करके (यहाँ यह फिर से काम आता है!), हम हर को समान बनाते हैं! उदाहरण के लिए:

यहां हमें भिन्न 2/5 से भिन्न 4/10 बनाना था। हरों को समान बनाने के एकमात्र उद्देश्य के लिए। मुझे ध्यान दें, बस मामले में, 2/5 और 4/10 हैं वही अंश! केवल 2/5 हमारे लिए असुविधाजनक हैं, और 4/10 वास्तव में ठीक हैं।

वैसे, गणित की किसी भी समस्या को हल करने का यही सार है। जब हम से असुविधाजनकहम अभिव्यक्ति करते हैं वही बात, लेकिन हल करने के लिए अधिक सुविधाजनक.

एक और उदाहरण:

स्थिति ऐसी ही है. यहां हम 16 में से 48 बनाते हैं। सरल गुणन द्वारा 3 से. यह सब स्पष्ट है. लेकिन हमारे सामने कुछ ऐसा आया:

हो कैसे?! सात में से नौ बनाना कठिन है! लेकिन हम होशियार हैं, हम नियम जानते हैं! आइए परिवर्तन करें प्रत्येकभिन्न ताकि हर समान हों। इसे "एक सामान्य विभाजक को कम करना" कहा जाता है:

बहुत खूब! मुझे 63 के बारे में कैसे पता चला? बहुत सरल! 63 एक ऐसी संख्या है जो एक ही समय में 7 और 9 से विभाज्य है। ऐसी संख्या सदैव हरों को गुणा करके प्राप्त की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी संख्या को 7 से गुणा करें, तो परिणाम निश्चित रूप से 7 से विभाज्य होगा!

यदि आपको कई भिन्नों को जोड़ने (घटाने) की आवश्यकता है, तो इसे चरण दर चरण जोड़े में करने की आवश्यकता नहीं है। आपको बस सभी भिन्नों के लिए उभयनिष्ठ हर को ढूंढना होगा और प्रत्येक भिन्न को इसी हर में घटाना होगा। उदाहरण के लिए:

और सामान्य विभाजक क्या होगा? बेशक, आप 2, 4, 8, और 16 को गुणा कर सकते हैं। हमें 1024 मिलता है। दुःस्वप्न। यह अनुमान लगाना आसान है कि संख्या 16, 2, 4 और 8 से पूर्णतः विभाज्य है। इसलिए, इन संख्याओं से 16 प्राप्त करना आसान है। यह संख्या उभयनिष्ठ हर होगी। आइए 1/2 को 8/16 में, 3/4 को 12/16 में बदल दें, इत्यादि।

वैसे, यदि आप 1024 को सामान्य भाजक के रूप में लेते हैं, तो सब कुछ काम करेगा, अंत में सब कुछ कम हो जाएगा। लेकिन गणनाओं के कारण हर कोई इस अंत तक नहीं पहुंच पाएगा...

उदाहरण स्वयं पूरा करें. किसी प्रकार का लघुगणक नहीं... यह 29/16 होना चाहिए।

तो, भिन्नों का जोड़ (घटाना) स्पष्ट है, मुझे आशा है? बेशक, अतिरिक्त मल्टीप्लायरों के साथ, संक्षिप्त संस्करण में काम करना आसान है। लेकिन यह सुख उन्हीं को मिलता है, जिन्होंने ईमानदारी से काम किया है कनिष्ठ वर्ग...और मैं कुछ भी नहीं भूला।

और अब हम वही क्रियाएं करेंगे, लेकिन भिन्नों के साथ नहीं, बल्कि भिन्नों के साथ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियाँ. यहां मिलेगी नई रेक, हां...

इसलिए, हमें दो भिन्नात्मक अभिव्यक्तियाँ जोड़ने की आवश्यकता है:

हमें हरों को समान बनाना होगा। और केवल मदद से गुणा! अंश का मुख्य गुण यही निर्देशित करता है। इसलिए, मैं हर के पहले भिन्न में X में एक नहीं जोड़ सकता। (वह अच्छा रहेगा!)। लेकिन यदि आप हरों को गुणा करें, तो आप देखेंगे, सब कुछ एक साथ बढ़ता है! इसलिए हम भिन्न की पंक्ति लिखते हैं, शीर्ष पर एक खाली जगह छोड़ते हैं, फिर उसे जोड़ते हैं, और नीचे हर का गुणनफल लिखते हैं, ताकि भूल न जाएं:

और, निःसंदेह, हम दाईं ओर कुछ भी गुणा नहीं करते हैं, हम कोष्ठक नहीं खोलते हैं! और अब, दाईं ओर सामान्य हर को देखते हुए, हमें एहसास होता है: पहले अंश में हर x(x+1) प्राप्त करने के लिए, आपको इस अंश के अंश और हर को (x+1) से गुणा करना होगा। . और दूसरे अंश में - x तक। यही है जो तुम्हें मिला:

ध्यान देना! यहाँ कोष्ठक हैं! यह वह रेक है जिस पर बहुत से लोग कदम रखते हैं। निस्संदेह, कोष्ठक नहीं, बल्कि उनकी अनुपस्थिति। कोष्ठक इसलिए दिखाई देते हैं क्योंकि हम गुणा कर रहे हैं सभीअंश और सभीभाजक! और उनके अलग-अलग टुकड़े नहीं...

दाहिनी ओर के अंश में हम अंशों का योग लिखते हैं, सब कुछ संख्यात्मक भिन्नों के समान है, फिर हम दाहिनी ओर के अंश में कोष्ठक खोलते हैं, अर्थात। हम हर चीज़ को गुणा करते हैं और समान देते हैं। हर में कोष्ठक खोलने या कुछ भी गुणा करने की कोई आवश्यकता नहीं है! सामान्य तौर पर, हर (किसी भी) में उत्पाद हमेशा अधिक सुखद होता है! हम पाते हैं:

तो हमें जवाब मिल गया. यह प्रक्रिया लंबी और कठिन लगती है, लेकिन यह अभ्यास पर निर्भर करती है। एक बार जब आप उदाहरणों को हल कर लेंगे, इसकी आदत डाल लेंगे, तो सब कुछ सरल हो जाएगा। जो लोग नियत समय में भिन्नों में महारत हासिल कर लेते हैं, वे ये सभी क्रियाएं एक बाएं हाथ से स्वचालित रूप से करते हैं!

और एक और नोट. कई लोग भिन्नों को चतुराई से निपटाते हैं, लेकिन उदाहरणों पर अटक जाते हैं साबुतनंबर. जैसे: 2 + 1/2 + 3/4= ? टू-पीस कहां बांधें? आपको इसे कहीं भी बांधने की जरूरत नहीं है, आपको दो का एक अंश बनाने की जरूरत है। यह आसान नहीं है, लेकिन बहुत सरल है! 2=2/1. इस कदर। किसी भी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। अंश ही संख्या है, हर एक है। 7 है 7/1, 3 है 3/1 इत्यादि। अक्षरों के साथ भी ऐसा ही है. (ए+बी) = (ए+बी)/1, एक्स=एक्स/1, आदि। और फिर हम इन भिन्नों के साथ सभी नियमों के अनुसार काम करते हैं।

खैर, भिन्नों के जोड़-घटाव का ज्ञान ताज़ा हो गया। भिन्नों को एक प्रकार से दूसरे प्रकार में परिवर्तित करना दोहराया गया। आप भी जांच करा सकते हैं. क्या हम इसे थोड़ा सुलझा लें?)

गणना करें:

उत्तर (अव्यवस्था में):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

भिन्नों का गुणा/विभाजन - अगले पाठ में। भिन्नों के साथ सभी संक्रियाओं के लिए भी कार्य हैं।

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भिन्नों के साथ क्रियाएँ। इस लेख में हम उदाहरणों, हर चीज़ को स्पष्टीकरण के साथ विस्तार से देखेंगे। हम साधारण भिन्नों पर विचार करेंगे। हम दशमलव को बाद में देखेंगे। मैं पूरी चीज़ को देखने और उसका क्रमिक रूप से अध्ययन करने की सलाह देता हूं।

1. भिन्नों का योग, भिन्नों का अंतर।

नियम: समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने पर, परिणाम एक भिन्न होता है - जिसका हर समान रहता है, और इसका अंश भिन्नों के अंशों के योग के बराबर होगा।
नियम: समान हर वाले भिन्नों के बीच अंतर की गणना करते समय, हमें एक अंश मिलता है - हर वही रहता है, और दूसरे के अंश को पहले अंश के अंश से घटा दिया जाता है।

समान हर वाले भिन्नों के योग और अंतर के लिए औपचारिक संकेतन:

उदाहरण (1):

यह स्पष्ट है कि जब साधारण भिन्न दिए जाते हैं तो सब कुछ सरल होता है, लेकिन यदि उन्हें मिश्रित कर दिया जाए तो क्या होगा? कुछ भी जटिल नहीं...

विकल्प 1- आप उन्हें सामान्य में बदल सकते हैं और फिर उनकी गणना कर सकते हैं।

विकल्प 2- आप पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के साथ अलग-अलग "काम" कर सकते हैं।

उदाहरण (2):

अधिक:

और यदि दो का अंतर दिया गया है मिश्रित अंशऔर पहले अंश का अंश दूसरे के अंश से कम होगा? आप भी दो तरह से कार्य कर सकते हैं.

उदाहरण (3):

*साधारण भिन्नों में परिवर्तित किया गया, अंतर की गणना की गई, परिणाम परिवर्तित किया गया अनुचित अंशमिश्रित में.

*हमने इसे पूर्णांक और आंशिक भागों में तोड़ दिया, तीन प्राप्त किया, फिर 3 को 2 और 1 के योग के रूप में प्रस्तुत किया, एक को 11/11 के रूप में दर्शाया, फिर 11/11 और 7/11 के बीच अंतर पाया और परिणाम की गणना की। . उपरोक्त परिवर्तनों का अर्थ एक इकाई लेना (चयन करना) है और इसे हमारे लिए आवश्यक हर के साथ एक भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना है, फिर हम इस भिन्न से एक और अंश घटा सकते हैं।

एक अन्य उदाहरण:

निष्कर्ष: एक सार्वभौमिक दृष्टिकोण है - समान हर वाले मिश्रित भिन्नों के योग (अंतर) की गणना करने के लिए, उन्हें हमेशा अनुचित अंशों में बदला जा सकता है, फिर आवश्यक कार्रवाई की जा सकती है। इसके बाद, यदि परिणाम एक अनुचित भिन्न है, तो हम इसे मिश्रित भिन्न में बदल देते हैं।

ऊपर हमने उन भिन्नों के उदाहरण देखे जिनका हर समान है। यदि हर अलग-अलग हों तो क्या होगा? इस स्थिति में, भिन्नों को एक ही हर में घटा दिया जाता है और निर्दिष्ट क्रिया की जाती है। किसी भिन्न को बदलने (बदलने) के लिए भिन्न के मूल गुण का उपयोग किया जाता है।

आइए सरल उदाहरण देखें:

इन उदाहरणों में, हम तुरंत देखते हैं कि समान हर प्राप्त करने के लिए भिन्नों में से किसी एक को कैसे रूपांतरित किया जा सकता है।

यदि हम भिन्नों को एक ही हर में कम करने के तरीके निर्दिष्ट करते हैं, तो हम इसे कहेंगे विधि एक.

अर्थात्, किसी भिन्न का "अनुमान" लगाते समय, आपको तुरंत यह पता लगाने की आवश्यकता है कि क्या यह दृष्टिकोण काम करेगा - हम जाँचते हैं कि क्या बड़ा हर छोटे से विभाज्य है। और यदि यह विभाज्य है, तो हम परिवर्तन करते हैं - हम अंश और हर को गुणा करते हैं ताकि दोनों भिन्नों के हर बराबर हो जाएं।

अब इन उदाहरणों को देखें:

यह दृष्टिकोण उन पर लागू नहीं होता. भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने के भी तरीके हैं, आइए उन पर विचार करें।

विधि दो.

हम पहले भिन्न के अंश और हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करते हैं, और दूसरे भिन्न के अंश और हर को पहले भिन्न के हर से गुणा करते हैं:

*वास्तव में, जब हर बराबर हो जाते हैं तो हम भिन्नों को छोटा कर देते हैं। इसके बाद, हम समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के नियम का उपयोग करते हैं।

उदाहरण:

*इस विधि को सार्वभौमिक कहा जा सकता है, और यह हमेशा काम करती है। एकमात्र नकारात्मक पक्ष यह है कि गणना के बाद आपके पास एक अंश रह सकता है जिसे और कम करने की आवश्यकता होगी।

आइए एक उदाहरण देखें:

यह देखा जा सकता है कि अंश और हर 5 से विभाज्य हैं:

विधि तीन.

आपको हरों का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करना होगा। यह सामान्य भाजक होगा. यह किस प्रकार की संख्या है? ये सबसे कम है प्राकृतिक संख्या, जो प्रत्येक संख्या से विभाज्य है।

देखिए, यहां दो संख्याएं हैं: 3 और 4, ऐसी कई संख्याएं हैं जो उनसे विभाज्य हैं - ये हैं 12, 24, 36, ... इनमें से सबसे छोटी संख्या 12 है। या 6 और 15, 30, 60, 90 हैं उनके द्वारा विभाज्य.... न्यूनतम 30 है। प्रश्न यह है कि इस लघुत्तम समापवर्त्य को कैसे ज्ञात किया जाए?

एक स्पष्ट एल्गोरिदम है, लेकिन अक्सर यह गणना के बिना तुरंत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त उदाहरणों (3 और 4, 6 और 15) के अनुसार किसी एल्गोरिथ्म की आवश्यकता नहीं है, हमने बड़ी संख्याएँ (4 और 15) लीं, उन्हें दोगुना किया और देखा कि वे दूसरी संख्या से विभाज्य हैं, लेकिन संख्याओं के जोड़े हो सकते हैं अन्य बनें, उदाहरण के लिए 51 और 119।

एल्गोरिदम. कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक निर्धारित करने के लिए, आपको यह करना होगा:

- प्रत्येक संख्या को सरल गुणनखंडों में विघटित करें

- उनमें से बड़े का अपघटन लिखिए

- इसे अन्य संख्याओं के लुप्त गुणनखंडों से गुणा करें

आइए उदाहरण देखें:

50 और 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

विघटन में अधिकएक पांच गायब है

=> एलसीएम(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 और 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

बड़ी संख्या के विस्तार में दो और तीन गायब हैं

=> एलसीएम(48.72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* दो अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक उनका गुणनफल है

सवाल! लघुत्तम समापवर्त्य ढूँढना क्यों उपयोगी है, चूँकि आप दूसरी विधि का उपयोग कर सकते हैं और परिणामी भिन्न को आसानी से कम कर सकते हैं? हां, यह संभव है, लेकिन यह हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। संख्याओं 48 और 72 के हर को देखें यदि आप उन्हें केवल 48∙72 = 3456 से गुणा करते हैं। आप सहमत होंगे कि छोटी संख्याओं के साथ काम करना अधिक सुखद है।

आइए उदाहरण देखें:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

बड़ी संख्या के विस्तार में त्रिगुण का अभाव है

=> एनओसी(51,119) = 3∙7∙17

आइए अब पहली विधि का उपयोग करें:

*गणनाओं में अंतर देखें, पहले मामले में वे न्यूनतम हैं, लेकिन दूसरे में आपको कागज के एक टुकड़े पर अलग से काम करने की आवश्यकता है, और यहां तक कि आपको प्राप्त अंश को भी कम करने की आवश्यकता है। एलओसी ढूंढने से काम काफी सरल हो जाता है।

और ज्यादा उदाहरण:

*दूसरे उदाहरण से यह स्पष्ट है कि सबसे छोटी संख्याजो 40 और 60 से विभाज्य है वह 120 के बराबर है।

परिणाम! सामान्य कंप्यूटिंग एल्गोरिदम!
— यदि कोई पूर्णांक भाग है तो हम भिन्नों को घटाकर सामान्य कर देते हैं।
- हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं (पहले हम देखते हैं कि क्या एक हर दूसरे से विभाज्य है; यदि यह विभाज्य है, तो हम इस अन्य भिन्न के अंश और हर को गुणा करते हैं; यदि यह विभाज्य नहीं है, तो हम अन्य तरीकों का उपयोग करके कार्य करते हैं ऊपर दर्शाया गया है)।
- समान हर वाले भिन्न प्राप्त करने के बाद, हम संक्रियाएँ (जोड़, घटाव) करते हैं।
- यदि आवश्यक हो, तो हम परिणाम कम कर देते हैं।
- यदि आवश्यक हो तो संपूर्ण भाग का चयन करें।

2. भिन्नों का गुणनफल।

नियम सरल है. भिन्नों को गुणा करते समय, उनके अंश और हर को गुणा किया जाता है:

उदाहरण:

काम। 13 टन सब्जियां बेस पर लाई गईं। सभी आयातित सब्जियों में से ¾ आलू से बनता है। बेस पर कितने किलोग्राम आलू लाए गए?

आइए अंश के साथ समाप्त करें।

*मैंने पहले आपको एक उत्पाद के माध्यम से अंश की मुख्य संपत्ति का औपचारिक विवरण देने का वादा किया था, कृपया:

3. भिन्नों का विभाजन.

भिन्नों को विभाजित करने से उनका गुणन होता है। यहां यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि जो भिन्न भाजक है (जिससे विभाजित किया जा रहा है) उसे पलट दिया जाता है और क्रिया गुणन में बदल जाती है:

इस क्रिया को तथाकथित चार मंजिला अंश के रूप में लिखा जा सकता है, क्योंकि विभाजन ":" स्वयं को अंश के रूप में भी लिखा जा सकता है:

उदाहरण:

बस इतना ही! आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख।

भिन्न सामान्य और दशमलव होते हैं। जब एक छात्र उत्तरार्द्ध के अस्तित्व के बारे में सीखता है, तो वह हर अवसर पर, जो कुछ भी संभव है उसका अनुवाद करना शुरू कर देता है दशमलव रूप, भले ही इसकी आवश्यकता न हो।

अजीब तरह से, हाई स्कूल और कॉलेज के छात्रों के बीच प्राथमिकताएँ बदल जाती हैं, क्योंकि साधारण भिन्नों के साथ कई अंकगणितीय ऑपरेशन करना आसान होता है। और कभी-कभी स्नातक जिन मूल्यों से निपटते हैं उन्हें बिना किसी नुकसान के दशमलव रूप में परिवर्तित करना असंभव है। परिणामस्वरूप, दोनों प्रकार के अंश, किसी न किसी तरह, कार्य के लिए अनुकूलित हो जाते हैं और उनके अपने फायदे और नुकसान होते हैं। आइए देखें कि उनके साथ कैसे काम करना है।

परिभाषा

अंश शेयरों के समान ही होते हैं। यदि एक संतरे में दस खंड हैं और आपको एक दिया जाता है, तो आपके हाथ में फल का 1/10 भाग है। पिछले वाक्य की तरह लिखने पर भिन्न को साधारण भिन्न कहा जाएगा। यदि आप वही चीज़ 0.1 - दशमलव लिखते हैं। दोनों विकल्प समान हैं, लेकिन उनके अपने फायदे हैं। पहला विकल्प गुणा और भाग के लिए अधिक सुविधाजनक है, दूसरा जोड़, घटाव और कई अन्य मामलों में।

भिन्न को दूसरे रूप में कैसे बदलें

मान लीजिए कि आपके पास एक भिन्न है और आप इसे दशमलव में बदलना चाहते हैं। इसके लिए क्या करना होगा?

वैसे, आपको पहले से यह तय करना होगा कि हर संख्या को बिना किसी समस्या के दशमलव रूप में नहीं लिखा जा सकता है। कभी-कभी आपको दशमलव स्थानों की एक निश्चित संख्या खोकर परिणाम को पूर्णांकित करना पड़ता है, और कई क्षेत्रों में - उदाहरण के लिए, सटीक विज्ञान में - यह पूरी तरह से अप्राप्य विलासिता है। साथ ही, 5वीं कक्षा में दशमलव और साधारण भिन्नों के साथ संचालन से बिना किसी हस्तक्षेप के, कम से कम एक प्रशिक्षण के रूप में, एक प्रकार से दूसरे प्रकार में स्थानांतरण करना संभव हो जाता है।

यदि किसी पूर्णांक से गुणा या भाग देकर हर से 10 का गुणज मान प्राप्त किया जा सकता है, तो अनुवाद बिना किसी कठिनाई के आगे बढ़ेगा: ¾ 0.75 में बदल जाता है, 13/20 0.65 में बदल जाता है।

विपरीत प्रक्रिया और भी सरल है, क्योंकि आप हमेशा सटीकता की हानि के बिना दशमलव अंश से एक साधारण अंश प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 0.2 1/5 हो जाता है, और 0.08 4/25 हो जाता है।

आंतरिक परिवर्तन

साधारण भिन्नों के साथ संयुक्त संक्रियाएँ करने से पहले, आपको संभावित गणितीय संक्रियाओं के लिए संख्याएँ तैयार करने की आवश्यकता होती है।

सबसे पहले, आपको उदाहरण में सभी भिन्नों को घटाकर एक करना होगा सामान्य उपस्थिति. वे या तो साधारण या दशमलव होने चाहिए. आइए हम तुरंत आरक्षण कर लें कि पहले वाले से गुणा और भाग करना अधिक सुविधाजनक है।

एक नियम जिसे विषय के अध्ययन के प्रारंभिक वर्षों में और उच्च गणित में जाना जाता है और उपयोग किया जाता है, जिसका अध्ययन विश्वविद्यालयों में किया जाता है, आपको आगे की कार्रवाइयों के लिए संख्याएँ तैयार करने में मदद करेगा।

भिन्नों के गुण

मान लीजिए कि आपके पास कुछ मूल्य है। मान लीजिए 2/3. यदि आप अंश और हर को 3 से गुणा करें तो क्या परिवर्तन होगा? यह 6/9 हो जाएगा. अगर यह दस लाख है तो क्या होगा? 2000000/3000000. लेकिन रुकिए, संख्या गुणात्मक रूप से बिल्कुल भी नहीं बदलती - 2/3 2000000/3000000 के बराबर ही रहती है। केवल स्वरूप बदलता है, विषय-वस्तु नहीं। यही बात तब होती है जब दोनों पक्षों को समान मान से विभाजित किया जाता है। यह भिन्नों का मुख्य गुण है, जो आपको परीक्षणों और परीक्षाओं में दशमलव और साधारण भिन्नों के साथ संचालन करने में बार-बार मदद करेगा।

अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने को भिन्न का विस्तार और भाग को घटाना कहा जाता है। यह अवश्य कहा जाना चाहिए कि भिन्नों को गुणा और विभाजित करते समय ऊपर और नीचे समान संख्याओं को काटना एक आश्चर्यजनक रूप से सुखद प्रक्रिया है (निश्चित रूप से एक गणित पाठ के भीतर)। ऐसा लगता है कि उत्तर पहले से ही करीब है और उदाहरण व्यावहारिक रूप से हल हो गया है।

अनुचित भिन्न

अनुचित भिन्न वह होती है जिसमें अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, यदि इसके एक पूरे भाग को अलग किया जा सके, तो यह इस परिभाषा के अंतर्गत आता है।

यदि ऐसी संख्या (एक से बड़ी या उसके बराबर) को साधारण भिन्न के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो इसे अनुचित भिन्न कहा जाएगा। और यदि अंश हर से कम है - सही है। साधारण भिन्नों के साथ संभावित संचालन करते समय दोनों प्रकार समान रूप से सुविधाजनक होते हैं। इन्हें आसानी से गुणा और भाग, जोड़ा और घटाया जा सकता है।

यदि पूरा भाग एक साथ चुन लिया जाए और अंश के रूप में शेष बच जाए तो परिणामी संख्या मिश्रित कहलाएगी। भविष्य में आपका सामना होगा विभिन्न तरीकों सेचर के साथ ऐसी संरचनाओं का संयोजन, साथ ही समीकरणों को हल करना जहां इस ज्ञान की आवश्यकता होती है।

अंकगणितीय संक्रियाएँ

यदि भिन्न के मूल गुण से सब कुछ स्पष्ट है, तो भिन्न को गुणा करते समय कैसा व्यवहार करना चाहिए? ग्रेड 5 में साधारण भिन्नों वाले संचालन में सभी प्रकार के अंकगणितीय ऑपरेशन शामिल होते हैं, जो दो अलग-अलग तरीकों से किए जाते हैं।

गुणा और भाग बहुत सरल हैं. पहले मामले में, दो भिन्नों के अंश और हर को आसानी से गुणा किया जाता है। दूसरे में - वही बात, केवल क्रॉसवाइज। इस प्रकार, पहले अंश के अंश को दूसरे के हर से गुणा किया जाता है, और इसके विपरीत।

जोड़ और घटाव करने के लिए, आपको एक अतिरिक्त क्रिया करने की आवश्यकता है - अभिव्यक्ति के सभी घटकों को एक सामान्य हर में लाएं। इसका मतलब यह है कि भिन्नों के निचले हिस्सों को एक ही मान में बदला जाना चाहिए - एक संख्या जो दोनों मौजूदा हरों का गुणज है। उदाहरण के लिए, 2 और 5 के लिए यह 10 होगा। 3 और 6 के लिए - 6। लेकिन फिर क्या करें शीर्ष भाग? यदि हमने निचला भाग बदल दिया है तो हम इसे वैसे ही नहीं छोड़ सकते। भिन्न के मूल गुण के अनुसार, हम अंश को हर के समान संख्या से गुणा करेंगे। यह ऑपरेशन उन प्रत्येक संख्या के साथ किया जाना चाहिए जिन्हें हम जोड़ेंगे या घटाएंगे। हालाँकि, 6वीं कक्षा में सामान्य अंशों के साथ ऐसी क्रियाएं पहले से ही "स्वचालित रूप से" की जाती हैं, और कठिनाइयाँ तभी उत्पन्न होती हैं जब प्रारंभिक चरणविषय का अध्ययन.

तुलना

यदि दो भिन्नों का हर समान हो, तो बड़े अंश वाला बड़ा होता है। यदि ऊपरी भाग समान हैं, तो वाला वाला छोटा हर. यह बात ध्यान में रखने योग्य है कि तुलना के लिए ऐसी सफल स्थितियाँ कम ही उत्पन्न होती हैं। सबसे अधिक संभावना है, भावों के ऊपरी और निचले दोनों हिस्से मेल नहीं खाएंगे। फिर आपको साधारण भिन्नों के साथ संभावित क्रियाओं के बारे में याद रखना होगा और जोड़ और घटाव में उपयोग की जाने वाली तकनीक का उपयोग करना होगा। यह भी याद रखें कि अगर हम बात कर रहे हैं नकारात्मक संख्याएँ, तो बड़े मापांक वाला अंश छोटा हो जाएगा।

सामान्य भिन्नों के लाभ

ऐसा होता है कि शिक्षक बच्चों को एक वाक्यांश बताते हैं, जिसकी सामग्री इस प्रकार व्यक्त की जा सकती है: कार्य तैयार करते समय जितनी अधिक जानकारी दी जाएगी, समाधान उतना ही आसान होगा। क्या आपको लगता है यह अजीब लगता है? लेकिन वास्तव में: बड़ी संख्या में ज्ञात मात्राओं के साथ, आप लगभग किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन यदि केवल कुछ संख्याएँ प्रदान की जाती हैं, तो अतिरिक्त विचारों की आवश्यकता हो सकती है, आपको प्रमेयों को याद रखना और सिद्ध करना होगा, अपनी शुद्धता के पक्ष में तर्क देना होगा ...

हम यह क्यों कर रहे हैं? इसके अलावा, साधारण भिन्न, अपनी सभी बोझिलता के बावजूद, एक छात्र के जीवन को बहुत सरल बना सकते हैं, जिससे उन्हें गुणा और भाग करते समय मूल्यों की पूरी पंक्तियों को छोटा करने की अनुमति मिलती है, और योग और अंतर की गणना करते समय, सामान्य तर्क बनाते हैं और, फिर से, उन्हें छोटा करते हैं।

जब सामान्य और दशमलव भिन्नों के साथ संयुक्त क्रियाएं करना आवश्यक होता है, तो पूर्व के पक्ष में परिवर्तन किए जाते हैं: आप 3/17 को दशमलव रूप में कैसे परिवर्तित करते हैं? केवल जानकारी खो जाने पर, अन्यथा नहीं। लेकिन 0.1 को 1/10 और फिर 17/170 के रूप में दर्शाया जा सकता है। और फिर दो परिणामी संख्याओं को जोड़ा या घटाया जा सकता है: 30/170 + 17/170 = 47/170।

दशमलव क्यों उपयोगी हैं?

जबकि साधारण भिन्नों के साथ संक्रियाएँ अधिक सुविधाजनक होती हैं, उनकी सहायता से सब कुछ लिखना अत्यंत असुविधाजनक होता है; तुलना करें: 1748/10000 और 0.1748। यह वही मान है जो दो में दर्शाया गया है विभिन्न विकल्प. बेशक, दूसरी विधि आसान है!

इसके अलावा, दशमलव को दर्शाना आसान होता है क्योंकि सभी डेटा का एक सामान्य आधार होता है जो केवल परिमाण के क्रम से भिन्न होता है। मान लीजिए, हम 30% की छूट को आसानी से समझते हैं और इसे महत्वपूर्ण भी मानते हैं। क्या आप तुरंत समझ जायेंगे कि अधिक क्या है - 30% या 137/379? इस प्रकार, दशमलव अंश गणना के लिए मानकीकरण प्रदान करते हैं।

हाई स्कूल में, छात्र निर्णय लेते हैं द्विघातीय समीकरण. यहां साधारण भिन्नों के साथ संचालन करना पहले से ही बेहद समस्याग्रस्त है, क्योंकि एक चर के मूल्यों की गणना के लिए सूत्र शामिल है वर्गमूलराशि से. यदि कोई भिन्न है जिसे दशमलव तक नहीं घटाया जा सकता है, तो समाधान इतना जटिल हो जाता है कि कैलकुलेटर के बिना सटीक उत्तर की गणना करना लगभग असंभव हो जाता है।

इसलिए, उचित संदर्भ में भिन्नों को दर्शाने के प्रत्येक तरीके के अपने फायदे हैं।

रिकॉर्डिंग प्रपत्र

साधारण भिन्नों के साथ क्रियाओं को लिखने के दो तरीके हैं: एक क्षैतिज रेखा के माध्यम से, दो "स्तरों" में, और एक स्लैश (उर्फ "स्लैश") के माध्यम से - एक पंक्ति में। जब कोई छात्र नोटबुक में लिखता है, तो पहला विकल्प आमतौर पर अधिक सुविधाजनक होता है और इसलिए अधिक सामान्य होता है। कोशिकाओं में संख्याओं को एक पंक्ति में वितरित करने से गणना करते समय और परिवर्तन करते समय सावधानी विकसित करने में मदद मिलती है। किसी स्ट्रिंग पर लिखते समय, आप अनजाने में क्रियाओं के क्रम को भ्रमित कर सकते हैं, कुछ डेटा खो सकते हैं - यानी गलती कर सकते हैं।

आजकल अक्सर कंप्यूटर पर नंबर प्रिंट करने की जरूरत पड़ती है। आप Microsoft Word 2010 और बाद के संस्करण में फ़ंक्शन का उपयोग करके पारंपरिक क्षैतिज रेखा का उपयोग करके भिन्नों को अलग कर सकते हैं। तथ्य यह है कि सॉफ़्टवेयर के इन संस्करणों में "फ़ॉर्मूला" नामक एक विकल्प होता है। यह स्क्रीन पर एक आयताकार परिवर्तनीय क्षेत्र प्रदर्शित करता है, जिसके भीतर आप किसी भी गणितीय प्रतीकों को जोड़ सकते हैं और दो- और "चार-मंजिला" दोनों अंश बना सकते हैं। आप हर और अंश में कोष्ठक और संक्रिया चिन्हों का उपयोग कर सकते हैं। परिणामस्वरूप, आप सामान्य और दशमलव अंशों के साथ किसी भी संयुक्त क्रिया को पारंपरिक रूप में लिखने में सक्षम होंगे, यानी, जिस तरह से वे आपको स्कूल में ऐसा करना सिखाते हैं।

यदि आप मानक का उपयोग करते हैं पाठ संपादक"नोटपैड", तो सभी भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को एक स्लैश के साथ लिखना होगा। दुर्भाग्य से, यहां कोई दूसरा रास्ता नहीं है।

निष्कर्ष

इसलिए हमने सभी बुनियादी क्रियाओं को सामान्य अंशों के साथ देखा, जिनमें से, यह पता चला, इतने सारे नहीं हैं।

यदि पहले ऐसा लगता है कि यह गणित का एक कठिन खंड है, तो यह केवल एक अस्थायी धारणा है - याद रखें, आपने एक बार गुणन सारणी के बारे में इस तरह सोचा था, और उससे भी पहले - सामान्य कॉपीबुक और एक से दस तक की गिनती के बारे में।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि भिन्नों का उपयोग किया जाता है रोजमर्रा की जिंदगीहर जगह. आप पैसे और इंजीनियरिंग गणना से निपटेंगे, सूचान प्रौद्योगिकीऔर संगीत साक्षरता, और हर जगह - हर जगह! - भिन्नात्मक संख्याएँ दिखाई देंगी। इसलिए, आलसी न हों और इस विषय का गहन अध्ययन करें - खासकर जब से यह इतना जटिल नहीं है।

491. 1)

· 3

- 4

· 4

: 13

+ 6

: 2

अज्ञात नंबर.

तो यह 100 हो गया। संख्या ज्ञात कीजिए।

499*. यदि आप किसी अज्ञात संख्या को 2/3 से बढ़ाते हैं, तो आपको 60 मिलता है। यह कौन सी संख्या है?

अज्ञात नंबर खोजें.

_____________________________________________________________

501. 1) वर्गाकार क्लस्टर रोपण के साथ आलू की उपज औसतन 150 सेंटीमीटर प्रति 1 हेक्टेयर है, और पारंपरिक रोपण के साथ यह मात्रा होती है। यदि वर्गाकार-समूह विधि से आलू बोया जाए तो 15 हेक्टेयर क्षेत्र से कितना अधिक आलू काटा जा सकता है?

2) एक अनुभवी श्रमिक ने 1 घंटे में 18 भागों का उत्पादन किया, और एक अनुभवहीन श्रमिक ने इस मात्रा का 2/3 भाग तैयार किया। एक अनुभवी श्रमिक 7 घंटे के दिन में कितने और पार्ट्स का उत्पादन कर सकता है?

502. 1) अग्रदूतों ने तीन दिनों के भीतर 56 किलो वजन इकट्ठा किया विभिन्न बीज. पहले दिन, कुल राशि का 3/14 एकत्र किया गया, दूसरे पर - डेढ़ गुना अधिक, और तीसरे दिन - शेष अनाज। तीसरे दिन अग्रदूतों ने कितने किलोग्राम बीज एकत्र किये?

2) गेहूं पीसते समय, परिणाम यह था: गेहूं की कुल मात्रा का 4/5 आटा, सूजी - आटे से 40 गुना कम, और बाकी चोकर है। 3 टन गेहूं पीसने पर कितना आटा, सूजी और चोकर अलग-अलग निकला?

503. 1) तीन गैरेज में 460 कारें रह सकती हैं। पहले गैरेज में फिट होने वाली कारों की संख्या दूसरे गैरेज में फिट होने वाली कारों की संख्या का 3/4 है, और तीसरे गैरेज में यह 1 1/2 गुना है अधिक कारेंपहले वाले की तुलना में. प्रत्येक गैरेज में कितनी कारें फिट होंगी?

2) तीन कार्यशालाओं वाली एक फैक्ट्री में 6,000 कर्मचारी कार्यरत हैं। दूसरी कार्यशाला में पहली की तुलना में 1 1/2 गुना कम श्रमिक हैं, और तीसरी कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या दूसरी कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या का 5/6 है। प्रत्येक कार्यशाला में कितने कर्मचारी हैं?

504. 1) पहले 2/5, फिर कुल मिट्टी का 1/3 मिट्टी के तेल वाले टैंक से डाला गया, और उसके बाद टैंक में 8 टन मिट्टी का तेल रह गया। प्रारंभ में टैंक में कितना मिट्टी का तेल था?

2) साइकिल चालकों ने तीन दिनों तक दौड़ लगाई। पहले दिन उन्होंने पूरी यात्रा का 4/15 भाग, दूसरे दिन 2/5 भाग, और तीसरे दिन शेष 100 किमी. तय किया। तीन दिनों में साइकिल चालकों ने कितनी दूरी तय की?

505. 1) आइसब्रेकर तीन दिनों तक बर्फ के मैदान से होकर गुजरता रहा। पहले दिन उसने पूरी दूरी का 1/2 भाग, दूसरे दिन शेष दूरी का 3/5 भाग और तीसरे दिन शेष 24 किमी दूरी तय की। तीन दिनों में आइसब्रेकर द्वारा तय किए गए पथ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

2) स्कूली बच्चों के तीन समूहों ने वृक्षारोपण किया। पहली टुकड़ी ने सभी पेड़ों में से 7/20 पेड़ लगाए, दूसरी ने शेष पेड़ों में से 5/8 पेड़ लगाए, और तीसरी ने शेष 195 पेड़ लगाए। तीनों टीमों ने कुल कितने पेड़ लगाए?

506 . 1) एक कंबाइन हार्वेस्टर ने तीन दिनों में एक भूखंड से गेहूं काटा। पहले दिन उसने पूरे भूखंड क्षेत्र का 5/18 भाग काटा, दूसरे दिन शेष क्षेत्र का 7/13 भाग काटा और तीसरे दिन शेष 30 1/2 हेक्टेयर क्षेत्र की कटाई की। प्रत्येक हेक्टेयर से औसतन 20 सेंटीमीटर गेहूं काटा गया। पूरे क्षेत्र में कितना गेहूं काटा गया?

2) पहले दिन, रैली प्रतिभागियों ने पूरे मार्ग का 3/11 भाग, दूसरे दिन शेष मार्ग का 7/20 भाग, तीसरे दिन शेष मार्ग का 5/13 भाग, और चौथे दिन शेष मार्ग को कवर किया। 320 कि.मी. रैली का रूट कितना लंबा है?

507. 1) पहले दिन कार ने पूरी दूरी का 3/8 भाग, दूसरे दिन पहले दिन की दूरी का 15/17 भाग, और तीसरे दिन शेष 200 किमी दूरी तय की। यदि एक कार 10 किमी तक 1 3/5 किलोग्राम गैसोलीन की खपत करती है तो कितना गैसोलीन खर्च हुआ?

2) शहर में चार जिले हैं। सभी शहर निवासियों में से 4/13 पहले जिले में रहते हैं, पहले जिले के 5/6 निवासी दूसरे में रहते हैं, पहले दो जिलों के 4/11 निवासी तीसरे में रहते हैं, और 18 हजार लोग रहते हैं चौथे जिले में. यदि एक व्यक्ति प्रतिदिन औसतन 500 ग्राम खाता है, तो शहर की पूरी आबादी को 3 दिनों के लिए कितनी रोटी की आवश्यकता है?

508. 1) पर्यटक पहले दिन पूरी यात्रा का 10/31 भाग चला, दूसरे दिन वह पहले दिन का 9/10 भाग चला, और तीसरे दिन - शेष यात्रा चला, और तीसरे दिन वह चला दूसरे दिन से 12 किमी ज्यादा. प्रत्येक तीन दिन में पर्यटक कितने किलोमीटर चला?

2) कार ने शहर A से शहर B तक का पूरा मार्ग तीन दिनों में तय किया। पहले दिन कार ने पूरी दूरी का 7/20 भाग तय किया, दूसरे दिन शेष दूरी का 8/13 भाग तय किया, और तीसरे दिन कार ने पहले दिन की तुलना में 72 किमी कम दूरी तय की। शहर A और B के बीच की दूरी क्या है?

509 . 1) कार्यकारी समिति ने तीन कारखानों के श्रमिकों को भूमि आवंटित की उद्यान भूखंड. पहले संयंत्र को भूखंडों की कुल संख्या का 9/25 आवंटित किया गया था, दूसरे संयंत्र को पहले के लिए आवंटित भूखंडों की संख्या का 5/9, और तीसरे को - शेष भूखंड आवंटित किए गए थे। तीन कारखानों के श्रमिकों को कुल कितने भूखंड आवंटित किए गए, यदि पहले कारखाने को तीसरे की तुलना में 50 कम भूखंड आवंटित किए गए थे?

2) विमान ने तीन दिनों में मास्को से ध्रुवीय स्टेशन तक शीतकालीन श्रमिकों की एक शिफ्ट पहुंचाई। पहले दिन उसने पूरी दूरी का 2/5 भाग उड़ाया, दूसरे दिन उसने पहले दिन की दूरी का 5/6 भाग उड़ाया, और तीसरे दिन उसने दूसरे दिन की तुलना में 500 किमी कम उड़ान भरी। तीन दिनों में विमान कितनी दूरी तक उड़ा?

510 . 1) संयंत्र में तीन कार्यशालाएँ थीं। पहली कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या संयंत्र के सभी श्रमिकों की 2/5 है; दूसरी कार्यशाला में पहली की तुलना में 1 1/2 गुना कम श्रमिक हैं, और तीसरी कार्यशाला में दूसरी की तुलना में 100 अधिक श्रमिक हैं। फैक्ट्री में कितने कर्मचारी हैं?

2) सामूहिक खेत में तीन पड़ोसी गांवों के निवासी शामिल हैं। पहले गाँव में परिवारों की संख्या सामूहिक खेत के सभी परिवारों की 3/10 है; दूसरे गाँव में परिवारों की संख्या पहले की तुलना में 1 1/2 गुना अधिक है, और तीसरे गाँव में परिवारों की संख्या दूसरे की तुलना में 420 कम है। सामूहिक फार्म पर कितने परिवार हैं?

511 . 1) आर्टेल ने पहले सप्ताह में अपने कच्चे माल के स्टॉक का 1/3 और दूसरे में शेष का 1/3 उपयोग किया। यदि पहले सप्ताह में कच्चे माल की खपत दूसरे सप्ताह की तुलना में 3/5 टन अधिक थी तो आर्टेल में कितना कच्चा माल बचा है?

2) आयातित कोयले का 1/6 भाग पहले महीने में घर को गर्म करने में और शेष का 3/8 भाग दूसरे महीने में खर्च किया जाता था। यदि दूसरे महीने में पहले महीने की तुलना में 1 3/4 टन अधिक कोयले की खपत हुई हो तो घर को गर्म करने के लिए कितना कोयला बचेगा?

512 . सामूहिक खेत की कुल भूमि का 3/5 भाग अनाज बोने के लिए आवंटित किया जाता है, शेष 13/36 भाग पर वनस्पति उद्यानों और घास के मैदानों का कब्जा है, शेष भूमि जंगल है, और सामूहिक खेत का बोया गया क्षेत्र है वन क्षेत्र से 217 हेक्टेयर बड़ा, अनाज बोने के लिए आवंटित भूमि का 1/3 भाग राई बोया जाता है, और बाकी गेहूं बोया जाता है। सामूहिक खेत में कितनी हेक्टेयर भूमि पर गेहूँ और कितनी भूमि पर राई बोई गई?

513. 1) ट्राम मार्ग 14 3/8 किमी लंबा है। इस मार्ग पर, ट्राम 18 स्टॉप बनाती है, प्रति स्टॉप औसतन 1 1/6 मिनट तक खर्च करती है। पूरे मार्ग पर ट्राम की औसत गति 12 1/2 किमी प्रति घंटा है। एक ट्राम को एक यात्रा पूरी करने में कितना समय लगता है?

2) बस मार्ग 16 कि.मी. इस मार्ग पर बस 36 स्टॉप बनाती है, प्रत्येक स्टॉप 3/4 मिनट का। औसतन प्रत्येक. बस की औसत गति 30 किमी प्रति घंटा है। एक बस को एक रूट पर कितना समय लगता है?

514*. 1) शाम के 6 बजे हैं. दिन का कौन सा भाग बचा है और दिन के पिछले भाग का कौन सा भाग बनता है?

2) एक स्टीमर दो शहरों के बीच की दूरी धारा के साथ 3 दिनों में तय करता है। और 4 दिनों में समान दूरी तय कर वापस आ जाएगी। राफ्ट एक शहर से दूसरे शहर तक कितने दिनों तक नीचे की ओर तैरती रहेगी?

516 . संख्याओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करें:

वह प्रति घंटे औसतन कितने किलोमीटर चला?

519. 1) ट्रैक्टर चालक ने जमीन जोतने का काम तीन दिन में पूरा किया। पहले दिन वह

क्या ट्रैक्टर चालक ने एक दिन में जमीन जोत दी?

2) स्कूली बच्चों का एक समूह तीन दिवसीय पर्यटन यात्रा पर पहली यात्रा पर जा रहा था

क्या स्कूली बच्चे हर दिन घूम रहे थे?

520. 1) घर में तीन परिवार रहते हैं। अपार्टमेंट प्रकाश व्यवस्था के लिए पहले परिवार में 3 हैं प्रकाश बल्ब, दूसरे में 4 और तीसरे में 5 लाइट बल्ब। यदि सभी लैंप समान थे, और कुल बिजली बिल (पूरे घर के लिए) 7 1/5 रूबल था, तो प्रत्येक परिवार को बिजली के लिए कितना भुगतान करना चाहिए?

2) एक पॉलिश करने वाला व्यक्ति एक घर में फर्श चमका रहा था जहाँ तीन परिवार रहते थे। पहला परिवार था अंतरिक्ष

2 रगड़. 08 कोप. प्रत्येक परिवार ने कितना भुगतान किया?

औसतन, प्रत्येक झाड़ी से आलू एकत्र किए जाते हैं?

2) यदि आप तातार और केर्च जलडमरूमध्य की चौड़ाई को व्यक्त करने वाली संख्याओं को जोड़ते हैं

प्रत्येक जलडमरूमध्य?

2) नोवाया ज़ेमल्या, सखालिन और के द्वीप सेवर्नया ज़ेमल्यामिलकर एक क्षेत्र पर कब्ज़ा कर लेते हैं

सूचीबद्ध द्वीप?

तीसरे का क्षेत्रफल. दूसरे कमरे का क्षेत्रफल कितना है?

दिन। प्रतियोगिता के दूसरे दिन साइकिल चालक ने कितने घंटे की यात्रा की?

लोहे का हर टुकड़ा?

अनाज, तो दोनों बक्सों में बराबर मात्रा में अनाज होगा। प्रत्येक डिब्बे में कितना अनाज है?

हर डिब्बे में?

नदी के प्रवाह की गति क्या है?

529 . 1) दो गैरेज में 110 कारें हैं, और उनमें से एक में दूसरे की तुलना में 1 1/5 गुना अधिक कारें हैं। प्रत्येक गैरेज में कितनी कारें हैं?

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530 . 1) तांबे और चांदी से बनी एक मिश्र धातु का वजन 330 ग्राम है

इन नंबरों को खोजें.

सूची के अनुसार किसी कक्षा में विद्यार्थी यदि अनुपस्थित से 20 अधिक उपस्थित हों?

आपका बेटा कितने साल का है?

535 . किसी भिन्न का हर उसके अंश से 11 इकाई बड़ा है। यदि यह भिन्न के बराबर है

№ 536-№ 537 मौखिक रूप से.

दूसरा नंबर?

संख्या? दूसरी संख्या का कौन सा भाग पहला है?

लड़का, संख्यात्मक रूप से बराबर हैं - दूसरे लड़के द्वारा एकत्र किए गए मशरूम की संख्या। प्रत्येक लड़के ने कितने मशरूम इकट्ठे किये?

2) संस्था में 27 लोग कार्यरत हैं। कितने पुरुष और कितनी महिलाएँ काम करते हैं?

540*. तीन लड़कों ने एक वॉलीबॉल खरीदा। प्रत्येक बालक का योगदान जानकर निर्धारित करें

तीसरे लड़के का योगदान पहले वाले से 64 कोपेक अधिक है।

दूसरा नंबर.

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542 .1) पहली टीम कुछ काम 36 दिनों में पूरा कर सकती है, और दूसरी 45 दिनों में। दोनों टीमें मिलकर इस कार्य को कितने दिनों में पूरा करेंगी?

2) एक यात्री ट्रेन दो शहरों के बीच की दूरी 10 घंटे में तय करती है, और एक मालगाड़ी इस दूरी को 15 घंटे में तय करती है। दोनों ट्रेनें एक ही समय में इन शहरों से एक-दूसरे की ओर रवाना हुईं। वे कितने घंटे में मिलेंगे?

दोनों शहर एक ही समय में एक दूसरे की ओर? (निकटतम 1 घंटे तक गोलमोल उत्तर।)

2) दो मोटरसाइकिल सवार एक साथ दो शहरों से एक दूसरे की ओर निकले। एक मोटरसाइकिल चालक इन शहरों के बीच की पूरी दूरी 6 घंटे में और दूसरा 5 घंटे में तय कर सकता है। प्रस्थान के कितने घंटे बाद मोटरसाइकिल चालक मिलेंगे? (निकटतम 1 घंटे तक गोलमोल उत्तर।)

544 . 1) अलग-अलग वहन क्षमता वाली तीन कारें कुछ माल ले जा सकती हैं,

अलग से काम करना: पहला - 10 घंटे के लिए, दूसरा - 12 घंटे के लिए। और तीसरा - 15 घंटे के लिए. वे एक साथ काम करते हुए एक ही माल का परिवहन कितने घंटों तक कर सकते हैं?

2) दो ट्रेनें एक साथ दो स्टेशनों से एक-दूसरे की ओर प्रस्थान करती हैं: पहली ट्रेन

ट्रेन छूटने के कुछ घंटे बाद क्या वे मिलेंगे?

545 . 1) बाथटब से दो नल जुड़े हुए हैं। उनमें से एक के माध्यम से बाथटब को भरा जा सकता है

दोनों नल एक साथ खोलें?

2) दो टाइपिस्टों को पांडुलिपि को दोबारा टाइप करना होगा। पहला टाइपिस्ट प्रदर्शन कर सकता है

टाइपिस्ट यदि वे एक साथ काम करते हैं?

546. 1) पहले पाइप से पूल 5 घंटे में भर जाता है, और दूसरे पाइप से इसे 6 घंटे में खाली किया जा सकता है। यदि दोनों पाइप एक ही समय में खोल दिए जाएं तो पूरा पूल कितने घंटे में भर जाएगा?

संकेत: एक घंटे में, पूल अपनी क्षमता का (1/5 - 1/6) भर जाता है।

2) दो ट्रैक्टरों ने 6 घंटे में खेत की जुताई की। पहला ट्रैक्टर अकेले काम करके 15 घंटे में इस खेत की जुताई कर सकता था। एक दूसरे ट्रैक्टर को अकेले इस खेत की जुताई करने में कितने घंटे लगेंगे?

547 *. दो रेलगाड़ियाँ एक साथ दो स्टेशनों से एक-दूसरे की ओर प्रस्थान करती हैं और अपने प्रस्थान के 18 घंटे बाद मिलती हैं। यदि पहली ट्रेन इस दूरी को 1 दिन 21 घंटे में तय करती है तो दूसरी ट्रेन को स्टेशनों के बीच की दूरी तय करने में कितना समय लगेगा?

548 *. पूल दो पाइपों से भरा हुआ है। सबसे पहले पहला पाइप खोला गया, और फिर अंदर डाला गया

एक साथ काम करते हुए, पूल भर गया। यदि दूसरे पाइप से प्रति घंटे 200 बाल्टी पानी डाला जाता है तो पूल की क्षमता निर्धारित करें।

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लेनिनग्राद 650 किमी?

2) सामूहिक खेत से शहर तक 24 कि.मी. एक ट्रक सामूहिक फार्म से निकलता है और 1 किमी की यात्रा करता है

ट्रक की आधी गति पर. जाने के कितने समय बाद साइकिल चालक ट्रक से मिलेगा?

पैदल यात्री के जाने के कितने घंटे बाद साइकिल चालक उससे आगे निकल जाएगा?

मालगाड़ी को पकड़ने में तेज़ ट्रेन को कितना समय लगेगा?

551 . 1) दो सामूहिक खेतों से, जहां से क्षेत्रीय केंद्र की सड़क गुजरती है, हम चले गए

सामूहिक खेतों के बीच की दूरी.

उच्च रेल गति. प्रस्थान के कितने घंटे बाद विमान ट्रेन पकड़ लेगा?

552 . 1) नदी के किनारे के शहरों के बीच की दूरी 264 किमी है। जहाज़ ने इतनी दूरी तय की

क्या हर पड़ाव पर एक नाव थी?

554 . 12 बजे लेनिनग्राद से क्रोनस्टाट तक। जिस दिन स्टीमर चला गया और सब कुछ पार कर गया

पहला. दोनों जहाज किस समय मिले?

555 . ट्रेन को 14 घंटे में 630 किलोमीटर की दूरी तय करनी थी. इस दूरी का 2/3 भाग तय करने के बाद, उन्हें 1 घंटे 10 मिनट के लिए हिरासत में लिया गया। बिना किसी देरी के अपने गंतव्य तक पहुंचने के लिए उसे किस गति से अपनी यात्रा जारी रखनी चाहिए?

556 . सुबह 4:20 बजे सुबह एक मालगाड़ी औसतन कीव से ओडेसा के लिए रवाना हुई

यदि कीव और ओडेसा के बीच की दूरी 663 किमी है?

557* . घड़ी दोपहर दिखाती है। घंटे और मिनट की सूइयां एक समान होने में कितना समय लगेगा?

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स्कूल में दूसरे की तुलना में 420 कम छात्र हैं। तीनों स्कूलों में कितने छात्र हैं?

559. 1) दो कंबाइन ऑपरेटर एक ही क्षेत्र में काम करते थे। एक के बाद एक कंबाइन हार्वेस्टर हटा दिया गया

दूसरे से भी ज्यादा हेक्टेयर. प्रत्येक हेक्टेयर से औसतन 32 1/2 क्विंटल अनाज निकाला गया। प्रत्येक कंबाइन ऑपरेटर ने कितने सेंटीमीटर अनाज की थ्रेसिंग की?

और पहले वाले के पास 2 रूबल थे। 25 कोप्पेक दूसरे से भी ज्यादा. सभी ने डिवाइस की आधी कीमत चुकाई। सबके पास कितना पैसा बचा है?

560. 1) एक यात्री कार शहर A से शहर B के लिए निकलती है, उनके बीच की दूरी 215 किमी है, 50 किमी प्रति घंटे की गति से। उसी समय, उसने शहर B को शहर A के लिए छोड़ दिया। ट्रक. मिलने से पहले कार कितने किलोमीटर चली

2) शहर A और B के बीच 210 किमी. एक यात्री कार शहर A से शहर B के लिए रवाना हुई। उसी समय, एक ट्रक शहर B से शहर A के लिए रवाना हुआ। यात्री कार से मिलने से पहले ट्रक ने कितने किलोमीटर की यात्रा की, यदि यात्री कार 48 किमी प्रति घंटे की गति से यात्रा कर रही थी, और

561. सामूहिक खेत में गेहूं और राई की कटाई की जाती थी। से 20 हेक्टेयर अधिक गेहूं बोया गया

अपनी जरूरतों को पूरा करने के लिए रोटी छोड़ दी। राज्य को बेची गई ब्रेड को निर्यात करने के लिए दो टन ट्रकों को कितनी यात्राएँ करने की आवश्यकता पड़ी?

562. राई और गेहूं का आटा बेकरी में लाया गया। गेहूं के आटे का वजन वजन का 3/5 था रेय का आठा, और गेहूं के आटे की तुलना में 4 टन अधिक राई का आटा लाया गया। कितना गेहूं और कितना राई की रोटीइससे बेकरी द्वारा पकाया जाएगा

पहले दो दिन एक साथ. सामूहिक खेतों के बीच राजमार्ग की लंबाई ज्ञात कीजिए।

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564 . जहाँ तालिका में रिक्त स्थान भरें एस- आयत का क्षेत्रफल, ए- आयत का आधार, ए एच- आयत की ऊँचाई (चौड़ाई)।

साइट की परिधि और क्षेत्रफल ज्ञात करें।

साइट की परिधि और क्षेत्रफल.

एक आयत का क्षेत्रफल.

567.

567. चित्र 30 में दिखाई गई आकृतियों को आयतों में विभाजित करके और माप द्वारा आयत के आयाम ज्ञात करके उनके क्षेत्रफल की गणना करें।

फलियाँ। यदि प्रति 1 हेक्टेयर में 1 सेंटनर बोया गया हो तो खेत में बोने के लिए कितने बीजों की आवश्यकता होगी?

2) मैदान से आयताकार आकारउन्होंने प्रति हेक्टेयर 25 सेंटीमीटर गेहूं काटा। यदि खेत की लंबाई 800 मीटर और चौड़ाई उसकी लंबाई की 3/8 है तो पूरे खेत से कितना गेहूं काटा गया?

इस क्षेत्र पर इमारतों का कब्ज़ा है। भवनों के नीचे भूमि का क्षेत्रफल निर्धारित करें।

सामूहिक फार्म में एक बगीचा लगाने की योजना है। यदि प्रत्येक पेड़ के लिए औसतन 36 वर्ग मीटर क्षेत्र की आवश्यकता हो तो इस उद्यान में कितने पेड़ लगाए जाएंगे? एम?

571 . 1) किसी कमरे में सामान्य दिन के उजाले की रोशनी के लिए यह आवश्यक है कि वह क्षेत्र

2) पिछली समस्या की स्थिति का उपयोग करके पता लगाएं कि आपकी कक्षा में पर्याप्त रोशनी है या नहीं।

2) जलाऊ लकड़ी के ढेर में एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का आकार होता है, जिसके आयाम होते हैं

पूल के लिए।

574 . 75 मीटर लंबे और 45 मीटर चौड़े भूमि के एक आयताकार टुकड़े के चारों ओर एक बाड़ बनाने की आवश्यकता है। यदि इसके निर्माण में कितने घन मीटर बोर्ड लगने चाहिए

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575. 1) 13 बजे मिनट और घंटे की सूइयां कौन सा कोण बनाती हैं? 15 बजे? 17 बजे? 21 बजे? 23:30 पर?

2) घंटे की सुई 2 घंटे में कितने डिग्री घूमेगी? 5 बजे? आठ बजे? 30 मिनट?

वृत्त?

576. 1) चांदे का उपयोग करके, निम्नलिखित बनाएं: क) एक समकोण; बी) 30° का कोण; ग) 60° का कोण; घ) 150° का कोण; ई) 55° का कोण।

2) चांदे का उपयोग करके, आकृति के कोणों को मापें और प्रत्येक आकृति के सभी कोणों का योग ज्ञात करें (चित्र 31)।

577 . इन चरणों का पालन करें:

1) 36º15"+43º30" 2) 53º29" + 20º41"

3) 16º+23º07" +33º56" 4) 36º15" – 21º11"

5) 48º-19º52" 6) 51º12"-37º45"

7) 17º12·3 8) 39º18·4

9) 13º53"5 10) 42º22":2

11)58º3":3 12) 49º24":4

578. 1) अर्धवृत्त दो चापों में विभाजित है, जिनमें से एक दूसरे से 100º बड़ा है। प्रत्येक चाप का आकार ज्ञात कीजिए।

2) अर्धवृत्त दो चापों में विभाजित है, जिनमें से एक दूसरे से 15° छोटा है। प्रत्येक चाप का आकार ज्ञात कीजिए।

3) अर्धवृत्त दो चापों में विभाजित है, जिनमें से एक दूसरे से दोगुना बड़ा है। प्रत्येक चाप का आकार ज्ञात कीजिए।

4) अर्धवृत्त दो चापों में विभाजित है, जिनमें से एक दूसरे से 5 गुना छोटा है। प्रत्येक चाप का आकार ज्ञात कीजिए।

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579. 1) आरेख "यूएसएसआर में जनसंख्या साक्षरता" (चित्र 32) जनसंख्या के प्रति सौ लोगों पर साक्षर लोगों की संख्या को दर्शाता है। आरेख और उसके पैमाने के आंकड़ों के आधार पर, प्रत्येक संकेतित वर्ष के लिए साक्षर पुरुषों और महिलाओं की संख्या निर्धारित करें।

2) "अंतरिक्ष में सोवियत दूत" (चित्र 33) आरेख से डेटा का उपयोग करके, कार्य बनाएं।

580. 1) पाई चार्ट "पांचवीं कक्षा के छात्र के लिए दैनिक दिनचर्या" (चित्र 34) के अनुसार, तालिका भरें और प्रश्नों के उत्तर दें: दिन का कौन सा भाग सोने के लिए आवंटित किया गया है? होमवर्क के लिए? स्कूल को?