Susikirtimo taško radimas. Paprasčiausi uždaviniai su tiesia linija plokštumoje. Santykinė linijų padėtis. Kampas tarp tiesių linijų

Spręsdami kai kuriuos geometrinius uždavinius koordinačių metodu, turite rasti tiesių susikirtimo taško koordinates. Dažniausiai tenka ieškoti dviejų plokštumos tiesių susikirtimo taško koordinačių, tačiau kartais reikia nustatyti dviejų tiesių susikirtimo erdvėje taško koordinates. Šiame straipsnyje mes kalbėsime apie taško, kuriame susikerta dvi tiesės, koordinates.

Puslapio naršymas.

Dviejų tiesių susikirtimo taškas yra apibrėžimas.

Pirmiausia apibrėžkime dviejų tiesių susikirtimo tašką.

Skyriuje apie tiesių santykinę padėtį plokštumoje parodyta, kad dvi tiesės plokštumoje gali arba sutapti (ir jų yra be galo daug bendrų taškų), būti lygiagrečios (su dviem tiesėmis, neturinčiomis bendrų taškų), arba susikertančios, turinčios vieną bendrą tašką. Dviejų tiesių santykinės padėties erdvėje variantų yra daugiau – jos gali sutapti (turėti be galo daug bendrų taškų), gali būti lygiagrečios (tai yra, gulėti toje pačioje plokštumoje ir nesikerta), gali būti susikertančios (ne guli toje pačioje plokštumoje), jie taip pat gali turėti vieną bendrą tašką, ty susikirsti. Taigi dvi tiesės tiek plokštumoje, tiek erdvėje vadinamos susikertančiomis, jei jos turi vieną bendrą tašką.

Iš susikertančių linijų apibrėžimo išplaukia nustatant tiesių susikirtimo tašką: taškas, kuriame susikerta dvi tiesės, vadinamas šių tiesių susikirtimo tašku. Kitaip tariant, vienintelis bendras dviejų susikertančių tiesių taškas yra šių linijų susikirtimo taškas.

Aiškumo dėlei pateikiame grafinę dviejų tiesių susikirtimo plokštumoje ir erdvėje iliustraciją.

Puslapio viršuje

Dviejų plokštumos tiesių susikirtimo taško koordinačių radimas.

Prieš surasdami dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates plokštumoje, naudodami jų žinomas lygtis, apsvarstykite pagalbinę problemą.

Oxy a Ir b. Mes manysime, kad tai tiesiai a atitinka bendrąją formos tiesės ir tiesės lygtį b– tipas. Leisti būti tam tikru tašku plokštumoje, ir mes turime išsiaiškinti, ar taškas M 0 duotųjų tiesių susikirtimo taškas.

Išspręskime problemą.

Jeigu M0 a Ir b, tada pagal apibrėžimą jis taip pat priklauso eilutei a ir tiesiai b, tai yra, jo koordinatės turi tenkinti ir lygtį, ir lygtį. Todėl turime pakeisti taško koordinates M 0į pateiktų eilučių lygtis ir pažiūrėkite, ar gaunamos dvi teisingos lygybės. Jei taško koordinatės M 0 tenkina tiek lygtis ir , Tada yra linijų susikirtimo taškas a Ir b, kitaip M 0 .

Ar esmė M 0 su koordinatėmis (2, -3) tiesių susikirtimo taškas 5x-2y-16=0 Ir 2x-5y-19=0?

Jeigu M 0 iš tikrųjų yra duotųjų tiesių susikirtimo taškas, tada jo koordinatės tenkina tiesių lygtis. Patikrinkime tai pakeisdami taško koordinates M 0į pateiktas lygtis:

Mes turime dvi tikras lygybes, todėl M 0 (2, -3)- linijų susikirtimo taškas 5x-2y-16=0 Ir 2x-5y-19=0.

Aiškumo dėlei pateikiame brėžinį, kuriame pavaizduotos tiesės ir matomos jų susikirtimo taškų koordinatės.

taip, taškas M 0 (2, -3) yra linijų susikirtimo taškas 5x-2y-16=0 Ir 2x-5y-19=0.

Ar linijos susikerta? 5x+3y-1=0 Ir 7x-2m+11=0 taške M 0 (2, -3)?

Pakeiskime taško koordinates M 0į tiesių lygtis, šis veiksmas patikrins, ar taškas priklauso M 0 abi tiesios linijos vienu metu:

Nuo antrosios lygties į ją pakeičiant taško koordinates M 0 nevirto tikra lygybe, tada taškas M 0 linijai nepriklauso 7x-2m+11=0. Iš šio fakto galime daryti išvadą, kad taškas M 0 nėra duotųjų linijų susikirtimo taškas.

Brėžinyje taip pat aiškiai matyti, kad taškas M 0 nėra linijų susikirtimo taškas 5x+3y-1=0 Ir 7x-2m+11=0. Akivaizdu, kad nurodytos linijos susikerta taške su koordinatėmis (-1, 2) .

M 0 (2, -3) nėra linijų susikirtimo taškas 5x+3y-1=0 Ir 7x-2m+11=0.

Dabar galime pereiti prie užduoties rasti dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates, naudojant pateiktas plokštumos linijų lygtis.

Tegul stačiakampė Dekarto koordinačių sistema yra pritvirtinta plokštumoje Oxy ir pateiktos dvi susikertančios tiesės a Ir b lygtys ir atitinkamai. Duotų tiesių susikirtimo tašką pažymėkime kaip M 0 ir išspręskite tokį uždavinį: raskite dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates a Ir b pagal žinomas šių tiesių lygtis ir .

Taškas M0 priklauso kiekvienai iš susikertančių linijų a Ir b pagal apibrėžimą. Tada tiesių susikirtimo taško koordinatės a Ir b tenkina ir lygtį, ir lygtį. Todėl dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės a Ir b yra lygčių sistemos sprendimas (žr. straipsnį tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas).

Taigi, norint rasti dviejų tiesių, apibrėžtų plokštumoje bendromis lygtimis, susikirtimo taško koordinates, reikia išspręsti sistemą, sudarytą iš pateiktų tiesių lygčių.

Pažvelkime į sprendimo pavyzdį.

Raskite dviejų tiesių, apibrėžtų stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje pagal lygtis, susikirtimo tašką x-9y+14=0 Ir 5x-2y-16=0.

Pateikiamos dvi bendrosios tiesių lygtys, sudarykime iš jų sistemą: . Gautos lygčių sistemos sprendimus nesunku rasti išsprendus pirmąją jos lygtį kintamojo atžvilgiu x ir pakeiskite šią išraišką į antrąją lygtį:

Rastas lygčių sistemos sprendimas suteikia mums norimas dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates.

M 0 (4, 2)– tiesių susikirtimo taškas x-9y+14=0 Ir 5x-2y-16=0.

Taigi, ieškant dviejų tiesių, apibrėžtų bendromis lygtimis plokštumoje, susikirtimo taško koordinates, reikia išspręsti dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomais kintamaisiais sistemą. Bet kas, jei tiesės plokštumoje pateiktos ne bendromis, o kitokio tipo lygtimis (žr. tiesės lygčių tipus plokštumoje)? Tokiais atvejais pirmiausia galite sumažinti linijų lygtis į bendra išvaizda, o po to raskite susikirtimo taško koordinates.

Prieš surasdami pateiktų tiesių susikirtimo taško koordinates, jų lygtis sumažiname į bendrą formą. Perėjimas nuo parametrinių linijos lygčių į bendrąją šios linijos lygtį atrodo taip:

Dabar atlikime reikiamus veiksmus su kanonine tiesės lygtimi:

Taigi, norimos tiesių susikirtimo taško koordinatės yra formos lygčių sistemos sprendimas. Jai išspręsti naudojame Cramerio metodą:

M 0 (-5, 1)

Yra dar vienas būdas rasti dviejų plokštumos linijų susikirtimo taško koordinates. Patogu naudoti, kai vieną iš eilučių pateikia formos parametrinės lygtys, o kitą – kitokio tipo tiesių lygtis. Šiuo atveju kitoje lygtyje vietoj kintamųjų x Ir y galite pakeisti išraiškas ir , iš kur galite gauti reikšmę, atitinkančią nurodytų linijų susikirtimo tašką. Šiuo atveju linijų susikirtimo taškas turi koordinates.

Naudodami šį metodą suraskime ankstesnio pavyzdžio linijų susikirtimo taško koordinates.

Nustatykite linijų susikirtimo taško koordinates ir .

Pakeiskime tiesios linijos išraišką į lygtį:

Išsprendę gautą lygtį, gauname . Ši reikšmė atitinka bendrą linijų tašką ir . Apskaičiuojame susikirtimo taško koordinates, į parametrines lygtis pakeisdami tiesia linija:
.

M 0 (-5, 1).

Norint užbaigti paveikslą, reikėtų aptarti dar vieną dalyką.

Prieš surandant dviejų tiesių susikirtimo taško plokštumoje koordinates, pravartu įsitikinti, ar duotosios tiesės iš tikrųjų susikerta. Jei paaiškėja, kad pradinės tiesės sutampa arba yra lygiagrečios, tada negali būti nė kalbos apie tokių linijų susikirtimo taško koordinates.

Žinoma, galite apsieiti ir be tokio patikrinimo, bet iš karto sukurkite formos lygčių sistemą ir ją išspręskite. Jei lygčių sistema turi unikalų sprendimą, tada ji pateikia taško, kuriame susikerta pradinės tiesės, koordinates. Jei lygčių sistema neturi sprendinių, galime daryti išvadą, kad pradinės tiesės yra lygiagrečios (nes tokios realiųjų skaičių poros nėra x Ir y, kuri vienu metu tenkintų abi duotųjų eilučių lygtis). Iš begalinio skaičiaus sprendinių buvimo lygčių sistemoje išplaukia, kad pradinės tiesės turi be galo daug bendrų taškų, tai yra, jos sutampa.

Pažvelkime į pavyzdžius, kurie tinka šioms situacijoms.

Sužinokite, ar linijos ir susikerta, o jei susikerta, tada raskite susikirtimo taško koordinates.

Pateiktos linijų lygtys atitinka lygtis ir . Išspręskime sistemą, sudarytą iš šių lygčių.

Akivaizdu, kad sistemos lygtys yra tiesiškai išreiškiamos viena per kitą (antroji sistemos lygtis gaunama iš pirmosios, padauginus abi jos dalis iš 4 ), todėl lygčių sistema turi be galo daug sprendinių. Taigi lygtys apibrėžia tą pačią tiesę ir negalime kalbėti apie šių tiesių susikirtimo taško koordinačių radimą.

lygtys ir yra apibrėžtos stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxy ta pati tiesė, todėl negalime kalbėti apie susikirtimo taško koordinačių radimą.

Raskite linijų susikirtimo taško koordinates ir, jei įmanoma.

Problemos būklė leidžia, kad linijos negali susikirsti. Iš šių lygčių sukurkime sistemą. Jai išspręsti pritaikykime Gauso metodą, nes jis leidžia nustatyti lygčių sistemos suderinamumą arba nesuderinamumą, o jei jis suderinamas, rasti sprendimą:

Paskutinė sistemos lygtis po tiesioginio Gauso metodo perėjimo virto neteisinga lygybe, todėl lygčių sistema neturi sprendinių. Iš to galime daryti išvadą, kad pradinės tiesės yra lygiagrečios, ir negalime kalbėti apie šių linijų susikirtimo taško koordinačių radimą.

Antras sprendimas.

Išsiaiškinkime, ar duotosios linijos susikerta.

Normalus vektorius yra tiesė, o vektorius yra normalus linijos vektorius. Patikrinkime, ar vektorių ir : kolineariškumo sąlyga yra teisinga, nes, vadinasi, duotų tiesių normalieji vektoriai yra kolineariniai. Tada šios linijos yra lygiagrečios arba sutampa. Taigi negalime rasti pradinių tiesių susikirtimo taško koordinačių.

neįmanoma rasti nurodytų tiesių susikirtimo taško koordinačių, nes šios tiesės yra lygiagrečios.

Raskite tiesių susikirtimo taško koordinates 2x-1=0 ir , jei jie susikerta.

Sudarykime lygčių sistemą, kuri yra bendrosios duotųjų eilučių lygtys: . Šios lygčių sistemos pagrindinės matricos determinantas yra ne nulis, todėl lygčių sistema turi unikalų sprendinį, kuris nurodo duotųjų tiesių sankirtą.

Norėdami rasti linijų susikirtimo taško koordinates, turime išspręsti sistemą:

Gautas sprendimas suteikia mums linijų susikirtimo taško koordinates, tai yra linijų susikirtimo tašką 2x-1=0 Ir .

Puslapio viršuje

Dviejų tiesių erdvėje susikirtimo taško koordinačių radimas.

Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės trimatėje erdvėje randamos panašiai.

Tegul susikertančios linijos a Ir b nurodyta stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz dviejų susikertančių plokštumų lygtys, tai yra tiesė a yra nustatoma pagal formos , ir tiesės sistemą b- . Leiskite M 0– tiesių susikirtimo taškas a Ir b. Tada nurodykite M 0 pagal apibrėžimą taip pat priklauso linijai a ir tiesiai b, todėl jo koordinatės tenkina abiejų tiesių lygtis. Taigi, tiesių susikirtimo taško koordinatės a Ir b pavaizduoti formos tiesinių lygčių sistemos sprendinį. Čia mums reikės informacijos iš skyriaus apie tiesinių lygčių sistemų sprendimą, kai lygčių skaičius nesutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi.

Pažvelkime į pavyzdžių sprendimus.

Raskite dviejų tiesių, apibrėžtų erdvėje lygtimis ir, susikirtimo taško koordinates.

Iš pateiktų eilučių lygčių sudarykime lygčių sistemą: . Šios sistemos sprendimas suteiks mums reikiamas linijų susikirtimo taško koordinates erdvėje. Raskime rašytinės lygčių sistemos sprendimą.

Pagrindinė sistemos matrica turi formą , o išplėstinė - .

Nustatykime matricos rangą A ir matricos rangą T. Naudojame nepilnamečių ribojimo metodą, tačiau determinantų skaičiavimo išsamiai neaprašysime (jei reikia, skaitykite straipsnį Matricos determinanto skaičiavimas):

Taigi pagrindinės matricos rangas yra lygus išplėstinės matricos rangui ir yra lygus trims.

Vadinasi, lygčių sistema turi unikalų sprendimą.

Determinantą imsime kaip pagrindinį mažąjį, todėl paskutinę lygtį reikėtų išbraukti iš lygčių sistemos, nes ji nedalyvauja formuojant pagrindinį mažąjį. Taigi,

Gautos sistemos sprendimą lengva rasti:

Taigi, tiesių susikirtimo taškas turi koordinates (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Reikėtų pažymėti, kad lygčių sistema turi unikalų sprendimą tada ir tik tada, kai tiesės a Ir b susikerta. Jei tiesiai A Ir b lygiagrečiai arba kryžmingai, tada paskutinė lygčių sistema neturi sprendinių, nes šiuo atveju tiesės neturi bendrų taškų. Jei tiesiai a Ir b sutampa, tada jie turi be galo daug bendrų taškų, todėl nurodyta lygčių sistema turi begalinį sprendinių skaičių. Tačiau šiais atvejais negalime kalbėti apie tiesių susikirtimo taško koordinačių radimą, nes linijos nesikerta.

Taigi, jei iš anksto nežinome, ar duotosios linijos susikerta a Ir b ar ne, tada tikslinga sukurti formos lygčių sistemą ir ją išspręsti Gauso metodu. Jei gausime unikalų sprendimą, tai jis atitiks linijų susikirtimo taško koordinates a Ir b. Jei sistema pasirodo nenuosekli, tada tiesioginė a Ir b nesikerta. Jei sistema turi begalinį sprendinių skaičių, tai tiesės a Ir b rungtynės.

Galite išsiversti nenaudodami Gauso metodo. Arba galite apskaičiuoti šios sistemos pagrindinių ir išplėstinių matricų eiles ir, remdamiesi gautais duomenimis bei Kronecker-Capelli teorema, padaryti išvadą, kad yra vienas sprendimas, arba yra daug sprendinių, arba kad jo nėra. sprendimus. Tai skonio reikalas.

Jei linijos susikerta, tada nustatykite susikirtimo taško koordinates.

Iš pateiktų lygčių sukurkime sistemą: . Išspręskime tai naudodami Gauso metodą matricos forma:

Paaiškėjo, kad lygčių sistema neturi sprendinių, todėl duotosios tiesės nesikerta ir negali būti kalbos apie šių tiesių susikirtimo taško koordinates.

negalime rasti nurodytų tiesių susikirtimo taško koordinačių, nes šios tiesės nesikerta.

Kai susikertančios tiesės pateikiamos kanoninėmis tiesės erdvėje lygtimis arba parametrinėmis tiesės erdvėje lygtimis, tuomet pirmiausia reikėtų gauti jų lygtis dviejų susikertančių plokštumų pavidalu ir tik po to rasti susikirtimo taško koordinates.

Stačiakampėje koordinačių sistemoje apibrėžtos dvi susikertančios tiesės Oxyz lygtys ir . Raskite šių tiesių susikirtimo taško koordinates.

Apibrėžkime pradines tieses dviejų susikertančių plokštumų lygtimis:

Norint rasti tiesių susikirtimo taško koordinates, belieka išspręsti lygčių sistemą. Šios sistemos pagrindinės matricos rangas yra lygus išplėstinės matricos rangui ir yra lygus trims (rekomenduojame patikrinti šį faktą). Paimkime pagrindą minorą, todėl iš sistemos galime pašalinti paskutinę lygtį. Išsprendę gautą sistemą bet kuriuo metodu (pavyzdžiui, Cramerio metodu), gauname sprendimą. Taigi, tiesių susikirtimo taškas turi koordinates (-2, 3, -5) .

Pateikiamos dvi linijos ir reikia rasti jų susikirtimo tašką. Kadangi šis taškas priklauso kiekvienai iš dviejų nurodytų tiesių, jo koordinatės turi atitikti ir pirmosios, ir antrosios linijos lygtis.

Taigi, norint rasti dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates, reikia išspręsti lygčių sistemą

Pavyzdys 1. Raskite tiesių ir sankirtos tašką

Sprendimas. Norimo susikirtimo taško koordinates rasime spręsdami lygčių sistemą

Susikirtimo taškas M turi koordinates

Parodykime, kaip sukurti tiesią liniją naudojant jos lygtį. Norint sukurti tiesią liniją, pakanka žinoti du jos taškus. Norėdami sukurti kiekvieną iš šių taškų, nurodome savavališką vienos iš jo koordinačių reikšmę, o tada iš lygties randame atitinkamą kitos koordinatės reikšmę.

Jei bendrojoje tiesės lygtyje abu koeficientai esamose koordinatėse nėra lygūs nuliui, tai norint sukurti šią tiesę, geriausia rasti jos susikirtimo su koordinačių ašimis taškus.

2 pavyzdys. Sukurkite tiesią liniją.

Sprendimas. Randame šios linijos susikirtimo tašką su abscisių ašimi. Norėdami tai padaryti, kartu išsprendžiame jų lygtis:

ir gauname. Taigi rastas šios tiesės susikirtimo su abscisių ašimi taškas M (3; 0) (40 pav.).

Tada kartu išspręskite šios tiesės lygtį ir ordinačių ašies lygtį

randame tiesės susikirtimo su ordinačių ašimi tašką. Galiausiai iš dviejų jos taškų M ir pastatome tiesę

Pamoka iš serijos „Geometriniai algoritmai“

Sveiki, mielas skaitytojau!

Toliau susipažinkime su geometriniais algoritmais. Paskutinėje pamokoje mes radome tiesės lygtį naudodami dviejų taškų koordinates. Gavome formos lygtį:

Šiandien parašysime funkciją, kuri, pasitelkusi dviejų tiesių lygtis, suras jų susikirtimo taško koordinates (jei toks yra). Norėdami patikrinti realiųjų skaičių lygybę, naudosime specialią funkciją RealEq().

Taškai plokštumoje apibūdinami realiųjų skaičių pora. Naudojant realų tipą, palyginimo operacijas geriau įgyvendinti naudojant specialias funkcijas.

Priežastis žinoma: Paskalio programavimo sistemoje Real tipo nėra eilės ryšio, todėl geriau nenaudoti a = b formos įrašų, kur a ir b yra tikrieji skaičiai.
Šiandien pristatysime funkciją RealEq(), kad įgyvendintume operaciją „=“ (griežtai lygus):

Funkcija RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (griežtai lygus) pradėti RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Užduotis. Pateikiamos dviejų tiesių lygtys: ir . Raskite jų susikirtimo tašką.

Sprendimas. Akivaizdus sprendimas yra išspręsti tiesinių lygčių sistemą: Perrašykime šią sistemą šiek tiek kitaip:
(1)

Įveskime tokį žymėjimą: , , . Čia D yra sistemos determinantas ir yra determinantai, atsirandantys pakeitus atitinkamo nežinomojo koeficientų stulpelį laisvųjų terminų stulpeliu. Jei , tai sistema (1) yra apibrėžta, tai yra, ji turi unikalų sprendimą. Šį sprendimą galima rasti naudojant šias formules: , kurios vadinamos Cramerio formulės. Leiskite jums priminti, kaip apskaičiuojamas antros eilės determinantas. Determinantas išskiria dvi įstrižaines: pagrindinę ir antrinę. Pagrindinę įstrižainę sudaro elementai, paimti kryptimi nuo viršutinio kairiojo determinanto kampo iki apatinio dešiniojo kampo. Šoninė įstrižainė - iš viršutinės dešinės į apatinę kairę. Antros eilės determinantas yra lygus pagrindinės įstrižainės elementų sandaugai, atėmus antrinės įstrižainės elementų sandaugai.

Kodas naudoja funkciją RealEq() lygybei patikrinti. Skaičiavimai realiais skaičiais atliekami _Eps=1e-7 tikslumu.

Programa geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(skaičiavimo tikslumas) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real;<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Funkcija RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (griežtai lygus) pradėti RealEq:=Abs(a-b)

Sudarėme programą, su kuria, žinodami tiesių lygtis, galite rasti jų susikirtimo taškų koordinates.

Dviejų tiesių susikirtimo taškas yra apibrėžimas.

Pirmiausia apibrėžkime dviejų tiesių susikirtimo tašką.

Taigi, norint rasti dviejų tiesių, apibrėžtų plokštumoje bendromis lygtimis, susikirtimo taško koordinates, reikia išspręsti sistemą, sudarytą iš pateiktų tiesių lygčių.

Pažvelkime į sprendimo pavyzdį.

Puslapio naršymas.

Pavyzdys.

Raskite dviejų tiesių, apibrėžtų stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje x-9y+14=0 ir 5x-2y-16=0 lygtimis, susikirtimo tašką.

Sprendimas. Pateikiame dvi bendrąsias linijų lygtis, iš jų sukurkime sistemą:

. Gautos lygčių sistemos sprendimus nesunku rasti išsprendus pirmąją jos lygtį kintamojo x atžvilgiu ir šią išraišką pakeičiant antrąja lygtimi:

Rastas lygčių sistemos sprendimas suteikia mums norimas dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates.

Atsakymas:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 ir 5x-2y-16=0 .

Puslapio naršymas.

Taigi, ieškant dviejų tiesių, apibrėžtų bendromis lygtimis plokštumoje, susikirtimo taško koordinates, reikia išspręsti dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomais kintamaisiais sistemą. Bet kas, jei tiesės plokštumoje pateiktos ne bendromis, o kitokio tipo lygtimis (žr. tiesės lygčių tipus plokštumoje)? Tokiais atvejais pirmiausia galite sumažinti tiesių lygtis į bendrą formą ir tik po to rasti susikirtimo taško koordinates.

Raskite dviejų tiesių, apibrėžtų stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje x-9y+14=0 ir 5x-2y-16=0 lygtimis, susikirtimo tašką.

Prieš surasdami pateiktų tiesių susikirtimo taško koordinates, jų lygtis sumažiname į bendrą formą. Perėjimas iš parametrinių tiesių lygčių šios eilutės bendroji lygtis yra tokia:

Dabar atlikime reikiamus veiksmus su kanonine tiesės lygtimi:

Taigi norimos tiesių susikirtimo taško koordinatės yra formos lygčių sistemos sprendimas . Norėdami tai išspręsti, naudojame:

Rastas lygčių sistemos sprendimas suteikia mums norimas dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates.

M 0 (-5, 1)

Yra dar vienas būdas rasti dviejų plokštumos linijų susikirtimo taško koordinates. Patogu naudoti, kai vieną iš eilučių pateikia formos parametrinės lygtys , o kita yra skirtingo tipo tiesės lygtis. Šiuo atveju kitoje lygtyje vietoj kintamųjų x ir y galite pakeisti išraiškas Ir , iš kur bus galima gauti reikšmę, atitinkančią nurodytų linijų susikirtimo tašką. Šiuo atveju linijų susikirtimo taškas turi koordinates.

Naudodami šį metodą suraskime ankstesnio pavyzdžio linijų susikirtimo taško koordinates.

Puslapio naršymas.

Nustatykite tiesių susikirtimo taško koordinates Taigi, ieškant dviejų tiesių, apibrėžtų bendromis lygtimis plokštumoje, susikirtimo taško koordinates, reikia išspręsti dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomais kintamaisiais sistemą. Bet kas, jei tiesės plokštumoje pateiktos ne bendromis, o kitokio tipo lygtimis (žr. tiesės lygčių tipus plokštumoje)? Tokiais atvejais pirmiausia galite sumažinti tiesių lygtis į bendrą formą ir tik po to rasti susikirtimo taško koordinates.

Raskite dviejų tiesių, apibrėžtų stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje x-9y+14=0 ir 5x-2y-16=0 lygtimis, susikirtimo tašką.

Pakeiskime tiesios linijos išraišką į lygtį:

Išsprendę gautą lygtį, gauname . Ši reikšmė atitinka bendrą linijų tašką Ir . Apskaičiuojame susikirtimo taško koordinates, į parametrines lygtis pakeisdami tiesia linija:
.

Rastas lygčių sistemos sprendimas suteikia mums norimas dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates.

M 0 (-5, 1) .

Norint užbaigti paveikslą, reikėtų aptarti dar vieną dalyką.

Žinoma, galite apsieiti be tokio patikrinimo ir iš karto sukurti formos lygčių sistemą ir ją išspręsti. Jei lygčių sistema turi unikalų sprendimą, tada ji pateikia taško, kuriame susikerta pradinės tiesės, koordinates. Jei lygčių sistema neturi sprendinių, galime daryti išvadą, kad pradinės tiesės yra lygiagrečios (nes nėra realiųjų skaičių x ir y poros, kuri vienu metu tenkintų abi duotųjų tiesių lygtis). Iš begalinio skaičiaus sprendinių buvimo lygčių sistemoje išplaukia, kad pradinės tiesės turi be galo daug bendrų taškų, tai yra, jos sutampa.

Pažvelkime į pavyzdžius, kurie tinka šioms situacijoms.

Puslapio naršymas.

Sužinokite, ar linijos ir susikerta, o jei susikerta, tada raskite susikirtimo taško koordinates.

Raskite dviejų tiesių, apibrėžtų stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje x-9y+14=0 ir 5x-2y-16=0 lygtimis, susikirtimo tašką.

Duotos tiesių lygtys atitinka lygtis Ir . Išspręskime sistemą, sudarytą iš šių lygčių .

Akivaizdu, kad sistemos lygtys yra tiesiškai išreiškiamos viena per kitą (antroji sistemos lygtis gaunama iš pirmosios, padauginus abi jos dalis iš 4), todėl lygčių sistemoje yra begalinis sprendinių skaičius. Taigi lygtys apibrėžia tą pačią tiesę, ir mes negalime kalbėti apie šių tiesių susikirtimo taško koordinačių radimą.

Rastas lygčių sistemos sprendimas suteikia mums norimas dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates.

Lygtys ir apibrėžia tą pačią tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxy, todėl negalime kalbėti apie susikirtimo taško koordinačių radimą.

Puslapio naršymas.

Raskite tiesių susikirtimo taško koordinates Ir , jei įmanoma.

Raskite dviejų tiesių, apibrėžtų stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje x-9y+14=0 ir 5x-2y-16=0 lygtimis, susikirtimo tašką.

Problemos būklė leidžia, kad linijos negali susikirsti. Iš šių lygčių sukurkime sistemą. Taikykime ją išspręsti, nes tai leidžia mums nustatyti lygčių sistemos suderinamumą ar nesuderinamumą, o jei ji suderinama, rasti sprendimą:

Antras sprendimas.

Išsiaiškinkime, ar duotosios linijos susikerta.

- normalios linijos vektorius , ir vektorius yra normalus linijos vektorius . Patikrinkime vykdymą Ir : lygybė yra tiesa, nes todėl duotų tiesių normalieji vektoriai yra kolineariniai. Tada šios linijos yra lygiagrečios arba sutampa. Taigi negalime rasti pradinių tiesių susikirtimo taško koordinačių.

Rastas lygčių sistemos sprendimas suteikia mums norimas dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates.

Neįmanoma rasti nurodytų tiesių susikirtimo taško koordinačių, nes šios linijos yra lygiagrečios.

Puslapio naršymas.

Raskite tiesių 2x-1=0 ir , jei jos susikerta, susikirtimo taško koordinates.

Raskite dviejų tiesių, apibrėžtų stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje x-9y+14=0 ir 5x-2y-16=0 lygtimis, susikirtimo tašką.

Sudarykime lygčių sistemą, kuri yra bendrosios duotų eilučių lygtys: . Šios lygčių sistemos pagrindinės matricos determinantas yra nulis , todėl lygčių sistema turi unikalų sprendinį, kuris nurodo duotųjų tiesių sankirtą.

Norėdami rasti linijų susikirtimo taško koordinates, turime išspręsti sistemą:

Gautas sprendimas suteikia mums linijų susikirtimo taško koordinates, ty 2x-1=0 ir .

Rastas lygčių sistemos sprendimas suteikia mums norimas dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates.

Dviejų tiesių erdvėje susikirtimo taško koordinačių radimas.

Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės trimatėje erdvėje randamos panašiai.

Pažvelkime į pavyzdžių sprendimus.

Puslapio naršymas.

Raskite lygtimis pateiktų dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates erdvėje Ir .

Raskite dviejų tiesių, apibrėžtų stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje x-9y+14=0 ir 5x-2y-16=0 lygtimis, susikirtimo tašką.

Pagrindinė sistemos matrica turi formą , ir pratęstas - .

Apibrėžkime A ir matricos rangas T. Mes naudojame

Oi-oi-oi... na, sunku, lyg sau sakinį perskaitytų =) Tačiau vėliau padės atsipalaidavimas, juolab kad šiandien nusipirkau atitinkamus aksesuarus. Todėl pereikime prie pirmosios dalies, tikiuosi, kad iki straipsnio pabaigos išlaikysiu linksmą nuotaiką.

Santykinė dviejų tiesių padėtis

Taip būna, kai publika dainuoja kartu choru. Dvi tiesios linijos gali:

1) rungtynės;

2) būti lygiagrečiai: ;

3) arba susikerta viename taške: .

Pagalba manekenams : Atsiminkite matematinį sankryžos ženklą, jis pasirodys labai dažnai. Žymėjimas reiškia, kad tiesė kertasi su linija taške .

Kaip nustatyti santykinę dviejų linijų padėtį?

Pradėkime nuo pirmojo atvejo:

Dvi tiesės sutampa tada ir tik tada, kai jų atitinkami koeficientai yra proporcingi, tai yra, yra skaičius „lambda“, kad lygybės būtų patenkintos

Panagrinėkime tiesias linijas ir iš atitinkamų koeficientų sukurkime tris lygtis: . Iš kiekvienos lygties išplaukia, kad šios linijos sutampa.

Iš tiesų, jei visi lygties koeficientai padauginkite iš –1 (pokyčio ženklai), ir visus lygties koeficientus supjaustę 2, gausite tą pačią lygtį: .

Antrasis atvejis, kai linijos lygiagrečios:

Dvi tiesės yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų kintamųjų koeficientai yra proporcingi: , Bet.

Kaip pavyzdį apsvarstykite dvi tiesias linijas. Mes patikriname atitinkamų kintamųjų koeficientų proporcingumą:

Tačiau visiškai akivaizdu, kad.

Ir trečias atvejis, kai linijos susikerta:

Dvi tiesės susikerta tada ir tik tada, kai jų kintamųjų koeficientai NĖRA proporcingi, tai yra, NĖRA tokios „lambda“ reikšmės, kad būtų tenkinamos lygybės

Taigi tiesioms linijoms sukursime sistemą:

Iš pirmosios lygties išplaukia, kad , o iš antrosios lygties: , tai reiškia sistema nenuosekli(sprendimų nėra). Taigi kintamųjų koeficientai nėra proporcingi.

Išvada: linijos susikerta

Praktinėse problemose galite naudoti ką tik aptartą sprendimo schemą. Beje, tai labai primena vektorių kolineariškumo tikrinimo algoritmą, kurį žiūrėjome klasėje Vektorių tiesinės (ne)priklausomybės samprata. Vektorių pagrindas. Tačiau yra labiau civilizuota pakuotė:

1 pavyzdys

Sužinokite santykinę linijų padėtį:

Sprendimas remiantis tiesių linijų nukreipimo vektorių tyrimu:

a) Iš lygčių randame tiesių krypties vektorius: .

, o tai reiškia, kad vektoriai nėra kolinearūs ir linijos susikerta.

Tik tuo atveju, aš pastatysiu akmenį su ženklais sankryžoje:

Likusieji šokinėja per akmenį ir seka toliau, tiesiai į Kaščejų Nemirtingąjį =)

b) Raskite tiesių krypties vektorius:

Linijos turi tą patį krypties vektorių, o tai reiškia, kad jos yra lygiagrečios arba sutampa. Determinanto čia skaičiuoti nereikia.

Akivaizdu, kad nežinomųjų koeficientai yra proporcingi ir .

Išsiaiškinkime, ar lygybė yra tiesa:

Taigi,

c) Raskite tiesių krypties vektorius:

Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš šių vektorių koordinačių:
, todėl krypties vektoriai yra kolineariniai. Linijos yra lygiagrečios arba sutampa.

Proporcingumo koeficientą „lambda“ lengva pamatyti tiesiogiai iš kolinearinių krypties vektorių santykio. Tačiau jį taip pat galima rasti pagal pačių lygčių koeficientus: .

Dabar išsiaiškinkime, ar lygybė yra tiesa. Abi nemokamos sąlygos yra nulinės, todėl:

Gauta reikšmė tenkina šią lygtį (apskritai bet koks skaičius ją tenkina).

Taigi, linijos sutampa.

Atsakymas:

Labai greitai išmoksite (ar net jau išmokote) išspręsti žodžiu aptartą problemą pažodžiui per kelias sekundes. Šiuo atžvilgiu nematau prasmės ką nors pasiūlyti dėl nepriklausomo sprendimo, geriau kloti kitą svarbią plytą į geometrinį pamatą:

Kaip sukurti tiesę, lygiagrečią duotai?

Už šios paprasčiausios užduoties nežinojimą Lakštingala Plėšikas griežtai nubaudžia.

2 pavyzdys

Tiesi linija nurodoma lygtimi. Parašykite lygiagrečios tiesės, einančios per tašką, lygtį.

Sprendimas: Pažymėkime nežinomą eilutę raide . Ką apie ją sako būklė? Tiesi linija eina per tašką. O jei tiesės lygiagrečios, tai akivaizdu, kad tiesės krypties vektorius „tse“ tinka ir tiesei „de“ statyti.

Iš lygties išimame krypties vektorių:

Atsakymas:

Geometrijos pavyzdys atrodo paprastas:

Analitinis bandymas susideda iš šių etapų:

1) Patikriname, ar tiesės turi vienodą krypties vektorių (jei tiesės lygtis nėra tinkamai supaprastinta, vektoriai bus kolineariniai).

2) Patikrinkite, ar taškas tenkina gautą lygtį.

Daugeliu atvejų analitinį testavimą galima nesunkiai atlikti žodžiu. Pažvelkite į dvi lygtis ir daugelis iš jūsų greitai nustatys linijų lygiagretumą be jokio piešinio.

Nepriklausomų sprendimų pavyzdžiai šiandien bus kūrybingi. Nes dar teks konkuruoti su Baba Yaga, o ji, žinai, yra įvairiausių mįslių mėgėja.

3 pavyzdys

Parašykite tiesės, einančios per tašką, lygiagrečią tiesei, lygtį

Yra racionalus ir ne toks racionalus būdas tai išspręsti. Trumpiausias kelias yra pamokos pabaigoje.

Šiek tiek dirbome su lygiagrečiomis linijomis ir prie jų grįšime vėliau. Sutampančių linijų atvejis mažai domina, todėl panagrinėkime problemą, kuri jums labai pažįstama iš mokyklos programos:

Kaip rasti dviejų tiesių susikirtimo tašką?

Jei tiesiai susikerta taške , tada jo koordinatės yra sprendimas tiesinių lygčių sistemos

Kaip rasti linijų susikirtimo tašką? Išspręskite sistemą.

Štai jums dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos geometrinė reikšmė- tai dvi susikertančios (dažniausiai) linijos plokštumoje.

4 pavyzdys

Raskite tiesių susikirtimo tašką

Sprendimas: Yra du sprendimo būdai – grafinis ir analitinis.

Grafinis metodas yra tiesiog nubrėžti nurodytas linijas ir sužinoti susikirtimo tašką tiesiai iš brėžinio:

Štai mūsų mintis: . Norėdami patikrinti, turėtumėte pakeisti jos koordinates į kiekvieną linijos lygtį, jos turėtų tilpti ir ten, ir ten. Kitaip tariant, taško koordinatės yra sistemos sprendimas. Iš esmės mes žiūrėjome į grafinį sprendimą tiesinių lygčių sistemos su dviem lygtimis, dviem nežinomaisiais.

Grafinis metodas, žinoma, nėra blogas, tačiau yra pastebimų trūkumų. Ne, esmė ne ta, kad taip nusprendžia septintokai, esmė ta, kad prireiks laiko sukurti teisingą ir TIKSLIĄ piešinį. Be to, kai kurias tiesias linijas nėra taip lengva nubrėžti, o pats susikirtimo taškas gali būti kažkur trisdešimtoje karalystėje už užrašų knygelės lapo.

Todėl sankirtos taško tikslingiau ieškoti analitiniu metodu. Išspręskime sistemą:

Sistemai išspręsti taikytas lygčių terminų sudėjimo metodas. Norėdami lavinti atitinkamus įgūdžius, eikite į pamoką Kaip išspręsti lygčių sistemą?

Atsakymas:

Patikrinimas yra trivialus – susikirtimo taško koordinatės turi tenkinti kiekvieną sistemos lygtį.

5 pavyzdys

Raskite tiesių susikirtimo tašką, jei jos susikerta.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Patogu užduotį skaidyti į kelis etapus. Būklės analizė rodo, kad būtina:
1) Užrašykite tiesės lygtį.
2) Užrašykite tiesės lygtį.
3) Išsiaiškinkite santykinę linijų padėtį.
4) Jei linijos susikerta, raskite susikirtimo tašką.

Veiksmų algoritmo kūrimas būdingas daugeliui geometrinių uždavinių, ir aš ne kartą sutelksiu dėmesį į tai.

Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje:

Net pora batų nebuvo nusidėvėję, kol patekome į antrąją pamokos dalį:

Statmenos linijos. Atstumas nuo taško iki linijos.
Kampas tarp tiesių linijų

Pradėkime nuo tipiškos ir labai svarbios užduoties. Pirmoje dalyje išmokome nutiesti tiesią liniją, lygiagrečią šiai, o dabar namelis ant vištienos kojų pasisuks 90 laipsnių:

Kaip sukurti tiesę, statmeną duotai?

6 pavyzdys

Tiesi linija nurodoma lygtimi. Parašykite lygtį, statmeną tiesei, einančia per tašką.

Sprendimas: Pagal sąlygą žinoma, kad . Būtų malonu rasti linijos nukreipimo vektorių. Kadangi linijos yra statmenos, gudrybė paprasta:

Iš lygties „pašaliname“ normalųjį vektorių: , kuris bus tiesės krypties vektorius.

Sudarykime tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių:

Atsakymas:

Išplėskime geometrinį eskizą:

Hmm... Oranžinis dangus, oranžinė jūra, oranžinis kupranugaris.

Analitinis tirpalo patikrinimas:

1) Iš lygčių išimame krypties vektorius ir su pagalba vektorių skaliarinė sandauga darome išvadą, kad tiesės iš tiesų yra statmenos: .

Beje, galite naudoti įprastus vektorius, tai dar lengviau.

2) Patikrinkite, ar taškas tenkina gautą lygtį .

Testą, vėlgi, lengva atlikti žodžiu.

7 pavyzdys

Raskite statmenų tiesių susikirtimo tašką, jei lygtis žinoma ir laikotarpis.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Uždavinyje yra keli veiksmai, todėl sprendimą patogu formuluoti taškas po taško.

Mūsų įdomi kelionė tęsiasi:

Atstumas nuo taško iki linijos

Prieš mus yra tiesi upės ruožas ir mūsų užduotis yra pasiekti ją trumpiausiu keliu. Kliūčių nėra, o optimaliausias maršrutas bus judėti statmenai. Tai reiškia, kad atstumas nuo taško iki linijos yra statmenos atkarpos ilgis.

Atstumas geometrijoje tradiciškai žymimas graikiška raide „rho“, pavyzdžiui: – atstumas nuo taško „em“ iki tiesės „de“.

Atstumas nuo taško iki linijos išreikšta formule

8 pavyzdys

Raskite atstumą nuo taško iki linijos

Sprendimas: viskas, ką jums reikia padaryti, tai atsargiai pakeisti skaičius į formulę ir atlikti skaičiavimus:

Atsakymas:

Padarykime piešinį:

Rastas atstumas nuo taško iki linijos yra tiksliai raudonos atkarpos ilgis. Jei piešiate piešinį ant languoto popieriaus 1 vieneto masteliu. = 1 cm (2 langeliai), tada atstumą galima išmatuoti įprasta liniuote.

Apsvarstykime kitą užduotį, pagrįstą tuo pačiu piešiniu:

Užduotis – rasti taško, kuris yra simetriškas taškui tiesės atžvilgiu, koordinates . Siūlau veiksmus atlikti pačiam, bet pateiksiu sprendimo algoritmą su tarpiniais rezultatais:

1) Raskite tiesę, kuri yra statmena tiesei.

2) Raskite linijų susikirtimo tašką: .

Abu veiksmai išsamiai aptariami šioje pamokoje.

3) Taškas yra atkarpos vidurio taškas. Žinome vidurio ir vieno galo koordinates. Autorius atkarpos vidurio taško koordinačių formulės randame.

Būtų gerai patikrinti, ar atstumas taip pat yra 2,2 vnt.

Skaičiuojant čia gali kilti sunkumų, tačiau bokšte puikiai padeda mikroskaičiuotuvas, leidžiantis skaičiuoti paprastas trupmenas. Daug kartų jums patariau ir rekomenduosiu dar ne kartą.

Kaip rasti atstumą tarp dviejų lygiagrečių linijų?

9 pavyzdys

Raskite atstumą tarp dviejų lygiagrečių tiesių

Tai dar vienas pavyzdys, kurį galite nuspręsti patys. Duosiu jums nedidelę užuominą: yra be galo daug būdų tai išspręsti. Aptarimas pamokos pabaigoje, bet geriau pabandyti atspėti patiems, manau, kad tavo išradingumas buvo gerai išvystytas.

Kampas tarp dviejų tiesių

Kiekvienas kampas yra stakta:

Geometrijoje kampas tarp dviejų tiesių laikomas MAŽESNIU kampu, iš kurio automatiškai išplaukia, kad jis negali būti bukas. Paveiksle raudonu lanku nurodytas kampas nelaikomas kampu tarp susikertančių linijų. Ir jo „žaliasis“ kaimynas arba priešingos krypties"aviečių" kampelis.

Jei linijos yra statmenos, bet kuris iš 4 kampų gali būti laikomas kampu tarp jų.

Kuo skiriasi kampai? Orientacija. Pirma, iš esmės svarbi kryptis, kuria kampas yra „slenkamas“. Antra, neigiamai orientuotas kampas rašomas minuso ženklu, pavyzdžiui, jei .

Kodėl aš tau tai sakiau? Atrodo, kad galime apsieiti su įprasta kampo koncepcija. Faktas yra tas, kad formulės, pagal kurias rasime kampus, gali lengvai sukelti neigiamą rezultatą, ir tai neturėtų jūsų nustebinti. Kampas su minuso ženklu nėra blogesnis ir turi labai specifinę geometrinę reikšmę. Brėžinyje, jei norite neigiamo kampo, būtinai nurodykite jo orientaciją rodykle (pagal laikrodžio rodyklę).

Kaip rasti kampą tarp dviejų tiesių? Yra dvi darbo formulės:

10 pavyzdys

Raskite kampą tarp eilučių

Sprendimas Ir Pirmasis metodas

Panagrinėkime dvi tieses, apibrėžtas lygtimis bendra forma:

Jei tiesiai ne statmenai, Tai orientuotas Kampą tarp jų galima apskaičiuoti pagal formulę:

Atkreipkime dėmesį į vardiklį – būtent taip taškinis produktas tiesių linijų nukreipimo vektoriai:

Jei , tada formulės vardiklis tampa lygus nuliui, o vektoriai bus stačiakampiai, o linijos – statmenos. Štai kodėl formuluotėje buvo padaryta išlyga dėl tiesių linijų nestatumo.

Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, patogu sprendimą formalizuoti dviem etapais:

1) Apskaičiuokime tiesių krypties vektorių skaliarinę sandaugą:
, o tai reiškia, kad linijos nėra statmenos.

2) Raskite kampą tarp tiesių naudodami formulę:

Naudojant atvirkštinę funkciją lengva rasti patį kampą. Šiuo atveju naudojame arctangento nelygumą (žr. Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės):

Atsakymas:

Atsakyme nurodome tikslią vertę, taip pat apytikslę reikšmę (geriausia ir laipsniais, ir radianais), apskaičiuotą naudojant skaičiuotuvą.

Na, minusas, minusas, nieko tokio. Čia yra geometrinė iliustracija:

Nenuostabu, kad kampas pasirodė turintis neigiamą orientaciją, nes uždavinio teiginyje pirmasis skaičius yra tiesi ir kampo „atsukimas“ prasidėjo būtent nuo jo.

Jei tikrai norite gauti teigiamą kampą, turite sukeisti eilutes, tai yra, paimti koeficientus iš antrosios lygties , ir paimkite koeficientus iš pirmosios lygties. Trumpai tariant, reikia pradėti nuo tiesioginio .