Modulio ženklas galbūt yra vienas iš labiausiai įdomūs reiškiniai matematikoje. Šiuo atžvilgiu daugeliui moksleivių kyla klausimas, kaip sudaryti funkcijų, kuriose yra modulis, grafikus. Pažvelkime į šį klausimą išsamiai.

1. Funkcijų, turinčių modulį, grafikų braižymas

1 pavyzdys.

Nubraižykite funkciją y = x 2 – 8|x| + 12.

Sprendimas.

Nustatykime funkcijos paritetą. Y(-x) reikšmė yra tokia pati kaip y(x), todėl ši funkcija yra lygi. Tada jo grafikas yra simetriškas Oy ašiai. Nubraižome funkciją y = x 2 – 8x + 12, kai x ≥ 0 ir simetriškai atvaizduojame grafiką Oy atžvilgiu neigiamam x (1 pav.).

2 pavyzdys.

Šis grafikas atrodo taip y = |x 2 – 8x + 12|.

– Koks yra siūlomos funkcijos reikšmių diapazonas? (y ≥ 0).

– Kaip sudarytas tvarkaraštis? (Virš arba liečiant x ašį).

Tai reiškia, kad funkcijos grafikas gaunamas taip: nubraižykite funkcijos y = x 2 – 8x + 12 grafiką, palikite nepakeistą grafiko dalį, esančią virš Ox ašies, ir grafiko dalį, kuri yra po abscisių ašimi rodomas simetriškai Ox ašies atžvilgiu (2 pav.).

3 pavyzdys.

Norėdami nubrėžti funkciją y = |x 2 – 8|x| + 12| atlikti transformacijų derinį:

y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Atsakymas: 3 pav.

Nagrinėtos transformacijos galioja visų tipų funkcijoms. Padarykime lentelę:

2. Funkcijų, turinčių „įdėtus modulius“ formulėje, grafikų braižymas

Jau matėme kvadratinės funkcijos, kurioje yra modulis, pavyzdžius, taip pat bendrosios taisyklės y = f(|x|), y = |f(x)| ir y = |f(|x|)|. Šios transformacijos mums padės nagrinėjant šį pavyzdį.

4 pavyzdys.

Apsvarstykite y = |2 – |1 – |x||| formos funkciją. Funkcijos išraiška apima „įdėtus modulius“.

Sprendimas.

Pasinaudokime geometrinių transformacijų metodu.

Užrašykime nuoseklių transformacijų grandinę ir padarykime atitinkamą brėžinį (4 pav.):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Panagrinėkime atvejus, kai simetrijos ir lygiagrečios vertimo transformacijos nėra pagrindinė technika konstruojant grafikus.

5 pavyzdys.

Sudarykite y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 formos funkcijos grafiką.

Sprendimas.

Prieš sudarydami grafiką, funkciją apibrėžiančią formulę transformuojame ir gauname kitą funkcijos analitinį priskyrimą (5 pav.).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2) (x + 2)/|x + 2|.

Išplėskime modulį vardiklyje:

Jei x > -2, y = x – 2 ir x< -2, y = -(x – 2).

Domenas D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Reikšmių diapazonas E(y) = (-4; +∞).

Taškai, kuriuose grafikas kerta koordinačių ašį: (0; -2) ir (2; 0).

Funkcija mažėja visiems x nuo intervalo (-∞; -2), didėja x nuo -2 iki +∞.

Čia turėjome atskleisti modulio ženklą ir nubrėžti kiekvieno atvejo funkciją.

6 pavyzdys.

Apsvarstykite funkciją y = |x + 1| – |x – 2|.

Sprendimas.

Išplečiant modulio ženklą, būtina atsižvelgti į visas įmanomas submodulinių išraiškų ženklų kombinacijas.

Galimi keturi atvejai:

(x + 1 – x + 2 = 3, jei x ≥ -1 ir x ≥ 2;

(-x – 1 + x – 2 = -3, ties x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x – 2 = 2x - 1, jei x ≥ -1 ir x< 2;

(-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, ties x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Tada pradinė funkcija atrodys taip:

(3, jei x ≥ 2;

y = (-3, ties x< -1;

(2x – 1, kai -1 ≤ x< 2.

Gavome dalimis pateiktą funkciją, kurios grafikas parodytas 6 paveiksle.

3. Formos funkcijų grafikų konstravimo algoritmas

y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + kirvis + b.

Ankstesniame pavyzdyje buvo gana lengva atskleisti modulio ženklus. Jei modulių sumų yra daugiau, tai sunku apsvarstyti visas galimas submodulinių išraiškų ženklų kombinacijas. Kaip šiuo atveju sudaryti funkcijos grafiką?

Atkreipkite dėmesį, kad grafikas yra laužta linija, kurios viršūnės taškuose turi abscises -1 ir 2. Kai x = -1 ir x = 2, submodulinės išraiškos yra lygios nuliui. Praktiškai priartėjome prie tokių grafikų sudarymo taisyklės:

Funkcijos y = a 1 |x – x 1 | grafikas + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b yra trūkinė linija su begalinėmis ekstremaliomis nuorodomis. Norint sukonstruoti tokią trūkinę liniją, pakanka žinoti visas jos viršūnes (viršūnių abscisės yra submodulinių išraiškų nuliai) ir vieną valdymo tašką kairėje ir dešinėje begalinėse nuorodose.

Užduotis.

Nubraižykite funkciją y = |x| + |x – 1| + |x + 1| ir rasti mažiausią jo vertę.

Sprendimas:

Submodulinių išraiškų nuliai: 0; -1; 1. Nutrauktos linijos viršūnės (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Kontrolinis taškas dešinėje (2; 6), kairėje (-2; 6). Sudarome grafiką (7 pav.). min f(x) = 2.

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip nubraižyti funkciją su moduliu?
Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

5 pamoka. Grafikų konvertavimas moduliais (pasirenkama pamoka)

Tikslas: įsisavinti pagrindinius grafikų konvertavimo moduliais įgūdžius.

I. Pamokos temos ir tikslo perteikimas

II . Apimtos medžiagos kartojimas ir konsolidavimas

1. Atsakymai į klausimus apie namų darbus (neišspręstų problemų analizė).

2. Medžiagos įsisavinimo stebėjimas (apklausa raštu).

1 variantas

f (x), nubraižykite funkciją y = f(-x) + 2?

2. Nubraižykite funkciją:

2 variantas

1. Kaip, žinant funkcijos y = grafiką f (x), nubraižykite funkciją y = - f(x) – 1?

2. Nubraižykite funkciją:

III. Naujos medžiagos mokymasis

Iš ankstesnės pamokos medžiagos aišku, kad grafų transformavimo metodai yra itin naudingi juos konstruojant. Todėl mes taip pat apsvarstysime pagrindinius grafikų, kuriuose yra modulių, konvertavimo būdus. Šie metodai yra universalūs ir tinka bet kokiai funkcijai. Dėl konstrukcijos paprastumo apsvarstysime tiesinę funkciją f (x) su domenu D(f ), kurio grafikas pateiktas paveiksle. Panagrinėkime tris standartines grafikų transformacijas su moduliais.

1) Funkcijos y = | grafiko braižymas f(x)|

f /(x), jei Dx)>0,

Pagal modulio apibrėžimą gauname:Tai reiškia, kad norint pavaizduoti funkciją y = | f(x )| turime išsaugoti funkcijos y = grafiko dalį f(x ), kuriai y ≥ 0. Ta funkcijos y = grafiko dalis f (x), kuriai y< 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2) Funkcijos y = grafiko braižymas f(|x|)

G/O), jei Dx)>0,

Išplėskime modulį ir gaukime:Todėl norint nubraižyti funkciją y = f(|x |) reikia išsaugoti dalį funkcijos y = grafiko f (x), kuriai x ≥ 0. Be to, ši dalis turi būti simetriškai atspindėta į kairę ordinatės atžvilgiu.

3) Lygties |y| grafiko braižymas = f(x)

Pagal modulio apibrėžimą turime, kad kada f (x) ≥ 0 reikia sudaryti dviejų funkcijų grafikus: y = f (x) ir y = - f (X). Tai reiškia, kad norint pavaizduoti lygtį |y| = f (x) reikia išsaugoti funkcijos y = grafiko dalį f (x), kai y ≥ 0. Be to, ši dalis turi būti simetriškai atspindėta žemyn x ašies atžvilgiu.

Atkreipkite dėmesį, kad priklausomybė |y| = f (x) neapibrėžia funkcijos, ty ties x∈ (-2,6; 1,4) kiekviena x reikšmė atitinka dvi y reikšmes. Todėl paveiksle tiksliai pavaizduotas lygties |y| grafikas = f(x).

Sudėtingesnių funkcijų ir lygčių grafikams sudaryti naudojame nagrinėjamus grafikų konvertavimo su moduliais metodus.

1 pavyzdys

Nubraižykime funkciją

Pabrėžkime visą šios funkcijos dalįToks grafikas gaunamas paslinkus funkcijos y = -1/ grafiką x 2 vienetai į dešinę ir 1 vienetas žemyn. Šios funkcijos grafikas yra hiperbolė.

2 pavyzdys

Nubraižykime funkciją

Pagal 1 metodą išsaugome 1 pavyzdžio grafiko dalį, kuriai y ≥ 0. Ta grafiko dalis, kuriai y< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

3 pavyzdys

Nubraižykime funkciją

Naudodami 2 metodą, išsaugosime 1 pavyzdžio grafiko dalį, kuriai x ≥ 0. Be to, šią įrašytą dalį atspindėsime į kairę y ašies atžvilgiu. Gauname funkcijos grafiką, kuris yra simetriškas ordinačių ašiai.

4 pavyzdys

Nubraižykime lygtį

Pagal 3 metodą išsaugosime 1 pavyzdžio grafiko dalį, kuriai y ≥ 0. Be to, šią įrašytą dalį simetriškai atspindėsime žemyn x ašies atžvilgiu. Gauname šios lygties grafiką.

Žinoma, svarstomi grafikų konvertavimo metodai taip pat gali būti naudojami kartu.

5 pavyzdys

Nubraižykime funkciją

Mes naudojame funkcijos grafikąpastatytas 3 pavyzdyje. Pastatyti šį tvarkaraštį, išsaugokime tas 3 grafiko dalis, kurioms y ≥ 0. Tas 3 grafiko dalis, kurioms y< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

Tais atvejais, kai moduliai priklausomi kitaip (nei 1-3 metoduose), būtina šiuos modulius išplėsti.

6 pavyzdys

Nubraižykime funkciją

Išraiškos x - 1 ir x + 2, įtraukti po modulių ženklais, pakeiskite jų ženklus taškuose x = 1 ir x = -2 atitinkamai. Pažymėkime šiuos taškus koordinačių tiesėje. Jie suskirsto jį į tris intervalus. Naudodamiesi modulių apibrėžimais, išplečiame modulius kiekviename intervale.

Mes gauname:

1. Kada

2. Kada

3. Kada

Sukurkime šių funkcijų grafikus, atsižvelgdami į kintamojo x intervalus, kuriuose buvo atskleisti modulio ženklai. Gauname nutrūkusią tiesią liniją.

Gana dažnai konstruojant lygčių grafikus su moduliais, joms atskleisti naudojama koordinačių plokštuma. Paaiškinkime tai tokiu pavyzdžiu.

7 pavyzdys

Nubraižykime lygtį

Išraiška y - x keičia savo ženklą tiesėje y = x. Sukonstruokime šią tiesę – pirmosios ir trečiosios koordinačių kampų pusiausvyrą. Ši tiesė padalija plokštumos taškus į dvi sritis: 1 - taškai, esantys virš tiesės y – x; 2 - taškai, esantys po šia linija. Išplėskime modulį tokiose srityse. 1 srityje paimkite, pavyzdžiui, valdymo tašką (0; 5). Matome, kad šiam taškui išraiška y - x > 0. Išplėsdami modulį, gauname: y - x + y + x = 4 arba y = 2. Mes sukonstruojame tokią tiesę pirmojoje srityje. Akivaizdu, kad 2 srityje išraiška y - x< 0. Раскрывая модуль, имеем: -(у - х) + у + х = 4 или х = 2. Строим эту прямую в пределах области 2. Получаем график данного уравнения.

3. Sukurkite trupmeninį grafiką tiesinė funkcija ir lygtys:

4. Nubraižykite funkcijos, lygties, nelygybės grafiką:

VIII. Apibendrinant pamoką

Nuorašas

1 Regioninė 6-11 klasių mokinių edukacinių ir tiriamųjų darbų mokslinė praktinė konferencija „Matematikos taikomieji ir fundamentalieji klausimai“ Metodologiniai aspektai studijuoja matematiką Funkcijų grafikų, kuriuose yra modulis, konstravimas Gabova Angela Jurievna, 10 klasė, MOBU „Gymnasium 3“ Kudymkar, Pikuleva Nadežda Ivanovna, matematikos mokytoja MOBU „Gymnasium 3“ Kudymkar Permė, 2016 m.

2 Turinys: Įvadas...3 p. I. Pagrindinė dalis...6 psl Istorinis fonas... 9 psl. 3.2 Tiesinės funkcijos su moduliu grafiko sudarymo algoritmas...9 psl. 3.3 Funkcijų, turinčių formulėje „įdėtus modulius“, grafikų sudarymas.10 psl. 3.4 y = a formos funkcijų grafikų konstravimo algoritmas. 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b...13 p. 3.5 Kvadratinės funkcijos su moduliu grafiko sudarymo algoritmas.14 p. 15 p. 4. Kvadratinės funkcijos grafiko pokyčiai priklausomai nuo absoliučios reikšmės ženklo vietos..17p. II. Išvada...26 psl. III. Literatūros ir šaltinių sąrašas...27 psl. IV. Priedas....28psl. 2

3 Įvadas Grafikų kūrimo funkcijos yra viena iš jų įdomiausiomis temomis mokyklinėje matematikoje. Didžiausias mūsų laikų matematikas Izraelis Moisejevičius Gelfandas rašė: „Grafų konstravimo procesas yra būdas formules ir aprašymus paversti geometriniais vaizdais. Šis grafikas yra priemonė matyti formules ir funkcijas bei pamatyti, kaip tos funkcijos keičiasi. Pavyzdžiui, jei parašyta y =x 2, tada iš karto matosi parabolė; jei y = x 2-4, matote keturiais vienetais sumažintą parabolę; jei y = -(x 2 4), tada matote, kad ankstesnė parabolė yra atsukta. Ši galimybė iš karto matyti formulę ir jos geometrinę interpretaciją yra svarbi ne tik matematikos, bet ir kitų dalykų studijoms. Tai įgūdis, kuris išlieka visą gyvenimą, pavyzdžiui, važiuoti dviračiu, rašyti mašinėle ar vairuoti automobilį. Lygčių sprendimo moduliais pagrindai buvo įgyti 6-7 kl. Pasirinkau būtent šią temą, nes manau, kad ji reikalauja gilesnių ir nuodugnesnių tyrimų. Noriu įgyti daugiau žinių apie skaičių modulį, įvairiais būdais sudaryti grafikus, kuriuose yra absoliučios reikšmės ženklas. Kai modulio ženklas įtraukiamas į „standartines“ linijų, parabolių ir hiperbolių lygtis, jų grafikai tampa neįprasti ir net gražūs. Norėdami išmokti sudaryti tokius grafikus, turite įsisavinti pagrindinių figūrų kūrimo būdus, taip pat tvirtai žinoti ir suprasti skaičiaus modulio apibrėžimą. Mokykliniame matematikos kurse grafikai su moduliu nėra pakankamai nuodugniai aptariami, todėl norėjau praplėsti žinias šia tema ir atlikti savo tyrimą. Nežinant modulio apibrėžimo, neįmanoma sukurti net paprasčiausio grafiko, kuriame būtų absoliuti reikšmė. Būdingas bruožas funkcijų grafikai, kuriuose yra išraiškų su modulio ženklu, 3

4 yra vingių buvimas tuose taškuose, kuriuose išraiška po modulio ženklu keičia ženklą. Darbo tikslas: išnagrinėti tiesinių, kvadratinių ir trupmeninių racionalių funkcijų grafiko, turinčio kintamąjį po modulio ženklu, sudarymą. Tikslai: 1) Išstudijuoti literatūrą apie tiesinių, kvadratinių ir trupmeninių racionaliųjų funkcijų absoliučios vertės savybes. 2) Ištirti funkcijų grafikų pokyčius priklausomai nuo absoliučios reikšmės ženklo vietos. 3) Išmokite brėžti lygtis. Tyrimo objektas: tiesinių, kvadratinių ir trupmeninių racionaliųjų funkcijų grafikai. Tyrimo objektas: tiesinių, kvadratinių ir trupmeninių racionaliųjų funkcijų grafiko pokyčiai priklausomai nuo absoliučios reikšmės ženklo vietos. Praktinė mano darbo reikšmė yra: 1) įgytų žinių panaudojimas šia tema, taip pat jų gilinimas ir pritaikymas kitoms funkcijoms ir lygtims; 2) panaudojant įgūdžius tiriamasis darbas tolesnėje edukacinėje veikloje. Aktualumas: Grafikų sudarymo užduotys tradiciškai yra viena iš sunkiausių matematikos temų. Mūsų abiturientai susiduria su problema, kaip sėkmingai išlaikyti valstybinį egzaminą ir vieningą valstybinį egzaminą. Tyrimo problema: funkcijų, turinčių modulio ženklą, grafikų sudarymas iš antrosios GIA dalies. Tyrimo hipotezė: remiantis sukurta programa bendri metodai sudaryti funkcijų grafikus, turinčius modulio ženklą, antrosios GIA dalies uždavinių sprendimo metodus leis studentams išspręsti šias užduotis 4

5 sąmoningai pasirinkti racionaliausią sprendimo būdą, taikyti skirtingi metodai sprendimą ir sėkmingiau išlaikyti valstybinį egzaminą. Darbe taikyti tyrimo metodai: 1.Matematinės literatūros ir interneto šaltinių šia tema analizė. 2. Tirtos medžiagos reprodukcinis atgaminimas. 3. Pažinimo ir paieškos veikla. 4.Duomenų analizė ir palyginimas ieškant problemų sprendimo būdų. 5. Hipotezių išdėstymas ir jų patikrinimas. 6. Matematinių faktų palyginimas ir apibendrinimas. 7. Gautų rezultatų analizė. Rašant šį darbą buvo naudojami šie šaltiniai: interneto šaltiniai, OGE testai, matematinė literatūra. 5

6 I. Pagrindinė dalis 1.1 Istorinis pagrindas. Pirmoje XVII amžiaus pusėje pradėjo ryškėti funkcijos, kaip vieno kintamojo priklausomybės nuo kito, idėja. Taigi prancūzų matematikai Pierre'as Fermat () ir Rene Descartes () funkciją įsivaizdavo kaip taško ordinatės priklausomybę nuo kreivės nuo jo abscisės. O anglų mokslininkas Isaacas Newtonas () funkciją suprato kaip judančio taško koordinatę, besikeičiančią priklausomai nuo laiko. Terminą „funkcija“ (iš lotynų kalbos funkcijos vykdymas, įvykdymas) pirmasis įvedė vokiečių matematikas Gottfriedas Leibnicas (). Jis susiejo funkciją su geometriniu vaizdu (funkcijos grafiku). Vėliau šveicarų matematikas Johanas Bernoulli (ir narys Sankt Peterburgo akademija mokslus, žymus XVIII amžiaus matematikas Leonardas Euleris () funkciją laikė analitine išraiška. Euler turi ir bendras supratimas veikia kaip vieno kintamojo priklausomybė nuo kito. Žodis „modulis“ kilęs iš lotyniško žodžio „modulus“, kuris reiškia „matuoti“. Tai daug reikšmių turintis polisemantinis žodis (homonimas), vartojamas ne tik matematikoje, bet ir architektūroje, fizikoje, technologijose, programavime ir kituose tiksliuosiuose moksluose. Architektūroje tai yra pirminis matavimo vienetas, nustatytas tam tikram architektūrinė struktūra ir padeda išreikšti kelis jo sudedamųjų dalių santykius. Technologijoje šis terminas naudojamas įvairiose srityse technologija, kuri neturi universalios reikšmės ir skirta įvairiems koeficientams bei dydžiams žymėti, pavyzdžiui, įsitraukimo modulis, tamprumo modulis ir kt. 6

7 Tūrinis modulis (fizikoje) yra normalaus įtempio medžiagoje ir santykinio pailgėjimo santykis. 2. Pagrindiniai funkcijų apibrėžimai ir savybės Funkcija yra viena iš svarbiausių matematinių sąvokų. Funkcija yra kintamojo y priklausomybė nuo kintamojo x, kad kiekviena kintamojo x reikšmė atitinka vieną kintamojo y reikšmę. Funkcijos nurodymo metodai: 1) analitinis metodas (funkcija nurodoma naudojant matematinę formulę); 2) lentelių metodas (funkcija nurodoma naudojant lentelę); 3) aprašomasis metodas (funkcija nurodoma žodiniu aprašymu); 4) grafinis metodas (funkcija nurodoma naudojant grafiką). Funkcijos grafikas yra visų koordinačių plokštumos taškų rinkinys, kurio abscisės yra lygios argumento reikšmei, o ordinatės yra lygios atitinkamoms funkcijos reikšmėms. 2.1 Kvadratinė funkcija Funkcija, apibrėžta formule y = ax 2 + in + c, kur x ir y yra kintamieji, o parametrai a, b ir c yra bet kokie realieji skaičiai, o a = 0, vadinama kvadratine. Funkcijos y=ax 2 +in+c grafikas yra parabolė; parabolės y=ax 2 +in+c simetrijos ašis yra tiesi, kai a>0 parabolės „šakos“ nukreiptos į viršų,<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (vieno kintamojo funkcijoms). Pagrindinė tiesinių funkcijų savybė: funkcijos prieaugis yra proporcingas argumento prieaugiui. Tai yra, funkcija yra tiesioginio proporcingumo apibendrinimas. Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesi linija, iš kur kilo jos pavadinimas. Tai susiję su realia vieno tikrojo kintamojo funkcija. 1) Kai tiesi linija sudaro smailųjį kampą su teigiama abscisių ašies kryptimi. 2) Kai tiesi linija sudaro bukąjį kampą su teigiama x ašies kryptimi. 3) yra tiesės susikirtimo su ordinačių ašimi taško ordinačių rodiklis. 4) Kai tiesė eina per pradžią. , 2.3 Trupmeninė-racionalioji funkcija yra trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai. Jis turi formą kur, daugianariai bet kuriame kintamųjų skaičiuje. Ypatingas atvejis yra racionalios vieno kintamojo funkcijos:, kur ir yra daugianariai. 1) Bet kuri išraiška, kurią galima gauti iš kintamųjų naudojant keturias aritmetines operacijas, yra racionali funkcija. 8

9 2) Racionaliųjų funkcijų aibė uždaroma pagal aritmetines operacijas ir kompozicijos operaciją. 3) Bet kurią racionaliąją funkciją galima pavaizduoti kaip paprastų trupmenų sumą – tai naudojama analitinėje integracijoje.. , 3. Grafų su moduliu konstravimo algoritmai 3.1 Modulio apibrėžimas Realiojo skaičiaus a modulis yra pats skaičius a, jei jis yra neneigiamas, o priešais a esantis skaičius, jei a yra neigiamas. a = 3.2 Tiesinės funkcijos su moduliu grafiko sudarymo algoritmas Norėdami sudaryti funkcijų y = x grafikus, turite žinoti, kad teigiamam x turime x = x. Tai reiškia, kad esant teigiamoms argumento reikšmėms, grafikas y=x sutampa su grafiku y=x, tai yra, ši grafiko dalis yra spindulys, išeinantis iš pradžios 45 laipsnių kampu abscisių ašies atžvilgiu. . Prie x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 Norėdami sukurti, imame taškus (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). Dabar sukurkime grafiką y= x-1. Jei A yra grafiko y= x taškas su koordinatėmis (a; a), tai taškas y= x-1 su ta pačia Y ordinatės reikšme. būti tašku A1(a+1; a). Šį antrojo grafiko tašką galima gauti iš pirmojo grafiko taško A(a; a), pasislinkus lygiagrečiai Ox ašiai į dešinę. Tai reiškia, kad visas funkcijos y= x-1 grafikas gaunamas iš funkcijos y= x grafiko, pasislinkus lygiagrečiai Ox ašiai į dešinę 1. Sukonstruokime grafikus: y= x-1 Konstruoti , paimkite taškus (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 Funkcijų, turinčių „įdėtus modulius“, grafikų sudarymas formulėje Panagrinėkime konstravimo algoritmą naudodami konkretų pavyzdį. Sukurkite funkcijos grafiką: 10

11 y=i-2-ix+5ii 1. Sudarykite funkcijos grafiką. 2. Pavaizduojame apatinės pusės plokštumos grafiką aukštyn simetriškai OX ašies atžvilgiu ir gauname funkcijos grafiką. 11

12 3. Funkcijos grafiką atvaizduojame simetriškai OX ašies atžvilgiu ir gauname funkcijos grafiką. 4. Rodome funkcijos grafiką žemyn simetriškai OX ašies atžvilgiu ir gauname funkcijos grafiką 5. Parodome funkcijos grafiką OX ašies atžvilgiu ir gauname grafiką. 12

13 6. Dėl to funkcijos grafikas atrodo taip 3.4. y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b formos funkcijų grafikų sudarymo algoritmas. Ankstesniame pavyzdyje buvo gana lengva atskleisti modulio ženklus. Jei modulių sumų yra daugiau, tai sunku apsvarstyti visas galimas submodulinių išraiškų ženklų kombinacijas. Kaip šiuo atveju sudaryti funkcijos grafiką? Atkreipkite dėmesį, kad grafikas yra laužta linija, kurios viršūnės taškuose turi abscises -1 ir 2. Kai x = -1 ir x = 2, submodulinės išraiškos yra lygios nuliui. Praktikoje priartėjome prie tokių grafikų sudarymo taisyklės: y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b formos funkcijos grafikas yra trūkinė linija su begalinėmis kraštutinėmis nuorodomis. Norint sukonstruoti tokią trūkinę liniją, pakanka žinoti visas jos viršūnes (viršūnių abscisės yra submodulinių išraiškų nuliai) ir vieną valdymo tašką kairėje ir dešinėje begalinėse nuorodose. 13

14 Problema. Nubraižykite funkcijos y = x + x 1 + x + 1 grafiką ir raskite jos mažiausią reikšmę. Sprendimas: 1. Submodulinių išraiškų nuliai: 0; -1; Polilinijos viršūnės (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Sudarome grafiką (7 pav.), mažiausia funkcijos reikšmė yra Kvadratinės funkcijos grafiko sudarymo algoritmas su moduliu Funkcijos grafikų konvertavimo algoritmų sudarymas. 1. Funkcijos y= f(x) grafiko braižymas. Pagal modulio apibrėžimą ši funkcija yra padalinta į dviejų funkcijų rinkinį. Vadinasi, funkcijos y= f(x) grafikas susideda iš dviejų grafikų: y= f(x) dešinėje pusplokštumoje, y= f(-x) kairėje pusplokštumoje. Remiantis tuo, galima suformuluoti taisyklę (algoritmą). Funkcijos y= f(x) grafikas gaunamas iš funkcijos y= f(x) grafiko taip: ties x 0 grafikas išsaugomas, o esant x< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. Norėdami sukurti funkcijos y= f(x) grafiką, pirmiausia turite sukurti funkcijos y= f(x) grafiką, kai x> 0, tada x< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 Norėdami gauti šį grafiką, tereikia anksčiau gautą grafiką perkelti trimis vienetais į dešinę. Atkreipkite dėmesį, kad jei trupmenos vardiklyje būtų išraiška x + 3, tada grafiką perkeltume į kairę: Dabar visas ordinates reikia padauginti iš dviejų, kad gautume funkcijos grafiką du vienetai: Paskutinis dalykas, kurį turime padaryti, yra nubraižyti tam tikros funkcijos grafiką, jei jis yra po modulio ženklu. Norėdami tai padaryti, simetriškai į viršų atspindime visą grafiko dalį, kurios ordinatės yra neigiamos (tą dalį, kuri yra žemiau x ašies): 4 pav. 16

17 4.Kvadratinės funkcijos grafiko pokyčiai priklausomai nuo absoliučios reikšmės ženklo vietos. Sukurkite funkcijos y = x 2 - x -3 grafiką 1) Kadangi x = x, kai x 0, reikalingas grafikas sutampa su parabole y = 0,25 x 2 - x - 3. Jei x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) Todėl užbaigiu x konstrukciją<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 pav. 4 Funkcijos y = f (x) grafikas sutampa su funkcijos y = f (x) grafiku argumento neneigiamų reikšmių aibėje ir yra jai simetriškas argumento ašies atžvilgiu. OU dėl neigiamų argumento verčių rinkinio. Įrodymas: Jei x 0, tai f (x) = f (x), t.y. argumento neneigiamų reikšmių rinkinyje funkcijų y = f (x) ir y = f (x) grafikai sutampa. Kadangi y = f (x) yra lygi funkcija, jos grafikas yra simetriškas operatyvinio stiprintuvo atžvilgiu. Taigi funkcijos y = f (x) grafiką galima gauti iš funkcijos y = f (x) grafiko taip: 1. sudaryti funkcijos y = f (x) grafiką, kai x>0; 2. Už x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. Už x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 Jei x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 ir simetriškai atspindėta dalis y = f(x) ties y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, tada f (x) = f (x), o tai reiškia, kad šioje dalyje funkcijos y = f (x) grafikas sutampa su pačios funkcijos y = f (x) grafiku. Jei f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 5 pav. Išvada: Funkcijos y= f(x) grafiko sudarymas 1. Funkcijos y=f(x) grafiko sudarymas; 2. Srityse, kur grafikas yra apatinėje pusplokštumoje, t.y., kur f(x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 Funkcijos y = f (x) grafikų konstravimo tiriamasis darbas Naudodamiesi absoliučios reikšmės apibrėžimu ir anksčiau aptartais pavyzdžiais, sudarysime funkcijos grafikus: y = 2 x - 3 y = x 2-5 x y = x 2 -2 ir padaryti išvadas. Norint sudaryti funkcijos y = f (x) grafiką, reikia: 1. Sudaryti funkcijos y = f (x) grafiką, kai x>0. 2. Sukurkite antrąją grafiko dalį, t.y. atspindėkite sudarytą grafiką simetriškai operatyvinio stiprintuvo atžvilgiu, nes Ši funkcija yra lygi. 3. Konvertuokite gauto grafiko dalis, esančias apatinėje pusplokštumoje, į viršutinę pusplokštumą simetriškai OX ašiai. Sukurkite funkcijos y = 2 x - 3 grafiką (1-as modulio nustatymo metodas) 1. Sukurkite y = 2 x - 3, kai 2 x - 3 > 0, x >1,5 t.y. X< -1,5 и х>1,5 a) y = 2x - 3, jei x>0 b) x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Sukonstruojame tiesią liniją, simetrišką tai, kuri nubrėžta operacinės stiprintuvo ašies atžvilgiu. 3) Pateikiu grafiko dalis, esančias apatinėje pusplokštumoje simetriškai OX ašies atžvilgiu. Palyginę abu grafikus, matome, kad jie yra vienodi. 21

22 Užduočių pavyzdžiai 1 pavyzdys. Apsvarstykite funkcijos y = x 2 6x +5 grafiką. Kadangi x yra kvadratas, neatsižvelgiant į skaičiaus x ženklą, po kvadratūros jis bus teigiamas. Iš to seka, kad funkcijos y = x 2-6x +5 grafikas bus identiškas funkcijos y = x 2-6x +5 grafikui, t.y. funkcijos, kurioje nėra absoliučios reikšmės ženklo, grafikas (2 pav.). 2 pav. 2 pavyzdys. Apsvarstykite funkcijos y = x 2 6 x +5 grafiką. Naudodami skaičiaus modulio apibrėžimą, pakeičiame formulę y = x 2 6 x +5 Dabar mes susiduriame su mums žinomu dalimis priklausomybės priskyrimu. Sukursime tokį grafiką: 1) sukursime parabolę y = x 2-6x +5 ir apibraukime jos dalį, kuri yra 22

23 atitinka neneigiamas x reikšmes, t.y. dalis, esanti į dešinę nuo Oy ašies. 2) toje pačioje koordinačių plokštumoje sukonstruokite parabolę y = x 2 +6x +5 ir apibraukite dalį, atitinkančią neigiamas x reikšmes, t.y. dalis, esanti kairėje nuo Oy ašies. Apibrėžtos parabolių dalys kartu sudaro funkcijos y = x 2-6 x +5 grafiką (3 pav.). 3 pav. 3 pavyzdys. Apsvarstykite funkcijos y = x 2-6 x +5 grafiką. Nes lygties y = x 2 6x +5 grafikas yra toks pat kaip funkcijos grafikas be modulio ženklo (aptarta 2 pavyzdyje), tai reiškia, kad funkcijos y = x 2 6 x +5 grafikas yra identiškas į funkcijos y = x 2 6 x +5 grafiką, nagrinėtą 2 pavyzdyje (3 pav.). 4 pavyzdys. Sukurkime funkcijos y = x 2 6x +5 grafiką. Norėdami tai padaryti, sukurkime funkcijos y = x 2-6x grafiką. Norėdami iš jo gauti funkcijos y = x 2-6x grafiką, kiekvieną parabolės tašką turite pakeisti neigiama ordinate tašku su ta pačia abscise, bet su priešinga (teigiama) ordinate. Kitaip tariant, parabolės dalis, esanti žemiau x ašies, turi būti pakeista linija, simetriška jai x ašies atžvilgiu. Nes reikia sudaryti funkcijos y = x 2-6x +5 grafiką, tada funkcijos, kurią laikėme y = x 2-6x, grafiką tereikia pakelti išilgai y ašies 5 vienetais aukštyn (4 pav. ). 23

24 pav.4 Pavyzdys 5. Sukurkime funkcijos y = x 2-6x+5 grafiką. Norėdami tai padaryti, naudosime gerai žinomą gabalų funkciją. Raskime funkcijos y = 6x +5 6x + 5 = 0 at nulius. Panagrinėkime du atvejus: 1) Jei, tada lygtis bus y = x 2 6x -5. Sukonstruokime šią parabolę ir apjuoskime dalį kur. 2) Jei, tada lygtis yra y = x 2 + 6x +5. Pastatykime šią parabolę ir apjuoskime tą jos dalį, kuri yra taško su koordinatėmis kairėje (5 pav.). 24

25 pav.5 6 pavyzdys. Sukurkime funkcijos y = x 2 6 x +5 grafiką. Norėdami tai padaryti, sukursime funkcijos y = x 2-6 x +5 grafiką. Šį grafiką sukūrėme 3 pavyzdyje. Kadangi mūsų funkcija yra visiškai po modulio ženklu, norint sudaryti funkcijos y = x 2 6 x +5 grafiką, mums reikia kiekvieno funkcijos y = x 2 grafiko taško. 6 x + 5 su neigiama ordinate turėtų būti pakeistas tašku su ta pačia abscise, bet su priešinga (teigiama) ordinate, t.y. parabolės dalis, esanti žemiau Ox ašies, turi būti pakeista linija, simetriška jai Ox ašies atžvilgiu (6 pav.). 6 25 pav

26 II Išvada „Matematinę informaciją galima sumaniai ir naudingai panaudoti tik kūrybiškai įsisavinus, kad mokinys pats pamatytų, kaip jis galėtų prie jos prieiti pats“. A.N. Kolmogorovas. Šios problemos labai domina devintos klasės mokinius, nes jos labai dažnos atliekant OGE testus. Galimybė sudaryti funkcijų duomenų grafikus leis sėkmingiau išlaikyti egzaminą. Prancūzų matematikai Pierre'as Fermat () ir Rene'as Descartesas () funkciją įsivaizdavo kaip taško ordinatės priklausomybę nuo kreivės nuo jo abscisės. O anglų mokslininkas Isaacas Newtonas () funkciją suprato kaip judančio taško koordinatę, besikeičiančią priklausomai nuo laiko. 26

27 III Literatūros ir šaltinių sąrašas 1. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Algebros uždavinių rinkinys 8-9 klasėms: Vadovėlis. vadovas mokyklos mokiniams. ir pažengusioms klasėms studijavo Matematika 2 leidimas. M.: Apšvietimas, Dorofejevas G.V. Algebra. Funkcijos. Duomenų analizė. 9 klasė: m34 Edukacinis. bendrojo lavinimo studijoms. steigimas 2-asis leidimas, stereotipas. M.: Bustard, Solomonik V.S. Matematikos klausimų ir problemų rinkinys M.: „Aukštoji mokykla“, Yashchenko I.V. GIA. Matematika: standartiniai egzamino variantai: Apie galimybes.m.: „Tautinis ugdymas“, p. 5. Jaščenka I.V. OGE. Matematika: standartiniai egzamino variantai: Apie galimybes.m.: „Tautinis ugdymas“, p. 6. Jaščenka I.V. OGE. Matematika: standartiniai egzamino variantai: Apie variantus.m.: „Tautinis ugdymas“, su

28 28 priedas

29 Pavyzdys 1. Nubraižykite funkciją y = x 2 8 x Sprendimas. Nustatykime funkcijos paritetą. Y(-x) reikšmė yra tokia pati kaip y(x), todėl ši funkcija yra lygi. Tada jo grafikas yra simetriškas Oy ašiai. Nubraižome funkciją y = x 2 8x + 12 x 0 ir simetriškai atvaizduojame grafiką Oy atžvilgiu neigiamam x (1 pav.). 2 pavyzdys. Šis grafikas formos y = x 2 8x Tai reiškia, kad funkcijos grafikas gaunamas taip: sudaryti funkcijos y = x 2 8x + 12 grafiką, palikti aukščiau esančią grafiko dalį Ox ašis nepakitusi, o grafiko dalis, esanti po abscisių ašimi ir simetriškai atvaizduota Ox ašies atžvilgiu (2 pav.). 3 pavyzdys. Funkcijos y = x 2 8 x + 12 grafikui nubraižyti, atliekama transformacijų kombinacija: y = x 2 8x + 12 y = x 2 8 x + 12 y = x 2 8 x Atsakymas: 3 pav. 4 pavyzdys Išraiška po modulio ženklu, keičia ženklą taške x=2/3. Prie x<2/3 функция запишется так: 29

30 Jei x>2/3 funkcija bus parašyta taip: Tai yra, taškas x=2/3 padalija mūsų koordinačių plokštumą į dvi sritis, iš kurių vienoje (dešinėje) statome funkciją, o kitoje (kairėje) sudarome funkcijos grafiką: 5 pavyzdys Toliau grafikas taip pat yra sulaužytas, bet turi du lūžio taškus, nes jame yra dvi išraiškos po modulio ženklais: Pažiūrėkime, kuriuose taškuose submodulinės išraiškos keičia ženklą: koordinačių tiesėje išdėstykite submodulinių išraiškų ženklus: 30

31 Išplečiame pirmojo intervalo modulius: Antrame intervale: Trečiame intervale: Taigi intervale (- ; 1,5] turime grafiką, parašytą pagal pirmą lygtį, intervale grafiką, parašytą antra lygtimi , ir intervalu)