La to linjer bli gitt, og du må finne skjæringspunktet deres. Siden dette punktet tilhører hver av de to gitte linjene, må dets koordinater tilfredsstille både ligningen til den første linjen og ligningen til den andre linjen.

For å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer, må man løse ligningssystemet

Eksempel 1. Finn skjæringspunktet mellom linjer og

Løsning. Vi finner koordinatene til det ønskede skjæringspunktet ved å løse likningssystemet

Skjæringspunktet M har koordinater

La oss vise hvordan du konstruerer en rett linje ved å bruke ligningen. For å konstruere en rett linje er det nok å kjenne de to punktene. For å konstruere hvert av disse punktene spesifiserer vi en vilkårlig verdi for en av dens koordinater, og så finner vi fra ligningen den tilsvarende verdien for den andre koordinaten.

Hvis i den generelle ligningen av en rett linje begge koeffisientene ved de nåværende koordinatene ikke er lik null, er det best å konstruere denne rette linjen å finne punktene for dens skjæringspunkt med koordinataksene.

Eksempel 2. Konstruer en rett linje.

Løsning. Vi finner skjæringspunktet for denne linjen med abscisseaksen. For å gjøre dette løser vi ligningene deres sammen:

og vi får. Dermed er punktet M (3; 0) for skjæringspunktet mellom denne linjen og abscisseaksen funnet (fig. 40).

Løs deretter sammen likningen til denne linjen og likningen til ordinataksen

finner vi skjæringspunktet for linjen med ordinataksen. Til slutt konstruerer vi en rett linje fra de to punktene M og

Hvis linjene skjærer hverandre i et punkt, er koordinatene løsningen systemer av lineære ligninger

Hvordan finne skjæringspunktet mellom linjer? Løs systemet.

Her går du geometrisk betydning systemer av to lineære ligninger i to ukjente- dette er to kryssende (oftest) linjer på et plan.

Det er praktisk å dele opp oppgaven i flere stadier. Analyse av tilstanden tyder på at det er nødvendig:
1) Lag en likning av én rett linje.
2) Skriv en ligning for den andre linjen.
3) Finn ut den relative plasseringen av linjene.
4) Hvis linjene skjærer hverandre, finn skjæringspunktet.

Eksempel 13.

Finn skjæringspunktet mellom linjer

Løsning: Det er lurt å se etter skjæringspunktet analytisk metode. La oss løse systemet:

Svare:

S.6.4. Avstand fra punkt til linje

Vi har en rett elvestripe foran oss og vår oppgave er å komme til den på korteste vei. Det er ingen hindringer, og den mest optimale ruten vil være å bevege seg langs vinkelrett. Det vil si at avstanden fra et punkt til en linje er lengden på det vinkelrette segmentet.

Avstand i geometri er tradisjonelt betegnet med den greske bokstaven "rho", for eksempel: - avstanden fra punktet "em" til den rette linjen "de".

Avstand fra punkt til en rett linje uttrykt med formelen

Eksempel 14.

Finn avstanden fra et punkt til en linje

Løsning: alt du trenger å gjøre er å erstatte tallene forsiktig i formelen og utføre beregningene:

Svare:

S.6.5. Vinkel mellom rette linjer.

Eksempel 15.

Finn vinkelen mellom linjene.

1. Sjekk om linjene er vinkelrette:

La oss beregne skalarproduktet av retningsvektorene til linjene:
, som betyr at linjene ikke er vinkelrette.
2. Finn vinkelen mellom rette linjer ved å bruke formelen:

Slik:

Svare:

Andre ordens kurver. Sirkel

La et rektangulært koordinatsystem 0xy angis på planet.

Andre ordens kurve er en linje på et plan definert av en ligning av andre grad i forhold til gjeldende koordinater til punktet M(x, y, z). Generelt ser denne ligningen slik ut:

hvor koeffisientene A, B, C, D, E, L er alle reelle tall, og minst ett av tallene A, B, C er ikke-null.

1.Sirkel er et sett med punkter på et plan, hvor avstanden til et fast punkt M 0 (x 0, y 0) er konstant og lik R. Punkt M 0 kalles sentrum av sirkelen, og tallet R er dens radius

– ligning av en sirkel med sentrum i punktet M 0 (x 0, y 0) og radius R.

Hvis sentrum av sirkelen sammenfaller med opprinnelsen til koordinatene, har vi:

– kanonisk ligning av en sirkel.

Ellipse.

Ellipse er et sett med punkter på et plan, for hver av dem er summen av avstandene til to gitte punkter en konstant verdi (og denne verdien er større enn avstandene mellom disse punktene). Disse punktene kalles ellipse foci.

er den kanoniske ligningen til ellipsen.

Forholdet kalles eksentrisitet ellipse og er betegnet med: , . Siden da< 1.

Følgelig, når forholdet synker, tenderer det til 1, dvs. b skiller seg lite fra a og formen på ellipsen blir nærmere formen til en sirkel. I begrensende tilfelle når , får vi en sirkel hvis ligning er

x 2 + y 2 = a 2.

Hyperbel

Hyperbole er et sett med punkter på et plan, for hvert av disse den absolutte verdien av forskjellen i avstander til to gitte punkter, kalt triks, er en konstant verdi (forutsatt at denne verdien er mindre enn avstanden mellom fokusene og ikke er lik 0).

La F 1, F 2 være fokusene, avstanden mellom dem vil bli betegnet med 2с, parameteren til parablen).

– kanonisk ligning av en parabel.

Merk at ligningen for negativ p også definerer en parabel, som vil være plassert til venstre for 0y-aksen. Ligningen beskriver en parabel, symmetrisk om 0y-aksen, som ligger over 0x-aksen for p > 0 og ligger under 0x-aksen for p< 0.

Når du skal løse noen geometriske problemer ved hjelp av koordinatmetoden, må du finne koordinatene til skjæringspunktet mellom linjer. Oftest må du se etter koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer på et plan, men noen ganger er det behov for å bestemme koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer i rommet. I denne artikkelen skal vi ta for oss å finne koordinatene til punktet der to linjer krysser hverandre.

Sidenavigering.

Skjæringspunktet mellom to linjer er en definisjon.

La oss først definere skjæringspunktet mellom to linjer.

I avsnittet om den relative plasseringen av linjer på et plan, er det vist at to linjer på et plan enten kan falle sammen (og de har uendelig mange felles punkter), enten være parallelle (med to linjer som ikke har noen felles punkter), eller krysse, med ett felles punkt. Alternativer relativ posisjon det er mer enn to linjer i rommet - de kan falle sammen (har uendelig mange fellespunkter), de kan være parallelle (det vil si ligge i samme plan og ikke krysse hverandre), de kan krysse hverandre (ikke ligge i samme plan ), og de kan også ha ett felles punkt, det vil si å krysse hverandre. Så to linjer både på planet og i rommet kalles kryssende hvis de har ett felles punkt.

Fra definisjonen av kryssende linjer følger det bestemme skjæringspunktet mellom linjer: Punktet der to linjer skjærer hverandre kalles skjæringspunktet mellom disse linjene. Med andre ord, det eneste fellespunktet for to kryssende linjer er skjæringspunktet mellom disse linjene.

For klarhetens skyld presenterer vi en grafisk illustrasjon av skjæringspunktet mellom to rette linjer på et plan og i rommet.

Øverst på siden

Finne koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer på et plan.

Før du finner koordinatene til skjæringspunktet til to rette linjer på et plan ved å bruke deres kjente ligninger, bør du vurdere et hjelpeproblem.

Oksy en Og b. Vi vil anta det rett en tilsvarer en generell ligning av den rette linjen på formen , og den rette linjen b– skriv . La være et punkt på flyet, og vi må finne ut om punktet M 0 skjæringspunktet mellom gitte linjer.

La oss løse problemet.

Hvis M0 en Og b, da hører den per definisjon også til linjen en og rett b, det vil si at dens koordinater må tilfredsstille både ligningen og ligningen. Derfor må vi erstatte koordinatene til punktet M 0 inn i ligningene til gitte linjer og se om dette resulterer i to riktige likheter. Hvis koordinatene til punktet M 0 tilfredsstille begge likninger og , da er skjæringspunktet mellom linjene en Og b, ellers M 0 .

er poenget M 0 med koordinater (2, -3) skjæringspunktet mellom linjer 5x-2y-16=0 Og 2x-5y-19=0?

Hvis M 0 er faktisk skjæringspunktet for gitte linjer, så tilfredsstiller koordinatene linjelikningene. La oss sjekke dette ved å erstatte koordinatene til punktet M 0 inn i de gitte ligningene:

Vi har derfor to sanne likheter, M 0 (2, -3)- skjæringspunkt for linjer 5x-2y-16=0 Og 2x-5y-19=0.

For klarhetens skyld presenterer vi en tegning som viser rette linjer og koordinatene til skjæringspunktene deres er synlige.

ja, punktum M 0 (2, -3) er skjæringspunktet mellom linjene 5x-2y-16=0 Og 2x-5y-19=0.

Skjærer linjene hverandre? 5x+3y-1=0 Og 7x-2y+11=0 på punktet M 0 (2, -3)?

La oss erstatte koordinatene til punktet M 0 inn i ligningene av rette linjer, vil denne handlingen sjekke om punktet tilhører M 0 begge rette linjene samtidig:

Siden den andre ligningen, når du erstatter koordinatene til punktet i den M 0 ble ikke til en sann likestilling, så pek M 0 hører ikke til linjen 7x-2y+11=0. Fra dette faktum kan vi konkludere at poenget M 0 er ikke skjæringspunktet mellom de gitte linjene.

Tegningen viser også tydelig at poenget M 0 er ikke skjæringspunktet mellom linjer 5x+3y-1=0 Og 7x-2y+11=0. Det er klart at de gitte linjene skjærer hverandre i et punkt med koordinater (-1, 2) .

M 0 (2, -3) er ikke skjæringspunktet mellom linjer 5x+3y-1=0 Og 7x-2y+11=0.

Nå kan vi gå videre til oppgaven med å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer ved å bruke de gitte linjelikningene på et plan.

La et rektangulært kartesisk koordinatsystem festes på planet Oksy og gitt to kryssende linjer en Og b ligninger og hhv. La oss betegne skjæringspunktet for de gitte linjene som M 0 og løs følgende oppgave: finn koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer en Og b i henhold til de kjente ligningene til disse linjene og .

Prikk M0 tilhører hver av de kryssende linjene en Og b per definisjon. Deretter koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene en Og b tilfredsstille både ligningen og ligningen. Derfor er koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer en Og b er løsningen til et likningssystem (se artikkelen løse systemer av lineære algebraiske likninger).

For å finne koordinatene til skjæringspunktet for to rette linjer definert på et plan av generelle ligninger, må du løse et system som består av ligninger av gitte rette linjer.

La oss se på eksempelløsningen.

Finn skjæringspunktet for to linjer definert i et rektangulært koordinatsystem på et plan med ligningene x-9y+14=0 Og 5x-2y-16=0.

Vi får to generelle likninger av linjer, la oss lage et system av dem: . Løsninger til det resulterende ligningssystemet er lett å finne ved å løse dens første ligning med hensyn til variabelen x og erstatte dette uttrykket i den andre ligningen:

Den funnet løsningen på ligningssystemet gir oss de ønskede koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer.

M 0 (4, 2)– skjæringspunkt for linjer x-9y+14=0 Og 5x-2y-16=0.

Så, å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom to rette linjer, definert av generelle ligninger på et plan, kommer ned til å løse et system med to lineære ligninger med to ukjente variabler. Men hva om linjer på et plan ikke er gitt av generelle ligninger, men av ligninger av en annen type (se ligningstyper for en linje på et plan)? I disse tilfellene kan du først redusere linjelikningene til generelt utseende, og deretter finne koordinatene til skjæringspunktet.

Før vi finner koordinatene til skjæringspunktet til de gitte linjene, reduserer vi deres likninger til en generell form. Overgangen fra de parametriske ligningene til en linje til den generelle ligningen til denne linjen ser slik ut:

La oss nå utføre de nødvendige handlingene med den kanoniske ligningen til den rette linjen:

Dermed er de ønskede koordinatene til skjæringspunktet for linjene en løsning på et system av ligninger av formen . Vi bruker Cramers metode for å løse det:

M 0 (-5, 1)

Det er en annen måte å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer på et plan. Det er praktisk å bruke når en av linjene er gitt av parametriske ligninger på formen , og den andre av en linjeligning av en annen type. I dette tilfellet, i en annen ligning i stedet for variabler x Og y du kan erstatte uttrykkene og , hvorfra du kan få verdien som tilsvarer skjæringspunktet for de gitte linjene. I dette tilfellet har skjæringspunktet for linjene koordinater.

La oss finne koordinatene til skjæringspunktet for linjene fra forrige eksempel ved å bruke denne metoden.

Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene og .

La oss erstatte det rette linjeuttrykket i ligningen:

Etter å ha løst den resulterende ligningen, får vi . Denne verdien tilsvarer fellespunktet for linjene og . Vi beregner koordinatene til skjæringspunktet ved å erstatte en rett linje i de parametriske ligningene:
.

M 0 (-5, 1).

For å fullføre bildet bør ett punkt til diskuteres.

Før du finner koordinatene til skjæringspunktet for to linjer på et plan, er det nyttig å forsikre seg om at de gitte linjene faktisk skjærer hverandre. Hvis det viser seg at de opprinnelige linjene faller sammen eller er parallelle, kan det ikke være snakk om å finne koordinatene til skjæringspunktet for slike linjer.

Du kan selvfølgelig klare deg uten en slik sjekk, men lag umiddelbart et system med formlikninger og løs det. Hvis et ligningssystem har en unik løsning, gir det koordinatene til punktet der de opprinnelige linjene skjærer hverandre. Hvis ligningssystemet ikke har løsninger, kan vi konkludere med at de opprinnelige linjene er parallelle (siden det ikke finnes et slikt par reelle tall x Og y, som samtidig vil tilfredsstille begge ligningene til de gitte linjene). Fra tilstedeværelsen av et uendelig antall løsninger til et ligningssystem, følger det at de opprinnelige rette linjene har uendelig mange fellespunkter, det vil si at de faller sammen.

La oss se på eksempler som passer til disse situasjonene.

Finn ut om linjene og krysser hverandre, og hvis de krysser hverandre, finn deretter koordinatene til skjæringspunktet.

De gitte likningene av linjer tilsvarer likningene og . La oss løse systemet som består av disse ligningene.

Det er åpenbart at likningene til systemet er lineært uttrykt gjennom hverandre (systemets andre likning er hentet fra den første ved å multiplisere begge delene med 4 ), derfor har ligningssystemet et uendelig antall løsninger. Dermed definerer ligningene den samme linjen, og vi kan ikke snakke om å finne koordinatene til skjæringspunktet til disse linjene.

ligninger og er definert i et rektangulært koordinatsystem Oksy den samme rette linjen, så vi kan ikke snakke om å finne koordinatene til skjæringspunktet.

Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene og , hvis mulig.

Tilstanden til problemet gjør at linjene kanskje ikke krysser hverandre. La oss lage et system fra disse ligningene. La oss bruke Gauss-metoden for å løse den, siden den lar oss etablere kompatibiliteten eller inkompatibiliteten til et ligningssystem, og hvis det er kompatibelt, finne en løsning:

Den siste ligningen av systemet etter direkte passasje av Gauss-metoden ble til en feilaktig likhet, derfor har ligningssystemet ingen løsninger. Fra dette kan vi konkludere med at de opprinnelige linjene er parallelle, og vi kan ikke snakke om å finne koordinatene til skjæringspunktet til disse linjene.

Andre løsning.

La oss finne ut om de gitte linjene krysser hverandre.

En normalvektor er en linje, og en vektor er en normalvektor av en linje. La oss sjekke at betingelsen for kollinearitet av vektorer og : likheten er sann, siden , derfor normalvektorene til de gitte rette linjene er kollineære. Da er disse linjene parallelle eller sammenfallende. Dermed kan vi ikke finne koordinatene til skjæringspunktet til de opprinnelige linjene.

det er umulig å finne koordinatene til skjæringspunktet til de gitte linjene, siden disse linjene er parallelle.

Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene 2x-1=0 og , hvis de krysser hverandre.

La oss komponere et likningssystem som er generelle likninger av gitte linjer: . Determinanten for hovedmatrisen til dette ligningssystemet er ikke null, derfor har ligningssystemet en unik løsning, som indikerer skjæringspunktet mellom de gitte linjene.

For å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene, må vi løse systemet:

Den resulterende løsningen gir oss koordinatene til skjæringspunktet for linjene, det vil si skjæringspunktet for linjene 2x-1=0 Og .

Øverst på siden

Finne koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer i rommet.

Koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer i tredimensjonalt rom finnes på samme måte.

La de kryssende linjene en Og b spesifisert i et rektangulært koordinatsystem Oxyz ligninger av to kryssende plan, det vil si en rett linje en bestemmes av et system av formen , og den rette linjen b-. La M 0– skjæringspunkt for linjer en Og b. Så pek M 0 hører per definisjon også til linjen en og rett b Derfor tilfredsstiller dens koordinater likningene til begge linjer. Dermed koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene en Og b representere en løsning på et system av lineære ligninger av formen. Her vil vi trenge informasjon fra avsnittet om å løse systemer av lineære ligninger der antall ligninger ikke er sammenfallende med antall ukjente variabler.

La oss se på løsningene på eksemplene.

Finn koordinatene til skjæringspunktet til to linjer definert i rommet av ligningene og .

La oss komponere et likningssystem fra likningene til de gitte linjene: . Løsningen av dette systemet vil gi oss de nødvendige koordinatene til skjæringspunktet mellom linjer i rommet. La oss finne løsningen på det skrevne ligningssystemet.

Hovedmatrisen til systemet har formen, og den utvidede - .

La oss bestemme rangeringen av matrisen EN og matriserangering T. Vi bruker metoden for å grense til mindreårige, men vi vil ikke beskrive i detalj beregningen av determinanter (om nødvendig, se artikkelen Beregning av determinanten til en matrise):

Dermed er rangeringen til hovedmatrisen lik rangeringen til den utvidede matrisen og er lik tre.

Følgelig har ligningssystemet en unik løsning.

Vi vil ta determinanten som basis-minor, derfor bør den siste likningen ekskluderes fra likningssystemet, siden den ikke deltar i dannelsen av basis-minor. Så,

Løsningen på det resulterende systemet er lett å finne:

Dermed har skjæringspunktet for linjene koordinater (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Det skal bemerkes at ligningssystemet har en unik løsning hvis og bare hvis de rette linjene en Og b krysse. Hvis rett EN Og b parallell eller kryssende, så har det siste likningssystemet ingen løsninger, siden linjene i dette tilfellet ikke har felles punkter. Hvis rett en Og b faller sammen, så har de et uendelig antall fellespunkter, derfor har det indikerte ligningssystemet et uendelig antall løsninger. Men i disse tilfellene kan vi ikke snakke om å finne koordinatene til skjæringspunktet for linjene, siden linjene ikke skjærer.

Altså hvis vi ikke på forhånd vet om de gitte linjene krysser hverandre en Og b eller ikke, så er det rimelig å lage et ligningssystem av formen og løse det ved Gauss-metoden. Hvis vi får en unik løsning, vil den tilsvare koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene en Og b. Hvis systemet viser seg å være inkonsekvent, så det direkte en Og b ikke krysse hverandre. Hvis systemet har et uendelig antall løsninger, så de rette linjene en Og b kamp.

Du kan klare deg uten å bruke Gauss-metoden. Alternativt kan du beregne rekkene av hoved- og utvidede matriser til dette systemet, og basert på dataene som er oppnådd og Kronecker-Capelli-teoremet, konkludere enten eksistensen av en enkelt løsning, eller eksistensen av mange løsninger, eller fraværet av løsninger. Det er en smakssak.

Hvis linjene krysser hverandre, bestemmer du koordinatene til skjæringspunktet.

La oss lage et system fra de gitte ligningene: . La oss løse det ved hjelp av Gauss-metoden i matriseform:

Det ble klart at ligningssystemet ikke har noen løsninger, derfor skjærer de gitte linjene ikke, og det kan ikke være snakk om å finne koordinatene til skjæringspunktet til disse linjene.

vi kan ikke finne koordinatene til skjæringspunktet til de gitte linjene, siden disse linjene ikke skjærer hverandre.

Når kryssende linjer er gitt av kanoniske ligninger av en linje i rommet eller parametriske ligninger av en linje i rommet, bør man først få ligningene deres i form av to kryssende plan, og først etter det finne koordinatene til skjæringspunktet.

To kryssende linjer er definert i et rektangulært koordinatsystem Oxyz ligninger og . Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom disse linjene.

La oss definere de innledende rette linjene ved likningene til to kryssende plan:

For å finne koordinatene til skjæringspunktet for linjene, gjenstår det å løse likningssystemet. Rangeringen til hovedmatrisen til dette systemet er lik rangeringen til den utvidede matrisen og er lik tre (vi anbefaler å sjekke dette faktum). La oss ta som basis-moll, derfor kan vi eliminere den siste ligningen fra systemet. Etter å ha løst det resulterende systemet ved hjelp av en hvilken som helst metode (for eksempel Cramers metode), får vi løsningen. Dermed har skjæringspunktet for linjene koordinater (-2, 3, -5) .

Når du skal løse noen geometriske problemer ved hjelp av koordinatmetoden, må du finne koordinatene til skjæringspunktet mellom linjer. Oftest må du se etter koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer på et plan, men noen ganger er det behov for å bestemme koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer i rommet. I denne artikkelen skal vi ta for oss å finne koordinatene til punktet der to linjer krysser hverandre.

Sidenavigering.

Skjæringspunktet mellom to linjer er en definisjon.

La oss først definere skjæringspunktet mellom to linjer.

For å finne koordinatene til skjæringspunktet for to rette linjer definert på et plan av generelle ligninger, må du løse et system som består av ligninger av gitte rette linjer.

La oss se på eksempelløsningen.

Eksempel.

Finn skjæringspunktet for to linjer definert i et rektangulært koordinatsystem på et plan ved likningene x-9y+14=0 og 5x-2y-16=0.

Løsning.

Vi får to generelle ligninger av linjer, la oss lage et system av dem: . Løsninger til det resulterende ligningssystemet er lett å finne ved å løse dens første ligning med hensyn til variabelen x og erstatte dette uttrykket i den andre ligningen:

Den funnet løsningen på ligningssystemet gir oss de ønskede koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer.

Svare:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 og 5x-2y-16=0.

Så, å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom to rette linjer, definert av generelle ligninger på et plan, kommer ned til å løse et system med to lineære ligninger med to ukjente variabler. Men hva om linjer på et plan ikke er gitt av generelle ligninger, men av ligninger av en annen type (se ligningstyper for en linje på et plan)? I disse tilfellene kan du først redusere linjelikningene til en generell form, og først etter det finne koordinatene til skjæringspunktet.

Eksempel.

Og .

Løsning.

Før vi finner koordinatene til skjæringspunktet til de gitte linjene, reduserer vi deres likninger til en generell form. Overgang fra parametriske rettlinjeligninger til den generelle ligningen for denne linjen er som følger:

La oss nå utføre de nødvendige handlingene med den kanoniske ligningen til den rette linjen:

Dermed er de ønskede koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene løsningen på et system av ligninger av formen . For å løse det bruker vi:

Svare:

M 0 (-5, 1)

Det er en annen måte å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer på et plan. Det er praktisk å bruke når en av linjene er gitt av parametriske ligninger av formen , og den andre er en ligning av en rett linje av en annen type. I dette tilfellet, i en annen ligning, i stedet for variablene x og y, kan du erstatte uttrykkene Og , hvorfra det vil være mulig å få verdien som tilsvarer skjæringspunktet for de gitte linjene. I dette tilfellet har skjæringspunktet for linjene koordinater.

La oss finne koordinatene til skjæringspunktet for linjene fra forrige eksempel ved å bruke denne metoden.

Eksempel.

Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene Og .

Løsning.

La oss erstatte det rette linjeuttrykket i ligningen:

Etter å ha løst den resulterende ligningen, får vi . Denne verdien tilsvarer det felles punktet for linjene Og . Vi beregner koordinatene til skjæringspunktet ved å erstatte en rett linje i de parametriske ligningene:
.

Svare:

M 0 (-5, 1).

For å fullføre bildet bør ett punkt til diskuteres.

Før du finner koordinatene til skjæringspunktet for to linjer på et plan, er det nyttig å forsikre seg om at de gitte linjene faktisk skjærer hverandre. Hvis det viser seg at de opprinnelige linjene faller sammen eller er parallelle, kan det ikke være snakk om å finne koordinatene til skjæringspunktet for slike linjer.

Du kan selvfølgelig klare deg uten en slik sjekk og umiddelbart lage et system med formlikninger og løse det. Hvis et ligningssystem har en unik løsning, gir det koordinatene til punktet der de opprinnelige linjene skjærer hverandre. Hvis likningssystemet ikke har løsninger, kan vi konkludere med at de opprinnelige linjene er parallelle (siden det ikke er noe par med reelle tall x og y som samtidig vil tilfredsstille begge likningene til de gitte linjene). Fra tilstedeværelsen av et uendelig antall løsninger til et ligningssystem, følger det at de opprinnelige rette linjene har uendelig mange fellespunkter, det vil si at de faller sammen.

La oss se på eksempler som passer til disse situasjonene.

Eksempel.

Finn ut om linjene og krysser hverandre, og hvis de krysser hverandre, finn deretter koordinatene til skjæringspunktet.

Løsning.

De gitte linjelikningene tilsvarer ligningene Og . La oss løse systemet som består av disse ligningene .

Det er åpenbart at likningene til systemet er lineært uttrykt gjennom hverandre (systemets andre likning er hentet fra den første ved å multiplisere begge delene med 4), derfor har likningssystemet et uendelig antall løsninger. Dermed definerer ligningene den samme linjen, og vi kan ikke snakke om å finne koordinatene til skjæringspunktet til disse linjene.

Svare:

Ligningene og definerer den samme rette linjen i det rektangulære koordinatsystemet Oxy, så vi kan ikke snakke om å finne koordinatene til skjæringspunktet.

Eksempel.

Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene Og , hvis mulig.

Løsning.

Tilstanden til problemet gjør at linjene kanskje ikke krysser hverandre. La oss lage et system fra disse ligningene. La oss søke om å løse det, siden det lar oss etablere kompatibiliteten eller inkompatibiliteten til et ligningssystem, og hvis det er kompatibelt, finne en løsning:

Den siste ligningen av systemet etter direkte passasje av Gauss-metoden ble til en feilaktig likhet, derfor har ligningssystemet ingen løsninger. Fra dette kan vi konkludere med at de opprinnelige linjene er parallelle, og vi kan ikke snakke om å finne koordinatene til skjæringspunktet til disse linjene.

Andre løsning.

La oss finne ut om de gitte linjene krysser hverandre.

- normal linjevektor , og vektoren er en normal linjevektor . La oss sjekke utførelsen Og : likestilling er sant, siden normalvektorene til de gitte linjene derfor er kollineære. Da er disse linjene parallelle eller sammenfallende. Dermed kan vi ikke finne koordinatene til skjæringspunktet til de opprinnelige linjene.

Svare:

Det er umulig å finne koordinatene til skjæringspunktet til de gitte linjene, siden disse linjene er parallelle.

Eksempel.

Finn koordinatene til skjæringspunktet til linjene 2x-1=0 og , hvis de skjærer hverandre.

Løsning.

La oss komponere et system av ligninger som er generelle ligninger av gitte linjer: . Determinanten for hovedmatrisen til dette ligningssystemet er ikke null , derfor har ligningssystemet en unik løsning, som indikerer skjæringspunktet mellom de gitte linjene.

For å finne koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene, må vi løse systemet:

Den resulterende løsningen gir oss koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene, det vil si 2x-1=0 og .

Svare:

Finne koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer i rommet.

Koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer i tredimensjonalt rom finnes på samme måte.

La oss se på løsningene på eksemplene.

Eksempel.

Finn koordinatene til skjæringspunktet til to linjer gitt i rommet av ligningene Og .

Løsning.

La oss komponere et likningssystem fra likningene til de gitte linjene: . Løsningen av dette systemet vil gi oss de nødvendige koordinatene til skjæringspunktet mellom linjer i rommet. La oss finne løsningen på det skrevne ligningssystemet.

Hovedmatrisen til systemet har formen , og utvidet - .

La oss definere A og rangeringen av matrisen T. Vi bruker

I todimensjonalt rom krysser to linjer bare ett punkt, definert av koordinatene (x,y). Siden begge linjene går gjennom skjæringspunktet, må koordinatene (x,y) tilfredsstille begge ligningene som beskriver disse linjene. Med noen ekstra ferdigheter kan du finne skjæringspunktene til parabler og andre kvadratiske kurver.

Trinn

Skjæringspunktet mellom to linjer

Skriv ligningen til hver linje, isoler variabelen "y" på venstre side av ligningen. De andre leddene i ligningen skal plasseres på høyre side av ligningen. Kanskje ligningen gitt til deg vil inneholde variabelen f(x) eller g(x) i stedet for "y"; i dette tilfellet, isoler en slik variabel. For å isolere en variabel, utfør riktig matematikk på begge sider av ligningen.

• Hvis likningene til linjene ikke er gitt til deg, basert på informasjonen du kjenner.
• Eksempel. Gitt rette linjer beskrevet av ligninger og y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). For å isolere "y" i den andre ligningen, legg til tallet 12 på begge sider av ligningen:

1. Du leter etter skjæringspunktet for begge linjene, det vil si et punkt hvis koordinater (x, y) tilfredsstiller begge ligningene. Siden variabelen "y" er på venstre side av hver ligning, kan uttrykkene på høyre side av hver ligning likestilles. Skriv ned en ny ligning.

   • Eksempel. Fordi y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) Og y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x), så kan vi skrive følgende likhet: .

2. Finn verdien til variabelen "x". Den nye ligningen inneholder bare én variabel, "x". For å finne "x", isoler variabelen på venstre side av ligningen ved å utføre riktig matematikk på begge sider av ligningen. Du bør få en ligning av formen x = __ (hvis du ikke kan gjøre dette, se denne delen).

   • Eksempel. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Legge til 2 x (\displaystyle 2x) på hver side av ligningen:
   • 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Trekk fra 3 fra hver side av ligningen:
   • 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
   • Del hver side av ligningen med 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Bruk funnverdien til variabelen "x" for å beregne verdien av variabelen "y". For å gjøre dette, erstatte den funnet verdien av "x" i ligningen (hvilken som helst) av den rette linjen.

   • Eksempel. x = 3 (\displaystyle x=3) Og y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)

4. Sjekk svaret. For å gjøre dette, erstatte verdien av "x" i den andre ligningen på linjen og finne verdien av "y". Hvis du mottar annen betydning"y", sjekk riktigheten av beregningene dine.

   • Eksempel: x = 3 (\displaystyle x=3) Og y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Du har samme verdi for y, så det er ingen feil i beregningene dine.

5. Skriv ned koordinatene (x,y). Etter å ha beregnet verdiene til "x" og "y", har du funnet koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer. Skriv ned koordinatene til skjæringspunktet på (x,y) form.

   • Eksempel. x = 3 (\displaystyle x=3) Og y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Dermed skjærer to rette linjer i et punkt med koordinater (3,6).

6. Beregninger i spesielle tilfeller. I noen tilfeller kan ikke verdien av variabelen "x" bli funnet. Men det betyr ikke at du har gjort en feil. Et spesielt tilfelle oppstår når en av følgende betingelser er oppfylt:

   • Hvis to linjer er parallelle, krysser de ikke hverandre. I dette tilfellet vil variabelen "x" ganske enkelt reduseres, og ligningen din blir til en meningsløs likhet (for eksempel, 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). I dette tilfellet, skriv ned i svaret ditt at linjene ikke krysser hverandre eller at det ikke er noen løsning.
   • Hvis begge ligningene beskriver én rett linje, vil det være et uendelig antall skjæringspunkter. I dette tilfellet vil variabelen "x" ganske enkelt reduseres, og ligningen din blir til en streng likhet (for eksempel, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). Skriv i så fall ned i svaret ditt at de to linjene er sammenfallende.

   Problemer med kvadratiske funksjoner

   1. Definisjon av en kvadratisk funksjon. I en kvadratisk funksjon har en eller flere variabler en andregrad (men ikke høyere), for eksempel, x 2 (\displaystyle x^(2)) eller y 2 (\displaystyle y^(2)). Grafene for kvadratiske funksjoner er kurver som kanskje ikke skjærer eller kan skjære i ett eller to punkter. I denne delen vil vi fortelle deg hvordan du finner skjæringspunktet eller punktene til kvadratiske kurver.

   2. Omskriv hver ligning ved å isolere variabelen "y" på venstre side av ligningen. De andre leddene i ligningen skal plasseres på høyre side av ligningen.

      • Eksempel. Finn skjæringspunkt(ene) mellom grafene x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) Og
      • Isoler variabelen "y" på venstre side av ligningen:
      • Og y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • I dette eksemplet får du én kvadratisk funksjon og én lineær funksjon. Husk at hvis du får to kvadratiske funksjoner, ligner beregningene på trinnene som er skissert nedenfor.

   3. Sett likhetstegn mellom uttrykkene på høyre side av hver ligning. Siden variabelen "y" er på venstre side av hver ligning, kan uttrykkene på høyre side av hver ligning likestilles.

      • Eksempel. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) Og y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Overfør alle ledd i den resulterende ligningen til venstre side, og skriv 0 på høyre side. For å gjøre dette, gjør litt grunnleggende matematikk. Dette vil tillate deg å løse den resulterende ligningen.

      • Eksempel. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Trekk fra "x" fra begge sider av ligningen:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Trekk fra 7 fra begge sider av ligningen:

   5. Avgjøre andregradsligning. Ved å flytte alle leddene i ligningen til venstre side, får du en andregradsligning. Det kan løses på tre måter: ved hjelp av en spesiell formel, og.

      • Eksempel. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Når du faktoriserer en ligning, får du to binomialer, som, når de multipliseres, gir deg den opprinnelige ligningen. I vårt eksempel, den første termen x 2 (\displaystyle x^(2)) kan dekomponeres til x * x. Skriv ned dette: (x)(x) = 0
      • I vårt eksempel kan det frie leddet -6 faktoriseres til følgende faktorer: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • I vårt eksempel er det andre leddet x (eller 1x). Legg til hvert par av faktorer av dummy-leddet (i vårt eksempel -6) til du får 1. I vårt eksempel er det passende paret med faktorer av dummy-leddet -2 og 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), fordi − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Fyll ut de tomme feltene med det funnet tallparet: .

   6. Ikke glem det andre skjæringspunktet mellom de to grafene. Hvis du løser problemet raskt og ikke veldig nøye, kan du glemme det andre skjæringspunktet. Slik finner du x-koordinatene til to skjæringspunkter:

      • Eksempel (faktorisering). Hvis i Eq. (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) ett av uttrykkene i parentes vil være lik 0, så vil hele ligningen være lik 0. Derfor kan vi skrive det slik: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) Og x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (det vil si at du fant to røtter til ligningen).
      • Eksempel (ved å bruke en formel eller fullføre et perfekt kvadrat). Når du bruker en av disse metodene, vil løsningen vises kvadratrot. For eksempel vil ligningen fra vårt eksempel ha formen x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Husk at når du tar en kvadratrot vil du få to løsninger. I vårt tilfelle: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), Og 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Så skriv ned to ligninger og finn to verdier av x.

   7. Grafene krysser hverandre på ett punkt eller krysser ikke i det hele tatt. Slike situasjoner oppstår hvis følgende betingelser er oppfylt:

      • Hvis grafene skjærer hverandre på ett punkt, dekomponeres den kvadratiske ligningen i identiske faktorer, for eksempel (x-1) (x-1) = 0, og kvadratroten av 0 vises i formelen ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). I dette tilfellet har ligningen bare én løsning.
      • Hvis grafene ikke skjærer hverandre i det hele tatt, kan ikke ligningen faktoriseres, og kvadratroten av negativt tall(f.eks. − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). Skriv i så fall i svaret ditt at det ikke finnes noen løsning.