Müəyyən inteqral. Fiqurun sahəsini necə hesablamaq olar

Gəlin inteqral hesablamanın tətbiqlərini nəzərdən keçirək. Bu dərsdə tipik və ən ümumi tapşırığı təhlil edəcəyik – müstəvi fiqurun sahəsini hesablamaq üçün müəyyən inteqraldan necə istifadə etmək olar. Nəhayət, ali riyaziyyatda məna axtaranlar - tapsınlar. Heç vaxt bilmirsən. Biz bunu həyatda daha da yaxınlaşdırmalıyıq ölkə kottec sahəsi elementar funksiyalar və müəyyən inteqraldan istifadə edərək onun sahəsini tapın.

Materialı uğurla mənimsəmək üçün sizə lazımdır:

1) Qeyri-müəyyən inteqralı ən azı orta səviyyədə başa düşmək. Buna görə də, ilk növbədə dummies dərsi oxumalıdır yox.

2) Nyuton-Leybnits düsturunu tətbiq etməyi və müəyyən inteqralı hesablamağı bacarın. İsti qurun dostluq münasibətləri səhifədə müəyyən inteqrallarla tanış olmaq olar Müəyyən inteqral. Həll nümunələri.

Əslində, bir fiqurun sahəsini tapmaq üçün qeyri-müəyyən və müəyyən inteqral haqqında o qədər də çox biliyə ehtiyacınız yoxdur. “Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək sahəni hesablayın” tapşırığı həmişə rəsm çəkməyi əhatə edir, daha çox aktual məsələ rəsm üzrə bilik və bacarıqlarınız olacaq. Bu baxımdan, əsas elementar funksiyaların qrafikləri haqqında yaddaşınızı yeniləmək və ən azı bir düz xətt, parabola və hiperbola qura bilmək faydalıdır. Bu istifadə edilə bilər (bir çoxları üçün bu lazımdır). metodik material və qrafiklərin həndəsi çevrilmələrinə dair məqalələr.

Əslində, hər kəs müəyyən inteqraldan istifadə edərək sahəni tapmaq vəzifəsi ilə məktəbdən tanışdır və biz məktəb kurikulumundan çox uzağa getməyəcəyik. Bu məqalə ümumiyyətlə olmaya bilərdi, amma fakt budur ki, problem 100-dən 99-da, tələbənin nifrət etdiyi məktəbdən əziyyət çəkdiyi və ali riyaziyyat kursunu həvəslə mənimsədiyi zaman baş verir.

Bu seminarın materialları sadə, ətraflı və minimum nəzəriyyə ilə təqdim olunur.

Əyri trapesiya ilə başlayaq.

Əyrixətli trapesiya ox, düz xətlər və bu intervalda işarəsini dəyişməyən intervalda davamlı funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan yastı fiqurdur. Bu rəqəm yerləşsin az deyil x oxu:

Sonra əyri xətti trapezoidin sahəsi ədədi olaraq müəyyən bir inteqrala bərabərdir. Hər hansı müəyyən inteqralın (mövcud olan) çox yaxşı həndəsi mənası var. Dərsdə Müəyyən inteqral. Həll nümunələri Dedim ki, müəyyən inteqral ədəddir. Və indi daha bir şey söyləməyin vaxtı gəldi faydalı fakt. Həndəsə nöqteyi-nəzərindən müəyyən inteqral AREA-dır.

Yəni, müəyyən inteqral (əgər varsa) həndəsi olaraq müəyyən bir fiqurun sahəsinə uyğundur. Məsələn, müəyyən inteqralı nəzərdən keçirək. İnteqral oxun üstündə yerləşən müstəvidə əyri müəyyən edir (arzu edənlər rəsm çəkə bilər) və müəyyən inteqralın özü ədədi olaraq müvafiq əyrixətti trapezoidin sahəsinə bərabərdir.

Misal 1

Bu tipik bir tapşırıq bəyanatıdır. Birinci və ən vacib an həllər - rəsm. Üstəlik, rəsm qurulmalıdır SAĞ.

Bir rəsm qurarkən aşağıdakı ardıcıllığı tövsiyə edirəm: əvvəlcə bütün düz xətləri (əgər onlar varsa) qurmaq daha yaxşıdır və yalnız Sonra– parabola, hiperbola, başqa funksiyaların qrafikləri. Funksiyaların qrafiklərini qurmaq daha sərfəlidir nöqtə nöqtə, nöqtə-nöqtə tikinti texnikası istinad materialında tapıla bilər Elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri. Orada dərsimiz üçün çox faydalı material tapa bilərsiniz - parabolanı necə tez qurmaq olar.

Bu problemdə həll yolu belə görünə bilər.
Rəsmi çəkək (qeyd edək ki, tənlik oxu müəyyən edir):

Mən əyri trapesiyaya kölgə salmayacağam, burada hansı sahədən bəhs etdiyimiz aydındır. Həll belə davam edir:

Seqmentdə funksiyanın qrafiki yerləşir oxun üstündə, Buna görə də:

Cavab:

Müəyyən inteqralı hesablamaqda və Nyuton-Leybniz düsturunu tətbiq etməkdə çətinlik çəkən , mühazirəyə müraciət edin Müəyyən inteqral. Həll nümunələri.

Tapşırığı yerinə yetirdikdən sonra rəsmə baxmaq və cavabın real olub olmadığını anlamaq həmişə faydalıdır. Bu vəziyyətdə, rəsmdəki hüceyrələrin sayını "gözlə" hesablayırıq - yaxşı, təxminən 9 olacaq, bu doğru görünür. Tamamilə aydındır ki, cavabı alsaq, deyək: 20 kvadrat vahidlər, onda hardasa səhvə yol verildiyi açıq-aydın görünür - 20 hüceyrə aydın şəkildə sözügedən rəqəmə uyğun gəlmir, ən çoxu onlarla. Cavab mənfi olarsa, tapşırıq da səhv həll edilmişdir.

Misal 2

Xətlər, , və oxu ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın

Bu bir nümunədir müstəqil qərar. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Əyri trapezoid yerləşirsə nə etməli oxun altında?

Misal 3

Xətlər və koordinat oxları ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.

Həll: Gəlin rəsm çəkək:

Əgər əyri trapesiya yerləşirsə oxun altında(və ya heç olmasa daha yüksək deyil verilmiş ox), onda onun sahəsi düsturla tapıla bilər:
Bu halda:

Diqqət! İki növ tapşırıq qarışdırılmamalıdır:

1) Əgər sizdən heç bir həndəsi mənası olmayan sadəcə müəyyən inteqralı həll etməyiniz xahiş olunursa, o, mənfi ola bilər.

2) Əgər sizdən müəyyən inteqraldan istifadə edərək fiqurun sahəsini tapmaq istənilirsə, onda sahə həmişə müsbətdir! Ona görə də indicə müzakirə olunan düsturda mənfi görünür.

Praktikada çox vaxt rəqəm həm yuxarı, həm də aşağı yarım müstəvidə yerləşir və buna görə də ən sadə məktəb problemlərindən daha mənalı nümunələrə keçirik.

Misal 4

, xətləri ilə məhdudlaşan müstəvi fiqurun sahəsini tapın.

Həll: Əvvəlcə rəsmi tamamlamalısınız. Ümumiyyətlə, sahə problemlərində rəsm çəkərkən bizi ən çox xətlərin kəsişmə nöqtələri maraqlandırır. Parabola ilə düz xəttin kəsişmə nöqtələrini tapaq. Bu iki yolla edilə bilər. Birinci üsul analitikdir. Tənliyi həll edirik:

Bu o deməkdir ki, inteqrasiyanın aşağı həddi, inteqrasiyanın yuxarı həddidir.
Mümkünsə, bu üsuldan istifadə etməmək daha yaxşıdır..

Nöqtə-nöqtə xətləri qurmaq daha sərfəli və sürətlidir və inteqrasiyanın sərhədləri “özlüyündə” aydın olur. Müxtəlif qrafiklər üçün nöqtə-nöqtəli tikinti texnikası yardımda ətraflı müzakirə olunur Elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri. Buna baxmayaraq, məsələn, qrafik kifayət qədər böyükdürsə və ya təfərrüatlı konstruksiya inteqrasiyanın hüdudlarını aşkar etmirsə (onlar fraksiya və ya irrasional ola bilər) həddi tapmaq üçün analitik metoddan hələ də bəzən istifadə edilməlidir. Və belə bir nümunəni də nəzərdən keçirəcəyik.

Gəlin vəzifəmizə qayıdaq: əvvəlcə düz xətt, sonra isə parabola qurmaq daha rasionaldır. Gəlin rəsm çəkək:

Təkrar edirəm ki, nöqtəvi qurarkən, inteqrasiyanın sərhədləri ən çox "avtomatik olaraq" aşkar edilir.

İndi iş düsturu: Seqmentdə fasiləsiz funksiya varsa -dən böyük və ya bərabərdir bəzi davamlı funksiya , onda bu funksiyaların qrafikləri və xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsi , , düsturundan istifadə edərək tapıla bilər:

Burada artıq fiqurun harada yerləşdiyi barədə düşünməyə ehtiyac yoxdur - oxun üstündə və ya oxun altında və kobud desək, hansı qrafikin DAHA YÜKSƏK olması vacibdir(başqa bir qrafikə nisbətən), və hansı AŞAĞIDA.

Baxılan misalda aydındır ki, seqmentdə parabola düz xəttin üstündə yerləşir və buna görə də ondan çıxmaq lazımdır.

Tamamlanmış həll bu kimi görünə bilər:

İstədiyiniz rəqəm yuxarıda parabola və aşağıda düz xətt ilə məhdudlaşır.
Seqmentdə, müvafiq düstura görə:

Cavab:

Əslində, aşağı yarım müstəvidə əyri bir trapezoidin sahəsi üçün məktəb düsturu (sadə nümunə № 3-ə baxın) formulun xüsusi bir vəziyyətidir. . Ox tənliklə təyin olunduğundan və funksiyanın qrafiki yerləşir daha yüksək deyil baltalar, onda

İndi öz həlliniz üçün bir neçə nümunə

Misal 5

Misal 6

, xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın.

Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək sahənin hesablanması ilə bağlı məsələləri həll edərkən bəzən gülməli bir hadisə baş verir. Rəsm düzgün çəkilib, hesablamalar düzgün aparılıb, lakin diqqətsizlikdən... səhv rəqəmin sahəsi tapıldı, sizin təvazökar qulluqçunuzun bir neçə dəfə başı beləcə oldu. Burada real hal həyatdan:

Misal 7

, , , xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.

Həll: Əvvəlcə bir rəsm çəkək:

...Eh, rəsm axmaq çıxdı, amma hər şey oxunaqlı görünür.

Sahəsini tapmalı olduğumuz rəqəm mavi rəngdədir(şərtə diqqətlə baxın - rəqəm necə məhduddur!). Ancaq praktikada, diqqətsizlik səbəbindən tez-tez bir "nöqsan" yaranır ki, kölgəli bir fiqurun sahəsini tapmaq lazımdır. yaşıl!

Bu nümunə həm də ona görə faydalıdır ki, o, iki müəyyən inteqraldan istifadə edərək rəqəmin sahəsini hesablayır. Həqiqətən:

1) Oxun üstündəki seqmentdə düz xəttin qrafiki var;

2) Oxun üstündəki seqmentdə hiperbolanın qrafiki var.

Sahələrin əlavə edilə biləcəyi (və edilməlidir) tamamilə aydındır, buna görə də:

Cavab:

Gəlin başqa bir mənalı işə keçək.

Misal 8

Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın,
Gəlin tənlikləri “məktəb” şəklində təqdim edək və nöqtə-nöqtəli rəsm çəkək:

Rəsmdən aydın olur ki, bizim yuxarı həddimiz “yaxşı”dır: .
Amma aşağı hədd nədir?! Aydındır ki, bu tam deyil, amma nədir? Ola bilər ? Bəs rəsmin mükəmməl dəqiqliklə çəkildiyinə zəmanət haradadır, yaxşı olar ki... Və ya kök. Qrafiki səhv qursaq nə olacaq?

Belə hallarda xərcləmək lazımdır Əlavə vaxt və inteqrasiyanın sərhədlərini analitik şəkildə aydınlaşdırın.

Düz xəttin və parabolanın kəsişmə nöqtələrini tapaq.
Bunu etmək üçün tənliyi həll edirik:


,

Həqiqətən, .

Növbəti həll mənasızdır, əsas odur ki, əvəzetmələrdə və işarələrdə çaşqınlıq olmasın; burada hesablamalar ən sadə deyil.

Seqmentdə , müvafiq düstura görə:

Cavab:

Yaxşı, dərsi yekunlaşdırmaq üçün daha iki çətin işə baxaq.

Misal 9

Xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın, ,

Həll: Gəlin bu rəqəmi rəsmdə təsvir edək.

Lənət olsun, cədvəli imzalamağı unutdum və üzr istəyirəm, şəkli yenidən çəkmək istəmədim. Rəsm günü deyil, bir sözlə, bu gün gündür =)

Nöqtəli tikinti üçün bilmək lazımdır görünüş sinusoidlər (və ümumiyyətlə bilmək faydalıdır bütün elementar funksiyaların qrafikləri), bəzi sinus dəyərləri kimi, onları tapa bilərsiniz triqonometrik cədvəl. Bəzi hallarda (bu vəziyyətdə olduğu kimi), qrafiklər və inteqrasiya hədləri əsaslı şəkildə düzgün göstərilməli olan sxematik bir rəsm qurmaq mümkündür.

Burada inteqrasiyanın hədləri ilə bağlı heç bir problem yoxdur, onlar birbaşa şərtdən irəli gəlir: “x” sıfırdan “pi”yə dəyişir. Gəlin əlavə qərar verək:

Seqmentdə funksiyanın qrafiki oxun üstündə yerləşir, buna görə də:

Misal 1 . Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 və x = 2

Fiqur quraq (şəklə bax) İki A(4;0) və B(0;2) nöqtələrindən istifadə edərək x + 2y – 4 = 0 düz xəttini çəkirik. y-ni x vasitəsilə ifadə edərək, y = -0,5x + 2 alırıq. (1) düsturundan istifadə edərək, burada f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2 tapırıq.

S = = [-0,25=11,25 kv. vahidlər

Misal 2. Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 və y = 0.

Həll. Fiqurunu quraq.

x – 2y + 4 = 0 düz xəttini quraq: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

x + y – 5 = 0 düz xəttini quraq: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Tənliklər sistemini həll etməklə xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapaq:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Tələb olunan sahəni hesablamaq üçün AMC üçbucağını iki AMN və NMC üçbucağına bölürük, çünki x A-dan N-ə dəyişdikdə sahə düz xəttlə, x N-dən C-yə dəyişdikdə isə düz xətt ilə məhdudlaşır.

AMN üçbucağı üçün bizdə: ; y = 0,5x + 2, yəni f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

NMC üçbucağı üçün bizdə: y = - x + 5, yəni f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Hər üçbucağın sahəsini hesablamaq və nəticələri əlavə etməklə biz tapırıq:

kv. vahidlər

kv. vahidlər

9 + 4, 5 = 13,5 kv. vahidlər Yoxlayın: = 0,5AC = 0,5 kv. vahidlər

Misal 3. Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

Bu halda, y = x parabola ilə məhdudlaşan əyri trapezoidin sahəsini hesablamalısınız. 2 , düz xətlər x = 2 və x = 3 və Ox oxu (şəklə bax) (1) düsturundan istifadə edərək əyri xətti trapezoidin sahəsini tapırıq

= = 6 kv. vahidlər

Misal 4. Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın: y = - x 2 + 4 və y = 0

Fiqurunu quraq. Tələb olunan sahə y = - x parabolasının arasına daxil edilmişdir 2 + 4 və Öküz oxu.

Parabolanın Ox oxu ilə kəsişmə nöqtələrini tapaq. y = 0 fərz etsək, x = tapırıq ki, bu rəqəm Oy oxuna nisbətən simmetrik olduğundan, Oy oxunun sağında yerləşən fiqurun sahəsini hesablayırıq və alınan nəticəni ikiqat artırırıq: = +4x]sq. vahidlər 2 = 2 kv. vahidlər

Misal 5. Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Burada parabolanın yuxarı qolu ilə məhdudlaşan əyri xətti trapezoidin sahəsini hesablamalısınız. 2 = x, Ox oxu və düz xətlər x = 1 və x = 4 (şəklə bax)

(1) düsturuna əsasən, burada f(x) = a = 1 və b = 4, biz = (= kv. vahidlərə sahibik.

Misal 6 . Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Tələb olunan sahə sinusoidin yarım dalğası və Ox oxu ilə məhdudlaşır (şəklə bax).

Bizdə - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 kv. vahidlər

Misal 7. Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın: y = - 6x, y = 0 və x = 4.

Şəkil Ox oxunun altında yerləşir (şəklə bax).

Buna görə də (3) düsturundan istifadə edərək onun sahəsini tapırıq.

= =

Misal 8. Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın: y = və x = 2. Nöqtələrdən y = əyrisini qurun (şəklə bax). Beləliklə, (4) düsturundan istifadə edərək rəqəmin sahəsini tapırıq.

Misal 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Burada x dairəsinin əhatə etdiyi sahəni hesablamaq lazımdır 2 + y 2 = r 2 , yəni mərkəzi başlanğıcda olan r radiuslu dairənin sahəsi. 0-dan inteqrasiya həddini götürərək bu sahənin dördüncü hissəsini tapaq

əvvəl; bizdə: 1 = = [

Beləliklə, 1 =

Misal 10. Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın: y= x 2 və y = 2x

Bu rəqəm y = x parabolası ilə məhdudlaşır 2 və düz xətti y = 2x (şəklə bax) Verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtələrini təyin etmək üçün tənliklər sistemini həll edirik: x 2 – 2x = 0 x = 0 və x = 2

Sahəni tapmaq üçün düsturdan (5) istifadə edərək əldə edirik

= funksiyanın qrafiki y=x 2 +2 yerləşir oxun üstündə öküz , Buna görə də:

Cavab: S =9 kv

Tapşırığı yerinə yetirdikdən sonra rəsmə baxmaq və cavabın real olub olmadığını anlamaq həmişə faydalıdır. Bu vəziyyətdə, "gözlə" rəsmdəki hüceyrələrin sayını hesablayırıq - yaxşı, təxminən 9 olacaq, belə görünür. Tamamilə aydındır ki, deyək ki, cavabı alsaq: 20 kvadrat vahid, onda haradasa səhv edildiyi açıqdır - 20 hüceyrə açıq-aydın sözügedən rəqəmə uyğun gəlmir, ən çoxu onlarla. Cavab mənfi olarsa, tapşırıq da səhv həll edilmişdir.

Əyri trapezoid yerləşirsə nə etməli oxun altında Oh?

b) Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın y=-e x , x=1 və koordinat oxları.

Həll.

Gəlin rəsm çəkək.

Əgər əyri trapesiya tamamilə oxun altında yerləşir Oh , onda onun sahəsi düsturla tapıla bilər:

Cavab: S=(e-1) kv. kontur” 1,72 kv

Diqqət! İki növ tapşırıq qarışdırılmamalıdır:

1) Əgər sizdən heç bir həndəsi mənası olmayan sadəcə müəyyən inteqralı həll etməyiniz xahiş olunursa, o, mənfi ola bilər.

2) Əgər sizdən müəyyən inteqraldan istifadə edərək fiqurun sahəsini tapmaq istənilirsə, onda sahə həmişə müsbətdir! Ona görə də indicə müzakirə olunan düsturda mənfi görünür.

Praktikada, çox vaxt rəqəm həm yuxarı, həm də aşağı yarım müstəvidə yerləşir.

ilə) Xətlərlə məhdudlaşan təyyarə fiqurunun sahəsini tapın y=2x-x 2, y=-x.

Həll.

Əvvəlcə rəsmləri tamamlamalısınız. Ümumiyyətlə, sahə problemlərində rəsm çəkərkən bizi ən çox xətlərin kəsişmə nöqtələri maraqlandırır. Parabolanın kəsişmə nöqtələrini tapaq və düz Bu iki yolla edilə bilər. Birinci üsul analitikdir.

Tənliyi həll edirik:

Bu, inteqrasiyanın aşağı sərhədi deməkdir a=0 , inteqrasiyanın yuxarı həddi b=3 .

Verilmiş xətləri qururuq: 1. Parabola - (1;1) nöqtəsində təpə; ox kəsişməsi Oh - xal (0;0) və (0;2). 2. Düz xətt - 2-ci və 4-cü koordinat bucaqlarının bisektoru. İndi isə Diqqət! Əgər seqmentdə [ a;b] bəzi davamlı funksiya f(x) bəzi davamlı funksiyadan böyük və ya ona bərabərdir g(x), onda müvafiq rəqəmin sahəsi düsturla tapıla bilər: . Fiqurun harada yerləşməsinin fərqi yoxdur - oxun üstündə və ya oxun altında, amma vacib olan hansı qrafikin YÜKSƏK (başqa bir qrafikə nisbətən), hansının AŞAĞIDA olmasıdır. Baxılan misalda aydındır ki, seqmentdə parabola düz xəttin üstündə yerləşir və buna görə də ondan çıxmaq lazımdır.

Siz nöqtə-nöqtə xətləri qura bilərsiniz və inteqrasiyanın sərhədləri “özlüyündə” aydın olur. Buna baxmayaraq, məsələn, qrafik kifayət qədər böyükdürsə və ya təfərrüatlı konstruksiya inteqrasiyanın hüdudlarını aşkar etmirsə (onlar fraksiya və ya irrasional ola bilər) hədləri tapmaq üçün analitik metoddan hələ də bəzən istifadə edilməlidir.

İstədiyiniz rəqəm yuxarıda parabola və aşağıda düz xətt ilə məhdudlaşır.

Seqmentdə , müvafiq düstura görə:

Cavab: S =4,5 kv

Problem 1(əyri trapezoidin sahəsinin hesablanması haqqında).

Kartezian düzbucaqlı koordinat sistemində xOy, x oxu ilə, x = a, x = b düz xətləri (a əyrixətti trapesiya ilə) ilə məhdudlaşan bir rəqəm verilir (şəklə bax). Əyri xəttinin sahəsini hesablamaq tələb olunur. trapesiya.
Həll. Həndəsə bizə çoxbucaqlıların sahələrini və dairənin bəzi hissələrini (sektor, seqment) hesablamaq üçün reseptlər verir. Həndəsi mülahizələrdən istifadə edərək, aşağıdakı kimi əsaslandıraraq, tələb olunan sahənin yalnız təxmini dəyərini tapa bilərik.

Seqmenti ayıraq [a; b] (əyri trapezoidin əsası) n bərabər hissəyə; bu bölmə x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 nöqtələrindən istifadə etməklə həyata keçirilir. Bu nöqtələrdən y oxuna paralel düz xətlər çəkək. Sonra verilmiş əyrixətti trapesiya n hissəyə, n dar sütuna bölünəcəkdir. Bütün trapezoidin sahəsi sütunların sahələrinin cəminə bərabərdir.

k-ci sütunu ayrıca nəzərdən keçirək, yəni. əsası seqment olan əyri trapesiya. Onu əsası və hündürlüyü f(x k)-ə bərabər olan düzbucaqlı ilə əvəz edək (şəklə bax). Düzbucaqlının sahəsi \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \) bərabərdir, burada \(\Delta x_k \) seqmentin uzunluğudur; Əldə edilən məhsulu k-ci sütunun sahəsinin təxmini dəyəri kimi qəbul etmək təbiidir.

İndi bütün digər sütunlarla eyni şeyi etsək, aşağıdakı nəticəyə gələrik: verilmiş əyrixətti trapezoidin S sahəsi təxminən n düzbucaqlıdan ibarət pilləli fiqurun S n sahəsinə bərabərdir (şəklə bax):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \nöqtə + f(x_k)\Delta x_k + \nöqtə + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Burada qeydin vahidliyi üçün a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - seqmentin uzunluğu, \(\Delta x_1 \) - seqmentin uzunluğu və s.; bu halda, yuxarıda razılaşdığımız kimi, \(\Delta x_0 = \nöqtələr = \Delta x_(n-1) \)

Beləliklə, \(S \təxminən S_n \) və bu təxmini bərabərlik daha dəqiqdirsə, n böyükdür.
Tərifə görə, əyri bir trapezoidin tələb olunan sahəsinin ardıcıllığın həddinə (S n) bərabər olduğuna inanılır:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problem 2(nöqtənin hərəkəti haqqında)
Maddi nöqtə düz xətt üzrə hərəkət edir. Sürətin zamandan asılılığı v = v(t) düsturu ilə ifadə edilir. Nöqtənin müəyyən zaman ərzində hərəkətini tapın [a; b].
Həll. Hərəkət vahid olsaydı, problem çox sadə şəkildə həll ediləcəkdi: s = vt, yəni. s = v(b-a). Qeyri-bərabər hərəkət üçün, əvvəlki problemin həllinin əsaslandığı eyni fikirlərdən istifadə etməlisiniz.
1) Vaxt intervalını bölün [a; b] n bərabər hissəyə.
2) Bir zaman dövrünü nəzərdən keçirək və bu müddət ərzində sürətin t k zamanındakı kimi sabit olduğunu düşünək. Beləliklə, biz fərz edirik ki, v = v(t k).
3) Nöqtənin müəyyən bir müddət ərzində hərəkətinin təxmini qiymətini tapaq; bu təxmini dəyəri s k kimi göstərəcəyik.
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) s yerdəyişmənin təxmini qiymətini tapın:
\(s \təxminən S_n \) harada
\(S_n = s_0 + \nöqtə + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \nöqtə + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Tələb olunan yerdəyişmə ardıcıllığın limitinə (S n) bərabərdir:
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Gəlin ümumiləşdirək. Həll yolları müxtəlif vəzifələr eyni riyazi modelə endirilir. Elm və texnikanın müxtəlif sahələrindən olan bir çox problem həll prosesində eyni modelə gətirib çıxarır. Belə ki, bu riyazi model xüsusi tədqiq etmək lazımdır.

Müəyyən inteqral anlayışı

y = f(x), fasiləsiz (lakin baxılan məsələlərdə nəzərdə tutulduğu kimi qeyri-mənfi deyil) funksiyası üçün nəzərdən keçirilən üç məsələdə [a; b]:
1) seqmenti ayırın [a; b] n bərabər hissəyə;
2) $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \nöqtələr + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$ cəmini təşkil edin
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$ hesablayın

bilirəm riyazi analiz bu həddin davamlı (və ya hissə-hissə davamlı) funksiyası halında mövcud olduğu sübut edilmişdir. Onu çağırırlar y = f(x) funksiyasının [a seqmenti üzərində müəyyən inteqralı; b] və aşağıdakı kimi qeyd olunur:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
a və b ədədləri inteqrasiyanın hədləri adlanır (müvafiq olaraq aşağı və yuxarı).

Yuxarıda müzakirə olunan vəzifələrə qayıdaq. Problem 1-də verilmiş ərazinin tərifi indi aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
burada S yuxarıdakı şəkildə göstərilən əyri xətti trapezoidin sahəsidir. Budur müəyyən inteqralın həndəsi mənası.

Məsələ 2-də verilmiş t = a-dan t = b-ə qədər olan zaman ərzində v = v(t) sürəti ilə düz xətt üzrə hərəkət edən nöqtənin yerdəyişməsinin s tərifini aşağıdakı kimi yenidən yazmaq olar:

Nyuton-Leybnits düsturu

Əvvəlcə suala cavab verək: müəyyən inteqralla əks törəmə arasında hansı əlaqə var?

Cavab 2-ci məsələdə tapıla bilər. Bir tərəfdən v = v(t) sürəti ilə düz xətt üzrə hərəkət edən nöqtənin t = a-dan t = b-ə qədər olan vaxt ərzində yerdəyişməsi s ilə hesablanır. formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Digər tərəfdən, hərəkət edən nöqtənin koordinatı sürətin əks törəməsidir - onu s(t) ilə işarə edək; Bu o deməkdir ki, yerdəyişmə s s = s(b) - s(a) düsturu ilə ifadə edilir. Nəticədə əldə edirik:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
burada s(t) v(t)-in əks törəməsidir.

Riyazi analiz zamanı aşağıdakı teorem sübut edilmişdir.
Teorem. y = f(x) funksiyası [a intervalında kəsilməzdirsə; b], onda düstur etibarlıdır
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
burada F(x) f(x)-in əks törəməsidir.

Verilmiş düstur adətən adlanır Nyuton-Leybnits düsturuİngilis fiziki İsaak Nyutonun (1643-1727) və alman filosofu Qotfrid Leybnisin (1646-1716) şərəfinə bir-birindən asılı olmayaraq və demək olar ki, eyni vaxtda qəbul etmişdir.

Təcrübədə F(b) - F(a) yazmaq əvəzinə \(\sol. F(x)\right|_a^b \) qeydindən istifadə edirlər (bəzən buna deyilir. ikiqat əvəzetmə) və müvafiq olaraq Nyuton-Leybniz düsturunu bu formada yenidən yazın:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \sol. F(x)\sağ|_a^b \)

Müəyyən inteqralı hesablayarkən əvvəlcə əks törəməni tapın, sonra isə ikiqat əvəzetmə aparın.

Nyuton-Leybniz düsturu əsasında müəyyən inteqralın iki xassəsini əldə edə bilərik.

Mülk 1. Funksiyaların cəminin inteqralı inteqralların cəminə bərabərdir:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Əmlak 2. Daimi amil inteqral işarəsindən çıxarıla bilər:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Müəyyən inteqraldan istifadə edərək müstəvi fiqurların sahələrinin hesablanması

İnteqraldan istifadə edərək təkcə əyri xətti trapezoidlərin deyil, həm də düz fiqurların sahələrini hesablaya bilərsiniz. mürəkkəb tip, məsələn şəkildə göstərilən. P rəqəmi x = a, x = b düz xətləri və y = f(x), y = g(x) fasiləsiz funksiyalarının qrafikləri ilə və [a seqmenti ilə məhdudlaşır; b] \(g(x) \leq f(x) \) bərabərsizliyi yerinə yetirilir. Belə bir rəqəmin S sahəsini hesablamaq üçün aşağıdakı kimi hərəkət edəcəyik:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Beləliklə, x = a, x = b düz xətləri və y = f(x), y = g(x) funksiyalarının qrafikləri ilə hüdudlanan fiqurun sahəsi S sahəsi seqmentdə davamlı və seqmentdən istənilən x üçün [a; b] düsturla hesablanan \(g(x) \leq f(x) \) bərabərsizliyi təmin edilir.
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Bəzi funksiyaların qeyri-müəyyən inteqrallarının (antiderivativlərinin) cədvəli

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1) ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

Funksiya qeyri-mənfi və fasiləsiz olsun. Sonra, uyğun olaraq həndəsi məna müəyyən bir inteqralın, yuxarıda bu funksiyanın qrafiki ilə, aşağıda ox ilə, sol və sağda düz xətlərlə məhdudlaşan əyrixətli trapezoidin sahəsi və (bax. Şəkil 2) düsturla hesablanır.

Misal 9. Xəttlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın və ox.

Həll. Funksiya qrafiki budaqları aşağıya doğru yönəlmiş paraboladır. Gəlin onu quraq (şək. 3). İnteqrasiya hədlərini müəyyən etmək üçün xəttin (parabola) oxla (düz xətt) kəsişmə nöqtələrini tapırıq. Bunun üçün tənliklər sistemini həll edirik

Biz əldə edirik: , harada , ; deməli, , .

düyü. 3

Formula (5) istifadə edərək rəqəmin sahəsini tapırıq:

Funksiya seqmentdə qeyri-müsbət və davamlıdırsa, onda bu funksiyanın qrafiki ilə aşağıda, yuxarıda ox, sol və sağda düz xətlərlə məhdudlaşan əyrixətti trapezoidin sahəsi və , ilə hesablanır. düstur

. (6)

Funksiya seqmentdə davamlıdırsa və sonlu sayda nöqtədə işarəsini dəyişirsə, kölgəli fiqurun sahəsi (şəkil 4) müvafiq müəyyən inteqralların cəbri cəminə bərabərdir:

düyü. 4

Misal 10. Oxla məhdudlaşan fiqurun sahəsini və funksiyanın qrafiki ilə hesablayın.

düyü. 5

Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 5). Tələb olunan sahə sahələrin cəmidir və . Gəlin bu sahələrin hər birini tapaq. Birincisi, sistemi həll etməklə inteqrasiyanın sərhədlərini müəyyənləşdiririk alırıq,. Beləliklə:

;

.

Beləliklə, kölgəli fiqurun sahəsi

(kv. vahid).

düyü. 6

Nəhayət, əyrixətti trapesiya seqmentdə davamlı funksiyaların qrafikləri ilə yuxarıdan və aşağıdan məhdudlaşsın və ,
və solda və sağda - düz xətlər və (şək. 6). Sonra onun sahəsi düsturla hesablanır

. (8)

Misal 11. və xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın.

Həll. Bu rəqəm Şəkildə göstərilmişdir. 7. (8) düsturu ilə onun sahəsini hesablayaq. Tapdığımız tənliklər sisteminin həlli, ; deməli, , . Seqmentdə bizdə var: . Bu o deməkdir ki, düsturda (8) kimi qəbul edirik x, və keyfiyyət kimi – . Biz əldə edirik:

(kv. vahid).

Sahələrin hesablanması ilə bağlı daha mürəkkəb problemlər rəqəmi üst-üstə düşməyən hissələrə bölmək və bütün rəqəmin sahəsini bu hissələrin sahələrinin cəmi kimi hesablamaqla həll olunur.

düyü. 7

Misal 12., , xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın.

Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 8). Bu rəqəm aşağıdan ox, sola və sağa - düz xətlərlə və yuxarıdan - funksiyaların qrafikləri ilə məhdudlaşan əyri trapesiya kimi qəbul edilə bilər. Şəkil yuxarıdan iki funksiyanın qrafikləri ilə məhdudlaşdırıldığı üçün onun sahəsini hesablamaq üçün bu düz xətt rəqəmini iki hissəyə ayırırıq (1 xətlərin kəsişmə nöqtəsinin absisidir və ). Bu hissələrin hər birinin sahəsi (4) düsturundan istifadə etməklə tapılır:

(kv. vahidlər); (kv. vahid). Beləliklə:

(kv. vahid).

düyü. 8

X= j ( saat)

düyü. 9

Sonda qeyd edirik ki, əyrixətti trapesiya düz xətlərlə məhdudlaşırsa və , ox və əyri üzərində kəsilməzdirsə (şək. 9), onda onun sahəsi düsturla tapılır.

Fırlanma cisminin həcmi

Seqmentdə fasiləsiz funksiyanın qrafiki ilə oxla, düz xətlərlə və ilə məhdudlaşan əyrixətti trapesiya ox ətrafında dönsün (şək. 10). Sonra yaranan fırlanma gövdəsinin həcmi düsturla hesablanır

. (9)

Misal 13. Hiperbola, düz xətlər və oxu ilə məhdudlaşan əyrixətti trapezoidin oxu ətrafında fırlanmaqla əldə edilən cismin həcmini hesablayın.

Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 11).

Problemin şərtlərindən belə çıxır ki, . Düsturdan (9) alırıq

.

düyü. 10

düyü. on bir

Bir ox ətrafında fırlanma nəticəsində əldə edilən cismin həcmi OU düz xətlərlə məhdudlaşan əyrixətli trapesiya y = c Və y = d, ox OU və düsturla müəyyən edilmiş seqmentdə fasiləsiz funksiyanın qrafiki (şək. 12).

. (10)

X= j ( saat)

düyü. 12

Misal 14. Bir ox ətrafında fırlanmaqla əldə edilən cismin həcmini hesablayın OU xətlərlə məhdudlaşan əyrixətli trapesiya X 2 = 4saat, y = 4, x = 0 (Şəkil 13).

Həll. Məsələnin şərtlərinə uyğun olaraq inteqrasiyanın hədlərini tapırıq: , . Formula (10) istifadə edərək əldə edirik:

düyü. 13

Təyyarə əyrisinin qövs uzunluğu

, burada , tənliyi ilə verilmiş əyri müstəvidə uzansın (şək. 14).

düyü. 14

Tərif. Qövsün uzunluğu dedikdə, bu qövsə yazılmış qırıq xəttin uzunluğunun meyl etdiyi hədd başa düşülür, o zaman qırıq xəttin həlqələrinin sayı sonsuzluğa, ən böyük həlqənin uzunluğu isə sıfıra meyllidir.

Əgər funksiya və onun törəməsi seqmentdə davamlıdırsa, əyrinin qövs uzunluğu düsturla hesablanır.

. (11)

Misal 15. Nöqtələr arasında bağlanmış əyrinin qövs uzunluğunu hesablayın .

Həll. Bizdə olan problemli şərtlərdən . Formula (11) istifadə edərək əldə edirik:

.

4. Yanlış inteqrallar
sonsuz inteqrasiya sərhədləri ilə

Müəyyən bir inteqral anlayışını təqdim edərkən aşağıdakı iki şərtin təmin edildiyi güman edilirdi:

a) inteqrasiyanın sərhədləri A və məhduddur;

b) inteqral intervalla məhdudlaşır.

Bu şərtlərdən ən azı biri təmin edilmirsə, inteqral deyilir sənin deyil.

Əvvəlcə sonsuz inteqral hədləri olan qeyri-müvafiq inteqralları nəzərdən keçirək.

Tərif. O zaman funksiya müəyyən edilmiş və intervalda davamlı olsun və sağda qeyri-məhdud (şək. 15).

Əgər düzgün olmayan inteqral yaxınlaşırsa, onda bu sahə sonludur; düzgün olmayan inteqral ayrılırsa, bu sahə sonsuzdur.

düyü. 15

Sonsuz aşağı inteqrasiya həddi olan düzgün olmayan inteqral oxşar şəkildə müəyyən edilir:

. (13)

Bu inteqral əgər bərabərliyin sağ tərəfindəki hədd (13) varsa və sonlu olarsa birləşir; əks halda inteqral divergent deyilir.

İki sonsuz inteqral həddi olan düzgün olmayan inteqral aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

, (14)

burada с intervalın istənilən nöqtəsidir. İnteqral yalnız bərabərliyin (14) sağ tərəfindəki hər iki inteqral yaxınlaşdıqda yaxınlaşır.

;

G) = [məxrəcdə tam kvadrat seçin: ] = [yerdəyişmə:

] =

Bu o deməkdir ki, düzgün olmayan inteqral yaxınlaşır və onun qiyməti -ə bərabərdir.