Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız varsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən etmək üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir müəyyən şəxs və ya onunla əlaqə saxlayın.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, ünvanınız toplaya bilərik e-poçt və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

Bizim tərəfimizdən yığılmışdır şəxsi məlumat bizə sizinlə əlaqə saxlamağa və unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər haqqında məlumat verməyə imkan verir.
Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlər, məlumatların təhlili və müxtəlif araşdırmalar aparmaq kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması

Sizdən alınan məlumatları üçüncü şəxslərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

Zəruri hallarda - qanuna uyğun olaraq, məhkəmə qaydasında, məhkəmə icraatında və/və ya ictimai sorğu və ya sorğular əsasında dövlət qurumları Rusiya Federasiyasının ərazisində - şəxsi məlumatlarınızı açıqlayın. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyət kəsb edən məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
Yenidən təşkil etmə, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varis üçüncü tərəfə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz əməkdaşlarımıza məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Bu yazıda tapmaq üçün bütün növ problemləri təhlil edəcəyik

Gəlin xatırlayaq törəmənin həndəsi mənası: əgər bir nöqtədə funksiyanın qrafikinə tangens çəkilirsə, onda tangensin maillik əmsalı (tangens ilə oxun müsbət istiqaməti arasındakı bucağın tangensinə bərabərdir) funksiyanın törəməsinə bərabərdir. nöqtədə.

Koordinatları olan tangens üzərində ixtiyari bir nöqtə götürək:

Və düz üçbucağı nəzərdən keçirin:

Bu üçbucaqda

Buradan

Bu nöqtədə funksiyanın qrafikinə çəkilmiş tangensin tənliyidir.

Tangens tənliyini yazmaq üçün yalnız funksiyanın tənliyini və tangensin çəkildiyi nöqtəni bilməliyik. Sonra tapa bilərik və .

Tangens tənlik probleminin üç əsas növü vardır.

1. Əlaqə nöqtəsi verilmişdir

2. Tangens yamac əmsalı, yəni nöqtədə funksiyanın törəməsinin qiyməti verilir.

3. Tangensin çəkildiyi, lakin toxunma nöqtəsi olmayan nöqtənin koordinatları verilmişdir.

Hər bir tapşırıq növünə nəzər salaq.

1. Funksiya qrafikinə toxunan tənliyi yazın nöqtədə .

b) Nöqtədə törəmənin qiymətini tapın. Əvvəlcə funksiyanın törəməsini tapaq

Tapılan dəyərləri tangens tənliyinə əvəz edək:

Tənliyin sağ tərəfindəki mötərizələri açaq. Biz əldə edirik:

Cavab: .

2. Funksiyaların qrafikə toxunduğu nöqtələrin absisini tapın x oxuna paralel.

Əgər tangens x oxuna paraleldirsə, ona görə də oxun tangensi ilə müsbət istiqaməti arasındakı bucaq sıfırdır, ona görə də tangens bucağının tangensi sıfırdır. Bu o deməkdir ki, funksiyanın törəməsinin qiyməti təmas nöqtələrində sıfırdır.

a) funksiyanın törəməsini tapın .

b) Törəməni sıfıra bərabərləşdirək və tangensin oxa paralel olduğu dəyərləri tapaq:

Hər bir amili sıfıra bərabərləşdirərək, əldə edirik:

Cavab: 0;3;5

3. Funksiya qrafikinə toxunan tənlikləri yazın , paralel birbaşa .

Tangens xəttə paraleldir. Bu xəttin mailliyi -1-dir. Tangens bu xəttə paralel olduğundan, tangensin mailliyi də -1-dir. Yəni tangensin yamacını bilirik, və bununla da, toxunma nöqtəsində törəmə dəyər.

Bu, tangens tənliyini tapmaq üçün ikinci növ problemdir.

Beləliklə, bizə toxunma nöqtəsində törəmənin funksiyası və qiyməti verilir.

a) Funksiyanın törəməsinin -1-ə bərabər olduğu nöqtələri tapın.

Əvvəlcə törəmə tənliyi tapaq.

Törəməni -1 ədədinə bərabərləşdirək.

nöqtədə funksiyanın qiymətini tapaq.

(şərtlə)

b) nöqtəsindəki funksiyanın qrafikinə toxunan tənliyini tapın.

nöqtədə funksiyanın qiymətini tapaq.

(şərtlə).

Bu dəyərləri tangens tənliyinə əvəz edək:

Cavab:

4. Əyriyə toxunan tənliyin tənliyini yazın , bir nöqtədən keçir

Əvvəlcə nöqtənin toxunan nöqtə olub olmadığını yoxlayaq. Əgər nöqtə toxunan nöqtədirsə, o, funksiyanın qrafikinə aiddir və onun koordinatları funksiyanın tənliyini təmin etməlidir. Nöqtənin koordinatlarını funksiyanın tənliyində əvəz edək.

Başlıq="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} mənfi rəqəm, bərabərlik doğru deyil və nöqtə funksiyasının qrafikinə aid deyil və əlaqə nöqtəsi deyil.

Bu, tangens tənliyini tapmaq üçün son problem növüdür. Hər şeydən əvvəl toxunan nöqtənin absisini tapmalıyıq.

Gəlin dəyəri tapaq.

Qoy əlaqə nöqtəsi olsun. Nöqtə funksiyanın qrafikinin tangensinə aiddir. Bu nöqtənin koordinatlarını tangens tənliyində əvəz etsək, düzgün bərabərliyi əldə edirik:

Bir nöqtədə funksiyanın dəyəri .

nöqtədə funksiyanın törəməsinin qiymətini tapaq.

Əvvəlcə funksiyanın törəməsini tapaq. Bu .

Bir nöqtədə törəmə bərabərdir .

Tangens tənliyinə və ifadələrini əvəz edək. Bunun üçün tənliyi alırıq:

Gəlin bu tənliyi həll edək.

Kəsrin payını və məxrəcini 2 azaldın:

Tənliyin sağ tərəfini azaldaq ortaq məxrəc. Biz əldə edirik:

Gəlin kəsrin payını sadələşdirək və hər iki tərəfi vuraq - bu ifadə sıfırdan ciddi şəkildə böyükdür.

tənliyi alırıq

Gəlin həll edək. Bunu etmək üçün hər iki hissəni kvadrata çevirək və sistemə keçək.

Başlıq="delim(lbrace)(matris(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ))))( )">!}

Birinci tənliyi həll edək.

Gəlin qərar verək kvadrat tənlik, alırıq

İkinci kök başlıq="8-3x_0>=0) şərtini ödəmir">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Nöqtədəki əyriyə toxunan tənliyi yazaq. Bunu etmək üçün dəyəri tənliyə əvəz edin - Artıq qeyd etmişik.

Cavab:
.

Funksiya qrafikinə tangensin tənliyi

P. Romanov, T. Romanova,
Maqnitoqorsk,
Çelyabinsk vilayəti

Funksiya qrafikinə tangensin tənliyi

Məqalə İTAKA+ Otel Kompleksinin dəstəyi ilə dərc edilib. Gəmi inşaatçıları Severodvinsk şəhərində qalarkən, müvəqqəti yaşayış yeri tapmaq problemi ilə qarşılaşmayacaqsınız. , saytında otel kompleksi“ITHAKA+” http://itakaplus.ru saytından siz asanlıqla və tez bir zamanda şəhərdə, istənilən müddətə, gündəlik ödənişlə mənzil kirayə verə bilərsiniz.

Aktiv müasir mərhələ təhsilin inkişafı, onun əsas vəzifələrindən biri yaradıcı düşünən şəxsiyyətin formalaşdırılmasıdır. Şagirdlərdə yaradıcılıq qabiliyyəti o halda inkişaf etdirilə bilər ki, onlar tədqiqat fəaliyyətinin əsaslarına sistemli şəkildə cəlb olunsunlar. Şagirdlərin yaradıcılıq qabiliyyətlərindən, qabiliyyətlərindən və istedadlarından istifadə etmələrinin əsası tam hüquqlu bilik və bacarıqların formalaşmasıdır. Bu baxımdan məktəb riyaziyyat kursunun hər bir mövzusu üzrə əsas bilik və bacarıqlar sisteminin formalaşdırılması problemi az əhəmiyyət kəsb etmir. Eyni zamanda, tam hüquqlu bacarıqlar fərdi tapşırıqların deyil, onların diqqətlə düşünülmüş sisteminin didaktik məqsədi olmalıdır. Geniş mənada sistem bütövlüyə və sabit struktura malik olan bir-biri ilə əlaqəli qarşılıqlı təsir göstərən elementlərin məcmusu kimi başa düşülür.

Şagirdlərə funksiyanın qrafikinə tangens üçün tənlik yazmağı öyrətmək üçün texnikanı nəzərdən keçirək. Əslində, tangens tənliyinin tapılması ilə bağlı bütün problemlər müəyyən bir tələbi ödəyən xətlər dəstindən (bağlama, ailə) seçmək zərurətindən irəli gəlir - onlar müəyyən bir funksiyanın qrafikinə toxunur. Bu halda, seçimin aparıldığı sətirlər dəsti iki şəkildə göstərilə bilər:

a) xOy müstəvisində uzanan nöqtə (xətlərin mərkəzi karandaşı);
b) bucaq əmsalı (düz xətlərin paralel şüası).

Bununla əlaqədar olaraq, sistemin elementlərini təcrid etmək üçün “Funksiya qrafikinə tangens” mövzusunu öyrənərkən iki növ problem müəyyən etdik:

1) keçdiyi nöqtə ilə verilən tangenslə bağlı məsələlər;
2) mailliyi ilə verilən tangenslə bağlı məsələlər.

Tangens məsələlərinin həlli üzrə təlim A.G.-nin təklif etdiyi alqoritmdən istifadə etməklə həyata keçirilmişdir. Mordkoviç. Onun əsas fərq artıq məlum olanlardan odur ki, toxunma nöqtəsinin absisi a (x0 əvəzinə) hərfi ilə işarələnir və buna görə də tangens tənliyi formasını alır.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0) ilə müqayisə edin). Bu metodik texnika, fikrimizcə, tələbələrə cari nöqtənin koordinatlarının harada yazıldığını tez və asanlıqla başa düşməyə imkan verir. ümumi tangens tənliyi və təmas nöqtələri haradadır.

y = f(x) funksiyasının qrafikinə toxunan tənliklərin qurulması alqoritmi

1. Tangens nöqtəsinin absisini a hərfi ilə təyin edin.
2. f(a)-nı tapın.
3. f "(x) və f "(a) tapın.
4. Tapılmış a, f(a), f "(a) ədədlərini y = f(a) = f "(a)(x – a) ümumi tangens tənliyinə əvəz edin.

Bu alqoritm tələbələrin əməliyyatların müstəqil müəyyən edilməsi və onların yerinə yetirilməsi ardıcıllığı əsasında tərtib edilə bilər.

Təcrübə göstərdi ki, bir alqoritmdən istifadə edərək əsas məsələlərin hər birinin ardıcıl həlli bir funksiyanın qrafikinə bir tangens tənliyini mərhələlərlə yazmaq bacarıqlarını inkişaf etdirməyə imkan verir və alqoritmin addımları hərəkətlər üçün istinad nöqtəsi kimi xidmət edir. . Bu yanaşma P.Ya tərəfindən işlənmiş psixi hərəkətlərin tədricən formalaşması nəzəriyyəsinə uyğundur. Galperin və N.F. Talyzina.

Birinci növ tapşırıqda iki əsas vəzifə müəyyən edilmişdir:

tangens əyri üzərində uzanan nöqtədən keçir (məsələ 1);
tangens əyri üzərində olmayan nöqtədən keçir (məsələ 2).

Tapşırıq 1. Funksiya qrafikinə toxunan üçün tənlik yazın M(3; – 2) nöqtəsində.

Həll. M(3; – 2) nöqtəsi toxunan nöqtədir, çünki

1. a = 3 – toxunan nöqtənin absisi.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – tangens tənliyi.

Məsələ 2. M(– 3; 6) nöqtəsindən keçən y = – x 2 – 4x + 2 funksiyasının qrafikinə bütün toxunanların tənliklərini yazın.

Həll. M(– 3; 6) nöqtəsi toxunan nöqtə deyil, çünki f(– 3) 6 (Şəkil 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – tangens tənliyi.

Tangens M(– 3; 6) nöqtəsindən keçir, ona görə də onun koordinatları tangens tənliyini təmin edir.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Əgər a = – 4 olarsa, onda tangens tənliyi y = 4x + 18-dir.

Əgər a = – 2 olarsa, onda tangens tənliyi y = 6 formasına malikdir.

İkinci növdə əsas vəzifələr aşağıdakılar olacaq:

tangens hansısa xəttə paraleldir (məsələ 3);
tangens verilmiş xəttə müəyyən bucaq altında keçir (məsələ 4).

Məsələ 3. y = 9x + 1 xəttinə paralel y = x 3 – 3x 2 + 3 funksiyasının qrafikinə bütün toxunanların tənliklərini yazın.

Həll.

1. a – toxunan nöqtənin absisi.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Lakin, digər tərəfdən, f "(a) = 9 (paralellik şərti). Bu o deməkdir ki, 3a 2 – 6a = 9 tənliyini həll etməliyik. Onun kökləri a = – 1, a = 3-dür (şək. 3). ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – tangens tənliyi;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – tangens tənliyi.

Məsələ 4. y = 0,5x 2 – 3x + 1 funksiyasının qrafikinə y = 0 düz xəttinə 45° bucaq altında keçən tangensin tənliyini yazın (şək. 4).

Həll. f "(a) = tan 45° şərtindən a tapırıq: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – toxunan nöqtənin absisi.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – tangens tənliyi.

Hər hansı digər problemin həllinin bir və ya bir neçə əsas problemin həlli ilə nəticələndiyini göstərmək asandır. Nümunə olaraq aşağıdakı iki problemi nəzərdən keçirin.

1. y = 2x 2 – 5x – 2 parabola toxunanların tənliklərini yazın, əgər tangenslər düz bucaq altında kəsişirsə və onlardan biri absis 3 olan nöqtədə parabolaya toxunursa (şək. 5).

Həll. Təsir nöqtəsinin absisi verildiyi üçün həllin birinci hissəsi əsas məsələ 1-ə endirilir.

1. a = 3 – düz bucağın tərəflərindən birinin toxunma nöqtəsinin absisi.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – birinci tangensin tənliyi.

Qoy a – birinci tangensin maillik bucağı. Tangenslər perpendikulyar olduğundan, ikinci tangensin meyl bucağı belədir. Birinci tangensin y = 7x – 20 tənliyindən tg əldə edirik a = 7. Tapaq

Bu o deməkdir ki, ikinci tangensin yamacı bərabərdir.

Növbəti həll əsas vəzifə 3-ə düşür.

B(c; f(c)) ikinci xəttin toxunma nöqtəsi olsun, onda

1. – ikinci toxunma nöqtəsinin absisi.
2.
3.
4.
– ikinci tangensin tənliyi.

Qeyd. Şagirdlər k 1 k 2 = – 1 perpendikulyar xətlərin əmsallarının nisbətini bilsələr, tangensin bucaq əmsalını daha asan tapmaq olar.

2. Funksiyaların qrafiklərinə bütün ümumi tangenslərin tənliklərini yazın

Həll. Tapşırıq ümumi tangenslərin toxunan nöqtələrinin absisini tapmaq, yəni 1-ci əsas məsələni ümumi formada həll etmək, tənliklər sistemini tərtib etmək və sonra onu həll etməkdən ibarətdir (şək. 6).

1. y = x 2 + x + 1 funksiyasının qrafikində yerləşən toxunan nöqtənin absisi a olsun.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Funksiyanın qrafikində uzanan toxunan nöqtənin absisi c olsun
2.
3. f "(c) = c.
4.

Tangenslər ümumi olduğundan

Beləliklə, y = x + 1 və y = – 3x – 3 ümumi tangenslərdir.

Nəzərdən keçirilən tapşırıqların əsas məqsədi müəyyən tədqiqat bacarıqları (təhlil etmək, müqayisə etmək, ümumiləşdirmək, fərziyyə irəli sürmək bacarığı və s.) tələb edən daha mürəkkəb problemlərin həlli zamanı tələbələri əsas problemin növünü müstəqil tanımağa hazırlamaqdır. Bu cür tapşırıqlara əsas tapşırığın tərkib hissəsi kimi daxil olduğu istənilən tapşırıq daxildir. Nümunə olaraq onun tangens ailəsindən funksiyanın tapılması məsələsini (1-ci məsələyə tərs) nəzərdən keçirək.

3. y = x və y = – 2x xətləri nə üçün b və c y = x 2 + bx + c funksiyasının qrafikinə tangensdir?

Həll.

y = x 2 + bx + c parabolası ilə y = x düz xəttinin toxunma nöqtəsinin absisi t olsun; p y = x 2 + bx + c parabolası ilə y = – 2x düz xəttinin toxunma nöqtəsinin absisidir. Onda y = x tangens tənliyi y = (2t + b)x + c – t 2, y = – 2x tangens tənliyi y = (2p + b)x + c – p 2 şəklini alacaq. .

Tənliklər sistemini tərtib edək və həll edək

Cavab:

Müstəqil həll ediləcək problemlər

1. Qrafikin y = x + 3 xətti ilə kəsişmə nöqtələrində y = 2x 2 – 4x + 3 funksiyasının qrafikinə çəkilmiş tangenslərin tənliklərini yazın.

Cavab: y = – 4x + 3, y = 6x – 9.5.

2. X 0 = 1 absis olan qrafikin nöqtəsində y = x 2 – ax funksiyasının qrafikinə çəkilmiş tangens a-nın hansı qiymətləri üçün M(2; 3) nöqtəsindən keçir?

Cavab: a = 0,5.

3. y = px – 5 düz xətti p-nin hansı qiymətləri üçün y = 3x 2 – 4x – 2 əyrisinə toxunur?

Cavab: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. y = 3x – x 3 funksiyasının qrafikinin bütün ortaq nöqtələrini və bu qrafikə P(0; 16) nöqtəsi vasitəsilə çəkilmiş tangensi tapın.

Cavab: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. y = x 2 + 6x + 10 parabolası ilə düz xətt arasındakı ən qısa məsafəni tapın.

Cavab:

6. y = x 2 – x + 1 əyrisində qrafikə toxunan y – 3x + 1 = 0 düz xəttinə paralel olan nöqtəni tapın.

Cavab: M(2; 3).

7. y = x 2 + 2x – | funksiyasının qrafikinə toxunan tənliyini yazın. 4x |, ona iki nöqtədə toxunur. Rəsm çəkin.

Cavab: y = 2x – 4.

8. y = 2x – 1 xəttinin y = x 4 + 3x 2 + 2x əyrisini kəsmədiyini sübut edin. Onların ən yaxın nöqtələri arasındakı məsafəni tapın.

Cavab:

9. y = x 2 parabolasında x 1 = 1, x 2 = 3 absislərlə iki nöqtə götürülür. Bu nöqtələrdən sekant çəkilir. Parabolanın hansı nöqtəsində ona toxunan sekanta paralel olacaq? Sekant və tangens tənliklərini yazın.

Cavab: y = 4x – 3 – sekant tənliyi; y = 4x – 4 – tangens tənliyi.

10. q bucağını tapın 0 və 1 absisləri olan nöqtələrdə çəkilmiş y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 funksiyasının qrafikinin tangensləri arasında.

Cavab: q = 45°.

11. Hansı nöqtələrdə funksiyanın qrafikinə toxunan Ox oxu ilə 135° bucaq əmələ gətirir?

Cavab: A(0; – 1), B(4; 3).

12. A(1; 8) nöqtəsində əyriyə tangens çəkilir. Koordinat oxları arasındakı tangens seqmentinin uzunluğunu tapın.

Cavab:

13. y = x 2 – x + 1 və y = 2x 2 – x + 0,5 funksiyalarının qrafiklərinə bütün ümumi toxunanların tənliyini yazın.

Cavab: y = – 3x və y = x.

14. Funksiyanın qrafikinə toxunan nöqtələr arasındakı məsafəni tapın x oxuna paralel.

Cavab:

15. y = x 2 + 2x – 8 parabolunun x oxunu hansı bucaqlarda kəsdiyini müəyyən edin.

Cavab: q 1 = arktan 6, q 2 = arktan (– 6).

16. Funksiya qrafiki bütün nöqtələri tapın, hər birinin bu qrafa olan tangensi koordinatların müsbət yarımoxlarını kəsir və onlardan bərabər seqmentləri kəsir.

Cavab: A(– 3; 11).

17. y = 2x + 7 xətti və y = x 2 – 1 parabolası M və N nöqtələrində kəsişir. M və N nöqtələrində parabolaya toxunan xətlərin kəsişməsinin K nöqtəsini tapın.

Cavab: K(1; – 9).

18. y = 9x + b xətti b-nin hansı qiymətləri üçün y = x 3 – 3x + 15 funksiyasının qrafikinə tangensdir?

Cavab: – 1; 31.

19. y = kx – 10 düz xətti k-nin hansı qiymətləri üçün yalnız birə malikdir ortaq nöqtə y = 2x 2 + 3x – 2 funksiyasının qrafiki ilə? Tapılmış k qiymətləri üçün nöqtənin koordinatlarını təyin edin.

Cavab: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. X 0 = 2 absis olduğu nöqtədə y = bx 3 – 2x 2 – 4 funksiyasının qrafikinə çəkilmiş tangens b-nin hansı qiymətləri üçün M(1; 8) nöqtəsindən keçir?

Cavab: b = – 3.

21. Təpəsi Ox oxunda olan parabola B nöqtəsində A(1; 2) və B(2; 4) nöqtələrindən keçən xəttə toxunur. Parabolanın tənliyini tapın.

Cavab:

22. y = x 2 + kx + 1 parabola k əmsalının hansı qiymətində Ox oxuna toxunur?

Cavab: k = d 2.

23. y = x + 2 düz xətti ilə y = 2x 2 + 4x – 3 əyrisi arasındakı bucaqları tapın.

29. Ox oxunun müsbət istiqaməti 45° olan funksiyanın qrafikinə toxunanlarla generatorlar arasındakı məsafəni tapın.

Cavab:

30. y = 4x – 1 xəttinə toxunan y = x 2 + ax + b formalı bütün parabolaların təpələrinin yerini tapın.

Cavab: düz xətt y = 4x + 3.

Ədəbiyyat

1. Zvaviç L.İ., Şlyapochnik L.Ya., Çinkina M.V. Cəbr və təhlilin başlanğıcı: məktəblilər və universitetlərə daxil olanlar üçün 3600 problem. – M., Bustard, 1999.
2. Mordkoviç A. Gənc müəllimlər üçün dördüncü seminar. Mövzu: Törəmə proqramlar. – M., “Riyaziyyat”, No 21/94.
3. Zehni hərəkətlərin tədricən mənimsənilməsi nəzəriyyəsi əsasında bilik və bacarıqların formalaşdırılması.

Məqalədə təriflərin ətraflı izahı, qrafik qeydlərlə törəmənin həndəsi mənası verilmişdir. Təzə xəttin tənliyi nümunələrlə nəzərdən keçiriləcək, 2-ci dərəcəli əyrilərə toxunan tənliklər tapılacaqdır.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Tərif 1

y = k x + b düz xəttinin meyl bucağı x oxunun müsbət istiqamətindən müsbət istiqamətdə y = k x + b düz xəttinə qədər ölçülən bucaq α adlanır.

Şəkildə x istiqaməti yaşıl ox və yaşıl qövslə, meyl bucağı isə qırmızı qövslə göstərilir. Mavi xətt düz xəttə aiddir.

Tərif 2

y = k x + b düz xəttinin mailliyi k ədədi əmsalı adlanır.

Bucaq əmsalı düz xəttin tangensinə bərabərdir, başqa sözlə k = t g α.

Düz xəttin meyl bucağı 0-a bərabərdir ki, o, x-ə yaxın paralel, mailliyi isə sıfıra bərabər olsun, çünki sıfırın tangensi 0-a bərabərdir. Bu o deməkdir ki, tənliyin forması y = b olacaqdır.
y = k x + b düz xəttinin maillik bucağı kəskin olarsa, 0 şərtləri yerinə yetirilir.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 və qrafikdə artım var.
Əgər α = π 2 olarsa, onda xəttin yeri x-ə perpendikulyardır. Bərabərlik c dəyərinin həqiqi ədəd olması ilə x = c ilə müəyyən edilir.
y = k x + b düz xəttinin maillik bucağı kütdürsə, π 2 şərtlərinə uyğundur.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает mənfi dəyər, və qrafik azalır.

Tərif 3

Sekant f (x) funksiyasının 2 nöqtəsindən keçən xəttdir. Başqa sözlə desək, sekant verilmiş funksiyanın qrafikinin istənilən iki nöqtəsindən keçən düz xəttdir.

Şəkil göstərir ki, A B sekant, f (x) isə qara əyri, α qırmızı qövsdür, sekantın meyl bucağını göstərir.

Düz xəttin bucaq əmsalı maillik bucağının tangensinə bərabər olduqda aydın olur ki, A B C düzbucaqlı üçbucağın tangensini qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbəti ilə tapmaq olar.

Tərif 4

Formanın sekantını tapmaq üçün bir düstur alırıq:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, burada A və B nöqtələrinin absisləri x A, x B və f (x A), f (x) qiymətləridir. B) bu nöqtələrdəki qiymət funksiyalarıdır.

Aydındır ki, sekantın bucaq əmsalı k = f (x B) - f (x A) x B - x A və ya k = f (x A) - f (x B) x A - x B bərabərliyindən istifadə etməklə müəyyən edilir. , və tənlik y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) kimi yazılmalıdır və ya
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekant qrafiki vizual olaraq 3 hissəyə bölür: A nöqtəsinin soluna, A-dan B-yə, B-nin sağına. Aşağıdakı şəkildən üç sekantın üst-üstə düşdüyü göstərilir, yəni onlar bir-birinə uyğun olaraq təyin olunur. oxşar tənlik.

Tərifə görə, bu vəziyyətdə düz xətt və onun sekantının üst-üstə düşdüyü aydındır.

Sekant verilmiş funksiyanın qrafikini dəfələrlə kəsə bilər. Əgər sekant üçün y = 0 formalı tənlik varsa, onda sinusoidlə kəsişmə nöqtələrinin sayı sonsuzdur.

Tərif 5

x 0 nöqtəsində f (x) funksiyasının qrafikinə tangens; f (x 0) verilmiş x 0 nöqtəsindən keçən düz xəttdir; f (x 0), x 0-a yaxın bir çox x dəyəri olan bir seqmentin olması ilə.

Misal 1

Aşağıdakı nümunəyə daha yaxından nəzər salaq. Onda aydın olur ki, y = x + 1 funksiyası ilə təyin olunan xətt (1; 2) koordinatları olan nöqtədə y = 2 x-ə tangens sayılır. Aydınlıq üçün (1; 2) dəyərinə yaxın olan qrafikləri nəzərdən keçirmək lazımdır. y = 2 x funksiyası qara rəngdə göstərilmişdir, mavi xətt toxunan xətt, qırmızı nöqtə isə kəsişmə nöqtəsidir.

Aydındır ki, y = 2 x y = x + 1 xətti ilə birləşir.

Tangensi müəyyən etmək üçün B nöqtəsinin A nöqtəsinə sonsuz yaxınlaşması zamanı A B tangensinin davranışını nəzərə almalıyıq.

Mavi xətt ilə göstərilən A B sekantı tangensin özünün mövqeyinə meyl edir və α sekantasının meyl bucağı tangensin özünün meyl bucağına meyl etməyə başlayacaq α x.

Tərif 6

A nöqtəsində y = f (x) funksiyasının qrafikinə toxunan B sekantasının A B-nin məhdudlaşdırıcı mövqeyi hesab olunur, çünki B A-ya, yəni B → A.

İndi isə funksiyanın nöqtədəki törəməsinin həndəsi mənasını nəzərdən keçirməyə davam edək.

Gəlin f (x) funksiyası üçün A B sekantını nəzərdən keçirək, burada A və B koordinatları x 0, f (x 0) və x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) və ∆ x-dir. arqumentin artımı kimi qeyd olunur. İndi funksiya ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) formasını alacaq. Aydınlıq üçün bir rəsm nümunəsi verək.

Nəticədə yaranan düzbucaqlı A B C üçbucağını nəzərdən keçirək. Həll etmək üçün tangensin tərifindən istifadə edirik, yəni ∆ y ∆ x = t g α münasibətini alırıq. Tangensin tərifindən belə çıxır ki, lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Nöqtədə törəmə qaydasına əsasən, x 0 nöqtəsində f (x) törəməsi funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddi adlanır, burada ∆ x → 0 olur. , onda biz onu f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x kimi işarə edirik.

Buradan belə nəticə çıxır ki, f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, burada k x tangensin mailliyi kimi qeyd olunur.

Yəni tapırıq ki, f ' (x) x 0 nöqtəsində mövcud ola bilər və x 0-a bərabər toxunma nöqtəsində funksiyanın verilmiş qrafikinə toxunan kimi, f 0 (x 0), burada dəyəri nöqtədəki tangensin mailliyi x 0 nöqtəsindəki törəməyə bərabərdir. Sonra əldə edirik ki, k x = f " (x 0) .

Bir nöqtədə funksiyanın törəməsinin həndəsi mənası ondan ibarətdir ki, o, eyni nöqtədə qrafikə toxunan varlıq anlayışını verir.

Müstəvidə hər hansı düz xəttin tənliyini yazmaq üçün onun keçdiyi nöqtə ilə bucaq əmsalı olmalıdır. Onun qeydi kəsişmə nöqtəsində x 0 olaraq qəbul edilir.

x 0, f 0 (x 0) nöqtəsində y = f (x) funksiyasının qrafikinə toxunan tənlik y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) formasını alır.

Nə nəzərdə tutulur son dəyər f "(x 0) törəməsi ilə tangensin mövqeyini, yəni lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ və lim x → x 0 - 0 f " (x) şərti ilə şaquli olaraq təyin edə bilərsiniz. = ∞ və ya lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) şərti üçün ümumiyyətlə yoxluq.

Tangensin yeri onun bucaq əmsalının k x = f "(x 0) qiymətindən asılıdır. o x oxuna paralel olduqda, k k = 0, təxminən y - k x = ∞ ilə paralel olduqda və formasını alırıq. x = x 0 tangens tənliyi k x > 0 ilə artır, k x kimi azalır< 0 .

Misal 2

Koordinatları (1; 3) olan nöqtədə y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 funksiyasının qrafikinə toxunan üçün tənlik tərtib edin və maillik bucağını təyin edin.

Həll

Şərtə görə, funksiyanın bütün real ədədlər üçün müəyyən edilməsini əldə edirik. Biz tapırıq ki, (1; 3) şərti ilə müəyyən edilmiş koordinatları olan nöqtə toxunma nöqtəsidir, onda x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Dəyəri - 1 olan nöqtədə törəməni tapmaq lazımdır. Bunu anlayırıq

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Tangens nöqtəsində f' (x) nin qiyməti yamacın tangensinə bərabər olan tangensin mailliyidir.

Onda k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Buradan belə nəticə çıxır ki, α x = a r c t g 3 3 = π 6

Cavab: tangens tənliyi formasını alır

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Aydınlıq üçün qrafik təsvirdə bir nümunə veririk.

Orijinal funksiyanın qrafiki üçün qara rəng istifadə olunur, mavi– tangensin təsviri, qırmızı nöqtə – toxunma nöqtəsi. Sağdakı rəqəm böyüdülmüş görünüşü göstərir.

Misal 3

Verilmiş funksiyanın qrafikinə tangensin mövcudluğunu müəyyən edin
y = 3 · x - 1 5 + 1 koordinatları olan nöqtədə (1 ; 1) . Tənlik yazın və meyl bucağını təyin edin.

Həll

Şərtə görə, verilmiş funksiyanın tərif sahəsinin bütün həqiqi ədədlərin çoxluğu hesab edilməsini əldə edirik.

Gəlin törəmənin tapılmasına keçək

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Əgər x 0 = 1 olarsa, f' (x) qeyri-müəyyəndir, lakin limitlər lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 kimi yazılır. · 1 + 0 = + ∞ və lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , yəni (1; 1) nöqtəsində mövcud şaquli tangens.

Cavab: tənlik x = 1 formasını alacaq, burada meyl bucağı π 2-yə bərabər olacaqdır.

Aydınlıq üçün onu qrafik şəkildə təsvir edək.

Misal 4

y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 funksiyasının qrafikində nöqtələri tapın, burada

Tangens yoxdur;
Tangens x-ə paraleldir;
Tangens y = 8 5 x + 4 xəttinə paraleldir.

Həll

Tərifin əhatə dairəsinə diqqət yetirmək lazımdır. Şərtə görə, funksiyanın bütün həqiqi ədədlər çoxluğunda müəyyən edilməsini əldə edirik. Modulu genişləndiririk və sistemi x ∈ - ∞ intervalları ilə həll edirik; 2 və [- 2; + ∞) . Bunu anlayırıq

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Funksiyanı fərqləndirmək lazımdır. Bizdə bu var

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

x = − 2 olduqda, törəmə mövcud deyil, çünki o nöqtədə birtərəfli limitlər bərabər deyil:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Biz x = - 2 nöqtəsində funksiyanın qiymətini hesablayırıq, onu alırıq

y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, yəni nöqtədəki tangens ( - 2; - 2) mövcud olmayacaq.
Yamac sıfır olduqda tangens x-ə paraleldir. Onda k x = t g α x = f "(x 0). Yəni funksiyanın törəməsi onu sıfıra çevirdikdə belə x-in qiymətlərini tapmaq lazımdır. Yəni f ' qiymətləri. (x) tangensin x-ə paralel olduğu toxunma nöqtələri olacaqdır.

x ∈ - ∞ olduqda; - 2, onda - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, x ∈ (- 2; + ∞) üçün isə 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 alırıq.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Müvafiq funksiya dəyərlərini hesablayın

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Beləliklə - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 funksiya qrafikinin tələb olunan nöqtələri hesab olunur.

Həllin qrafik təsvirinə baxaq.

Qara xətt funksiyanın qrafikidir, qırmızı nöqtələr toxunma nöqtələridir.

Xətlər paralel olduqda bucaq əmsalları bərabər olur. Sonra funksiya qrafikində yamacın 8 5 dəyərinə bərabər olacağı nöqtələri axtarmaq lazımdır. Bunun üçün y "(x) = 8 5 formasının tənliyini həll etməlisiniz. Onda x ∈ - ∞; - 2 olarsa, onu alarıq ki, - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 və x ∈ ( - 2 ; + ∞) olarsa, 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 olar.

Birinci tənliyin kökü yoxdur, çünki diskriminant sıfırdan kiçikdir. Bunu yazaq

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Başqa bir tənliyin iki həqiqi kökü var

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Gəlin funksiyanın qiymətlərini tapmağa davam edək. Bunu anlayırıq

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Dəyərləri olan xallar - 1; 4 15, 5; 8 3 tangenslərin y = 8 5 x + 4 xəttinə paralel olduğu nöqtələrdir.

Cavab: qara xətt – funksiyanın qrafiki, qırmızı xətt – y = 8 5 x + 4 qrafiki, mavi xətt – nöqtələrdəki tangenslər - 1; 4 15, 5; 8 3.

Verilmiş funksiyalar üçün sonsuz sayda tangens ola bilər.

Misal 5

y = - 2 x + 1 2 düz xəttinə perpendikulyar olan y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 funksiyasının bütün mövcud tangenslərinin tənliklərini yazın.

Həll

Tangens tənliyini tərtib etmək üçün xətlərin perpendikulyarlıq şərti əsasında toxunan nöqtənin əmsalını və koordinatlarını tapmaq lazımdır. Tərif belədir: düz xətlərə perpendikulyar olan bucaq əmsallarının hasili - 1-ə bərabərdir, yəni k x · k ⊥ = - 1 kimi yazılır. Şərtdən əldə edirik ki, bucaq əmsalı xəttə perpendikulyar yerləşir və k ⊥ = - 2-yə bərabərdir, onda k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 olur.

İndi toxunma nöqtələrinin koordinatlarını tapmaq lazımdır. Verilmiş funksiya üçün x və sonra onun dəyərini tapmaq lazımdır. Qeyd edək ki, törəmənin nöqtədəki həndəsi mənasından
x 0 alırıq ki, k x = y "(x 0). Bu bərabərlikdən təmas nöqtələri üçün x-in qiymətlərini tapırıq.

Bunu anlayırıq

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Bu triqonometrik tənlik tangens nöqtələrinin ordinatlarını hesablamaq üçün istifadə olunacaq.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk və ya 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk və ya 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk və ya x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z tam ədədlər toplusudur.

x təmas nöqtəsi tapıldı. İndi y dəyərlərini axtarmağa davam etməlisiniz:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 və ya y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 və ya y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 və ya y 0 = - 4 5 + 1 3

Buradan alırıq ki, 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 toxunma nöqtələridir.

Cavab: lazımi tənliklər kimi yazılacaq

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Vizual təsvir üçün koordinat xəttində funksiya və tangensi nəzərdən keçirin.

Şəkildən görünür ki, funksiya [ - 10 ; 10 ], burada qara xətt funksiyanın qrafiki, mavi xətlər y = - 2 x + 1 2 formasının verilmiş xəttinə perpendikulyar yerləşən tangenslərdir. Qırmızı nöqtələr toxunma nöqtələridir.

2-ci dərəcəli əyrilərin kanonik tənlikləri tək qiymətli funksiyalar deyil. Onlar üçün tangens tənlikləri məlum sxemlərə əsasən tərtib edilir.

Bir dairəyə toxunan

Mərkəzi x c e n t e r nöqtəsində olan çevrəni təyin etmək; y c e n t e r və radius R, x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 düsturunu tətbiq edin.

Bu bərabərlik iki funksiyanın birliyi kimi yazıla bilər:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Şəkildə göstərildiyi kimi birinci funksiya yuxarıda, ikincisi isə aşağıda yerləşir.

x 0 nöqtəsində çevrənin tənliyini tərtib etmək; y 0 , yuxarı və ya aşağı yarımdairədə yerləşir, y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r və ya y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + formalı funksiyanın qrafikinin tənliyini tapmalısınız. göstərilən nöqtədə y c e n t e r.

x c e n t e r nöqtələrində olduqda; y c e n t e r + R və x c e n t e r ; y c e n t e r - R tangensləri y = y c e n t e r + R və y = y c e n t e r - R tənlikləri ilə və x c e n t e r + R nöqtələrində verilə bilər; y c e n t e r və
x c e n t e r - R ; y c e n t e r o y ilə paralel olacaq, onda x = x c e n t e r + R və x = x c e n t e r - R formalı tənlikləri alırıq.

Ellipsə toxunan

Ellipsin x c e n t e r nöqtəsində mərkəzi olduqda; a və b yarımoxları olan y c e n t e r, onda x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 tənliyindən istifadə etməklə dəqiqləşdirmək olar.

Ellips və dairə iki funksiyanı, yəni yuxarı və aşağı yarımellipsi birləşdirərək işarələnə bilər. Sonra bunu anlayırıq

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Əgər tangenslər ellipsin təpələrində yerləşirsə, onda onlar təxminən x və ya təxminən y paraleldirlər. Aşağıda, aydınlıq üçün rəqəmi nəzərdən keçirin.

Misal 6

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 ellipsə toxunan tənliyi x-in x = 2-yə bərabər olan nöqtələrində yazın.

Həll

x = 2 dəyərinə uyğun gələn toxunan nöqtələri tapmaq lazımdır. Ellipsin mövcud tənliyini əvəz edirik və tapırıq

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Sonra 2; 5 3 2 + 5 və 2; - 5 3 2 + 5 yuxarı və aşağı yarımellipsə aid toxunan nöqtələrdir.

Gəlin y-ə görə ellipsin tənliyini tapıb həll etməyə keçək. Bunu anlayırıq

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Aydındır ki, yuxarı yarımellips y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, aşağı yarım ellips isə y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 formasının funksiyasından istifadə etməklə müəyyən edilir.

Bir nöqtədə funksiyanın qrafikinə toxunan üçün tənlik yaratmaq üçün standart alqoritm tətbiq edək. Yazaq ki, 2-ci nöqtədə birinci tangens üçün tənlik; 5 3 2 + 5 kimi görünəcək

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Tapırıq ki, ikinci tangensin tənliyi nöqtədə bir qiymətdir
2 ; - 5 3 2 + 5 şəklini alır

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x) - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Qrafik olaraq, tangenslər aşağıdakı kimi təyin olunur:

Hiperbolaya toxunan

Hiperbolanın mərkəzi x c e n t e r-də olduqda; y c e n t e r və təpələri x c e n t e r + α ; y c e n t e r və x c e n t e r - α ; y c e n t e r , x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 bərabərsizliyi baş verir, əgər təpələri x c e n t e r ilə olarsa; y c e n t e r + b və x c e n t e r ; y c e n t e r - b , onda x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 bərabərsizliyindən istifadə edilməklə müəyyən edilir.

Hiperbola formanın iki birləşmiş funksiyası kimi təqdim edilə bilər

y = b a · (x - x ch c - x c) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x ch c - x c e n t e r · və ya y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

Birinci halda bizdə var ki, tangenslər y-ə, ikincidə isə x-ə paraleldir.

Buradan belə çıxır ki, hiperbolaya toxunan tənlik tənliyini tapmaq üçün toxunma nöqtəsinin hansı funksiyaya aid olduğunu öyrənmək lazımdır. Bunu müəyyən etmək üçün tənliklərə əvəz etmək və şəxsiyyəti yoxlamaq lazımdır.

Misal 7

7-ci nöqtədə x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 hiperbolanın tangensi üçün tənlik yazın; - 3 3 - 3.

Həll

2 funksiyadan istifadə edərək hiperbolanı tapmaq üçün həll qeydini çevirmək lazımdır. Bunu anlayırıq

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 və y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Koordinatları 7 olan verilmiş nöqtənin hansı funksiyaya aid olduğunu müəyyən etmək lazımdır; - 3 3 - 3.

Aydındır ki, birinci funksiyanı yoxlamaq üçün y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 lazımdır, onda nöqtə qrafikə aid deyil, çünki bərabərlik təmin olunmur.

İkinci funksiya üçün bizdə y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, yəni nöqtə verilmiş qrafikə aiddir. Buradan yamacı tapmalısınız.

Bunu anlayırıq

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Cavab: tangens tənliyi kimi təqdim edilə bilər

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Bu aydın şəkildə təsvir edilmişdir:

Parabolaya toxunan

x 0, y (x 0) nöqtəsində y = a x 2 + b x + c paraboluna tangens üçün tənlik yaratmaq üçün standart alqoritmdən istifadə etməlisiniz, onda tənlik y = y "(x) formasını alacaq. 0) x - x 0 + y ( x 0) təpəsindəki belə bir tangens x-ə paraleldir.

Siz x = a y 2 + b y + c parabolasını iki funksiyanın birliyi kimi təyin etməlisiniz. Buna görə də y üçün tənliyi həll etməliyik. Bunu anlayırıq

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Bunu qrafik olaraq belə təsvir edək:

x 0, y (x 0) nöqtəsinin funksiyaya aid olub-olmadığını öyrənmək üçün standart alqoritmə uyğun olaraq yumşaq hərəkət edin. Belə bir tangens parabolaya nisbətən o y ilə paralel olacaqdır.

Misal 8

Tangens bucağımız 150 ° olduqda x - 2 y 2 - 5 y + 3 qrafikinə toxunan tənliyini yazın.

Həll

Həllinə parabolanı iki funksiya kimi təqdim etməklə başlayırıq. Bunu anlayırıq

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Yamacın qiyməti bu funksiyanın x 0 nöqtəsindəki törəmənin dəyərinə bərabərdir və meyl bucağının tangensinə bərabərdir.

Biz əldə edirik:

k x = y " (x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Buradan təmas nöqtələri üçün x dəyərini təyin edirik.

Birinci funksiya kimi yazılacaq

y" = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Aydındır ki, heç bir real kök yoxdur, çünki biz mənfi dəyər alırıq. Belə bir funksiya üçün 150° bucağı olan tangens olmadığı qənaətinə gəlirik.

İkinci funksiya kimi yazılacaq

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Bizdə var ki, əlaqə nöqtələri 23 4; - 5 + 3 4 .

Cavab: tangens tənliyi formasını alır

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Bunu qrafik olaraq bu şəkildə təsvir edək: