Arcsine (y = arcsin x)
je inverzní funkce sinus (x = hříšný -1 ≤ x ≤ 1 a množina hodnot -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x
arcsin(sin x) = x
Arcsine je někdy označován následovně:
.
Graf funkce arcsinus
Graf funkce y = arcsin x
Arkussinusový graf se získá ze sinusového grafu, pokud jsou prohozeny osy úsečky a pořadnice. Pro odstranění nejednoznačnosti je rozsah hodnot omezen na interval, ve kterém je funkce monotónní. Tato definice se nazývá hlavní hodnota arcsinus.
Arccosine, arccos
Arc cosinus (y = arccos x)
je inverzní funkce kosinus (x = cos y). Má to rozsah -1 ≤ x ≤ 1 a mnoho významů 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x
Arccosine je někdy označován takto:
.
Graf funkce arc cosinus
Graf funkce y = arccos x
Obloukový kosinusový graf se získá z kosinusového grafu, pokud jsou prohozeny osy úsečky a pořadnice. Pro odstranění nejednoznačnosti je rozsah hodnot omezen na interval, ve kterém je funkce monotónní. Tato definice se nazývá hlavní hodnota arc cosinus.
Parita
Funkce arcsinus je lichá:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x
Funkce arc cosinus není sudá ani lichá:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x
Vlastnosti - extrémy, zvýšení, snížení
Funkce arcsinus a arckosinus jsou spojité ve své oblasti definice (viz důkaz spojitosti). Hlavní vlastnosti arcsinu a arckosinu jsou uvedeny v tabulce.
| y = arcsin x | y = arccos x | |
| Rozsah a kontinuita | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Rozsah hodnot | ||
| Stoupající klesající | monotónně narůstá | monotónně klesá |
| Highs | ||
| Minima | ||
| Nuly, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Průsečík bodů se souřadnicovou osou, x = 0 | y = 0 | y = π/ 2 |
Tabulka arcsinus a arckosinů
Tato tabulka uvádí hodnoty arcsinus a arckosinů ve stupních a radiánech pro určité hodnoty argumentu.
| X | arcsin x | arccos x | ||
| kroupy | rád. | kroupy | rád. | |
| - 1 | - 90° | - | 180° | π |
| - | - 60° | - | 150° | |
| - | - 45° | - | 135° | |
| - | - 30° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Vzorce
Součtové a rozdílové vzorce
na nebo
v a
v a
na nebo
v a
v a
na
na
na
na
Výrazy pomocí logaritmů, komplexní čísla
Výrazy prostřednictvím hyperbolických funkcí
Deriváty
;
.
Viz Odvození arcsinu a derivátů arkkosinu > > >
Deriváty vyššího řádu:
,
kde je polynom stupně . Určuje se podle vzorců:
;
;
.
Viz Odvození derivací vyšších řádů arcsinusu a arkkosinu > > >
Integrály
Provedeme substituci x = hřích t. Integrujeme po částech, přičemž bereme v úvahu, že -π/ 2 ≤ t ≤ π/2,
cos t ≥ 0:
.
Vyjádřeme arkus cosinus přes arkus sinus:
.
Rozšíření řady
Když |x|< 1
probíhá následující rozklad:
;
.
Inverzní funkce
Převrácené hodnoty arkussinu a arkosinu jsou sinus a kosinus.
Následující vzorce jsou platné v celé oblasti definice:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Následující vzorce jsou platné pouze pro sadu hodnot arcsinus a arckosinus:
arcsin(sin x) = x na
arccos(cos x) = x na .
Reference:
V. Bronstein, K.A. Semendyaev, Příručka matematiky pro inženýry a vysokoškolské studenty, „Lan“, 2009.
Co je arcsinus, arckosin? Co je arkustangens, arkustangens?
Pozornost!
Existují další
materiály ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří jsou velmi "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc…“)
Ke konceptům arcsinus, arkkosinus, arktangens, arkkotangens Studentská populace je ostražitá. Nerozumí těmto termínům, a proto této milé rodině nedůvěřuje.) Ale marně. To jsou velmi jednoduché koncepty. Což mimochodem znalému člověku při řešení goniometrických rovnic nesmírně usnadňuje život!
Pochybnosti o jednoduchosti? Marně.) Právě tady a teď tohle uvidíš.
Samozřejmě pro pochopení by bylo fajn vědět, co je sinus, kosinus, tangens a kotangens. Ano, jejich tabulkové hodnoty pro některé úhly... Alespoň v nejobecnějších podmínkách. Pak ani zde nebudou žádné problémy.
Takže jsme překvapeni, ale pamatujte: arkussinus, arkussinus, arkustangens a arkotangens jsou jen některé úhly. Nic víc, nic míň. Je tam úhel, řekněme 30°. A je tu roh arcsin0.4. Nebo arctg(-1,3). Existují všechny druhy úhlů.) Úhly můžete jednoduše zapsat různými způsoby. Úhel můžete zapsat ve stupních nebo radiánech. Nebo můžete - přes jeho sinus, kosinus, tangens a kotangens...
Co znamená výraz
arcsin 0,4?
Jedná se o úhel, jehož sinus je 0,4! Ano ano. To je význam arcsinus. Budu konkrétně opakovat: arcsin 0,4 je úhel, jehož sinus se rovná 0,4.
To je vše.
Abyste si tuto jednoduchou myšlenku udrželi v hlavě po dlouhou dobu, uvedu dokonce rozpis tohoto hrozného termínu - arcsine:
oblouk hřích 0,4
roh, jehož sinus rovná 0,4
Jak se píše, tak se slyší.) Skoro. Řídicí panel oblouk prostředek oblouk(slovo oblouk víš?), protože starověcí lidé používali místo úhlů oblouky, ale to nic nemění na podstatě věci. Pamatujte na toto základní dekódování matematického pojmu! Navíc pro arkkosinus, arkustangens a arkotangens se dekódování liší pouze v názvu funkce.
Co je arccos 0,8?
Toto je úhel, jehož kosinus je 0,8.
Co je arctg(-1,3)?
Jedná se o úhel, jehož tečna je -1,3.
Co je arcctg 12?
Toto je úhel, jehož kotangens je 12.
Takové elementární dekódování mimochodem umožňuje vyhnout se epickým chybám.) Například výraz arccos1,8 vypadá docela solidně. Začněme dekódovat: arccos1,8 je úhel, jehož kosinus je roven 1,8... Skok-skok!? 1.8!? Kosinus nemůže být větší než jedna!!!
Že jo. Výraz arccos1,8 nedává smysl. A napsat takový výraz do nějaké odpovědi inspektora velmi pobaví.)
Elementární, jak vidíte.) Každý úhel má svůj vlastní osobní sinus a kosinus. A téměř každý má svou tečnu a kotangens. Proto, když známe goniometrickou funkci, můžeme zapsat samotný úhel. K tomu jsou určeny arkussiny, arkosiny, arkustangenty a arkotangensy. Od této chvíle budu celou tuto rodinu nazývat zdrobnělinami - oblouky. Chcete-li méně psát.)
Pozornost! Elementární verbální a při vědomí dešifrování oblouků vám umožní klidně a sebevědomě řešit různé úkoly. A dovnitř neobvyklý Jen ona ukládá úkoly.
Je možné přepnout z oblouků na běžné stupně nebo radiány?- Slyšel jsem opatrnou otázku.)
Proč ne!? Snadno. Můžete jít tam a zpět. Navíc se to někdy musí udělat. Oblouky jsou jednoduchá věc, ale bez nich je to nějak klidnější, že?)
Například: co je arcsin 0,5?
Připomeňme si dekódování: arcsin 0,5 je úhel, jehož sinus je 0,5. Nyní zapněte hlavu (nebo Google) a zapamatujte si, který úhel má sinus 0,5? Sinus je roven 0,5 y úhel 30 stupňů. A je to: arcsin 0,5 je úhel 30°. Můžete klidně napsat:
arcsin 0,5 = 30°
Nebo formálněji, pokud jde o radiány:
To je vše, na arkussinus můžete zapomenout a pokračovat v práci s obvyklými stupni nebo radiány.
Pokud jste si uvědomili co je arkussinus, arkkosinus... Co je arkustangens, arkotangens... Snadno si poradíte třeba s takovým monstrem.)
Neznalý člověk zděšeně ucukne, to ano...) Ale informovaný člověk zapamatujte si dekódování: arcsinus je úhel, jehož sinus... A tak dále. Pokud znalý člověk zná i tabulku sinus... Tabulku kosinus. Tabulka tečen a kotangens, pak nejsou vůbec žádné problémy!
Stačí si uvědomit, že:
Já to rozluštím, tzn. Dovolte mi přeložit vzorec do slov: úhel, jehož tečna je 1 (arctg1)- to je úhel 45°. Nebo, což je totéž, Pi/4. Rovněž:
a je to... Všechny oblouky nahradíme hodnotami v radiánech, vše se zredukuje, zbývá jen spočítat, kolik je 1+1. Bude to 2.) Což je správná odpověď.
Takto můžete (a měli byste) přejít z arcsinus, arckosinů, arktangens a arkkotangens k obyčejným stupňům a radiánům. To značně zjednodušuje odstrašující příklady!
V takových příkladech jsou často uvnitř oblouky negativní významy. Jako arctg(-1.3), nebo například arccos(-0.8)... To není problém. Zde jsou jednoduché vzorce pro přechod ze záporných na kladné hodnoty:
Řekněme, že potřebujete určit hodnotu výrazu:
To lze vyřešit pomocí trigonometrické kružnice, ale nechcete ji kreslit. Dobře. Přesouváme se z negativní hodnoty uvnitř arc cosinus k pozitivní podle druhého vzorce:
Uvnitř arc cosinus vpravo už je pozitivní význam. Co
prostě musíte vědět. Zbývá pouze dosadit místo arkuskosinus radiány a vypočítat odpověď:
To je vše.
Omezení pro arkussinus, arkosinus, arkustangens, arkotangens.
Je problém s příklady 7 - 9? No ano, je tam nějaký trik.)
Všechny tyto příklady, od 1 do 9, jsou pečlivě analyzovány v oddíle 555. Co, jak a proč. Se všemi tajnými pastmi a triky. Plus způsoby, jak dramaticky zjednodušit řešení. Mimochodem, tato část obsahuje mnoho užitečných informací a praktických tipů o trigonometrii obecně. A to nejen v trigonometrii. Hodně pomáhá.
Pokud se vám tato stránka líbí...
Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)
Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Pojďme se učit - se zájmem!)
Můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.
Funkce sin, cos, tg a ctg jsou vždy doprovázeny arkussinus, arkussinus, arkustangens a arkotangens. Jedna je důsledkem druhé a dvojice funkcí jsou pro práci s goniometrickými výrazy stejně důležité.
Zvažte výkres jednotkového kruhu, který graficky zobrazuje hodnoty goniometrických funkcí.
Pokud spočítáme oblouky OA, arcos OC, arctg DE a arcctg MK, pak se všechny budou rovnat hodnotě úhlu α. Níže uvedené vzorce odrážejí vztah mezi základními goniometrickými funkcemi a jejich odpovídajícími oblouky.
Abychom porozuměli více vlastnostem arcsinusu, je nutné zvážit jeho funkci. Plán má tvar asymetrické křivky procházející středem souřadnic.
Vlastnosti arcsinu:
Pokud porovnáme grafy hřích A arcsin, dvě goniometrické funkce mohou mít společné vzory.
oblouk kosinus
Arccos čísla je hodnota úhlu α, jehož kosinus je roven a.
Křivka y = arcos x zrcadlí arcsin x graf, jen s tím rozdílem, že prochází bodem π/2 na ose OY.
Podívejme se na funkci arc cosinus podrobněji:
- Funkce je definována na intervalu [-1; 1].
- ODZ pro arccos - .
- Graf je celý umístěn v první a druhé čtvrtině a samotná funkce není ani sudá, ani lichá.
- Y = 0 při x = 1.
- Křivka se po celé délce zmenšuje. Některé vlastnosti arc cosinus se shodují s funkcí kosinus.
Některé vlastnosti arc cosinus se shodují s funkcí kosinus.
Možná bude školákům připadat takové „podrobné“ studium „oblouků“ zbytečné. V opačném případě však některé základní standardní zkouškové úkoly mohou studenty zavést do slepé uličky.
Cvičení 1. Označte funkce zobrazené na obrázku.
Odpovědět: rýže. 1 – 4, obr. 2 – 1.
V tomto příkladu je kladen důraz na maličkosti. Studenti jsou obvykle velmi nepozorní ke konstrukci grafů a vzhledu funkcí. Proč si pamatovat typ křivky, když ji lze vždy vykreslit pomocí vypočítaných bodů. Nezapomeňte, že za testovacích podmínek bude čas strávený kreslením jednoduché úlohy vyžadovat řešení složitějších úloh.
Arktangens
Arctgčísla a jsou hodnotami úhlu α tak, že jeho tečna je rovna a.
Pokud vezmeme v úvahu graf arctangens, můžeme zvýraznit následující vlastnosti:
- Graf je nekonečný a definovaný na intervalu (- ∞; + ∞).
- Arktangens je lichá funkce, proto arctan (- x) = - arctan x.
- Y = 0 při x = 0.
- Křivka se zvětšuje v celé oblasti definice.
Uveďme stručnou srovnávací analýzu tg x a arctg x ve formě tabulky.
Arckotangens
Arcctg čísla - nabývá hodnoty α z intervalu (0; π) takovou, že jeho kotangens je roven a.
Vlastnosti funkce arkotangens:
- Interval definice funkce je nekonečno.
- Rozsah přijatelných hodnot je interval (0; π).
- F(x) není sudá ani lichá.
- Po celé její délce se graf funkce zmenšuje.
Porovnat ctg x a arctg x je velmi jednoduché, stačí udělat dva nákresy a popsat chování křivek.
Úkol 2. Porovnejte graf a formu zápisu funkce.
Pokud uvažujeme logicky, je z grafů zřejmé, že obě funkce rostou. Proto obě postavy vykazují určitou arktanovou funkci. Z vlastností arkustangens je známo, že y=0 v x=0,
Odpovědět: rýže. 1 - 1, Obr. 2 – 4.
Trigonometrické identity arcsin, arcos, arctg a arcctg
Dříve jsme již identifikovali vztah mezi oblouky a základními funkcemi trigonometrie. Tato závislost může být vyjádřena řadou vzorců, které umožňují vyjádřit například sinus argumentu prostřednictvím jeho arcsinus, arckosinus nebo naopak. Znalost takových identit může být užitečná při řešení konkrétních příkladů.
Existují také vztahy pro arctg a arcctg:
Další užitečná dvojice vzorců nastavuje hodnotu pro součet arcsin a arcos, stejně jako arcctg a arcctg stejného úhlu.
Příklady řešení problémů
Úlohy trigonometrie lze rozdělit do čtyř skupin: vypočítat číselnou hodnotu konkrétního výrazu, sestrojit graf dané funkce, najít její definiční doménu nebo ODZ a provést analytické transformace k vyřešení příkladu.
Při řešení prvního typu problému musíte dodržovat následující akční plán:
Při práci s funkčními grafy jde především o znalost jejich vlastností a vzhledu křivky. Řešení goniometrických rovnic a nerovnic vyžaduje identifikační tabulky. Čím více vzorců si student zapamatuje, tím snáze najde odpověď na úkol.
Řekněme, že v Unified State Examination potřebujete najít odpověď na rovnici, jako je:
Pokud výraz správně transformujete a dovedete do požadované podoby, pak je jeho řešení velmi jednoduché a rychlé. Nejprve přesuneme arcsin x na pravou stranu rovnosti.
Pokud si pamatujete vzorec arcsin (sin α) = α, pak můžeme omezit hledání odpovědí na řešení soustavy dvou rovnic:
Omezení na modelu x vzniklo opět z vlastností arcsin: ODZ pro x [-1; 1]. Když a ≠0, součástí systému je kvadratická rovnice s kořeny x1 = 1 a x2 = - 1/a. Když a = 0, x se bude rovnat 1.
Již dříve v programu studenti získali představu o řešení goniometrických rovnic, seznámili se s pojmy arkus cosinus a arcus sinus a příklady řešení rovnic cos t = a a sin t = a. V tomto video tutoriálu se podíváme na řešení rovnic tg x = a a ctg x = a.
Chcete-li začít studovat toto téma, zvažte rovnice tg x = 3 a tg x = - 3. Pokud rovnici tg x = 3 vyřešíme pomocí grafu, uvidíme, že průnik grafů funkcí y = tg x a y = 3 má nekonečný počet řešení, kde x = x 1 + πk. Hodnota x 1 je souřadnice x průsečíku grafů funkcí y = tan x a y = 3. Autor zavádí pojem arctangens: arctan 3 je číslo, jehož tan se rovná 3, a toto číslo patří do intervalu od -π/2 do π/2. Pomocí konceptu arctangens lze řešení rovnice tan x = 3 zapsat jako x = arctan 3 + πk.
Analogicky je řešena rovnice tg x = - 3. Ze sestrojených grafů funkcí y = tg x a y = - 3 je zřejmé, že průsečíky grafů a tedy i řešení rovnic budou být x = x 2 + πk. Pomocí arkustangens lze řešení zapsat jako x = arctan (- 3) + πk. Na dalším obrázku vidíme, že arctg (- 3) = - arctg 3.
Obecná definice arkustangensu je následující: arkustangens a je číslo z intervalu od -π/2 do π/2, jehož tangens je roven a. Pak řešení rovnice tan x = a je x = arctan a + πk.
Autor uvádí příklad 1. Najděte řešení výrazu arktan Zaveďme zápis: arkustangens čísla je roven x, pak tg x bude rovno danému číslu, kde x patří úsečce od -π /2 až π/2. Stejně jako v příkladech v předchozích tématech použijeme tabulku hodnot. Podle této tabulky tangens tohoto čísla odpovídá hodnotě x = π/3. Zapišme řešení rovnice: arkustangens daného čísla je roven π/3, π/3 také patří do intervalu od -π/2 do π/2.
Příklad 2 - vypočítejte arkustangens záporného čísla. Pomocí rovnosti arctg (- a) = - arctg a zadáme hodnotu x. Podobně jako v příkladu 2 zapíšeme hodnotu x, která náleží segmentu od -π/2 do π/2. Z tabulky hodnot zjistíme, že x = π/3, tedy -- tg x = - π/3. Odpověď na rovnici je - π/3.
Uvažujme příklad 3. Řešte rovnici tg x = 1. Napište, že x = arctan 1 + πk. V tabulce hodnota tg 1 odpovídá hodnotě x = π/4, tedy arctg 1 = π/4. Dosadíme tuto hodnotu do původního vzorce x a napíšeme odpověď x = π/4 + πk.
Příklad 4: vypočítejte tan x = - 4,1. V tomto případě x = arctan (- 4,1) + πk. Protože Hodnotu arctg v tomto případě nelze zjistit, odpověď bude vypadat jako x = arctg (- 4,1) + πk.
V příkladu 5 je uvažováno řešení nerovnosti tg x > 1. Pro jeho vyřešení sestrojíme grafy funkcí y = tan x a y = 1. Jak je vidět na obrázku, tyto grafy se protínají v bodech x = π/4 + πk. Protože v tomto případě tg x > 1, na grafu zvýrazníme oblast tangens, která se nachází nad grafem y = 1, kde x patří do intervalu od π/4 do π/2. Odpověď zapíšeme jako π/4 + πk< x < π/2 + πk.
Dále zvažte rovnici cot x = a. Obrázek ukazuje grafy funkcí y = cot x, y = a, y = - a, které mají mnoho průsečíků. Řešení lze zapsat jako x = x 1 + πk, kde x 1 = arcctg a a x = x 2 + πk, kde x 2 = arcctg (- a). Je třeba poznamenat, že x2 = π-x1. Z toho vyplývá rovnost arcctg (- a) = π - arcctg a. Následuje definice obloukového kotangens: obloukový kotangens a je číslo z intervalu od 0 do π, jehož kotangens je roven a. Řešení rovnice сtg x = a je zapsáno jako: x = arcctg a + πk.
Na konci videolekce je učiněn další důležitý závěr - výraz ctg x = a lze zapsat jako tg x = 1/a za předpokladu, že a není rovno nule.
DEKODOVÁNÍ TEXTU:
Uvažujme řešení rovnic tg x = 3 a tg x = - 3. Grafickým řešením první rovnice vidíme, že grafy funkcí y = tg x a y = 3 mají nekonečně mnoho průsečíků, jejichž úsečky zapisujeme ve formě
x = x 1 + πk, kde x 1 je úsečka průsečíku přímky y = 3 s hlavní větví tečny (obr. 1), pro kterou bylo vymyšleno označení
arctan 3 (arkus tangens tří).
Jak rozumět arctg 3?
Jedná se o číslo, jehož tečna je 3 a toto číslo patří do intervalu (- ;). Potom lze všechny kořeny rovnice tg x = 3 zapsat vzorcem x = arctan 3+πk.
Podobně lze řešení rovnice tg x = - 3 zapsat ve tvaru x = x 2 + πk, kde x 2 je úsečka průsečíku přímky y = - 3 s hlavní větví přímky. tangentoid (obr. 1), pro nějž je označení arctg(- 3) (arkus tangens minus tři). Potom lze všechny kořeny rovnice zapsat vzorcem: x = arctan(-3)+ πk. Obrázek ukazuje, že arctg(- 3)= - arctg 3.
Zformulujme definici arkustangens. Arkustangens a je číslo z intervalu (-;), jehož tangens je roven a.
Často se používá rovnost: arctg(-a) = -arctg a, která platí pro libovolné a.
Když známe definici arkustangens, můžeme učinit obecný závěr o řešení rovnice
tg x= a: rovnice tg x = a má řešení x = arctan a + πk.
Podívejme se na příklady.
PŘÍKLAD 1. Vypočítejte arctan.
Řešení. Nechť arctg = x, pak tgх = a xϵ (- ;). Zobrazit tabulku hodnot Proto, x =, protože tg = a ϵ (- ;).
Takže, arctan =.
PŘÍKLAD 2. Vypočítejte arctan (-).
Řešení. Pomocí rovnosti arctg(- a) = - arctg a zapíšeme:
arctg(-) = - arctg . Nechť - arctg = x, pak - tgх = a xϵ (- ;). Proto x =, protože tg = a ϵ (- ;). Zobrazit tabulku hodnot
To znamená - arctg=- tgх= - .
PŘÍKLAD 3. Řešte rovnici tgх = 1.
1. Zapište vzorec řešení: x = arctan 1 + πk.
2. Najděte hodnotu arkustangens
protože tg = . Zobrazit tabulku hodnot
Takže arctan1= .
3. Nalezenou hodnotu vložte do vzorce řešení:
PŘÍKLAD 4. Řešte rovnici tgх = - 4.1 (tečna x je rovna mínus čtyřem bodům jedna).
Řešení. Zapišme vzorec řešení: x = arctan (- 4,1) + πk.
Hodnotu arkustangens spočítat neumíme, takže řešení rovnice ponecháme v jejím získaném tvaru.
PŘÍKLAD 5. Vyřešte nerovnost tgх 1.
Řešení. Vyřešíme to graficky.
- Vytvořme tečnu
y = tgx a přímka y = 1 (obr. 2). Protínají se v bodech jako x = + πk.
2. Zvolme interval osy x, ve kterém se hlavní větev tečny nachází nad přímkou y = 1, protože podle podmínky tgх 1. Jedná se o interval (;).
3. Používáme periodicitu funkce.
Vlastnost 2. y=tg x je periodická funkce s hlavní periodou π.
Vezmeme-li v úvahu periodicitu funkce y = tgх, zapíšeme odpověď:
(;). Odpověď lze napsat jako dvojitou nerovnost:
Přejděme k rovnici ctg x = a. Uveďme grafické znázornění řešení rovnice pro kladné a záporné a (obr. 3).
Grafy funkcí y = ctg x a y = a a také
y=ctg x a y=-a
mají nekonečně mnoho společných bodů, jejichž úsečky vypadají takto:
x = x 1 +, kde x 1 je úsečka průsečíku přímky y = a s hlavní větví tečny a
x 1 = arcctg a;
x = x 2 +, kde x 2 je úsečka průsečíku přímky
y = - a s hlavní větví tečny a x 2 = arcсtg (- a).
Všimněte si, že x 2 = π - x 1. Zapišme si tedy důležitou rovnost:
arcсtg (-a) = π - arcсtg а.
Zformulujme definici: oblouk kotangens a je číslo z intervalu (0;π), jehož kotangens je roven a.
Řešení rovnice ctg x = a se zapisuje ve tvaru: x = arcctg a + .
Upozorňujeme, že rovnici ctg x = a lze převést do tvaru
tg x =, kromě případů, kdy a = 0.
Tento článek je o zjištění hodnot arkussinus, arkosinus, arkustangens a arkotangens dané číslo. Nejprve si ujasníme, co se nazývá význam arcsinus, arkkosinus, arkustangens a arkotangens. Dále získáme hlavní hodnoty těchto obloukových funkcí, načež pochopíme, jak se pomocí tabulek sinů, kosinů, tečen a Bradis nalézají hodnoty arkus sinus, arkus kosinus, arkus tangens a arkotagent. kotangens. Nakonec si promluvme o nalezení arkussinusu čísla, když je znám arkussinus, arkustangens nebo arkustangens tohoto čísla atd.
Navigace na stránce.
Hodnoty arcsinus, arkkosinus, arkustangens a arkotangens
V první řadě stojí za to zjistit, co to vlastně „toto“ je. význam arcsinus, arkkosinus, arkustangens a arkotangens».
Bradisovy tabulky sinus a kosinus, stejně jako tečen a kotangens, vám umožní najít hodnotu arkussinus, arkussinus, arkustangens a arkotangens kladného čísla ve stupních s přesností na jednu minutu. Zde stojí za zmínku, že hledání hodnot arcsinus, arckosinus, arctangens a arckotangens záporných čísel lze redukovat na nalezení hodnot odpovídajících arcfunkcí kladných čísel pomocí vzorců arcsin, arccos, arctg a arcctg opačných čísel ve tvaru arcsin(−a)=−arcsin a, arccos (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a a arcctg(−a)=π−arcctg a .
Pojďme zjistit, jak najít hodnoty arcsinus, arckosinus, arctangens a arckotangens pomocí tabulek Bradis. Uděláme to na příkladech.
Potřebujeme najít arcsine hodnotu 0,2857. Tuto hodnotu najdeme v tabulce sinusů (případy, kdy tato hodnota v tabulce není, budou diskutovány níže). Odpovídá sinus 16 stupňů 36 minut. Proto požadovaná hodnota arkussinus čísla 0,2857 je úhel 16 stupňů 36 minut.
Často je nutné počítat s opravami ze tří sloupců vpravo v tabulce. Pokud například potřebujeme najít arkussinus 0,2863. Podle tabulky sinů se tato hodnota získá jako 0,2857 plus korekce 0,0006, to znamená, že hodnota 0,2863 odpovídá sinusu 16 stupňů 38 minut (16 stupňů 36 minut plus 2 minuty korekce).
Pokud číslo, jehož arcsinus nás zajímá, není v tabulce a nelze jej získat ani s přihlédnutím k opravám, pak v tabulce musíme najít dvě hodnoty sinů, které jsou mu nejblíže, mezi nimiž je toto číslo uzavřeno. Například hledáme hodnotu arkussinus 0,2861573. Toto číslo není v tabulce a toto číslo nelze získat ani pomocí pozměňovacích návrhů. Poté najdeme dvě nejbližší hodnoty 0,2860 a 0,2863, mezi kterými je uzavřeno původní číslo; tato čísla odpovídají sinusům 16 stupňů 37 minut a 16 stupňů 38 minut. Mezi nimi leží požadovaná hodnota arcsinus 0,2861573, to znamená, že kteroukoli z těchto hodnot úhlu lze brát jako přibližnou hodnotu arcsinus s přesností na 1 minutu.
Hodnoty arkus cosinus, hodnoty arkus tangens a hodnoty arkus kotangens se nalézají naprosto stejným způsobem (v tomto případě se samozřejmě používají tabulky kosinus, tangens a kotangens).
Zjištění hodnoty arcsin pomocí arccos, arctg, arcctg atd.
Řekněme například, že arcsin a=−π/12, a potřebujeme najít hodnotu arccos a. Vypočítáme hodnotu arkus cosinus, kterou potřebujeme: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12.
Mnohem zajímavější situace je, když pomocí známé hodnoty arkussinus nebo arkuskosinus čísla a potřebujete najít hodnotu arkustangens nebo arkustangens tohoto čísla a nebo naopak. Bohužel neznáme vzorce, které taková spojení definují. Jak být? Pojďme to pochopit na příkladu.
Řekněme, že arkuskosinus čísla a je roven π/10 a potřebujeme vypočítat arkustangens tohoto čísla a. Problém můžete vyřešit následovně: pomocí známé hodnoty arkuskosinu najděte číslo a a poté najděte arkus tangens tohoto čísla. K tomu potřebujeme nejprve tabulku cosinus a poté tabulku tečen.
Úhel π/10 radiánů je úhel 18 stupňů, z tabulky cosinus zjistíme, že kosinus 18 stupňů je přibližně roven 0,9511, pak číslo a v našem příkladu je 0,9511.
Zbývá se obrátit na tabulku tečen as její pomocí najít hodnotu arkustangens, kterou potřebujeme 0,9511, což je přibližně 43 stupňů 34 minut.
Na toto téma logicky navazuje materiál v článku. vyhodnocení hodnot výrazů obsahujících arcsin, arccos, arctg a arcctg.
Bibliografie.
- Algebra: Učebnice pro 9. třídu. prům. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 s.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
- Bašmakov M.I. Algebra a počátky analýzy: Učebnice. pro 10-11 tříd. prům. škola - 3. vyd. - M.: Vzdělávání, 1993. - 351 s.: nemoc. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra a začátek analýzy: Proc. pro 10-11 tříd. obecné vzdělání instituce / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a další; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. vyd. - M.: Vzdělávání, 2004. - 384 s.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
- I. V. Bojkov, L. D. Romanová. Sbírka úloh pro přípravu na Jednotnou státní zkoušku, část 1, Penza 2003.
- Bradis V.M.Čtyřmístné matematické tabulky: Pro všeobecné vzdělávání. učebnice provozoven. - 2. vyd. - M.: Drop, 1999.- 96 s.: ill. ISBN 5-7107-2667-2
