Průsečík dvou přímek online. Do čáry se protínají: průsečík segmentů v rovině

Pro řešení geometrického problému pomocí souřadnicové metody je potřeba průsečík, jehož souřadnice jsou použity při řešení. Nastává situace, kdy potřebujete hledat souřadnice průsečíku dvou přímek v rovině nebo určit souřadnice stejných čar v prostoru. Tento článek se zabývá případy hledání souřadnic bodů, kde se dané čáry protínají.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Je nutné definovat průsečíky dvou přímek.

Část o vzájemné poloze čar v rovině ukazuje, že se mohou shodovat, být rovnoběžné, protínat se v jednom společném bodě nebo se protínat. Dvě přímky v prostoru se nazývají protínající se, pokud mají jeden společný bod.

Definice průsečíku čar zní takto:

Definice 1

Bod, ve kterém se dvě přímky protínají, se nazývá jejich průsečík. Jinými slovy, bod protínajících se čar je bodem průsečíku.

Podívejme se na obrázek níže.

Před nalezením souřadnic průsečíku dvou přímek je nutné zvážit níže uvedený příklad.

Pokud má rovina souřadnicový systém O x y, jsou zadány dvě přímky aab. Přímka a odpovídá obecné rovnici tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, pro přímku b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Pak M 0 (x 0 , y 0) je určitý bod roviny, je třeba určit, zda bod M 0 bude průsečíkem těchto přímek.

Pro vyřešení problému je nutné dodržet definici. Potom se přímky musí protnout v bodě, jehož souřadnice jsou řešením daných rovnic A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. To znamená, že souřadnice průsečíku jsou dosazeny do všech daných rovnic. Pokud po substituci dají správnou identitu, pak se za jejich průsečík považuje M 0 (x 0 , y 0).

Příklad 1

Jsou dány dvě protínající se čáry 5 x - 2 y - 16 = 0 a 2 x - 5 y - 19 = 0. Bude bod M 0 se souřadnicemi (2, - 3) průsečíkem.

Řešení

Aby byl průsečík přímek platný, je nutné, aby souřadnice bodu M 0 vyhovovaly rovnicím přímek. To lze zkontrolovat jejich nahrazením. Chápeme to

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Obě rovnosti jsou pravdivé, což znamená, že M 0 (2, - 3) je průsečíkem daných čar.

Znázorněme toto řešení na souřadnicové čáře na obrázku níže.

Odpověď: daný bod se souřadnicemi (2, - 3) bude průsečíkem daných čar.

Příklad 2

Budou se přímky 5 x + 3 y - 1 = 0 a 7 x - 2 y + 11 = 0 protínat v bodě M 0 (2, - 3)?

Řešení

Chcete-li problém vyřešit, musíte do všech rovnic dosadit souřadnice bodu. Chápeme to

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Druhá rovnost neplatí, to znamená, že daný bod nepatří do přímky 7 x - 2 y + 11 = 0. Z toho máme, že bod M 0 není průsečík přímek.

Výkres jasně ukazuje, že M 0 není průsečík čar. Mají společný bod se souřadnicemi (- 1, 2).

Odpověď: bod se souřadnicemi (2, - 3) není průsečíkem daných čar.

Přistoupíme k nalezení souřadnic průsečíků dvou přímek pomocí zadaných rovnic v rovině.

Dvě protínající se přímky aab jsou určeny rovnicemi ve tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, umístěnými v O x y. Při označení průsečíku M 0 zjistíme, že bychom měli pokračovat v hledání souřadnic pomocí rovnic A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Z definice je zřejmé, že M 0 je společný průsečík přímek. V tomto případě musí jeho souřadnice splňovat rovnice A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Jinými slovy, toto je řešení výsledné soustavy A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

To znamená, že pro nalezení souřadnic průsečíku je nutné sečíst všechny rovnice do soustavy a vyřešit ji.

Příklad 3

Jsou dány dvě přímky x - 9 y + 14 = 0 a 5 x - 2 y - 16 = 0 v rovině. je nutné najít jejich průsečík.

Řešení

Údaje o podmínkách rovnice je třeba shromáždit do systému, po kterém dostaneme x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0. Abychom to vyřešili, první rovnice se vyřeší pro x a výraz se dosadí do druhé:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 roky - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Výsledná čísla jsou souřadnice, které bylo potřeba najít.

Odpověď: M 0 (4, 2) je průsečík přímek x - 9 y + 14 = 0 a 5 x - 2 y - 16 = 0.

Hledání souřadnic vede k řešení soustavy lineárních rovnic. Pokud je podmínkou dán jiný typ rovnice, měla by být redukována na normální formu.

Příklad 4

Určete souřadnice průsečíků přímek x - 5 = y - 4 - 3 a x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R.

Řešení

Nejprve je třeba uvést rovnice do obecného tvaru. Pak dostaneme, že x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R je transformováno následovně:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Pak vezmeme rovnici kanonické formy x - 5 = y - 4 - 3 a transformujeme. Chápeme to

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Odtud máme, že souřadnice jsou průsečík

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

K nalezení souřadnic použijeme Cramerovu metodu:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y = 22 22 = 1

Odpověď: M° (- 5, 1).

Existuje také způsob, jak zjistit souřadnice průsečíku čar umístěných v rovině. Platí, když je jedna z přímek dána parametrickými rovnicemi ve tvaru x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ, λ ∈ R . Potom místo hodnoty x dosadíme x = x 1 + a x λ a y = y 1 + a y λ, kde dostaneme λ = λ 0, což odpovídá průsečíku se souřadnicemi x 1 + a x λ 0, y 1 + a y λ 0 .

Příklad 5

Určete souřadnice průsečíku přímky x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R a x - 5 = y - 4 - 3.

Řešení

Je nutné provést substituci v x - 5 = y - 4 - 3 výrazem x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ, pak dostaneme:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Při řešení zjistíme, že λ = -1. Z toho vyplývá, že mezi přímkami x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R a x - 5 = y - 4 - 3 existuje průsečík. Pro výpočet souřadnic je potřeba do parametrické rovnice dosadit výraz λ = - 1. Pak dostaneme, že x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

Odpověď: M° (- 5, 1).

Chcete-li plně porozumět tématu, musíte znát některé nuance.

Nejprve musíte pochopit umístění čar. Když se protnou, zjistíme souřadnice v ostatních případech nebude řešení. Abyste se této kontrole vyhnuli, můžete vytvořit systém ve tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Pokud existuje řešení, dojdeme k závěru, že se přímky protínají. Pokud neexistuje řešení, pak jsou paralelní. Když má systém nekonečný počet řešení, říká se, že se shodují.

Příklad 6

Jsou dány přímky x 3 + y - 4 = 1 a y = 4 3 x - 4. Zjistěte, zda mají společný bod.

Řešení

Zjednodušením daných rovnic získáme 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 a 4 3 x - y - 4 = 0.

Rovnice by měly být shromážděny do systému pro následné řešení:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Z toho vidíme, že rovnice jsou vyjádřeny přes sebe, pak dostaneme nekonečný počet řešení. Potom rovnice x 3 + y - 4 = 1 a y = 4 3 x - 4 definují stejnou přímku. Nejsou zde tedy žádné průsečíky.

Odpověď: dané rovnice definují stejnou přímku.

Příklad 7

Najděte souřadnice bodu protínání přímek 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 a 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Řešení

Podle stavu je to možné, linky se nebudou křížit. Je potřeba vytvořit soustavu rovnic a řešit. K řešení je nutné použít Gaussovu metodu, protože s její pomocí je možné zkontrolovat kompatibilitu rovnice. Dostaneme systém formuláře:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Obdrželi jsme nesprávnou rovnost, což znamená, že systém nemá žádná řešení. Dojdeme k závěru, že čáry jsou rovnoběžné. Nejsou zde žádné průsečíky.

Druhé řešení.

Nejprve musíte určit přítomnost průsečíku čar.

n 1 → = (2, 2 - 3) je normálový vektor přímky 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0, pak vektor n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 je normálový vektor pro přímku 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Je nutné zkontrolovat kolinearitu vektorů n 1 → = (2, 2 - 3) a n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7). Získáme rovnost ve tvaru 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7. Je to správné, protože 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Z toho vyplývá, že vektory jsou kolineární. To znamená, že čáry jsou rovnoběžné a nemají žádné průsečíky.

Odpověď: neexistují žádné průsečíky, čáry jsou rovnoběžné.

Příklad 8

Najděte souřadnice průsečíku daných přímek 2 x - 1 = 0 a y = 5 4 x - 2 .

Řešení

K řešení sestavíme soustavu rovnic. Dostáváme

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Pojďme najít determinant hlavní matice. K tomu platí 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Protože se nerovná nule, má soustava 1 řešení. Z toho vyplývá, že se čáry protínají. Vyřešme systém pro hledání souřadnic průsečíků:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Zjistili jsme, že průsečík daných čar má souřadnice M 0 (1 2, - 11 8).

Odpověď: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Zjištění souřadnic průsečíku dvou přímek v prostoru

Stejně tak se najdou průsečíky přímek v prostoru.

Když jsou v souřadnicové rovině O x y z rovnicemi protínajících se rovin dány přímky a a b, pak existuje přímka a, kterou lze určit pomocí dané soustavy A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 a přímka b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D4 = 0.

Když je bod M 0 průsečíkem přímek, pak jeho souřadnice musí být řešením obou rovnic. Získáme lineární rovnice v systému:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B4y + C4z + D4 = 0

Podívejme se na podobné úlohy na příkladech.

Příklad 9

Najděte souřadnice průsečíku daných přímek x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 a 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Řešení

Složíme soustavu x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 a vyřešíme. Chcete-li najít souřadnice, musíte vyřešit pomocí matice. Pak získáme hlavní matici tvaru A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 a rozšířenou matici T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Určíme Gaussovu hodnost matice.

Chápeme to

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Z toho vyplývá, že hodnost rozšířené matice má hodnotu 3. Pak ze soustavy rovnic x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 vyplývá pouze jedno řešení.

Báze minor má determinant 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , pak poslední rovnice neplatí. Dostaneme, že x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Řešení soustavy x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

To znamená, že průsečík x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 a 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 má souřadnice (1, - 3, 0).

Odpověď: (1 , - 3 , 0) .

Systém tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 má pouze jedno řešení. To znamená, že se přímky a a b protínají.

V ostatních případech rovnice nemá řešení, tedy ani žádné společné body. To znamená, že je nemožné najít bod se souřadnicemi, protože neexistuje.

Proto soustava tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 je řešeno Gaussovou metodou. Pokud je nekompatibilní, čáry se neprotínají. Pokud existuje nekonečný počet řešení, pak se shodují.

Můžete to vyřešit výpočtem hlavní a rozšířené hodnosti matice a poté použít Kronecker-Capelliho teorém. Dostáváme jedno, mnoho nebo žádné řešení.

Příklad 10

Jsou dány rovnice přímek x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 a x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Najděte průsečík.

Řešení

Nejprve si vytvoříme soustavu rovnic. Dostaneme, že x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Řešíme to pomocí Gaussovy metody:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Je zřejmé, že systém nemá žádná řešení, což znamená, že se čáry neprotínají. Neexistuje žádný průsečík.

Odpověď: není tam žádný průsečík.

Pokud jsou přímky zadány pomocí kónických nebo parametrických rovnic, musíte je zredukovat na formu rovnic protínajících se rovin a poté najít souřadnice.

Příklad 11

Jsou dány dvě přímky x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R a x 2 = y - 3 0 = z 5 v O x y z. Najděte průsečík.

Řešení

Přímky definujeme rovnicemi dvou protínajících se rovin. Chápeme to

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Najdeme souřadnice 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0, k tomu vypočteme pořadí matice. Hodnost matice je 3 a menší základ je 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, což znamená, že poslední rovnice musí být ze systému vyloučena. Chápeme to

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Vyřešme systém pomocí Cramerovy metody. Dostaneme, že x = - 2 y = 3 z = - 5. Odtud dostaneme, že průsečík daných čar dává bod se souřadnicemi (- 2, 3, - 5).

Odpověď: (- 2 , 3 , - 5) .

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Ach-och-och-och-och... no, je to těžké, jako by si četl větu sám pro sebe =) Odpočinek však pomůže později, zvlášť když jsem dnes koupil příslušné doplňky. Pokračujme proto k první sekci, doufám, že do konce článku si udržím veselou náladu.

Relativní poloha dvou přímek

To je případ, kdy publikum zpívá ve sboru. Dvě rovné čáry mohou:

1) zápas;

2) být paralelní: ;

3) nebo se protínají v jednom bodě: .

Pomoc pro figuríny : Pamatujte si prosím matematickou značku křižovatky, bude se objevovat velmi často. Zápis znamená, že čára se protíná s čárou v bodě .

Jak určit vzájemnou polohu dvou čar?

Začněme prvním případem:

Dvě čáry se shodují právě tehdy, když jsou jejich odpovídající koeficienty proporcionální, to znamená, že existuje číslo „lambda“ takové, že jsou splněny rovnosti

Uvažujme přímky a z odpovídajících koeficientů vytvořte tři rovnice: . Z každé rovnice vyplývá, že se tedy tyto přímky shodují.

Ve skutečnosti, pokud všechny koeficienty rovnice vynásobte –1 (znaky změny) a všemi koeficienty rovnice snížit o 2, dostanete stejnou rovnici: .

Druhý případ, kdy jsou čáry rovnoběžné:

Dvě přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, když jsou jejich koeficienty proměnných úměrné: , Ale.

Jako příklad uvažujme dvě přímky. Zkontrolujeme proporcionalitu odpovídajících koeficientů pro proměnné:

Je však zcela zřejmé, že.

A třetí případ, kdy se čáry protínají:

Dvě přímky se protínají právě tehdy, když jejich koeficienty proměnných NEJSOU proporcionální, to znamená, že NEEXISTUJE taková hodnota „lambda“, aby byly splněny rovnosti

Pro rovné čáry tedy vytvoříme systém:

Z první rovnice vyplývá, že , a z druhé rovnice: , což znamená systém je nekonzistentní(žádná řešení). Koeficienty proměnných tedy nejsou úměrné.

Závěr: čáry se protínají

V praktických problémech můžete použít právě probírané schéma řešení. Mimochodem, velmi to připomíná algoritmus pro kontrolu kolinearity vektorů, na který jsme se podívali ve třídě Pojem lineární (ne)závislosti vektorů. Základy vektorů. Existuje však civilizovanější balení:

Příklad 1

Zjistit relativní polohařídit:

Řešení na základě studia směrových vektorů přímek:

a) Z rovnic najdeme směrové vektory přímek: .

, což znamená, že vektory nejsou kolineární a čáry se protínají.

Pro každý případ dám na křižovatku kámen se značkami:

Zbytek skočí přes kámen a následuje dál, přímo k Nesmrtelnému Kashchei =)

b) Najděte směrové vektory čar:

Čáry mají stejný směrový vektor, což znamená, že jsou buď rovnoběžné, nebo shodné. Zde není třeba počítat determinant.

Je zřejmé, že koeficienty neznámých jsou úměrné a .

Pojďme zjistit, zda je rovnost pravdivá:

Tedy,

c) Najděte směrové vektory čar:

Vypočítejme determinant tvořený souřadnicemi těchto vektorů:
, proto jsou směrové vektory kolineární. Čáry jsou buď rovnoběžné nebo shodné.

Koeficient proporcionality „lambda“ je snadno vidět přímo z poměru kolineárních směrových vektorů. Lze jej však nalézt také prostřednictvím koeficientů samotných rovnic: .

Nyní pojďme zjistit, zda je rovnost pravdivá. Oba volné termíny jsou nulové, takže:

Výsledná hodnota splňuje tuto rovnici (splňuje ji obecně jakékoli číslo).

Čáry se tedy shodují.

Odpověď:

Velmi brzy se naučíte (nebo dokonce již naučili) řešit probíraný problém verbálně doslova během několika sekund. V tomto ohledu nevidím smysl něco nabízet nezávislé rozhodnutí, je lepší položit další důležitou cihlu do geometrického základu:

Jak sestrojit přímku rovnoběžnou s danou?

Za neznalost tohoto nejjednoduššího úkolu slavík loupežník tvrdě trestá.

Příklad 2

Přímka je dána rovnicí. Napište rovnici pro rovnoběžku, která prochází bodem.

Řešení: Neznámý řádek označme písmenem . Co o ní stav říká? Bodem prochází přímka. A pokud jsou přímky rovnoběžné, pak je zřejmé, že směrový vektor přímky „tse“ je vhodný i pro konstrukci přímky „de“.

Z rovnice vyjmeme směrový vektor:

Odpověď:

Příklad geometrie vypadá jednoduše:

Analytické testování se skládá z následujících kroků:

1) Zkontrolujeme, že přímky mají stejný směrový vektor (pokud rovnice přímky není správně zjednodušena, budou vektory kolineární).

2) Zkontrolujte, zda bod vyhovuje výsledné rovnici.

Ve většině případů lze analytické testování snadno provést ústně. Podívejte se na dvě rovnice a mnozí z vás rychle určí rovnoběžnost čar bez jakéhokoli kreslení.

Příklady nezávislých řešení dnes budou kreativní. Protože stále budete muset soutěžit s Babou Yaga a ona, víte, je milovnicí nejrůznějších hádanek.

Příklad 3

Napište rovnici pro přímku procházející bodem rovnoběžným s přímkou if

Existuje racionální a ne tak racionální způsob, jak to vyřešit. Většina zkratka- na konci lekce.

Trochu jsme pracovali s paralelními liniemi a vrátíme se k nim později. Případ shodných čar je málo zajímavý, proto se podívejme na problém, který je vám velmi známý ze školních osnov:

Jak najít průsečík dvou čar?

Pokud rovnou protínají v bodě , pak jsou řešením jeho souřadnice soustav lineárních rovnic

Jak najít průsečík čar? Vyřešte systém.

Tady to máš geometrický význam soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých- jedná se o dvě protínající se (nejčastěji) přímky v rovině.

Příklad 4

Najděte průsečík čar

Řešení: Existují dva způsoby řešení - grafický a analytický.

Grafická metoda je jednoduše nakreslit dané čáry a zjistit průsečík přímo z výkresu:

Zde je náš bod: . Pro kontrolu byste měli dosadit její souřadnice do každé rovnice přímky; Jinými slovy, souřadnice bodu jsou řešením systému. V podstatě jsme se podívali na grafické řešení soustav lineárních rovnic se dvěma rovnicemi, dvěma neznámými.

Grafická metoda samozřejmě není špatná, ale jsou zde znatelné nevýhody. Ne, nejde o to, že se takto rozhodují sedmáci, jde o to, že vytvoření správné a PŘESNÉ kresby zabere čas. Některé přímky navíc není tak snadné sestrojit a samotný průsečík se může nacházet někde ve třicátém království mimo sešitový list.

Proto je účelnější hledat průsečík analytická metoda. Pojďme vyřešit systém:

K řešení soustavy byla použita metoda sčítání rovnic po členu. Chcete-li rozvíjet příslušné dovednosti, vezměte si lekci Jak vyřešit soustavu rovnic?

Odpověď:

Kontrola je triviální - souřadnice průsečíku musí splňovat každou rovnici soustavy.

Příklad 5

Najděte průsečík čar, pokud se protínají.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Je vhodné rozdělit úkol do několika fází. Analýza stavu naznačuje, že je nutné:
1) Napište rovnici přímky.
2) Zapište rovnici přímky.
3) Zjistěte vzájemnou polohu čar.
4) Pokud se čáry protínají, najděte průsečík.

Vývoj akčního algoritmu je typický pro mnoho geometrických problémů a budu se na to opakovaně zaměřovat.

Úplné řešení a odpověď na konci lekce:

Než jsme se dostali do druhé části lekce, nebyly opotřebované ani boty:

Kolmé čáry. Vzdálenost od bodu k přímce.
Úhel mezi přímkami

Začněme typickým a velmi důležitým úkolem. V první části jsme se naučili, jak postavit přímku rovnoběžnou s touto, a nyní se chýše na kuřecích stehnech otočí o 90 stupňů:

Jak sestrojit přímku kolmou na danou?

Příklad 6

Přímka je dána rovnicí. Napište rovnici kolmou k přímce procházející bodem.

Řešení: Podle podmínek je známo, že . Bylo by hezké najít směrový vektor čáry. Protože jsou čáry kolmé, trik je jednoduchý:

Z rovnice „odstraníme“ normálový vektor: , který bude směrovacím vektorem přímky.

Sestavme rovnici přímky pomocí bodu a směrového vektoru:

Odpověď:

Rozšiřme geometrický náčrt:

Hmmm... Oranžová obloha, oranžové moře, oranžový velbloud.

Analytické ověření řešení:

1) Z rovnic vyjmeme směrové vektory a s pomocí skalární součin vektorů dojdeme k závěru, že přímky jsou skutečně kolmé: .

Mimochodem, můžete použít normální vektory, je to ještě jednodušší.

2) Zkontrolujte, zda bod vyhovuje výsledné rovnici .

Test je opět snadné provést ústně.

Příklad 7

Najděte průsečík kolmých přímek, pokud je rovnice známa a tečka.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. V problému je několik akcí, takže je vhodné formulovat řešení bod po bodu.

Naše vzrušující cesta pokračuje:

Vzdálenost od bodu k řádku

Máme před sebou rovný pruh řeky a naším úkolem je dostat se k němu nejkratší cestou. Nejsou zde žádné překážky a nejoptimálnější trasou bude pohyb po kolmici. To znamená, že vzdálenost od bodu k přímce je délkou kolmého segmentu.

Vzdálenost v geometrii se tradičně označuje řeckým písmenem „rho“, například: – vzdálenost od bodu „em“ k přímce „de“.

Vzdálenost od bodu k řádku vyjádřeno vzorcem

Příklad 8

Najděte vzdálenost od bodu k přímce

Řešení: vše, co musíte udělat, je pečlivě dosadit čísla do vzorce a provést výpočty:

Odpověď:

Udělejme nákres:

Nalezená vzdálenost od bodu k přímce je přesně délkou červeného segmentu. Pokud nakreslíte kresbu na kostkovaný papír v měřítku 1 jednotky. = 1 cm (2 buňky), pak lze vzdálenost měřit běžným pravítkem.

Podívejme se na další úkol založený na stejném výkresu:

Úkolem je najít souřadnice bodu, který je symetrický k bodu vzhledem k přímce . Doporučuji provést kroky sami, ale nastíním algoritmus řešení s mezivýsledky:

1) Najděte přímku, která je k přímce kolmá.

2) Najděte průsečík čar: .

Obě akce jsou podrobně popsány v této lekci.

3) Bod je středem segmentu. Známe souřadnice středu a jednoho z konců. Podle vzorce pro souřadnice středu segmentu najdeme.

Bylo by dobré zkontrolovat, zda je vzdálenost také 2,2 jednotky.

Při výpočtech zde mohou nastat potíže, ale ve věži je velkým pomocníkem mikrokalkulačka, která vám umožní vypočítat běžné zlomky. Mnohokrát jsem vám radil a doporučím znovu.

Jak zjistit vzdálenost mezi dvěma rovnoběžnými čarami?

Příklad 9

Najděte vzdálenost mezi dvěma rovnoběžnými čarami

Toto je další příklad, kdy se můžete rozhodnout sami. Dám vám malou nápovědu: existuje nekonečně mnoho způsobů, jak to vyřešit. Shrnutí na konci lekce, ale je lepší zkusit to uhodnout sami, myslím, že vaše vynalézavost byla dobře vyvinuta.

Úhel mezi dvěma přímkami

Každý roh je zárubní:

V geometrii je úhel mezi dvěma přímkami považován za MENŠÍ úhel, z čehož automaticky vyplývá, že nemůže být tupý. Na obrázku není úhel označený červeným obloukem považován za úhel mezi protínajícími se čarami. A jeho „zelený“ soused resp opačně orientované"malinový" koutek.

Jsou-li čáry kolmé, lze za úhel mezi nimi považovat kterýkoli ze 4 úhlů.

Jak se liší úhly? Orientace. Za prvé je zásadně důležitý směr, kterým se úhel „roluje“. Za druhé, záporně orientovaný úhel se zapíše se znaménkem mínus, například pokud .

Proč jsem ti to řekl? Zdá se, že si vystačíme s obvyklou koncepcí úhlu. Faktem je, že vzorce, podle kterých najdeme úhly, mohou snadno vyústit v negativní výsledek, a to by vás nemělo překvapit. Úhel se znaménkem mínus není o nic horší a má velmi specifický geometrický význam. V případě záporného úhlu na výkresu označte jeho orientaci šipkou (ve směru hodinových ručiček).

Jak zjistit úhel mezi dvěma přímkami? Existují dva pracovní vzorce:

Příklad 10

Najděte úhel mezi čarami

Řešení A Metoda jedna

Uvažujme dvě přímky dané rovnicemi v celkový pohled:

Pokud rovnou ne kolmé, To orientovanýÚhel mezi nimi lze vypočítat pomocí vzorce:

Dávejme dobrý pozor na jmenovatele – přesně ten bodový produkt směrování vektorů přímých čar:

Jestliže , pak se jmenovatel vzorce stane nulou a vektory budou ortogonální a čáry budou kolmé. Proto byla vznesena výhrada k nekolmosti přímek ve formulaci.

Na základě výše uvedeného je vhodné formalizovat řešení ve dvou krocích:

1) Vypočítejme skalární součin směrových vektorů úseček:
, což znamená, že čáry nejsou kolmé.

2) Najděte úhel mezi přímkami pomocí vzorce:

Pomocí inverzní funkce je snadné najít samotný úhel. V tomto případě použijeme lichost arkustangens (viz. Grafy a vlastnosti elementárních funkcí):

Odpověď:

V odpovědi uvedeme přesnou hodnotu a také přibližnou hodnotu (nejlépe ve stupních i radiánech), vypočítanou pomocí kalkulačky.

No, mínus, mínus, nic velkého. Zde je geometrická ilustrace:

Není divu, že se ukázalo, že úhel má negativní orientaci, protože v zadání problému je první číslo přímka a „odšroubování“ úhlu začalo přesně s ním.

Pokud opravdu chcete získat kladný úhel, musíte prohodit řádky, to znamená vzít koeficienty z druhé rovnice a vezměte koeficienty z první rovnice. Stručně řečeno, musíte začít s přímým .

Nechte zadat dvě čáry a musíte najít jejich průsečík. Protože tento bod náleží každé ze dvou daných přímek, musí jeho souřadnice splňovat jak rovnici první přímky, tak rovnice druhé přímky.

Abychom tedy našli souřadnice průsečíku dvou přímek, musíme vyřešit soustavu rovnic

Příklad 1. Najděte průsečík přímek a

Řešení. Souřadnice požadovaného průsečíku najdeme řešením soustavy rovnic

Průsečík M má souřadnice

Ukažme si, jak sestrojit přímku pomocí její rovnice. K sestrojení přímky stačí znát její dva body. Pro konstrukci každého z těchto bodů určíme libovolnou hodnotu pro jednu z jeho souřadnic a z rovnice pak najdeme odpovídající hodnotu pro druhou souřadnici.

Pokud v obecné rovnici přímky nejsou oba koeficienty na aktuálních souřadnicích rovné nule, pak pro konstrukci této přímky je nejlepší najít body jejího průsečíku se souřadnicovými osami.

Příklad 2. Sestrojte přímku.

Řešení. Najdeme průsečík této přímky s osou úsečky. Za tímto účelem vyřešíme jejich rovnice společně:

a dostaneme. Tím byl nalezen bod M (3; 0) průsečíku této přímky s osou úsečky (obr. 40).

Poté společně vyřešte rovnici této přímky a rovnici souřadnicové osy

najdeme průsečík přímky s osou pořadnice. Nakonec sestrojíme přímku z jejích dvou bodů M a

Pokud dvě přímky nejsou rovnoběžné, pak se nevyhnutelně protnou v jednom bodě. Objevit souřadnice body průsečík 2 čar je povolen jak graficky, tak aritmeticky, podle toho, jaká data úloha poskytuje.

budete potřebovat

– dvě rovné čáry na výkrese;
– rovnice 2 přímek.

Instrukce

1. Pokud jsou čáry již na grafu nakresleny, najděte řešení graficky. Chcete-li to provést, pokračujte v obou nebo jedné z čar tak, aby se protínaly. Poté označte průsečík a spusťte z něj kolmici k ose x (jako obvykle, oh).

2. Pomocí značek stupnice vyznačených na ose najděte hodnotu x pro daný bod. Pokud je v kladném směru osy (napravo od nulové značky), bude její hodnota správná, jinak bude záporná.

3. Správně také najděte pořadnici průsečíku. Pokud je průmět bodu umístěn nad nulovou značkou, je správný, pokud je níže, je záporný. Zapište souřadnice bodu ve tvaru (x, y) - to je řešení úlohy.

4. Pokud jsou čáry zadány ve formě vzorců y=khx+b, můžete problém vyřešit také graficky: nakreslete čáry do souřadnicové sítě a najděte řešení pomocí výše popsané metody.

5. Pokuste se najít řešení problému pomocí těchto vzorců. Chcete-li to provést, vytvořte systém z těchto rovnic a vyřešte jej. Jsou-li rovnice dány ve tvaru y=khx+b, jednoduše přirovnejte obě strany s x a objevte x. Potom do jedné z rovnic zapojte hodnotu x a najděte y.

6. Řešení můžete najít pomocí Cramerovy metody. V tomto případě zredukujte rovnice na tvar A1x+B1y+C1=0 a A2x+B2y+C2=0. Podle Cramerova vzorce x=-(C1B2-C2B1)/(A1B2-A2B1) a y=-(A1C2-A2C1)/(A1B2-A2B1). Vezměte prosím na vědomí, že pokud je jmenovatel nula, pak jsou čáry rovnoběžné nebo se shodují, a proto se neprotínají.

7. Pokud dostanete čáry v prostoru v kanonické podobě, než začnete hledat řešení, zkontrolujte, zda jsou čáry rovnoběžné. Chcete-li to provést, vyhodnoťte exponenty před t, pokud jsou úměrné, řekněme x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t a x=-1+6t, y=-1+4t, z =-5 +2t, pak jsou čáry rovnoběžné. Navíc se mohou čáry protínat, v takovém případě systém nebude mít řešení.

8. Pokud zjistíte, že se čáry protínají, najděte bod jejich průsečíku. Nejprve srovnejte proměnné z různých řádků a podmíněně nahraďte t za u pro první řádek a za v pro 2. řádek. Řekněme, že pokud dostanete řádky x=t-1, y=2t+1, z=t+2 a x=t+1, y=t+1, z=2t+8, dostanete výrazy jako u-1 =v +1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. Vyjádřete u z jedné rovnice, dosaďte ji do jiné a najděte v (v této úloze u=-2,v=-4). Nyní, abyste našli průsečík, dosaďte získané hodnoty místo t (nezáleží na tom, do první nebo druhé rovnice) a získejte souřadnice bodu x=-3, y=-3, z =0.

Zvažovat 2 protínající se řídit Stačí je uvažovat v rovině, protože dvě protínající se přímky leží ve stejné rovině. Znát rovnice těchto řídit, je možné zjistit souřadnici jejich bodu křižovatky .

budete potřebovat

rovnice přímek

Instrukce

1. V kartézských souřadnicích vypadá obecná rovnice přímky takto: Ax+By+C = 0. Nechť se dvě přímky protnou. Rovnice prvního řádku je Ax+By+C = 0, 2. řádku je Dx+Ey+F = 0. Všechny indikátory (A, B, C, D, E, F) musí být specifikovány bod křižovatky tyto řídit je nutné vyřešit soustavu těchto 2 lineárních rovnic.

2. Pro řešení je vhodné vynásobit první rovnici E a druhou B. Ve výsledku budou rovnice vypadat takto: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. Po odečtení druhé rovnice z první, dostanete: (AE- DB)x = FB-CE. Proto x = (FB-CE)/(AE-DB) Analogicky první rovnice počáteční systém Můžete vynásobit D, druhý A, pak znovu odečíst druhý od prvního. V důsledku toho y = (CD-FA)/(AE-DB) Výsledné hodnoty x a y budou souřadnicemi bodu křižovatky řídit .

3. Rovnice řídit lze také zapsat přes úhlový index k, rovný tečně úhlu sklonu přímky. V tomto případě má rovnice přímky tvar y = kx+b. Nechť nyní rovnice prvního řádku je y = k1*x+b1 a rovnice 2. řádku je y = k2*x+b2.

4. Pokud srovnáme pravé strany těchto 2 rovnic, dostaneme: k1*x+b1 = k2*x+b2. Odtud je snadné získat, že x = (b1-b2)/(k2-k1). Po dosazení této hodnoty x do kterékoli z rovnic vyjde: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). Hodnoty x a y určují souřadnice bodu křižovatky řídit.Pokud jsou dvě přímky rovnoběžné nebo shodné, pak nemají univerzální body nebo mají nesmírně velký počet univerzálních bodů. V těchto případech k1 = k2, jmenovatelé souřadnic bodů křižovatky zanikne, soustava tedy nebude mít klasické řešení Soustava může mít pouze jedno klasické řešení, což je nepodmíněné, protože dvě divergentní a nerovnoběžné přímky mohou mít pouze jeden bod. křižovatky .

Video k tématu

S tímto online kalkulačka můžete najít průsečík čar v rovině. Dáno detailní řešení s vysvětlivkami. Pro zjištění souřadnic průsečíku přímek nastavte typ rovnice přímek ("kanonická", "parametrická" nebo "obecná"), do buněk zadejte koeficienty rovnic přímek a klikněte na tlačítko "Vyřešit" tlačítko ". Viz teoretická část a numerické příklady níže.

Varování

Vymazat všechny buňky?

Zavřít Vymazat

Pokyny pro zadávání dat.Čísla se zadávají jako celá čísla (příklady: 487, 5, -7623 atd.), desetinná místa (např. 67., 102,54 atd.) nebo zlomky. Zlomek musí být zadán ve tvaru a/b, kde aab (b>0) jsou celá čísla nebo desetinná místa. Příklady 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 atd.

Průsečík přímek na rovině - teorie, příklady a řešení

1. Průsečík přímek v obecném tvaru.

Oxy L 1 a L 2:

Vytvořme rozšířenou matici:

Li B" 2 = 0 a S" 2 =0, pak má soustava lineárních rovnic mnoho řešení. Proto rovně L 1 a L 2 zápas. Li B" 2 = 0 a S" 2 ≠0, pak je systém nekonzistentní, a proto jsou přímky rovnoběžné a nemají společný bod. Li B" 2 ≠0, pak má systém lineárních rovnic jedinečné řešení. Z druhé rovnice zjistíme y: y=S" 2 /B" 2 a dosazením výsledné hodnoty do první rovnice, kterou najdeme x: x=−S 1 −B 1 y. Dostali jsme průsečík čar L 1 a L 2: M(x, y).