V tomto článku se podíváme na akci násobení desetinných míst. Začněme uvedením obecných zásad, pak si ukážeme, jak násobit jeden desetinný zlomek druhým, a uvažujme o metodě násobení sloupcem. Všechny definice budou ilustrovány příklady. Poté se podíváme na to, jak správně násobit desetinné zlomky běžnými, smíšenými a přirozenými čísly (včetně 100, 10 atd.)
V tomto materiálu se dotkneme pouze pravidel pro násobení kladných zlomků. Případy se zápornými čísly jsou řešeny samostatně v článcích o násobení racionálních a reálných čísel.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pojďme formulovat obecné zásady, kterým je nutné se řídit při řešení úloh o násobení desetinných zlomků.
Nejprve si připomeňme, že desetinné zlomky nejsou nic jiného než speciální tvar záznamy obyčejných zlomků, proto lze proces jejich násobení zredukovat na podobný pro obyčejné zlomky. Toto pravidlo funguje pro konečné i nekonečné zlomky: po jejich převodu na obyčejné zlomky je snadné s nimi násobit podle pravidel, která jsme se již naučili.
Podívejme se, jak se takové problémy řeší.
Příklad 1
Vypočítejte součin 1,5 a 0,75.
Řešení: Nejprve nahraďme desetinné zlomky obyčejnými. Víme, že 0,75 je 75/100 a 1,5 je 15/10. Zlomek můžeme zmenšit a vybrat celou část. Výsledný výsledek 125 1000 zapíšeme jako 1, 125.
Odpověď: 1 , 125 .
Můžeme použít metodu počítání sloupců, stejně jako u přirozených čísel.
Příklad 2
Vynásobte jeden periodický zlomek 0, (3) dalším 2, (36).
Nejprve zredukujme původní zlomky na obyčejné. Dostaneme:
0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11
Proto 0, (3) · 2, (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33.
Výsledný společný zlomek lze převést na desítkovou formu rozdělením čitatele jmenovatelem do sloupce:
Odpověď: 0, (3) · 2, (36) = 0, (78) .
Pokud máme v zadání úlohy nekonečné neperiodické zlomky, musíme provést jejich předběžné zaokrouhlení (pokud jste zapomněli, jak na to, viz článek o zaokrouhlování čísel). Poté můžete provést akci násobení s již zaokrouhlenými desetinnými zlomky. Uveďme příklad.
Příklad 3
Vypočítejte součin 5, 382... a 0, 2.
Řešení
V našem problému máme nekonečný zlomek, který je třeba nejprve zaokrouhlit na setiny. Ukazuje se, že 5,382... ≈ 5,38. Nemá smysl zaokrouhlovat druhý faktor na setiny. Nyní můžete vypočítat požadovaný produkt a zapsat odpověď: 5,38 0,2 = 538 100 2 10 = 1 076 1000 = 1,076.
Odpověď: 5,382…·0,2 ≈ 1,076.
Metodu počítání sloupců lze použít nejen pro přirozená čísla. Pokud máme desetinná místa, můžeme je násobit úplně stejným způsobem. Odvozme pravidlo:
Definice 1
Násobení desetinných zlomků sloupcem se provádí ve 2 krocích:
1. Proveďte násobení sloupců, nevěnujte pozornost čárkám.
2. Umístěte desetinnou čárku do konečného čísla a oddělte jej tolika číslicemi na pravé straně, kolika desetinná místa obsahují oba faktory dohromady. Pokud k tomu výsledek nestačí, přidejte doleva nuly.
Podívejme se na příklady takových výpočtů v praxi.
Příklad 4
Vynásobte desetinná místa 63, 37 a 0, 12 sloupci.
Řešení
Nejprve vynásobme čísla, ignorujeme desetinné čárky.
Nyní musíme umístit čárku na správné místo. Oddělí čtyři číslice na pravé straně, protože součet desetinných míst v obou faktorech je 4. Není potřeba přidávat nuly, protože dost známek:
Odpověď: 3,37 0,12 = 7,6044.
Příklad 5
Vypočítejte, kolik je 3,2601 krát 0,0254.
Řešení
Počítáme bez čárek. Dostaneme následující číslo:
Na pravou stranu dáme čárku oddělující 8 číslic, protože původní zlomky mají dohromady 8 desetinných míst. Ale náš výsledek má pouze sedm číslic a bez dalších nul se neobejdeme:
Odpověď: 3,2601 0,0254 = 0,08280654.
Jak vynásobit desetinné číslo 0,001, 0,01, 01 atd.
Násobení desetinných míst takovými čísly je běžné, proto je důležité umět to udělat rychle a přesně. Zapišme si speciální pravidlo, které pro toto násobení použijeme:
Definice 2
Pokud vynásobíme desetinné místo 0, 1, 0, 01 atd., dostaneme číslo podobné původnímu zlomku s desetinnou čárkou posunutou doleva o požadované množství znamení. Pokud není dostatek čísel k přenosu, musíte přidat nuly doleva.
Chcete-li tedy vynásobit 45, 34 0, 1, musíte je přenést do originálu desetinnýčárka od jednoho znaku. Skončíme na 4 534.
Příklad 6
Vynásobte 9,4 0,0001.
Řešení
Budeme muset posunout desetinnou čárku o čtyři místa podle počtu nul ve druhém faktoru, ale čísla v prvním faktoru na to nestačí. Přiřadíme potřebné nuly a zjistíme, že 9,4 · 0,0001 = 0,00094.
Odpověď: 0 , 00094 .
Pro nekonečná desetinná místa používáme stejné pravidlo. Takže například 0, (18) · 0, 01 = 0, 00 (18) nebo 94, 938... · 0, 1 = 9, 4938.... atd.
Proces takového násobení se neliší od akce násobení dvou desetinných zlomků. Je vhodné použít metodu násobení sloupců, pokud příkaz problem obsahuje konečný desetinný zlomek. V tomto případě je nutné vzít v úvahu všechna pravidla, o kterých jsme hovořili v předchozím odstavci.
Příklad 7
Vypočítejte, kolik je 15 · 2,27.
Řešení
Vynásobme původní čísla sloupcem a oddělme dvě čárky.
Odpověď: 15 · 2,27 = 34,05.
Pokud násobíme periodický desetinný zlomek přirozeným číslem, musíme nejprve desetinný zlomek změnit na obyčejný.
Příklad 8
Vypočítejte součin 0 , (42) a 22 .
Zredukujeme periodický zlomek na obyčejný tvar.
0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33
0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3
Konečný výsledek ve formě periodického desetinného zlomku můžeme zapsat jako 9, (3).
Odpověď: 0, (42) 22 = 9, (3).
Nekonečné zlomky Před provedením výpočtů musíte nejprve zaokrouhlit.
Příklad 9
Spočítejte, kolik bude 4 · 2, 145....
Řešení
Zaokrouhlíme původní nekonečný desetinný zlomek na setiny. Poté se dostaneme k vynásobení přirozeného čísla a konečného desetinného zlomku:
4 2,145… ≈ 4 2,15 = 8,60.
Odpověď: 4 · 2, 145… ≈ 8, 60.
Jak vynásobit desetinné číslo 1000, 100, 10 atd.
S násobením desetinného zlomku 10, 100 atd. se v problémech často setkáváme, proto tento případ rozebereme samostatně. Základní pravidlo násobení je:
Definice 3
Chcete-li vynásobit desetinný zlomek 1000, 100, 10 atd., musíte posunout jeho desetinnou čárku na 3, 2, 1 číslice v závislosti na násobiteli a vyhodit nuly nalevo. Pokud není dostatek čísel k posunutí čárky, přidáme doprava tolik nul, kolik potřebujeme.
Ukažme si na příkladu, jak přesně to udělat.
Příklad 10
Vynásobte 100 a 0,0783.
Řešení
K tomu potřebujeme posunout desetinnou čárku o 2 číslice doprava. Skončíme s 007, 83 Nuly nalevo lze zahodit a výsledek zapsat jako 7, 38.
Odpověď: 0,0783 100 = 7,83.
Příklad 11
Vynásobte 0,02 10 tisíci.
Řešení: Čárku posuneme o čtyři číslice doprava. Nemáme pro to dostatek znamének v původním desetinném zlomku, takže budeme muset přidat nuly. V tomto případě budou stačit tři 0. Výsledek je 0, 02000, posuňte čárku a dostanete 00200, 0. Ignorujeme-li nuly vlevo, můžeme odpověď napsat jako 200.
Odpověď: 0,02 · 10 000 = 200.
Pravidlo, které jsme uvedli, bude fungovat stejně v případě nekonečných desetinných zlomků, ale zde byste měli být velmi opatrní na periodu konečného zlomku, protože v něm lze snadno udělat chybu.
Příklad 12
Vypočítejte součin 5,32 (672) krát 1 000.
Řešení: nejprve zapíšeme periodický zlomek jako 5, 32672672672 ..., takže pravděpodobnost, že uděláme chybu, bude menší. Poté můžeme čárku posunout na požadovaný počet znaků (tři). Výsledek bude 5326, 726726... Tečku uzavřeme do závorek a odpověď napíšeme jako 5,326, (726).
Odpověď: 5,32 (672) · 1 000 = 5 326, (726) .
Pokud problémové podmínky obsahují nekonečné neperiodické zlomky, které je třeba násobit deseti, stem, tisíci atd., nezapomeňte je před násobením zaokrouhlit.
K provedení násobení tohoto typu je potřeba znázornit desetinný zlomek jako obyčejný zlomek a dále postupovat podle již známých pravidel.
Příklad 13
Vynásobte 0, 4 3 5 6
Řešení
Nejprve převedeme desetinný zlomek na obyčejný zlomek. Máme: 0, 4 = 4 10 = 2 5.
Dostali jsme odpověď ve formě smíšeného čísla. Můžete to napsat jako periodický zlomek 1, 5 (3).
Odpověď: 1 , 5 (3) .
Pokud je do výpočtu zapojen nekonečný neperiodický zlomek, je třeba jej zaokrouhlit na určité číslo a poté vynásobit.
Příklad 14
Vypočítejte produkt 3, 5678. . . · 23
Řešení
Druhý faktor můžeme reprezentovat jako 2 3 = 0, 6666…. Dále zaokrouhlte oba faktory na tisící místo. Poté budeme muset vypočítat součin dvou konečných desetinných zlomků 3,568 a 0,667. Počítejme se sloupcem a dostaneme odpověď:
Konečný výsledek musí být zaokrouhlen na tisíciny, protože právě na tuto číslici jsme zaokrouhlili původní čísla. Ukazuje se, že 2,379856 ≈ 2,380.
Odpověď: 3, 5678. . . · 2 3 ≈ 2, 380
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
Desetinné číslo se používá, když potřebujete provádět operace s necelými čísly. To se může zdát iracionální. Tento typ čísel ale značně zjednodušuje matematické operace, které je s nimi potřeba provádět. Toto porozumění přichází časem, kdy se jejich psaní stává známým a čtení nezpůsobuje potíže a pravidla desetinných zlomků jsou osvojena. Navíc všechny akce opakují již známé, které jsme se naučili s přirozenými čísly. Stačí si zapamatovat některé funkce.
Desetinná definice
Desetinné číslo je speciální reprezentace neceločíselného čísla se jmenovatelem, který je dělitelný 10, přičemž odpověď je jedna a případně nuly. Jinými slovy, pokud je jmenovatel 10, 100, 1000 atd., pak je pohodlnější přepsat číslo pomocí čárky. Poté bude před ním umístěna celá část a poté zlomková část. Navíc záznam druhé poloviny čísla bude záviset na jmenovateli. Počet číslic, které jsou ve zlomkové části, se musí rovnat číslici jmenovatele.
Výše uvedené lze ilustrovat těmito čísly:
9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.
Důvody použití desetinných míst
Matematici potřebovali desetinná místa z několika důvodů:
Zjednodušení nahrávání. Takový zlomek je umístěn podél jedné čáry bez pomlčky mezi jmenovatelem a čitatelem, přičemž jasnost netrpí.
Jednoduchost ve srovnání. Stačí jednoduše korelovat čísla, která jsou na stejných pozicích, zatímco u obyčejných zlomků byste je museli redukovat na společného jmenovatele.
Zjednodušte výpočty.
Kalkulačky nejsou navrženy tak, aby přijímaly zlomky, používají pro všechny operace desetinný zápis.
Jak taková čísla správně číst?
Odpověď je jednoduchá: stejně jako běžné smíšené číslo se jmenovatelem, který je násobkem 10. Jedinou výjimkou jsou zlomky bez celočíselné hodnoty, pak při čtení musíte vyslovit „nula celá čísla“.
Například 45/1000 by se mělo vyslovovat jako čtyřicet pět tisícin, zároveň bude znít 0,045 nula bod čtyřicet pět tisícin.
Smíšené číslo s celočíselnou částí 7 a zlomkem 17/100, které by bylo zapsáno jako 7,17, by v obou případech bylo přečteno jako sedm bodů sedmnáct.
Role číslic při psaní zlomků
Správné označení hodnosti je to, co matematika vyžaduje. Desetinná čísla a jejich význam se mohou výrazně změnit, pokud číslici napíšete na špatné místo. To však platilo dříve.
K přečtení číslic celé části desetinného zlomku stačí použít pravidla známá pro přirozená čísla. A na pravé straně jsou zrcadlené a čtou se jinak. Pokud celá část zněla „desítky“, pak za desetinnou čárkou to budou již „desetiny“.
To je jasně vidět v této tabulce.
| Třída | tisíce | jednotek | , | zlomková část | |||||||
| splnit | buňka | prosinec | jednotek | buňka | prosinec | jednotek | desátý | setina | tisící | desetitisící | |
Jak správně zapsat smíšené číslo jako desetinné?
Pokud jmenovatel obsahuje číslo rovné 10 nebo 100 a další, pak není otázka, jak převést zlomek na desetinné číslo, obtížná. K tomu stačí přepsat všechny jeho součásti jinak. K tomu pomohou následující body:
pište čitatel zlomku trochu stranou, v tuto chvíli je desetinná čárka umístěna vpravo za poslední číslicí;
posuňte čárku doleva, zde je nejdůležitější správně počítat čísla - musíte ji posunout o tolik pozic, kolik je nul ve jmenovateli;
pokud jich není dostatek, pak by na prázdných pozicích měly být nuly;
nuly, které byly na konci čitatele, nyní nejsou potřeba a lze je přeškrtnout;
Před čárku přidejte celou část, pokud tam nebyla, bude zde také nula.
Pozor. Nemůžete škrtat nuly, které jsou obklopeny jinými čísly.
O tom, jak se vypořádat se situací, kdy jmenovatel obsahuje více než jen jedničky a nuly, a jak převést zlomek na desetinné číslo, se dočtete níže. Tento důležité informace, který rozhodně stojí za shlédnutí.
Jak převést zlomek na desetinné číslo, pokud je jmenovatelem libovolné číslo?
Zde jsou dvě možnosti:
Když jmenovatel může být reprezentován jako číslo, které se rovná deseti jakékoli mocnině.
Pokud takovou operaci nelze provést.
Jak to mohu zkontrolovat? Musíte zohlednit jmenovatele. Pokud jsou v produktu přítomny pouze 2 a 5, pak je vše v pořádku a zlomek se snadno převede na konečné desetinné číslo. V opačném případě, pokud se objeví 3, 7 a další prvočísla, bude výsledek nekonečný. Je obvyklé zaokrouhlit takový desetinný zlomek pro snadné použití v matematických operacích. To bude probráno trochu níže.
Prozkoumá, jak se dělají desetinná čísla, 5. třída. Příklady zde budou velmi užitečné.
Nechť jmenovatele obsahují čísla: 40, 24 a 75. Rozklad na prvočinitele pro ně bude následující:
- 40 = 2,2,2,5;
- 24 = 2,2,2,3;
- 75 = 5,5,3.
V těchto příkladech může být jako konečný zlomek reprezentován pouze první zlomek.
Algoritmus pro převod běžného zlomku na konečné desetinné číslo
Zkontrolujte rozklad jmenovatele na prvočinitele a ujistěte se, že se bude skládat z 2 a 5.
K těmto číslům přidejte tolik 2 a 5, aby jich byl stejný počet. Uvedou hodnotu dodatečného multiplikátoru.
Vynásobte jmenovatele a čitatele tímto číslem. Výsledkem bude obyčejný zlomek, pod jehož čarou je do určité míry 10.
Pokud jsou v problému tyto akce provedeny se smíšeným číslem, musí být nejprve reprezentováno jako nesprávný zlomek. A teprve potom jednat podle popsaného scénáře.
Reprezentující zlomek jako zaokrouhlené desetinné místo
Tento způsob převodu zlomku na desetinné číslo se může někomu zdát ještě jednodušší. Protože nemá moc akce. Stačí vydělit čitatele jmenovatelem.
Každému číslu s desetinnou částí napravo od desetinné čárky lze přiřadit nekonečný počet nul. Tato vlastnost je to, co musíte využít.
Nejprve si zapište celou část a za ni dejte čárku. Pokud je zlomek správný, napište nulu.
Potom musíte vydělit čitatele jmenovatelem. Aby měly stejný počet číslic. To znamená, že napravo od čitatele přidejte požadovaný počet nul.
Provádějte dlouhé dělení, dokud nedosáhnete požadovaného počtu číslic. Pokud například potřebujete zaokrouhlit na setiny, pak by odpověď měla být 3. Obecně by mělo být o jedno číslo více, než potřebujete nakonec získat.
Meziodpověď zapište za desetinnou čárkou a zaokrouhlete podle pravidel. Pokud je poslední číslice od 0 do 4, stačí ji zahodit. A když se rovná 5-9, pak ten před ním musí být zvýšen o jednu, přičemž poslední se vyřadí.
Návrat od desetinného k běžnému zlomku
V matematice nastávají problémy, kdy je výhodnější znázorňovat desetinné zlomky ve formě obyčejných zlomků, ve kterých je čitatel se jmenovatelem. Můžete si vydechnout: tato operace je vždy možná.
Pro tento postup musíte provést následující:
zapište celou část, pokud je rovna nule, pak není třeba nic psát;
nakreslit zlomkovou čáru;
zapište si čísla z pravé strany nad ním, pokud jsou na prvním místě nuly, pak je třeba je přeškrtnout;
Pod řádek napište jednotku s tolika nulami, kolik je číslic za desetinnou čárkou v původním zlomku.
To je vše, co musíte udělat, abyste převedli desetinné číslo na zlomek.
Co můžete dělat s desetinnými čísly?
V matematice to budou určité operace s desetinnými místy, které se dříve prováděly pro jiná čísla.
Jsou to:
srovnání;
sčítání a odčítání;
násobení a dělení.
První akce, srovnání, je podobná tomu, jak byla provedena pro přirozená čísla. Chcete-li určit, která je větší, musíte porovnat číslice celé části. Pokud se ukáže, že jsou stejné, přejdou na zlomky a také je porovnají podle číslic. Odpovědí bude číslo s největší číslicí v nejvýznamnější číslici.
Sčítání a odčítání desetinných míst
Těch je snad nejvíc jednoduché kroky. Protože se provádějí podle pravidel pro přirozená čísla.
Aby bylo možné sčítat desetinné zlomky, je třeba je zapsat pod sebe a umístit čárky do sloupce. Při tomto zápisu se nalevo od čárek zobrazí celé části a napravo zlomkové části. A nyní je potřeba sčítat čísla kousek po kousku, jak se to dělá s přirozenými čísly, a posouvat čárku dolů. Musíte začít sčítat od nejmenší číslice zlomkové části čísla. Pokud v pravé polovině není dostatek čísel, přidají se nuly.
Totéž platí pro odečítání. A zde existuje pravidlo, které popisuje možnost vzít jednotku z nejvyšší hodnosti. Pokud má redukovaný zlomek za desetinnou čárkou méně číslic než zlomek, který se odečítá, pak se k němu jednoduše přičtou nuly.
U úloh, kde je potřeba násobit a dělit desetinné zlomky, je situace trochu složitější.
Jak vynásobit desetinný zlomek v různých příkladech?
Pravidlo pro násobení desetinných zlomků přirozeným číslem je:
zapište je do sloupce, čárku ignorujte;
množit se, jako by byli přirození;
Oddělte čárkou tolik číslic, kolik bylo ve zlomkové části původního čísla.
Speciálním případem je příklad, ve kterém je přirozené číslo rovno 10 s libovolnou mocninou. Poté, abyste dostali odpověď, stačí posunout desetinnou čárku doprava o tolik pozic, kolik je nul v druhém faktoru. Jinými slovy, při vynásobení 10 se desetinná čárka posune o jednu číslici, o 100 - budou dvě a tak dále. Pokud ve zlomkové části není dostatek čísel, musíte na prázdné pozice napsat nuly.
Pravidlo, které se používá, když úloha vyžaduje násobení desetinných zlomků jiným stejným číslem:
pište je jeden po druhém, nevěnujte pozornost čárkám;
množit se, jako by byly přirozené;
Oddělte čárkou tolik číslic, kolik bylo ve zlomcích obou původních zlomků dohromady.
Zvláštním případem jsou příklady, ve kterých je jeden z multiplikátorů roven 0,1 nebo 0,01 a tak dále. V nich musíte posunout desetinnou čárku doleva o počet číslic v prezentovaných faktorech. To znamená, že pokud se vynásobí 0,1, posune se desetinná čárka o jednu pozici.
Jak rozdělit desetinný zlomek v různých úlohách?
Dělení desetinných zlomků přirozeným číslem se provádí podle následujícího pravidla:
zapište je k rozdělení do sloupce, jako by to byly přirozené;
rozdělte podle obvyklého pravidla, dokud není celá část u konce;
dát do odpovědi čárku;
pokračujte v dělení zlomkové složky, dokud není zbytek nula;
v případě potřeby můžete přidat požadovaný počet nul.
Pokud je celočíselná část rovna nule, nebude ani v odpovědi.
Samostatně existuje dělení na čísla rovna deseti, stům a tak dále. V takových problémech je potřeba posunout desetinnou čárku doleva o počet nul v děliteli. Stává se, že v celé části není dostatek čísel, pak se místo nich použijí nuly. Můžete vidět, že tato operace je podobná násobení 0,1 a podobným číslům.
Chcete-li dělit desetinná místa, musíte použít toto pravidlo:
přeměňte dělitele na přirozené číslo a k tomu přesuňte čárku v něm doprava na konec;
posunout desetinnou čárku v dividendě o stejný počet číslic;
jednat podle předchozího scénáře.
Dělení 0,1 je zvýrazněno; 0,01 a další podobná čísla. V takových příkladech je desetinná čárka posunuta doprava o počet číslic ve zlomkové části. Pokud dojdou, pak je potřeba doplnit chybějící počet nul. Stojí za zmínku, že tato akce opakuje dělení 10 a podobnými čísly.
Závěr: Vše je o praxi
Nic v učení nejde snadno a bez námahy. Spolehlivé zvládnutí nového materiálu vyžaduje čas a praxi. Matematika není výjimkou.
Abyste zajistili, že téma o desetinných zlomcích nezpůsobí potíže, musíte s nimi vyřešit co nejvíce příkladů. Byly totiž doby, kdy sčítání přirozených čísel bylo slepou uličkou. A teď je vše v pořádku.
Proto, abych parafrázoval známou frázi: rozhodnout, rozhodnout a znovu rozhodnout. Úkoly s takovými čísly se pak budou plnit snadno a přirozeně, jako další hádanka.
Mimochodem, hádanky se zpočátku obtížně řeší a pak je třeba dělat obvyklé pohyby. V matematických příkladech je to stejné: když jste několikrát šli stejnou cestou, už nebudete přemýšlet, kam se obrátit.
1 lekce
1. Organizační moment
Zkontrolujte připravenost studentů na lekci.
(Dostupnost výukových pomůcek pro lekci)
já .Aktualizace znalostí
Ústní práce.
Cíl: Systematizovat předchozí znalosti potřebné při učení nové látky.
Žáci ústně plní úkoly na násobení desetinného zlomku přirozeným číslem a násobení obyčejných zlomků.
Vypočítat:
Poté učitel položí otázku: Formulujte, jak vynásobit desetinný zlomek přirozeným číslem Studenti si zapamatují téma hodiny a cíle hodiny.
II .Současné rozdělení do skupin a dvojic.
Studenti si vyberou jednu kartu z učitelského stolu. Některé z nich obsahují příklady operací s obyčejnými zlomky a jiné obsahují odpovídající odpovědi. Budou muset najít shody a budou rozděleni do dvojic Pokud budou pracovat ve skupinách, budou rozděleni takto:
Skupina 1 jsou studenti, kteří se setkali s příklady, skupina 2 jsou ti studenti, kteří mají vhodné odpovědi (viz příloha č. 1).
III .Učení nového materiálu
Cíl: Seznamte studenty s novým materiálem.
Vysvětlení učitele:
3.1.Skupinová práce.
Cíl: Po nezávislém vyřešení problému dvěma způsoby formulujte pravidlo pro násobení desetinného zlomku desetinným zlomkem.
Studenti dostanou následující úkol:
Délka obdélníku je 6,3 cm, šířka 2,8 cm. Najděte jeho oblast.
Každá skupina plní tento úkol podle navrženého způsobu, který jí byl naznačen.
Metoda 1: Zapište číselné hodnoty rozměrů obdélníku ve formě přirozených čísel vyjádřených v milimetrech. Vypočítejte plochu a výslednou odpověď vyjádřete v centimetrech čtverečních.
Metoda 2: Znázorněte rozměry obdélníku jako obyčejné zlomky, najděte plochu vynásobením obyčejných zlomků a převodem na desetinné číslo.
Poté zástupce z každé skupiny vysvětlí řešení tohoto příkladu studentům druhé skupiny u tabule. Studenti si vyměňují názory a vyvozují závěry z výsledků řešení problému:
Počet desetinných míst ve faktorech je stejný počet desetinných míst v jejich součinu.
Poté učitel komentuje práci skupin, shrne výsledky a vyvodí závěr.
Žáci si píší do sešitů.
Závěr: Chcete-li násobit desetinné zlomky, musíte:
1) provádějte násobení, nevěnujte pozornost čárkám;
2) ve výsledném součinu oddělte čárkou tolik číslic vpravo, kolik je za desetinnou čárkou v obou faktorech dohromady.
3.2 Analýza různých příkladů.
Cíl: Další rozvoj dovedností v násobení desetinných zlomků.
Vynásobme tato čísla, aniž bychom věnovali pozornost čárkám, a dostaneme v součinu číslo 20 496 Ve dvou faktorech za desetinnou čárkou jsou celkem tři desetinná místa. Proto v produktu musíte oddělit tři číslice napravo, takže produkt se rovná 20,496.
VI .Řešení problémů
Cíl: Procvičení schopnosti aplikovat pravidlo násobení desetinných zlomků při řešení úloh.
Studenti pracují ve dvojicích.
Plňte úkoly: č. 812, č. 814
VII . Shrnutí lekce. Odraz
Cíl: Zjistěte, zda studenti dosáhli cílů lekce, aby je bylo možné vzít v úvahu při plánování další lekce.
Akce studentů : Shrnutí vašich znalostí , odpovídat na otázky.
Dotazy na rozbor .(Orálně).
1. Co jsme se dnes ve třídě naučili?
2. Jaký cíl jsme se dnes ve třídě učili?
3. Zopakujme si pravidlo pro násobení desetinných zlomků.
Na konci lekce studenti uvažují:
Lekce se mi líbila/nelíbila
Účel lekce pochopil / nepochopil
Co jsem se naučil, co jsem se naučil_______________________________
Čemu jsem úplně nerozuměl __________________________________
Na čem je potřeba zapracovat_______________________________
Hodnocení: Učitel povzbuzuje žáky k odpovědím a práci.
Domácí úkol:№813 № 815
Stejně jako běžná čísla.
2. Spočítáme počet desetinných míst pro 1. desetinný zlomek a 2. desetinný zlomek. Jejich počty sečteme.
3. V konečném výsledku počítejte zprava doleva stejný počet číslic jako v odstavci výše a vložte čárku.
Pravidla pro násobení desetinných zlomků.
1. Násobte, aniž byste věnovali pozornost čárce.
2. V součinu oddělíme stejný počet číslic za desetinnou čárkou, jaký je za desetinnými čárkami v obou faktorech dohromady.
Když násobíte desetinný zlomek přirozeným číslem, musíte:
1. Násobte čísla, aniž byste věnovali pozornost čárce;
2. V důsledku toho umístíme čárku tak, aby napravo od ní bylo tolik číslic, kolik je v desetinném zlomku.
Násobení desetinných zlomků sloupcem.
Podívejme se na příklad:
Desetinné zlomky zapisujeme do sloupce a násobíme je jako přirozená čísla, čárky si nevšímáme. Tito. 3,11 považujeme za 311 a 0,01 za 1.
Výsledek je 311. Dále spočítáme počet znamének (číslic) za desetinnou čárkou pro oba zlomky. První desetinný zlomek má 2 číslice a druhý desetinný zlomek má 2. Celkový početčíslice za desetinnou čárkou:
2 + 2 = 4
Počítáme zprava doleva čtyři číslice výsledku. Konečný výsledek obsahuje méně čísel, než je třeba oddělovat čárkou. V tomto případě je potřeba doleva doplnit chybějící počet nul.
V našem případě chybí první číslice, proto doleva přidáme 1 nulu.
Poznámka:
Při násobení libovolného desetinného zlomku 10, 100, 1000 atd. se desetinná čárka v desetinném zlomku posune doprava o tolik míst, kolik je nul za jedničkou.
Například:
70,1 . 10 = 701
0,023 . 100 = 2,3
5,6 . 1 000 = 5 600
Poznámka:
Chcete-li násobit desetinné číslo 0,1; 0,01; 0,001; a tak dále, musíte posunout desetinnou čárku v tomto zlomku doleva o tolik míst, kolik je nul před jedničkou.
Počítáme nula celá čísla!
Například:
12 . 0,1 = 1,2
0,05 . 0,1 = 0,005
1,256 . 0,01 = 0,012 56
V kurzech střední a střední školy studenti probrali téma „Zlomky“. Tento koncept je však mnohem širší než to, co je dáno v procesu učení. Dnes se s pojmem zlomek setkáváme poměrně často a ne každý umí vypočítat jakýkoli výraz, například násobení zlomků.
Co je zlomek?
Historicky, zlomková čísla vznikla z potřeby měřit. Jak ukazuje praxe, často existují příklady určení délky segmentu a objemu obdélníkového obdélníku.
Nejprve se studenti seznámí s pojmem podíl. Pokud například rozdělíte meloun na 8 částí, pak každý dostane jednu osminu melounu. Tato jedna část z osmi se nazývá podíl.
Podíl rovný ½ jakékoli hodnoty se nazývá poloviční; ⅓ - třetí; ¼ - čtvrtina. Záznamy ve tvaru 5/8, 4/5, 2/4 se nazývají obyčejné zlomky. Společný zlomek se dělí na čitatele a jmenovatele. Mezi nimi je zlomkový pruh, neboli zlomkový pruh. Zlomková čára může být nakreslena jako horizontální nebo šikmá čára. V tomto případě označuje znak dělení.
Jmenovatel představuje, na kolik stejných částí je množství nebo předmět rozdělen; a čitatel je počet stejných podílů. Čitatel se píše nad zlomkovou čáru, jmenovatel se píše pod ni.
Nejvýhodnější je zobrazit obyčejné zlomky na souřadnicovém paprsku. Pokud je jeden segment rozdělen na 4 stejné části, každá část je označena latinským písmenem, pak lze získat výsledek vizuální pomůcka. Bod A tedy ukazuje podíl rovný 1/4 celého segmentu jednotky a bod B označuje 2/8 daného segmentu.
Druhy zlomků
Zlomky mohou být obyčejná, desetinná a smíšená čísla. Kromě toho lze zlomky rozdělit na vlastní a nevlastní. Tato klasifikace je vhodnější pro obyčejné zlomky.
Vlastní zlomek je číslo, jehož čitatel je menší než jmenovatel. resp. nesprávný zlomek- číslo, jehož čitatel je větší než jeho jmenovatel. Druhý typ se obvykle zapisuje jako smíšené číslo. Tento výraz se skládá z celého čísla a zlomkové části. Například 1½. 1 je celá část, ½ je zlomková část. Pokud však potřebujete provést nějaké manipulace s výrazem (dělení nebo násobení zlomků, jejich zmenšení nebo převod), smíšené číslo se převede na nesprávný zlomek.
Správný zlomkový výraz je vždy menší než jedna a nesprávný je vždy větší nebo roven 1.
Tímto výrazem máme na mysli záznam, ve kterém je zastoupeno libovolné číslo, jehož jmenovatel zlomkového vyjádření může být vyjádřen v jednotkách s několika nulami. Je-li zlomek správný, bude celá část v desítkovém zápisu rovna nule.
Chcete-li napsat desetinný zlomek, musíte nejprve napsat celou část, oddělit ji od zlomku čárkou a poté napsat výraz zlomku. Je třeba si uvědomit, že za desetinnou čárkou musí čitatel obsahovat stejný počet číslicových znaků, jako je nul ve jmenovateli.
Příklad. Vyjádřete zlomek 7 21 / 1000 v desítkové soustavě.
Algoritmus pro převod nevlastního zlomku na smíšené číslo a naopak
Je nesprávné napsat v odpovědi na problém nesprávný zlomek, takže je třeba jej převést na smíšené číslo:
- vydělte čitatele stávajícím jmenovatelem;
- v konkrétním příkladu je neúplný kvocient celek;
- a zbytek je čitatel zlomkové části, přičemž jmenovatel zůstává nezměněn.
Příklad. Převeďte nesprávný zlomek na smíšené číslo: 47 / 5.
Řešení. 47: 5. Částečný kvocient je 9, zbytek = 2. Takže 47 / 5 = 9 2 / 5.
Někdy je potřeba reprezentovat smíšené číslo jako nesprávný zlomek. Pak musíte použít následující algoritmus:
- celočíselná část se vynásobí jmenovatelem zlomkového výrazu;
- výsledný produkt se přidá do čitatele;
- výsledek se zapíše do čitatele, jmenovatel zůstává nezměněn.
Příklad. Představte číslo v smíšená forma jako nesprávný zlomek: 9 8/10.
Řešení. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je čitatel.
Odpověď: 98 / 10.
Násobení zlomků
S obyčejnými zlomky lze provádět různé algebraické operace. Chcete-li vynásobit dvě čísla, musíte vynásobit čitatel s čitatelem a jmenovatel se jmenovatelem. Násobení zlomků s různými jmenovateli se navíc neliší od součinu zlomková čísla se stejnými jmenovateli.
Stává se, že po nalezení výsledku musíte zlomek snížit. Výsledný výraz je nutné co nejvíce zjednodušit. Samozřejmě nelze říci, že nesprávný zlomek v odpovědi je chybou, ale je také obtížné to nazvat správnou odpovědí.
Příklad. Najděte součin dvou obyčejných zlomků: ½ a 20/18.
Jak je vidět z příkladu, po nalezení produktu byl získán redukovatelný zlomkový zápis. Čitatel i jmenovatel jsou v tomto případě děleni 4 a výsledkem je odpověď 5 / 9.
Násobení desetinných zlomků
Součin desetinných zlomků je svým principem zcela odlišný od součinu obyčejných zlomků. Násobení zlomků je tedy následující:
- dva desetinné zlomky musí být zapsány pod sebou tak, aby číslice nejvíce vpravo byly jedna pod druhou;
- zapsaná čísla je potřeba i přes čárky vynásobit, tedy jako přirozená čísla;
- spočítat počet číslic za desetinnou čárkou v každém čísle;
- ve výsledku získaném po vynásobení je třeba spočítat zprava tolik digitálních symbolů, kolik je obsaženo v součtu v obou faktorech za desetinnou čárkou, a dát oddělovací znaménko;
- pokud je v součinu méně čísel, pak je třeba před ně napsat tolik nul, aby toto číslo pokrylo, dát čárku a přidat celou část rovnou nule.
Příklad. Vypočítejte součin dvou desetinných zlomků: 2,25 a 3,6.
Řešení.
Násobení smíšených zlomků
K výpočtu součinu dvou smíšené frakce, musíte použít pravidlo pro násobení zlomků:
- převést smíšená čísla na nesprávné zlomky;
- najít součin čitatelů;
- najít součin jmenovatelů;
- zapište výsledek;
- co nejvíce zjednodušit výraz.
Příklad. Najděte součin 4½ a 6 2/5.
Násobení čísla zlomkem (zlomky číslem)
Kromě hledání součinu dvou zlomků a smíšených čísel existují úkoly, kdy je potřeba násobit zlomkem.
Chcete-li tedy najít součin desetinného zlomku a přirozeného čísla, potřebujete:
- napište číslo pod zlomek tak, aby číslice úplně vpravo byly nad sebou;
- najít produkt i přes čárku;
- ve výsledném výsledku oddělte celočíselnou část od zlomkové části pomocí čárky, přičemž zprava počítejte počet číslic, které jsou umístěny za desetinnou čárkou ve zlomku.
Chcete-li vynásobit společný zlomek číslem, musíte najít součin čitatele a přirozeného faktoru. Pokud odpověď vytvoří zlomek, který lze zmenšit, měl by být převeden.
Příklad. Vypočítejte součin 5/8 a 12.
Řešení. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Odpověď: 7 1 / 2.
Jak je vidět z předchozího příkladu, bylo nutné výsledný výsledek zmenšit a převést nesprávný zlomkový výraz na smíšené číslo.
Násobení zlomků se týká také nalezení součinu čísla ve smíšené formě a přirozeného faktoru. Chcete-li tato dvě čísla vynásobit, měli byste vynásobit celou část smíšeného faktoru číslem, vynásobit čitatele stejnou hodnotou a jmenovatele ponechat beze změny. V případě potřeby musíte výsledný výsledek co nejvíce zjednodušit.
Příklad. Najděte součin 9 5 / 6 a 9.
Řešení. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Odpověď: 88 1 / 2.
Násobení faktory 10, 100, 1000 nebo 0,1; 0,01; 0,001
Z předchozího odstavce vyplývá následující pravidlo. Chcete-li vynásobit desetinný zlomek 10, 100, 1000, 10000 atd., musíte posunout desetinnou čárku doprava o tolik číslic, kolik je nul ve faktoru za jedničkou.
Příklad 1. Najděte součin 0,065 a 1000.
Řešení. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Odpověď: 65.
Příklad 2. Najděte součin 3,9 a 1000.
Řešení. 3,9 x 1 000 = 3 900 x 1 000 = 3 900.
Odpověď: 3900.
Pokud potřebujete vynásobit přirozené číslo a 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 atd., měli byste čárku ve výsledném produktu posunout doleva o tolik číslic, kolik je nul před jedničkou. V případě potřeby se před přirozené číslo zapíše dostatečný počet nul.
Příklad 1. Najděte součin 56 a 0,01.
Řešení. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Odpověď: 0,56.
Příklad 2. Najděte součin 4 a 0,001.
Řešení. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Odpověď: 0,004.
Nalezení součinu různých zlomků by tedy nemělo způsobovat potíže, snad kromě výpočtu výsledku; v tomto případě se bez kalkulačky prostě neobejdete.
