Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε τη δράση του πολλαπλασιασμού των δεκαδικών. Ας ξεκινήσουμε αναφέροντας τις γενικές αρχές, στη συνέχεια δείξουμε πώς να πολλαπλασιάσουμε ένα δεκαδικό κλάσμα με ένα άλλο και να εξετάσουμε τη μέθοδο πολλαπλασιασμού με μια στήλη. Όλοι οι ορισμοί θα επεξηγηθούν με παραδείγματα. Στη συνέχεια, θα δούμε πώς να πολλαπλασιάσουμε σωστά τα δεκαδικά κλάσματα με συνηθισμένους, καθώς και μεικτούς και φυσικούς αριθμούς (συμπεριλαμβανομένων 100, 10, κ.λπ.)
Σε αυτό το υλικό, θα θίξουμε μόνο τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των θετικών κλασμάτων. Οι περιπτώσεις με αρνητικούς αριθμούς εξετάζονται χωριστά σε άρθρα σχετικά με τον πολλαπλασιασμό ρητικών και πραγματικών αριθμών.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ας διατυπώσουμε γενικές αρχές, το οποίο πρέπει να ακολουθείται κατά την επίλυση προβλημάτων πολλαπλασιασμού δεκαδικών κλασμάτων.
Ας θυμηθούμε πρώτα ότι τα δεκαδικά κλάσματα δεν είναι τίποτα άλλο από ειδικό σχήμαεγγραφές συνηθισμένων κλασμάτων, επομένως, η διαδικασία πολλαπλασιασμού τους μπορεί να μειωθεί σε παρόμοια για τα συνηθισμένα κλάσματα. Αυτός ο κανόνας λειτουργεί τόσο για πεπερασμένα όσο και για άπειρα κλάσματα: αφού τα μετατρέψουμε σε συνηθισμένα κλάσματα, είναι εύκολο να πολλαπλασιάσουμε με αυτά σύμφωνα με τους κανόνες που έχουμε ήδη μάθει.
Ας δούμε πώς λύνονται τέτοια προβλήματα.
Παράδειγμα 1
Υπολογίστε το γινόμενο του 1,5 και του 0,75.
Λύση: Αρχικά, ας αντικαταστήσουμε τα δεκαδικά κλάσματα με συνηθισμένα. Γνωρίζουμε ότι το 0,75 είναι 75/100 και το 1,5 είναι 15/10. Μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα και να επιλέξουμε ολόκληρο το τμήμα. Θα γράψουμε το αποτέλεσμα 125 1000 ως 1, 125.
Απάντηση: 1 , 125 .
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο μέτρησης στηλών, όπως και για τους φυσικούς αριθμούς.
Παράδειγμα 2
Πολλαπλασιάστε ένα περιοδικό κλάσμα 0, (3) με ένα άλλο 2, (36).
Αρχικά, ας μειώσουμε τα αρχικά κλάσματα σε συνηθισμένα. Θα λάβουμε:
0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11
Επομένως, 0, (3) · 2, (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33.
Το προκύπτον κοινό κλάσμαμπορεί να μετατραπεί σε δεκαδική μορφή διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή σε μια στήλη:
Απάντηση: 0 , (3) · 2 , (36) = 0 , (78) .
Εάν έχουμε άπειρα μη περιοδικά κλάσματα στη δήλωση προβλήματος, τότε πρέπει να εκτελέσουμε προκαταρκτική στρογγυλοποίηση (ανατρέξτε στο άρθρο σχετικά με τη στρογγυλοποίηση αριθμών εάν έχετε ξεχάσει πώς να το κάνετε αυτό). Μετά από αυτό, μπορείτε να εκτελέσετε την ενέργεια πολλαπλασιασμού με ήδη στρογγυλεμένα δεκαδικά κλάσματα. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 3
Υπολογίστε το γινόμενο του 5, 382... και του 0, 2.
Διάλυμα
Στο πρόβλημά μας έχουμε ένα άπειρο κλάσμα που πρέπει πρώτα να στρογγυλοποιηθεί στα εκατοστά. Αποδεικνύεται ότι 5.382... ≈ 5.38. Δεν έχει νόημα να στρογγυλοποιήσουμε τον δεύτερο παράγοντα στα εκατοστά. Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε το απαιτούμενο γινόμενο και να γράψετε την απάντηση: 5,38 0,2 = 538 100 2 10 = 1 076 1000 = 1,076.
Απάντηση: 5,382…·0,2 ≈ 1,076.
Η μέθοδος μέτρησης στηλών μπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για φυσικούς αριθμούς. Αν έχουμε δεκαδικά, μπορούμε να τα πολλαπλασιάσουμε με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Ας βγάλουμε τον κανόνα:
Ορισμός 1
Ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών κλασμάτων ανά στήλη εκτελείται σε 2 βήματα:
1. Εκτελέστε πολλαπλασιασμό στηλών, χωρίς να δίνετε προσοχή στα κόμματα.
2. Τοποθετήστε μια υποδιαστολή στον τελικό αριθμό, χωρίζοντάς την με τόσα ψηφία στη δεξιά πλευρά, όσα και οι δύο παράγοντες περιέχουν δεκαδικά ψηφία μαζί. Εάν το αποτέλεσμα δεν είναι αρκετοί αριθμοί για αυτό, προσθέστε μηδενικά στα αριστερά.
Ας δούμε παραδείγματα τέτοιων υπολογισμών στην πράξη.
Παράδειγμα 4
Πολλαπλασιάστε τα δεκαδικά 63, 37 και 0, 12 με στήλες.
Διάλυμα
Αρχικά, ας πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς, αγνοώντας τα δεκαδικά ψηφία.
Τώρα πρέπει να βάλουμε το κόμμα στη σωστή θέση. Θα διαχωρίσει τα τέσσερα ψηφία στη δεξιά πλευρά επειδή το άθροισμα των δεκαδικών και στους δύο παράγοντες είναι 4. Δεν χρειάζεται να προσθέσουμε μηδενικά, γιατί αρκετά σημάδια:
Απάντηση: 3,37 0,12 = 7,6044.
Παράδειγμα 5
Υπολογίστε πόσο είναι το 3,2601 επί 0,0254.
Διάλυμα
Μετράμε χωρίς κόμματα. Παίρνουμε τον παρακάτω αριθμό:
Θα βάλουμε κόμμα που χωρίζει 8 ψηφία στη δεξιά πλευρά, γιατί τα αρχικά κλάσματα μαζί έχουν 8 δεκαδικά ψηφία. Αλλά το αποτέλεσμά μας έχει μόνο επτά ψηφία και δεν μπορούμε να κάνουμε χωρίς επιπλέον μηδενικά:
Απάντηση: 3,2601 · 0,0254 = 0,08280654.
Πώς να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό με 0,001, 0,01, 01 κ.λπ.
Ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών με τέτοιους αριθμούς είναι συνηθισμένος, επομένως είναι σημαντικό να μπορούμε να το κάνουμε γρήγορα και με ακρίβεια. Ας γράψουμε έναν ειδικό κανόνα που θα χρησιμοποιήσουμε για αυτόν τον πολλαπλασιασμό:
Ορισμός 2
Αν πολλαπλασιάσουμε ένα δεκαδικό με 0, 1, 0, 01 κ.λπ., καταλήγουμε σε έναν αριθμό παρόμοιο με το αρχικό κλάσμα, με την υποδιαστολή να μετακινείται προς τα αριστερά κατά απαιτούμενη ποσότητασημάδια. Εάν δεν υπάρχουν αρκετοί αριθμοί για μεταφορά, πρέπει να προσθέσετε μηδενικά στα αριστερά.
Έτσι, για να πολλαπλασιάσετε 45, 34 με 0, 1 πρέπει να το μεταφέρετε στο πρωτότυπο δεκαδικόςκόμμα με έναν χαρακτήρα. Θα καταλήξουμε σε 4.534.
Παράδειγμα 6
Πολλαπλασιάστε το 9,4 επί 0,0001.
Διάλυμα
Θα πρέπει να μετακινήσουμε την υποδιαστολή τέσσερις θέσεις σύμφωνα με τον αριθμό των μηδενικών στον δεύτερο παράγοντα, αλλά οι αριθμοί στον πρώτο παράγοντα δεν αρκούν για αυτό. Εκχωρούμε τα απαραίτητα μηδενικά και βρίσκουμε ότι 9,4 · 0,0001 = 0,00094.
Απάντηση: 0 , 00094 .
Για άπειρα δεκαδικά ψηφία χρησιμοποιούμε τον ίδιο κανόνα. Έτσι, για παράδειγμα, 0, (18) · 0, 01 = 0, 00 (18) ή 94, 938... · 0, 1 = 9, 4938.... και τα λοιπά.
Η διαδικασία ενός τέτοιου πολλαπλασιασμού δεν διαφέρει από τη δράση του πολλαπλασιασμού δύο δεκαδικών κλασμάτων. Είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο πολλαπλασιασμού στηλών εάν η δήλωση προβλήματος περιέχει ένα τελικό δεκαδικό κλάσμα. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη όλοι οι κανόνες για τους οποίους μιλήσαμε στην προηγούμενη παράγραφο.
Παράδειγμα 7
Υπολογίστε πόσο είναι το 15 · 2,27.
Διάλυμα
Ας πολλαπλασιάσουμε τους αρχικούς αριθμούς με μια στήλη και ας χωρίσουμε δύο κόμματα.
Απάντηση: 15 · 2,27 = 34,05.
Αν πολλαπλασιάσουμε ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, πρέπει πρώτα να αλλάξουμε το δεκαδικό κλάσμα σε συνηθισμένο.
Παράδειγμα 8
Υπολογίστε το γινόμενο των 0 , (42) και 22 .
Ας μειώσουμε το περιοδικό κλάσμα σε συνηθισμένη μορφή.
0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33
0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3
Μπορούμε να γράψουμε το τελικό αποτέλεσμα με τη μορφή περιοδικού δεκαδικού κλάσματος ως 9, (3).
Απάντηση: 0 , (42) 22 = 9 , (3) .
Άπειρα κλάσματαΠρέπει πρώτα να στρογγυλοποιήσετε πριν κάνετε τους υπολογισμούς.
Παράδειγμα 9
Υπολογίστε πόσο θα είναι το 4 · 2, 145....
Διάλυμα
Ας στρογγυλοποιήσουμε το αρχικό άπειρο δεκαδικό κλάσμα στα εκατοστά. Μετά από αυτό φτάνουμε στον πολλαπλασιασμό ενός φυσικού αριθμού και ενός τελικού δεκαδικού κλάσματος:
4 2,145… ≈ 4 2,15 = 8,60.
Απάντηση: 4 · 2, 145… ≈ 8, 60.
Πώς να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό με 1000, 100, 10 κ.λπ.
Ο πολλαπλασιασμός ενός δεκαδικού κλάσματος με το 10, το 100 κ.λπ. συναντάται συχνά σε προβλήματα, επομένως θα αναλύσουμε αυτήν την περίπτωση ξεχωριστά. Ο βασικός κανόνας του πολλαπλασιασμού είναι:
Ορισμός 3
Για να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με 1000, 100, 10 κ.λπ., πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα του σε 3, 2, 1 ψηφία ανάλογα με τον πολλαπλασιαστή και να απορρίψετε τα επιπλέον μηδενικά στα αριστερά. Εάν δεν υπάρχουν αρκετοί αριθμοί για να μετακινήσετε το κόμμα, προσθέστε όσα μηδενικά χρειαζόμαστε προς τα δεξιά.
Ας δείξουμε με ένα παράδειγμα πώς ακριβώς να το κάνουμε αυτό.
Παράδειγμα 10
Πολλαπλασιάστε το 100 και το 0,0783.
Διάλυμα
Για να γίνει αυτό, πρέπει να μετακινήσουμε την υποδιαστολή κατά 2 ψηφία προς τα δεξιά. Θα καταλήξουμε με 007, 83 Τα μηδενικά στα αριστερά μπορούν να απορριφθούν και το αποτέλεσμα να γραφτεί ως 7, 38.
Απάντηση: 0,0783 100 = 7,83.
Παράδειγμα 11
Πολλαπλασιάστε το 0,02 επί 10 χιλιάδες.
Λύση: Θα μετακινήσουμε το κόμμα με τέσσερα ψηφία προς τα δεξιά. Δεν έχουμε αρκετά σημάδια για αυτό στο αρχικό δεκαδικό κλάσμα, επομένως θα πρέπει να προσθέσουμε μηδενικά. Σε αυτή την περίπτωση, τρία 0 θα είναι αρκετά. Το αποτέλεσμα είναι 0, 02000, μετακινήστε το κόμμα και λάβετε 00200, 0. Αγνοώντας τα μηδενικά στα αριστερά, μπορούμε να γράψουμε την απάντηση ως 200.
Απάντηση: 0,02 · 10.000 = 200.
Ο κανόνας που δώσαμε θα λειτουργεί το ίδιο και στην περίπτωση των άπειρων δεκαδικών κλασμάτων, αλλά εδώ θα πρέπει να είστε πολύ προσεκτικοί σχετικά με την περίοδο του τελικού κλάσματος, καθώς είναι εύκολο να κάνετε λάθος σε αυτό.
Παράδειγμα 12
Υπολογίστε το γινόμενο του 5,32 (672) επί 1.000.
Λύση: πρώτα απ 'όλα, θα γράψουμε το περιοδικό κλάσμα ως 5, 32672672672 ..., οπότε η πιθανότητα να κάνουμε λάθος θα είναι μικρότερη. Μετά από αυτό, μπορούμε να μετακινήσουμε το κόμμα στον απαιτούμενο αριθμό χαρακτήρων (τρεις). Το αποτέλεσμα θα είναι 5326, 726726... Ας βάλουμε την περίοδο σε αγκύλες και ας γράψουμε την απάντηση ως 5.326, (726).
Απάντηση: 5, 32 (672) · 1.000 = 5.326, (726) .
Αν οι προβληματικές συνθήκες περιέχουν άπειρα μη περιοδικά κλάσματα που πρέπει να πολλαπλασιαστούν με δέκα, εκατό, χίλια κ.λπ., μην ξεχάσετε να τα στρογγυλοποιήσετε πριν πολλαπλασιαστούν.
Για να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό αυτού του τύπου, πρέπει να αναπαραστήσετε το δεκαδικό κλάσμα ως ένα συνηθισμένο κλάσμα και στη συνέχεια να προχωρήσετε σύμφωνα με τους ήδη γνωστούς κανόνες.
Παράδειγμα 13
Πολλαπλασιάστε το 0, 4 με το 3 5 6
Διάλυμα
Πρώτον, ας μετατρέψουμε το δεκαδικό κλάσμα σε ένα συνηθισμένο κλάσμα. Έχουμε: 0, 4 = 4 10 = 2 5.
Λάβαμε την απάντηση με τη μορφή μικτού αριθμού. Μπορείτε να το γράψετε ως περιοδικό κλάσμα 1, 5 (3).
Απάντηση: 1 , 5 (3) .
Εάν ένα άπειρο μη περιοδικό κλάσμα εμπλέκεται στον υπολογισμό, πρέπει να το στρογγυλοποιήσετε σε έναν συγκεκριμένο αριθμό και στη συνέχεια να τον πολλαπλασιάσετε.
Παράδειγμα 14
Υπολογίστε το γινόμενο 3, 5678. . . · 2 3
Διάλυμα
Μπορούμε να αναπαραστήσουμε τον δεύτερο παράγοντα ως 2 3 = 0, 6666…. Στη συνέχεια, στρογγυλοποιήστε και τους δύο παράγοντες στη χιλιοστή θέση. Μετά από αυτό, θα χρειαστεί να υπολογίσουμε το γινόμενο δύο τελικών δεκαδικών κλασμάτων 3,568 και 0,667. Ας μετρήσουμε με μια στήλη και ας πάρουμε την απάντηση:
Το τελικό αποτέλεσμα πρέπει να στρογγυλοποιηθεί στα χιλιοστά, καθώς στρογγυλοποιήσαμε τους αρχικούς αριθμούς σε αυτό το ψηφίο. Αποδεικνύεται ότι 2,379856 ≈ 2,380.
Απάντηση: 3, 5678. . . · 2 3 ≈ 2, 380
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Το δεκαδικό χρησιμοποιείται όταν χρειάζεται να εκτελέσετε πράξεις σε μη ακέραιους αριθμούς. Αυτό μπορεί να φαίνεται παράλογο. Αλλά αυτός ο τύπος αριθμών απλοποιεί πολύ τις μαθηματικές πράξεις που πρέπει να εκτελεστούν με αυτούς. Αυτή η κατανόηση έρχεται με την πάροδο του χρόνου, όταν η γραφή τους γίνεται οικεία και η ανάγνωσή τους δεν προκαλεί δυσκολίες και οι κανόνες των δεκαδικών κλασμάτων έχουν κατακτηθεί. Επιπλέον, όλες οι ενέργειες επαναλαμβάνουν ήδη γνωστές, που έχουν μάθει με φυσικούς αριθμούς. Απλά πρέπει να θυμάστε ορισμένα χαρακτηριστικά.
Δεκαδικός ορισμός
Ο δεκαδικός είναι μια ειδική αναπαράσταση ενός μη ακέραιου αριθμού με παρονομαστή που διαιρείται με το 10, δίνοντας την απάντηση ως ένα και πιθανώς μηδενικά. Με άλλα λόγια, εάν ο παρονομαστής είναι 10, 100, 1000 και ούτω καθεξής, τότε είναι πιο βολικό να ξαναγράψετε τον αριθμό χρησιμοποιώντας κόμμα. Τότε ολόκληρο το μέρος θα βρίσκεται μπροστά του και μετά το κλασματικό μέρος. Επιπλέον, η καταγραφή του δεύτερου μισού του αριθμού θα εξαρτηθεί από τον παρονομαστή. Ο αριθμός των ψηφίων που βρίσκονται στο κλασματικό μέρος πρέπει να είναι ίσος με το ψηφίο του παρονομαστή.
Τα παραπάνω μπορούν να απεικονιστούν με αυτούς τους αριθμούς:
9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.
Λόγοι χρήσης δεκαδικών
Οι μαθηματικοί χρειάζονταν δεκαδικά για διάφορους λόγους:
Απλοποίηση εγγραφής. Ένα τέτοιο κλάσμα βρίσκεται κατά μήκος μιας γραμμής χωρίς παύλα μεταξύ του παρονομαστή και του αριθμητή, ενώ η σαφήνεια δεν υποφέρει.
Απλότητα σε σύγκριση. Αρκεί απλώς να συσχετίσετε αριθμούς που βρίσκονται στις ίδιες θέσεις, ενώ με τα συνηθισμένα κλάσματα θα έπρεπε να τους αναγάγετε σε κοινό παρονομαστή.
Απλοποιήστε τους υπολογισμούς.
Οι αριθμομηχανές δεν έχουν σχεδιαστεί για να δέχονται κλάσματα, χρησιμοποιούν δεκαδικό συμβολισμό για όλες τις πράξεις.
Πώς να διαβάσετε σωστά τέτοιους αριθμούς;
Η απάντηση είναι απλή: ακριβώς όπως ένας συνηθισμένος μικτός αριθμός με παρονομαστή που είναι πολλαπλάσιο του 10. Η μόνη εξαίρεση είναι κλάσματα χωρίς ακέραια τιμή, τότε κατά την ανάγνωση πρέπει να προφέρετε "μηδέν ακέραιοι".
Για παράδειγμα, το 45/1000 θα πρέπει να προφέρεται ως σαράντα πέντε χιλιάρικα, ταυτόχρονα 0,045 θα ακούγεται σαν σημείο μηδέν σαράντα πέντε χιλιοστά.
Ένας μικτός αριθμός με ακέραιο μέρος του 7 και κλάσμα 17/100, το οποίο θα γραφόταν ως 7,17, θα διαβάζεται και στις δύο περιπτώσεις ως επτά σημείο δεκαεπτά.
Ο ρόλος των ψηφίων στη γραφή κλασμάτων
Η σωστή σήμανση της κατάταξης είναι αυτό που απαιτούν τα μαθηματικά. Οι δεκαδικοί και η σημασία τους μπορεί να αλλάξουν σημαντικά αν γράψετε το ψηφίο σε λάθος μέρος. Ωστόσο, αυτό ίσχυε πριν.
Για να διαβάσετε τα ψηφία ολόκληρου του τμήματος ενός δεκαδικού κλάσματος, πρέπει απλώς να χρησιμοποιήσετε τους κανόνες που είναι γνωστοί για τους φυσικούς αριθμούς. Και στη δεξιά πλευρά καθρεφτίζονται και διαβάζονται διαφορετικά. Εάν ολόκληρο το μέρος ακουγόταν "δεκάδες", τότε μετά την υποδιαστολή θα είναι "δέκατα".
Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα σε αυτόν τον πίνακα.
| Τάξη | χιλιάδες | μονάδες | , | κλασματικό μέρος | |||||||
| εκπλήρωση | κύτταρο | Δεκ. | μονάδες | κύτταρο | Δεκ. | μονάδες | δέκατος | εκατοστός | χιλιοστός | δέκα χιλιάδες | |
Πώς να γράψετε σωστά έναν μικτό αριθμό ως δεκαδικό;
Εάν ο παρονομαστής περιέχει έναν αριθμό ίσο με 10 ή 100 και άλλους, τότε το ερώτημα πώς να μετατρέψετε ένα κλάσμα σε δεκαδικό δεν είναι δύσκολο. Για να γίνει αυτό, αρκεί να ξαναγράψετε όλα τα στοιχεία του διαφορετικά. Τα ακόλουθα σημεία θα βοηθήσουν σε αυτό:
γράψτε τον αριθμητή του κλάσματος λίγο στο πλάι, αυτή τη στιγμή η υποδιαστολή βρίσκεται στα δεξιά, μετά το τελευταίο ψηφίο.
μετακινήστε το κόμμα προς τα αριστερά, το πιο σημαντικό πράγμα εδώ είναι να μετρήσετε σωστά τους αριθμούς - πρέπει να το μετακινήσετε κατά όσες θέσεις υπάρχουν μηδενικά στον παρονομαστή.
εάν δεν υπάρχουν αρκετά από αυτά, τότε θα πρέπει να υπάρχουν μηδενικά στις κενές θέσεις.
τα μηδενικά που ήταν στο τέλος του αριθμητή δεν χρειάζονται τώρα και μπορούν να διαγραφούν.
Πριν από το κόμμα, προσθέστε ολόκληρο το μέρος εάν δεν ήταν εκεί, τότε θα υπάρχει επίσης μηδέν.
Προσοχή. Δεν μπορείτε να διαγράψετε μηδενικά που περιβάλλονται από άλλους αριθμούς.
Μπορείτε να διαβάσετε παρακάτω για το πώς να αντιμετωπίσετε μια κατάσταση όπου ο παρονομαστής περιέχει περισσότερα από ένα και μηδενικά, και πώς να μετατρέψετε ένα κλάσμα σε δεκαδικό. Αυτό σημαντικές πληροφορίες, που σίγουρα αξίζει να το ελέγξετε.
Πώς να μετατρέψετε ένα κλάσμα σε δεκαδικό αν ο παρονομαστής είναι αυθαίρετος αριθμός;
Υπάρχουν δύο επιλογές εδώ:
Όταν ο παρονομαστής μπορεί να παρασταθεί ως ένας αριθμός που είναι ίσος με το δέκα σε οποιαδήποτε δύναμη.
Εάν μια τέτοια λειτουργία δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί.
Πώς μπορώ να το ελέγξω αυτό; Πρέπει να συνυπολογίσετε τον παρονομαστή. Εάν υπάρχουν μόνο 2 και 5 στο προϊόν, τότε όλα είναι εντάξει και το κλάσμα μετατρέπεται εύκολα σε τελικό δεκαδικό. Διαφορετικά, αν εμφανιστούν 3, 7 και άλλοι πρώτοι αριθμοί, το αποτέλεσμα θα είναι άπειρο. Είναι σύνηθες να στρογγυλοποιείται ένα τέτοιο δεκαδικό κλάσμα για ευκολία στη χρήση σε μαθηματικές πράξεις. Αυτό θα συζητηθεί λίγο παρακάτω.
Εξερευνά πώς γίνονται τα δεκαδικά, Ε΄ τάξη. Τα παραδείγματα εδώ θα είναι πολύ χρήσιμα.
Έστω οι παρονομαστές να περιέχουν τους αριθμούς: 40, 24 και 75. Η αποσύνθεση σε πρώτους παράγοντες γι' αυτούς θα είναι η εξής:
- 40=2·2·2·5;
- 24=2·2·2·3;
- 75=5·5·3.
Σε αυτά τα παραδείγματα, μόνο το πρώτο κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως το τελικό κλάσμα.
Αλγόριθμος μετατροπής κοινού κλάσματος σε τελικό δεκαδικό
Ελέγξτε την παραγοντοποίηση του παρονομαστή σε πρώτους παράγοντες και βεβαιωθείτε ότι θα αποτελείται από 2 και 5.
Προσθέστε τόσα 2 και 5 σε αυτούς τους αριθμούς ώστε να είναι ίσος ο αριθμός τους. Θα δώσουν την τιμή του πρόσθετου πολλαπλασιαστή.
Πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή και τον αριθμητή με αυτόν τον αριθμό. Το αποτέλεσμα θα είναι ένα συνηθισμένο κλάσμα, κάτω από τη γραμμή του οποίου υπάρχει 10 σε κάποιο βαθμό.
Εάν στο πρόβλημα αυτές οι ενέργειες εκτελούνται με μικτό αριθμό, τότε πρέπει πρώτα να αναπαρασταθεί ως ακατάλληλο κλάσμα. Και μόνο τότε ενεργήστε σύμφωνα με το περιγραφόμενο σενάριο.
Αναπαριστά ένα κλάσμα ως στρογγυλεμένο δεκαδικό
Αυτή η μέθοδος μετατροπής ενός κλάσματος σε δεκαδικό μπορεί να φαίνεται ακόμα πιο εύκολη σε κάποιους. Γιατί δεν έχει πολλή δράση. Απλά πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον παρονομαστή.
Σε κάθε αριθμό με δεκαδικό μέρος στα δεξιά της υποδιαστολής μπορεί να εκχωρηθεί ένας άπειρος αριθμός μηδενικών. Αυτό το ακίνητο είναι αυτό που πρέπει να εκμεταλλευτείτε.
Πρώτα, γράψτε ολόκληρο το μέρος και μετά βάλτε κόμμα. Αν το κλάσμα είναι σωστό, γράψτε μηδέν.
Στη συνέχεια, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Έτσι ώστε να έχουν τον ίδιο αριθμό ψηφίων. Δηλαδή, προσθέστε τον απαιτούμενο αριθμό μηδενικών στα δεξιά του αριθμητή.
Εκτελέστε μεγάλη διαίρεση μέχρι να επιτευχθεί ο απαιτούμενος αριθμός ψηφίων. Για παράδειγμα, εάν πρέπει να στρογγυλοποιήσετε στα εκατοστά, τότε η απάντηση θα πρέπει να είναι 3. Γενικά, θα πρέπει να υπάρχει ένας περισσότερος αριθμός από αυτόν που χρειάζεστε για να πάρετε στο τέλος.
Γράψτε την ενδιάμεση απάντηση μετά την υποδιαστολή και στρογγυλοποιήστε σύμφωνα με τους κανόνες. Εάν το τελευταίο ψηφίο είναι από το 0 έως το 4, τότε απλά πρέπει να το απορρίψετε. Και όταν είναι ίσο με 5-9, τότε το μπροστά χρειάζεται να αυξηθεί κατά ένα, απορρίπτοντας το τελευταίο.
Επιστροφή από το δεκαδικό στο κοινό κλάσμα
Στα μαθηματικά, υπάρχουν προβλήματα όταν είναι πιο βολικό να αναπαραστήσουμε δεκαδικά κλάσματα με τη μορφή συνηθισμένων κλασμάτων, στα οποία υπάρχει αριθμητής με παρονομαστή. Μπορείτε να αναπνεύσετε με ανακούφιση: αυτή η επέμβαση είναι πάντα δυνατή.
Για αυτή τη διαδικασία πρέπει να κάνετε τα εξής:
γράψτε ολόκληρο το μέρος, εάν είναι ίσο με μηδέν, τότε δεν χρειάζεται να γράψετε τίποτα.
σχεδιάστε μια γραμμή κλάσματος.
γράψτε τους αριθμούς από τη δεξιά πλευρά πάνω από αυτό, εάν τα μηδενικά έρχονται πρώτα, τότε πρέπει να διαγραφούν.
Κάτω από τη γραμμή, γράψτε ένα με τόσα μηδενικά όσα είναι τα ψηφία μετά την υποδιαστολή στο αρχικό κλάσμα.
Αυτό είναι το μόνο που χρειάζεται να κάνετε για να μετατρέψετε ένα δεκαδικό σε κλάσμα.
Τι μπορείτε να κάνετε με τα δεκαδικά;
Στα μαθηματικά, αυτές θα είναι ορισμένες πράξεις με δεκαδικούς που εκτελούνταν προηγουμένως για άλλους αριθμούς.
Αυτοί είναι:
σύγκριση;
πρόσθεση και αφαίρεση?
πολλαπλασιασμός και διαίρεση.
Η πρώτη ενέργεια, η σύγκριση, είναι παρόμοια με το πώς έγινε για τους φυσικούς αριθμούς. Για να προσδιορίσετε ποιο είναι μεγαλύτερο, πρέπει να συγκρίνετε τα ψηφία ολόκληρου του τμήματος. Αν αποδειχθούν ίσα, τότε προχωρούν στο κλασματικό και τα συγκρίνουν επίσης με ψηφία. Ο αριθμός με το μεγαλύτερο ψηφίο στο πιο σημαντικό ψηφίο θα είναι η απάντηση.
Πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών αριθμών
Αυτά είναι ίσως τα περισσότερα απλά βήματα. Διότι εκτελούνται σύμφωνα με τους κανόνες για τους φυσικούς αριθμούς.
Έτσι, για να προσθέσετε δεκαδικά κλάσματα, πρέπει να γραφτούν το ένα κάτω από το άλλο, τοποθετώντας κόμματα σε μια στήλη. Με αυτόν τον συμβολισμό, ολόκληρα μέρη εμφανίζονται στα αριστερά των κόμματων και τα κλασματικά μέρη στα δεξιά. Και τώρα πρέπει να προσθέτετε τους αριθμούς λίγο-λίγο, όπως γίνεται με τους φυσικούς αριθμούς, μετακινώντας το κόμμα προς τα κάτω. Πρέπει να αρχίσετε να προσθέτετε από το μικρότερο ψηφίο του κλασματικού μέρους του αριθμού. Εάν δεν υπάρχουν αρκετοί αριθμοί στο δεξί μισό, τότε προστίθενται μηδενικά.
Το ίδιο ισχύει και για την αφαίρεση. Και εδώ υπάρχει ένας κανόνας που περιγράφει τη δυνατότητα λήψης μιας μονάδας από την υψηλότερη βαθμίδα. Εάν το κλάσμα που μειώνεται έχει λιγότερα ψηφία μετά την υποδιαστολή από το κλάσμα που αφαιρείται, τότε απλά προστίθενται μηδενικά σε αυτό.
Η κατάσταση είναι λίγο πιο περίπλοκη με εργασίες όπου πρέπει να πολλαπλασιάσετε και να διαιρέσετε δεκαδικά κλάσματα.
Πώς να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό κλάσμα σε διαφορετικά παραδείγματα;
Ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό των δεκαδικών κλασμάτων με έναν φυσικό αριθμό είναι:
γράψτε τα σε μια στήλη, αγνοώντας το κόμμα.
πολλαπλασιάζονται σαν να ήταν φυσικά.
Διαχωρίστε με κόμμα όσα ψηφία υπήρχαν στο κλασματικό μέρος του αρχικού αριθμού.
Ειδική περίπτωση είναι το παράδειγμα στο οποίο ένας φυσικός αριθμός είναι ίσος με 10 σε οποιαδήποτε δύναμη. Στη συνέχεια, για να λάβετε την απάντηση, πρέπει απλώς να μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά όσες θέσεις υπάρχουν μηδενικά στον άλλο παράγοντα. Με άλλα λόγια, όταν πολλαπλασιαστεί με το 10, η υποδιαστολή μετακινείται κατά ένα ψηφίο, κατά 100 - θα υπάρχουν ήδη δύο από αυτά, και ούτω καθεξής. Εάν δεν υπάρχουν αρκετοί αριθμοί στο κλασματικό μέρος, τότε πρέπει να γράψετε μηδενικά στις κενές θέσεις.
Ο κανόνας που χρησιμοποιείται όταν μια εργασία απαιτεί τον πολλαπλασιασμό των δεκαδικών κλασμάτων με έναν άλλο ίδιο αριθμό:
γράψτε τα το ένα μετά το άλλο, χωρίς να δίνετε προσοχή στα κόμματα.
πολλαπλασιάζονται σαν να ήταν φυσικά.
Διαχωρίστε με κόμμα όσα ψηφία υπήρχαν στα κλασματικά μέρη και των δύο αρχικών κλασμάτων μαζί.
Μια ειδική περίπτωση είναι παραδείγματα στα οποία ένας από τους πολλαπλασιαστές είναι ίσος με 0,1 ή 0,01 και ούτω καθεξής. Σε αυτά πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα αριστερά κατά τον αριθμό των ψηφίων στους παρουσιαζόμενους παράγοντες. Δηλαδή, αν πολλαπλασιαστεί με 0,1, τότε η υποδιαστολή μετατοπίζεται κατά μία θέση.
Πώς να διαιρέσετε ένα δεκαδικό κλάσμα σε διαφορετικές εργασίες;
Η διαίρεση των δεκαδικών κλασμάτων με έναν φυσικό αριθμό γίνεται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:
γράψτε τα για διαίρεση σε μια στήλη σαν να ήταν φυσικά.
διαιρέστε σύμφωνα με τον συνηθισμένο κανόνα μέχρι να τελειώσει ολόκληρο το μέρος.
βάλε κόμμα στην απάντηση.
συνεχίστε να διαιρείτε το κλασματικό συστατικό μέχρι το υπόλοιπο να μηδενιστεί.
εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να προσθέσετε τον απαιτούμενο αριθμό μηδενικών.
Αν το ακέραιο μέρος είναι ίσο με μηδέν, τότε δεν θα είναι ούτε στην απάντηση.
Ξεχωριστά, υπάρχει διαίρεση σε αριθμούς ίσους με δέκα, εκατό και ούτω καθεξής. Σε τέτοια προβλήματα, πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα αριστερά κατά τον αριθμό των μηδενικών στον διαιρέτη. Συμβαίνει να μην υπάρχουν αρκετοί αριθμοί σε ένα ολόκληρο μέρος, τότε χρησιμοποιούνται μηδενικά. Μπορείτε να δείτε ότι αυτή η λειτουργία είναι παρόμοια με τον πολλαπλασιασμό με 0,1 και παρόμοιους αριθμούς.
Για να διαιρέσετε δεκαδικούς αριθμούς, πρέπει να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον κανόνα:
μετατρέψτε τον διαιρέτη σε φυσικό αριθμό και για να το κάνετε αυτό, μετακινήστε το κόμμα σε αυτόν προς τα δεξιά προς το τέλος.
μετακινήστε την υποδιαστολή στο μέρισμα κατά τον ίδιο αριθμό ψηφίων.
ενεργούν σύμφωνα με το προηγούμενο σενάριο.
Η διαίρεση με το 0,1 επισημαίνεται. 0,01 και άλλοι παρόμοιοι αριθμοί. Σε τέτοια παραδείγματα, η υποδιαστολή μετατοπίζεται προς τα δεξιά κατά τον αριθμό των ψηφίων στο κλασματικό μέρος. Εάν εξαντληθούν, τότε πρέπει να προσθέσετε τον αριθμό των μηδενικών που λείπουν. Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτή η ενέργεια επαναλαμβάνει τη διαίρεση με 10 και παρόμοιους αριθμούς.
Συμπέρασμα: Όλα είναι θέμα εξάσκησης
Τίποτα στη μάθηση δεν έρχεται εύκολα ή χωρίς προσπάθεια. Η αξιόπιστη γνώση νέου υλικού απαιτεί χρόνο και εξάσκηση. Τα μαθηματικά δεν αποτελούν εξαίρεση.
Για να διασφαλίσετε ότι το θέμα σχετικά με τα δεκαδικά κλάσματα δεν προκαλεί δυσκολίες, πρέπει να λύσετε όσο το δυνατόν περισσότερα παραδείγματα με αυτά. Άλλωστε, υπήρξε μια εποχή που η πρόσθεση φυσικών αριθμών ήταν αδιέξοδο. Και τώρα όλα είναι καλά.
Επομένως, για να παραφράσουμε μια γνωστή φράση: αποφασίστε, αποφασίστε και αποφασίστε ξανά. Τότε οι εργασίες με τέτοιους αριθμούς θα ολοκληρωθούν εύκολα και φυσικά, σαν ένα άλλο παζλ.
Παρεμπιπτόντως, οι γρίφοι είναι δύσκολο να λυθούν στην αρχή και μετά πρέπει να κάνετε τις συνηθισμένες κινήσεις. Το ίδιο συμβαίνει και στα μαθηματικά παραδείγματα: έχοντας περπατήσει στο ίδιο μονοπάτι αρκετές φορές, τότε δεν θα σκέφτεστε πια πού να στρίψετε.
1 μάθημα
1. Οργανωτική στιγμή
Ελέγξτε την ετοιμότητα των μαθητών για το μάθημα.
(Διαθεσιμότητα εκπαιδευτικών ειδών για το μάθημα)
εγώ .Ενημέρωση γνώσεων
Προφορική εργασία.
Στόχος: Συστηματοποίηση προηγούμενων γνώσεων που είναι απαραίτητες κατά την εκμάθηση νέου υλικού.
Οι μαθητές εκτελούν προφορικά εργασίες για τον πολλαπλασιασμό ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό και τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων.
Υπολογίζω:
Στη συνέχεια ο δάσκαλος θέτει την ερώτηση: Να διατυπώσετε πώς να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό Οι μαθητές θυμούνται τον ορισμό Αναφέρεται το θέμα του μαθήματος.
II .Ταυτόχρονη διαίρεση σε ομάδες και ζευγάρια.
Οι μαθητές επιλέγουν μία κάρτα από τον πίνακα του δασκάλου. Ορισμένα από αυτά περιέχουν παραδείγματα πράξεων με συνηθισμένα κλάσματα και άλλα περιέχουν τις αντίστοιχες απαντήσεις. Θα πρέπει να βρουν ταίρι και θα χωριστούν σε ζευγάρια Αν δουλέψουν σε ομάδες, θα χωριστούν με αυτόν τον τρόπο:
Η ομάδα 1 είναι οι μαθητές που συνάντησαν παραδείγματα, η ομάδα 2 είναι εκείνοι οι μαθητές που έχουν τις κατάλληλες απαντήσεις (Βλ. Παράρτημα Νο. 1).
III .Εκμάθηση νέου υλικού
Στόχος:Εισαγωγή των μαθητών σε νέο υλικό.
Εξήγηση του δασκάλου:
3.1.Ομαδική εργασία.
Στόχος:Έχοντας λύσει ανεξάρτητα το πρόβλημα με δύο τρόπους, διατυπώστε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός δεκαδικού κλάσματος με ένα δεκαδικό κλάσμα.
Στους μαθητές ανατίθενται οι ακόλουθες εργασίες:
Το μήκος του ορθογωνίου είναι 6,3 cm, το πλάτος 2,8 cm. Βρείτε την περιοχή του.
Κάθε ομάδα ολοκληρώνει αυτήν την εργασία σύμφωνα με την προτεινόμενη μέθοδο που της υποδεικνύεται.
Μέθοδος 1:Καταγράψτε τις αριθμητικές τιμές των διαστάσεων του ορθογωνίου με τη μορφή φυσικών αριθμών, εκφρασμένων σε χιλιοστά. Υπολογίστε το εμβαδόν και εκφράστε την απάντηση που προκύπτει σε τετραγωνικά εκατοστά.
Μέθοδος 2:Αντιπροσωπεύστε τις διαστάσεις ενός ορθογωνίου ως συνηθισμένα κλάσματα, βρείτε το εμβαδόν πολλαπλασιάζοντας τα συνηθισμένα κλάσματα και μετατρέποντας σε δεκαδικό.
Στη συνέχεια, ένας εκπρόσωπος από κάθε ομάδα εξηγεί τη λύση σε αυτό το παράδειγμα στους μαθητές της άλλης ομάδας στον πίνακα. Οι μαθητές ανταλλάσσουν απόψεις και εξάγουν τα ακόλουθα συμπεράσματα από τα αποτελέσματα της επίλυσης του προβλήματος:
Ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων στους παράγοντες είναι ο ίδιος αριθμός δεκαδικών ψηφίων στο γινόμενο τους.
Στη συνέχεια ο εκπαιδευτικός σχολιάζει τις εργασίες των ομάδων, συνοψίζει τα αποτελέσματα και βγάζει συμπέρασμα.
Οι μαθητές γράφουν στο τετράδιό τους.
Συμπέρασμα: Για να πολλαπλασιάσετε δεκαδικά κλάσματα πρέπει:
1) εκτελέστε τον πολλαπλασιασμό, χωρίς να δίνετε προσοχή στα κόμματα.
2) Διαχωρίστε στο γινόμενο που προκύπτει με κόμμα τόσα ψηφία στα δεξιά όσα υπάρχουν μετά την υποδιαστολή και στους δύο παράγοντες μαζί.
3.2 Ανάλυση διαφόρων παραδειγμάτων.
Στόχος:Περαιτέρω ανάπτυξη δεξιοτήτων στον πολλαπλασιασμό των δεκαδικών κλασμάτων.
Ας πολλαπλασιάσουμε αυτούς τους αριθμούς χωρίς να δώσουμε προσοχή και παίρνουμε τον αριθμό 20.496 στο γινόμενο στους δύο παράγοντες μετά την υποδιαστολή, υπάρχουν συνολικά τρία δεκαδικά ψηφία. Επομένως, στο γινόμενο πρέπει να διαχωρίσετε τρία ψηφία στα δεξιά Άρα, το γινόμενο είναι ίσο με 20,496.
VI .Επίλυση προβλημάτων
Στόχος:Εξάσκηση στην ικανότητα εφαρμογής του κανόνα του πολλαπλασιασμού των δεκαδικών κλασμάτων κατά την επίλυση προβλημάτων.
Οι μαθητές εργάζονται σε ζευγάρια.
Εκτελέστε εργασίες: Νο. 812, Νο. 814
VII . Συνοψίζοντας το μάθημα. Αντανάκλαση
Στόχος: Μάθετε εάν οι μαθητές έχουν επιτύχει τους στόχους του μαθήματος, ώστε να μπορούν να ληφθούν υπόψη κατά τον σχεδιασμό του επόμενου μαθήματος.
Δράσεις μαθητών : Συνοψίζοντας τις γνώσεις σας , απαντήστε σε ερωτήσεις.
Ερωτήσεις απολογισμού .(Προφορικά).
1. Τι μάθαμε σήμερα στην τάξη;
2. Ποιο στόχο μελετήσαμε σήμερα στην τάξη;
3. Ας επαναλάβουμε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των δεκαδικών κλασμάτων.
Στο τέλος του μαθήματος οι μαθητές στοχάζονται:
Μου άρεσε/δεν μου άρεσε το μάθημα
Σκοπός του μαθήματος κατανοητό / δεν κατάλαβα
Τι έμαθα, τι έμαθα________________________________
Τι δεν κατάλαβα πλήρως ________________________________
Τι πρέπει να εργαστείτε ________________________________
Βαθμολογία: Ο δάσκαλος ενθαρρύνει τις απαντήσεις και την εργασία των μαθητών.
Σχολική εργασία στο σπίτι:№813 № 815
Ακριβώς όπως οι κανονικοί αριθμοί.
2. Μετράμε τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων για το 1ο δεκαδικό κλάσμα και για το 2ο. Προσθέτουμε τους αριθμούς τους.
3. Στο τελικό αποτέλεσμα, μετρήστε από δεξιά προς τα αριστερά τον ίδιο αριθμό ψηφίων όπως στην παραπάνω παράγραφο και βάλτε κόμμα.
Κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δεκαδικών κλασμάτων.
1. Πολλαπλασιάστε χωρίς να προσέχετε το κόμμα.
2. Στο γινόμενο, διαχωρίζουμε τον ίδιο αριθμό ψηφίων μετά την υποδιαστολή όπως υπάρχουν μετά τα δεκαδικά ψηφία και στους δύο παράγοντες μαζί.
Όταν πολλαπλασιάζετε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, πρέπει:
1. Πολλαπλασιάστε αριθμούς χωρίς να δίνετε προσοχή στο κόμμα.
2. Ως αποτέλεσμα, τοποθετούμε το κόμμα έτσι ώστε να υπάρχουν τόσα ψηφία στα δεξιά του όσα και στο δεκαδικό κλάσμα.
Πολλαπλασιασμός δεκαδικών κλασμάτων ανά στήλη.
Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Γράφουμε τα δεκαδικά κλάσματα σε μια στήλη και τα πολλαπλασιάζουμε ως φυσικούς αριθμούς, χωρίς να δίνουμε σημασία στα κόμματα. Εκείνοι. Θεωρούμε το 3,11 ως 311 και το 0,01 ως 1.
Το αποτέλεσμα είναι 311. Στη συνέχεια, μετράμε τον αριθμό των σημείων (ψηφία) μετά την υποδιαστολή και για τα δύο κλάσματα. Το πρώτο δεκαδικό έχει 2 ψηφία και το 2ο έχει 2. Συνολικός αριθμόςψηφία μετά τα δεκαδικά ψηφία:
2 + 2 = 4
Μετράμε από δεξιά προς τα αριστερά τέσσερα ψηφία του αποτελέσματος. Το τελικό αποτέλεσμα περιέχει λιγότερους αριθμούς από αυτούς που πρέπει να διαχωριστούν με κόμμα. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να προσθέσετε τον αριθμό των μηδενικών που λείπουν στα αριστερά.
Στην περίπτωσή μας λείπει το πρώτο ψηφίο, οπότε προσθέτουμε 1 μηδέν στα αριστερά.
Σημειώστε:
Όταν πολλαπλασιάζουμε οποιοδήποτε δεκαδικό κλάσμα με 10, 100, 1000 κ.λπ., η υποδιαστολή στο δεκαδικό κλάσμα μετακινείται προς τα δεξιά κατά τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν μετά το ένα.
Για παράδειγμα:
70,1 . 10 = 701
0,023 . 100 = 2,3
5,6 . 1 000 = 5 600
Σημειώστε:
Πολλαπλασιασμός ενός δεκαδικού επί 0,1. 0,01; 0,001; και ούτω καθεξής, πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή σε αυτό το κλάσμα προς τα αριστερά κατά τόσες θέσεις όσες υπάρχουν μηδενικά πριν από το ένα.
Μετράμε μηδέν ακέραιους αριθμούς!
Για παράδειγμα:
12 . 0,1 = 1,2
0,05 . 0,1 = 0,005
1,256 . 0,01 = 0,012 56
Στα μαθήματα Γυμνασίου και Λυκείου, οι μαθητές κάλυψαν το θέμα «Κλάσματα». Ωστόσο, αυτή η έννοια είναι πολύ ευρύτερη από αυτή που δίνεται στη μαθησιακή διαδικασία. Σήμερα, η έννοια του κλάσματος συναντάται αρκετά συχνά και δεν μπορούν όλοι να υπολογίσουν οποιαδήποτε έκφραση, για παράδειγμα, πολλαπλασιάζοντας κλάσματα.
Τι είναι ένα κλάσμα;
Ιστορικά, οι κλασματικοί αριθμοί προέκυψαν από την ανάγκη μέτρησης. Όπως δείχνει η πρακτική, υπάρχουν συχνά παραδείγματα προσδιορισμού του μήκους ενός τμήματος και του όγκου ενός ορθογώνιου ορθογωνίου.
Αρχικά, οι μαθητές εισάγονται στην έννοια της μετοχής. Για παράδειγμα, αν χωρίσετε ένα καρπούζι σε 8 μέρη, τότε κάθε άτομο θα πάρει το ένα όγδοο του καρπουζιού. Αυτό το ένα μέρος των οκτώ ονομάζεται μετοχή.
Μια μετοχή ίση με το ½ οποιασδήποτε αξίας ονομάζεται μισή. ⅓ - τρίτο; ¼ - ένα τέταρτο. Οι εγγραφές της μορφής 5/8, 4/5, 2/4 ονομάζονται συνηθισμένα κλάσματα. Ένα κοινό κλάσμα χωρίζεται σε αριθμητή και παρονομαστή. Ανάμεσά τους βρίσκεται η ράβδος κλάσματος ή η μπάρα κλάσματος. Η κλασματική γραμμή μπορεί να σχεδιαστεί είτε ως οριζόντια είτε ως πλάγια γραμμή. Στην περίπτωση αυτή, υποδηλώνει το σύμβολο της διαίρεσης.
Ο παρονομαστής αντιπροσωπεύει σε πόσα ίσα μέρη χωρίζεται η ποσότητα ή το αντικείμενο. και ο αριθμητής είναι πόσες ίδιες μετοχές λαμβάνονται. Ο αριθμητής γράφεται πάνω από τη γραμμή του κλάσματος, ο παρονομαστής γράφεται κάτω από αυτήν.
Είναι πιο βολικό να εμφανίζονται συνηθισμένα κλάσματα σε μια ακτίνα συντεταγμένων. Εάν ένα μεμονωμένο τμήμα χωρίζεται σε 4 ίσα μέρη, κάθε τμήμα ορίζεται με ένα λατινικό γράμμα, τότε το αποτέλεσμα μπορεί να ληφθεί οπτικό βοήθημα. Άρα, το σημείο Α δείχνει ένα μερίδιο ίσο με το 1/4 ολόκληρου του τμήματος μονάδας και το σημείο Β σημειώνει τα 2/8 ενός δεδομένου τμήματος.
Τύποι κλασμάτων
Τα κλάσματα μπορεί να είναι απλοί, δεκαδικοί και μικτές αριθμοί. Επιπλέον, τα κλάσματα μπορούν να χωριστούν σε σωστά και ακατάλληλα. Αυτή η ταξινόμηση είναι πιο κατάλληλη για συνηθισμένα κλάσματα.
Σωστό κλάσμα είναι ένας αριθμός του οποίου ο αριθμητής είναι μικρότερο από τον παρονομαστή. Αντίστοιχα, ακατάλληλο κλάσμα- έναν αριθμό του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή του. Ο δεύτερος τύπος συνήθως γράφεται ως μικτός αριθμός. Αυτή η έκφραση αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα κλασματικό μέρος. Για παράδειγμα, 1½. Το 1 είναι ένα ακέραιο μέρος, το ½ είναι ένα κλασματικό μέρος. Ωστόσο, εάν πρέπει να πραγματοποιήσετε κάποιους χειρισμούς με την έκφραση (διαίρεση ή πολλαπλασιασμός κλασμάτων, μείωση ή μετατροπή τους), ο μεικτός αριθμός μετατρέπεται σε ακατάλληλο κλάσμα.
Μια σωστή κλασματική έκφραση είναι πάντα μικρότερη από ένα και μια λανθασμένη είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με 1.
Ως προς αυτήν την έκφραση, εννοούμε μια εγγραφή στην οποία αναπαρίσταται οποιοσδήποτε αριθμός, ο παρονομαστής της κλασματικής έκφρασης του οποίου μπορεί να εκφραστεί ως ένα με πολλά μηδενικά. Εάν το κλάσμα είναι σωστό, τότε το ακέραιο μέρος σε δεκαδικό συμβολισμό θα είναι ίσο με μηδέν.
Για να γράψετε ένα δεκαδικό κλάσμα, πρέπει πρώτα να γράψετε ολόκληρο το μέρος, να το διαχωρίσετε από το κλάσμα χρησιμοποιώντας κόμμα και στη συνέχεια να γράψετε την έκφραση του κλάσματος. Πρέπει να θυμόμαστε ότι μετά την υποδιαστολή ο αριθμητής πρέπει να περιέχει τον ίδιο αριθμό ψηφιακών χαρακτήρων όπως υπάρχουν μηδενικά στον παρονομαστή.
Παράδειγμα. Εκφράστε το κλάσμα 7 21 / 1000 με δεκαδικό συμβολισμό.
Αλγόριθμος για τη μετατροπή ενός ακατάλληλου κλάσματος σε μικτό αριθμό και αντίστροφα
Είναι λάθος να γράψετε ένα ακατάλληλο κλάσμα στην απάντηση σε ένα πρόβλημα, επομένως πρέπει να μετατραπεί σε μικτό αριθμό:
- διαιρέστε τον αριθμητή με τον υπάρχοντα παρονομαστή.
- Σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, ένα ημιτελές πηλίκο είναι ένα σύνολο.
- και το υπόλοιπο είναι ο αριθμητής του κλασματικού μέρους, με τον παρονομαστή να παραμένει αμετάβλητος.
Παράδειγμα. Μετατροπή ακατάλληλου κλάσματος σε μικτό αριθμό: 47 / 5.
Διάλυμα. 47: 5. Το μερικό πηλίκο είναι 9, το υπόλοιπο = 2. Άρα, 47 / 5 = 9 2 / 5.
Μερικές φορές χρειάζεται να αναπαραστήσετε έναν μικτό αριθμό ως ακατάλληλο κλάσμα. Στη συνέχεια, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο αλγόριθμο:
- το ακέραιο μέρος πολλαπλασιάζεται με τον παρονομαστή της κλασματικής έκφρασης.
- το προϊόν που προκύπτει προστίθεται στον αριθμητή.
- το αποτέλεσμα γράφεται στον αριθμητή, ο παρονομαστής παραμένει αμετάβλητος.
Παράδειγμα. Αντιπροσωπεύστε τον αριθμό στο μικτή μορφήως ακατάλληλο κλάσμα: 9 8 / 10.
Διάλυμα. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 είναι ο αριθμητής.
Απάντηση: 98 / 10.
Πολλαπλασιασμός κλασμάτων
Διάφορες αλγεβρικές πράξεις μπορούν να εκτελεστούν σε συνηθισμένα κλάσματα. Για να πολλαπλασιάσετε δύο αριθμούς, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή. Επιπλέον, ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές δεν διαφέρει από το γινόμενο κλασματικοί αριθμοίμε τους ίδιους παρονομαστές.
Συμβαίνει ότι μετά την εύρεση του αποτελέσματος πρέπει να μειώσετε το κλάσμα. Είναι επιτακτική ανάγκη να απλοποιηθεί όσο το δυνατόν περισσότερο η προκύπτουσα έκφραση. Φυσικά, δεν μπορεί κανείς να πει ότι ένα ακατάλληλο κλάσμα σε μια απάντηση είναι λάθος, αλλά είναι επίσης δύσκολο να το ονομάσουμε σωστή απάντηση.
Παράδειγμα. Να βρείτε το γινόμενο δύο συνηθισμένων κλασμάτων: ½ και 20/18.
Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, μετά την εύρεση του προϊόντος, λήφθηκε ένας αναγόμενος κλασματικός συμβολισμός. Τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής σε αυτήν την περίπτωση διαιρούνται με το 4 και το αποτέλεσμα είναι η απάντηση 5/9.
Πολλαπλασιασμός δεκαδικών κλασμάτων
Το γινόμενο των δεκαδικών κλασμάτων είναι αρκετά διαφορετικό από το γινόμενο των συνηθισμένων κλασμάτων στην αρχή του. Έτσι, ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων έχει ως εξής:
- δύο δεκαδικά κλάσματα πρέπει να γράφονται το ένα κάτω από το άλλο έτσι ώστε τα δεξιά ψηφία να είναι το ένα κάτω από το άλλο.
- πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους γραπτούς αριθμούς, παρά τα κόμματα, δηλαδή ως φυσικούς αριθμούς.
- μετρήστε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή σε κάθε αριθμό.
- στο αποτέλεσμα που προκύπτει μετά τον πολλαπλασιασμό, πρέπει να μετρήσετε από τα δεξιά τόσα ψηφιακά σύμβολα όσα περιέχονται στο άθροισμα και στους δύο παράγοντες μετά την υποδιαστολή και να βάλετε ένα διαχωριστικό σύμβολο.
- αν υπάρχουν λιγότεροι αριθμοί στο γινόμενο, τότε πρέπει να γράψετε τόσα μηδενικά μπροστά τους για να καλύψετε αυτόν τον αριθμό, να βάλετε κόμμα και να προσθέσετε ολόκληρο το μέρος ίσο με μηδέν.
Παράδειγμα. Να υπολογίσετε το γινόμενο δύο δεκαδικών κλασμάτων: 2,25 και 3,6.
Διάλυμα.
Πολλαπλασιασμός μικτών κλασμάτων
Να υπολογίσετε το γινόμενο των δύο μικτά κλάσματα, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων:
- μετατρέψτε τους μικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα.
- βρείτε το γινόμενο των αριθμητών.
- βρείτε το γινόμενο των παρονομαστών.
- γράψτε το αποτέλεσμα.
- απλοποιήστε την έκφραση όσο το δυνατόν περισσότερο.
Παράδειγμα. Βρείτε το γινόμενο των 4½ και 6 2/5.
Πολλαπλασιάζοντας έναν αριθμό με ένα κλάσμα (κλάσματα με έναν αριθμό)
Εκτός από την εύρεση του γινόμενου δύο κλασμάτων και μικτών αριθμών, υπάρχουν εργασίες όπου πρέπει να πολλαπλασιάσετε με ένα κλάσμα.
Έτσι, για να βρείτε το γινόμενο ενός δεκαδικού κλάσματος και ενός φυσικού αριθμού, χρειάζεστε:
- γράψτε τον αριθμό κάτω από το κλάσμα έτσι ώστε τα δεξιά ψηφία να είναι το ένα πάνω από το άλλο.
- βρείτε το προϊόν παρά το κόμμα.
- στο αποτέλεσμα που προκύπτει, διαχωρίστε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος χρησιμοποιώντας κόμμα, μετρώντας από τα δεξιά τον αριθμό των ψηφίων που βρίσκονται μετά την υποδιαστολή στο κλάσμα.
Για να πολλαπλασιάσετε ένα κοινό κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να βρείτε το γινόμενο του αριθμητή και του φυσικού παράγοντα. Εάν η απάντηση παράγει ένα κλάσμα που μπορεί να μειωθεί, θα πρέπει να μετατραπεί.
Παράδειγμα. Υπολογίστε το γινόμενο των 5/8 και 12.
Διάλυμα. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Απάντηση: 7 1 / 2.
Όπως μπορείτε να δείτε από το προηγούμενο παράδειγμα, ήταν απαραίτητο να μειωθεί το αποτέλεσμα που προέκυψε και να μετατραπεί η εσφαλμένη κλασματική έκφραση σε μικτό αριθμό.
Ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων αφορά επίσης την εύρεση του γινομένου ενός αριθμού σε μικτή μορφή και ενός φυσικού παράγοντα. Για να πολλαπλασιάσετε αυτούς τους δύο αριθμούς, θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε ολόκληρο το μέρος του μικτού παράγοντα με τον αριθμό, να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με την ίδια τιμή και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Εάν είναι απαραίτητο, πρέπει να απλοποιήσετε όσο το δυνατόν περισσότερο το αποτέλεσμα που προκύπτει.
Παράδειγμα. Βρείτε το γινόμενο των 9 5 / 6 και 9.
Διάλυμα. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Απάντηση: 88 1 / 2.
Πολλαπλασιασμός με συντελεστές 10, 100, 1000 ή 0,1. 0,01; 0,001
Ο ακόλουθος κανόνας προκύπτει από την προηγούμενη παράγραφο. Για να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με το 10, 100, 1000, 10000 κ.λπ., πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα δεξιά με τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στον παράγοντα μετά το ένα.
Παράδειγμα 1. Βρείτε το γινόμενο 0,065 και 1000.
Διάλυμα. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Απάντηση: 65.
Παράδειγμα 2. Βρείτε το γινόμενο των 3,9 και 1000.
Διάλυμα. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Απάντηση: 3900.
Εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν φυσικό αριθμό και 0,1. 0,01; 0,001; 0,0001, κ.λπ., θα πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα στο προϊόν που προκύπτει προς τα αριστερά κατά τόσους ψηφιακούς χαρακτήρες όσα μηδενικά είναι πριν από το ένα. Εάν χρειάζεται, γράφεται αρκετός αριθμός μηδενικών πριν από τον φυσικό αριθμό.
Παράδειγμα 1. Βρείτε το γινόμενο των 56 και 0,01.
Διάλυμα. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Απάντηση: 0,56.
Παράδειγμα 2. Βρείτε το γινόμενο των 4 και 0,001.
Διάλυμα. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Απάντηση: 0,004.
Έτσι, η εύρεση του γινομένου διαφορετικών κλασμάτων δεν πρέπει να προκαλεί δυσκολίες, εκτός ίσως από τον υπολογισμό του αποτελέσματος. σε αυτήν την περίπτωση, απλά δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς αριθμομηχανή.
