दो रेखाओं का उभयनिष्ठ बिंदु कैसे ज्ञात करें? दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु की गणना कैसे करें

यदि दो रेखाएँ समानांतर नहीं हैं, तो वे अनिवार्य रूप से एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी। खोज करना COORDINATES अंककार्य जो डेटा प्रदान करता है, उसके आधार पर 2 पंक्तियों के प्रतिच्छेदन को ग्राफ़िक और अंकगणितीय दोनों रूप से अनुमति दी जाती है।

आपको चाहिये होगा

– चित्र में दो सीधी रेखाएँ;
- 2 सीधी रेखाओं के समीकरण।

निर्देश

1. यदि ग्राफ़ पर रेखाएँ पहले से ही खींची गई हैं, तो ग्राफ़िक रूप से समाधान खोजें। ऐसा करने के लिए, दोनों या एक पंक्ति को जारी रखें ताकि वे प्रतिच्छेद करें। इसके बाद, प्रतिच्छेदन बिंदु को चिह्नित करें और उससे x-अक्ष पर एक लंब नीचे करें (हमेशा की तरह, ओह)।

2. अक्ष पर अंकित स्केल चिह्नों का उपयोग करके उस बिंदु के लिए x मान ज्ञात करें। यदि यह अक्ष की धनात्मक दिशा (शून्य चिह्न के दाईं ओर) में है, तो इसका मान सही होगा, अन्यथा यह ऋणात्मक होगा;

3. प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि भी सही ढंग से ज्ञात कीजिए। यदि किसी बिंदु का प्रक्षेपण शून्य चिह्न के ऊपर स्थित है, तो यह सही है; यदि नीचे है, तो यह नकारात्मक है। बिंदु के निर्देशांकों को (x, y) रूप में लिखें - यही समस्या का समाधान है।

4. यदि रेखाएँ सूत्र y=khx+b के रूप में दी गई हैं, तो आप समस्या को ग्राफिक रूप से भी हल कर सकते हैं: एक समन्वय ग्रिड पर रेखाएँ खींचें और ऊपर वर्णित विधि का उपयोग करके समाधान खोजें।

5. इन सूत्रों का उपयोग करके समस्या का समाधान खोजने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, इन समीकरणों से एक प्रणाली बनाएं और इसे हल करें। यदि समीकरण y=khx+b के रूप में दिए गए हैं, तो बस दोनों पक्षों को x के साथ बराबर करें और x खोजें। फिर x का मान किसी एक समीकरण में डालें और y ज्ञात करें।

6. आप क्रैमर विधि का उपयोग करके समाधान पा सकते हैं। इस स्थिति में, समीकरणों को A1x+B1y+C1=0 और A2x+B2y+C2=0 के रूप में घटाएं। क्रैमर के सूत्र के अनुसार, x=-(C1B2-C2B1)/(A1B2-A2B1), और y=-(A1C2-A2C1)/(A1B2-A2B1). कृपया ध्यान दें कि यदि हर शून्य है, तो रेखाएँ समानांतर या संपाती होती हैं और, तदनुसार, प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

7. यदि आपको विहित रूप में अंतरिक्ष में रेखाएँ दी गई हैं, तो समाधान खोजना शुरू करने से पहले, जाँच लें कि रेखाएँ समानांतर हैं या नहीं। ऐसा करने के लिए, t से पहले घातांक का मूल्यांकन करें यदि वे आनुपातिक हैं, मान लें, x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t और x=-1+6t, y=-1+4t, z =-5 +2t, तो रेखाएँ समानांतर हैं। इसके अलावा, रेखाएं प्रतिच्छेद कर सकती हैं, ऐसी स्थिति में सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं होगा।

8. यदि आपको पता चलता है कि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु ज्ञात करें। सबसे पहले, अलग-अलग रेखाओं से चर को बराबर करें, सशर्त रूप से पहली पंक्ति के लिए t को u से और दूसरी पंक्ति के लिए v से बदलें। मान लीजिए, यदि आपको पंक्तियाँ x=t-1, y=2t+1, z=t+2 और x=t+1, y=t+1, z=2t+8 दी गई हैं तो आपको u-1 जैसे भाव मिलेंगे =v +1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. एक समीकरण से u व्यक्त करें, इसे दूसरे में प्रतिस्थापित करें और v खोजें (इस समस्या में u=-2,v=-4)। अब, प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के लिए, प्राप्त मानों को t के स्थान पर प्रतिस्थापित करें (इससे पहले या दूसरे समीकरण में कोई फर्क नहीं पड़ता) और बिंदु x=-3, y=-3, z के निर्देशांक प्राप्त करें =0.

2 प्रतिच्छेदन पर विचार करना प्रत्यक्षउन्हें एक समतल में मानना ही पर्याप्त है, क्योंकि दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक ही तल में स्थित होती हैं। इनके समीकरण जान रहे हैं प्रत्यक्ष, उनके बिंदु के समन्वय का पता लगाना संभव है चौराहों .

आपको चाहिये होगा

रेखाओं के समीकरण

निर्देश

1. कार्तीय निर्देशांक में, एक रेखा का सामान्य समीकरण इस तरह दिखता है: Ax+By+C = 0. मान लीजिए कि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। पहली पंक्ति का समीकरण Ax+By+C = 0 है, दूसरी पंक्ति Dx+Ey+F = 0 है। पता लगाने के लिए सभी संकेतक (ए, बी, सी, डी, ई, एफ) निर्दिष्ट किए जाने चाहिए एक बिंदु चौराहोंइन प्रत्यक्षइन 2 रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना आवश्यक है।

2. हल करने के लिए, पहले समीकरण को E से और दूसरे को B से गुणा करना सुविधाजनक है। परिणामस्वरूप, समीकरण इस तरह दिखेंगे: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. दूसरे को घटाने के बाद पहले से समीकरण, आपको मिलता है: (एई-डीबी)x = एफबी-सीई। इसलिए, x = (एफबी-सीई)/(एई-डीबी)। प्रारंभिक प्रणालीआप D से गुणा कर सकते हैं, दूसरे को A से, फिर दूसरे को पहले से घटा सकते हैं। परिणामस्वरूप, y = (CD-FA)/(AE-DB)। परिणामी x और y मान बिंदु के निर्देशांक होंगे चौराहों प्रत्यक्ष .

3. समीकरण प्रत्यक्षसीधी रेखा के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर कोणीय सूचकांक k के माध्यम से भी लिखा जा सकता है। इस स्थिति में, रेखा के समीकरण का रूप y = kx+b है। मान लीजिए अब पहली पंक्ति का समीकरण y = k1*x+b1 है, और दूसरी पंक्ति का समीकरण y = k2*x+b2 है।

4. यदि हम इन 2 समीकरणों के दाहिने पक्षों को बराबर करते हैं, तो हमें मिलता है: k1*x+b1 = k2*x+b2। वहां से यह प्राप्त करना आसान है कि x = (b1-b2)/(k2-k1)। इस मान x को किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, यह प्राप्त होता है: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1)। x और y मान बिंदु के निर्देशांक निर्दिष्ट करेंगे चौराहों प्रत्यक्ष.यदि दो रेखाएँ समानांतर या संपाती हैं, तो उनमें क्रमशः सार्वभौमिक बिंदु नहीं होते हैं या बहुत बड़ी संख्या में सार्वभौमिक बिंदु होते हैं। इन मामलों में k1 = k2, बिंदुओं के निर्देशांक के लिए हर चौराहोंलुप्त हो जाएगा, इसलिए, सिस्टम में कोई शास्त्रीय समाधान नहीं होगा, सिस्टम में केवल एक शास्त्रीय समाधान हो सकता है, जो बिना शर्त है, क्योंकि दो भिन्न और गैर-समानांतर रेखाओं में केवल एक बिंदु हो सकता है। चौराहों .

विषय पर वीडियो

फ़ंक्शंस के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए, आपको दोनों फ़ंक्शंस को एक-दूसरे के बराबर करने की आवश्यकता है, $ x $ वाले सभी शब्दों को बाईं ओर ले जाएं, और बाकी को दाईं ओर ले जाएं, और जड़ों को ढूंढें परिणामी समीकरण.
दूसरी विधि समीकरणों की एक प्रणाली बनाना और एक फ़ंक्शन को दूसरे में प्रतिस्थापित करके हल करना है
तीसरी विधि में ग्राफ़िक रूप से फ़ंक्शंस का निर्माण शामिल है और दृश्य परिभाषाप्रतिच्छेदन बिंदु.

दो रैखिक फलनों का मामला

आइए दो पर विचार करें रैखिक कार्य$ f(x) = k_1 x+m_1 $ और $ g(x) = k_2 x + m_2 $। इन कार्यों को प्रत्यक्ष कहा जाता है। इन्हें बनाना काफी आसान है; आपको कोई भी दो मान $ x_1 $ और $ x_2 $ लेने होंगे और $ f(x_1) $ और $ (x_2) $ ढूंढना होगा। फिर फ़ंक्शन $ g(x) $ के साथ इसे दोहराएं। इसके बाद, फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु के समन्वय को दृष्टिगत रूप से ढूंढें।

आपको पता होना चाहिए कि रैखिक कार्यों में केवल एक प्रतिच्छेदन बिंदु होता है और केवल $ k_1 \neq k_2 $ होने पर। अन्यथा, $ k_1=k_2 $ के मामले में फ़ंक्शन एक दूसरे के समानांतर हैं, क्योंकि $ k $ ढलान गुणांक है। यदि $ k_1 \neq k_2 $ लेकिन $ m_1=m_2 $, तो प्रतिच्छेदन बिंदु $ M(0;m) $ होगा। समस्याओं के त्वरित समाधान के लिए इस नियम को याद रखने की सलाह दी जाती है।

उदाहरण 1
मान लीजिए $ f(x) = 2x-5 $ और $ g(x)=x+3 $ दिया गया है। फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें।
समाधान
यह कैसे करें? चूंकि दो रैखिक फ़ंक्शन प्रस्तुत किए गए हैं, पहली चीज़ जो हम देखते हैं वह दोनों फ़ंक्शन $ k_1 = 2 $ और $ k_2 = 1 $ का ढलान गुणांक है। हम ध्यान दें कि $ k_1 \neq k_2 $, इसलिए एक प्रतिच्छेदन बिंदु है। आइए इसे समीकरण $ f(x)=g(x) $ का उपयोग करके खोजें: $$ 2x-5 = x+3 $$ हम $ x $ वाले शब्दों को बाईं ओर और शेष को दाईं ओर ले जाते हैं: $$ 2x - x = 3+5 $$ हमने ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज $ x=8 $ प्राप्त कर लिया है, और अब कोटि ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, आइए $ x = 8 $ को किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करें, या तो $ f(x) $ में या $ g(x) $ में: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ तो, $ M (8;11) $ दो रैखिक कार्यों के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते तो हमें भेजें। हम प्रदान करेंगे विस्तृत समाधान. आप गणना की प्रगति देख सकेंगे और जानकारी प्राप्त कर सकेंगे। इससे आपको समय पर अपने शिक्षक से अपना ग्रेड प्राप्त करने में मदद मिलेगी!
उत्तर
$$ एम (8;11) $$

दो अरेखीय कार्यों का मामला

उदाहरण 3
फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजें: $ f(x)=x^2-2x+1 $ और $ g(x)=x^2+1 $
समाधान
दो अरेखीय कार्यों के बारे में क्या? एल्गोरिथ्म सरल है: हम समीकरणों को एक-दूसरे से बराबर करते हैं और मूल ढूंढते हैं: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ हम समीकरण के विभिन्न पक्षों पर $ x $ के साथ और बिना शब्दों को वितरित करते हैं: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ वांछित बिंदु का भुज मिल गया है, लेकिन यह पर्याप्त नहीं है। कोर्डिनेट $y$ अभी भी गायब है। हम समस्या स्थिति के दो समीकरणों में से किसी एक में $ x = 0 $ प्रतिस्थापित करते हैं। उदाहरण के लिए: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - फ़ंक्शन ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु
उत्तर
$$ एम (0;1) $$

ओह-ओह-ओह-ओह-ओह... ठीक है, यह कठिन है, जैसे कि वह खुद को एक वाक्य पढ़ रहा था =) हालांकि, आराम बाद में मदद करेगा, खासकर जब से मैंने आज उपयुक्त सामान खरीदा है। इसलिए, आइए पहले खंड पर आगे बढ़ें, मुझे आशा है कि लेख के अंत तक मैं प्रसन्नचित्त मूड बनाए रखूंगा।

दो सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति

यह वह स्थिति है जब श्रोता समवेत स्वर में गाते हैं। दो सीधी रेखाएँ हो सकती हैं:

1) मिलान;

2) समानांतर रहें: ;

3) या एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करें: .

नौसिखियों के लिए सहायता : कृपया गणितीय प्रतिच्छेदन चिन्ह याद रखें, यह बहुत बार दिखाई देगा। अंकन का अर्थ है कि रेखा रेखा के साथ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।

दो रेखाओं की सापेक्ष स्थिति कैसे ज्ञात करें?

आइए पहले मामले से शुरू करें:

दो रेखाएँ संपाती होती हैं यदि और केवल यदि उनके संगत गुणांक आनुपातिक हों, अर्थात, एक संख्या "लैम्ब्डा" ऐसी है जिससे समानताएं संतुष्ट होती हैं

आइए सीधी रेखाओं पर विचार करें और संबंधित गुणांकों से तीन समीकरण बनाएं:। प्रत्येक समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि, इसलिए, ये रेखाएँ संपाती हैं।

दरअसल, यदि समीकरण के सभी गुणांक -1 से गुणा करें (चिह्न बदलें), और समीकरण के सभी गुणांक 2 से घटाने पर आपको वही समीकरण प्राप्त होता है:।

दूसरा मामला, जब रेखाएँ समानांतर हों:

दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि और केवल यदि उनके चरों के गुणांक आनुपातिक हों: , लेकिन.

उदाहरण के तौर पर, दो सीधी रेखाओं पर विचार करें। हम चरों के लिए संगत गुणांकों की आनुपातिकता की जाँच करते हैं:

हालाँकि, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि.

और तीसरा मामला, जब रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं:

दो रेखाएँ तभी प्रतिच्छेद करती हैं जब उनके चरों के गुणांक आनुपातिक न हों, अर्थात्, "लैम्ब्डा" का कोई ऐसा मूल्य नहीं है जिससे समानताएँ संतुष्ट हों

तो, सीधी रेखाओं के लिए हम एक प्रणाली बनाएंगे:

पहले समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि, और दूसरे समीकरण से:, जिसका अर्थ है प्रणाली असंगत है(कोई समाधान नहीं). इस प्रकार, चरों के गुणांक आनुपातिक नहीं हैं।

निष्कर्ष: रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं

व्यावहारिक समस्याओं में, आप अभी चर्चा की गई समाधान योजना का उपयोग कर सकते हैं। वैसे, यह संरेखता के लिए वैक्टर की जाँच के लिए एल्गोरिदम की बहुत याद दिलाता है, जिसे हमने कक्षा में देखा था सदिशों की रैखिक (इन)निर्भरता की अवधारणा। सदिशों का आधार. लेकिन एक अधिक सभ्य पैकेजिंग भी है:

उदाहरण 1

रेखाओं की सापेक्ष स्थिति ज्ञात कीजिए:

समाधानसीधी रेखाओं के दिशा सदिशों के अध्ययन के आधार पर:

ए) समीकरणों से हम रेखाओं के दिशा सदिश ज्ञात करते हैं: .

, जिसका अर्थ है कि सदिश संरेख नहीं हैं और रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

बस किसी मामले में, मैं चौराहे पर संकेतों वाला एक पत्थर रखूंगा:

बाकी लोग पत्थर पर कूदते हैं और आगे बढ़ते हैं, सीधे काशी द इम्मोर्टल की ओर =)

बी) रेखाओं के दिशा सदिश ज्ञात कीजिए:

रेखाओं का दिशा सदिश समान है, जिसका अर्थ है कि वे या तो समानांतर हैं या संपाती हैं। यहां निर्धारक को गिनने की कोई आवश्यकता नहीं है।

यह स्पष्ट है कि अज्ञात के गुणांक आनुपातिक हैं, और।

आइए जानें कि क्या समानता सत्य है:

इस प्रकार,

ग) रेखाओं के दिशा सदिश ज्ञात कीजिए:

आइए इन सदिशों के निर्देशांकों से बने निर्धारक की गणना करें:
, इसलिए, दिशा सदिश संरेख हैं। रेखाएँ या तो समानांतर होती हैं या संपाती होती हैं।

आनुपातिकता गुणांक "लैम्ब्डा" को सीधे कोलिनियर दिशा वैक्टर के अनुपात से देखना आसान है। हालाँकि, इसे स्वयं समीकरणों के गुणांकों के माध्यम से भी पाया जा सकता है: .

अब आइए जानें कि क्या समानता सत्य है। दोनों मुक्त पद शून्य हैं, इसलिए:

परिणामी मान इस समीकरण को संतुष्ट करता है (सामान्य तौर पर कोई भी संख्या इसे संतुष्ट करती है)।

इस प्रकार, रेखाएँ मेल खाती हैं।

उत्तर:

बहुत जल्द आप मौखिक रूप से चर्चा की गई समस्या को कुछ ही सेकंड में शाब्दिक रूप से हल करना सीख जाएंगे (या पहले ही सीख चुके हैं)। इस संबंध में, मुझे कुछ भी पेश करने का कोई मतलब नहीं दिखता स्वतंत्र निर्णय, ज्यामितीय नींव में एक और महत्वपूर्ण ईंट रखना बेहतर है:

किसी दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा कैसे बनाएं?

इस सरलतम कार्य की अज्ञानता के लिए, नाइटिंगेल द रॉबर गंभीर रूप से दंडित करता है।

उदाहरण 2

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। बिंदु से गुजरने वाली समानांतर रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।

समाधान: आइए अज्ञात रेखा को अक्षर से निरूपित करें। स्थिति उसके बारे में क्या कहती है? सीधी रेखा बिंदु से होकर गुजरती है। और यदि रेखाएँ समानांतर हैं, तो यह स्पष्ट है कि सीधी रेखा "त्से" का दिशा वेक्टर भी सीधी रेखा "डी" के निर्माण के लिए उपयुक्त है।

हम समीकरण से दिशा वेक्टर निकालते हैं:

उत्तर:

उदाहरण ज्यामिति सरल दिखती है:

विश्लेषणात्मक परीक्षण में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1) हम जांचते हैं कि रेखाओं का दिशा सदिश समान है (यदि रेखा के समीकरण को ठीक से सरल नहीं किया गया है, तो सदिश संरेख होंगे)।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है।

ज्यादातर मामलों में, विश्लेषणात्मक परीक्षण आसानी से मौखिक रूप से किया जा सकता है। दोनों समीकरणों को देखें, और आप में से कई लोग बिना किसी रेखांकन के तुरंत ही रेखाओं की समानता निर्धारित कर लेंगे।

आज स्वतंत्र समाधान के उदाहरण रचनात्मक होंगे। क्योंकि आपको अभी भी बाबा यगा से प्रतिस्पर्धा करनी होगी, और वह, आप जानते हैं, सभी प्रकार की पहेलियों की प्रेमी है।

उदाहरण 3

यदि रेखा के समांतर किसी बिंदु से होकर गुजरने वाली रेखा के लिए एक समीकरण लिखें

इसे हल करने का एक तर्कसंगत और उतना तर्कसंगत तरीका नहीं है। अधिकांश शॉर्टकट- पाठ के अंत में.

हमने समानांतर रेखाओं के साथ थोड़ा काम किया और बाद में उन पर लौटेंगे। संपाती रेखाओं का मामला कम दिलचस्प है, तो आइए एक ऐसी समस्या पर विचार करें जो स्कूली पाठ्यक्रम से आपको बहुत परिचित है:

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे ज्ञात करें?

अगर सीधा है बिंदु पर प्रतिच्छेद करें, तो इसके निर्देशांक समाधान हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली

रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे ज्ञात करें? सिस्टम को हल करें.

हेयर यू गो ज्यामितीय अर्थदो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली- ये एक समतल पर दो प्रतिच्छेदी (अक्सर) रेखाएँ होती हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए

समाधान: हल करने के दो तरीके हैं - ग्राफिकल और विश्लेषणात्मक।

ग्राफ़िकल विधि में केवल दी गई रेखाएँ खींचना और चित्र से सीधे प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाना है:

यहाँ हमारी बात है: . जांचने के लिए, आपको रेखा के प्रत्येक समीकरण में इसके निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना चाहिए, उन्हें वहां और वहां दोनों में फिट होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु के निर्देशांक प्रणाली का एक समाधान हैं। मूलतः, हमने एक ग्राफ़िकल समाधान पर ध्यान दिया रैखिक समीकरणों की प्रणालीदो समीकरणों, दो अज्ञात के साथ।

बेशक, ग्राफ़िकल विधि ख़राब नहीं है, लेकिन इसमें ध्यान देने योग्य नुकसान भी हैं। नहीं, बात यह नहीं है कि सातवीं कक्षा के छात्र इस तरह निर्णय लेते हैं, बात यह है कि एक सही और सटीक ड्राइंग बनाने में समय लगेगा। इसके अलावा, कुछ सीधी रेखाओं का निर्माण करना इतना आसान नहीं है, और प्रतिच्छेदन बिंदु स्वयं नोटबुक शीट के बाहर तीसवें साम्राज्य में कहीं स्थित हो सकता है।

इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु की तलाश करना अधिक समीचीन है विश्लेषणात्मक विधि. आइए सिस्टम को हल करें:

प्रणाली को हल करने के लिए, समीकरणों को पद-दर-पद जोड़ने की विधि का उपयोग किया गया था। प्रासंगिक कौशल विकसित करने के लिए, एक सबक लें समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें?

उत्तर:

जाँच तुच्छ है - प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक को सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।

उदाहरण 5

यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं तो उनका प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। कार्य को कई चरणों में विभाजित करना सुविधाजनक है। स्थिति के विश्लेषण से पता चलता है कि यह आवश्यक है:
1) सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।
2) सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।
3) रेखाओं की सापेक्ष स्थिति ज्ञात कीजिए।
4) यदि रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करें।

एक क्रिया एल्गोरिदम का विकास कई ज्यामितीय समस्याओं के लिए विशिष्ट है, और मैं बार-बार इस पर ध्यान केंद्रित करूंगा।

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर:

पाठ के दूसरे भाग तक पहुंचने से पहले एक जोड़ी जूते भी खराब नहीं हुए थे:

लंबवत रेखाएँ. एक बिंदु से एक रेखा की दूरी.
सीधी रेखाओं के बीच का कोण

आइए एक विशिष्ट और बहुत महत्वपूर्ण कार्य से शुरुआत करें। पहले भाग में, हमने सीखा कि इसके समानांतर एक सीधी रेखा कैसे बनाई जाती है, और अब मुर्गे की टांगों पर झोपड़ी 90 डिग्री घूम जाएगी:

किसी दिए गए पर लंबवत रेखा कैसे बनाएं?

उदाहरण 6

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। बिंदु से गुजरने वाली रेखा पर लंबवत एक समीकरण लिखें।

समाधान: शर्त से पता चलता है कि. रेखा का निर्देशन सदिश ढूंढ़ना अच्छा रहेगा। चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं, चाल सरल है:

समीकरण से हम सामान्य वेक्टर को "हटाते हैं":, जो सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर होगा।

आइए एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण बनाएं:

उत्तर:

आइए ज्यामितीय रेखाचित्र का विस्तार करें:

हम्म्म... नारंगी आकाश, नारंगी समुद्र, नारंगी ऊँट।

समाधान का विश्लेषणात्मक सत्यापन:

1) हम समीकरणों से दिशा सदिश निकालते हैं और मदद से सदिशों का अदिश गुणनफलहम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि रेखाएँ वास्तव में लंबवत हैं:।

वैसे, आप सामान्य वैक्टर का उपयोग कर सकते हैं, यह और भी आसान है।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है .

परीक्षण, फिर से, मौखिक रूप से करना आसान है।

उदाहरण 7

यदि समीकरण ज्ञात है तो लंब रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए और अवधि.

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। समस्या में कई क्रियाएं होती हैं, इसलिए बिंदुवार समाधान तैयार करना सुविधाजनक होता है।

हमारी रोमांचक यात्रा जारी है:

बिंदु से रेखा की दूरी

हमारे सामने नदी की एक सीधी पट्टी है और हमारा काम सबसे छोटे रास्ते से उस तक पहुंचना है। कोई बाधा नहीं है, और सबसे इष्टतम मार्ग लंबवत रूप से आगे बढ़ना होगा। अर्थात्, एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी लंब खंड की लंबाई है।

ज्यामिति में दूरी को पारंपरिक रूप से ग्रीक अक्षर "rho" द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए: - बिंदु "em" से सीधी रेखा "de" तक की दूरी।

बिंदु से रेखा की दूरी सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

उदाहरण 8

एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात कीजिए

समाधान: आपको बस सूत्र में संख्याओं को सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापित करना और गणना करना है:

उत्तर:

आइए चित्र बनाएं:

बिंदु से रेखा तक की पाई गई दूरी बिल्कुल लाल खंड की लंबाई के बराबर है। यदि आप 1 इकाई के पैमाने पर चेकर पेपर पर एक चित्र बनाते हैं। = 1 सेमी (2 सेल), तो दूरी एक साधारण रूलर से मापी जा सकती है।

आइए उसी ड्राइंग के आधार पर एक अन्य कार्य पर विचार करें:

कार्य उस बिंदु के निर्देशांक ढूंढना है जो सीधी रेखा के सापेक्ष बिंदु के सममित है . मैं चरणों को स्वयं निष्पादित करने का सुझाव देता हूं, लेकिन मैं मध्यवर्ती परिणामों के साथ समाधान एल्गोरिदम की रूपरेखा तैयार करूंगा:

1) एक ऐसी रेखा खोजें जो रेखा पर लंबवत हो।

2) रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए: .

इस पाठ में दोनों क्रियाओं पर विस्तार से चर्चा की गई है।

3) बिंदु खंड का मध्यबिंदु है। हम मध्य और एक सिरे के निर्देशांक जानते हैं। द्वारा किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक के लिए सूत्रहम देखतें है ।

यह जांचना एक अच्छा विचार होगा कि दूरी भी 2.2 इकाई है।

यहां गणना करने में कठिनाइयां आ सकती हैं, लेकिन टावर में एक माइक्रोकैलकुलेटर एक बड़ी मदद है, जो आपको गिनती करने की अनुमति देता है सामान्य भिन्न. मैंने तुम्हें कई बार सलाह दी है और फिर भी तुम्हें सलाह दूँगा।

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें?

उदाहरण 9

दो समानान्तर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

यह आपके लिए स्वयं निर्णय लेने का एक और उदाहरण है। मैं आपको थोड़ा संकेत देता हूँ: इसे हल करने के अनंत तरीके हैं। पाठ के अंत में डीब्रीफिंग, लेकिन स्वयं अनुमान लगाने का प्रयास करना बेहतर होगा, मुझे लगता है कि आपकी सरलता अच्छी तरह से विकसित थी।

दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण

हर कोना एक चौखट है:

ज्यामिति में, दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को छोटा कोण माना जाता है, जिससे यह स्वचालित रूप से पता चलता है कि यह अधिक कोण नहीं हो सकता है। चित्र में, लाल चाप द्वारा दर्शाए गए कोण को प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण नहीं माना जाता है। और उसका "हरा" पड़ोसी या विपरीत दिशा में उन्मुख"रास्पबेरी" कोने.

यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो चारों कोणों में से किसी एक को उनके बीच का कोण माना जा सकता है।

कोण किस प्रकार भिन्न हैं? अभिविन्यास। सबसे पहले, जिस दिशा में कोण को "स्क्रॉल" किया जाता है वह मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है। दूसरे, एक नकारात्मक उन्मुख कोण को ऋण चिह्न के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए यदि।

मैंने तुम्हें यह क्यों बताया? ऐसा लगता है कि हम कोण की सामान्य अवधारणा से काम चला सकते हैं। तथ्य यह है कि जिन सूत्रों से हम कोण ज्ञात करेंगे उनका परिणाम आसानी से नकारात्मक हो सकता है, और इससे आपको आश्चर्य नहीं होना चाहिए। ऋण चिह्न वाला कोण कोई बुरा नहीं है, और इसका एक बहुत ही विशिष्ट ज्यामितीय अर्थ होता है। ड्राइंग में, एक नकारात्मक कोण के लिए, एक तीर (घड़ी की दिशा) के साथ इसके अभिविन्यास को इंगित करना सुनिश्चित करें।

दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें?दो कार्य सूत्र हैं:

उदाहरण 10

रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

समाधानऔर विधि एक

आइए सामान्य रूप में समीकरणों द्वारा परिभाषित दो सीधी रेखाओं पर विचार करें:

अगर सीधा है लंबवत नहीं, वह उन्मुखीउनके बीच के कोण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

आइए हम हर पर पूरा ध्यान दें - यह बिल्कुल यही है डॉट उत्पादसीधी रेखाओं के दिशा सदिश:

यदि, तो सूत्र का हर शून्य हो जाता है, और सदिश लंबकोणीय होंगे और रेखाएँ लंबवत होंगी। इसीलिए सूत्रीकरण में सीधी रेखाओं की गैर-लंबवतता के बारे में आरक्षण दिया गया था।

उपरोक्त के आधार पर, समाधान को दो चरणों में औपचारिक बनाना सुविधाजनक है:

1) आइए रेखाओं के दिशा सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना करें:
, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ लंबवत नहीं हैं।

2) सूत्र का उपयोग करके सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करें:

व्युत्क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करके, कोण को स्वयं खोजना आसान है। इस मामले में, हम आर्कटेंजेंट की विषमता का उपयोग करते हैं (देखें)। प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण):

उत्तर:

उत्तर में हम कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना की गई सटीक मान, साथ ही अनुमानित मान (अधिमानतः डिग्री और रेडियन दोनों में) इंगित करते हैं।

खैर, माइनस, माइनस, कोई बड़ी बात नहीं। यहाँ एक ज्यामितीय चित्रण है:

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कोण नकारात्मक अभिविन्यास वाला निकला, क्योंकि समस्या कथन में पहली संख्या एक सीधी रेखा है और कोण का "अनस्क्रूइंग" ठीक इसके साथ शुरू हुआ।

यदि आप वास्तव में एक सकारात्मक कोण प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको रेखाओं को स्वैप करना होगा, यानी दूसरे समीकरण से गुणांक लेना होगा , और पहले समीकरण से गुणांक लें। संक्षेप में, आपको प्रत्यक्ष से शुरुआत करने की आवश्यकता है .

यदि रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो उसके निर्देशांक समाधान हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली

रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे ज्ञात करें? सिस्टम को हल करें.

हेयर यू गो दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का ज्यामितीय अर्थ- ये एक समतल पर दो प्रतिच्छेदी (अक्सर) रेखाएँ होती हैं।

कार्य को कई चरणों में विभाजित करना सुविधाजनक है। स्थिति के विश्लेषण से पता चलता है कि यह आवश्यक है:
1) एक सीधी रेखा का समीकरण बनाएं।
2) दूसरी पंक्ति के लिए एक समीकरण लिखें।
3) रेखाओं की सापेक्ष स्थिति ज्ञात कीजिए।
4) यदि रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करें।

उदाहरण 13.

रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए

समाधान: विश्लेषणात्मक पद्धति का उपयोग करके प्रतिच्छेदन बिंदु की खोज करना उचित है। आइए सिस्टम को हल करें:

उत्तर:

पृ.6.4. बिंदु से रेखा की दूरी

बिंदु से दूरी एक सीधी रेखा की ओर सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

उदाहरण 14.

एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात कीजिए

उत्तर:

पृ.6.5. सीधी रेखाओं के बीच का कोण.

उदाहरण 15.

रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

1. जाँचें कि क्या रेखाएँ लंबवत हैं:

आइए रेखाओं के दिशा सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना करें:
, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ लंबवत नहीं हैं।
2. सूत्र का उपयोग करके सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करें:

इस प्रकार:

उत्तर:

दूसरे क्रम के वक्र. घेरा

मान लीजिए कि समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली 0xy निर्दिष्ट की गई है।

दूसरा क्रम वक्रबिंदु M(x, y, z) के वर्तमान निर्देशांक के सापेक्ष दूसरी डिग्री के समीकरण द्वारा परिभाषित विमान पर एक रेखा है। सामान्य तौर पर, यह समीकरण इस प्रकार दिखता है:

जहां गुणांक ए, बी, सी, डी, ई, एल कोई वास्तविक संख्याएं हैं, और ए, बी, सी में से कम से कम एक संख्या गैर-शून्य है।

1.वृत्तएक समतल पर बिंदुओं का एक समूह है, जिससे एक निश्चित बिंदु M 0 (x 0, y 0) की दूरी स्थिर है और R के बराबर है। बिंदु M 0 को वृत्त का केंद्र कहा जाता है, और संख्या R इसकी है RADIUS

– बिंदु M 0 (x 0, y 0) और त्रिज्या R पर केंद्र वाले एक वृत्त का समीकरण।

यदि वृत्त का केंद्र निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ मेल खाता है, तो हमारे पास है:

– एक वृत्त का विहित समीकरण.

दीर्घवृत्त.

अंडाकारएक समतल पर बिंदुओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए बिंदुओं की दूरियों का योग एक स्थिर मान है (और यह मान इन बिंदुओं के बीच की दूरी से अधिक है)। इन बिंदुओं को कहा जाता है दीर्घवृत्त foci.

दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है.

रिश्ता कहलाता है सनकदीर्घवृत्त और इसे निम्न द्वारा निरूपित किया जाता है: , . के बाद से< 1.

नतीजतन, जैसे-जैसे अनुपात घटता है, यह 1 की ओर बढ़ता है, यानी। b, a से थोड़ा अलग है और दीर्घवृत्त का आकार एक वृत्त के आकार के करीब हो जाता है। सीमित मामले में जब , हमें एक वृत्त मिलता है जिसका समीकरण है

एक्स 2 + वाई 2 = ए 2।

अतिशयोक्ति

अतिशयोक्तिएक समतल पर बिंदुओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए बिंदुओं की दूरी में अंतर का पूर्ण मान कहा जाता है चाल, एक स्थिर मान है (बशर्ते यह मान फ़ोकस के बीच की दूरी से कम हो और 0 के बराबर न हो)।

मान लीजिए F 1, F 2 नाभियाँ हैं, उनके बीच की दूरी 2с, परवलय के पैरामीटर द्वारा निरूपित की जाएगी)।

– परवलय का विहित समीकरण.

ध्यान दें कि ऋणात्मक p का समीकरण एक परवलय भी निर्दिष्ट करता है, जो 0y अक्ष के बाईं ओर स्थित होगा। समीकरण एक परवलय का वर्णन करता है, जो 0y अक्ष के बारे में सममित है, जो p > 0 के लिए 0x अक्ष के ऊपर स्थित है और p के लिए 0x अक्ष के नीचे स्थित है।< 0.