아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트 및 아크코탄젠트 값을 찾습니다. 아크사인, 공식, 아크사인 함수 그래프, 강의 및 프레젠테이션 시리즈 확장

아크사인(y = 아크신 x) 는 사인의 역함수입니다(x = 죄악 -1 ≤ x ≤ 1그리고 값 세트 -π /2 ≤ y ≤ π/2.
죄(아크신 x) = x
아크사인(사인 x) = x

아크사인은 때때로 다음과 같이 표시됩니다.
.

아크사인 함수 그래프

함수 그래프 y = 아크신 x

아크사인 그래프는 가로축과 세로축이 바뀌면 사인 그래프에서 얻어집니다. 모호함을 없애기 위해 값의 범위는 함수가 단조로운 간격으로 제한됩니다. 이 정의를 아크사인의 주요 값이라고 합니다.

아크코사인, 아크코스

아크코사인(y = 아르코스엑스) 코사인의 역함수입니다(x = 아늑한). 범위가 있습니다 -1 ≤ x ≤ 1그리고 많은 의미 0 ≤ y ≤ π.
cos(아르코스 x) = x
아크코스(cos x) = x

아크코사인은 때때로 다음과 같이 표시됩니다.
.

아크코사인 함수 그래프

함수 그래프 y = 아르코스엑스

아크코사인 그래프는 가로축과 세로축을 바꾸면 코사인 그래프에서 구해집니다. 모호함을 없애기 위해 값의 범위는 함수가 단조로운 간격으로 제한됩니다. 이 정의를 아크코사인의 주요값이라고 합니다.

동등

아크사인 함수가 이상합니다.
아크사인(-x) = 아크사인(-사인 아크사인 x) = 아크신(사인(-아크신 x)) = - 아크신 x

아크 코사인 함수는 짝수 또는 홀수가 아닙니다.
아크코스(-x) = 아크코스(-cos 아크코스 x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - 아크코사인 x ≠ ± 아크코사인 x

속성 - 극값, 증가, 감소

함수 아크사인과 아크코사인은 정의 영역에서 연속입니다(연속성 증명 참조). 아크사인과 아크코사인의 주요 특성이 표에 나와 있습니다.

	y= 아크신 x	y= 아르코스엑스
범위와 연속성	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
값의 범위
상승 하강	단조롭게 증가	단조롭게 감소
최고
최소값
0, y = 0	x = 0	x = 1
세로축을 사용하여 점을 가로채고, x = 0	y= 0	y = π/ 2

아크사인 및 아크코사인 표

이 표에는 인수의 특정 값에 대한 아크사인 및 아크코사인 값이 각도 및 라디안으로 표시됩니다.

엑스	아크신 x		아르코스엑스
	빗발	기쁜.	빗발	기쁜.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

방식

합과 차이 공식

또는

에 그리고

에 그리고

~에

~에

로그, 복소수를 통한 표현

쌍곡선 함수를 통한 표현

파생상품

;
.
아크사인 및 아크코사인 파생 상품의 파생을 참조하세요. > > >

고차 파생 상품:
,
의 다항식은 어디에 있습니까? 이는 다음 공식에 의해 결정됩니다.
;
;
.

아크사인 및 아크코사인의 고차 도함수 유도 > > >를 참조하세요.

적분

우리는 대체 x =를 만듭니다. 신트. -π/를 고려하여 부분별로 적분합니다. 2 ≤ 티 ≤ π/2, 비용 t ≥ 0:
.

아크사인을 통해 아크코사인을 표현해 보겠습니다.
.

시리즈 확장

언제 |x|< 1 다음과 같은 분해가 발생합니다.
;
.

역함수

아크사인과 아크코사인의 역수는 각각 사인과 코사인입니다.

다음 공식은 전체 정의 영역에 걸쳐 유효합니다.
죄(아크신 x) = x
cos(아르코스 x) = x .

다음 공식은 아크사인 및 아크코사인 값 집합에만 유효합니다.
아크사인(사인 x) = x~에
아크코스(cos x) = x에 .

참고자료:
안에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 엔지니어 및 대학생을 위한 수학 핸드북, "Lan", 2009.

아크사인, 아크코사인이란 무엇입니까? 아크탄젠트, 아크코탄젠트란 무엇인가요?

주목!
추가사항이 있습니다
특별 조항 555의 자료.
매우 "그렇지 않은..." 사람들을 위해
그리고 "아주 많이…"라고 하시는 분들을 위해)

개념에 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트, 아크코탄젠트 학생 인구는 조심 스럽습니다. 그는 이러한 용어를 이해하지 못하므로 이 훌륭한 가족을 신뢰하지 않습니다.) 그러나 헛된 것입니다. 이것은 매우 간단한 개념입니다. 그건 그렇고, 삼각 방정식을 풀 때 지식이 풍부한 사람의 삶이 훨씬 쉬워집니다!

단순성에 대한 의심? 헛된 것입니다.) 지금 여기에서 이것을 보게 될 것입니다.

물론 이해를 위해서는 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트가 무엇인지 알아두면 좋을 것 같습니다. 예, 일부 각도에 대한 표 값은... 적어도 가장 일반적인 용어에서는 그렇습니다. 그러면 여기에도 문제가 없을 것입니다.

그래서 우리는 놀랐습니다. 하지만 기억하세요: 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트 및 아크코탄젠트는 일부 각도일 뿐입니다.그 이상도 이하도 아닌. 30°라는 각도가 있습니다. 그리고 코너도 있어요 arcsin0.4. 또는 arctg(-1.3). 각도는 종류가 다양합니다.) 각도를 다양하게 적어주시면 됩니다. 각도를 도 또는 라디안으로 쓸 수 있습니다. 또는 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트를 통해...

표현의 의미는 무엇입니까?

아크신 0.4?

이것은 사인이 0.4인 각도입니다.! 예 예. 이것이 아크사인의 의미입니다. 구체적으로 반복하겠습니다. arcsin 0.4는 사인이 0.4인 각도입니다.

그게 다야.

이 간단한 생각을 오랫동안 머릿속에 유지하기 위해 이 끔찍한 용어인 아크사인에 대해 자세히 설명하겠습니다.

호 죄 0,4
모서리, 그 사인 0.4와 같음

쓰여진대로 들립니다.) 거의. 콘솔 호수단 호(단어 아치알고 계시나요?) 왜냐하면 고대 사람들은 각도 대신 호를 사용했지만 이것이 문제의 본질을 바꾸지는 않습니다. 수학 용어의 기본 해독을 기억하십시오! 또한 아크코사인, 아크탄젠트 및 아크코탄젠트의 경우 디코딩은 함수 이름에서만 다릅니다.

아크코스 0.8이란 무엇인가요?
이것은 코사인이 0.8인 각도입니다.

arctg(-1,3) 란 무엇입니까?
이것은 탄젠트가 -1.3인 각도입니다.

arcctg12란 무엇입니까?
이것은 코탄젠트가 12인 각도입니다.

그런데 이러한 기본 디코딩을 통해 엄청난 실수를 피할 수 있습니다.) 예를 들어 arccos1,8이라는 표현은 상당히 견고해 보입니다. 디코딩을 시작해 보겠습니다. arccos1.8은 코사인이 1.8인 각도입니다... 점프 점프!? 1.8!? 코사인은 1보다 클 수 없습니다!!!

오른쪽. arccos1,8이라는 표현은 의미가 없습니다. 그리고 어떤 답변에 그런 표현을 쓰면 검사관이 크게 재미있을 것입니다.)

보시다시피 기본입니다.) 각 각도에는 고유한 사인과 코사인이 있습니다. 그리고 거의 모든 사람은 자신만의 탄젠트와 코탄젠트를 가지고 있습니다. 따라서 삼각함수를 알면 각도 자체를 적을 수 있습니다. 이것이 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트 및 아크코탄젠트의 목적입니다. 이제부터 나는 이 가족 전체를 작은 이름으로 부르겠습니다. 아치적게 입력합니다.)

주목! 초등언어와 의식하는아치를 해독하면 다양한 작업을 침착하고 자신있게 해결할 수 있습니다. 그리고 특이한그녀만이 작업을 저장합니다.

호에서 일반 각도 또는 라디안으로 전환할 수 있습니까?- 조심스러운 질문이 들리네요.)

왜 안 돼!? 용이하게. 거기로 갔다가 돌아올 수 있습니다. 더욱이 때로는 이 작업을 수행해야 합니다. 아치는 단순한 것이지만 아치가 없으면 왠지 더 차분해지죠?)

예를 들어 arcsin 0.5는 무엇입니까?

디코딩을 기억해 봅시다: arcsin 0.5는 사인이 0.5인 각도입니다.이제 머리(또는 Google)를 켜고 사인이 0.5인 각도를 기억하십니까? 사인은 0.5y입니다. 30도 각도. 그게 다야 : arcsin 0.5는 30°의 각도입니다.다음과 같이 안전하게 작성할 수 있습니다.

아크사인 0.5 = 30°

또는 보다 공식적으로 라디안으로 표현하면 다음과 같습니다.

그게 전부입니다. 아크사인을 잊어버리고 일반적인 각도 또는 라디안으로 계속 작업할 수 있습니다.

깨달았다면 아크사인, 아크코사인이 뭐죠... 아크탄젠트, 아크코탄젠트가 뭐죠...예를 들어 이런 몬스터를 쉽게 처리할 수 있습니다.)

무지한 사람은 겁에 질려 움츠러들겠죠. 그렇죠...) 하지만 아는 사람은 디코딩을 기억하십시오.아크사인은 사인이 있는 각도입니다... 등등. 지식이 풍부한 사람이 사인표도 알고 있다면... 코사인표. 탄젠트와 코탄젠트 표, 그러면 전혀 문제가 없습니다!

다음 사항을 깨닫는 것으로 충분합니다.

해독하겠습니다. 공식을 단어로 번역해 보겠습니다. 접선이 1인 각도(arctg1)- 45° 각도입니다. 또는 Pi/4도 마찬가지입니다. 비슷하게:

그게 다입니다 ... 우리는 모든 아치를 라디안 값으로 대체하고 모든 것이 감소하며 남은 것은 1+1이 얼마인지 계산하는 것입니다. 2가 됩니다.) 이것이 정답입니다.

이것이 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트 및 아크코탄젠트에서 일반 도 및 라디안으로 이동할 수 있고 이동해야 하는 방법입니다. 이것은 무서운 예를 크게 단순화시킵니다!

종종 그러한 예에서는 아치 내부에 다음이 있습니다. 부정적인의미. arctg(-1.3) 또는 arccos(-0.8) 등... 이는 문제가 되지 않습니다. 다음은 음수 값에서 양수 값으로 이동하는 간단한 공식입니다.

예를 들어 표현식의 값을 결정하려면 다음이 필요합니다.

이 문제는 삼각법 원을 사용하여 해결할 수 있지만 그리기를 원하지 않습니다. 글쎄요. 우리는 부정적인 k의 아크코사인 내부 값 긍정적인두 번째 공식에 따르면:

오른쪽의 아크 코사인 내부에는 이미 긍정적인의미. 무엇

당신은 꼭 알아야만 합니다. 남은 것은 아크 코사인 대신 라디안을 대체하고 답을 계산하는 것입니다.

그게 다야.

아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트, 아크코탄젠트에 대한 제한 사항입니다.

예제 7~9에 문제가 있나요? 네, 거기에는 몇 가지 트릭이 있습니다.)

1부터 9까지의 모든 예는 555항에서 주의 깊게 분석됩니다. 무엇을, 어떻게, 왜. 모든 비밀 함정과 트릭이 있습니다. 솔루션을 획기적으로 단순화하는 방법도 있습니다. 그런데 이 섹션에는 일반적으로 삼각법에 대한 많은 유용한 정보와 실용적인 팁이 포함되어 있습니다. 삼각법 뿐만이 아닙니다. 많은 도움이 됩니다.

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sin, cos, tg 및 ctg 함수에는 항상 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트 및 아크코탄젠트가 수반됩니다. 하나는 다른 것의 결과이며, 함수 쌍은 삼각법 표현식 작업에 똑같이 중요합니다.

삼각함수 값을 그래픽으로 표시하는 단위원 그림을 생각해 보세요.

호 OA, arcos OC, arctg DE 및 arcctg MK를 계산하면 모두 각도 α 값과 같습니다. 아래 공식은 기본 삼각 함수와 해당 호 사이의 관계를 반영합니다.

아크사인의 특성을 더 자세히 이해하려면 그 기능을 고려해야 합니다. 일정 좌표중심을 지나는 비대칭 곡선의 형태를 갖는다.

아크사인의 속성:

그래프를 비교해 보면 죄그리고 아크신, 두 삼각 함수는 공통 원리를 가질 수 있습니다.

아크코사인

숫자의 Arccos는 각도 α의 값이며 코사인은 a와 같습니다.

곡선 y = 아르코스 x arcsin x 그래프를 반영하며 유일한 차이점은 OY 축의 π/2 지점을 통과한다는 것입니다.

아크 코사인 함수를 더 자세히 살펴보겠습니다.

함수는 간격 [-1; 1].
arccos용 ODZ - .
그래프는 전체적으로 1쿼터와 2쿼터에 위치하며, 함수 자체는 짝수도 홀수도 아닙니다.
x = 1에서 Y = 0입니다.
곡선은 전체 길이를 따라 감소합니다. 아크 코사인의 일부 속성은 코사인 함수와 일치합니다.

아크 코사인의 일부 속성은 코사인 함수와 일치합니다.

아마도 학생들은 "아치"에 대한 "자세한" 연구가 불필요하다고 생각할 것입니다. 그러나 그렇지 않으면 일부 초등학교 표준 시험 과제는 학생들을 막 다른 골목으로 이끌 수 있습니다.

연습 1.그림에 표시된 기능을 나타냅니다.

답변:쌀. 1 – 4, 그림 2 – 1.

이 예에서는 작은 것에 중점을 둡니다. 일반적으로 학생들은 그래프 구성과 함수 모양에 매우 부주의합니다. 실제로 계산된 점을 사용하여 항상 그릴 수 있다면 곡선 유형을 기억할 이유가 무엇입니까? 테스트 조건에서는 더 복잡한 작업을 해결하려면 간단한 작업을 그리는 데 소요되는 시간이 필요하다는 점을 잊지 마십시오.

아크탄젠트

Arctg숫자 a는 접선이 a와 같은 각도 α의 값입니다.

아크탄젠트 그래프를 고려하면 다음 속성을 강조할 수 있습니다.

그래프는 무한하며 구간(- ; + )으로 정의됩니다.
Arctangent는 홀수 함수이므로 arctan (- x) = - arctan x입니다.
x = 0에서 Y = 0입니다.
곡선은 전체 정의 범위에 걸쳐 증가합니다.

tg x 와 arctg x 에 대한 간략한 비교 분석을 표 형식으로 제시하겠습니다.

역탄젠트

숫자의 Arcctg - 코탄젠트가 a와 같도록 간격(0; π)에서 α 값을 취합니다.

아크코탄젠트 함수의 속성:

함수 정의 간격은 무한대입니다.
허용되는 값의 범위는 간격(0; π)입니다.
F(x)는 짝수도 홀수도 아닙니다.
전체 길이에 걸쳐 함수 그래프가 감소합니다.

ctg x와 arctg x를 비교하는 것은 매우 간단합니다. 두 개의 그림을 만들고 곡선의 동작을 설명하기만 하면 됩니다.

작업 2.그래프와 함수의 표기 형식을 연결하세요.

논리적으로 생각해 보면 두 기능이 모두 증가하고 있다는 것이 그래프를 통해 분명해집니다. 따라서 두 그림 모두 특정 arctan 함수를 표시합니다. 아크탄젠트의 특성으로부터 x = 0에서 y=0이라는 것이 알려져 있습니다.

답변:쌀. 1 – 1, 그림. 2 – 4.

삼각 항등식 arcsin, arcos, arctg 및 arcctg

이전에 우리는 이미 아치와 삼각법의 기본 기능 간의 관계를 확인했습니다. 이러한 의존성은 예를 들어 아크사인, 아크코사인을 통해 인수의 사인을 표현하거나 그 반대로 표현할 수 있는 여러 공식으로 표현될 수 있습니다. 이러한 정체성에 대한 지식은 특정 사례를 해결할 때 유용할 수 있습니다.

arctg와 arcctg에 대한 관계도 있습니다.

또 다른 유용한 공식 쌍은 동일한 각도의 arcsin과 arcos뿐만 아니라 arcctg와 arcctg의 합에 대한 값을 설정합니다.

문제 해결의 예

삼각법 작업은 네 가지 그룹으로 나눌 수 있습니다. 특정 표현식의 수치 계산, 주어진 함수의 그래프 구성, 정의 영역(ODZ) 찾기 및 분석 변환 수행을 통해 예제를 해결합니다.

첫 번째 유형의 문제를 해결할 때는 다음 실행 계획을 준수해야 합니다.

함수 그래프로 작업할 때 가장 중요한 것은 해당 속성과 곡선의 모양을 아는 것입니다. 삼각 방정식과 부등식을 풀려면 항등표가 필요합니다. 학생이 더 많은 공식을 기억할수록 과제에 대한 답을 찾는 것이 더 쉬워집니다.

통합 상태 시험에서 다음과 같은 방정식에 대한 답을 찾아야 한다고 가정해 보겠습니다.

표현식을 올바르게 변환하여 원하는 형태로 가져오면 해결이 매우 간단하고 빠릅니다. 먼저 arcsin x를 등식의 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.

공식을 기억한다면 아크신(sin α) = α, 그러면 두 방정식 시스템을 푸는 데 대한 답변 검색을 줄일 수 있습니다.

모델 x에 대한 제한은 다시 arcsin의 속성에서 발생했습니다. x에 대한 ODZ [-1; 1]. a ≠0일 때 시스템의 일부는 근 x1 = 1 및 x2 = - 1/a인 2차 방정식입니다. a = 0이면 x는 1과 같습니다.

프로그램 초반에 학생들은 삼각 방정식을 푸는 아이디어를 얻었고 아크 코사인과 아크 사인의 개념과 방정식 cos t = a 및 sin t = a에 대한 해법의 예에 익숙해졌습니다. 이 비디오 튜토리얼에서는 방정식 tg x = a 및 ctg x = a를 푸는 방법을 살펴보겠습니다.

이 주제에 대한 연구를 시작하려면 방정식 tg x = 3 및 tg x = - 3을 고려하십시오. 그래프를 사용하여 방정식 tg x = 3을 풀면 함수 y = tg x 및 그래프의 교차점을 볼 수 있습니다. y = 3에는 무한한 수의 해가 있습니다. 여기서 x = x 1 + πk입니다. x 1 값은 y = tan x 및 y = 3 함수 그래프의 교차점의 x 좌표입니다. 저자는 아크탄젠트 개념을 소개합니다. arctan 3은 tan이 3인 숫자이고 이 숫자는 -π/2에서 π/2 사이의 구간에 속합니다. 아크탄젠트 개념을 사용하여 방정식 tan x = 3의 해는 x = arctan 3 + πk로 쓸 수 있습니다.

비유적으로, 방정식 tg x = - 3은 함수 y = tg x 및 y = - 3의 구성된 그래프에서 풀 수 있으며, 그래프의 교차점과 방정식의 해는 다음과 같습니다. x = x 2 + πk가 됩니다. 아크탄젠트를 사용하면 해는 x = arctan (- 3) + πk로 쓸 수 있습니다. 다음 그림에서 우리는 arctg (- 3) = - arctg 3을 볼 수 있습니다.

아크탄젠트의 일반적인 정의는 다음과 같습니다: 아크탄젠트 a는 탄젠트가 a와 같은 -π/2에서 π/2까지의 간격에 있는 숫자입니다. 그러면 방정식 tan x = a의 해는 x = arctan a + πk입니다.

저자는 예 1을 제공합니다. arctg 표현식에 대한 해법을 찾으십시오. 표기법을 소개하겠습니다. 숫자의 아크탄젠트가 x와 같으면 tg x는 주어진 숫자와 같을 것입니다. 여기서 x는 -π의 세그먼트에 속합니다. /2 ~ π/2. 이전 항목의 예와 마찬가지로 값 테이블을 사용합니다. 이 표에 따르면 이 숫자의 탄젠트는 x = π/3 값에 해당합니다. 방정식의 해를 적어 보겠습니다. 주어진 숫자의 아크탄젠트는 π/3과 같고 π/3은 -π/2에서 π/2까지의 간격에도 속합니다.

예 2 - 음수의 아크탄젠트를 계산합니다. 등식 arctg (- a) = - arctg a를 사용하여 x 값을 입력합니다. 예제 2와 유사하게 -π/2에서 π/2까지의 세그먼트에 속하는 x 값을 기록합니다. 값 표에서 x = π/3이므로 --tg x = - π/3입니다. 방정식의 답은 - π/3입니다.

예 3을 생각해 봅시다. 방정식 tg x = 1을 풉니다. x = arctan 1 + πk라고 쓰십시오. 표에서 tg 1 값은 x = π/4 값에 해당하므로 arctg 1 = π/4입니다. 이 값을 원래 공식 x에 대입하고 답 x = π/4 + πk를 쓰겠습니다.

예 4: tan x = - 4.1을 계산합니다. 이 경우 x = arctan(-4.1) + πk입니다. 왜냐하면 이 경우 arctg 값을 찾는 것은 불가능합니다. 답은 x = arctg (-4.1) + πk와 같습니다.

예제 5에서는 부등식 tg x > 1에 대한 해를 고려합니다. 이를 해결하기 위해 함수 y = tan x 및 y = 1의 그래프를 구성합니다. 그림에서 볼 수 있듯이 이 그래프는 x = 지점에서 교차합니다. π/4 + πk. 왜냐하면 이 경우 tg x > 1인 경우 그래프에서 그래프 y = 1 위에 있는 접선 영역을 강조 표시합니다. 여기서 x는 π/4에서 π/2까지의 구간에 속합니다. 답을 π/4 + πk로 씁니다.< x < π/2 + πk.

다음으로 방정식 cot x = a를 고려하십시오. 그림은 교차점이 많은 함수 y = cot x, y = a, y = - a의 그래프를 보여줍니다. 해는 x = x 1 + πk(여기서 x 1 = arcctg a 및 x = x 2 + πk, 여기서 x 2 = arcctg (- a))로 작성할 수 있습니다. x 2 = π - x 1 임을 알 수 있습니다. 이는 동등 arcctg (- a) = π - arcctg a를 의미합니다. 다음은 아크 코탄젠트의 정의입니다. 아크 코탄젠트 a는 코탄젠트가 a와 같은 0에서 π까지의 간격에 있는 숫자입니다. 방정식 сtg x = a의 해는 x = arcctg a + πk로 작성됩니다.

비디오 강의가 끝나면 또 다른 중요한 결론이 내려집니다. a가 0이 아닌 경우 ctg x = a라는 표현은 tg x = 1/a로 쓸 수 있습니다.

텍스트 디코딩:

방정식 tg x = 3 및 tg x = - 3을 푸는 것을 고려해 보겠습니다. 첫 번째 방정식을 그래픽으로 풀면 y = tg x 및 y = 3 함수의 그래프에 무한히 많은 교차점이 있으며 가로좌표는 다음과 같습니다. ~의 형태의

x = x 1 + πk, 여기서 x 1은 직선 y = 3과 접선의 주요 가지 (그림 1)의 교차점의 가로 좌표이며 지정이 발명되었습니다.

arctan 3(3의 아크 탄젠트).

arctg 3을 이해하는 방법?

탄젠트가 3인 숫자이고 이 숫자는 간격(- ;)에 속합니다. 그러면 방정식 tg x = 3의 모든 근은 x = arctan 3+πk 공식으로 쓸 수 있습니다.

마찬가지로, 방정식 tg x = - 3의 해는 x = x 2 + πk 형식으로 작성할 수 있습니다. 여기서 x 2는 직선 y = - 3과 주 가지의 교차점의 가로좌표입니다. 접선형(그림 1), 지정 arctg(- 3) (아크 탄젠트 빼기 3). 그런 다음 방정식의 모든 근은 x = arctan(-3)+ πk 공식으로 쓸 수 있습니다. 그림은 arctg(- 3)= - arctg 3을 보여줍니다.

아크탄젠트의 정의를 공식화해 보겠습니다. 아크탄젠트 a는 탄젠트가 a와 같은 간격(-;)의 숫자입니다.

동등성은 종종 사용됩니다: arctg(-a) = -arctg a, 이는 모든 a에 유효합니다.

아크탄젠트의 정의를 알면 방정식의 해에 대한 일반적인 결론을 내릴 수 있습니다.

tg x= a: 방정식 tg x = a는 x = arctan a + πk의 해를 갖습니다.

예를 살펴보겠습니다.

예 1. 아크탄을 계산합니다.

해결책. arctg = x, tgх = 및 xϵ (- ;)로 둡니다. 값 테이블 표시 따라서 tg = 및 ϵ (- ;)이므로 x =입니다.

그래서 아크탄=.

예 2. 아크탄(-)을 계산합니다.

해결책. 등식 arctg(- a) = - arctg a를 사용하여 다음과 같이 작성합니다.

arctg(-) = - arctg . - arctg = x, - tgх = 및 xϵ (- ;)로 둡니다. 따라서 tg = 및 ϵ (- ;)이므로 x =입니다. 값 표 표시

이는 - arctg=- tgх= - 를 의미합니다.

예 3. 방정식 tgх = 1을 풉니다.

1. 해 공식을 적습니다: x = arctan 1 + πk.

2. 아크탄젠트 값 찾기

이후 tg = . 값 표 표시

따라서 arctan1= .

3. 찾은 값을 해 공식에 넣습니다.

예 4. 방정식 tgх = - 4.1을 풉니다(탄젠트 x는 마이너스 4포인트 1과 같습니다).

해결책. 해 공식을 작성해 봅시다: x = arctan (-4.1) + πk.

아크탄젠트 값을 계산할 수 없으므로 방정식의 해를 얻은 형태로 남겨두겠습니다.

예 5. 불평등 tgх 1을 해결합니다.

해결책. 그래픽으로 해결해드리겠습니다.

탄젠트를 만들어보자

y = tgх 및 직선 y = 1(그림 2). 그들은 x = + πk와 같은 점에서 교차합니다.

2. 조건 tgх 1이므로 접선의 주요 가지가 직선 y = 1 위에 위치하는 x축의 간격을 선택하겠습니다. 이것이 간격(;)입니다.

3. 함수의 주기성을 사용합니다.

성질 2. y=tg x는 주주기가 π인 주기함수이다.

함수 y = tgх의 주기성을 고려하여 답을 작성합니다.

(;). 답은 이중 부등식으로 작성할 수 있습니다.

방정식 ctg x = a로 넘어 갑시다. 양수 및 음수 a에 대한 방정식의 해법을 그래픽으로 보여드리겠습니다(그림 3).

함수 y = ctg x 및 y = a의 그래프

y=ctg x 및 y=-a

무한히 많은 공통점을 가지고 있으며 그 가로좌표는 다음과 같습니다.

x = x 1 +, 여기서 x 1은 직선 y = a와 접선의 주요 가지의 교차점의 가로좌표이고

x 1 = arcctg a;

x = x 2 +, 여기서 x 2는 선 교차점의 가로좌표입니다.

y = - a는 접선의 주요 가지이고 x 2 = arcсtg (- a)입니다.

x 2 = π - x 1임을 참고하세요. 따라서 중요한 평등을 적어 보겠습니다.

arcсtg (-а) = π - arcсtg а.

정의를 공식화해 보겠습니다. 아크 코탄젠트 a는 코탄젠트가 a와 같은 구간 (0;π)의 숫자입니다.

방정식 ctg x = a의 해는 x = arcctg a + 형식으로 작성됩니다.

방정식 ctg x = a는 다음 형식으로 변환될 수 있습니다.

tg x = , a = 0인 경우는 제외.

이 기사는 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트 및 아크코탄젠트 값 찾기주어진 번호. 먼저 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트, 아크코탄젠트의 의미를 명확히 하겠습니다. 다음으로 이러한 아크 함수의 주요 값을 얻은 후 사인, 코사인, 탄젠트 및 Bradis 테이블을 사용하여 아크 사인, 아크 코사인, 아크 탄젠트 및 아크 코탄젠트 값을 찾는 방법을 이해합니다. 코탄젠트. 마지막으로, 이 숫자의 아크코사인, 아크탄젠트, 아크코탄젠트 등을 알고 있을 때 숫자의 아크사인을 찾는 방법에 대해 이야기해 보겠습니다.

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아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트 및 아크코탄젠트 값

우선, "이것"이 실제로 무엇인지 알아내는 것이 좋습니다. 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트 및 아크코탄젠트의 의미».

Bradis 사인 및 코사인 테이블과 탄젠트 및 코탄젠트를 사용하면 양수의 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트 및 아크코탄젠트 값을 1분의 정확도로 도 단위로 찾을 수 있습니다. 여기에서는 음수의 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트 및 아크코탄젠트 값을 찾는 것이 공식 arcsin, arccos, arctg 및 arcsin(−a)=−arcsin a, arccos (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a 및 arcctg(−a)=π−arcctg a 형식의 반대 숫자의 arcctg.

Bradis 테이블을 사용하여 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트 및 아크코탄젠트 값을 찾는 방법을 알아 보겠습니다. 우리는 예제를 통해 이를 수행할 것입니다.

아크사인 값 0.2857을 찾아야 합니다. 이 값은 사인표에서 찾을 수 있습니다(이 값이 표에 없는 경우는 아래에서 설명합니다). 이는 사인 16도 36분에 해당합니다. 따라서 숫자 0.2857의 원하는 아크사인 값은 16도 36분의 각도입니다.

표 오른쪽에 있는 세 열의 수정 사항을 고려해야 하는 경우가 많습니다. 예를 들어, 0.2863의 아크사인을 찾아야 하는 경우입니다. 사인 표에 따르면 이 값은 0.2857에 0.0006의 수정을 더한 값으로 얻어집니다. 즉, 0.2863의 값은 16도 38분(16도 36분 + 2분의 수정) 사인에 해당합니다.

우리가 관심을 갖는 아크사인의 숫자가 테이블에 없고 수정 사항을 고려하여 얻을 수도 없는 경우, 테이블에서 이 숫자가 포함된 가장 가까운 사인의 두 값을 찾아야 합니다. 예를 들어, 0.2861573의 아크사인 값을 찾고 있습니다. 이 숫자는 표에 없으며 수정을 통해서도 이 숫자를 얻을 수 없습니다. 그런 다음 원래 숫자가 포함된 두 개의 가장 가까운 값 0.2860과 0.2863을 찾습니다. 이 숫자는 16도 37분과 16도 38분의 사인에 해당합니다. 원하는 아크사인 값 0.2861573이 그 사이에 있습니다. 즉, 이러한 각도 값 중 하나를 1분의 정확도로 대략적인 아크사인 값으로 사용할 수 있습니다.

아크 코사인 값, 아크 탄젠트 값 및 아크 코탄젠트 값은 완전히 동일한 방식으로 구됩니다(이 경우에는 각각 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 테이블이 사용됩니다).

arccos, arctg, arcctg 등을 사용하여 arcsin 값 찾기

예를 들어, arcsin a=−π/12라고 가정하고 arccos a의 값을 찾아야 합니다. 필요한 아크 코사인 값을 계산합니다. 아크코사인 a=π/2−아크사인 a=π/2−(−π/12)=7π/12.

숫자 a의 알려진 아크사인 또는 아크코사인 값을 사용하여 이 숫자 a의 아크탄젠트 또는 아크코탄젠트 값을 구해야 하거나 그 반대의 경우 상황은 훨씬 더 흥미롭습니다. 불행하게도 우리는 그러한 연결을 정의하는 공식을 모릅니다. 어떻게 될까요? 예를 들어 이것을 이해해 봅시다.

숫자 a의 아크코사인은 π/10과 같고 이 숫자 a의 아크탄젠트를 계산해야 합니다. 다음과 같이 문제를 해결할 수 있습니다. 알려진 아크 코사인 값을 사용하여 숫자 a를 찾은 다음 이 숫자의 아크 탄젠트를 찾습니다. 이를 위해서는 먼저 코사인 테이블이 필요하고 그 다음에는 탄젠트 테이블이 필요합니다.

각도 π/10 라디안은 18도의 각도입니다. 코사인 표에서 18도의 코사인은 대략 0.9511과 같고, 이 예에서 숫자 a는 0.9511입니다.

탄젠트 표로 돌아가서 0.9511에 필요한 아크탄젠트 값을 찾는 데 도움을 받으면 대략 43도 34분과 같습니다.

이 주제는 기사의 자료에 의해 논리적으로 계속됩니다. arcsin, arccos, arctg 및 arcctg를 포함하는 표현식의 값 평가.

서지.

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