불평등 시스템의 예. 불평등 시스템

선형 계획법 문제를 그래픽으로 해결, 선형 계획법 문제의 정식 형식도 참조하세요.

이러한 문제에 대한 제약 시스템은 두 가지 변수의 부등식으로 구성됩니다.
목적 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다. 에프 = 기음 1 엑스 + 기음 2 와이극대화해야 하는 것입니다.

질문에 답해 봅시다: 어떤 숫자 쌍( 엑스; 와이) 불평등 시스템에 대한 해법은 무엇입니까? 즉, 각 불평등을 동시에 충족합니까? 즉, 시스템을 그래픽적으로 해결한다는 것은 무엇을 의미합니까?
먼저 두 개의 미지수가 있는 하나의 선형 부등식에 대한 해법이 무엇인지 이해해야 합니다.
두 개의 미지수로 선형 부등식을 푼다는 것은 부등식이 유지되는 모든 알 수 없는 값 쌍을 결정하는 것을 의미합니다.
예를 들어 부등식 3 엑스 – 5와이≥ 42 만족 쌍( 엑스 , 와이) : (100, 2); (3, –10) 등. 과제는 그러한 쌍을 모두 찾는 것입니다.
두 가지 불평등을 고려해 봅시다: 도끼 + ~에 의해≤ 기음, 도끼 + ~에 의해≥ 기음. 똑바로 도끼 + ~에 의해 = 기음평면을 두 개의 반평면으로 나누어 그 중 하나의 점 좌표가 부등식을 만족하도록 합니다. 도끼 + ~에 의해 >기음, 그리고 다른 부등식 도끼 + +~에 의해 <기음.
과연 좌표로 포인트를 잡아보자 엑스 = 엑스 0 ; 그런 다음 선 위에 놓여 있고 가로좌표를 갖는 점이 있습니다. 엑스 0, 세로좌표 있음

확실히 하자 에이< 0, 비>0, 기음>0. 가로좌표가 있는 모든 점 엑스 0 위에 누워 피(예를 들어 점 중), 가지다 와 남>와이 0 및 해당 지점 아래의 모든 지점 피, 가로좌표 있음 엑스 0 , 있음 y N<와이 0 . 부터 엑스 0은 임의의 점이며, 선의 한쪽에는 항상 점이 있습니다. 도끼+ ~에 의해 > 기음, 반평면을 형성하고 반대쪽에서는 - 점 도끼 + ~에 의해< 기음.

그림 1

반평면의 부등호는 숫자에 따라 달라집니다. 에이, 비 , 기음.
이는 시스템을 그래픽적으로 해결하는 다음과 같은 방법으로 이어집니다. 선형 부등식두 개의 변수에서. 시스템을 해결하려면 다음이 필요합니다.

각 부등식에 대해 이 부등식에 해당하는 방정식을 작성하십시오.
방정식으로 지정된 함수 그래프인 직선을 구성합니다.
각 선에 대해 부등식으로 제공되는 반평면을 결정합니다. 이렇게 하려면 선 위에 있지 않은 임의의 점을 가져와 해당 좌표를 부등식으로 대체합니다. 부등식이 참이면 선택한 점을 포함하는 반평면이 원래 부등식의 해가 됩니다. 부등식이 거짓이면 선 반대편의 반평면이 이 부등식에 대한 해의 집합입니다.
부등식 시스템을 해결하려면 시스템의 각 부등식에 대한 해가 되는 모든 반면의 교차 영역을 찾아야 합니다.

이 영역이 비어 있는 것으로 판명될 수 있으며, 불평등 시스템에는 해결책이 없으며 일관성이 없습니다. 그렇지 않으면 시스템이 일관성이 있다고 합니다.
유한한 수의 해가 있을 수도 있고 무한한 수의 해가 있을 수도 있습니다. 영역은 닫힌 다각형이거나 무한할 수 있습니다.

세 가지 관련 사례를 살펴보겠습니다.

예 1. 시스템을 그래픽으로 해결합니다.
엑스 + 와이 – 1 ≤ 0;
–2엑스 – 2와이 + 5 ≤ 0.

부등식에 해당하는 방정식 x+y–1=0 및 –2x–2y+5=0을 고려하십시오.
이 방정식으로 주어진 직선을 만들어 봅시다.

그림 2

부등식으로 정의되는 반평면을 정의해 보겠습니다. 임의의 점을 취해 (0; 0)으로 합시다. 고려해 봅시다 엑스+ 와이- 1 0, 점 (0; 0)을 대체합니다: 0 + 0 – 1 ≤ 0. 이는 점 (0; 0)이 있는 반평면에서 다음을 의미합니다. 엑스 + 와이 – 1 ≤ 0, 즉 선 아래에 있는 반평면은 첫 번째 부등식의 해입니다. 이 점(0; 0)을 두 번째 점으로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, 즉 점 (0; 0)이 있는 반평면에서 –2 엑스 – 2와이+ 5≥ 0, 그리고 우리는 –2가 어디인지 물었습니다. 엑스 – 2와이+ 5 ≤ 0, 따라서 다른 절반 평면에서 - 직선 위의 절반 평면에서.
이 두 반평면의 교차점을 찾아봅시다. 선은 평행하므로 평면은 어느 곳에서도 교차하지 않습니다. 이는 이러한 불평등 시스템에 해결책이 없으며 일관성이 없음을 의미합니다.

예 2. 불평등 시스템에 대한 그래픽 솔루션 찾기:

그림 3
1. 부등식에 해당하는 방정식을 작성하고 직선을 구성해 봅시다.
엑스 + 2와이– 2 = 0

엑스	2	0
와이	0	1

와이 – 엑스 – 1 = 0

엑스	0	2
와이	1	3

와이 + 2 = 0;
와이 = –2.
2. 점 (0; 0)을 선택한 후 반평면의 불평등 징후를 결정합니다.
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, 즉 엑스 + 2와이– 직선 아래의 반평면에서는 2 ≤ 0입니다.
0 – 0 – 1 ≤ 0, 즉 와이 –엑스– 직선 아래 반평면에서는 1 ≤ 0입니다.
0 + 2 =2 ≥ 0, 즉 와이직선 위의 반평면에서 + 2 ≥ 0입니다.
3. 이 세 개의 반면의 교차점은 삼각형 영역이 됩니다. 해당 선의 교차점으로 영역의 꼭지점을 찾는 것은 어렵지 않습니다.

따라서, 에이(–3; –2), 안에(0; 1), 와 함께(6; –2).

시스템의 결과 솔루션 도메인이 제한되지 않는 또 다른 예를 고려해 보겠습니다.

이 기사는 불평등 시스템에 대한 초기 정보를 제공합니다. 불평등 시스템의 정의와 불평등 시스템에 대한 해결책의 정의는 다음과 같습니다. 학교의 대수학 수업에서 가장 자주 다루어야 하는 주요 시스템 유형도 나열되어 있으며 예가 제공됩니다.

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불평등 시스템이란 무엇입니까?

방정식 시스템의 정의를 소개한 것과 동일한 방식, 즉 표기법 유형과 표기법에 내재된 의미를 통해 부등식 시스템을 정의하는 것이 편리합니다.

정의.

불평등 시스템는 왼쪽에 중괄호로 통합되어 아래에 하나씩 작성된 특정 수의 불평등을 나타내는 레코드이며 시스템의 각 불평등에 대한 동시에 솔루션인 모든 솔루션 세트를 나타냅니다.

불평등 시스템의 예를 들어 보겠습니다. 예를 들어 2 x−3>0 및 5−x≥4 x−11과 같은 임의의 두 개를 선택하여 하나씩 아래에 적어 보겠습니다.
2x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
시스템 기호(중괄호)와 결합하면 결과적으로 다음 형식의 불평등 시스템을 얻습니다.

학교 교과서의 불평등 시스템에 대해서도 비슷한 생각이 제시됩니다. 그들의 정의가 더 좁게 제공된다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 하나의 변수가 있는 불평등의 경우 또는 두 개의 변수가 있습니다.

불평등 시스템의 주요 유형

무한히 다양한 불평등 체계를 만들어내는 것이 가능하다는 것은 분명합니다. 이러한 다양성 속에서 길을 잃지 않으려면 고유한 그룹으로 고려하는 것이 좋습니다. 독특한 특징. 모든 불평등 시스템은 다음 기준에 따라 그룹으로 나눌 수 있습니다.

시스템의 불평등 수에 따라;
기록에 관련된 변수의 수에 따라;
불평등 자체의 유형에 따라.

기록에 포함된 불평등의 수에 따라 2, 3, 4 등의 체계가 구별됩니다. 불평등 이전 단락에서 우리는 두 가지 불평등의 시스템인 시스템의 예를 제시했습니다. 네 가지 불평등 체계의 또 다른 예를 보여드리겠습니다. .

별도로, 우리는 불평등 시스템에 대해서만 이야기하는 것은 의미가 없다고 말할 것입니다. 이 경우 본질적으로 우리는 시스템에 관한 것이 아니라 불평등 자체에 대해 이야기하고 있습니다.

변수의 수를 살펴보면 1, 2, 3 등의 불평등 시스템이 있습니다. 변수(또는 알 수 없는 변수). 위의 두 문단에 쓰여진 마지막 불평등 체계를 살펴보세요. 세 개의 변수 x, y, z가 있는 시스템입니다. 처음 두 부등식에는 세 변수가 모두 포함되지 않고 그 중 하나만 포함된다는 점에 유의하세요. 이 시스템의 맥락에서 이는 각각 x+0·y+0·z≥−2 및 0·x+y+0·z≤5 형식의 세 변수를 갖는 부등식으로 이해되어야 합니다. 학교는 하나의 변수를 가진 불평등에 초점을 맞추고 있습니다.

녹음 시스템에 어떤 유형의 불평등이 관련되어 있는지 논의하는 것이 남아 있습니다. 학교에서는 주로 하나 또는 두 개의 변수가 있는 두 가지 불평등(덜 자주 - 3개, 더 덜 자주 - 4개 이상) 시스템을 고려하며 불평등 자체는 일반적으로 다음과 같습니다. 완전한 불평등 1차 또는 2차(덜 자주 - 더 높은 차수 또는 부분적으로 합리적인). 그러나 통합 상태 시험 준비 자료에서 비합리적, 로그적, 지수적 및 기타 불평등을 포함하는 불평등 시스템을 발견하더라도 놀라지 마십시오. 예를 들어, 불평등 시스템을 제공합니다. , 에서 가져온 것입니다.

불평등 시스템의 해결책은 무엇인가?

불평등 시스템과 관련된 또 다른 정의, 즉 불평등 시스템에 대한 해결책의 정의를 소개하겠습니다.

정의.

하나의 변수를 사용하여 불평등 시스템 풀기시스템의 각 불평등을 참으로 바꾸는 변수의 값, 즉 시스템의 각 불평등에 대한 해결책이라고 합니다.

예를 들어 설명해 보겠습니다. 하나의 변수로 두 개의 부등식을 갖는 시스템을 생각해 봅시다. 변수 x의 값을 8로 가정해 보겠습니다. 이는 정의에 따라 불평등 시스템에 대한 해법입니다. 이를 시스템의 불평등으로 대체하면 두 개의 정확한 수치 불평등 8>7 및 2−3·8≤0이 제공되기 때문입니다. 반대로, 단일성은 변수 x를 대체할 때 첫 번째 부등식이 잘못된 수치 부등식 1>7로 바뀌기 때문에 시스템에 대한 해결책이 아닙니다.

마찬가지로, 2, 3 및 불평등 시스템에 대한 솔루션의 정의를 도입할 수 있습니다. 많은 수변수:

정의.

2, 3 등의 불평등 시스템을 해결합니다. 변수한 쌍, 3개 등으로 불립니다. 동시에 시스템의 모든 불평등에 대한 해결책인 이러한 변수의 값, 즉 시스템의 모든 불평등을 올바른 수치적 불평등으로 바꿉니다.

예를 들어, x=1, y=2 또는 다른 표기법(1, 2)의 값 쌍은 1+2이므로 두 변수가 있는 불평등 시스템에 대한 솔루션입니다.<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

불평등 시스템에는 해가 없을 수도 있고, 유한한 수의 해가 있을 수도 있고, 무한한 수의 해가 있을 수도 있습니다. 사람들은 종종 불평등 시스템에 대한 일련의 해결책에 대해 이야기합니다. 시스템에 솔루션이 없으면 빈 솔루션 세트가 있습니다. 유한한 수의 해가 있는 경우 해 집합은 유한한 수의 요소를 포함하고, 무한히 많은 해가 있는 경우 해 집합은 무한한 수의 요소로 구성됩니다.

일부 출처는 예를 들어 Mordkovich의 교과서에서와 같이 불평등 시스템에 대한 특정하고 일반적인 솔루션의 정의를 소개합니다. 아래에 불평등 시스템의 사적인 해결책그녀의 단 하나의 결정을 이해하십시오. 차례로 불평등 시스템에 대한 일반적인 해결책- 이것은 모두 그녀의 개인적인 결정입니다. 그러나 이러한 용어는 우리가 말하는 솔루션의 종류를 구체적으로 강조해야 할 때만 의미가 있지만 일반적으로 이는 문맥에서 이미 명확하므로 단순히 "불평등 시스템에 대한 솔루션"이라고 말하는 경우가 훨씬 더 많습니다.

불평등 시스템의 정의와 이 기사에 소개된 해법에 따르면, 불평등 시스템에 대한 해법은 이 시스템의 모든 불평등에 대한 해법 집합의 교차점이라는 결론이 나옵니다.

참고자료.

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모르드코비치 A.G.대수학. 9학년. 2시간 후. 1부. 일반 교육 기관 학생을 위한 교과서 / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13판, 삭제됨. - M .: Mnemosyne, 2011. - 222 p .: 아픈. ISBN 978-5-346-01752-3.
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이 기사에서는 구독자의 또 다른 질문에 답변합니다. 질문은 다양한 방식으로 옵니다. 그들 모두가 올바르게 공식화 된 것은 아닙니다. 그리고 그들 중 일부는 저자가 묻고 싶은 것이 즉시 명확하지 않은 방식으로 공식화되었습니다. 따라서 보내주신 다양한 질문 중에서 저는 "진주"와 같은 정말 흥미로운 질문을 선택해야 합니다. 이는 흥미로울 뿐만 아니라 다른 독자들에게도 유용한 답변입니다. 그리고 오늘 저는 이러한 질문 중 하나에 답합니다. 불평등 시스템에 대한 일련의 솔루션을 설명하는 방법은 무엇입니까?

이것은 정말 좋은 질문입니다. 왜냐하면 수학에서 문제를 그래픽적으로 해결하는 방법은 매우 강력한 방법이기 때문입니다. 사람은 다양한 시각적 자료의 도움으로 정보를 인식하는 것이 더 편리하도록 설계되었습니다. 따라서이 방법을 익히면 통합 상태 시험, 특히 두 번째 부분, 다른 시험 및 최적화 문제 해결 등의 작업을 해결할 때 모두에게 없어서는 안될 것입니다. .

여기 있습니다. 이 질문에 어떻게 답할 수 있습니까? 간단하게 시작해 보겠습니다. 부등식 시스템에 변수가 하나만 포함된다고 가정합니다.

예 1. 불평등 시스템에 대한 솔루션 세트를 그립니다.

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이 시스템을 단순화해 보겠습니다. 이렇게 하려면 첫 번째 부등식의 양변에 7을 더하고 부등식의 부호를 변경하지 않고 양변을 2로 나눕니다. 2는 양수이기 때문입니다. 두 번째 부등식의 양쪽에 4를 더하면 다음과 같은 부등식 체계를 얻게 됩니다.

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일반적으로 이러한 문제를 1차원 문제라고 합니다. 왜? 그렇습니다. 많은 솔루션을 설명하기에는 충분히 직접적이기 때문입니다. 정확하게 말하면 수직선입니다. 이 수직선에 점 6과 8을 표시해 봅시다. 수직선에서 더 큰 숫자가 작은 숫자의 오른쪽에 있기 때문에 점 8이 점 6보다 더 오른쪽에 있을 것이 분명합니다. 또한 점 8은 첫 번째 부등식의 표기법에 따라 해법에 포함되므로 음영 처리됩니다. 반대로, 점 6은 두 번째 부등식의 해법에 포함되지 않기 때문에 음영 처리되지 않습니다.

이제 시스템의 첫 번째 부등식에서 요구하는 대로 8보다 작거나 같은 값 위에 화살표를 표시하고, 아래에 화살표로 표시하겠습니다(필요에 따라 6보다 큰 값). 시스템의 두 번째 불평등:

불평등 체계에 대한 해결책이 수직선의 어디에 위치하는지에 대한 질문에 대답하는 것이 남아 있습니다. 한 번만 기억하십시오. 수학에서 시스템의 기호인 중괄호는 접속사 "I"를 대체합니다. 즉, 공식의 언어를 인간의 언어로 번역하면 6보다 크고 8보다 작거나 같은 값을 표시해야 한다고 말할 수 있습니다. 즉, 필요한 간격은 표시된 간격의 교차점에 있습니다. 간격:

따라서 우리는 불평등 시스템에 하나의 변수만 포함된 경우 수직선에 불평등 시스템에 대한 솔루션 세트를 표시했습니다. 이 음영 구간에는 시스템에 작성된 모든 부등식을 충족하는 모든 값이 포함됩니다.

이제 좀 더 복잡한 경우를 고려해 보겠습니다. 우리 시스템에 두 개의 변수와 가 있는 부등식을 포함한다고 가정합니다. 이 경우, 그러한 시스템의 해를 묘사하기 위해 직선만을 사용하는 것은 불가능합니다. 우리는 1차원적인 세계를 넘어 거기에 또 다른 차원을 더합니다. 여기에는 비행기 전체가 필요합니다. 구체적인 예를 들어 상황을 살펴 보겠습니다.

그렇다면 평면의 직교 좌표계에서 두 변수를 사용하여 주어진 부등식 시스템에 대한 솔루션 세트를 어떻게 묘사할 수 있습니까? 가장 간단한 것부터 시작해 보겠습니다. 이 평면의 어느 영역이 불평등에 의해 결정되는지 자문해 봅시다. 방정식은 축에 수직인 직선을 지정합니다. 황소점(0;0)을 통과합니다. 즉, 실제로 이 직선은 축과 일치합니다. 오오. 글쎄, 우리는 0보다 크거나 같은 값에 관심이 있으므로 직선 오른쪽에 있는 전체 반평면이 적합합니다.

또한 축 위에 있는 모든 점은 오오, 불평등이 엄격하지 않기 때문에 우리에게도 적합합니다.

세 번째 부등식이 정의하는 좌표 평면의 영역을 이해하려면 함수를 플로팅해야 합니다. 이는 원점, 예를 들어 점 (1;1)을 통과하는 직선입니다. 즉, 실제로는 첫 번째 좌표 1/4을 구성하는 각도의 이등분선을 포함하는 직선입니다.

이제 시스템의 세 번째 불평등을 살펴보고 생각해 봅시다. 우리가 찾아야 할 영역은 무엇입니까? 살펴보겠습니다: . 크거나 같은 기호입니다. 즉, 상황은 이전 예와 유사합니다. 여기서만 "더"는 "오른쪽으로 더"가 아니라 "더 높게"를 의미합니다. 왜냐하면 오오- 이것이 수직축입니다. 즉, 평면에서 세 번째 부등식으로 정의된 영역은 선 위나 선 위에 있는 점 집합입니다.

첫 번째 부등식을 사용하면 시스템이 약간 덜 편리해집니다. 하지만 세 번째 부등식으로 정의되는 영역을 결정할 수 있게 된 후에는 어떻게 행동해야 할지 이미 분명해졌다고 생각합니다.

왼쪽에는 변수만 있고 오른쪽에는 변수만 있는 방식으로 이러한 부등식을 제시할 필요가 있습니다. 이렇게 하려면 부등식의 양쪽에서 빼고 부등식의 부호를 변경하지 않고 양쪽을 2로 나눕니다. 2는 양수이기 때문입니다. 결과적으로 우리는 다음과 같은 부등식을 얻습니다.

남은 것은 축과 교차하는 좌표 평면에 직선을 그리는 것뿐입니다. 오오점 A(0;4)에 직선이 있고 점에 직선이 있습니다. 나는 선의 방정식의 우변을 동일시하고 방정식을 구함으로써 후자를 배웠습니다. 이 방정식에서 교차점의 좌표를 구하고, 짐작하셨겠지만 그 좌표는 좌표와 같습니다. 아직 짐작하지 못하신 분들을 위해 말씀드리자면, 교차하는 선 중 하나의 방정식이 있기 때문입니다.

이 직선을 그리자마자 원하는 영역을 즉시 표시할 수 있습니다. 여기서 부등호는 "작거나 같음"입니다. 이는 원하는 영역이 표시된 직선 바로 아래 또는 바로 위에 위치함을 의미합니다.

자, 마지막 질문입니다. 시스템의 세 가지 부등식을 모두 만족하는 원하는 영역은 어디에 있습니까? 분명히 표시된 세 영역이 모두 교차하는 지점에 위치합니다. 또 건너요! 기억하세요: 수학에서 시스템 기호는 교차점을 의미합니다. 여기 이 지역이 있습니다:

음, 마지막 예입니다. 훨씬 더 일반적입니다. 이제 시스템에 변수가 하나도 아니고 둘도 아니고 세 개가 있다고 가정해 보겠습니다!

세 가지 변수가 있으므로 이러한 불평등 시스템에 대한 일련의 솔루션을 설명하려면 이전 예에서 작업한 두 가지 차원 외에 세 번째 차원이 필요합니다. 즉, 우리는 평면에서 우주로 올라가서 3차원의 공간 좌표계를 묘사합니다. 엑스, 와이그리고 지. 길이, 너비 및 높이에 해당합니다.

이 좌표계에서 방정식으로 지정된 표면을 묘사하는 것부터 시작하겠습니다. 형태적으로는 평면 위의 원 방정식과 매우 유사하며 변수 와 함께 항이 하나만 더 추가됩니다. 이는 점(1;3;2)을 중심으로 하고 반지름의 제곱이 4인 구의 방정식이라고 추측하기 쉽습니다. 즉, 반지름 자체는 2입니다.

그럼 질문입니다. 그렇다면 불평등 자체는 무엇을 설정하는가? 이 질문에 당황하는 분들을 위해 다음과 같이 추론해 볼 것을 제안합니다. 공식의 언어를 인간의 언어로 번역하면 점 (1;3;2)에 중심이 있고 반경이 2보다 작거나 같은 모든 구를 나타내야 한다고 말할 수 있습니다. 이 구체는 묘사된 구체 내부에 위치하게 됩니다! 즉, 실제로 이러한 부등식은 묘사된 구의 전체 내부 영역을 지정합니다. 원하는 경우 묘사된 구로 둘러싸인 공이 정의됩니다.

방정식 x+y+z=4로 정의된 표면은 (0;0;4), (0;4;0) 및 (4;0;0) 지점에서 좌표축과 교차하는 평면입니다. 음, 등호 오른쪽에 있는 숫자가 클수록 이 평면과 좌표축의 교차점이 좌표 중심에서 멀어지는 것이 분명합니다. 즉, 두 번째 부등식은 주어진 평면 "위"에 위치한 절반 공간을 지정합니다. "더 높은"이라는 기존 용어를 사용하면 축을 따라 좌표 값이 증가하는 방향으로 더 나아가는 것을 의미합니다.

이 평면은 묘사된 구와 교차합니다. 이 경우 교차 부분은 원입니다. 이 원의 중심이 좌표계 중심으로부터 어느 정도 떨어져 있는지 계산할 수도 있습니다. 그건 그렇고, 이 작업을 수행하는 방법을 추측하는 사람은 댓글에 솔루션과 답변을 적어주세요. 따라서 초기 부등식 시스템은 좌표가 증가하는 방향으로 이 평면에서 더 멀리 위치하지만 묘사된 구에 둘러싸인 공간 영역을 지정합니다.

이것은 불평등 시스템에 대한 솔루션의 수를 나타냅니다. 시스템에 3개보다 많은 변수(예: 4개)가 있는 경우 솔루션 세트를 더 이상 명확하게 설명할 수 없습니다. 왜냐하면 4차원 좌표계가 필요하기 때문입니다. 그러나 정상적인 사람은 서로 수직인 4개의 좌표축이 어떻게 위치할 수 있는지 상상할 수 없습니다. 이 일을 쉽게 할 수 있다고 주장하는 친구가 있지만. 그가 진실을 말하고 있는지는 모르겠지만 아마도 진실을 말하고 있을 것입니다. 그러나 여전히 정상적인 인간의 상상력은 이것을 허용하지 않습니다.

오늘의 강의가 도움이 되셨기를 바랍니다. 얼마나 잘 이해했는지 확인하려면 아래 숙제를 해보세요.

불평등 시스템에 대한 솔루션 세트를 그려보세요.

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Sergey Valerievich가 준비한 자료

이번 수업에서 우리는 불평등 시스템을 공부하기 시작할 것입니다. 먼저, 선형 불평등 시스템을 고려해 보겠습니다. 수업 시작 부분에서 우리는 불평등 시스템이 어디서, 왜 발생하는지 고려할 것입니다. 다음으로, 연립방정식을 푼다는 것이 무엇을 의미하는지 공부하고, 집합의 합집합과 교집합을 기억하겠습니다. 마지막에는 선형 불평등 시스템의 구체적인 예를 해결하겠습니다.

주제: 다이어트모든 불평등과 그 시스템

수업:기본개념, 선형 불평등 시스템 풀기

지금까지 우리는 개인 불평등을 해결하고 이에 간격 방법을 적용했습니다. 선형 부등식, 정사각형이고 합리적입니다. 이제 불평등 시스템을 해결하는 방법으로 넘어 갑시다. 선형 시스템. 불평등 시스템을 고려해야 할 필요성이 발생한 예를 살펴보겠습니다.

함수의 영역 찾기

두 제곱근이 모두 존재할 때 함수가 존재합니다. 즉,

그러한 시스템을 해결하는 방법은 무엇입니까? 첫 번째 부등식과 두 번째 부등식을 모두 만족하는 모든 x를 찾아야 합니다.

첫 번째와 두 번째 불평등에 대한 해법의 집합을 황소 축에 묘사해 보겠습니다.

두 광선의 교차 간격이 우리의 해결책입니다.

불평등 체계에 대한 해결책을 묘사하는 이 방법을 지붕 방법이라고 부르기도 합니다.

시스템의 해는 두 집합의 교집합입니다.

이를 그래픽으로 표현해보자. 임의의 자연으로 구성된 집합 A와 교차하는 임의의 자연으로 구성된 집합 B가 있습니다.

정의: 두 집합 A와 B의 교집합은 A와 B에 모두 포함된 모든 요소로 구성된 세 번째 집합입니다.

불평등의 선형 시스템을 해결하는 구체적인 예를 사용하여 시스템에 포함된 개별 불평등에 대한 솔루션 집합의 교차점을 찾는 방법을 고려해 보겠습니다.

불평등 시스템을 해결합니다.

답: (7; 10].

4. 시스템 해결

시스템의 두 번째 불평등은 어디에서 올 수 있습니까? 예를 들어, 불평등으로부터

각 불평등에 대한 해를 그래픽으로 지정하고 교차점의 간격을 찾아 보겠습니다.

따라서 부등식 중 하나가 x 값을 만족하는 시스템이 있으면 이를 제거할 수 있습니다.

답변: 시스템이 모순됩니다.

우리는 선형 불평등 시스템의 해법이 축소될 수 있는 일반적인 지원 문제를 조사했습니다.

다음 시스템을 고려하십시오.

때때로 선형 시스템은 이중 부등식으로 제공됩니다.

우리는 선형 부등식 시스템을 살펴보고 그것이 어디서 왔는지 이해했으며 모든 선형 시스템을 축소할 수 있는 표준 시스템을 살펴보고 그 중 일부를 해결했습니다.

1. 모르드코비치 A.G. 및 기타 대수학 9학년: 교과서. 일반 교육용 기관.- 4판. -M .: Mnemosyne, 2002.-192 p .: 아픈.

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1. 자연 과학 포털 ().

2. 컴퓨터 과학, 수학, 러시아어 입학 시험을 위해 10-11학년을 준비하기 위한 전자 교육 및 방법론적 복합체().

4. 교육 센터 "교육 기술"().

5. College.ru 수학 섹션 ().

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구조상 방정식과 유사하고 독특한 특징을 갖는 불평등을 해결하는 방법을 모든 사람이 아는 것은 아닙니다. 방정식은 두 부분으로 구성된 연습이며, 그 사이에는 등호가 있고 부등식 부분 사이에는 "초과" 또는 "미만" 기호가 있을 수 있습니다. 따라서 특정 부등식에 대한 해결책을 찾기 전에 양쪽에 표현식을 곱해야 하는 경우 숫자의 부호(양수 또는 음수)를 고려하는 것이 가치가 있음을 이해해야 합니다. 제곱은 곱셈을 통해 수행되므로 부등식을 해결하기 위해 제곱이 필요한 경우 동일한 사실을 고려해야 합니다.

불평등 시스템을 해결하는 방법

불평등 시스템을 해결하는 것은 일반적인 불평등보다 훨씬 더 어렵습니다. 구체적인 예를 사용하여 9학년의 불평등을 해결하는 방법을 살펴보겠습니다. 2차 부등식(시스템)이나 다른 부등식 시스템을 해결하기 전에 각 부등식을 개별적으로 해결한 다음 비교해야 한다는 점을 이해해야 합니다. 불평등 시스템에 대한 해결책은 긍정적이거나 부정적인 대답(시스템에 해결책이 있든 없든)이 될 것입니다.

임무는 일련의 불평등을 해결하는 것입니다.

각 불평등을 개별적으로 해결해 보겠습니다.

우리는 일련의 솔루션을 묘사하는 수직선을 만듭니다.

집합은 해 집합의 합집합이므로 수직선의 이 집합에는 적어도 한 줄에 밑줄이 그어져야 합니다.

모듈러스로 부등식 풀기

이 예에서는 모듈러스를 사용하여 부등식을 해결하는 방법을 보여줍니다. 그래서 우리는 다음과 같은 정의를 가지고 있습니다:

우리는 불평등을 해결해야 합니다:

이러한 부등식을 해결하기 전에 모듈러스(부호)를 제거해야 합니다.

정의 데이터를 기반으로 다음과 같이 작성해 보겠습니다.

이제 각 시스템을 개별적으로 해결해야 합니다.

솔루션 세트를 묘사하는 하나의 수직선을 구성해 봅시다.

그 결과, 우리는 다양한 솔루션을 결합한 컬렉션을 보유하게 되었습니다.

2차 부등식 풀기

수직선을 사용하여 이차 부등식을 푸는 예를 살펴보겠습니다. 불평등이 있습니다.

우리는 이차 삼항식의 그래프가 포물선이라는 것을 알고 있습니다. 또한 a>0이면 포물선의 가지가 위쪽을 향한다는 것도 알고 있습니다.

x 2 -3x-4< 0

Vieta의 정리를 사용하여 근 x 1 = - 1을 찾습니다. x 2 = 4

포물선 또는 오히려 그 스케치를 그려 봅시다.

따라서 우리는 2차 삼항식의 값이 –1에서 4까지의 구간에서 0보다 작다는 것을 알아냈습니다.

많은 사람들이 g(x)와 같은 이중 불평등을 풀 때 질문을 합니다.< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

실제로 불평등을 해결하는 방법에는 여러 가지가 있으므로 그래픽 방법을 사용하여 복잡한 불평등을 해결할 수 있습니다.

분수 부등식 풀기

분수 부등식에는 보다 신중한 접근이 필요합니다. 이는 일부 분수 부등식을 해결하는 과정에서 부호가 변경될 수 있기 때문입니다. 분수 부등식을 해결하기 전에 간격 방법을 사용하여 문제를 해결해야 한다는 점을 알아야 합니다. 분수 부등식은 부호의 한 쪽이 분수 유리식처럼 보이고 다른 쪽은 "-0"으로 표시되어야 합니다. 이러한 방식으로 부등식을 변환하면 결과적으로 f(x)/g(x) > (.

간격 방법을 사용하여 부등식 풀기

간격 기법은 완전 귀납법을 기반으로 합니다. 즉, 불평등에 대한 해결책을 찾기 위해 가능한 모든 옵션을 거쳐야 합니다. 이 해결 방법은 8학년 학생들에게는 간단한 연습인 8학년 불평등을 해결하는 방법을 알아야 하기 때문에 필요하지 않을 수 있습니다. 그러나 고학년의 경우 이 방법은 부분 불평등을 해결하는 데 도움이 되므로 반드시 필요합니다. 이 기술을 사용하여 부등식을 해결하는 것은 0으로 바뀌는 값 사이의 부호를 유지하는 연속 함수의 속성을 기반으로 합니다.

다항식의 그래프를 만들어 봅시다. 이는 값 0을 3번 취하는 연속 함수입니다. 즉, f(x)는 다항식의 근인 x 1, x 2 및 x 3 지점에서 0과 같습니다. 이 점들 사이의 간격에서는 함수의 부호가 보존됩니다.

부등식 f(x)>0을 풀려면 함수의 부호가 필요하므로 그래프를 떠나 좌표선으로 이동합니다.

x(x 1 ; x 2) 및 x(x 3 ;)의 경우 f(x)>0

f(x)x(- ; x 1) 및 x (x 2 ; x 3)

그래프는 부등식 f(x)f(x)>0에 대한 해를 명확하게 보여줍니다(첫 번째 부등식에 대한 해는 파란색으로, 두 번째 부등식에 대한 해는 빨간색으로 표시됨). 구간에서 함수의 부호를 결정하려면 점 중 하나에서 함수의 부호를 아는 것으로 충분합니다. 이 기술을 사용하면 왼쪽이 인수분해되는 부등식을 신속하게 해결할 수 있습니다. 왜냐하면 이러한 부등식에서는 근을 찾는 것이 매우 쉽기 때문입니다.