분수를 공통 분모로 줄입니다(Moskalenko M.V.). 분수를 새로운 분모로 줄이기

나는 원래 분수 덧셈과 뺄셈 섹션에 공통분모 기술을 포함시키고 싶었습니다. 그러나 정보가 너무 많고 그 중요성이 너무 커서 (결국 숫자 분수에만 공통 분모가있는 것이 아니라)이 문제를 별도로 연구하는 것이 좋습니다.

그럼 우리가 두 개의 분수를 가지고 있다고 가정해 봅시다. 다른 분모. 그리고 우리는 분모가 동일해지기를 원합니다. 분수의 기본 속성이 구출됩니다. 이는 다음과 같이 들립니다.

분수의 분자와 분모에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하면 분수는 변하지 않습니다.

따라서 인수를 올바르게 선택하면 분수의 분모가 같아집니다. 이 과정을 공통 분모로의 축소라고 합니다. 그리고 분모를 "균등화"하는 필수 숫자를 추가 요소라고 합니다.

분수를 공통분모로 줄여야 하는 이유는 무엇입니까? 다음은 몇 가지 이유입니다.

분모가 다른 분수를 더하고 뺍니다. 이 작업을 수행하는 다른 방법은 없습니다.
분수를 비교합니다. 때로는 공통 분모로 축소하면 이 작업이 크게 단순화됩니다.
분수와 백분율과 관련된 문제를 해결합니다. 백분율은 본질적으로 분수를 포함하는 일반적인 표현입니다.

곱하면 분수의 분모가 같아지는 숫자를 찾는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 복잡성이 증가하고 어떤 의미에서는 효율성이 높아지는 순서로 그 중 세 가지만 고려할 것입니다.

십자형 곱셈

가장 간단하고 믿을 수 있는 방법, 이는 분모의 균등화를 보장합니다. 우리는 "무모한 방식으로" 행동할 것입니다. 첫 번째 분수에 두 번째 분수의 분모를 곱하고 두 번째 분수에 첫 번째 분수의 분모를 곱합니다. 결과적으로 두 분수의 분모는 원래 분모의 곱과 같아집니다. 살펴보세요:

추가 요소로 인접한 분수의 분모를 고려하십시오. 우리는 다음을 얻습니다:

예, 아주 간단합니다. 방금 분수 공부를 시작했다면 이 방법을 사용하는 것이 더 좋습니다. 이렇게 하면 많은 실수로부터 자신을 보호하고 결과를 얻을 수 있습니다.

유일한 단점 이 방법- 분모가 "전체적으로" 곱해지기 때문에 많이 계산해야 하며 결과는 매우 다를 수 있습니다. 큰 숫자. 이는 신뢰성에 대한 대가입니다.

공약수법

이 기술은 계산을 크게 줄이는 데 도움이 되지만 불행히도 거의 사용되지 않습니다. 방법은 다음과 같습니다.

직진하기 전에(예: 십자형 방법 사용) 분모를 살펴보세요. 아마도 그 중 하나(더 큰 것)가 다른 것으로 나누어져 있을 것입니다.
이 나눗셈으로 인한 숫자는 분모가 더 작은 분수에 대한 추가 요소가 됩니다.
이 경우 분모가 큰 분수에는 어떤 것도 곱할 필요가 없습니다. 이것이 바로 절약 효과입니다. 동시에 오류 가능성이 급격히 감소합니다.

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

84: 21 = 4; 72:12=6. 두 경우 모두 하나의 분모를 나머지 없이 다른 분모로 나누기 때문에 우리는 공통 인수 방법을 사용합니다. 우리는:

두 번째 분수에는 아무 것도 곱해지지 않았습니다. 실제로 계산량이 절반으로 줄었습니다!

그건 그렇고, 나는 이 예에서 분수를 우연히 취한 것이 아닙니다. 관심이 있으시면 십자형 방법을 사용하여 숫자를 세어 보세요. 축소 후에도 답변은 동일하지만 작업이 훨씬 더 많아집니다.

이것이 바로 이 방식의 강점이다 공약수, 그러나 반복합니다. 분모 중 하나를 나머지 없이 다른 분모로 나누는 경우에만 사용할 수 있습니다. 아주 드물게 발생합니다.

최소공배수법

분수를 공통 분모로 줄이는 것은 본질적으로 각 분모로 나누어지는 숫자를 찾으려고 노력하는 것입니다. 그런 다음 두 분수의 분모를 이 숫자로 가져옵니다.

그러한 숫자가 많이 있으며, "십자형" 방법에서 가정하는 것처럼 그 중 가장 작은 숫자가 반드시 원래 분수의 분모의 직접 곱과 같지는 않습니다.

예를 들어, 분모 8과 12의 경우 24: 8 = 3이므로 숫자 24가 매우 적합합니다. 24:12 = 2. 이 숫자는 곱 8 · 12 = 96보다 훨씬 적습니다.

가장 작은 수각 분모로 나누어지는 를 최소공배수(LCM)이라고 합니다.

표기법: a와 b의 최소 공배수는 LCM(a ; b) 로 표시됩니다. 예를 들어, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .

그러한 숫자를 찾으면 총 계산량이 최소화됩니다. 예제를 살펴보세요:

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

234 = 117 2; 351 = 117 3. 인수 2와 3은 서로소(1 외에 공통 인수가 없음)이고 인수 117이 공통입니다. 따라서 LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702입니다.

마찬가지로 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 인자 3과 4는 서로소이고, 인자 5는 공통입니다. 따라서 LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60입니다.

이제 분수를 공통 분모로 가져오겠습니다.

원래 분모를 인수분해하는 것이 얼마나 유용한지 확인하세요.

동일한 인수를 발견한 후 우리는 즉시 최소 공배수에 도달했습니다. 이는 일반적으로 사소한 문제가 아닙니다.
결과 확장을 통해 각 분수에서 어떤 요소가 "누락"되었는지 확인할 수 있습니다. 예를 들어, 234 · 3 = 702이므로 첫 번째 분수의 경우 추가 인수는 3입니다.

최소 공배수 방법이 얼마나 큰 차이를 가져오는지 이해하려면 십자형 방법을 사용하여 동일한 예를 계산해 보세요. 물론 계산기 없이 말입니다. 이 댓글 이후에는 불필요할 것 같습니다.

실제 예에서는 그렇게 복잡한 분수가 없을 것이라고 생각하지 마십시오. 그들은 항상 만나고 위의 작업에는 제한이 없습니다!

유일한 문제는 바로 이 NOC를 찾는 방법입니다. 때로는 문자 그대로 "눈으로" 몇 초 안에 모든 것을 찾을 수 있지만 일반적으로 이는 별도의 고려가 필요한 복잡한 계산 작업입니다. 여기서는 이에 대해 다루지 않겠습니다.

분수를 가장 낮은 공통 분모로 줄이려면 다음을 수행해야 합니다. 1) 주어진 분수의 분모의 최소 공배수를 찾으면 가장 낮은 공통 분모가 됩니다. 2) 새 분모를 각 분수의 분모로 나누어 각 분수에 대한 추가 인수를 찾습니다. 3) 각 분수의 분자와 분모에 추가 요소를 곱합니다.

예. 다음 분수를 가장 낮은 공통 분모로 줄이세요.

우리는 분모의 최소 공배수를 찾습니다: LCM(5; 4) = 20, 왜냐하면 20은 5와 4로 나누어지는 가장 작은 숫자이기 때문입니다. 첫 번째 분수에 대해 추가 인수 4(20)를 찾습니다. : 5=4). 두 번째 부분의 경우 추가 요소는 5(20)입니다. : 4=5). 첫 번째 분수의 분자와 분모에 4를 곱하고 두 번째 분수의 분자와 분모에 5를 곱합니다. 이 분수를 가장 낮은 공통 분모로 줄였습니다( 20 ).

최소 공통분모이 분수 중 숫자 8은 8입니다. 8은 4와 그 자체로 나누어지기 때문입니다. 첫 번째 분수에는 추가 요소가 없습니다(또는 1과 같다고 말할 수 있음). 두 번째 분수의 경우 추가 요소는 2(8)입니다. : 4=2). 두 번째 분수의 분자와 분모에 2를 곱합니다. 이 분수를 가장 낮은 공통 분모로 줄였습니다( 8 ).

이 분수는 환원 불가능하지 않습니다.

첫 번째 분수를 4로 줄이고 두 번째 분수를 2로 줄이겠습니다. ( 일반 분수를 줄이는 방법에 대한 예를 참조하세요. 사이트맵 → 5.4.2. 공통 분수를 줄이는 예). LOC 찾기(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. 첫 번째 부분에 대한 추가 승수는 5(80)입니다. : 16=5). 두 번째 부분의 추가 요소는 4(80)입니다. : 20=4). 첫 번째 분수의 분자와 분모에 5를 곱하고 두 번째 분수의 분자와 분모에 4를 곱합니다. 이 분수를 가장 낮은 공통 분모로 줄였습니다( 80 ).

우리는 가장 낮은 공통 분모 NCD(5)를 찾습니다. ; 6과 15)=NOK(5 ; 6 및 15)=30. 첫 번째 분수에 대한 추가 요소는 6(30)입니다. : 5=6), 두 번째 분수에 대한 추가 요소는 5(30)입니다. : 6=5), 세 번째 분수에 대한 추가 요소는 2(30)입니다. : 15=2). 첫 번째 분수의 분자와 분모에 6을 곱하고, 두 번째 분수의 분자와 분모에 5를, 세 번째 분수의 분자와 분모에 2를 곱합니다. 이 분수를 최소 공통 분모로 줄였습니다( 30 ).

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이번 단원에서는 분수를 공통 분모로 줄이는 방법을 살펴보고 이 주제에 관한 문제를 해결해 보겠습니다. 공통분모와 부가인자의 개념을 정의하고, 상대적인 소수에 대해 기억해 봅시다. 최소공분모(LCD)의 개념을 정의하고 이를 찾기 위해 여러 문제를 풀어보겠습니다.

주제: 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈

Lesson: 분수를 공통 분모로 줄이기

되풀이. 분수의 주요 속성입니다.

분수의 분자와 분모에 같은 값을 곱하거나 나누는 경우 자연수, 그러면 당신은 그것과 같은 분수를 얻습니다.

예를 들어, 분수의 분자와 분모는 2로 나눌 수 있습니다. 우리는 분수를 얻습니다. 이 작업을 분수 감소라고 합니다. 분수의 분자와 분모에 2를 곱하여 역변환을 수행할 수도 있습니다. 이 경우 분수를 새로운 분모로 줄였다고 말합니다. 숫자 2를 추가 요소라고 합니다.

결론.분수는 주어진 분수의 분모의 배수인 임의의 분모로 축소될 수 있습니다. 분수를 새로운 분모로 가져오려면 해당 분자와 분모에 추가 요소를 곱합니다.

1. 분수를 분모 35로 줄이세요.

숫자 35는 7의 배수입니다. 즉, 35는 나머지 없이 7로 나누어집니다. 이는 이러한 변형이 가능하다는 것을 의미합니다. 추가적인 요소를 찾아보자. 이렇게 하려면 35를 7로 나눕니다. 5를 얻습니다. 원래 분수의 분자와 분모에 5를 곱합니다.

2. 분수를 분모 18로 줄이세요.

추가적인 요소를 찾아보자. 이렇게 하려면 새 분모를 원래 분모로 나눕니다. 우리는 3을 얻습니다. 이 분수의 분자와 분모에 3을 곱합니다.

3. 분수를 분모 60으로 줄이세요.

60을 15로 나누면 추가 인수가 제공됩니다. 4와 같습니다. 분자와 분모에 4를 곱합니다.

4. 분수를 분모 24로 줄이세요.

간단한 경우에는 새로운 분모로의 축소가 정신적으로 수행됩니다. 원래 분수보다 약간 오른쪽 위에 괄호 뒤에 추가 요소를 표시하는 것이 관례입니다.

분수는 분모 15로 줄어들 수 있고 분수는 분모 15로 줄어들 수 있습니다. 분수의 공통 분모도 15입니다.

분수의 공통 분모는 분모의 공배수일 수 있습니다. 단순화를 위해 분수는 가장 낮은 공통 분모로 축소됩니다. 이는 주어진 분수의 분모의 최소 공배수와 같습니다.

예. 분수의 가장 낮은 공통 분모로 줄이고 .

먼저, 이 분수들의 분모의 최소공배수를 찾아봅시다. 이 숫자는 12입니다. 첫 번째와 두 번째 분수에 대한 추가 인수를 찾아보겠습니다. 이렇게 하려면 12를 4와 6으로 나눕니다. 3은 첫 번째 분수에 대한 추가 요소이고, 2는 두 번째 분수에 대한 추가 요소입니다. 분수를 분모 12로 가져오겠습니다.

우리는 분수를 공통 분모로 가져왔습니다. 즉, 동일한 분모를 가진 동일한 분수를 찾았습니다.

규칙.분수를 가장 낮은 공통 분모로 줄이려면 다음을 수행해야 합니다.

먼저, 이 분수들의 분모의 최소 공배수를 찾으십시오. 이것이 최소 공통 분모가 될 것입니다.

둘째, 가장 낮은 공통 분모를 이러한 분수의 분모로 나눕니다. 즉, 각 분수에 대한 추가 요소를 찾습니다.

셋째, 각 분수의 분자와 분모에 추가 인수를 곱합니다.

a) 분수를 공통분모로 줄이세요.

가장 낮은 공통 분모는 12입니다. 첫 번째 분수의 추가 요소는 4이고 두 번째 분수의 경우 3입니다. 분수를 분모 24로 줄입니다.

b) 분수를 공통 분모로 줄입니다.

최소 공통 분모는 45입니다. 45를 9로 15로 나누면 각각 5와 3이 됩니다. 분수를 분모 45로 줄입니다.

c) 분수를 공통 분모로 줄입니다.

공통분모는 24입니다. 추가 인수는 각각 2와 3입니다.

때로는 주어진 분수의 분모의 최소 공배수를 구두로 찾는 것이 어려울 수 있습니다. 그런 다음 소인수분해를 사용하여 공통분모와 추가 인수를 찾습니다.

분수를 공통 분모로 줄이세요.

숫자 60과 168을 소인수분해해 봅시다. 숫자 60의 전개를 작성하고 두 번째 전개에서 누락된 인수 2와 7을 추가해 보겠습니다. 60에 14를 곱하여 공통분모 840을 얻습니다. 첫 번째 분수의 추가 인수는 14입니다. 두 번째 분수의 추가 인수는 5입니다. 분수를 공통 분모 840으로 가져옵니다.

참고자료

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. 및 기타 수학 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. 수학 6학년. - 체육관, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. 수학 교과서의 페이지 뒤에. - 계몽, 1989.

4. 루루킨 A.N., 차이콥스키 I.V. 5~6학년 수학 강좌 과제입니다. - ZSh MEPHI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. 수학 5-6. MEPHI 통신학교 6학년 학생들을 위한 매뉴얼입니다. - ZSh MEPHI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. 및 기타 수학: 5-6학년을 위한 교과서-대화자. 고등학교. 수학선생님 도서관. - 계몽, 1989.

귀하는 1.2항에 명시된 도서를 다운로드할 수 있습니다. 이 수업의.

숙제

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. 및 기타 수학 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (링크는 1.2 참조)

숙제: 297번, 298번, 300번.

기타업무 : 270호, 290호

분모가 다른 대수 분수를 더하고 뺄 때 분수는 먼저 다음으로 이어집니다. 공통분모. 이는 주어진 수식에 포함된 각 대수 분수의 원래 분모로 나누어진 하나의 분모를 찾는 것을 의미합니다.

아시다시피, 분수의 분자와 분모에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하거나 나누어도 분수의 값은 변하지 않습니다. 이것이 분수의 주요 속성입니다. 따라서 분수를 공통 분모로 줄이면 본질적으로 각 분수의 원래 분모에 누락된 요소를 곱하여 공통 분모를 얻습니다. 이 경우 분수의 분자에 이 인수를 곱해야 합니다(분수마다 다릅니다).

예를 들어, 대수 분수의 합이 다음과 같이 주어진다면:

표현을 단순화하는 것, 즉 두 개의 대수 분수를 추가하는 것이 필요합니다. 그러기 위해서는 먼저 분수항을 공통분모로 가져와야 합니다. 첫 번째 단계는 3x와 2y로 나누어지는 단항식을 찾는 것입니다. 이 경우에는 3x와 2y에 대해 가장 작은 것, 즉 최소공배수(LCM)를 구하는 것이 바람직하다.

수치계수와 변수의 경우 LCM을 별도로 검색합니다. LCM(3, 2) = 6, LCM(x, y) = xy입니다. 다음으로 찾은 값에 6xy를 곱합니다.

이제 6xy를 얻기 위해 3x를 곱해야 하는 요소를 결정해야 합니다.
6xy ¼ 3x = 2y

이는 첫 번째 대수 분수를 공통 분모로 줄일 때 분자에 2y를 곱해야 함을 의미합니다(공통 분모로 줄일 때 분모는 이미 곱해졌습니다). 두 번째 분수의 분자에 대한 승수도 같은 방식으로 찾습니다. 3배와 같습니다.

따라서 우리는 다음을 얻습니다:

그런 다음 분수를 다루는 것처럼 행동할 수 있습니다. 같은 분모: 분자가 추가되고 하나의 공통 분모가 작성됩니다.

변환 후에는 다음과 같은 단순화된 표현식이 얻어집니다. 대수 분수, 이는 두 개의 원래 항목의 합입니다.

원래 표현식의 대수 분수에는 단항식이 아닌 다항식인 분모가 포함될 수 있습니다(위의 예에서와 같이). 이 경우 공통분모를 찾기 전에 (가능한 경우) 분모를 인수분해해야 합니다. 다음으로, 공통분모는 다양한 요소로부터 수집됩니다. 승수가 여러 원래 분모에 있으면 한 번만 사용됩니다. 승수가 원래 분모에서 다른 거듭제곱을 갖는 경우 더 큰 분모로 사용됩니다. 예를 들어: