Tarkime, Achilas bėga dešimt kartų greičiau už vėžlį ir atsilieka nuo jo tūkstančiu žingsnių. Per tą laiką, kurio Achilui reikia nubėgti šį atstumą, vėžlys nušliaups šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Kai Achilas nubėga šimtą žingsnių, vėžlys šliaužia dar dešimt žingsnių ir t.t. Procesas tęsis iki begalybės, Achilas niekada nepasivys vėžlio.
Šis samprotavimas tapo logišku šoku visoms vėlesnėms kartoms. Aristotelis, Diogenas, Kantas, Hegelis, Hilbertas... Visi jie vienaip ar kitaip laikė Zenono aporiją. Šokas buvo toks stiprus, kad " ...diskusijos tęsiasi iki šiol, mokslo bendruomenė dar nesugebėjo rasti bendros nuomonės dėl paradoksų esmės... buvo įtraukta į šio klausimo tyrimą; matematinė analizė, aibių teorija, nauji fizikiniai ir filosofiniai požiūriai; nė vienas iš jų netapo visuotinai priimtu problemos sprendimu..."[Wikipedia, "Zeno aporia". Visi supranta, kad yra kvailinami, bet niekas nesupranta, iš ko susideda apgaulė.
Matematiniu požiūriu Zenonas savo aporijoje aiškiai pademonstravo perėjimą nuo kiekybės prie . Šis perėjimas reiškia taikymą, o ne nuolatinį. Kiek suprantu, matematinis aparatas kintamiems matavimo vienetams naudoti arba dar nėra sukurtas, arba nebuvo pritaikytas Zenono aporijai. Taikydami savo įprastą logiką, mes patenkame į spąstus. Mes, dėl mąstymo inercijos, abipusei vertei taikome pastovius laiko vienetus. Iš fizinės pusės tai atrodo kaip laikas sulėtėja, kol visiškai sustoja tuo metu, kai Achilas pasiveja vėžlį. Jei laikas sustos, Achilas nebegali aplenkti vėžlio.
Jei apverstume savo įprastą logiką, viskas stoja į savo vietas. Achilas bėga pastoviu greičiu. Kiekviena paskesnė jo kelio atkarpa yra dešimt kartų trumpesnė nei ankstesnė. Atitinkamai, laikas, skirtas jai įveikti, yra dešimt kartų mažesnis nei ankstesnis. Jei šioje situacijoje pritaikytume „begalybės“ sąvoką, būtų teisinga sakyti: „Achilas be galo greitai pasivys vėžlį“.
Kaip išvengti šių loginių spąstų? Laikykitės pastovių laiko vienetų ir neperjunkite prie abipusių vienetų. Zenono kalba tai atrodo taip:
Per tą laiką, kurio prireiks Achilui nubėgti tūkstantį žingsnių, vėžlys nuropos šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Per kitą laiko intervalą, lygų pirmajam, Achilas nubėgs dar tūkstantį žingsnių, o vėžlys nuropos šimtą žingsnių. Dabar Achilas aštuoniais šimtais žingsnių lenkia vėžlį.
Šis požiūris adekvačiai apibūdina tikrovę be jokių loginių paradoksų. Tačiau tai nėra visiškas problemos sprendimas. Einšteino teiginys apie šviesos greičio nenugalimą yra labai panašus į Zenono aporiją „Achilas ir vėžlys“. Dar turime studijuoti, permąstyti ir išspręsti šią problemą. Ir sprendimo reikia ieškoti ne be galo dideliais skaičiais, o matavimo vienetais.
Kita įdomi Zenono aporija pasakoja apie skraidančią strėlę:
Skraidanti strėlė yra nejudanti, nes kiekvienu laiko momentu ji yra ramybės būsenoje, o kadangi ji ilsisi kiekvienu laiko momentu, ji visada yra ramybės būsenoje.
Šioje aporijoje loginis paradoksas įveikiamas labai paprastai – pakanka paaiškinti, kad kiekvienu laiko momentu skraidanti strėlė ilsisi skirtinguose erdvės taškuose, o tai iš tikrųjų yra judėjimas. Čia reikia atkreipti dėmesį į dar vieną dalyką. Iš vienos automobilio nuotraukos kelyje neįmanoma nustatyti nei jo judėjimo fakto, nei atstumo iki jo. Norint nustatyti, ar automobilis juda, reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš to paties taško skirtingu laiku, tačiau negalite nustatyti atstumo nuo jų. Norėdami nustatyti atstumą iki automobilio, jums reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš skirtingų erdvės taškų vienu metu, tačiau iš jų negalite nustatyti judėjimo fakto (žinoma, vis tiek reikia papildomų duomenų skaičiavimams, trigonometrija jums padės ). Į ką noriu atkreipti dėmesį ypatingas dėmesys, yra tai, kad du laiko taškai ir du erdvės taškai yra skirtingi dalykai, kurių nereikėtų painioti, nes jie suteikia skirtingas tyrimo galimybes.
2018 m. liepos 4 d., trečiadienis
Vikipedijoje labai gerai aprašyti rinkinio ir kelių rinkinių skirtumai. Pažiūrėsim.
Kaip matote, „rinkinyje negali būti dviejų identiškų elementų“, tačiau jei rinkinyje yra identiškų elementų, toks rinkinys vadinamas „multisetu“. Protingos būtybės niekada nesupras tokios absurdiškos logikos. Tai kalbančių papūgų ir dresuotų beždžionių lygis, kurie neturi intelekto iš žodžio „visiškai“. Matematikai veikia kaip paprasti treneriai, skelbiantys mums savo absurdiškas idėjas.
Kadaise tiltą statę inžinieriai, bandydami tiltą, buvo valtyje po tiltu. Jei tiltas sugriuvo, vidutinis inžinierius mirė po savo kūrinio griuvėsiais. Jei tiltas atlaikė apkrovą, talentingas inžinierius pastatė kitus tiltus.
Kad ir kaip matematikai slepiasi po fraze „mink mane, aš esu namuose“, tiksliau, „matematika tiria abstrakčias sąvokas“, yra viena virkštelė, neatskiriamai susiejanti jas su tikrove. Ši virkštelė yra pinigai. Taikykime matematinių aibių teoriją patiems matematikams.
Labai gerai mokėmės matematikos, o dabar sėdime prie kasos, išduodame atlyginimus. Taigi matematikas ateina pas mus už savo pinigus. Suskaičiuojame jam visą sumą ir išdėliojame ant savo stalo į skirtingas krūvas, į kurias dedame to paties nominalo kupiūras. Tada paimame vieną sąskaitą iš kiekvienos krūvos ir pateikiame matematikui jo „matematinį atlyginimo rinkinį“. Paaiškinkime matematikui, kad likusias sąskaitas jis gaus tik tada, kai įrodys, kad aibė be identiškų elementų nėra lygi aibei su identiškais elementais. Čia ir prasideda linksmybės.
Visų pirma, pasiteisins deputatų logika: „Tai gali būti taikoma kitiems, bet ne man! Tada jie pradės mus raminti, kad to paties nominalo banknotai turi skirtingus vekselių numerius, o tai reiškia, kad jie negali būti laikomi tais pačiais elementais. Gerai, skaičiuokime atlyginimus monetomis – ant monetų nėra skaičių. Čia matematikas pradės pašėlusiai prisiminti fiziką: ant skirtingų monetų yra skirtingi kiekiai nešvarumai, kristalų struktūra ir kiekvienos monetos atomų išdėstymas yra unikalūs...
O dabar turiu daugiausia įdomus klausimas: kur yra ta linija, už kurios multiaibės elementai virsta aibės elementais ir atvirkščiai? Tokios linijos nėra – viską sprendžia šamanai, mokslas čia nė iš tolo nemeluoja.
Pažiūrėk čia. Mes pasirenkame futbolo stadionai su tuo pačiu lauko plotu. Laukų plotai vienodi – tai reiškia, kad turime multiset. Bet jei pažiūrėtume į tų pačių stadionų pavadinimus, gautume daug, nes pavadinimai skirtingi. Kaip matote, tas pats elementų rinkinys yra ir rinkinys, ir kelių rinkinys. Kuris teisingas? O štai matematikas-šamanas-aštrininkas iš rankovės išsitraukia kozirių tūzą ir pradeda pasakoti arba apie rinkinį, arba apie multisetą. Bet kokiu atveju jis įtikins mus, kad yra teisus.
Norint suprasti, kaip šiuolaikiniai šamanai operuoja su aibių teorija, siedami ją su realybe, pakanka atsakyti į vieną klausimą: kuo vienos aibės elementai skiriasi nuo kitos aibės elementų? Aš jums parodysiu be jokių „neįsivaizduojamų kaip viena visuma“ ar „neįsivaizduojama kaip viena visuma“.
2018 m. kovo 18 d., sekmadienis
Skaičiaus skaitmenų suma – tai šamanų šokis su tamburinu, neturintis nieko bendro su matematika. Taip, matematikos pamokose mus moko rasti skaičiaus skaitmenų sumą ir ja naudotis, bet todėl jie yra šamanai, mokyti savo palikuonis savo įgūdžių ir išminties, kitaip šamanai tiesiog išmirs.
Ar jums reikia įrodymų? Atidarykite Vikipediją ir pabandykite rasti puslapį „Skaičiaus skaitmenų suma“. Ji neegzistuoja. Matematikoje nėra formulės, pagal kurią būtų galima rasti bet kurio skaičiaus skaitmenų sumą. Juk skaičiai yra grafiniai simboliai, kuriais rašome skaičius, o matematikos kalba užduotis skamba taip: „Suraskite bet kurį skaičių grafinių simbolių sumą“. Matematikai negali išspręsti šios problemos, bet šamanai gali tai padaryti lengvai.
Išsiaiškinkime, ką ir kaip darome, kad surastume tam tikro skaičiaus skaitmenų sumą. Taigi, turėkime skaičių 12345. Ką reikia padaryti, norint rasti šio skaičiaus skaitmenų sumą? Apsvarstykime visus veiksmus eilės tvarka.
1. Užrašykite numerį ant popieriaus lapo. Ką mes padarėme? Mes konvertavome skaičių į grafinį skaičiaus simbolį. Tai nėra matematinė operacija.
2. Vieną gautą paveikslėlį supjaustome į kelias nuotraukas, kuriose yra atskiri skaičiai. Paveikslėlio iškirpimas nėra matematinis veiksmas.
3. Konvertuokite atskirus grafinius simbolius į skaičius. Tai nėra matematinė operacija.
4. Sudėkite gautus skaičius. Dabar tai yra matematika.
Skaičiaus 12345 skaitmenų suma yra 15. Tai šamanų mokomi „kirpimo ir siuvimo kursai“, kuriuos naudoja matematikai. Bet tai dar ne viskas.
Matematiniu požiūriu nesvarbu, kurioje skaičių sistemoje rašome skaičių. Taigi, į skirtingos sistemos Skaičiuojant to paties skaičiaus skaitmenų suma bus skirtinga. Matematikoje skaičių sistema nurodoma kaip indeksas dešinėje nuo skaičiaus. SU didelis skaičius 12345 Nenoriu suklaidinti galvos, pažiūrėkime į skaičių 26 iš straipsnio apie . Parašykime šį skaičių dvejetainėje, aštuntainėje, dešimtainėje ir šešioliktainėje skaičių sistemomis. Mes nežiūrėsime į kiekvieną žingsnį po mikroskopu, mes jau tai padarėme. Pažiūrėkime į rezultatą.
Kaip matote, skirtingose skaičių sistemose to paties skaičiaus skaitmenų suma skiriasi. Šis rezultatas neturi nieko bendra su matematika. Tai tas pats, kaip jei nustatytumėte stačiakampio plotą metrais ir centimetrais, gautumėte visiškai skirtingus rezultatus.
Nulis visose skaičių sistemose atrodo vienodai ir neturi skaitmenų sumos. Tai dar vienas argumentas už tai, kad. Klausimas matematikams: kaip matematikoje įvardijamas tai, kas nėra skaičius? O matematikams nieko nėra, išskyrus skaičius? Galiu tai leisti šamanams, bet ne mokslininkams. Realybė yra ne tik skaičiai.
Gautas rezultatas turėtų būti laikomas įrodymu, kad skaičių sistemos yra skaičių matavimo vienetai. Juk negalime lyginti skaičių su skirtingais matavimo vienetais. Jei tie patys veiksmai su skirtingais to paties dydžio matavimo vienetais lemia skirtingus rezultatus jas palyginus, tai reiškia, kad tai neturi nieko bendra su matematika.
Kas yra tikroji matematika? Tai yra tada, kai matematinės operacijos rezultatas nepriklauso nuo skaičiaus dydžio, naudojamo matavimo vieneto ir nuo to, kas atlieka šį veiksmą.
O! Ar tai ne moterų tualetas?
- Jauna moteris! Tai laboratorija, skirta sielų nedefiliniam šventumui joms kylant į dangų tirti! Halo viršuje ir rodyklė aukštyn. Koks dar tualetas?
Moteriška... Aureole viršuje ir rodyklė žemyn yra vyriškos lyties.
Jei kažkas panašaus į akis blyksteli kelis kartus per dieną dizaino menas,
Tada nenuostabu, kad staiga savo automobilyje randate keistą piktogramą:
Asmeniškai aš stengiuosi pamatyti minus keturis laipsnius kakiojančiame žmoguje (viena nuotrauka) (kelių paveikslėlių kompozicija: minuso ženklas, skaičius keturi, laipsnio žymėjimas). Ir nemanau, kad ši mergina yra kvailė, kuri neišmano fizikos. Ji tiesiog turi stiprų grafinių vaizdų suvokimo stereotipą. Ir matematikai mus nuolat to moko. Štai pavyzdys.
1A nėra „minus keturi laipsniai“ arba „vienas a“. Tai yra „pooping man“ arba skaičius „dvidešimt šeši“ šešioliktaine tvarka. Tie žmonės, kurie nuolat dirba šioje skaičių sistemoje, skaičių ir raidę automatiškai suvokia kaip vieną grafinį simbolį.
Viena iš pagrindinių algebros ir visos matematikos savybių yra laipsnis. Žinoma, XXI amžiuje visus skaičiavimus galima atlikti internetiniu skaičiuotuvu, tačiau smegenų vystymuisi geriau išmokti tai padaryti patiems.
Šiame straipsnyje apžvelgsime svarbiausius su šiuo apibrėžimu susijusius klausimus. Būtent, supraskime, kas tai yra apskritai ir kokios yra jo pagrindinės funkcijos, kokios matematikos savybės.
Pažvelkime į pavyzdžius, kaip atrodo skaičiavimas ir kokios yra pagrindinės formulės. Pažvelkime į pagrindinius dydžių tipus ir kuo jie skiriasi nuo kitų funkcijų.
Supraskime, kaip išspręsti šį kiekį įvairios užduotys. Pavyzdžiais parodysime, kaip pakelti iki nulinės galios, neracionalų, neigiamą ir pan.
Internetinė eksponencijos skaičiuoklė
Kas yra skaičiaus galia
Ką reiškia posakis „pakelti skaičių iki laipsnio“?
Skaičiaus galia n yra a dydžio veiksnių sandauga n kartų iš eilės.
Matematiškai tai atrodo taip:
a n = a * a * a * …a n .
Pavyzdžiui:
- 2 3 = 2 trečiajame laipsnyje. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 žingsniui. du = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 žingsniui. keturi = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 = 10 5 žingsniais. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
- 10 4 = 10 4 žingsniais. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000.
Žemiau yra kvadratų ir kubelių nuo 1 iki 10 lentelė.
Laipsnių lentelė nuo 1 iki 10
Žemiau pateikiami natūraliųjų skaičių padidinimo iki teigiamų galių rezultatai - „nuo 1 iki 100“.
| Ch-lo | 2-oji g. | 3 etapas |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Laipsnių savybės
Kas būdinga tokiai matematinei funkcijai? Pažvelkime į pagrindines savybes.
Mokslininkai nustatė šiuos dalykus Visiems laipsniams būdingi ženklai:
- a n * a m = (a) (n+m) ;
- a n: a m = (a) (n-m) ;
- (a b) m =(a) (b*m) .
Patikrinkime su pavyzdžiais:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Kita vertus, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.
Panašiai: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Kitu atveju 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. O jei skiriasi? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Kaip matote, taisyklės veikia.
Bet ką apie su pridėjimu ir atėmimu? Tai paprasta. Pirmiausia atliekamas eksponentinis koeficientas, o tada sudėjimas ir atėmimas.
Pažiūrėkime į pavyzdžius:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Atkreipkite dėmesį: taisyklė negalios, jei pirmiausia atimsite: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.
Tačiau šiuo atveju pirmiausia turite apskaičiuoti priedą, nes skliausteliuose yra veiksmų: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Kaip gaminti skaičiavimai plačiau sunkių atvejų ? Tvarka ta pati:
- jei yra skliaustų, reikia pradėti nuo jų;
- tada eksponencija;
- tada atlikti daugybos ir dalybos operacijas;
- po sudėjimo, atimties.
Valgyk specifines savybes, nebūdinga visiems laipsniams:
- Skaičiaus a iki m laipsnio n-oji šaknis bus parašyta taip: a m / n.
- Keliant trupmeną į laipsnį: ši procedūra taikoma ir skaitikliui, ir jo vardikliui.
- Statant kūrinį skirtingi skaičiai laipsniui, išraiška atitiks šių skaičių sandaugą su duotuoju laipsniu. Tai yra: (a * b) n = a n * b n .
- Didinant skaičių iki neigiamo laipsnio, 1 reikia padalyti iš skaičiaus tame pačiame amžiuje, bet su „+“ ženklu.
- Jei trupmenos vardiklis yra neigiamas laipsnis, tai ši išraiška bus lygi skaitiklio sandaugai, o vardiklio - teigiamai laipsnei.
- Bet koks skaičius laipsniui 0 = 1 ir laipsniui. 1 = sau.
Šios taisyklės kai kuriais atvejais yra svarbios, jas apsvarstysime išsamiau.
Laipsnis su neigiamu rodikliu
Ką daryti kada minuso laipsnis, t.y. kai rodiklis neigiamas?
Remiantis 4 ir 5 savybėmis(žr. aukščiau esantį punktą), pasirodo:
A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.
Ir atvirkščiai:
1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.
O jei tai trupmena?
(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Laipsnis su natūraliu indikatoriumi
Jis suprantamas kaip laipsnis, kurio rodikliai lygūs sveikiesiems skaičiams.
Ką reikia atsiminti:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...ir t.t.
A1 = A, 11 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...ir t.t.
Be to, jei (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...tada rezultatas bus su „+“ ženklu. Jei neigiamas skaičius padidinamas iki nelyginio laipsnio, tada atvirkščiai.
Jiems būdingos ir bendrosios savybės, ir visos aukščiau aprašytos specifinės savybės.
Trupmeninis laipsnis
Šį tipą galima parašyti kaip schemą: A m / n. Skaityti kaip: n-oji skaičiaus A šaknis iki laipsnio m.
Su trupmeniniu indikatoriumi galite daryti ką norite: sumažinti, padalinti į dalis, pakelti į kitą galią ir pan.
Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu
Tegu α yra neracionalusis skaičius, o A ˃ 0.
Norėdami suprasti laipsnio esmę naudojant tokį rodiklį, Pažvelkime į įvairius galimus atvejus:
- A = 1. Rezultatas bus lygus 1. Kadangi yra aksioma - 1 visose laipsniais lygus vienetui;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – racionalieji skaičiai;
- 0˂А˂1.
Šiuo atveju viskas yra atvirkščiai: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 tomis pačiomis sąlygomis kaip ir antroje pastraipoje.
Pavyzdžiui, eksponentas yra skaičius π. Tai racionalu.
r 1 – šiuo atveju lygus 3;
r 2 – bus lygus 4.
Tada, jei A = 1, 1 π = 1.
A = 2, tada 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, tada (½) 4˂ (½) π˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π˂ 1/8.
Tokiems laipsniams būdingi visi aukščiau aprašyti matematiniai veiksmai ir specifinės savybės.
Išvada
Apibendrinkime – kam reikalingi šie kiekiai, kokie tokių funkcijų privalumai? Žinoma, pirmiausia jie supaprastina matematikų ir programuotojų gyvenimą sprendžiant pavyzdžius, nes leidžia sumažinti skaičiavimus, sutrumpinti algoritmus, sisteminti duomenis ir dar daugiau.
Kur dar šios žinios gali būti naudingos? Bet kurioje darbo specialybėje: medicina, farmakologija, odontologija, statyba, technologija, inžinerija, dizainas ir kt.
Pakėlimas į neigiamą laipsnį yra vienas pagrindinių matematikos elementų, su kuriuo dažnai susiduriama sprendžiant algebrinius uždavinius. Žemiau pateikiamos išsamios instrukcijos.
Kaip pakelti į neigiamą galią – teorija
Kai pakeliame skaičių iki paprasto laipsnio, jo reikšmę padauginame kelis kartus. Pavyzdžiui, 3 3 = 3×3×3 = 27. Su neigiama trupmena yra atvirkščiai. Bendras vaizdas pagal formulę atrodys taip: a -n = 1/a n. Taigi, norėdami padidinti skaičių iki neigiamo laipsnio, turite padalyti skaičių iš nurodyto skaičiaus, bet iki teigiamo laipsnio.
Kaip pakelti iki neigiamo laipsnio – įprastų skaičių pavyzdžiai
Turėdami omenyje aukščiau pateiktą taisyklę, išspręskime kelis pavyzdžius.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Atsakymas: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Atsakymas -4 -2 = 1/16.
Bet kodėl atsakymai pirmame ir antrame pavyzdžiuose yra vienodi? Faktas yra tas, kad kai neigiamas skaičius padidinamas iki lyginės laipsnio (2, 4, 6 ir tt), ženklas tampa teigiamas. Jei laipsnis būtų lygus, minusas liktų:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Kaip padidinti iki neigiamo laipsnio - skaičiai nuo 0 iki 1
Atminkite, kad kai padidinate skaičių nuo 0 iki 1 iki teigiamo laipsnio, vertė mažėja, kai galia didėja. Pavyzdžiui, 0,5 2 = 0,25. 0.25
3 pavyzdys: Apskaičiuokite 0,5 -2
Sprendimas: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Atsakymas: 0,5 -2 = 4
Analizė (veiksmų seka):
- Mes verčiame dešimtainis nuo 0,5 iki trupmenos 1/2. Taip lengviau.
Pakelkite 1/2 iki neigiamos galios. 1/(2) -2 . Padalinkite 1 iš 1/(2) 2, gausime 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4
4 pavyzdys: Apskaičiuokite 0,5 -3
Sprendimas: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
5 pavyzdys: Apskaičiuokite -0,5 -3
Sprendimas: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Atsakymas: -0,5 -3 = -8
Remdamiesi 4 ir 5 pavyzdžiais, galime padaryti keletą išvadų:
- Teigiamam skaičiui intervale nuo 0 iki 1 (4 pavyzdys), padidintam iki neigiamo laipsnio, nesvarbu, ar laipsnis lyginis, ar nelyginis, išraiškos reikšmė bus teigiama. Be to, kuo didesnis laipsnis, tuo didesnė vertė.
- Neigiamam skaičiui diapazone nuo 0 iki 1 (5 pavyzdys), padidintam iki neigiamo laipsnio, nesvarbu, ar laipsnis lyginis, ar nelyginis, išraiškos reikšmė bus neigiama. Šiuo atveju kuo aukštesnis laipsnis, tuo mažesnė vertė.
Kaip pakelti į neigiamą laipsnį – laipsnį trupmeninio skaičiaus pavidalu
Išraiškos šio tipo turi tokią formą: a -m/n , kur a - įprastas numeris, m yra laipsnio skaitiklis, n yra laipsnio vardiklis.
Pažiūrėkime į pavyzdį:
Apskaičiuokite: 8 -1/3
Sprendimas (veiksmų seka):
- Prisiminkime skaičiaus didinimo iki neigiamo laipsnio taisyklę. Gauname: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
- Atkreipkite dėmesį, kad vardiklio skaičius 8 yra trupmenos laipsnis. Bendra trupmeninės galios skaičiavimo forma yra tokia: a m/n = n √8 m.
- Taigi 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Gauname aštuonių kubinę šaknį, kuri yra lygi 2. Iš čia 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
- Atsakymas: 8 -1/3 = 2
Iš mokyklos visi žinome eksponentiškumo taisyklę: bet kuris skaičius, kurio rodiklis N, yra lygus rezultatui, padauginus šį skaičių iš N kartų. Kitaip tariant, 7 iki 3 laipsnio yra 7, padaugintas iš savęs tris kartus, tai yra, 343. Kita taisyklė yra ta, kad padidinus bet kokį kiekį iki laipsnio 0 gaunamas vienetas, o padidinus neigiamą dydį yra įprasto didinimo į laipsnį rezultatas. galia, jei ji yra lyginė, ir tas pats rezultatas su minuso ženklu, jei jis yra nelyginis.
Taisyklėse taip pat pateikiamas atsakymas, kaip skaičių pakelti į neigiamą laipsnį. Norėdami tai padaryti, turite sukurti įprastu būdu reikiamą reikšmę vienam indikatoriaus moduliui, tada padalinkite vienetą iš rezultato.
Iš šių taisyklių tampa aišku, kad įgyvendinimas tikros problemos tvarkyti didelius kiekius reikės laisvų vietų techninėmis priemonėmis. Rankiniu būdu galite padauginti iš savęs didžiausią skaičių diapazoną iki dvidešimties iki trisdešimties, o tada ne daugiau kaip tris ar keturis kartus. Jau nekalbant apie tai, kad dalijame vieną iš rezultato. Todėl tiems, kurie neturi po ranka specialaus inžinerinio skaičiuotuvo, mes jums pasakysime, kaip „Excel“ pakelti skaičių iki neigiamo laipsnio.
Problemų sprendimas Excel
Norėdami išspręsti problemas, susijusias su eksponencija, programa „Excel“ leidžia naudoti vieną iš dviejų parinkčių.
Pirmasis yra formulės su standartiniu „dangtelio“ ženklu naudojimas. Į darbalapio langelius įveskite šiuos duomenis:
Lygiai taip pat galite pakelti norimą reikšmę iki bet kokios galios – neigiamos, trupmeninės. Atlikime šiuos veiksmus ir atsakykime į klausimą, kaip skaičių pakelti į neigiamą laipsnį. Pavyzdys:
Galite pataisyti =B2^-C2 tiesiai formulėje.
Antrasis variantas yra naudoti paruoštą „Degree“ funkciją, kuriai reikia dviejų reikalingi argumentai- skaičius ir indikatorius. Norėdami pradėti jį naudoti, tiesiog įdėkite lygybės ženklą (=) į bet kurį laisvą langelį, nurodantį formulės pradžią, ir įveskite aukščiau pateiktus žodžius. Belieka pasirinkti du langelius, kurie dalyvaus operacijoje (arba rankiniu būdu nurodyti konkrečius skaičius) ir paspausti klavišą Enter. Pažvelkime į kelis paprastus pavyzdžius.
Formulė | Rezultatas |
||||
LAIPSNIS (B2; C2) | |||||
LAIPSNIS (B3; C3) |
|
Kaip matote, nėra nieko sudėtingo, kaip naudojant „Excel“ skaičių pakelti į neigiamą laipsnį ir į įprastą laipsnį. Galų gale, norėdami išspręsti šią problemą, galite naudoti pažįstamą „dangčio“ simbolį ir programoje integruotą funkciją, kurią lengva prisiminti. Tai neabejotinas pliusas!
Pereikime prie sudėtingesnių pavyzdžių. Prisiminkime taisyklę, kaip skaičių pakelti iki neigiamos trupmeninės laipsnio, ir pamatysime, kad programa Excel programa labai lengvai išsprendžiama.
Trupmeniniai rodikliai
Trumpai tariant, skaičiaus su trupmeniniu rodikliu apskaičiavimo algoritmas yra toks.
- Paverskite trupmeną į tinkamą arba netinkamą trupmeną.
- Padidinkite mūsų skaičių iki gautos konvertuotos trupmenos skaitiklio.
- Iš ankstesnėje pastraipoje gauto skaičiaus apskaičiuokite šaknį su sąlyga, kad šaknies rodiklis bus pirmajame etape gautos trupmenos vardiklis.
Sutikite, kad net dirbant su mažais skaičiais ir tinkamomis trupmenomis tokie skaičiavimai gali užtrukti daug laiko. Gerai, kad Excel skaičiuoklių procesoriui nesvarbu, koks skaičius pakeltas iki kokios galios. Pabandykite tai išspręsti darbe Excel lapas sekantis pavyzdys:
Naudodami aukščiau pateiktas taisykles galite patikrinti ir įsitikinti, kad skaičiavimas atliktas teisingai.
Straipsnio pabaigoje lentelės su formulėmis ir rezultatais pavidalu pateiksime keletą pavyzdžių, kaip skaičių pakelti į neigiamą laipsnį, taip pat kelis veikimo pavyzdžius. trupmeniniai skaičiai ir laipsnių.
Lentelės pavyzdys
Peržiūrėkite šiuos pavyzdžius „Excel“ darbalapyje. Kad viskas veiktų tinkamai, kopijuodami formulę turite naudoti mišrią nuorodą. Pataisykite stulpelio, kuriame yra keliamas skaičius, numerį ir eilutės, kurioje yra indikatorius, numerį. Jūsų formulė turėtų atrodyti maždaug taip: „=$B4^C$3“.
Skaičius/laipsnis | |||||
Atkreipkite dėmesį, kad teigiami skaičiai (net ir ne sveikieji skaičiai) gali būti apskaičiuojami be problemų bet kuriam eksponentui. Padidinus bet kokius skaičius iki sveikųjų skaičių problemų nėra. Tačiau neigiamo skaičiaus padidinimas iki trupmeninės laipsnio jums bus klaida, nes neįmanoma laikytis mūsų straipsnio pradžioje nurodytos taisyklės dėl neigiamų skaičių didinimo, nes paritetas būdingas tik VISAM skaičiui.
Skaičius, pakeltas į laipsnį Jie skambina numeriu, kuris kelis kartus padauginamas iš savęs.
Neigiamą reikšmę turinčio skaičiaus laipsnis (a–n) gali būti nustatytas panašiai kaip to paties skaičiaus su teigiamu eksponentu laipsnis (a n) . Tačiau tai taip pat reikalauja papildomo apibrėžimo. Formulė apibrėžiama taip:
a-n = (1/a n)
Neigiamų skaičių laipsnių reikšmių savybės yra panašios į laipsnius su teigiamu eksponentu. Pateikta lygtis a m/a n= a m-n gali būti sąžiningas kaip
« Niekur, kaip matematikoje, išvados aiškumas ir tikslumas neleidžia žmogui išsisukti iš atsakymo kalbant apie klausimą.».
A. D. Aleksandrovas
adresu n daugiau m , ir su m daugiau n . Pažiūrėkime į pavyzdį: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .
Pirmiausia turite nustatyti skaičių, kuris veikia kaip laipsnio apibrėžimas. b=a(-n) . Šiame pavyzdyje -n yra eksponentas b - norimą skaitinę reikšmę, a - laipsnio pagrindas natūralios skaitinės reikšmės forma. Tada nustatykite modulį, tai yra, absoliučią neigiamo skaičiaus vertę, kuri veikia kaip eksponentas. Apskaičiuokite tam tikro skaičiaus laipsnį, palyginti su absoliučiu skaičiumi kaip rodikliu. Laipsnio reikšmė randama padalijus vieną iš gauto skaičiaus.
Ryžiai. 1
Apsvarstykite skaičiaus su neigiamu trupmeniniu rodikliu galią. Įsivaizduokime, kad skaičius a yra bet koks teigiamas skaičius, skaičiai n Ir m - natūralūs skaičiai. Pagal apibrėžimą a , kuris pakeltas į galią - lygus vienetui, padalytam iš to paties skaičiaus, turinčio teigiamą laipsnį (1 pav.). Kai skaičiaus laipsnis yra trupmena, tai tokiais atvejais naudojami tik skaičiai su teigiamais rodikliais.
Verta prisiminti kad nulis niekada negali būti skaičiaus rodiklis (dalybos iš nulio taisyklė).
Tokios sąvokos kaip skaičius paplitimas tapo tokiomis manipuliacijomis kaip matavimo skaičiavimai, taip pat matematikos kaip mokslo raida. Neigiamos reikšmės buvo įvestos dėl algebros vystymosi, kuri davė bendrieji sprendimai aritmetinius uždavinius, neatsižvelgiant į jų konkrečią reikšmę ir pradinius skaitinius duomenis. Indijoje dar VI-XI amžiuje neigiami skaičiai buvo sistemingai naudojami sprendžiant problemas ir buvo interpretuojami taip pat, kaip ir šiandien. Europos moksle neigiami skaičiai pradėti plačiai naudoti R. Dekarto dėka, kuris geometriškai interpretavo neigiamus skaičius kaip atkarpų kryptis. Tai buvo Dekartas, kuris pasiūlė skaičių, pakeltą iki laipsnio, žymėti kaip dviejų aukštų formulę. a n .
Akivaizdu, kad skaičiai su galiomis gali būti pridedami kaip ir kiti dydžiai , pridedant juos vieną po kito savo ženklais.
Taigi a 3 ir b 2 suma yra a 3 + b 2.
A 3 - b n ir h 5 -d 4 suma yra a 3 - b n + h 5 - d 4.
Šansai vienodos identiškų kintamųjų laipsniai galima pridėti arba atimti.
Taigi 2a 2 ir 3a 2 suma yra lygi 5a 2.
Taip pat akivaizdu, kad jei imsite du kvadratus a, tris kvadratus a arba penkis kvadratus a.
Bet laipsniai įvairūs kintamieji Ir įvairių laipsnių identiški kintamieji, turi būti sudaryti pridedant juos su jų ženklais.
Taigi, 2 ir 3 suma yra 2 + 3 suma.
Akivaizdu, kad a kvadratas ir a kubas yra lygūs ne dvigubam a kvadratui, o dvigubam a kubui.
A 3 b n ir 3a 5 b 6 suma yra a 3 b n + 3a 5 b 6.
Atimtisįgaliojimai atliekami taip pat, kaip ir sudėjimas, išskyrus tai, kad atitinkamai turi būti pakeisti poskyrių ženklai.
Arba:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 = -h 2b 6
5 (a – h) 6 – 2 (a – h) 6 = 3 (a – h) 6
Galių dauginimas
Skaičius su laipsniais galima dauginti, kaip ir kitus dydžius, rašant juos vieną po kito, su daugybos ženklu tarp jų arba be jo.
Taigi, padauginus a 3 iš b 2, gaunamas a 3 b 2 arba aaabb.
Arba:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Paskutiniame pavyzdyje pateiktą rezultatą galima rūšiuoti pridedant identiškus kintamuosius.
Išraiška bus tokia: a 5 b 5 y 3.
Palyginę kelis skaičius (kintamuosius) su laipsniais, pamatysime, kad padauginus bet kuriuos du iš jų, gaunamas skaičius (kintamasis), kurio galia lygi suma terminų laipsniai.
Taigi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Čia 5 yra daugybos rezultato laipsnis, lygus 2 + 3, terminų galių suma.
Taigi, a n .a m = a m+n .
Jei a n , a imamas kaip koeficientas tiek kartų, kiek yra n laipsnis;
Ir a m imamas kaip koeficientas tiek kartų, kiek lygus laipsniui m;
Štai kodėl, laipsnius su tomis pačiomis bazėmis galima padauginti pridedant galių laipsnius.
Taigi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ir x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Arba:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Padauginkite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atsakymas: x 4 - y 4.
Padauginkite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ši taisyklė galioja ir skaičiams, kurių eksponentai yra neigiamas.
1. Taigi, a -2 .a -3 = a -5 . Tai galima parašyti kaip (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Jei a + b padauginami iš a - b, rezultatas bus a 2 - b 2: tai yra
Dviejų skaičių sumos arba skirtumo padauginimo rezultatas yra lygus jų kvadratų sumai arba skirtumui.
Jei padauginsite dviejų skaičių, pakeltų iki, sumą ir skirtumą kvadratas, rezultatas bus lygus šių skaičių sumai arba skirtumui ketvirta laipsnių.
Taigi (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 – y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 – y 4.
(a 4 – y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 – y 8.
Laipsnių skirstymas
Skaičiai su laipsniais gali būti dalijami kaip ir kiti skaičiai, atimant iš dividendo arba pateikiant juos trupmenos forma.
Taigi a 3 b 2 padalytas iš b 2 yra lygus a 3.
Arba:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Rašant 5 padalijus iš 3 atrodo $\frac(a^5)(a^3)$. Bet tai lygu 2. Skaičių serijoje
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bet kurį skaičių galima padalyti iš kito, o rodiklis bus lygus skirtumas dalijamųjų skaičių rodikliai.
Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų rodikliai atimami..
Taigi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Tai yra, $\frac(yyy)(yy) = y$.
Ir a n+1:a = a n+1-1 = a n . Tai yra, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Arba:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Taisyklė galioja ir skaičiams su neigiamas laipsnių vertės.
-5 padalijus iš -3 gaunamas -2.
Taip pat $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 arba $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Būtina labai gerai įsisavinti galių daugybą ir padalijimą, nes tokie veiksmai algebroje naudojami labai plačiai.
Pavyzdžiai, kaip išspręsti pavyzdžius su trupmenomis, kuriose yra skaičių su laipsniais
1. Sumažinkite eksponentus $\frac(5a^4)(3a^2)$ Atsakymas: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Sumažinkite eksponentus $\frac(6x^6)(3x^5)$. Atsakymas: $\frac(2x)(1)$ arba 2x.
3. Sumažinkite eksponentus a 2 /a 3 ir a -3 /a -4 ir suveskite iki bendro vardiklio.
a 2 .a -4 yra -2 pirmasis skaitiklis.
a 3 .a -3 yra 0 = 1, antrasis skaitiklis.
a 3 .a -4 yra -1 , bendras skaitiklis.
Supaprastinus: a -2 /a -1 ir 1/a -1 .
4. Sumažinkite eksponentus 2a 4 /5a 3 ir 2 /a 4 ir suveskite iki bendro vardiklio.
Atsakymas: 2a 3 /5a 7 ir 5a 5 /5a 7 arba 2a 3 /5a 2 ir 5/5a 2.
5. Padauginkite (a 3 + b)/b 4 iš (a - b)/3.
6. Padauginkite (a 5 + 1)/x 2 iš (b 2 - 1)/(x + a).
7. Padauginkite b 4 /a -2 iš h -3 /x ir a n /y -3 .
8. Padalinkite 4 /y 3 iš 3 /y 2 . Atsakymas: a/y.
9. Padalinkite (h 3 – 1)/d 4 iš (d n + 1)/h.
Pamoka ir pristatymas tema: "Laikiklis su neigiamu rodikliu. Problemų sprendimo apibrėžimas ir pavyzdžiai"
Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų. Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.
Mokomosios priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 8 klasei
Vadovėlio vadovas Muravinas G.K.
Alimovo Sh.A. vadovėlio vadovas.
Laipsnio nustatymas su neigiamu rodikliuVaikinai, mums sekasi padidinti skaičių iki galių.
Pavyzdžiui: $2^4=2*2*2*2=16$ $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.
Gerai žinome, kad bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui. $a^0=1$, $a≠0$.
Kyla klausimas, kas atsitiks, jei skaičių padidinsite iki neigiamos galios? Pavyzdžiui, kam bus lygus skaičius $2^(-2)$?
Pirmieji matematikai, kurie uždavė šį klausimą, nusprendė, kad dviračio išradinėti neverta, o gerai, kad visos laipsnių savybės išliko tokios pat. Tai yra, padauginus laipsnius su ta pačia baze, eksponentai sumuojasi.
Panagrinėkime šį atvejį: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Mes nustatėme, kad tokių skaičių sandauga turėtų duoti vieną. Produkto vienetas gaunamas padauginus abipusius skaičius, tai yra $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.
Toks samprotavimas lėmė tokį apibrėžimą. Apibrėžimas. Jei $n$ – natūralusis skaičius
ir $a≠0$, tada galioja lygybė: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
Svarbi tapatybė, kuri dažnai naudojama: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Visų pirma $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.
1 pavyzdys.Apskaičiuokite: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
Sprendimas.
Panagrinėkime kiekvieną terminą atskirai.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4) $.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Belieka atlikti sudėjimo ir atimties operacijas: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4) USD.
Atsakymas: $6\frac(1)(4)$.
2 pavyzdys.
Pateikite duotą skaičių kaip pirminio skaičiaus $\frac(1)(729)$ laipsnį.
Sprendimas.
Akivaizdu, kad $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Tačiau 729 nėra pirminis skaičius, kuris baigiasi skaičiumi 9. Galima daryti prielaidą, kad šis skaičius yra trijų laipsnis. Nuosekliai padalinkite 729 iš 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Buvo atliktos šešios operacijos ir tai reiškia: $729=3^6$.
Mūsų užduočiai:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Atsakymas: $3^(-6)$.
3 pavyzdys. Išreikškite išraišką kaip laipsnį: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Sprendimas. Pirmasis veiksmas visada atliekamas skliausteliuose, tada daugyba $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Atsakymas: $a$.
4 pavyzdys. Įrodykite tapatybę:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.
Sprendimas.
Kairėje pusėje mes svarstome kiekvieną veiksnį skliausteliuose atskirai.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Pereikime prie trupmenos, iš kurios dalijame.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Atlikime padalijimą.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Gavome teisingą tapatybę, kurią turėjome įrodyti.
Pamokos pabaigoje dar kartą surašysime darbo su galiomis taisykles, čia rodiklis yra sveikasis skaičius.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.
Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai
1. Apskaičiuokite: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.2. Pateiktą skaičių pavaizduokite kaip pirminio skaičiaus $\frac(1)(16384)$ laipsnį.
3. Išreikškite išraišką kaip galią:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Įrodykite tapatybę:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.
