Cilindras yra figūra, susidedanti iš cilindrinio paviršiaus ir dviejų lygiagrečių apskritimų. Cilindro ploto apskaičiavimas yra matematikos geometrinės šakos problema, kurią galima išspręsti gana paprastai. Yra keli jo sprendimo būdai, kurie galiausiai visada susiveda į vieną formulę.

Kaip rasti cilindro plotą - skaičiavimo taisyklės

Norėdami sužinoti cilindro plotą, turite pridėti dvi pagrindo sritis su šoninio paviršiaus plotu: S = Sside + 2Sbase. Išsamesnėje versijoje ši formulė atrodo taip: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
Tam tikro geometrinio kūno šoninio paviršiaus plotą galima apskaičiuoti, jei žinomas jo aukštis ir apskritimo, esančio prie pagrindo, spindulys. Tokiu atveju galite išreikšti spindulį nuo apskritimo, jei nurodytas. Aukštį galima rasti, jei sąlygoje nurodyta generatoriaus vertė. Šiuo atveju generatrix bus lygi aukščiui. Šio kūno šoninio paviršiaus formulė atrodo taip: S= 2 π rh.
Pagrindo plotas apskaičiuojamas pagal formulę apskritimo plotui rasti: S osn= π r 2 . Kai kuriose problemose spindulys gali būti nenurodytas, bet gali būti nurodytas apskritimas. Su šia formule spindulys išreiškiamas gana lengvai. С=2π r, r= С/2π. Taip pat turite atsiminti, kad spindulys yra pusė skersmens.
Atliekant visus šiuos skaičiavimus, skaičius π dažniausiai neverčiamas į 3,14159... Tereikia jį pridėti prie skaitinės reikšmės, kuri buvo gauta atlikus skaičiavimus.
Tada jums tereikia rastą pagrindo plotą padauginti iš 2 ir prie gauto skaičiaus pridėti apskaičiuotą figūros šoninio paviršiaus plotą.
Jei problema rodo, kad cilindras turi ašinę dalį ir kad jis yra stačiakampis, sprendimas bus šiek tiek kitoks. Šiuo atveju stačiakampio plotis bus apskritimo, esančio kūno pagrinde, skersmuo. Figūros ilgis bus lygus generatrix arba cilindro aukščiui. Būtina apskaičiuoti reikiamas reikšmes ir pakeisti jas į jau žinomą formulę. Tokiu atveju stačiakampio plotis turi būti padalintas iš dviejų, kad būtų nustatytas pagrindo plotas. Norėdami rasti šoninį paviršių, ilgis padauginamas iš dviejų spindulių ir skaičiaus π.
Galite apskaičiuoti tam tikro geometrinio kūno plotą pagal jo tūrį. Norėdami tai padaryti, iš formulės V=π r 2 h reikia išvesti trūkstamą reikšmę.
Apskaičiuojant cilindro plotą nėra nieko sudėtingo. Jums tereikia žinoti formules ir mokėti iš jų išvesti kiekius, reikalingus skaičiavimams atlikti.

Cilindras (kilęs iš graikų kalbos, iš žodžių „volelis“, „volelis“) yra geometrinis kūnas, kurį išorėje riboja paviršius, vadinamas cilindriniu, ir dviem plokštumomis. Šios plokštumos kerta figūros paviršių ir yra lygiagrečios viena kitai.

Cilindrinis paviršius yra paviršius, kurį sudaro tiesi linija erdvėje. Šie judesiai yra tokie, kad pasirinktas šios tiesės taškas juda išilgai kreivės plokščias tipas. Tokia tiesi linija vadinama generatrix, o lenkta linija vadinama kreiptuvu.

Cilindras susideda iš poros pagrindų ir šoninio cilindrinio paviršiaus. Yra keletas cilindrų tipų:

1. Apvalus, tiesus cilindras. Toks cilindras turi pagrindą ir kreiptuvą, statmeną generuojančiai linijai, ir yra

2. Pasviręs cilindras. Jo kampas tarp generuojančios linijos ir pagrindo nėra tiesus.

3. Kitokios formos cilindras. Hiperbolinis, elipsinis, parabolinis ir kt.

Cilindro plotas, kaip ir bendras bet kurio cilindro paviršiaus plotas, randamas pridedant šios figūros pagrindų plotus ir šoninio paviršiaus plotą.

Apvalaus, tiesaus cilindro bendro cilindro ploto apskaičiavimo formulė:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

Nustatyta, kad šoninio paviršiaus plotas yra šiek tiek sudėtingesnis nei viso cilindro plotas, jis apskaičiuojamas generatrix linijos ilgį padauginus iš statmenos plokštumos suformuotos atkarpos perimetro; į generatrix liniją.

Duotas cilindras apskritam, tiesiam cilindrui atpažįstamas šio objekto tobulinimo būdu.

Vystymas yra stačiakampis, kurio aukštis h ir ilgis P, kuris yra lygus pagrindo perimetrui.

Iš to išplaukia, kad cilindro šoninis plotas yra lygus šlavimo plotui ir gali būti apskaičiuojamas naudojant šią formulę:

Jei imsime apvalų, tiesų cilindrą, tada jam:

P = 2p R ir Sb = 2p Rh.

Jei cilindras yra pasviręs, tada šoninio paviršiaus plotas turi būti lygus jo generuojančios linijos ilgio ir atkarpos, statmenos šiai generuojančiai linijai, perimetro sandaugai.

Deja, nėra paprastos formulės, kaip išreikšti pasvirusio cilindro šoninio paviršiaus plotą pagal jo aukštį ir pagrindo parametrus.

Norėdami apskaičiuoti cilindrą, turite žinoti keletą faktų. Jei atkarpa su savo plokštuma kerta pagrindus, tai tokia atkarpa visada yra stačiakampis. Tačiau šie stačiakampiai bus skirtingi, priklausomai nuo sekcijos padėties. Viena iš ašinės figūros pjūvio, statmenos pagrindams, kraštinių yra lygi aukščiui, o kita – cilindro pagrindo skersmeniui. Ir tokios atkarpos plotas atitinkamai yra lygus vienos stačiakampio kraštinės sandaugai su kita, statmena pirmajai, arba tam tikros figūros aukščio ir jos pagrindo skersmens sandaugai.

Jei atkarpa yra statmena figūros pagrindams, bet neperžengia sukimosi ašies, tada šios sekcijos plotas bus lygus šio cilindro aukščio ir tam tikros stygos sandaugai. Norėdami gauti akordą, turite sukonstruoti apskritimą prie cilindro pagrindo, nubrėžti spindulį ir nubrėžti atstumą, kuriuo yra atkarpa. Ir nuo šio taško reikia nubrėžti statmenus spinduliui nuo sankirtos su apskritimu. Sankirtos taškai yra sujungti su centru. O trikampio pagrindas yra norimas, kurio ieškoma tokiais garsais: „Dviejų kojų kvadratų suma lygi hipotenuzės kvadratui“:

C2 = A2 + B2.

Jei sekcija neturi įtakos cilindro pagrindui, o pats cilindras yra apskritas ir tiesus, tada šios sekcijos plotas randamas kaip apskritimo plotas.

Apskritimo plotas yra:

S env. = 2п R2.

Norėdami rasti R, turite padalyti jo ilgį C iš 2n:

R = C\2n, kur n yra pi, matematinė konstanta, apskaičiuota dirbti su apskritimo duomenimis ir lygi 3,14.

Raskite ašinės dalies plotą, statmeną cilindro pagrindams. Viena iš šio stačiakampio kraštinių lygi cilindro aukščiui, antroji – pagrindo apskritimo skersmeniui. Atitinkamai, skerspjūvio plotas šiuo atveju bus lygus stačiakampio kraštinių sandaugai. S=2R*h, kur S – skerspjūvio plotas, R – pagrindo apskritimo spindulys, nurodytas uždavinio sąlygomis, o h – cilindro aukštis, taip pat nurodytas uždavinio sąlygomis.

Jei pjūvis statmenas pagrindams, bet neperžengia sukimosi ašies, stačiakampis nebus lygus apskritimo skersmeniui. Ją reikia paskaičiuoti. Norėdami tai padaryti, problema turi pasakyti, kokiu atstumu nuo sukimosi ašies eina pjūvio plokštuma. Kad būtų lengviau atlikti skaičiavimus, cilindro apačioje sukonstruokite apskritimą, nubrėžkite spindulį ir nubrėžkite atstumą, kuriuo atkarpa yra nuo apskritimo centro. Nuo šio taško nubrėžkite statmenus jų sankirtai su apskritimu. Sujunkite sankirtos taškus su centru. Reikia rasti akordus. Raskite pusės stygos dydį naudodami Pitagoro teoremą. Jis bus lygus kvadratinė šaknis nuo skirtumo tarp apskritimo spindulio kvadratų nuo centro iki pjūvio linijos. a2=R2-b2. Visas stygas atitinkamai bus lygus 2a. Apskaičiuokite skerspjūvio plotą, kuris lygus stačiakampio kraštinių sandaugai, tai yra S=2a*h.

Cilindrą galima pjauti nepraeinant per pagrindo plokštumą. Jei skerspjūvis yra statmenas sukimosi ašiai, tai bus apskritimas. Jo plotas šiuo atveju yra lygus bazių plotui, tai yra, apskaičiuotas pagal formulę S = πR2.

Naudingi patarimai

Norėdami tiksliau įsivaizduoti skyrių, padarykite jo brėžinį ir papildomas konstrukcijas.

Šaltiniai:

cilindro skerspjūvio plotas

Paviršiaus susikirtimo su plokštuma linija priklauso ir paviršiui, ir pjovimo plokštumai. Cilindrinio paviršiaus susikirtimo linija su pjovimo plokštuma, lygiagrečia tiesiajai generatrix, yra tiesi linija. Jei pjovimo plokštuma yra statmena sukimosi paviršiaus ašiai, pjūvis bus apskritimas. Apskritai cilindrinio paviršiaus susikirtimo su pjovimo plokštuma linija yra lenkta linija.

Jums reikės

Pieštukas, liniuotė, trikampis, raštai, kompasas, matuoklis.

Instrukcijos

Priekinėje projekcijų П₂ plokštumoje pjūvio linija sutampa su pjovimo plokštumos Σ₂ projekcija tiesios formos pavidalu.
Nurodykite cilindro generatricų susikirtimo taškus su projekcija Σ₂ 1₂, 2₂ ir kt. į 10₂ ir 112 punktus.

Plokštumoje P₁ yra apskritimas. Pjūvio plokštumoje Σ₂ pažymėti taškai 1₂, 2₂ ir kt. naudojant projekcinę jungties liniją, projektuojamos ant šio apskritimo kontūro. Pažymėkite jų horizontalias projekcijas simetriškai horizontalios apskritimo ašies atžvilgiu.

Taigi nustatomos norimos atkarpos projekcijos: P₂ plokštumoje – tiesė (taškai 1₂, 2₂…10₂); P₁ plokštumoje – apskritimas (taškai 1₁, 2₁…10₁).

Naudodamiesi dviem, sukonstruokite natūralų tam tikro cilindro pjūvio dydį pagal priekinę projektavimo plokštumą Σ. Norėdami tai padaryti, naudokite projekcijos metodą.

Nubrėžkite P4 plokštumą lygiagrečiai Σ₂ plokštumos projekcijai. Šioje naujoje x₂4 ašyje pažymėkite tašką 1₀. Atstumai tarp taškų 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ ir kt. nuo pjūvio priekinės projekcijos, padėkite ją ant x24 ašies, nubrėžkite plonas projekcijos jungties linijas, statmenas x24 ašiai.

IN šis metodas P4 plokštuma pakeičiama P1 plokštuma, todėl iš horizontalios projekcijos perkelkite matmenis iš ašies į taškus į P4 plokštumos ašį.

Pavyzdžiui, 2 ir 3 taškuose P₁ tai bus atstumas nuo 2₁ ir 3₁ iki ašies (taško A) ir kt.

Atmetus nurodytus atstumus nuo horizontalios projekcijos, gaunami taškai 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Tada, siekiant didesnio konstrukcijos tikslumo, nustatomi likę tarpiniai taškai.

Sujungę visus taškus su rašto kreive, jūs gaunate reikiamą natūralų cilindro pjūvio dydį pagal priekinę išsikišimo plokštumą.

Šaltiniai:

kaip pakeisti lėktuvą

3 patarimas: kaip rasti nupjauto kūgio ašinį skerspjūvio plotą

Norėdami nuspręsti šią užduotį, reikia atsiminti, kas yra nupjautas kūgis ir kokias savybes jis turi. Būtinai padarykite piešinį. Tai leis jums nustatyti, kokią geometrinę figūrą atvaizduoja pjūvis. Gali būti, kad po to išspręsti problemą jums nebebus sunku.

Instrukcijos

Apvalus kūgis yra kūnas, gautas sukant trikampį aplink vieną iš jo kojų. Tiesios linijos, kylančios iš viršūnės kūgis o susikertančios jos pagrindą vadinamos generatoriais. Jei visi generatoriai yra lygūs, tada kūgis yra tiesus. Raundo apačioje kūgis guli apskritimas. Statmenas, numestas į pagrindą nuo viršūnės, yra aukštis kūgis. Apvalioje tiesiojoje kūgis aukštis sutampa su jo ašimi. Ašis yra tiesi linija, jungianti su pagrindo centru. Jei horizontalioji pjovimo plokštuma apskritimo kūgis, tada jo viršutinis pagrindas yra apskritimas.

Kadangi problemos teiginyje nenurodyta, kad šiuo atveju pateikiamas būtent kūgis, galime daryti išvadą, kad tai tiesus nupjautas kūgis, kurio horizontali pjūvis yra lygiagreti pagrindui. Jo ašinis pjūvis, t.y. vertikali plokštuma, kuri per apskritimo ašį kūgis, yra lygiakraštė trapecija. Visi ašiniai skyriuose apvalus tiesus kūgis yra lygūs vienas kitam. Todėl norint rasti kvadratas ašinis skyriuose, reikia susirasti kvadratas trapecija, kurios pagrindai yra nupjauto pagrindo skersmenys kūgis, o šoninės pusės yra jo sudedamosios dalys. Frustum aukštis kūgis taip pat yra trapecijos aukštis.

Trapecijos plotas nustatomas pagal formulę: S = ½(a+b) h, kur S – kvadratas trapecija a – trapecijos apatinio pagrindo dydis, h – trapecijos aukštis;

Kadangi sąlyga nenurodo, kurios yra pateiktos, gali būti, kad abiejų nupjauto pagrindo skersmenys kūgisžinomas: AD = d1 – nupjauto apatinio pagrindo skersmuo kūgis;BC = d2 – jo viršutinio pagrindo skersmuo; EH = h1 – aukštis kūgis.Taigi, kvadratas ašinis skyriuose sutrumpintas kūgis yra apibrėžta: S1 = ½ (d1+d2) h1

Šaltiniai:

nupjauto kūgio plotas

Cilindras yra erdvinė figūra ir susideda iš dviejų vienodais pagrindais, kurie žymi apskritimus ir šoninį paviršių, jungiantį pagrindus ribojančias linijas. Norėdami apskaičiuoti kvadratas cilindras, suraskite visų jo paviršių plotus ir sudėkite juos.

Kiekvieno cilindro pagrindo plotas yra π r 2, abiejų bazių plotas bus 2π r 2 (pav.).

Cilindro šoninio paviršiaus plotas lygus stačiakampio, kurio pagrindas yra 2π, plotui r, o aukštis lygus cilindro aukščiui h, ty 2π rh.

Bendras cilindro paviršius bus: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).

Laikomas cilindro šoninio paviršiaus plotas šlavimo plotas jo šoninis paviršius.

Todėl dešiniojo apskrito cilindro šoninio paviršiaus plotas yra lygus atitinkamo stačiakampio plotui (pav.) ir apskaičiuojamas pagal formulę

S b.c. = 2πRH, (1)

Jei pridėsime jo dviejų pagrindų plotą prie cilindro šoninio paviršiaus ploto, gausime bendrą cilindro paviršiaus plotą

S pilnas =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Tiesiojo cilindro tūris

Teorema. Tiesiojo cilindro tūris yra lygus jo pagrindo ploto ir aukščio sandaugai , t.y.

kur Q yra pagrindo plotas, o H yra cilindro aukštis.

Kadangi cilindro pagrindo plotas yra Q, tada yra apibrėžtų ir įrašytų daugiakampių sekos, kurių plotai Q n ir Q' n toks kad

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n= Q.

Sukurkime seką prizmių, kurių pagrindai yra aprašyti ir įrašyti daugiakampiai, o kurių šoninės briaunos yra lygiagrečios duoto cilindro generatoriui ir kurių ilgis yra H. Šios prizmės yra apibrėžtos ir įrašytos duotam cilindrui. Jų tūriai randami pagal formules

V n=Q n H ir V' n= Q' n H.

Vadinasi,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \rodyklė dešinėn \infty)\) Q' n H = QH.

Pasekmė.
Dešiniojo apskrito cilindro tūris apskaičiuojamas pagal formulę

V = π R 2 H

kur R yra pagrindo spindulys, o H yra cilindro aukštis.

Kadangi apskrito cilindro pagrindas yra R spindulio apskritimas, tai Q = π R 2, todėl

Cilindras yra geometrinis kūnas, kurį riboja dvi lygiagrečios plokštumos ir cilindrinis paviršius. Straipsnyje kalbėsime apie tai, kaip rasti cilindro plotą, ir, naudodamiesi formule, kaip pavyzdį išspręsime keletą problemų.

Cilindras turi tris paviršius: viršų, pagrindą ir šoninis paviršius.

Cilindro viršus ir pagrindas yra apskritimai ir juos lengva atpažinti.

Yra žinoma, kad apskritimo plotas yra lygus πr 2. Todėl dviejų apskritimų (cilindro viršaus ir pagrindo) ploto formulė bus πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Trečiasis, šoninis cilindro paviršius, yra išlenkta cilindro sienelė. Norėdami geriau įsivaizduoti šį paviršių, pabandykime jį transformuoti, kad gautumėte atpažįstamą formą. Įsivaizduokite, kad cilindras yra įprastas skarda, kuris neturi viršutinio dangtelio ar apačios. Padarykime vertikalią pjūvį šoninėje sienelėje nuo viršaus iki skardinės pagrindo (1 veiksmas paveikslėlyje) ir pabandykime kuo plačiau atverti (ištiesinti) gautą figūrą (2 veiksmas).

Po to, kai gautas stiklainis bus visiškai atidarytas, pamatysime pažįstamą figūrą (3 veiksmas), tai yra stačiakampis. Stačiakampio plotą lengva apskaičiuoti. Tačiau prieš tai trumpam grįžkime prie originalaus cilindro. Pradinio cilindro viršūnė yra apskritimas, ir mes žinome, kad apskritimas apskaičiuojamas pagal formulę: L = 2πr. Paveiksle jis pažymėtas raudonai.

Kai cilindro šoninė sienelė yra visiškai atidaryta, matome, kad apskritimas tampa gauto stačiakampio ilgiu. Šio stačiakampio kraštinės bus perimetras (L = 2πr) ir cilindro aukštis (h). Stačiakampio plotas lygus jo kraštinių sandaugai - S = ilgis x plotis = L x h = 2πr x h = 2πrh. Dėl to mes gavome cilindro šoninio paviršiaus ploto apskaičiavimo formulę.

Cilindro šoninio paviršiaus ploto formulė
S pusė = 2πrh

Bendras cilindro paviršiaus plotas

Galiausiai, jei sudėsime visų plotą trys paviršiai, mes gauname viso cilindro paviršiaus formulę. Cilindro paviršiaus plotas lygus cilindro viršaus plotui + cilindro pagrindo plotui + cilindro šoninio paviršiaus plotui arba S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Kartais ši išraiška rašoma identiškai formulei 2πr (r + h).

Bendro cilindro paviršiaus ploto formulė
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – cilindro spindulys, h – cilindro aukštis