taip pat žr. Linijinio programavimo uždavinio sprendimas grafiniu būdu, Kanoninė linijinio programavimo uždavinių forma

Tokios problemos apribojimų sistema susideda iš dviejų kintamųjų nelygybių:
o tikslo funkcija turi formą F = C 1 x + C 2 y kurį reikia maksimaliai padidinti.

Atsakykime į klausimą: kokios skaičių poros ( x; y) ar nelygybių sistemos sprendiniai, t.y., tenkina kiekvieną iš nelygybių vienu metu? Kitaip tariant, ką reiškia grafiškai išspręsti sistemą?
Pirmiausia turite suprasti, koks yra vienos tiesinės nelygybės su dviem nežinomaisiais sprendimas.
Išspręsti tiesinę nelygybę su dviem nežinomaisiais reiškia nustatyti visas nežinomų reikšmių poras, kurioms galioja ši nelygybė.
Pavyzdžiui, nelygybė 3 x – 5y≥ 42 patenkinamos poros ( x , y): (100, 2); (3, –10) ir tt Užduotis – surasti visas tokias poras.
Panagrinėkime dvi nelygybes: kirvis + pateikė≤ c, kirvis + pateikė≥ c. Tiesiai kirvis + pateikė = c padalija plokštumą į dvi pusplokštumas taip, kad vienos iš jų taškų koordinatės tenkintų nelygybę kirvis + pateikė >c, ir kita nelygybė kirvis + +pateikė <c.
Iš tiesų, paimkime tašką su koordinatėmis x = x 0 ; tada taškas, esantis ant linijos ir turintis abscisę x 0, turi ordinatę

Leisk dėl tikrumo a< 0, b>0, c>0. Visi taškai su abscisėmis x 0 guli aukščiau P(pavyzdžiui, taškas M), turi y M>y 0 , o visi taškai žemiau taško P, su abscisėmis x 0, turi y N<y 0 . Kadangi x 0 yra savavališkas taškas, tada vienoje linijos pusėje visada bus taškų kirvis+ pateikė > c, formuojantis pusplokštumą, o kitoje pusėje – taškai, už kuriuos kirvis + pateikė< c.

1 pav

Nelygybės ženklas pusplokštumoje priklauso nuo skaičių a, b , c.
Tai veda prie tokio grafinio sistemų sprendimo metodo tiesinės nelygybės iš dviejų kintamųjų. Norėdami išspręsti sistemą, jums reikia:

1. Kiekvienai nelygybei parašykite lygtį, atitinkančią šią nelygybę.
2. Sukurkite tieses, kurios yra lygtimis nurodytų funkcijų grafikai.
3. Kiekvienai linijai nustatykite pusplokštumą, kurią suteikia nelygybė. Norėdami tai padaryti, paimkite savavališką tašką, kuris nėra tiesėje, ir pakeiskite jo koordinates į nelygybę. jei nelygybė teisinga, tai pusplokštuma, kurioje yra pasirinktas taškas, yra pradinės nelygybės sprendimas. Jei nelygybė klaidinga, tai pusplokštuma kitoje tiesės pusėje yra šios nelygybės sprendinių rinkinys.
4. Norint išspręsti nelygybių sistemą, reikia rasti visų pusplokštumų, kurios yra kiekvienos sistemos nelygybės sprendimas, susikirtimo plotą.

Ši sritis gali pasirodyti tuščia, tada nelygybių sistema neturi sprendimų ir yra nenuosekli. Priešingu atveju sakoma, kad sistema yra nuosekli.
Gali būti baigtinis skaičius arba begalinis sprendinių skaičius. Plotas gali būti uždaras daugiakampis arba neapribotas.

Pažvelkime į tris svarbius pavyzdžius.

1 pavyzdys. Išspręskite sistemą grafiškai:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2y + 5 ≤ 0.

• apsvarstykite nelygybes atitinkančias lygtis x+y–1=0 ir –2x–2y+5=0;
• Sukurkime tiesias linijas, pateiktas šiomis lygtimis.

2 pav

Apibrėžkime nelygybių apibrėžtas pusplokštumas. Paimkime savavališką tašką, tegul (0; 0). Pasvarstykime x+ y- 1 0, pakeiskite tašką (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Tai reiškia, kad pusiau plokštumoje, kurioje yra taškas (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, t.y. po linija esanti pusplokštuma yra pirmosios nelygybės sprendimas. Šį tašką (0; 0) pakeitę antruoju, gauname: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, t.y. pusplokštumoje, kurioje yra taškas (0; 0), –2 x – 2y+ 5≥ 0, o mūsų paklausė kur –2 x – 2y+ 5 ≤ 0, todėl kitoje pusplokštumoje - virš tiesės.
Raskime šių dviejų pusiau plokštumų sankirtą. Tiesės lygiagrečios, todėl plokštumos niekur nesikerta, vadinasi, šių nelygybių sistema neturi sprendinių ir yra nenuosekli.

2 pavyzdys. Grafiškai raskite nelygybių sistemos sprendimus:

3 pav
1. Išrašykime nelygybes atitinkančias lygtis ir sukonstruokime tieses.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Pasirinkę tašką (0; 0), nustatome nelygybių požymius pusplokštumose:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, t.y. x + 2y– 2 ≤ 0 pusiau plokštumoje žemiau tiesės;
0 – 0 – 1 ≤ 0, t.y. y –x– 1 ≤ 0 pusplokštumoje žemiau tiesės;
0 + 2 =2 ≥ 0, t.y. y+ 2 ≥ 0 pusplokštumoje virš tiesės.
3. Šių trijų pusiau plokštumų sankirta bus sritis, kuri yra trikampis. Nesunku rasti srities viršūnes kaip atitinkamų tiesių susikirtimo taškus


Taigi, A(–3; –2), IN(0; 1), SU(6; –2).

Panagrinėkime kitą pavyzdį, kuriame sistemos sprendimo sritis nėra ribojama.

Šiame straipsnyje pateikiama pradinė informacija apie nelygybių sistemas. Čia pateikiamas nelygybių sistemos apibrėžimas ir nelygybių sistemos sprendimo apibrėžimas. Taip pat išvardijami pagrindiniai sistemų tipai, su kuriais dažniausiai tenka dirbti per algebros pamokas mokykloje, pateikiami pavyzdžiai.

Puslapio naršymas.

Kas yra nelygybių sistema?

Nelygybių sistemas patogu apibrėžti taip, kaip mes pristatėme lygčių sistemos apibrėžimą, tai yra pagal žymėjimo tipą ir į jį įterptą reikšmę.

Apibrėžimas.

Nelygybių sistema yra įrašas, vaizduojantis keletą nelygybių, parašytų vienas po kito, sujungtų kairėje riestiniu skliaustu, ir žymi visų sprendinių, kurie vienu metu yra kiekvienos sistemos nelygybės sprendiniai, rinkinį.

Pateiksime nelygybių sistemos pavyzdį. Paimkime du savavališkus, pavyzdžiui, 2 x−3>0 ir 5−x≥4 x−11, parašykite juos vieną po kito
2 x−3>0,
5-x≥4 x-11
ir sujunkite su sistemos ženklu - garbanotu skliaustu, todėl gauname tokios formos nelygybių sistemą:

Panaši mintis pateikiama ir apie nelygybių sistemas mokykliniuose vadovėliuose. Verta pažymėti, kad jų apibrėžimai pateikiami siauriau: nelygybėms su vienu kintamuoju arba su dviem kintamaisiais.

Pagrindiniai nelygybių sistemų tipai

Aišku, kad galima sukurti be galo daug skirtingų nelygybių sistemų. Norint nepasiklysti šioje įvairovėje, patartina juos svarstyti grupėse, kurios turi savo skiriamieji bruožai. Visos nelygybių sistemos gali būti suskirstytos į grupes pagal šiuos kriterijus:

• pagal nelygybių skaičių sistemoje;
• pagal įraše dalyvaujančių kintamųjų skaičių;
• pagal pačių nelygybių tipą.

Pagal į įrašą įtrauktų nelygybių skaičių išskiriamos dviejų, trijų, keturių ir tt sistemos. nelygybės Ankstesnėje pastraipoje pateikėme sistemos, kuri yra dviejų nelygybių sistema, pavyzdį. Parodykime dar vieną keturių nelygybių sistemos pavyzdį .

Atskirai pasakysime, kad nėra prasmės kalbėti vien apie nelygybės sistemą, šiuo atveju iš esmės kalbame apie pačią nelygybę, o ne apie sistemą.

Jei pažvelgsite į kintamųjų skaičių, tai yra nelygybių sistemos su vienu, dviem, trimis ir kt. kintamieji (arba, kaip dar sakoma, nežinomieji). Pažvelkite į paskutinę nelygybių sistemą, parašytą dviem pastraipomis aukščiau. Tai sistema su trimis kintamaisiais x, y ir z. Atkreipkite dėmesį, kad jos pirmosiose dviejose nelygybėse yra ne visi trys kintamieji, o tik vienas iš jų. Šios sistemos kontekste jos turėtų būti suprantamos kaip nelygybės su trimis kintamaisiais, atitinkamai x+0·y+0·z≥−2 ir 0·x+y+0·z≤5. Atkreipkite dėmesį, kad mokykloje dėmesys skiriamas nelygybėms su vienu kintamuoju.

Belieka aptarti, kokių tipų nelygybės yra įtrauktos į registravimo sistemas. Mokykloje jie daugiausia laiko dviejų nelygybių (rečiau - trijų, dar rečiau - keturių ir daugiau) sistemas su vienu ar dviem kintamaisiais, o pačios nelygybės dažniausiai yra visos nelygybės pirmas ar antras laipsnis (rečiau – aukštesni laipsniai arba trupmeniškai racionalus). Tačiau nenustebkite, jei ruošdamiesi vieningam valstybiniam egzaminui susidursite su nelygybių sistemomis, kuriose yra neracionalių, logaritminių, eksponentinių ir kitų nelygybių. Kaip pavyzdį pateikiame nelygybių sistemą , jis paimtas iš .

Koks yra nelygybių sistemos sprendimas?

Pateikiame dar vieną apibrėžimą, susijusį su nelygybių sistemomis – nelygybių sistemos sprendimo apibrėžimą:

Apibrėžimas.

Nelygybių sistemos su vienu kintamuoju sprendimas vadinama tokia kintamojo reikšmė, kuri kiekvieną sistemos nelygybę paverčia teisinga, kitaip tariant, tai yra kiekvienos sistemos nelygybės sprendimas.

Paaiškinkime pavyzdžiu. Paimkime dviejų nelygybių su vienu kintamuoju sistemą. Paimkime kintamojo x reikšmę, lygią 8, tai yra mūsų nelygybių sistemos sprendimas pagal apibrėžimą, nes jį pakeitus sistemos nelygybėmis gaunamos dvi teisingos skaitinės nelygybės 8>7 ir 2−3·8≤0. Priešingai, vienybė nėra sistemos sprendimas, nes ja pakeitus kintamąjį x, pirmoji nelygybė pavirs neteisinga skaitine nelygybe 1>7.

Panašiai galima įvesti sprendinio apibrėžimą nelygybių sistemoje su dviem, trimis ir didelis skaičius kintamieji:

Apibrėžimas.

Nelygybių sistemos su dviem, trimis ir t.t. sprendimas. kintamieji vadinama pora, trys ir kt. šių kintamųjų reikšmės, o tai kartu yra kiekvienos sistemos nelygybės sprendimas, ty kiekvieną sistemos nelygybę paverčia teisinga skaitine nelygybe.

Pavyzdžiui, reikšmių pora x=1, y=2 arba kitu žymėjimu (1, 2) yra nelygybių sistemos su dviem kintamaisiais sprendimas, nes 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Nelygybių sistemos gali neturėti sprendinių, gali turėti baigtinį sprendinių skaičių arba gali turėti begalinį sprendinių skaičių. Žmonės dažnai kalba apie nelygybių sistemos sprendimų rinkinį. Kai sistema neturi sprendimų, tada yra tuščias jos sprendimų rinkinys. Kai yra baigtinis sprendinių skaičius, tai sprendinių aibėje yra baigtinis elementų skaičius, o kai yra be galo daug sprendinių, tai sprendinių aibė susideda iš begalinio skaičiaus elementų.

Kai kuriuose šaltiniuose pateikiami konkretaus ir bendro nelygybių sistemos sprendimo apibrėžimai, kaip, pavyzdžiui, Mordkovičiaus vadovėliuose. Pagal privatus nelygybių sistemos sprendimas suprasti jos vienintelį sprendimą. Savo ruožtu bendras nelygybių sistemos sprendimas– tai visi jos privatūs sprendimai. Tačiau šie terminai turi prasmę tik tada, kai reikia konkrečiai pabrėžti, apie kokį sprendimą kalbame, bet dažniausiai tai jau aišku iš konteksto, todėl daug dažniau tiesiog sakoma „nelygybių sistemos sprendimas“.

Iš šiame straipsnyje pateiktų nelygybių sistemos ir jos sprendinių apibrėžimų matyti, kad nelygybių sistemos sprendimas yra visų šios sistemos nelygybių sprendinių aibių sankirta.

Nuorodos.

1. Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Algebra: 9 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2009. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovičius A. G. Algebra. 9 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 13 leid., ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovičius A. G. Algebra ir matematinės analizės pradžia. 11 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams (profilinis lygis) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Vieningas valstybinis egzaminas-2013 m. Matematika: standartiniai egzamino variantai: 30 variantų / red. A. L. Semenova, I. V. Jaščenka. – M.: Leidykla „Tautinis ugdymas“, 2012. – 192 p. – (USE-2013. FIPI - mokykla).

Šiame straipsnyje atsakau į kitą savo prenumeratorių klausimą. Klausimai kyla įvairiais būdais. Ne visi jie suformuluoti teisingai. O kai kurios suformuluotos taip, kad iš karto neaišku, ko autorius nori paklausti. Todėl iš didžiulės siunčiamų klausimų įvairovės turiu atrinkti tikrai įdomius, tokius „perliukus“, į kuriuos atsakyti ne tik įdomu, bet ir naudinga, kaip man atrodo, kitiems mano skaitytojams. Ir šiandien aš atsakau į vieną iš šių klausimų. Kaip pavaizduoti nelygybių sistemos sprendinių aibę?


Tai tikrai geras klausimas. Mat matematikos uždavinių grafinio sprendimo metodas yra labai galingas metodas. Žmogus suprojektuotas taip, kad jam būtų patogiau informaciją suvokti įvairios vaizdinės medžiagos pagalba. Todėl jei įvaldysite šį metodą, patikėkite, jis jums bus nepakeičiamas tiek sprendžiant užduotis iš Vieningo valstybinio egzamino, ypač iš antrosios dalies, kitų egzaminų, tiek sprendžiant optimizavimo uždavinius ir t.t. .

Taigi štai. Kaip galime atsakyti į šį klausimą? Pradėkime nuo paprasto. Tegul nelygybių sistemoje yra tik vienas kintamasis.

1 pavyzdys. Nubraižykite nelygybių sistemos sprendinių aibę: Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Supaprastinkime šią sistemą. Norėdami tai padaryti, pridėkite 7 prie abiejų pirmosios nelygybės pusių ir padalykite abi puses iš 2, nekeisdami nelygybės ženklo, nes 2 yra teigiamas skaičius. Prie abiejų antrosios nelygybės pusių pridedame 4. Gauname tokią nelygybių sistemą:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Paprastai tokia problema vadinama vienmačiu. Kodėl? Taip, nes norint pavaizduoti daugybę jos sprendimų, jis yra pakankamai tiesioginis. Tiksliau sakant, skaičių eilutė. Šioje skaičių tiesėje pažymėkime 6 ir 8 taškus. Aišku, kad taškas 8 bus toliau į dešinę nei taškas 6, nes skaičių eilutėje didesni skaičiai yra dešinėje nuo mažesnių. Be to, 8 taškas bus nuspalvintas, nes pagal pirmosios nelygybės užrašą jis įtrauktas į jo sprendimą. Priešingai, 6 punktas bus nenuspalvintas, nes jis neįtrauktas į antrosios nelygybės sprendimą:

Dabar pažymėkime rodykle virš reikšmių, kurios yra mažesnės arba lygios 8, kaip reikalauja pirmoji sistemos nelygybė, ir rodykle žemiau - vertes, kurios yra didesnės nei 6, kaip reikalaujama antroji sistemos nelygybė:

Belieka atsakyti į klausimą, kurioje skaičių eilutėje yra nelygybių sistemos sprendiniai. Prisiminkite kartą ir visiems laikams. Sistemos simbolis – garbanotas skliaustas – matematikoje pakeičia jungtuką „aš“. Tai yra, išverčiant formulių kalbą į žmonių kalbą, galime pasakyti, kad privalome nurodyti reikšmes, kurios yra didesnės nei 6 IR mažesnės arba lygios 8. Tai reiškia, kad reikiamas intervalas yra pažymėto sankirtoje. intervalai:

Taigi nelygybių sistemos sprendinių rinkinį pavaizdavome skaičių tiesėje tuo atveju, kai nelygybių sistemoje yra tik vienas kintamasis. Šis tamsintas intervalas apima visas reikšmes, kurioms tenkinamos visos sistemoje įrašytos nelygybės.

Dabar panagrinėkime sudėtingesnį atvejį. Tegul mūsų sistemoje yra nelygybės su dviem kintamaisiais ir . Tokiu atveju tokios sistemos sprendiniams pavaizduoti nebus galima naudoti tik tiesią liniją. Mes peržengiame vienmatį pasaulį ir pridedame prie jo dar vieną dimensiją. Čia mums reikia viso lėktuvo. Pažvelkime į situaciją konkrečiu pavyzdžiu.

Taigi, kaip galime pavaizduoti duotosios nelygybių sistemos su dviem kintamaisiais sprendinių rinkinį stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje? Pradėkime nuo paprasčiausio dalyko. Paklauskime savęs, kokią šios plokštumos sritį lemia nelygybė . Lygtis nurodo tiesę, einančią statmenai ašiai JAUTIS per tašką (0;0). Tai yra, iš tikrųjų ši tiesi linija sutampa su ašimi OY. Na, kadangi mus domina reikšmės, kurios yra didesnės arba lygios 0, tada tinka visa pusplokštuma, esanti dešinėje tiesės:

Be to, visi taškai, esantys ant ašies OY, tinka ir mums, nes nelygybė nėra griežta.

Norėdami suprasti, kokią koordinačių plokštumos sritį apibrėžia trečioji nelygybė, turite nubraižyti funkciją. Tai tiesi linija, einanti per pradžią ir, pavyzdžiui, tašką (1;1). Tai iš tikrųjų yra tiesi linija, turinti kampo, sudarančio pirmąjį koordinačių ketvirtį, pusiausvyrą.

Dabar pažiūrėkime į trečiąją nelygybę sistemoje ir pagalvokime. Kokią sritį turime rasti? Pažiūrėkime:. Didesnis už arba lygybės ženklas. Tai yra, situacija yra panaši į ankstesniame pavyzdyje. Tik čia „daugiau“ reiškia ne „daugiau į dešinę“, o „aukštiau“. Nes OY- tai mūsų vertikali ašis. Tai yra, plotas, kurį plokštumoje apibrėžia trečioji nelygybė, yra taškų, esančių virš linijos arba ant jos, rinkinys:

Su pirmąja nelygybe sistema yra šiek tiek mažiau patogi. Bet po to, kai mums pavyko nustatyti trečiosios nelygybės apibrėžtą sritį, manau, jau aišku, kaip elgtis.

Šią nelygybę reikia pateikti taip, kad kairėje būtų tik kintamasis, o dešinėje – tik kintamasis. Norėdami tai padaryti, atimkite iš abiejų nelygybės pusių ir padalykite abi puses iš 2, nekeisdami nelygybės ženklo, nes 2 yra teigiamas skaičius. Dėl to gauname tokią nelygybę:

Belieka tik nubrėžti tiesią liniją koordinačių plokštumoje, kuri kerta ašį OY taške A(0;4) ir tiesė taške . Pastarojo išmokau sulygindamas dešiniąsias tiesių lygčių puses ir gaudamas lygtį. Iš šios lygties randama susikirtimo taško koordinatė, o koordinatė, manau, jūs atspėjote, yra lygi koordinatei. Tiems, kurie vis dar neatspėjo, taip yra todėl, kad turime vienos iš susikertančių tiesių lygtį: .

Vos nubrėžę šią tiesią liniją, iškart galime pažymėti norimą plotą. Nelygybės ženklas čia yra „mažiau arba lygus“. Tai reiškia, kad norima sritis yra žemiau arba tiesiai ant pavaizduotos tiesios linijos:

Na, paskutinis klausimas. Kur yra norima sritis, tenkinanti visas tris sistemos nelygybes? Akivaizdu, kad jis yra visų trijų pažymėtų sričių sankirtoje. Vėl kirsti! Atminkite: sistemos ženklas matematikoje reiškia sankryžą. Štai ši sritis:

Na, paskutinis pavyzdys. Dar bendresnis. Tarkime, kad sistemoje turime ne vieną kintamąjį, ne du, o net tris!

Kadangi yra trys kintamieji, norint pavaizduoti tokios nelygybių sistemos sprendimų rinkinį, be dviejų, su kuriais dirbome ankstesniame pavyzdyje, mums reikės trečio matmens. Tai yra, mes išlipame iš plokštumos į erdvę ir vaizduojame erdvinę koordinačių sistemą su trimis matmenimis: X, Y Ir Z. Kuris atitinka ilgį, plotį ir aukštį.

Pradėkime nuo to, kad šioje koordinačių sistemoje pavaizduosime lygtimi nurodytą paviršių. Savo forma ji labai panaši į apskritimo lygtį plokštumoje, tik su kintamuoju pridedamas dar vienas narys. Nesunku atspėti, kad tai lygtis rutulio, kurio centras yra taške (1;3;2), kurio spindulio kvadratas yra 4. Tai yra, pats spindulys yra 2.

Tada klausimas. Ką tuomet nustato pati nelygybė? Tiems, kuriuos glumina šis klausimas, siūlau samprotauti taip. Išvertus formulių kalbą į žmonių kalbą, galima teigti, kad reikia nurodyti visas sferas, kurių centras yra taške (1;3;2), kurių spindulys yra mažesnis arba lygus 2. Bet tada visi šios sferos bus pavaizduotos sferos viduje! Tai yra, iš tikrųjų ši nelygybė apibrėžia visą pavaizduotos sferos vidinę sritį. Jei norite, apibrėžiamas rutulys, kurį riboja pavaizduota sfera:

Lygtimi x+y+z=4 apibrėžtas paviršius yra plokštuma, kuri kerta koordinačių ašis taškuose (0;0;4), (0;4;0) ir (4;0;0). Na, aišku, kad kuo didesnis skaičius į dešinę nuo lygybės ženklo, tuo toliau nuo koordinačių centro bus šios plokštumos susikirtimo taškai su koordinačių ašimis. Tai yra, antroji nelygybė nurodo pusę erdvės, esančios „virš“ nurodytos plokštumos. Vartodamas įprastą terminą „aukštesnis“, turiu galvoje toliau koordinačių verčių didinimo išilgai ašių kryptimi.

Ši plokštuma kerta pavaizduotą sferą. Šiuo atveju sankirtos atkarpa yra apskritimas. Jūs netgi galite apskaičiuoti, kokiu atstumu nuo koordinačių sistemos centro yra šio apskritimo centras. Beje, kas atspėsite, kaip tai padaryti, savo sprendimus ir atsakymus rašykite komentaruose. Taigi pradinė nelygybių sistema nurodo erdvės sritį, kuri yra toliau nuo šios plokštumos didėjančių koordinačių kryptimi, bet uždaryta pavaizduotoje sferoje:

Taip pavaizduota daug nelygybių sistemos sprendimų. Jei sistemoje yra daugiau kintamųjų nei 3 (pavyzdžiui, 4), sprendinių aibės aiškiai pavaizduoti nebebus įmanoma. Nes tam reikėtų 4 matmenų koordinačių sistemos. Tačiau normalus žmogus neįsivaizduoja, kaip galėtų būti išdėstytos 4 viena kitai statmenos koordinačių ašys. Nors turiu draugą, kuris tvirtina, kad gali tai padaryti ir lengvai. Nežinau, ar jis sako tiesą, gal jis sako tiesą. Bet vis tiek normali žmogaus vaizduotė neleidžia to padaryti.

Tikiuosi, kad šiandienos pamoka jums buvo naudinga. Norėdami patikrinti, kaip gerai jį supratote, atlikite toliau pateiktus namų darbus.

Nubraižykite nelygybių sistemos sprendinių aibę:

ql-right-eqno"> title="Pateikė QuickLaTeX.com">!}

Medžiagą parengė Sergejus Valerjevičius

Šioje pamokoje pradėsime tyrinėti nelygybių sistemas. Pirmiausia panagrinėsime tiesinių nelygybių sistemas. Pamokos pradžioje svarstysime, kur ir kodėl atsiranda nelygybių sistemos. Toliau išnagrinėsime, ką reiškia išspręsti sistemą, ir prisiminsime aibių sąjungą ir sankirtą. Pabaigoje išspręsime konkrečius tiesinių nelygybių sistemų pavyzdžius.

Tema: Dietanelygybės ir jų sistemos

Pamoka:Pagrindinissąvokos, sprendžiant tiesinių nelygybių sistemas

Iki šiol mes išsprendėme individualias nelygybes ir joms taikėme intervalų metodą tiesinės nelygybės, tiek kvadratinis, tiek racionalus. Dabar pereikime prie nelygybių sistemų sprendimo – pirmiausia tiesinės sistemos. Pažvelkime į pavyzdį, iš kurio kyla poreikis atsižvelgti į nelygybių sistemas.

Raskite funkcijos sritį

Raskite funkcijos sritį

Funkcija egzistuoja, kai egzistuoja abi kvadratinės šaknys, t.y.

Kaip išspręsti tokią sistemą? Reikia rasti visus x, kurie tenkina ir pirmąją, ir antrąją nelygybę.

Jaučio ašyje pavaizduokime pirmosios ir antrosios nelygybių sprendinių aibę.

Dviejų spindulių susikirtimo intervalas yra mūsų sprendimas.

Šis nelygybių sistemos sprendimo vaizdavimo būdas kartais vadinamas stogo metodu.

Sistemos sprendimas yra dviejų aibių sankirta.

Pavaizduokime tai grafiškai. Turime savavališko pobūdžio aibę A ir savavališko pobūdžio aibę B, kurios susikerta.

Apibrėžimas: Dviejų aibių A ir B sankirta yra trečioji rinkinys, susidedantis iš visų elementų, įtrauktų į A ir B.

Naudodamiesi konkrečiais tiesinių nelygybių sistemų sprendimo pavyzdžiais, pasvarstykime, kaip rasti į sistemą įtrauktų individualių nelygybių sprendinių aibių sankirtas.

Išspręskite nelygybių sistemą:

Atsakymas: (7; 10]).

4. Išspręskite sistemą

Iš kur gali atsirasti antroji sistemos nelygybė? Pavyzdžiui, nuo nelygybės

Grafiškai pažymėkime kiekvienos nelygybės sprendinius ir raskime jų susikirtimo intervalą.

Taigi, jei turime sistemą, kurioje viena iš nelygybių tenkina bet kurią x reikšmę, tada ją galima pašalinti.

Atsakymas: sistema prieštaringa.

Išnagrinėjome tipines atramos problemas, į kurias galima redukuoti bet kurios tiesinės nelygybių sistemos sprendimą.

Apsvarstykite šią sistemą.

7.

Kartais tiesinė sistema suteikiama dviguba nelygybe.

8.

Mes pažvelgėme į tiesinių nelygybių sistemas, supratome, iš kur jos kyla, pažvelgėme į standartines sistemas, į kurias galima redukuoti visas tiesines sistemas, ir kai kurias iš jų išsprendėme.

1. Mordkovich A.G. ir kt. Algebra 9 klasė: Vadovėlis. Dėl bendrojo išsilavinimo Institucijos.- 4-asis leid. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: iliustr.

2. Mordkovichas A.G. ir kt. Algebra 9 kl.: Probleminė knyga bendrojo lavinimo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, T. N. Mišustina ir kt. - 4 leid. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: iliustr.

3. Makarychev Yu N. Algebra. 9 klasė: mokomoji. bendrojo lavinimo mokiniams. institucijos / Yu N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. – 7-asis leidimas, red. ir papildomas - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9 klasė. 16-asis leidimas - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12 leid., ištrintas. - M.: 2010. - 224 p.: iliustr.

6. Algebra. 9 klasė. 2 dalyse 2 dalis. Probleminė knyga bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mišustina ir kt. Red. A. G. Mordkovičius. – 12 leid., red. - M.: 2010.-223 p.: iliustr.

1. Gamtos mokslų portalas ().

2. Elektroninis edukacinis ir metodinis kompleksas 10-11 klasių rengimo informatikos, matematikos, rusų kalbos stojamiesiems egzaminams ().

4. Švietimo centras „Mokymo technologijos“ ().

5. College.ru skyrius apie matematiką ().

1. Mordkovich A.G. ir kt. Algebra 9 kl.: Probleminė knyga bendrojo lavinimo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, T. N. Mišustina ir kt. - 4 leid. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: iliustr. Nr.53; 54; 56; 57.

Ne visi žino, kaip išspręsti nelygybes, kurios savo struktūroje turi panašių ir skiriamųjų bruožų su lygtimis. Lygtis yra pratimas, susidedantis iš dviejų dalių, tarp kurių yra lygybės ženklas, o tarp nelygybės dalių gali būti ženklas „daugiau nei“ arba „mažiau nei“. Taigi, prieš rasdami konkrečios nelygybės sprendimą, turime suprasti, kad verta atsižvelgti į skaičiaus ženklą (teigiamą ar neigiamą), jei reikia padauginti abi puses iš kokios nors išraiškos. Į tą patį faktą reikia atsižvelgti, jei nelygybei išspręsti reikalingas kvadratas, nes kvadratas atliekamas dauginant.

Kaip išspręsti nelygybių sistemą

Nelygybių sistemas išspręsti daug sunkiau nei įprastas nelygybes. Pažiūrėkime, kaip išspręsti nelygybes 9 klasėje naudojant konkrečius pavyzdžius. Reikia suprasti, kad prieš sprendžiant kvadratines nelygybes (sistemas) ar bet kokias kitas nelygybių sistemas, būtina kiekvieną nelygybę išspręsti atskirai, o tada jas palyginti. Nelygybės sistemos sprendimas bus teigiamas arba neigiamas atsakymas (ar sistema turi sprendimą, ar jo neturi).

Užduotis yra išspręsti nelygybių aibę:

Išspręskime kiekvieną nelygybę atskirai

Mes sukuriame skaičių eilutę, kurioje pavaizduojame sprendimų rinkinį

Kadangi aibė yra sprendinių aibių sąjunga, ši aibė skaičių eilutėje turi būti pabraukta bent viena eilute.

Nelygybių sprendimas moduliu

Šis pavyzdys parodys, kaip išspręsti nelygybes su moduliu. Taigi turime apibrėžimą:

Turime išspręsti nelygybę:

Prieš sprendžiant tokią nelygybę, būtina atsikratyti modulio (ženklo)

Remdamiesi apibrėžimo duomenimis, parašykime:

Dabar reikia išspręsti kiekvieną sistemą atskirai.

Sukonstruokime vieną skaičių tiesę, kurioje pavaizduotume sprendinių aibes.

Dėl to turime kolekciją, kurioje dera daug sprendimų.

Kvadratinių nelygybių sprendimas

Naudodamiesi skaičių eilute, pažvelkime į kvadratinių nelygybių sprendimo pavyzdį. Turime nelygybę:

Žinome, kad kvadratinio trinalio grafikas yra parabolė. Taip pat žinome, kad parabolės šakos nukreiptos į viršų, jei a>0.

x 2 -3x-4< 0

Naudodami Vietos teoremą randame šaknis x 1 = - 1; x 2 = 4

Nubraižykime parabolę, tiksliau, jos eskizą.

Taigi, mes išsiaiškinome, kad kvadratinio trinalio reikšmės bus mažesnės nei 0 intervale nuo – 1 iki 4.

Daugeliui žmonių kyla klausimų sprendžiant dvigubas nelygybes, tokias kaip g(x)< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

Tiesą sakant, yra keletas nelygybių sprendimo būdų, todėl sudėtingoms nelygybėms išspręsti galite naudoti grafinį metodą.

Trupmeninių nelygybių sprendimas

Dalinė nelygybė reikalauja kruopštesnio požiūrio. Taip yra dėl to, kad sprendžiant kai kurias trupmenines nelygybes ženklas gali pasikeisti. Prieš spręsdami trupmenines nelygybes, turite žinoti, kad joms spręsti naudojamas intervalų metodas. Trupmenų nelygybė turi būti pateikta taip, kad viena ženklo pusė atrodytų kaip trupmeninė racionali išraiška, o kita - „- 0“. Tokiu būdu transformavę nelygybę, gauname f(x)/g(x) > (.

Nelygybių sprendimas intervalų metodu

Intervalų technika pagrįsta visiškos indukcijos metodu, tai yra, norint rasti nelygybės sprendimą, reikia pereiti visus įmanomus variantus. Šis sprendimo būdas gali būti nereikalingas 8 klasės mokiniams, nes jie turėtų žinoti, kaip išspręsti 8 klasės nelygybes, kurios yra paprasti pratimai. Tačiau vyresnio amžiaus klasėms šis metodas yra būtinas, nes padeda išspręsti trupmenines nelygybes. Nelygybių sprendimas naudojant šią techniką taip pat pagrįstas tokia nuolatinės funkcijos savybe kaip ženklo išsaugojimas tarp reikšmių, kuriose jis virsta 0.

Sukurkime daugianario grafiką. Tai ištisinė funkcija, kuri įgauna reikšmę 0 3 kartus, tai yra, f(x) bus lygus 0 taškuose x 1, x 2 ir x 3, daugianario šaknyse. Intervaluose tarp šių taškų išsaugomas funkcijos ženklas.

Kadangi nelygybei f(x)>0 išspręsti reikia funkcijos ženklo, pereiname prie koordinačių linijos, palikdami grafiką.

f(x)>0 x(x 1 ; x 2) ir x(x 3 ;)

f(x)x(- ; x 1) ir x (x 2 ; x 3)

Grafike aiškiai pavaizduoti nelygybių f(x)f(x)>0 sprendiniai (pirmosios nelygybės sprendinys yra mėlynai, o antrosios – raudonai). Norint nustatyti funkcijos ženklą intervale, pakanka žinoti funkcijos ženklą viename iš taškų. Ši technika leidžia greitai išspręsti nelygybes, kuriose kairioji pusė yra faktorizuota, nes tokiose nelygybėse gana lengva rasti šaknis.