En sylinder er en figur som består av en sylindrisk overflate og to sirkler plassert parallelt. Å beregne arealet til en sylinder er et problem i den geometriske grenen av matematikk, som kan løses ganske enkelt. Det er flere metoder for å løse det, som til slutt alltid kommer ned til én formel.

Hvordan finne arealet til en sylinder - beregningsregler

For å finne ut arealet av sylinderen, må du legge til de to områdene av basen med arealet av sideflaten: S = Sside + 2Sbase. I en mer detaljert versjon ser denne formelen slik ut: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
Det laterale overflatearealet til et gitt geometrisk legeme kan beregnes hvis høyden og radiusen til sirkelen som ligger ved bunnen er kjent. I dette tilfellet kan du uttrykke radius fra omkretsen, hvis gitt. Høyden kan finnes hvis verdien til generatoren er spesifisert i betingelsen. I dette tilfellet vil generatrisen være lik høyden. Formelen for sideoverflaten til denne kroppen ser slik ut: S= 2 π rh.
Arealet av basen beregnes ved å bruke formelen for å finne arealet av en sirkel: S osn= π r 2 . I noen problemer kan radius ikke være gitt, men omkretsen kan være gitt. Med denne formelen uttrykkes radius ganske enkelt. С=2π r, r= С/2π. Du må også huske at radien er halve diameteren.
Når du utfører alle disse beregningene, blir tallet π vanligvis ikke oversatt til 3,14159... Det må bare legges til ved siden av den numeriske verdien som ble oppnådd som et resultat av beregningene.
Deretter trenger du bare å multiplisere det funnet arealet av basen med 2 og legge til det resulterende tallet det beregnede arealet av den laterale overflaten av figuren.
Hvis problemet indikerer at sylinderen har en aksial seksjon og at den er et rektangel, vil løsningen være litt annerledes. I dette tilfellet vil bredden på rektangelet være diameteren til sirkelen som ligger ved bunnen av kroppen. Lengden på figuren vil være lik generatrisen eller høyden på sylinderen. Det er nødvendig å beregne de nødvendige verdiene og erstatte dem med den allerede kjente formelen. I dette tilfellet må bredden på rektangelet deles med to for å finne arealet av basen. For å finne sideflaten multipliseres lengden med to radier og tallet π.
Du kan beregne arealet til en gitt geometrisk kropp gjennom volumet. For å gjøre dette må du utlede den manglende verdien fra formelen V=π r 2 h.
Det er ikke noe komplisert i å beregne arealet til en sylinder. Du trenger bare å kjenne formlene og kunne utlede de mengdene som er nødvendige for å utføre beregninger fra dem.

En sylinder (kommer fra det greske språket, fra ordene "rulle", "rulle") er en geometrisk kropp som er begrenset på utsiden av en overflate kalt sylindrisk og to plan. Disse planene skjærer overflaten av figuren og er parallelle med hverandre.

En sylindrisk overflate er en overflate som er dannet av en rett linje i rommet. Disse bevegelsene er slik at det valgte punktet på denne rette linjen beveger seg langs kurven flat type. En slik rett linje kalles en generatrise, og en buet linje kalles en guide.

Sylinderen består av et par baser og en sylindrisk sideoverflate. Det finnes flere typer sylindre:

1. Sirkulær, rett sylinder. En slik sylinder har en base og føring vinkelrett på genereringslinjen, og det er

2. Skrå sylinder. Vinkelen mellom generasjonslinjen og basen er ikke rett.

3. En sylinder med en annen form. Hyperbolsk, elliptisk, parabolsk og andre.

Arealet til en sylinder, så vel som det totale overflatearealet til en hvilken som helst sylinder, er funnet ved å legge til arealene til basene til denne figuren og arealet av sideoverflaten.

Formelen for å beregne det totale arealet av sylinderen for en sirkulær, rett sylinder:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

Arealet av sideoverflaten er funnet å være litt mer komplisert enn arealet til hele sylinderen, det beregnes ved å multiplisere lengden på generatriselinjen med omkretsen av seksjonen dannet av et plan som er vinkelrett; til generatriselinjen.

Den gitte sylinderen for en sirkulær, rett sylinder gjenkjennes av utviklingen av dette objektet.

En utvikling er et rektangel som har en høyde h og en lengde P, som er lik omkretsen av basen.

Det følger at sidearealet til sylinderen er lik sveipeområdet og kan beregnes ved hjelp av denne formelen:

Hvis vi tar en sirkulær, rett sylinder, så for det:

P = 2p R, og Sb = 2p Rh.

Hvis sylinderen er skråstilt, bør arealet av sideoverflaten være lik produktet av lengden på genereringslinjen og omkretsen av seksjonen, som er vinkelrett på denne generasjonslinjen.

Dessverre er det ingen enkel formel for å uttrykke det laterale overflatearealet til en skrånende sylinder når det gjelder høyden og parametrene til basen.

For å beregne en sylinder, må du vite noen få fakta. Hvis en seksjon med sitt plan skjærer basene, så er en slik seksjon alltid et rektangel. Men disse rektanglene vil være forskjellige, avhengig av plasseringen av seksjonen. En av sidene av den aksiale seksjonen av figuren, som er vinkelrett på basene, er lik høyden, og den andre er lik diameteren til sylinderens base. Og arealet av en slik seksjon er følgelig lik produktet av den ene siden av rektangelet med den andre, vinkelrett på den første, eller produktet av høyden til en gitt figur og diameteren til basen.

Hvis seksjonen er vinkelrett på basene til figuren, men ikke passerer gjennom rotasjonsaksen, vil arealet til denne seksjonen være lik produktet av høyden til denne sylinderen og en viss korde. For å få en korde, må du konstruere en sirkel ved bunnen av sylinderen, tegne en radius og tegne avstanden som seksjonen er plassert på. Og fra dette punktet må du tegne perpendikulære til radiusen fra skjæringspunktet med sirkelen. Krysspunktene er knyttet til sentrum. Og bunnen av trekanten er den ønskede, som søkes etter lyder som dette: "Summen av kvadratene til to ben er lik hypotenusen i annen":

C2 = A2 + B2.

Hvis seksjonen ikke påvirker bunnen av sylinderen, og selve sylinderen er sirkulær og rett, blir arealet av denne seksjonen funnet som arealet av sirkelen.

Arealet av sirkelen er:

S env. = 2p R2.

For å finne R må du dele lengden C med 2n:

R = C\2n, hvor n er pi, en matematisk konstant beregnet for å fungere med sirkeldata og lik 3,14.

Finn arealet av den aksiale seksjonen vinkelrett på sylinderens base. En av sidene av dette rektangelet er lik høyden på sylinderen, den andre - til diameteren på basissirkelen. Følgelig vil tverrsnittsarealet i dette tilfellet være lik produktet av sidene til rektangelet. S=2R*h, hvor S er tverrsnittsarealet, R er radiusen til grunnsirkelen, gitt av betingelsene for problemet, og h er høyden til sylinderen, også gitt av betingelsene for problemet.

Hvis seksjonen er vinkelrett på basene, men ikke passerer gjennom rotasjonsaksen, vil rektangelet ikke være lik diameteren til sirkelen. Det må beregnes. For å gjøre dette må problemet si i hvilken avstand fra rotasjonsaksen seksjonsplanet passerer. For å lette beregningene, konstruer en sirkel ved bunnen av sylinderen, tegn en radius og plott på den avstanden som seksjonen er plassert fra sentrum av sirkelen. Fra dette punktet tegner du perpendikulære til deres skjæringspunkt med sirkelen. Koble skjæringspunktene til sentrum. Du må finne akkordene. Finn størrelsen på en halv akkord ved å bruke Pythagoras teorem. Det blir likt kvadratrot fra forskjellen mellom kvadratene av sirkelens radius fra sentrum til snittlinjen. a2=R2-b2. Hele akkorden vil følgelig være lik 2a. Regn ut tverrsnittsarealet, som er lik produktet av sidene i rektangelet, det vil si S=2a*h.

Sylinderen kan kuttes uten å passere gjennom basens plan. Hvis tverrsnittet er vinkelrett på rotasjonsaksen, vil det være en sirkel. Området i dette tilfellet er lik arealet til basene, det vil si beregnet ved formelen S = πR2.

Nyttige råd

For mer nøyaktig å forestille seg seksjonen, lag en tegning og tilleggskonstruksjoner for den.

Kilder:

sylindertverrsnittsareal

Skjæringslinjen mellom en overflate og et plan tilhører både overflaten og skjæreplanet. Skjæringslinjen for en sylindrisk overflate med et skjæreplan parallelt med den rette generatrisen er en rett linje. Hvis skjæreplanet er vinkelrett på omdreiningsoverflatens akse, vil seksjonen være en sirkel. Generelt er skjæringslinjen mellom en sylindrisk overflate og et skjæreplan en buet linje.

Du trenger

Blyant, linjal, trekant, mønstre, kompass, måler.

Instruksjoner

På frontplanet til projeksjonene П₂ sammenfaller snittlinjen med projeksjonen av skjæreplanet Σ₂ i form av en rett linje.
Angi skjæringspunktene for generatrisene til sylinderen med projeksjonen Σ₂ 1₂, 2₂, etc. til punktene 10₂ og 11₂.

På planet P₁ er en sirkel. Punktene 1₂, 2₂ osv. markert på snittplanet Σ₂. ved hjelp av en projeksjonsforbindelseslinje projiseres på omrisset av denne sirkelen. Merk deres horisontale projeksjoner symmetrisk i forhold til den horisontale aksen til sirkelen.

Dermed bestemmes projeksjonene til ønsket seksjon: på P₂-planet – en rett linje (punktene 1₂, 2₂…10₂); på P₁-planet – en sirkel (punktene 1₁, 2₁…10₁).

Bruk to, konstruer den naturlige størrelsen på seksjonen av en gitt sylinder ved det frontalprojiserte planet Σ. For å gjøre dette, bruk projeksjonsmetoden.

Tegn P₄-planet parallelt med projeksjonen av Σ₂-planet. Marker punkt 1₀ på denne nye x₂₄-aksen. Avstander mellom punktene 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ osv. fra den frontale projeksjonen av seksjonen, plasser den på x₂₄-aksen, tegn tynne linjer på projeksjonsforbindelsen vinkelrett på x₂₄-aksen.

I denne metoden P4-planet erstattes av P1-planet, og overfører derfor dimensjonene fra aksen til punktene til P4-planets akse fra den horisontale projeksjonen.

For eksempel, på P₁ for punktene 2 og 3 vil dette være avstanden fra 2₁ og 3₁ til aksen (punkt A), osv.

Legger du til side de angitte avstandene fra den horisontale projeksjonen, får du poeng 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Deretter, for større nøyaktighet av konstruksjonen, bestemmes de gjenværende mellompunktene.

Ved å koble alle punktene med en mønsterkurve, oppnår du den nødvendige naturlige størrelsen på sylinderens seksjon ved det frontale utstikkende planet.

Kilder:

hvordan erstatte et fly

Tips 3: Hvordan finne det aksiale tverrsnittsarealet til en avkortet kjegle

Å bestemme denne oppgaven, må du huske hva en avkortet kjegle er og hvilke egenskaper den har. Sørg for å lage en tegning. Dette lar deg bestemme hvilken geometrisk figur seksjonen representerer. Det er ganske mulig at etter dette vil det ikke lenger være vanskelig for deg å løse problemet.

Instruksjoner

En rund kjegle er en kropp oppnådd ved å rotere en trekant rundt det ene bena. Rette linjer som kommer fra toppen kjegle og som krysser basen kalles generatorer. Hvis alle generatorer er like, er kjeglen rett. I bunnen av runden kjegle ligger en sirkel. Perpendikulæren som faller til basen fra toppunktet er høyden kjegle. Ved runden rett kjegle høyden sammenfaller med dens akse. Aksen er en rett linje som kobles til midten av basen. Hvis det horisontale skjæreplanet til en sirkulær kjegle, så er dens øvre base en sirkel.

Siden det ikke er spesifisert i problemstillingen at det er kjeglen som er gitt i dette tilfellet, kan vi konkludere med at dette er en rett avkortet kjegle, hvis horisontale snitt er parallelt med basen. Dens aksiale seksjon, dvs. vertikalt plan, som gjennom rundens akse kjegle, er en likesidet trapes. Alle aksiale seksjoner rund rett kjegle er like med hverandre. Derfor å finne kvadrat aksial seksjoner, må du finne kvadrat trapes, hvis baser er diameteren til basene til en avkortet kjegle, og sidesidene er dens bestanddeler. Frustum høyde kjegle er også høyden på trapesen.

Arealet til en trapes bestemmes av formelen: S = ½(a+b) h, hvor S – kvadrat trapes a - størrelsen på den nedre bunnen av trapesen b - størrelsen på den øvre bunnen h - høyden på trapesen.

Siden betingelsen ikke spesifiserer hvilke som er gitt, er det mulig at diametrene til begge basene til den avkortede kjegle kjent: AD = d1 – diameter på den nedre bunnen av den avkortede kjegle;BC = d2 – diameteren på dens øvre base; EH = h1 – høyde kjegle.Slik, kvadrat aksial seksjoner avkortet kjegle er definert: S1 = ½ (d1+d2) h1

Kilder:

området til en avkortet kjegle

Sylinderen er en romlig figur og består av to like grunnlag, som representerer sirkler og en sideflate som forbinder linjene som avgrenser basene. Å beregne kvadrat sylinder, finn områdene på alle overflatene og legg dem sammen.

Arealet av hver base av sylinderen er π r 2, vil arealet til begge basene være 2π r 2 (fig.).

Arealet av sideoverflaten til en sylinder er lik arealet til et rektangel hvis base er 2π r, og høyden er lik høyden på sylinderen h, dvs. 2π rh.

Sylinderens totale overflate vil være: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).

Arealet av sylinderens sideflate anses å være feieområde dens sideoverflate.

Derfor er arealet av sideoverflaten til en rett sirkulær sylinder lik arealet til det tilsvarende rektangelet (fig.) og beregnes ved hjelp av formelen

S b.c. = 2πRH, (1)

Hvis vi legger til arealet av de to basene til arealet av sylinderens sideflate, får vi det totale overflatearealet til sylinderen

S full =2πRH + 2πR2 = 2πR (H + R).

Volum av en rett sylinder

Teorem. Volumet til en rett sylinder er lik produktet av arealet av basen og høyden , dvs.

der Q er arealet av basen, og H er høyden på sylinderen.

Siden arealet av bunnen av sylinderen er Q, er det sekvenser av omskrevne og innskrevne polygoner med områder Q n og Q' n slik at

\(\lim_(n \høyrepil \infty)\) Sp n= \(\lim_(n \høyrepil \infty)\) Q’ n= Q.

La oss konstruere en sekvens av prismer, hvis basis er de beskrevne og innskrevne polygonene som er diskutert ovenfor, og sidekantene er parallelle med generatrisen til den gitte sylinderen og har lengde H. Disse prismene er omskrevet og innskrevet for den gitte sylinderen. Volumene deres er funnet av formlene

V n= Q n H og V' n= Q' n H.

Derfor,

V= \(\lim_(n \høyrepil \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \høyrepil \infty)\) Q’ n H = QH.

Konsekvens.
Volumet til en rett sirkulær sylinder beregnes ved hjelp av formelen

V = π R 2 H

der R er radiusen til basen og H er høyden til sylinderen.

Siden bunnen av en sirkulær sylinder er en sirkel med radius R, så er Q = π R 2, og derfor

En sylinder er et geometrisk legeme avgrenset av to parallelle plan og en sylindrisk overflate. I artikkelen vil vi snakke om hvordan du finner arealet til en sylinder, og ved å bruke formelen vil vi løse flere problemer som et eksempel.

En sylinder har tre overflater: toppen, bunnen og sideflate.

Toppen og bunnen av en sylinder er sirkler og er enkle å identifisere.

Det er kjent at arealet av en sirkel er lik πr 2. Derfor vil formelen for arealet av to sirkler (toppen og bunnen av sylinderen) være πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Den tredje sideflaten til sylinderen er den buede veggen til sylinderen. For å bedre forestille oss denne overflaten, la oss prøve å transformere den for å få en gjenkjennelig form. Tenk deg at sylinderen er vanlig tinn, som ikke har toppdeksel eller bunn. La oss lage et vertikalt kutt på sideveggen fra toppen til bunnen av boksen (trinn 1 i figuren) og prøve å åpne (rette ut) den resulterende figuren så mye som mulig (trinn 2).

Etter at den resulterende krukken er helt åpnet, vil vi se en kjent figur (trinn 3), dette er et rektangel. Arealet til et rektangel er enkelt å beregne. Men før det, la oss et øyeblikk gå tilbake til den originale sylinderen. Toppunktet til den opprinnelige sylinderen er en sirkel, og vi vet at omkretsen beregnes med formelen: L = 2πr. Det er markert med rødt på figuren.

Når sideveggen til sylinderen er helt åpnet, ser vi at omkretsen blir lengden på det resulterende rektangelet. Sidene av dette rektangelet vil være omkretsen (L = 2πr) og høyden på sylinderen (h). Arealet til et rektangel er lik produktet av sidene - S = lengde x bredde = L x h = 2πr x h = 2πrh. Som et resultat fikk vi en formel for å beregne arealet av sylinderens sideflate.

Formel for det laterale overflatearealet til en sylinder
S-siden = 2πrh

Totalt overflateareal av en sylinder

Til slutt, hvis vi legger sammen arealet av alle tre flater, får vi formelen for det totale overflatearealet til sylinderen. Overflatearealet til en sylinder er lik arealet av toppen av sylinderen + arealet av bunnen av sylinderen + arealet av sideflaten til sylinderen eller S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Noen ganger skrives dette uttrykket identisk med formelen 2πr (r + h).

Formel for det totale overflatearealet til en sylinder
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – sylinderens radius, h – sylinderens høyde