Denne artikkelen fortsetter temaet transformasjon algebraiske brøker: vurdere en slik handling som å redusere algebraiske brøker. La oss definere selve begrepet, formulere en reduksjonsregel og analysere praktiske eksempler.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Betydningen av å redusere en algebraisk brøk
I materialer om vanlige brøker så vi på reduksjonen. Vi definerte å redusere en brøk som å dele telleren og nevneren med en felles faktor.
Å redusere en algebraisk brøk er en lignende operasjon.
Definisjon 1
Redusere en algebraisk brøk er delingen av telleren og nevneren med en felles faktor. I dette tilfellet, i motsetning til reduksjonen av en ordinær brøk (fellesnevneren kan bare være et tall), kan fellesfaktoren til telleren og nevneren til en algebraisk brøk være et polynom, spesielt et monomial eller et tall.
For eksempel kan den algebraiske brøken 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 reduseres med tallet 3, noe som resulterer i: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Vi kan redusere den samme brøken med variabelen x, og dette vil gi oss uttrykket 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Det er også mulig å redusere en gitt fraksjon med et monomial 3 x eller noen av polynomene x + 2 år, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y eller 3 x 2 + 6 x y.
Det endelige målet med å redusere en algebraisk brøk er en brøk større enn enkel type, i beste fall er en irreduserbar brøkdel.
Er alle algebraiske brøker gjenstand for reduksjon?
Igjen, fra materialer på vanlige fraksjoner, vet vi at det finnes reduserbare og irreduserbare fraksjoner. Irreduserbare brøker er brøker som ikke har andre felles teller- og nevnerfaktorer enn 1.
Det er det samme med algebraiske brøker: de kan ha felles faktorer i telleren og nevneren, eller de kan ikke. Tilstedeværelsen av vanlige faktorer lar deg forenkle den opprinnelige brøken gjennom reduksjon. Når det ikke er noen felles faktorer, er det umulig å optimalisere en gitt brøk ved å bruke reduksjonsmetoden.
I generelle tilfeller, gitt brøktypen, er det ganske vanskelig å forstå om det kan reduseres. Selvfølgelig er tilstedeværelsen av en felles faktor mellom telleren og nevneren åpenbar i noen tilfeller. For eksempel, i den algebraiske brøken 3 x 2 3 y er det ganske tydelig at den felles faktoren er tallet 3.
I brøken - x · y 5 · x · y · z 3 forstår vi også umiddelbart at den kan reduseres med x, eller y, eller x · y. Og likevel, mye oftere er det eksempler på algebraiske brøker, når den felles faktoren til telleren og nevneren ikke er så lett å se, og enda oftere er den ganske enkelt fraværende.
For eksempel kan vi redusere brøken x 3 - 1 x 2 - 1 med x - 1, mens den angitte fellesfaktoren ikke er til stede i oppføringen. Men brøken x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 kan ikke reduseres, siden telleren og nevneren ikke har en felles faktor.
Spørsmålet om å bestemme reduserbarheten til en algebraisk brøk er altså ikke så enkelt, og det er ofte lettere å arbeide med en brøkdel av en gitt form enn å prøve å finne ut om den er reduserbar. I dette tilfellet skjer slike transformasjoner som i spesielle tilfeller gjør det mulig å bestemme fellesfaktoren til telleren og nevneren eller å trekke en konklusjon om irreducerbarheten til en brøk. Vi vil undersøke dette problemet i detalj i neste avsnitt av artikkelen.
Regel for å redusere algebraiske brøker
Regel for å redusere algebraiske brøker består av to sekvensielle handlinger:
- finne felles faktorer for telleren og nevneren;
- hvis noen blir funnet, utføres handlingen med å redusere fraksjonen direkte.
Den mest praktiske metoden for å finne fellesnevnere er å faktorisere polynomene som er tilstede i telleren og nevneren til en gitt algebraisk brøk. Dette lar deg umiddelbart tydelig se tilstedeværelsen eller fraværet av vanlige faktorer.
Selve handlingen med å redusere en algebraisk brøk er basert på hovedegenskapen til en algebraisk brøk, uttrykt ved likheten udefinert, der a, b, c er noen polynomer, og b og c er ikke-null. Det første trinnet er å redusere brøken til formen a · c b · c, der vi umiddelbart legger merke til fellesfaktoren c. Det andre trinnet er å utføre en reduksjon, dvs. overgang til en brøkdel av formen a b .
Typiske eksempler
Til tross for en viss åpenhet, la oss avklare det spesielle tilfellet når telleren og nevneren til en algebraisk brøk er like. Lignende brøker er identisk lik 1 på hele ODZ av variablene til denne brøken:
5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;
Siden vanlige brøker er et spesialtilfelle av algebraiske brøker, la oss huske hvordan de reduseres. De naturlige tallene skrevet i telleren og nevneren blir faktorisert inn i primfaktorer, deretter annulleres de felles faktorene (hvis noen).
For eksempel, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105
Produktet av enkle identiske faktorer kan skrives som potenser, og i prosessen med å redusere en brøk, bruk egenskapen til å dele potenser med identiske baser. Da vil løsningen ovenfor være:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105
(teller og nevner delt på en felles faktor 2 2 3). Eller for klarhet, basert på egenskapene til multiplikasjon og divisjon, gir vi løsningen følgende form:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105
Analogt utføres reduksjonen av algebraiske brøker, der telleren og nevneren har monomer med heltallskoeffisienter.
Eksempel 1
Den algebraiske brøken er gitt - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Det må reduseres.
Løsning
Det er mulig å skrive telleren og nevneren til en gitt brøk som et produkt av enkle faktorer og variabler, og deretter utføre reduksjonen:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6
En mer rasjonell måte ville imidlertid være å skrive løsningen som et uttrykk med krefter:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .
Svare:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6
Når telleren og nevneren til en algebraisk brøk inneholder numeriske brøkkoeffisienter, er det to mulige måter å gjøre videre på: enten dele disse brøkkoeffisientene separat, eller først kvitte seg med brøkkoeffisientene ved å multiplisere telleren og nevneren med en viss naturlig tall. Den siste transformasjonen utføres på grunn av den grunnleggende egenskapen til en algebraisk brøk (du kan lese om den i artikkelen "Redusere en algebraisk brøk til en ny nevner").
Eksempel 2
Den gitte brøken er 2 5 x 0, 3 x 3. Det må reduseres.
Løsning
Det er mulig å redusere brøken på denne måten:
2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2
La oss prøve å løse problemet annerledes, etter først å ha blitt kvitt brøkkoeffisienter - multipliser telleren og nevneren med det minste felles multiplum av nevnerne til disse koeffisientene, dvs. på LCM (5, 10) = 10. Da får vi:
2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.
Svar: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2
Når vi reduserer algebraiske brøker generelt syn, der tellerne og nevnerne kan være enten monomer eller polynomer, kan det være et problem når fellesfaktoren ikke alltid er umiddelbart synlig. Eller dessuten eksisterer den rett og slett ikke. Deretter, for å bestemme fellesfaktoren eller registrere fraværet, blir telleren og nevneren til den algebraiske brøken faktorisert.
Eksempel 3
Den rasjonelle brøken 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 er gitt. Det må reduseres.
Løsning
La oss faktorisere polynomene i telleren og nevneren. La oss sette det utenfor parentes:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)
Vi ser at uttrykket i parentes kan konverteres ved å bruke forkortede multiplikasjonsformler:
2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)
Man ser tydelig at det er mulig å redusere en brøk med en felles faktor b 2 (a + 7). La oss gjøre en reduksjon:
2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
La oss skrive en kort løsning uten forklaring som en kjede av likheter:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Svare: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.
Det hender at vanlige faktorer er skjult av numeriske koeffisienter. Deretter, når du reduserer brøker, er det optimalt å sette de numeriske faktorene ved høyere potenser av telleren og nevneren utenfor parentes.
Eksempel 4
Gitt den algebraiske brøken 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Det er nødvendig å redusere det hvis mulig.
Løsning
Ved første øyekast eksisterer ikke telleren og nevneren fellesnevner. La oss imidlertid prøve å konvertere den gitte brøken. La oss ta ut faktoren x i telleren:
1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2
Nå kan du se en viss likhet mellom uttrykket i parentes og uttrykket i nevneren på grunn av x 2 y . La oss ta ut de numeriske koeffisientene til de høyere potensene til disse polynomene:
x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10
Nå blir fellesfaktoren synlig, vi gjennomfører reduksjonen:
2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x
Svare: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .
La oss understreke at ferdigheten til å redusere rasjonelle brøker avhenger av evnen til å faktorisere polynomer.
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
Brøker og deres reduksjon er et annet tema som begynner i 5. klasse. Her dannes grunnlaget for denne handlingen, og så trekkes disse ferdighetene som en tråd inn i høyere matematikk. Hvis eleven ikke forstår, kan han ha problemer i algebra. Derfor er det bedre å forstå noen få regler en gang for alle. Og husk også ett forbud og bryt det aldri.
Fraksjon og dens reduksjon
Hver elev vet hva det er. Eventuelle to siffer plassert mellom en horisontal linje oppfattes umiddelbart som en brøk. Imidlertid forstår ikke alle at et hvilket som helst tall kan bli det. Hvis det er et heltall, så kan det alltid deles på en, og da får du en uekte brøk. Men mer om det senere.
Begynnelsen er alltid enkel. Først må du finne ut hvordan du reduserer en riktig brøkdel. Det vil si en hvis teller er mindre enn nevneren. For å gjøre dette, må du huske den grunnleggende egenskapen til en brøkdel. Den sier at når man multipliserer (i tillegg til å dele) telleren og nevneren samtidig med samme tall, oppnås en ekvivalent brøk.
Divisjonshandlinger som utføres på denne eiendommen og resulterer i en reduksjon. Det vil si å forenkle det mest mulig. En brøk kan reduseres så lenge det er felles faktorer over og under linjen. Når de ikke lenger er der, er reduksjon umulig. Og de sier at denne brøkdelen er irreduserbar.
To måter
1.Trinnvis reduksjon. Den bruker en estimeringsmetode der begge tallene er delt på den minste fellesfaktoren som eleven legger merke til. Hvis det etter den første sammentrekningen er klart at dette ikke er slutten, så fortsetter delingen. Inntil fraksjonen blir irreduserbar.
2. Finne den største felles deleren for telleren og nevneren. Dette er den mest rasjonelle måten å redusere brøker på. Det innebærer å faktorisere telleren og nevneren i primfaktorer. Blant dem må du da velge alle de samme. Produktet deres vil gi den største fellesfaktoren som fraksjonen reduseres med.
Begge disse metodene er likeverdige. Eleven oppfordres til å mestre dem og bruke den han liker best.
Hva om det er bokstaver og addisjons- og subtraksjonsoperasjoner?
Den første delen av spørsmålet er mer eller mindre klar. Bokstaver kan forkortes akkurat som tall. Hovedsaken er at de fungerer som multiplikatorer. Men mange har problemer med den andre.
Viktig å huske! Du kan bare redusere tall som er faktorer. Hvis de er innkallinger, er det umulig.
For å forstå hvordan du reduserer brøker som har form av et algebraisk uttrykk, må du forstå regelen. Representer først telleren og nevneren som et produkt. Da kan du redusere dersom fellesfaktorer dukker opp. For å representere det i form av multiplikatorer, er følgende teknikker nyttige:
- gruppering;
- bracketing;
- bruk av forkortede multiplikasjonsidentiteter.
Dessuten gjør sistnevnte metode det mulig å umiddelbart få vilkårene i form av multiplikatorer. Derfor bør den alltid brukes hvis et kjent mønster er synlig.
Men dette er ikke skummelt ennå, da dukker det opp oppgaver med grader og røtter. Det er da du trenger å få mot og lære deg et par nye regler.
Uttrykk med grad
Brøk. Telleren og nevneren er produktet. Det er bokstaver og tall. Og de er også hevet til en makt, som også består av termer eller faktorer. Det er noe å være redd for.
For å forstå hvordan du reduserer brøker med potenser, må du lære to ting:
- hvis eksponenten inneholder en sum, kan den dekomponeres i faktorer, hvis potenser vil være de opprinnelige leddene;
- hvis forskjellen, så utbytte og divisor, vil den første ha minuend til makten, den andre vil ha subtrahend.
Etter å ha fullført disse trinnene, blir de totale multiplikatorene synlige. I slike eksempler er det ikke nødvendig å beregne alle potenser. Det er nok å ganske enkelt redusere grader med samme eksponenter og baser.
For å endelig mestre hvordan du reduserer brøker med potenser, trenger du mye øvelse. Etter flere lignende eksempler vil handlinger utføres automatisk.
Hva om uttrykket inneholder en rot?
Den kan også forkortes. Bare igjen, følger reglene. Dessuten er alle de som er beskrevet ovenfor sanne. Generelt, hvis spørsmålet er hvordan du reduserer en brøkdel med røtter, må du dele.
Det kan også deles inn i irrasjonelle uttrykk. Det vil si at hvis telleren og nevneren inneholder identiske faktorer, omsluttet under tegnet til roten, kan de trygt reduseres. Dette vil forenkle uttrykket og fullføre oppgaven.
Hvis irrasjonaliteten etter reduksjonen forblir under brøklinjen, må du bli kvitt den. Med andre ord, multipliser telleren og nevneren med det. Hvis vanlige faktorer dukker opp etter denne operasjonen, må de reduseres igjen.
Det handler nok bare om hvordan man kan redusere brøker. Det er få regler, men bare ett forbud. Forkort aldri terminer!
Barn på skolen lærer reglene for brøkredusering i 6. klasse. I denne artikkelen vil vi først fortelle deg hva denne handlingen betyr, deretter vil vi forklare hvordan du konverterer en reduserbar brøk til en irreduserbar brøk. Neste punkt blir reglene for brøkredusering, og så kommer vi etter hvert til eksemplene.
Hva betyr det å "redusere en brøkdel"?
Så det vet vi alle vanlige brøker deles inn i to grupper: reduserbare og irreduserbare. Allerede ut fra navnene kan du forstå at de som er kontrakterbare er kontraherte, og de som er irreduserbare er ikke kontrahert.
- Å redusere en brøk betyr å dele dens nevner og teller med deres (annet enn én) positive divisor. Resultatet er selvfølgelig ny brøkdel med en mindre nevner og teller. Den resulterende brøken vil være lik den opprinnelige brøken.
Det er verdt å merke seg at i matematikkbøker med oppgaven "reduser en brøk", betyr dette at du må redusere den opprinnelige brøken til denne irreduserbare formen. Hvis vi snakker med enkle ord, så er det å dele nevneren og telleren med deres største felles divisor en reduksjon.
Hvordan redusere en brøkdel. Regler for reduksjon av brøker (grad 6)
Så det er bare to regler her.
- Den første regelen for å redusere brøker er å først finne den største fellesfaktoren for nevneren og telleren til brøken din.
- Den andre regelen: del nevneren og telleren med den største felles divisor, og oppnå en irreduserbar brøk.
Hvordan redusere en upassende brøkdel?
Reglene for reduksjon av brøker er identiske med reglene for reduksjon av uekte brøker.
For å redusere en uekte brøk, må du først faktorisere nevneren og telleren til primfaktorer, og først deretter redusere fellesfaktorene.
Redusere blandede fraksjoner
Reglene for reduksjon av brøker gjelder også for reduksjon blandede fraksjoner. Det er bare en liten forskjell: vi kan ikke berøre hele delen, men redusere brøken eller konvertere den blandede brøken til en uekte brøk, deretter redusere den og igjen konvertere den til en riktig brøkdel.
Det er to måter å redusere blandede fraksjoner på.
Først: skriv brøkdelen inn i primfaktorer og la deretter hele delen være.
Den andre måten: konverter den først til en uekte brøk, skriv den inn i vanlige faktorer, og reduser deretter brøken. Gjør om den allerede oppnådde uekte brøken til en riktig brøk.
Eksempler kan sees på bildet ovenfor.
Vi håper virkelig at vi kunne hjelpe deg og barna dine. Tross alt er de ofte uoppmerksomme i timene, så de må studere mer intensivt hjemme på egenhånd.
Online kalkulator utfører reduksjon av algebraiske brøker i samsvar med regelen om å redusere brøker: erstatte den opprinnelige brøken med en lik brøk, men med en mindre teller og nevner, dvs. Samtidig å dele telleren og nevneren for en brøk med deres felles største felles faktor (GCD). Kalkulatoren viser også detaljert løsning, som vil hjelpe deg å forstå rekkefølgen av reduksjonen.
Gitt:
Løsning:
Utfører fraksjonsreduksjon
sjekke muligheten for å utføre algebraisk brøkreduksjon
1) Bestemmelse av den største felles divisor (GCD) av telleren og nevneren for en brøk
bestemme den største felles divisor (GCD) av telleren og nevneren for en algebraisk brøk
2) Redusere telleren og nevneren for en brøk
redusere telleren og nevneren for en algebraisk brøk
3) Velge hele delen av en brøk
skille hele delen av en algebraisk brøk
4) Konvertering av en algebraisk brøk til en desimalbrøk
konvertere en algebraisk brøk til desimal
Hjelp til nettsideutvikling av prosjektet
Kjære besøkende på nettstedet.
Hvis du ikke klarte å finne det du lette etter, må du huske å skrive om det i kommentarfeltet, hva som mangler på nettstedet. Dette vil hjelpe oss å forstå i hvilken retning vi må bevege oss videre, og andre besøkende vil snart kunne motta nødvendig materiale.
Hvis siden viste seg å være nyttig for deg, doner siden til prosjektet bare 2 ₽ og vi vil vite at vi beveger oss i riktig retning.
Takk for at du tok turen innom!
I. Prosedyre for å redusere en algebraisk brøk ved å bruke en online kalkulator:
- For å redusere en algebraisk brøk, skriv inn verdiene til telleren og nevneren til brøken i de aktuelle feltene. Hvis brøken er blandet, fyll også ut feltet som tilsvarer hele delen av brøken. Hvis brøken er enkel, la hele delfeltet stå tomt.
- For å spesifisere en negativ brøk, sett et minustegn på hele delen av brøken.
- Avhengig av den angitte algebraiske brøken, utføres følgende handlingssekvens automatisk:
- bestemme den største felles divisor (GCD) for telleren og nevneren til en brøk;
- redusere telleren og nevneren for en brøk med gcd;
- fremheve hele delen av en brøkdel, hvis telleren til den endelige brøken er større enn nevneren.
- konvertere den siste algebraiske brøken til en desimalbrøk avrundet til nærmeste hundredel.
II. For referanse:
En brøk er et tall som består av en eller flere deler (brøker) av en enhet. En vanlig brøk (enkel brøk) skrives som to tall (telleren til brøken og nevneren til brøken) atskilt med en horisontal strek (brøkstreken) som indikerer divisjonstegnet. Telleren til en brøk er tallet over brøklinjen. Telleren viser hvor mange aksjer som ble tatt fra helheten. Nevneren til en brøk er tallet under brøklinjen. Nevneren viser hvor mange like deler helheten er delt inn i. En enkel brøk er en brøk som ikke har en hel del. En enkel brøk kan være riktig eller upassende. egenbrøk - en brøk hvis teller er mindre enn nevneren, så en egenbrøk er alltid mindre enn én. Eksempel på egenbrøk: 8/7, 11/19, 16/17.
uekte brøk - en brøk der telleren er større enn eller lik nevneren, så en uekte brøk er alltid
- mer enn én eller lik det. Eksempel , uekte brøker, : 7/6, 8/7, 13/13..
- blandet brøk er et tall som inneholder et helt tall og en egenbrøk, og angir summen av det hele tallet og egenbrøken. Enhver blandet fraksjon kan konverteres til en uekte fraksjon. Eksempel på blandede fraksjoner: 1¼, 2½, 4¾.
III. Note: Kildedatablokk uthevet gul
blokken med mellomberegninger er uthevet i blått
løsningsblokken er uthevet i grønt
For å addere, subtrahere, multiplisere og dele vanlige eller blandede brøker, bruk den elektroniske brøkkalkulatoren med detaljerte løsninger.
I denne artikkelen skal vi se nærmere på hvordan reduserende fraksjoner- dette betyr å dele telleren og nevneren med deres positive og forskjellig fra enhet. Det er klart at som et resultat av å redusere en brøk, oppnås en ny brøk med en mindre teller og nevner, og på grunn av den grunnleggende egenskapen til brøken er den resulterende brøken lik den opprinnelige.
La oss for eksempel redusere fellesbrøken 8/24 ved å dele telleren og nevneren med 2. Med andre ord, la oss redusere brøken 8/24 med 2. Siden 8:2=4 og 24:2=12, resulterer denne reduksjonen i brøken 4/12, som er lik den opprinnelige brøken 8/24 (se like og ulik brøk). Som et resultat har vi .
Reduserer vanlige fraksjoner til irreduserbar form
Vanligvis er det endelige målet med å redusere en brøk å oppnå en irreduserbar brøk som er lik den opprinnelige reduserbare brøken. Dette målet kan oppnås ved å redusere den opprinnelige reduserbare brøken til dens teller og nevner. Som et resultat av en slik reduksjon oppnås alltid en irreduserbar fraksjon. Faktisk en brøkdel 
er irreduserbar, siden det er kjent at 
Og 
-. Her vil vi si at den største felles divisor for telleren og nevneren til en brøk er det største antallet, som denne fraksjonen kan reduseres med.
Så, redusere en vanlig brøk til en irreduserbar form består av å dele telleren og nevneren til den opprinnelige reduserbare brøken med deres gcd.
La oss se på et eksempel, hvor vi går tilbake til brøken 8/24 og reduserer den med den største felles divisor av tallene 8 og 24, som er lik 8. Siden 8:8=1 og 24:8=3 kommer vi til den irreduserbare brøken 1/3. Så, .
Legg merke til at uttrykket "reduser en brøk" ofte betyr å redusere den opprinnelige brøken til dens irreduserbare form. Med andre ord, å redusere en brøk refererer veldig ofte til å dele telleren og nevneren med deres største felles faktor (i stedet for med noen felles faktor).
Hvordan redusere en brøkdel? Regler og eksempler for å redusere brøker
Det gjenstår bare å se på regelen for reduksjon av brøker, som forklarer hvordan man reduserer en gitt brøk.
Regel for reduksjon av brøker består av to trinn:
- først, gcd av telleren og nevneren for brøken er funnet;
- for det andre deles telleren og nevneren til brøken på deres gcd, noe som gir en irreduserbar brøk lik den opprinnelige.
La oss ordne opp i det eksempel på å redusere en brøkdel etter oppgitt regel.
Eksempel.
Reduser brøken 182/195.
Løsning.
La oss utføre begge trinnene foreskrevet av regelen for å redusere en brøkdel.
Først finner vi GCD(182, 195) . Det er mest praktisk å bruke den euklidiske algoritmen (se): 195=182·1+13, 182=13·14, det vil si GCD(182, 195)=13.
Nå deler vi telleren og nevneren til brøken 182/195 med 13, og vi får den irreduserbare brøken 14/15, som er lik den opprinnelige brøken. Dette fullfører reduksjonen av fraksjonen.
Kort fortalt kan løsningen skrives slik: .
Svare:
Det er her vi kan avslutte med å redusere brøker. Men for å fullføre bildet, la oss se på ytterligere to måter å redusere brøker på, som vanligvis brukes i enkle tilfeller.
Noen ganger er telleren og nevneren for brøken som reduseres ikke vanskelig. Å redusere en brøk i dette tilfellet er veldig enkelt: du trenger bare å fjerne alle vanlige faktorer fra telleren og nevneren.
Det er verdt å merke seg at denne metoden følger direkte av regelen om reduserende brøker, siden produktet av alle vanlige primfaktorer for telleren og nevneren er lik deres største felles divisor.
La oss se på løsningen på eksempelet.
Eksempel.
Reduser fraksjonen 360/2 940.
Løsning.
La oss faktorisere telleren og nevneren til enkle faktorer: 360=2·2·2·3·3·5 og 2,940=2·2·3·5·7·7. Slik, 
.
Nå blir vi kvitt de vanlige faktorene i telleren og nevneren for enkelhets skyld, vi krysser dem ganske enkelt ut: 
.
Til slutt multipliserer vi de resterende faktorene: , og reduksjonen av brøken er fullført.
Her er en kort oppsummering av løsningen: 
.
Svare:
La oss vurdere en annen måte å redusere en brøk på, som består av sekvensiell reduksjon. Her, ved hvert trinn, reduseres brøken med en felles deler av telleren og nevneren, som enten er åpenbar eller lett å bestemme ved hjelp av
