se også Løse et lineært programmeringsproblem grafisk, Kanonisk form for lineære programmeringsproblemer

Systemet med begrensninger for et slikt problem består av ulikheter i to variabler:
og objektivfunksjonen har formen F = C 1 x + C 2 y som må maksimeres.

La oss svare på spørsmålet: hvilke tallpar ( x; y) er løsninger på systemet med ulikheter, det vil si at de tilfredsstiller hver av ulikhetene samtidig? Med andre ord, hva vil det si å løse et system grafisk?
Først må du forstå hva som er løsningen på en lineær ulikhet med to ukjente.
Å løse en lineær ulikhet med to ukjente betyr å bestemme alle par med ukjente verdier som ulikheten gjelder for.
For eksempel ulikhet 3 x – 5y≥ 42 tilfredsstille par ( x , y): (100, 2); (3, –10), osv. Oppgaven er å finne alle slike par.
La oss vurdere to ulikheter: øks + ved≤ c, øks + ved≥ c. Rett øks + ved = c deler planet i to halvplan slik at koordinatene til punktene til ett av dem tilfredsstiller ulikheten øks + ved >c, og den andre ulikheten øks + +ved <c.
Faktisk, la oss ta et poeng med koordinat x = x 0 ; deretter et punkt som ligger på en linje og har abscisse x 0, har en ordinat

La for sikkerhet en< 0, b>0, c>0. Alle punkter med abscisse x 0 liggende over P(for eksempel prikk M), har y M>y 0 , og alle punkter under punktet P, med abscisse x 0, har y N<y 0 . Siden x 0 er et vilkårlig punkt, så vil det alltid være punkter på den ene siden av linjen som øks+ ved > c, danner et halvplan, og på den andre siden - punkter som øks + ved< c.

Figur 1

Ulikhetstegnet i halvplanet avhenger av tallene en, b , c.
Dette fører til følgende metode for grafisk løsning av systemer lineære ulikheter fra to variabler. For å løse systemet trenger du:

1. For hver ulikhet, skriv ligningen som tilsvarer denne ulikheten.
2. Konstruer rette linjer som er grafer for funksjoner spesifisert av ligninger.
3. For hver linje bestemmer du halvplanet, som er gitt av ulikheten. For å gjøre dette, ta et vilkårlig punkt som ikke ligger på en linje og erstatte dets koordinater i ulikheten. hvis ulikheten er sann, så er halvplanet som inneholder det valgte punktet løsningen på den opprinnelige ulikheten. Hvis ulikheten er falsk, er halvplanet på den andre siden av linjen settet med løsninger på denne ulikheten.
4. For å løse et system med ulikheter, er det nødvendig å finne skjæringsområdet for alle halvplanene som er løsningen på hver ulikhet i systemet.

Dette området kan vise seg å være tomt, da har ulikhetssystemet ingen løsninger og er inkonsekvent. Ellers sies systemet å være konsistent.
Det kan være et endelig antall eller et uendelig antall løsninger. Området kan være en lukket polygon eller ubegrenset.

La oss se på tre relevante eksempler.

Eksempel 1. Løs systemet grafisk:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2y + 5 ≤ 0.

• vurdere likningene x+y–1=0 og –2x–2y+5=0 som tilsvarer ulikhetene;
• La oss konstruere rette linjer gitt av disse ligningene.

Figur 2

La oss definere halvplanene definert av ulikhetene. La oss ta et vilkårlig poeng, la (0; 0). La oss vurdere x+ y– 1 0, bytt inn punktet (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Dette betyr at i halvplanet der punktet (0; 0) ligger, x + y – 1 ≤ 0, dvs. halvplanet som ligger under linjen er en løsning på den første ulikheten. Ved å erstatte dette punktet (0; 0) i det andre får vi: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, dvs. i halvplanet der punktet (0; 0) ligger, –2 x – 2y+ 5≥ 0, og vi ble spurt hvor –2 x – 2y+ 5 ≤ 0, derfor i det andre halvplanet - i det over den rette linjen.
La oss finne skjæringspunktet mellom disse to halvplanene. Linjene er parallelle, slik at planene ikke krysser hverandre noe sted, noe som betyr at systemet med disse ulikhetene ikke har noen løsninger og er inkonsekvent.

Eksempel 2. Finn grafiske løsninger på ulikhetssystemet:

Figur 3
1. La oss skrive ut ligningene som tilsvarer ulikhetene og konstruere rette linjer.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Etter å ha valgt punktet (0; 0), bestemmer vi tegnene på ulikheter i halvplanene:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, dvs. x + 2y– 2 ≤ 0 i halvplanet under den rette linjen;
0 – 0 – 1 ≤ 0, dvs. y –x– 1 ≤ 0 i halvplanet under den rette linjen;
0 + 2 =2 ≥ 0, dvs. y+ 2 ≥ 0 i halvplanet over den rette linjen.
3. Skjæringspunktet mellom disse tre halvplanene vil være et område som er en trekant. Det er ikke vanskelig å finne toppene i regionen som skjæringspunktene til de tilsvarende linjene


Slik, EN(–3; –2), I(0; 1), MED(6; –2).

La oss vurdere et annet eksempel der det resulterende løsningsdomenet til systemet ikke er begrenset.

Denne artikkelen gir innledende informasjon om ulikhetssystemer. Her er en definisjon av et system av ulikheter og en definisjon av en løsning på et system av ulikheter. Hovedtyper av systemer som oftest må jobbes med i algebratimene på skolen er også listet opp, og det gis eksempler.

Sidenavigering.

Hva er et ulikhetssystem?

Det er praktisk å definere systemer av ulikheter på samme måte som vi introduserte definisjonen av et likningssystem, det vil si etter typen notasjon og betydningen som er innebygd i den.

Definisjon.

System av ulikheter er en post som representerer et antall ulikheter skrevet under hverandre, forent til venstre med en krøllete klammeparentes, og angir settet med alle løsninger som samtidig er løsninger på hver ulikhet i systemet.

La oss gi et eksempel på et system med ulikheter. La oss ta to vilkårlige, for eksempel 2 x−3>0 og 5−x≥4 x−11, skriv dem under hverandre
2 x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
og kombinere med et systemtegn - en krøllete klammeparentes, som et resultat får vi et system med ulikheter av følgende form:

En lignende idé gis om ulikhetssystemer i skolebøkene. Det er verdt å merke seg at deres definisjoner er gitt mer snevert: for ulikheter med én variabel eller med to variabler.

Hovedtyper av ulikhetssystemer

Det er klart at det er mulig å skape uendelig mange forskjellige ulikhetssystemer. For ikke å gå seg vill i dette mangfoldet, er det tilrådelig å vurdere dem i grupper som har sine egne særegne trekk. Alle ulikhetssystemer kan deles inn i grupper etter følgende kriterier:

• ved antall ulikheter i systemet;
• etter antall variabler som er involvert i registreringen;
• av typen ulikheter i seg selv.

Basert på antall ulikheter som er inkludert i posten, skilles systemer med to, tre, fire osv. ut. ulikheter I forrige avsnitt ga vi et eksempel på et system, som er et system med to ulikheter. La oss vise et annet eksempel på et system med fire ulikheter .

Hver for seg vil vi si at det ikke er noen vits i å snakke om et ulikhetssystem alene i dette tilfellet snakker vi i hovedsak om ulikhet i seg selv, og ikke om systemet.

Hvis du ser på antall variabler, så er det systemer med ulikheter med en, to, tre osv. variabler (eller, som de også sier, ukjente). Se på det siste systemet med ulikheter skrevet to avsnitt ovenfor. Det er et system med tre variabler x, y og z. Vær oppmerksom på at hennes to første ulikheter ikke inneholder alle tre variablene, men bare én av dem. I sammenheng med dette systemet skal de forstås som ulikheter med tre variabler av formen henholdsvis x+0·y+0·z≥−2 og 0·x+y+0·z≤5. Merk at skolen fokuserer på ulikheter med én variabel.

Det gjenstår å diskutere hvilke typer ulikheter som er involvert i registreringssystemer. På skolen vurderer de hovedsakelig systemer med to ulikheter (sjeldnere - tre, enda sjeldnere - fire eller flere) med en eller to variabler, og ulikhetene i seg selv er vanligvis hele ulikheter første eller andre grad (sjeldnere - høyere grader eller brøkdel rasjonell). Men ikke bli overrasket hvis du i forberedelsesmaterialet for Unified State-eksamenen kommer over systemer med ulikheter som inneholder irrasjonelle, logaritmiske, eksponentielle og andre ulikheter. Som et eksempel gir vi systemet med ulikheter , den er hentet fra .

Hva er løsningen på et ulikhetssystem?

La oss introdusere en annen definisjon relatert til ulikhetssystemer - definisjonen av en løsning på et ulikhetssystem:

Definisjon.

Løse et system av ulikheter med én variabel kalles en slik verdi av en variabel som gjør hver av ulikhetene i systemet til sanne, med andre ord er det en løsning på hver ulikhet i systemet.

La oss forklare med et eksempel. La oss ta et system med to ulikheter med én variabel. La oss ta verdien av variabelen x lik 8, det er en løsning på vårt system av ulikheter per definisjon, siden dens substitusjon i systemets ulikheter gir to riktige numeriske ulikheter 8>7 og 2−3·8≤0. Tvert imot er ikke enhet en løsning på systemet, siden når den erstattes med variabelen x, vil den første ulikheten bli til den feilaktige numeriske ulikheten 1>7.

Tilsvarende kan man introdusere definisjonen av en løsning på et system av ulikheter med to, tre og et stort antall variabler:

Definisjon.

Løse et system av ulikheter med to, tre osv. variabler kalt et par, tre osv. verdier av disse variablene, som samtidig er en løsning på enhver ulikhet i systemet, det vil si gjør enhver ulikhet i systemet til en korrekt numerisk ulikhet.

For eksempel er et verdipar x=1, y=2 eller i en annen notasjon (1, 2) en løsning på et system av ulikheter med to variabler, siden 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Systemer av ulikheter kan ha ingen løsninger, kan ha et begrenset antall løsninger, eller kan ha et uendelig antall løsninger. Folk snakker ofte om settet med løsninger på et system av ulikheter. Når et system ikke har noen løsninger, er det et tomt sett av dets løsninger. Når det er et endelig antall løsninger, så inneholder løsningssettet et endelig antall elementer, og når det er uendelig mange løsninger, så består løsningssettet av et uendelig antall elementer.

Noen kilder introduserer definisjoner av en spesiell og generell løsning på et system av ulikheter, som for eksempel i Mordkovichs lærebøker. Under privat løsning av ulikhetssystemet forstå hennes en eneste avgjørelse. I tur og orden generell løsning på ulikhetssystemet- Dette er alle hennes private avgjørelser. Imidlertid gir disse begrepene mening bare når det er nødvendig å spesifikt understreke hva slags løsning vi snakker om, men vanligvis er dette allerede klart fra konteksten, så mye oftere sier de bare "en løsning på et system av ulikheter."

Fra definisjonene av et system av ulikheter og dets løsninger introdusert i denne artikkelen, følger det at en løsning på et system av ulikheter er skjæringspunktet mellom settene med løsninger på alle ulikheter i dette systemet.

Referanser.

1. Algebra: lærebok for 8. klasse. generell utdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 271 s. : syk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Algebra: 9. klasse: lærerikt. for allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2009. - 271 s. : syk. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A.G. Algebra. 9. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovich A.G. Algebra og begynnelsen av matematisk analyse. 11. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner (profilnivå) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Unified State-eksamen-2013. Matematikk: standard eksamensmuligheter: 30 alternativer / utg. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. – M.: Publishing House “National Education”, 2012. – 192 s. – (BRUK-2013. FIPI - skole).

I denne artikkelen svarer jeg på et annet spørsmål fra abonnentene mine. Spørsmål kommer på forskjellige måter. Ikke alle er riktig formulert. Og noen av dem er formulert slik at det ikke umiddelbart er klart hva forfatteren vil spørre om. Derfor, blant det store utvalget av spørsmål som sendes, må jeg velge virkelig interessante, slike "perler", og svare som ikke bare er spennende, men også nyttig, som det virker for meg, for mine andre lesere. Og i dag svarer jeg på ett av disse spørsmålene. Hvordan skildre settet med løsninger på et system av ulikheter?


Dette er et veldig godt spørsmål. Fordi metoden for å løse problemer grafisk i matematikk er en veldig kraftig metode. En person er designet på en slik måte at det er mer praktisk for ham å oppfatte informasjon ved hjelp av forskjellige visuelle materialer. Derfor, hvis du mestrer denne metoden, så tro meg, den vil være uunnværlig for deg både når du løser oppgaver fra Unified State Exam, spesielt fra den andre delen, andre eksamener, og når du løser optimaliseringsproblemer, og så videre, og så videre .

Så her er det. Hvordan kan vi svare på dette spørsmålet? La oss starte enkelt. La systemet med ulikheter bare inneholde én variabel.

Eksempel 1. Tegn settet med løsninger til systemet med ulikheter: Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}

La oss forenkle dette systemet. For å gjøre dette, legg til 7 på begge sider av den første ulikheten og del begge sider med 2, uten å endre tegnet på ulikheten, siden 2 er et positivt tall. Vi legger til 4 på begge sider av den andre ulikheten Som et resultat får vi følgende ulikhetssystem:

Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}

Vanligvis kalles et slikt problem endimensjonalt. Hvorfor? Ja, for for å skildre mange av løsningene er den tilstrekkelig direkte. En talllinje, for å være presis. La oss markere punktene 6 og 8 på denne tallinjen. Det er klart at punkt 8 vil være lenger til høyre enn punkt 6, for på tallinjen er større tall til høyre for mindre. I tillegg vil punkt 8 være skravert, siden det ifølge notasjonen til den første ulikheten er inkludert i løsningen. Tvert imot vil punkt 6 være uskyggelagt, siden det ikke er inkludert i løsningen av den andre ulikheten:

La oss nå markere med en pil over verdiene som er mindre enn eller lik 8, som kreves av den første ulikheten i systemet, og med en pil under - verdier som er større enn 6, som kreves av systemet andre ulikhet i systemet:

Det gjenstår å svare på spørsmålet om hvor på talllinjen løsningene til systemet med ulikheter er plassert. Husk en gang for alle. Systemets symbol - den krøllete klammeparentesen - i matematikk erstatter konjunksjonen "jeg". Det vil si, ved å oversette formlerspråket til menneskelig språk, kan vi si at vi er pålagt å indikere verdier som er større enn 6 OG mindre enn eller lik 8. Det vil si at det nødvendige intervallet ligger i skjæringspunktet mellom det merkede intervaller:

Så vi har avbildet settet med løsninger til systemet med ulikheter på talllinjen i tilfellet der systemet med ulikheter inneholder bare én variabel. Dette skraverte intervallet inkluderer alle verdier som alle ulikhetene som er skrevet i systemet er tilfredsstilt.

La oss nå vurdere en mer kompleks sak. La systemet vårt inneholde ulikheter med to variabler og . I dette tilfellet vil det ikke være mulig å bruke bare en rett linje for å skildre løsningene til et slikt system. Vi går utover den endimensjonale verden og legger til en annen dimensjon til den. Her trenger vi et helt fly. La oss se på situasjonen ved å bruke et spesifikt eksempel.

Så hvordan kan vi skildre settet med løsninger til et gitt system av ulikheter med to variabler i et rektangulært koordinatsystem på et plan? La oss starte med det enkleste. La oss spørre oss selv hvilken region på dette planet som bestemmes av ulikheten. Ligningen spesifiserer en rett linje som går vinkelrett på aksen OKSE gjennom punktet (0;0). Det vil si at denne rette linjen faller sammen med aksen OY. Vel, siden vi er interessert i verdier som er større enn eller lik 0, så er hele halvplanet som ligger til høyre for den rette linjen egnet:

Dessuten alle punkter som ligger på aksen OY, passer også for oss, fordi ulikheten ikke er streng.

For å forstå hvilket område på koordinatplanet den tredje ulikheten definerer, må du plotte funksjonen. Dette er en rett linje som går gjennom origo og for eksempel punktet (1;1). Det vil si at det faktisk er en rett linje som inneholder halveringslinjen til vinkelen som danner det første koordinatkvartalet.

La oss nå se på den tredje ulikheten i systemet og tenke. Hvilket område må vi finne? La oss se: . Større enn eller likhetstegn. Det vil si at situasjonen er lik den i forrige eksempel. Bare her betyr "mer" ikke "mer til høyre", men "høyere". Fordi OY– dette er vår vertikale akse. Det vil si at området definert på planet av den tredje ulikheten er settet med punkter plassert over linjen eller på den:

Med den første ulikheten er systemet litt mindre praktisk. Men etter at vi klarte å bestemme området definert av den tredje ulikheten, tror jeg det allerede er klart hvordan vi skal handle.

Det er nødvendig å presentere denne ulikheten på en slik måte at det kun er variabelen til venstre, og kun variabelen til høyre. For å gjøre dette, trekk fra begge sider av ulikheten og del begge sider med 2, uten å endre tegnet på ulikheten, fordi 2 er et positivt tall. Som et resultat oppnår vi følgende ulikhet:

Det gjenstår bare å tegne en rett linje på koordinatplanet som skjærer aksen OY ved punkt A(0;4) og en rett linje ved punkt . Jeg lærte det siste ved å likestille høyresiden av linjelikningene og få ligningen. Fra denne ligningen blir koordinaten til skjæringspunktet funnet, og koordinaten, jeg tror du gjettet det, er lik koordinaten. For de som fortsatt ikke har gjettet, er dette fordi vi har ligningen til en av de kryssende linjene: .

Så snart vi har tegnet denne rette linjen, kan vi umiddelbart markere ønsket område. Ulikhetstegnet her er "mindre enn eller lik." Dette betyr at det ønskede området er plassert under eller direkte på den avbildede rette linjen:

Vel, det siste spørsmålet. Hvor er den ønskede regionen som tilfredsstiller alle tre ulikhetene i systemet? Det er åpenbart plassert i skjæringspunktet mellom alle tre merkede områdene. Kryss igjen! Husk: systemtegnet i matematikk betyr skjæringspunkt. Her er det, dette området:

Vel, det siste eksemplet. Enda mer generelt. La oss nå anta at vi ikke har én variabel i systemet, og heller ikke to, men så mange som tre!

Siden det er tre variabler, vil vi trenge en tredje dimensjon i tillegg til de to som vi jobbet med i forrige eksempel for å skildre settet med løsninger til et slikt system av ulikheter. Det vil si at vi klatrer ut av planet og ut i rommet og skildrer et romlig koordinatsystem med tre dimensjoner: X, Y Og Z. Som tilsvarer lengde, bredde og høyde.

La oss starte med å skildre i dette koordinatsystemet overflaten spesifisert av ligningen. I form er det veldig likt ligningen til en sirkel på et plan, bare ett ledd til er lagt til med variabelen . Det er lett å gjette at dette er ligningen til en kule med et sentrum i punktet (1;3;2), kvadratet med radiusen er 4. Det vil si at selve radien er 2.

Så et spørsmål. Hva setter så ulikheten i seg selv? For de som er forvirret over dette spørsmålet, foreslår jeg å tenke som følger. Når vi oversetter formlerspråket til menneskelig språk, kan vi si at det er påkrevd å indikere alle kulene med et senter i punktet (1;3;2), hvis radier er mindre enn eller lik 2. Men da alle disse kulene vil være plassert inne i den avbildede kulen! Det vil si at denne ulikheten faktisk definerer hele det indre området av den avbildede sfæren. Hvis du vil, er en ball definert, avgrenset av den avbildede sfæren:

Overflaten definert av ligningen x+y+z=4 er et plan som skjærer koordinataksene i punktene (0;0;4), (0;4;0) og (4;0;0). Vel, det er klart at jo større tallet til høyre for likhetstegnet, jo lenger fra koordinatsenteret vil skjæringspunktene til dette planet med koordinataksene være plassert. Det vil si at den andre ulikheten spesifiserer et halvrom plassert "over" et gitt plan. Ved å bruke det konvensjonelle uttrykket "høyere", mener jeg videre i retning av å øke koordinatverdiene langs aksene.

Dette planet skjærer den avbildede sfæren. I dette tilfellet er skjæringsseksjonen en sirkel. Du kan til og med beregne i hvilken avstand fra sentrum av koordinatsystemet sentrum av denne sirkelen er plassert. Forresten, den som gjetter hvordan du gjør dette, skriv løsningene og svarene dine i kommentarfeltet. Dermed spesifiserer det innledende systemet med ulikheter et romområde som er plassert lenger fra dette planet i retning av økende koordinater, men innelukket i den avbildede sfæren:

Dette er hvor mange løsninger på et system av ulikheter er avbildet. Hvis det er flere variabler i systemet enn 3 (for eksempel 4), vil det ikke lenger være mulig å tydelig skildre settet med løsninger. Fordi dette ville kreve et 4-dimensjonalt koordinatsystem. Men en normal person er ikke i stand til å forestille seg hvordan 4 innbyrdes vinkelrette koordinatakser kan lokaliseres. Selv om jeg har en venn som påstår at han kan gjøre dette, og med letthet. Jeg vet ikke om han forteller sannheten, kanskje han forteller sannheten. Men likevel tillater ikke den normale menneskelige fantasien dette.

Jeg håper du fant dagens leksjon nyttig. For å sjekke hvor godt du har forstått det, gjør leksene nedenfor.

Tegn settet med løsninger til systemet med ulikheter:

ql-right-eqno"> title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}

Materiale utarbeidet av Sergey Valerievich

I denne leksjonen vil vi begynne å studere ulikhetssystemer. Først vil vi vurdere systemer med lineære ulikheter. I begynnelsen av leksjonen vil vi vurdere hvor og hvorfor ulikhetssystemer oppstår. Deretter skal vi studere hva det vil si å løse et system, og huske foreningen og skjæringspunktet mellom sett. Til slutt vil vi løse spesifikke eksempler på systemer med lineære ulikheter.

Tema: Kostholdalle ulikheter og deres systemer

Lekse:Hovedkonsepter, løse systemer for lineære ulikheter

Så langt har vi løst individuelle ulikheter og brukt intervallmetoden på dem lineære ulikheter, både kvadratisk og rasjonell. La oss nå gå videre til å løse ulikhetssystemer – først lineære systemer. La oss se på et eksempel hvor behovet for å vurdere ulikhetssystemer kommer fra.

Finn domenet til en funksjon

Finn domenet til en funksjon

En funksjon eksisterer når begge kvadratrøtter eksisterer, dvs.

Hvordan løser man et slikt system? Det er nødvendig å finne alle x som tilfredsstiller både den første og andre ulikheten.

La oss skildre på okseaksen settet med løsninger på de første og andre ulikhetene.

Skjæringsintervallet mellom to stråler er vår løsning.

Denne metoden for å skildre løsningen på et system av ulikheter kalles noen ganger takmetoden.

Løsningen på systemet er skjæringspunktet mellom to sett.

La oss skildre dette grafisk. Vi har et sett A med vilkårlig natur og et sett B med vilkårlig natur, som krysser hverandre.

Definisjon: Skjæringspunktet mellom to sett A og B er det tredje settet som består av alle elementene som er inkludert i både A og B.

Ved å bruke spesifikke eksempler på løsning av lineære ulikhetssystemer, la oss vurdere hvordan man finner skjæringspunkter mellom sett med løsninger på individuelle ulikheter inkludert i systemet.

Løs ulikhetssystemet:

Svar: (7; 10].

4. Løs systemet

Hvor kan den andre ulikheten i systemet komme fra? For eksempel fra ulikheten

La oss grafisk utpeke løsningene til hver ulikhet og finne intervallet for deres skjæringspunkt.

Så hvis vi har et system der en av ulikhetene tilfredsstiller en hvilken som helst verdi av x, så kan den elimineres.

Svar: systemet er selvmotsigende.

Vi undersøkte typiske støtteproblemer som løsningen av ethvert lineært system av ulikheter kan reduseres til.

Tenk på følgende system.

7.

Noen ganger er et lineært system gitt av en dobbel ulikhet, tenk på et slikt tilfelle.

8.

Vi så på systemer med lineære ulikheter, forsto hvor de kommer fra, så på standardsystemene som alle lineære systemer kan reduseres til, og løste noen av dem.

1. Mordkovich A.G. og andre Algebra 9. klasse: Lærebok. For allmennutdanning Institusjoner.- 4. utg. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 s.: ill.

2. Mordkovich A.G. og andre Algebra 9. klasse: Oppgavebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etc. - 4. utg. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill.

3. Makarychev Yu. 9. klasse: lærerikt. for allmennpedagogiske studenter. institusjoner / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. utgave, rev. og tillegg - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9. klasse. 16. utg. - M., 2011. - 287 s.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. utg., slettet. - M.: 2010. - 224 s.: ill.

6. Algebra. 9. klasse. I 2 deler Del 2. Oppgavebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina og andre; Ed. A.G. Mordkovich. — 12. utgave, rev. - M.: 2010.-223 s.: ill.

1. Naturvitenskapsportal ().

2. Elektronisk pedagogisk og metodisk kompleks for å forberede 10-11 karakterer til opptaksprøver i informatikk, matematikk, russisk språk ().

4. Utdanningssenter "Teaching Technology" ().

5. College.ru delen om matematikk ().

1. Mordkovich A.G. og andre Algebra 9. klasse: Oppgavebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etc. - 4. utg. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill. nr. 53; 54; 56; 57.

Ikke alle vet hvordan man løser ulikheter, som i sin struktur har lignende og karakteristiske trekk med ligninger. En ligning er en øvelse som består av to deler, mellom hvilke det er et likhetstegn, og mellom delene av ulikheten kan det være et «mer enn» eller «mindre enn»-tegn. Derfor, før vi finner en løsning på en bestemt ulikhet, må vi forstå at det er verdt å vurdere fortegnet på tallet (positivt eller negativt) hvis det er behov for å multiplisere begge sider med et hvilket som helst uttrykk. Det samme faktum bør tas i betraktning hvis kvadrering er nødvendig for å løse en ulikhet, siden kvadratering utføres ved multiplikasjon.

Hvordan løse et system av ulikheter

Det er mye vanskeligere å løse ulikhetssystemer enn vanlige ulikheter. La oss se på hvordan du løser ulikheter i klasse 9 ved å bruke spesifikke eksempler. Det bør forstås at før du løser kvadratiske ulikheter (systemer) eller andre ulikheter, er det nødvendig å løse hver ulikhet separat, og deretter sammenligne dem. Løsningen på et ulikhetssystem vil enten være et positivt eller et negativt svar (om systemet har en løsning eller ikke har en løsning).

Oppgaven er å løse et sett med ulikheter:

La oss løse hver ulikhet separat

Vi bygger en talllinje som vi skildrer et sett med løsninger på

Siden et sett er en forening av sett med løsninger, må dette settet på talllinjen understrekes med minst én linje.

Løse ulikheter med modul

Dette eksemplet vil vise hvordan man løser ulikheter med modul. Så vi har en definisjon:

Vi må løse ulikheten:

Før du løser en slik ulikhet, er det nødvendig å kvitte seg med modulen (tegnet)

La oss skrive, basert på definisjonsdataene:

Nå må du løse hvert av systemene separat.

La oss konstruere én talllinje som vi skildrer settene med løsninger på.

Som et resultat har vi en kolleksjon som kombinerer mange løsninger.

Løse kvadratiske ulikheter

Ved å bruke talllinjen, la oss se på et eksempel på løsning av kvadratiske ulikheter. Vi har en ulikhet:

Vi vet at grafen til et kvadratisk trinomium er en parabel. Vi vet også at grenene til parablen er rettet oppover hvis a>0.

x 2 -3x-4< 0

Ved å bruke Vietas teorem finner vi røttene x 1 = - 1; x 2 = 4

La oss tegne en parabel, eller rettere sagt, en skisse av den.

Dermed fant vi ut at verdiene til det kvadratiske trinomialet vil være mindre enn 0 i intervallet fra – 1 til 4.

Mange har spørsmål når de løser doble ulikheter som g(x)< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

Faktisk er det flere metoder for å løse ulikheter, så du kan bruke den grafiske metoden til å løse komplekse ulikheter.

Løse brøkulikheter

Fraksjonelle ulikheter krever en mer forsiktig tilnærming. Dette skyldes det faktum at fortegnet kan endre seg i prosessen med å løse noen brøkulikheter. Før du løser brøkulikheter, må du vite at intervallmetoden brukes til å løse dem. Brøkulikhet må presenteres på en slik måte at den ene siden av tegnet ser ut som et rasjonelt brøkuttrykk, og den andre - "- 0". Ved å transformere ulikheten på denne måten får vi som et resultat f(x)/g(x) > (.

Løse ulikheter ved hjelp av intervallmetoden

Intervallteknikken er basert på metoden for fullstendig induksjon, det vil si at det er nødvendig å gå gjennom alle mulige alternativer for å finne en løsning på ulikheten. Denne løsningsmetoden er kanskje ikke nødvendig for elever i 8. klasse, siden de skal vite hvordan de løser ulikheter i 8. klasse, som er enkle øvelser. Men for eldre karakterer er denne metoden uunnværlig, siden den bidrar til å løse brøkulikheter. Å løse ulikheter ved å bruke denne teknikken er også basert på en slik egenskap til en kontinuerlig funksjon som å bevare tegnet mellom verdier der det blir til 0.

La oss bygge en graf av polynomet. Dette er en kontinuerlig funksjon som tar på seg verdien 0 3 ganger, det vil si at f(x) vil være lik 0 i punktene x 1, x 2 og x 3, røttene til polynomet. I intervallene mellom disse punktene er funksjonens fortegn bevart.

Siden for å løse ulikheten f(x)>0 trenger vi tegnet til funksjonen, går vi videre til koordinatlinjen og forlater grafen.

f(x)>0 for x(x 1 ; x 2) og for x(x 3 ;)

f(x)x(- ; x 1) og ved x (x 2 ; x 3)

Grafen viser tydelig løsningene på ulikhetene f(x)f(x)>0 (løsningen for den første ulikheten er i blått, og løsningen for den andre i rødt). For å bestemme fortegnet til en funksjon på et intervall, er det nok at du kjenner fortegnet til funksjonen i et av punktene. Denne teknikken lar deg raskt løse ulikheter der venstre side er faktorisert, fordi i slike ulikheter er det ganske enkelt å finne røttene.