โครงการการศึกษา "สมการในการมอบหมาย OGE"

เติมประโยคให้สมบูรณ์: 1) สมการคือ... 2) รากของสมการคือ... 3) การแก้สมการหมายความว่า...

I. แก้สมการด้วยวาจา: 1) 2). 3). 4) 5). 6). 7). 8). 9) 6 x + 18=0 2 x + 5=0 5 x – 3=0 -3 x + 9=0 -5 x + 1=0 -2 x – 10=0 6 x – 7=5 x 9 x + 6 =10 x 5 x - 12=8 x

สมการใดต่อไปนี้ไม่มีคำตอบ: ก) 2 x – 14 = x + 7 ข) 2 x - 14 = 2(x – 7) ค) x – 7 = 2 x + 14 ก.) 2 x- 14 = 2 x + 7?

สมการใดมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน: ก) 4 x – 12 = x – 12 ข) 4 x – 12 = 4 x + 12 ค) 4(x – 3) = 4 x – 12 ก.) 4(x – 3) = x – 10?

สมการของรูปแบบ kx + b = 0 โดยที่ k, b เป็นตัวเลข เรียกว่าเชิงเส้น อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น: 1) วงเล็บเปิด 2) ย้ายคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักไปทางด้านขวา และคำศัพท์ที่ไม่มีสิ่งที่ไม่รู้จักไปทางด้านขวา (เครื่องหมายของคำที่ถ่ายโอนจะกลับรายการ) 3). นำสมาชิกที่คล้ายกัน 4) หารทั้งสองข้างของสมการด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่ทราบหากค่าไม่เท่ากับศูนย์

แก้ในสมุดบันทึก กลุ่ม I: หมายเลข 681 หน้า 63 6(4 -x)+3 x=3 กลุ่ม III: หมายเลข 767 หน้า 67 (x + 6)2 + (x + 3)2 = 2 x 2 สมการ : กลุ่ม II: หมายเลข 697 หน้า 63 x-1 +(x+2) = -4(-5 -x)-5

สมการที่อยู่ในรูปแบบ aх2 + bх + c =0 โดยที่ a≠ 0, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ เรียกว่า สมการกำลังสอง สมการที่ไม่สมบูรณ์: aх2 + bх =0 (c=0), aх2 + c =0 (b=0)

ครั้งที่สอง แก้สมการกำลังสองด้วยปากเปล่า โดยระบุว่าสมการกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่สมบูรณ์: 1) x2 + 15 x=0 2) -x2 +2 x = 0 3) x2 -25=0 4) -x2 +9 =0 5) -x2 - 16 =0 6) x2 - 8 x + 15=0 7) x2 + 5 x + 6=0 8) x2 + x - 12 =0 9) (-x-5)(-x+ 6)=0 10) x2 -4 x +4 =0

คำถาม: 1) คุณสมบัติของสมการใดที่ใช้แก้โจทย์ไม่ครบถ้วน สมการกำลังสอง? 2). วิธีใดในการแยกตัวประกอบพหุนามที่ใช้ในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ 3). อัลกอริธึมในการแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์คืออะไร?

1) ผลคูณของสองปัจจัยเท่ากับศูนย์หากหนึ่งในนั้นเป็นศูนย์ปัจจัยที่สองจะไม่สูญเสียความหมาย: ab = 0 ถ้า a = 0 หรือ b = 0 2) การแทนที่ตัวประกอบร่วมและ a 2 - b 2 =(a – b)(a + b) เป็นสูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง 3). สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ ax2 + bx + c = o D=b 2 – 4 ac, ถ้า D>0, 2 ราก; D = 0, 1 รูต; ดี

ทฤษฎีบทผกผันกับทฤษฎีบทของเวียตา: หากตัวเลข a, b, c, x 1 และ x 2 เป็นเช่นนั้น x 1 x 2 = x 1 + x 2 = และ x 2 เป็นรากของสมการ a x 2 + bx + c = 0

แก้สมการ: กลุ่ม I: หมายเลข 802 หน้า 71 x2 - 5 x- 36 =0 กลุ่ม II: หมายเลข 810 หน้า 71 3 x2 - x + 21=5 x2 กลุ่ม III: x4 -5 x2 - 36 =0

สาม. แก้สมการ: กลุ่ม I และ II: หมายเลข 860 กลุ่ม III: =0 =0 สมการดังกล่าวเรียกว่าอะไร? คุณสมบัติอะไรที่ใช้ในการแก้ปัญหา?

สมการตรรกยะคือสมการที่มีรูปแบบ =0 เศษส่วนจะเท่ากับศูนย์ถ้าตัวเศษเป็นศูนย์และตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ =0 ถ้า a = 0, b≠ 0

โดยสังเขปจากประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ในอียิปต์โบราณสามารถแก้สมการกำลังสองและสมการเชิงเส้นได้ Al-Khwarizmi นักวิทยาศาสตร์ยุคกลางชาวเปอร์เซีย (ศตวรรษที่ 9) ได้แนะนำพีชคณิตเป็นครั้งแรกในฐานะวิทยาศาสตร์อิสระของ วิธีการทั่วไปการแก้สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองทำให้จำแนกสมการเหล่านี้ได้ ความก้าวหน้าครั้งยิ่งใหญ่ครั้งใหม่ทางคณิตศาสตร์มีความเกี่ยวข้องกับชื่อของนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Francois Vieta (ศตวรรษที่ 16) เขาเป็นคนที่นำตัวอักษรมาสู่พีชคณิต เขาเป็นผู้รับผิดชอบทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงเกี่ยวกับรากของสมการกำลังสอง และเราเป็นหนี้ประเพณีในการแสดงถึงปริมาณที่ไม่รู้จักด้วยตัวอักษรสุดท้ายของตัวอักษรละติน (x, y, z) ให้กับนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสอีกคน - Rene Descartes (XVII)

การบ้าน ทำงานกับไซต์: - เปิดธนาคารของงาน OGE (คณิตศาสตร์) http: //85 142. 162. 126/os/xmodules/qprint/index. php? โปรเจ = DE 0 อี 276 อี 49 7 AB 3784 C 3 FC 4 CC 20248 DC 0 ; - “ ฉันจะแก้ OGE” โดย D. Gushchin https: //oge ซาดัมเกีย รุ/ ; - เว็บไซต์ของ A. Larin (ตัวเลือก 119) http: //alexlarin. สุทธิ/. บทช่วยสอน: - หนังสือเรียน Yu. M. Kolyagin “พีชคณิตเกรด 9”, M., “การตรัสรู้”, 2014, น. 308 -310; - “3,000 งาน” ใต้ เรียบเรียงโดย I. V. Yashchenko, M. , “การสอบ”, 2017, p. 5974.

ข้อมูลสำหรับผู้ปกครอง ระบบการเตรียมตัวสอบ OGE วิชาคณิตศาสตร์ 1) ประกอบการทำซ้ำในบทที่ 2) ทบทวนครั้งสุดท้ายปลายปี3) วิชาเลือก(ในวันเสาร์) 4). ระบบการบ้าน - การทำงานกับเว็บไซต์ ฉันจะแก้ปัญหา OGE, OPEN BANK FIPI, SITE A. LARINA 5). การให้คำปรึกษารายบุคคล (ในวันจันทร์)

งานที่สี่ในโมดูลพีชคณิตจะทดสอบความรู้เกี่ยวกับการใช้กำลังและการแสดงออกทางราก

เมื่อเสร็จสิ้นภารกิจที่ 4 ของ OGE ในวิชาคณิตศาสตร์ ไม่เพียงทดสอบทักษะในการคำนวณและการแปลงนิพจน์ตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความสามารถในการแปลงนิพจน์พีชคณิตด้วย คุณอาจต้องดำเนินการโดยใช้กำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม พร้อมด้วยพหุนาม และการแปลงนิพจน์ตรรกศาสตร์ที่เหมือนกัน

ตามเนื้อหาในการสอบหลัก อาจมีงานที่ต้องทำการแปลงนิพจน์ตรรกยะที่เหมือนกัน การแยกตัวประกอบพหุนาม การใช้เปอร์เซ็นต์และสัดส่วน และการทดสอบการหารลงตัว

คำตอบในงานที่ 4 เป็นหนึ่งในหมายเลข 1 2; 3; 4 สอดคล้องกับจำนวนคำตอบที่เสนอให้กับงาน

ทฤษฎีสำหรับงานหมายเลข 4

เราต้องการจากเนื้อหาทางทฤษฎี กฎการรับปริญญา:

กฎสำหรับการทำงานร่วมกับ การแสดงออกที่รุนแรง:

ในเวอร์ชันที่วิเคราะห์ของฉันจะมีการนำเสนอกฎเหล่านี้ - ในการวิเคราะห์เวอร์ชันแรกของงานที่สามจะมีการนำเสนอกฎสำหรับการจัดการระดับและในเวอร์ชันที่สองและสามจะมีการวิเคราะห์ตัวอย่างการทำงานกับนิพจน์ที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

การวิเคราะห์ตัวเลือกทั่วไปสำหรับงานหมายเลข 4 OGE ในวิชาคณิตศาสตร์

เวอร์ชันแรกของงาน

นิพจน์ใดต่อไปนี้สำหรับค่าใดๆ ของ n เท่ากับผลคูณ 121 11 n

121น
11n+2
11 2น
11n+3

สารละลาย:

เพื่อแก้ไขปัญหานี้ คุณต้องจำสิ่งต่อไปนี้ กฎเกณฑ์ในการจัดการองศา :

เมื่อคูณแล้วพลังก็จะเพิ่มขึ้น
เมื่อบวกลบองศาแล้ว
เมื่อเพิ่มพลังเป็นพลังก็คูณพลัง
เมื่อแยกรากออกองศาจะถูกแบ่งออก

นอกจากนี้ ในการแก้ปัญหาจำเป็นต้องแสดง 121 เป็นกำลังของ 11 ซึ่งก็คือ 11 2 พอดี

121 11 น = 11 2 11 น

คำนึงถึงกฎการคูณ เราบวกองศา:

11 2 11 น = 11 น+2

ดังนั้นคำตอบที่สองจึงเหมาะกับเรา

รุ่นที่สองของงาน

สำนวนใดต่อไปนี้มีค่ามากที่สุด?

2√11
2√10

สารละลาย:

ในการแก้ปัญหานี้ คุณต้องนำสำนวนทั้งหมดมาสู่รูปแบบทั่วไป - นำเสนอสำนวนในรูปแบบของสำนวนที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง:

ย้าย 3 ไปที่รูท:

3√5 = √(3² 5) = √(9 5) = √45

ย้าย 2 ไปที่รูท:

2√11 = √(2² 11) = √(4 11) =√44

ย้าย 2 ไปที่รูท:

2√10 = √(2² 10) = √(4 10) =√40

เรายกกำลังสอง 6.5:

6.5 = √(6.5²) = √42.25

ลองดูตัวเลือกผลลัพธ์ทั้งหมด:

3√5 = √45
2√11 = √44
2√10 = √40
6,5 = √42,25

ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องจึงเป็นคำตอบแรก

รุ่นที่สามของงาน

จำนวนใดต่อไปนี้เป็นจำนวนตรรกยะ?

√810
√8,1
√0,81
ตัวเลขทั้งหมดนี้ไม่มีเหตุผล

สารละลาย:

เพื่อแก้ไขปัญหานี้คุณต้องดำเนินการดังนี้:

ก่อนอื่นให้เราหากำลังของตัวเลขที่พิจารณาในตัวอย่างนี้ - นี่คือเลข 9 เนื่องจากกำลังสองของมันคือ 81 และนี่ก็ค่อนข้างคล้ายกับนิพจน์ในคำตอบอยู่แล้ว ต่อไปเรามาดูรูปแบบของเลข 9 ซึ่งอาจเป็นได้:

พิจารณาแต่ละรายการ:

0.9 = √(0.9)² = √0.81

90 = √(90²) = √8100

ดังนั้นเลข √0.81 จึงเป็นจำนวนตรรกยะในขณะที่จำนวนที่เหลือ

แม้จะคล้ายกับรูปทรง 9 กำลังสอง แต่ก็ไม่สมเหตุสมผล

ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือข้อที่สาม

รุ่นที่สี่ของภารกิจ

ตามคำขอของสมาชิกของชุมชนของฉัน มันลงไปแล้ว ไดอาน่า นี่คือการวิเคราะห์ภารกิจที่ 4 ต่อไปนี้:

ตัวเลขใดต่อไปนี้คือค่าของนิพจน์

สารละลาย:

โปรดทราบว่าตัวส่วนมีส่วนต่าง (4 - √14) ซึ่งเราต้องกำจัดออก วิธีการทำเช่นนี้?

เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้จำสูตรการคูณแบบย่อ ซึ่งก็คือผลต่างของกำลังสอง! หากต้องการนำไปใช้อย่างถูกต้องในงานนี้ คุณต้องจำกฎสำหรับการจัดการเศษส่วน ในกรณีนี้ โปรดจำไว้ว่าเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลงหากตัวเศษและส่วนคูณด้วยตัวเลขหรือนิพจน์เดียวกัน สำหรับผลต่างของกำลังสอง เราขาดนิพจน์ (4 + √14) ซึ่งหมายความว่าเราคูณทั้งเศษและส่วนด้วยมัน

หลังจากนี้ เราจะได้ 4 + √14 ในตัวเศษ และผลต่างของกำลังสองในตัวส่วน: 4² - (√14)² หลังจากนั้น ตัวส่วนจะคำนวณได้ง่าย:

โดยรวมแล้วการกระทำของเรามีลักษณะดังนี้:

รุ่นที่ห้าของภารกิจ (เวอร์ชันสาธิตของ OGE 2017)

นิพจน์ใดเป็นจำนวนตรรกยะ

√6-3
√3 √5
(√5)²
(√6-3)²

สารละลาย:

ในภารกิจนี้ ทักษะของเราในการปฏิบัติงานกับจำนวนที่ไม่ลงตัวจะถูกทดสอบ

ลองดูตัวเลือกคำตอบแต่ละข้อในโซลูชัน:

√6 นั้นเป็นจำนวนอตรรกยะ เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว ก็เพียงพอที่จะจำไว้ว่าคุณสามารถแยกรากออกจากกำลังสองอย่างมีเหตุผล ตัวเลขธรรมชาติเช่น 4, 9, 16, 25...

เมื่อลบจำนวนอื่นที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะออกจากจำนวนอตรรกยะ จะทำให้เกิดจำนวนอตรรกยะอีกครั้ง ดังนั้นในเวอร์ชันนี้ จะได้จำนวนอตรรกยะ

เมื่อคูณราก เราสามารถแยกรากออกจากผลคูณของนิพจน์รากได้ นั่นคือ:

√3 √5 = √(3 5) = √15

แต่ √15 นั้นไม่มีเหตุผล ดังนั้นคำตอบนี้จึงไม่เหมาะสม

ระหว่างการก่อสร้าง รากที่สองยกกำลังสอง เราก็ได้นิพจน์ราก (หรือให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือนิพจน์โมดูโลราก แต่ในกรณีของตัวเลข อย่างในเวอร์ชันนี้ นี่ไม่สำคัญ) ดังนั้น:

ตัวเลือกคำตอบนี้เหมาะกับเรา

นิพจน์นี้แสดงถึงความต่อเนื่องของจุดที่ 1 แต่ถ้า √6-3 เป็นจำนวนอตรรกยะ ก็ไม่สามารถแปลงเป็นจำนวนตรรกยะด้วยการดำเนินการใดๆ ที่เราทราบได้

ทอยโลนอฟ อาร์กีไม และ ทอยโลนอฟ เออร์เคย์

การศึกษาคณิตศาสตร์ที่ได้รับในโรงเรียนแบบครบวงจรถือเป็นองค์ประกอบสำคัญ การศึกษาทั่วไปและวัฒนธรรมทั่วไป คนทันสมัย. เกือบทุกอย่างที่อยู่รอบตัวมนุษย์สมัยใหม่ล้วนเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ทั้งสิ้น ก ความสำเร็จล่าสุดในสาขาฟิสิกส์ เทคโนโลยี และ เทคโนโลยีสารสนเทศไม่ต้องสงสัยเลยว่าในอนาคตสถานการณ์จะยังคงเหมือนเดิม ดังนั้นการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติหลายอย่างจึงขึ้นอยู่กับการแก้ปัญหา หลากหลายชนิดสมการที่คุณต้องเรียนรู้ที่จะแก้

และตั้งแต่ปี พ.ศ. 2556 เป็นต้นมา การรับรองวิชาคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาตอนปลายได้ดำเนินการในรูปแบบของ OGE เช่นเดียวกับการสอบ Unified State การสอบ Unified State ได้รับการออกแบบมาเพื่อดำเนินการรับรองไม่เพียงแต่ในพีชคณิตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงหลักสูตรคณิตศาสตร์ทั้งหมดของโรงเรียนขั้นพื้นฐานด้วย

ส่วนแบ่งของงานไม่ทางใดก็ทางหนึ่งมาจากการร่างสมการและการแก้โจทย์ของพวกเขา เพื่อไปยังการศึกษาหัวข้อนี้ เราต้องตอบคำถาม: “สมการประเภทใดบ้างที่พบในงาน OGE? ” และ “มีวิธีแก้สมการเหล่านี้อย่างไร”

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องศึกษาสมการทุกประเภทที่พบในงาน OGE ที่กล่าวมาทั้งหมดเป็นตัวกำหนด

วัตถุประสงค์งานคือการกรอกสมการทุกประเภทที่พบในงาน OGE ให้สมบูรณ์ตามประเภทและวิเคราะห์วิธีการหลักในการแก้สมการเหล่านี้

เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ เราได้กำหนดสิ่งต่อไปนี้ งาน:

1) สำรวจแหล่งข้อมูลหลักในการเตรียมตัวสอบหลักของรัฐ

2) กรอกสมการทั้งหมดตามประเภท

3) วิเคราะห์วิธีแก้สมการเหล่านี้

4) รวบรวมคอลเลกชันที่มีสมการและวิธีการแก้ทุกประเภท

วัตถุประสงค์ของการศึกษา:สมการ

หัวข้อการศึกษา:สมการในงาน OGE

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

สถาบันการศึกษางบประมาณเทศบาล

"โรงเรียนมัธยม Chibitskaya"

โครงการฝึกอบรม:

“สมการในงาน OGE”

ทอยโลนอฟ เออร์กี้

นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

หัวหน้างาน: Nadezhda Vladimirovna Toilonova ครูคณิตศาสตร์

ระยะเวลาในการดำเนินโครงการ:

ตั้งแต่วันที่ 12/13/2017 ถึง 02/13 2018

การแนะนำ…………………………………………………………………………………..
การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์………………………………………………
บทที่ 1 การแก้สมการ …………………………………………...
1.1 การแก้สมการเชิงเส้น……………………………………
1.2 สมการกำลังสอง……………………………………………
1.2.1 สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์………………………………	9-11
1.2.2 สมการกำลังสองสมบูรณ์…………………………………	11-14
1.2.3 วิธีการเฉพาะในการแก้สมการกำลังสอง…….	14-15
1.3 สมการตรรกยะ…………………………………….	15-17
บทที่ 2 สมการเชิงซ้อน…………………………………………	18-24
บทสรุป………………………………………………………
รายการอ้างอิง…………………………………………
ภาคผนวก 1 “สมการเชิงเส้น” ……………………………….	26-27
ภาคผนวก 2 “สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์” …………………	28-30
ภาคผนวก 3 “สมการกำลังสองสมบูรณ์” ……………………	31-33
ภาคผนวก 4 “สมการตรรกยะ” ………………….	34-35
ภาคผนวก 5 “สมการเชิงซ้อน” ………………………………..	36-40

การแนะนำ

การศึกษาคณิตศาสตร์ที่ได้รับในโรงเรียนแบบครบวงจรถือเป็นองค์ประกอบสำคัญของการศึกษาทั่วไปและวัฒนธรรมทั่วไปของมนุษย์ยุคใหม่ เกือบทุกอย่างที่อยู่รอบตัวมนุษย์สมัยใหม่ล้วนเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ทั้งสิ้น และความก้าวหน้าล่าสุดในด้านฟิสิกส์ วิศวกรรม และเทคโนโลยีสารสนเทศทำให้ไม่ต้องสงสัยเลยว่าในอนาคตสถานะของกิจการจะยังคงเหมือนเดิม ดังนั้น การแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติหลายอย่างจึงขึ้นอยู่กับการแก้สมการประเภทต่างๆ ที่คุณต้องเรียนรู้วิธีแก้

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องศึกษาสมการทุกประเภทที่พบในงาน OGE ที่กล่าวมาทั้งหมดเป็นตัวกำหนดความเกี่ยวข้องของปัญหาของงานที่ทำ

วัตถุประสงค์ งานคือการกรอกสมการทุกประเภทที่พบในงาน OGE ให้สมบูรณ์ตามประเภทและวิเคราะห์วิธีการหลักในการแก้สมการเหล่านี้

เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ เราได้กำหนดสิ่งต่อไปนี้งาน:

1) สำรวจแหล่งข้อมูลหลักในการเตรียมตัวสอบหลักของรัฐ

2) กรอกสมการทั้งหมดตามประเภท

3) วิเคราะห์วิธีแก้สมการเหล่านี้

4) รวบรวมคอลเลกชันที่มีสมการและวิธีการแก้ทุกประเภท

วัตถุประสงค์ของการศึกษา:สมการ

หัวข้อการศึกษา:สมการในงาน OGE

แผนงานโครงการ:

การกำหนดธีมของโครงการ
การคัดเลือกเนื้อหาจากแหล่งข้อมูลอย่างเป็นทางการในหัวข้อที่กำหนด
การประมวลผลและการจัดระบบข้อมูล
การดำเนินโครงการ
การออกแบบโครงการ
การคุ้มครองโครงการ

ปัญหา : ทำความเข้าใจสมการให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น แสดงวิธีการหลักในการแก้สมการที่นำเสนอในงาน OGE ในส่วนแรกและส่วนที่สอง

งานนี้เป็นความพยายามที่จะสรุปและจัดระบบเนื้อหาที่ศึกษาและเรียนรู้เนื้อหาใหม่ โครงงานประกอบด้วย: สมการเชิงเส้นที่มีการถ่ายโอนคำศัพท์จากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งและการใช้คุณสมบัติของสมการตลอดจนปัญหาที่แก้โดยสมการ สมการกำลังสองทุกประเภทและวิธีการแก้สมการตรรกยะ

คณิตศาสตร์...เผยลำดับ ความสมมาตร และความแน่นอน

และนี่คือความงามประเภทที่สำคัญที่สุด

อริสโตเติล

การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์

ในสมัยที่ห่างไกลเหล่านั้น เมื่อปราชญ์เริ่มคิดถึงความเท่าเทียมกันที่มีปริมาณที่ไม่รู้จัก อาจไม่มีเหรียญหรือกระเป๋าสตางค์เลย แต่ก็มีกองอยู่มากมาย เช่นเดียวกับหม้อและตะกร้า ซึ่งเหมาะอย่างยิ่งสำหรับทำหน้าที่เป็นแคชจัดเก็บข้อมูลที่สามารถเก็บสิ่งของจำนวนหนึ่งโดยไม่ทราบจำนวน “เรากำลังมองหากองซึ่งเมื่อรวมกับสองในสามครึ่งและหนึ่งในเจ็ดของมันก็เท่ากับ 37...” ซึ่งสอนไว้เมื่อสหัสวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช ยุคใหม่ Ahmes อาลักษณ์ชาวอียิปต์ ในปัญหาทางคณิตศาสตร์โบราณของเมโสโปเตเมีย อินเดีย จีน กรีซ ปริมาณที่ไม่รู้จักแสดงจำนวนนกยูงในสวน จำนวนวัวในฝูง และจำนวนรวมของสิ่งต่าง ๆ ที่นำมาพิจารณาเมื่อแบ่งทรัพย์สิน อาลักษณ์ เจ้าหน้าที่ และนักบวชที่เริ่มต้นความรู้ลับ ได้รับการฝึกฝนมาอย่างดีในด้านศาสตร์การบัญชี รับมือกับงานดังกล่าวได้ค่อนข้างประสบความสำเร็จ

แหล่งข่าวที่มาถึงเราระบุว่านักวิทยาศาสตร์โบราณมีบางคนเป็นเจ้าของ เทคนิคทั่วไปการแก้ปัญหาด้วยปริมาณที่ไม่ทราบ อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่กระดาษปาปิรุสหรือแผ่นดินเหนียวแผ่นเดียวที่มีคำอธิบายเกี่ยวกับเทคนิคเหล่านี้ ผู้เขียนระบุการคำนวณตัวเลขด้วยความคิดเห็นที่ไม่ชัดเจนเป็นครั้งคราว เช่น: "ดูสิ!", "ทำนี่สิ!", "คุณพบอันที่ใช่แล้ว" ในแง่นี้ข้อยกเว้นคือ "เลขคณิต" ของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Diophantus แห่งอเล็กซานเดรีย (ศตวรรษที่ 3) - ชุดของปัญหาสำหรับการเขียนสมการด้วยการนำเสนอวิธีแก้ปัญหาอย่างเป็นระบบ

อย่างไรก็ตาม คู่มือการแก้ปัญหาฉบับแรกซึ่งเป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางคือผลงานของนักวิทยาศาสตร์ชาวแบกแดดแห่งศตวรรษที่ 9 มูฮัมหมัด บิน มูซา อัล-คอวาริซมี. คำว่า "al-jabr" จากชื่อภาษาอาหรับของบทความนี้ - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("หนังสือแห่งการฟื้นฟูและการต่อต้าน") - เมื่อเวลาผ่านไปกลายเป็นคำที่รู้จักกันดี "พีชคณิต" และ al- งานของ Khwarizmi นั้นเป็นจุดเริ่มต้นในการพัฒนาศาสตร์แห่งการแก้สมการ

แล้วสมการคืออะไร?

มีสมการสิทธิ สมการเวลา (แปลเวลาสุริยคติที่แท้จริงเป็นค่าเฉลี่ย เวลาสุริยะได้รับการยอมรับในหอพักและในด้านวิทยาศาสตร์ str.) ฯลฯ..

ในวิชาคณิตศาสตร์ คือความเท่าเทียมกันทางคณิตศาสตร์ที่มีปริมาณที่ไม่รู้จักตั้งแต่หนึ่งปริมาณขึ้นไปและยังคงความถูกต้องสำหรับค่าบางค่าของปริมาณที่ไม่รู้จักเหล่านี้เท่านั้น

ในสมการที่มีตัวแปรตัวเดียว ค่าที่ไม่รู้จักมักจะแสดงด้วยตัวอักษร "เอ็กซ์” ค่าของ "x" " เมื่อเป็นไปตามเงื่อนไขเหล่านี้ เรียกว่ารากของสมการ

มีสมการที่แตกต่างกันสายพันธุ์:

ขวาน + ข = 0. - สมการเชิงเส้น
ขวาน 2 + bx + c = 0. - สมการกำลังสอง.
ขวาน 4 + bx 2 + c = 0. - สมการกำลังสอง

– สมการตรรกยะ

– สมการอตรรกยะ
มีดังกล่าววิธีแก้สมการยังไง: พีชคณิต เลขคณิต และเรขาคณิต ลองพิจารณาวิธีพีชคณิต

แก้สมการ- คือการหาค่า X ดังกล่าว ซึ่งเมื่อแทนค่าในนิพจน์เดิมแล้ว จะทำให้เรามีความเท่าเทียมที่ถูกต้อง หรือพิสูจน์ว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหา การแก้สมการแม้จะยากแต่ก็น่าตื่นเต้น ท้ายที่สุดแล้ว เป็นเรื่องที่น่าแปลกใจอย่างแท้จริงเมื่อกระแสตัวเลขทั้งหมดขึ้นอยู่กับหมายเลขที่ไม่รู้จักเพียงตัวเดียว

ในสมการเพื่อค้นหาสิ่งที่ไม่ทราบ คุณจำเป็นต้องแปลงและทำให้นิพจน์ดั้งเดิมง่ายขึ้น และดังนั้นเมื่อมีการเปลี่ยนแปลง รูปร่างแก่นแท้ของการแสดงออกไม่เปลี่ยนแปลง การแปลงดังกล่าวเรียกว่าเหมือนกันหรือเทียบเท่า

บทที่ 1 การแก้สมการ

1.1 การแก้สมการเชิงเส้น.

ตอนนี้เราจะดูคำตอบของสมการเชิงเส้น จำได้ว่าเป็นสมการของรูปแบบเรียกว่าสมการเชิงเส้นหรือสมการระดับแรกตั้งแต่มีตัวแปร "เอ็กซ์ » ระดับอาวุโสอยู่ในระดับแรก

การแก้สมการเชิงเส้นนั้นง่ายมาก:

ตัวอย่างที่ 1: แก้สมการที่ 3 x +3=5 x

สมการเชิงเส้นแก้ได้โดยการถ่ายโอนพจน์ที่ไม่ทราบค่าไปทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ และค่าสัมประสิทธิ์อิสระไปทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ:

3 x – 5 x = – 3

2 x=-3

x =1.5

เรียกว่าค่าของตัวแปรที่เปลี่ยนสมการให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงรากของสมการ

หลังจากตรวจสอบแล้วเราได้รับ:

1.5 คือรากของสมการ

คำตอบ: 1.5.

การแก้สมการโดยวิธีโอนพจน์จากสมการส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยเครื่องหมายของพจน์จะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้ามและใช้คุณสมบัติ สมการ - ทั้งสองด้านของสมการสามารถคูณ (หาร) ด้วยจำนวนหรือนิพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์เดียวกัน ซึ่งสามารถนำมาใช้พิจารณาได้เมื่อแก้สมการต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการ:

ก) 6 x +1=− 4 x ; ข) 8+7 x =9 x +4; ค) 4(x −8)=− 5

สารละลาย.

ก) โดยใช้วิธีการถ่ายโอนที่เราแก้ไข

6 x + 4 x = ─1;

10 x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0.1.

การตรวจสอบ:

คำตอบ: –0.1

b) เช่นเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราแก้ปัญหาโดยใช้วิธีถ่ายโอน:

คำตอบ: 2.

c) ในสมการนี้ จำเป็นต้องเปิดวงเล็บออก โดยใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณเทียบกับการดำเนินการบวก

ตอบ: 6.75.

1.2 สมการกำลังสอง

สมการของแบบฟอร์ม เรียกว่าสมการกำลังสอง โดยที่ก – ค่าสัมประสิทธิ์อาวุโสข – ค่าสัมประสิทธิ์เฉลี่ย, с – เทอมอิสระ

ขึ้นอยู่กับอัตราต่อรองก ข และค – สมการจะสมบูรณ์หรือไม่สมบูรณ์ ให้หรือไม่ให้ก็ได้

1.2.1 สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ลองพิจารณาวิธีแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์:

1) มาเริ่มทำความเข้าใจคำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ประเภทแรกกันดีกว่าค=0 . สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของแบบฟอร์มก x 2 +ข x=0 ช่วยให้คุณตัดสินใจได้วิธีการแยกตัวประกอบ. โดยเฉพาะวิธีการถ่ายคร่อม

แน่นอนว่าเราสามารถอยู่ทางด้านซ้ายของสมการ ซึ่งก็เพียงพอที่จะนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ x . สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถย้ายจากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ดั้งเดิมไปเป็นสมการที่เทียบเท่าของรูปแบบ: x·(a·x+b)=0 .

และสมการนี้เทียบเท่ากับการรวมกันของสองสมการ x=0 หรือ x+b=0 ซึ่งอันสุดท้ายเป็นแบบเส้นตรงและมีรูท x=− .

a x 2 +b x=0 มีสองราก

x=0 และ x=− .

2) ตอนนี้เรามาดูวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์ b เป็นศูนย์และ c≠0 นั่นคือสมการของรูปแบบ a x 2 +c=0 . เรารู้ว่าการย้ายพจน์จากด้านหนึ่งของสมการไปยังอีกด้านหนึ่งที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม รวมถึงการหารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ ทำให้เกิดสมการที่เทียบเท่ากัน ดังนั้นเราจึงสามารถดำเนินการแปลงสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ได้ดังต่อไปนี้ a x 2 +c=0 :

โอนจาก ไปทางขวามือ ซึ่งจะได้สมการ a x 2 =−ค ,
และหารทั้งสองส่วนด้วยก เราได้รับ

สมการที่ได้ช่วยให้เราสามารถสรุปเกี่ยวกับรากเหง้าของมันได้

ถ้าเป็นจำนวน – เป็นลบ แสดงว่าสมการไม่มีราก ข้อความนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่ากำลังสองของจำนวนใดๆ เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ

ถ้า เป็นจำนวนบวก สถานการณ์ที่มีรากของสมการจึงต่างกัน ในกรณีนี้ คุณต้องจำไว้ว่ามีรากของสมการ นั่นคือตัวเลข รากของสมการคำนวณตามรูปแบบต่อไปนี้:

เป็นที่ทราบกันดีว่าการแทนที่เป็นสมการแทน x รากของมันเปลี่ยนสมการให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

ให้เราสรุปข้อมูลในย่อหน้านี้ สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์ a x 2 +c=0 เท่ากับสมการ, ที่

3) คำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์ข และ ค มีค่าเท่ากับศูนย์ กล่าวคือ มีสมการอยู่ในรูปก x 2 = 0 สมการ a x 2 =0 ตามมาด้วย x 2 =0 ซึ่งได้มาจากต้นฉบับโดยการหารทั้งสองส่วนด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ก . แน่นอนว่ารากของสมการ x 2 = 0 เป็นศูนย์ เนื่องจาก 0 2 =0 . สมการนี้ไม่มีรากอื่น

ดังนั้นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ก x 2 = 0 มีรากเดียว x=0 .

ตัวอย่างที่ 3 แก้สมการ: ก) x 2 = 5x, ถ้าสมการมีหลายราก ให้ระบุรากที่เล็กที่สุดในคำตอบของคุณ;

ข) , ถ้าสมการมีหลายราก ให้ระบุรากที่ใหญ่ที่สุดในคำตอบของคุณ;

ค) x 2 −9=0 หากสมการมีหลายราก ให้ระบุรากที่เล็กที่สุดในคำตอบของคุณ

สารละลาย.

เราได้รับสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งไม่มีพจน์อิสระ เราแก้ปัญหาโดยใช้วิธีถ่ายคร่อม

ยู สมการสามารถทำได้โดยใช้สองราก ซึ่งค่าที่น้อยกว่าคือ 0

คำตอบ: 0.

ข) . เช่นเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราใช้วิธีถ่ายคร่อม

คำตอบจะต้องระบุถึงรากที่ใหญ่กว่า นี่คือหมายเลข 2

คำตอบ: 2.

วี) . สมการนี้เป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งไม่มีสัมประสิทธิ์เฉลี่ย

รากที่เล็กที่สุดคือเลข – 3

คำตอบ: –3.

1.2.2 สมการกำลังสองสมบูรณ์

1. สูตรพื้นฐานสำหรับการจำแนกรากของสมการกำลังสอง

มีสูตรราก.

มาเขียนมันลงไปกันดีกว่า สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองทีละขั้นตอน:

1) D=b 2 −4 ค - ที่เรียกว่า.

ก) ถ้า D

b) ถ้า D>0 แล้วสมการไม่มีรากเดียว:

c) ถ้า D ไม่มีสองราก:

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรราก

ในทางปฏิบัติ เมื่อแก้สมการกำลังสอง คุณสามารถใช้สูตรรากในการคำนวณค่าของสมการได้ทันที แต่สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการหารากที่ซับซ้อนมากกว่า

อย่างไรก็ตาม ในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน เรามักจะไม่พูดถึงเรื่องที่ซับซ้อน แต่พูดถึงรากที่แท้จริงของสมการกำลังสอง ในกรณีนี้ ขอแนะนำก่อนที่จะใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง เพื่อค้นหาตัวแยกแยะก่อน ตรวจสอบให้แน่ใจว่าค่านั้นไม่เป็นลบ (มิฉะนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าสมการนั้นไม่มีรากจริง) แล้วจึงคำนวณค่าของรากเท่านั้น

การให้เหตุผลข้างต้นทำให้เราสามารถเขียนได้อัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการกำลังสอง. เพื่อแก้สมการกำลังสอง a x 2 +b x+c=0 คุณต้องการ:

ตามสูตรจำแนก D=b 2 −4 a ค คำนวณมูลค่าของมัน
สรุปว่าสมการกำลังสองไม่มีรากที่แท้จริงหากตัวแยกแยะเป็นลบ
คำนวณรากเดียวของสมการโดยใช้สูตรถ้าด=0 ;
หารากจริงสองรากของสมการกำลังสองโดยใช้สูตรรากหากตัวแยกแยะเป็นบวก

2. Discriminant สูตรที่สองสำหรับรากของสมการกำลังสอง (ที่มีสัมประสิทธิ์ที่สองเป็นคู่)

เพื่อแก้สมการกำลังสองของแบบฟอร์มโดยมีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากันข=2k มีอีกสูตรหนึ่ง

มาบันทึกใหม่กัน สูตรหารากของสมการกำลังสองที่:

1) D’=k 2 −ac ค - ที่เรียกว่าจำแนกสมการกำลังสอง.

ก) ถ้า D' ไม่มีรากที่แท้จริง

b) ถ้า D’>0 แสดงว่าสมการไม่มีรากเดียว:

c) ถ้า D' ไม่มีสองราก:

ตัวอย่างที่ 4 แก้สมการ 2x 2 −3x+1=0.. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

สารละลาย. ในกรณีแรก เรามีสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองดังต่อไปนี้: a=2 , b=-3 และ c=1 D=b 2 −4·a·c=(-3) 2 −4·2·1=9-8=1 ตั้งแต่ 1>0

เรามี เรามีรากอยู่สองอัน ซึ่งรากที่ใหญ่กว่าคือเลข 1

คำตอบ: 1.

ตัวอย่างที่ 5 แก้สมการ x 2 −21=4x

หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

สารละลาย. โดยการเปรียบเทียบกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราเลื่อน 4h ไปทางซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ และรับ:

ในกรณีนี้ เรามีสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองดังต่อไปนี้: a=1 , k=-2 และ c=−21 . ตามอัลกอริธึม คุณต้องคำนวณการแบ่งแยกก่อน D’=k 2 −a·c=(-2) 2 −1·(−21)=4+21=25 . หมายเลข 25>0 นั่นคือค่าจำแนกมีค่ามากกว่าศูนย์ จากนั้นสมการกำลังสองจะมีรากจำนวนจริงสองตัว ลองหาพวกมันโดยใช้สูตรราก

คำตอบ: 7.

1.2.3 วิธีการแก้สมการกำลังสองโดยเฉพาะ

1) ความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง ทฤษฎีบทของเวียตตา

สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองแสดงรากของสมการผ่านค่าสัมประสิทธิ์ ขึ้นอยู่กับสูตรราก คุณสามารถรับความสัมพันธ์อื่นๆ ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ได้

สูตรที่มีชื่อเสียงและนำไปใช้ได้มากที่สุดเรียกว่าทฤษฎีบทของเวียตตา

ทฤษฎีบท: เอาล่ะ - รากของสมการกำลังสองที่กำหนด. จากนั้นผลคูณของรากจะเท่ากับเทอมอิสระ และผลรวมของรากเท่ากับค่าตรงข้ามของสัมประสิทธิ์ที่สอง:

เมื่อใช้สูตรที่เขียนไว้แล้ว คุณสามารถรับการเชื่อมต่ออื่นๆ ได้หลายอย่างระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง ตัวอย่างเช่น คุณสามารถแสดงผลรวมของกำลังสองของรากของสมการกำลังสองในรูปของสัมประสิทธิ์ได้

ตัวอย่างที่ 6 ก) แก้สมการ x 2

b) แก้สมการ x 2

c) แก้สมการ x 2

สารละลาย.

ก) แก้สมการ x 2 −6x+5=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

การเลือกรากที่เล็กที่สุด

คำตอบ: 1

b) แก้สมการ x 2 +7x+10=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

เมื่อใช้ทฤษฎีบทของ Vieta เราจะเขียนสูตรสำหรับราก

เมื่อพิจารณาตามหลักเหตุผลแล้ว เราก็สรุปได้ว่า. การเลือกรากที่ใหญ่ที่สุด

คำตอบ: ─2.

c) แก้สมการ x 2 ─5x─14=0. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

เมื่อใช้ทฤษฎีบทของ Vieta เราจะเขียนสูตรสำหรับราก

เมื่อพิจารณาตามหลักเหตุผลแล้ว เราก็สรุปได้ว่า. การเลือกรากที่เล็กที่สุด

คำตอบ: ─2.

1.3 สมการตรรกยะ

หากคุณได้รับสมการที่มีเศษส่วนของแบบฟอร์มโดยมีตัวแปรอยู่ในตัวเศษหรือตัวส่วน นิพจน์ดังกล่าวจึงเรียกว่าสมการตรรกยะ สมการตรรกยะคือสมการใดๆ ที่มีนิพจน์ตรรกยะอย่างน้อยหนึ่งนิพจน์ สมการตรรกยะแก้ได้ในลักษณะเดียวกับสมการใดๆ โดยจะมีการดำเนินการเดียวกันบนทั้งสองด้านของสมการ จนกระทั่งตัวแปรถูกแยกออกจากด้านหนึ่งของสมการ อย่างไรก็ตาม มี 2 วิธีในการแก้สมการตรรกยะ

1) การคูณข้ามหากจำเป็น ให้เขียนสมการที่ให้ไว้ใหม่เพื่อให้แต่ละด้านมีเศษส่วนหนึ่งส่วน (นิพจน์ตรรกยะหนึ่งนิพจน์) เฉพาะในกรณีนี้คุณสามารถใช้วิธีการคูณตามขวางได้

คูณตัวเศษของเศษส่วนทางซ้ายด้วยตัวส่วนทางขวา. ทำซ้ำโดยใช้ตัวเศษของเศษส่วนแท้และตัวส่วนทางซ้าย

การคูณแบบกากบาดขึ้นอยู่กับหลักการพีชคณิตพื้นฐาน ในนิพจน์ตรรกยะและเศษส่วนอื่นๆ คุณสามารถกำจัดตัวเศษได้โดยการคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนทั้งสองตามลำดับ
เปรียบเทียบนิพจน์ผลลัพธ์และทำให้ง่ายขึ้น
แก้สมการผลลัพธ์นั่นคือหา "x" ถ้า "x" อยู่บนทั้งสองด้านของสมการ ให้แยกมันไว้ที่ด้านหนึ่งของสมการ

2) น้อยที่สุด ตัวส่วนร่วม(NOZ) ใช้เพื่อทำให้สมการนี้ง่ายขึ้นวิธีการนี้ใช้เมื่อคุณไม่สามารถเขียนสมการที่กำหนดด้วยนิพจน์ตรรกยะหนึ่งนิพจน์ในแต่ละด้านของสมการได้ (และใช้วิธีการคูณแบบกากบาด) วิธีการนี้ใช้เมื่อคุณได้รับสมการตรรกยะที่มีเศษส่วนตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป (ในกรณีที่มีเศษส่วนสองส่วน ควรใช้การคูณแบบไขว้จะดีกว่า)

ค้นหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดของเศษส่วน (หรือตัวคูณร่วมน้อย)NOZ คือ จำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วยตัวส่วนแต่ละตัวลงตัว
คูณทั้งเศษและส่วนของแต่ละเศษส่วนด้วยตัวเลขเท่ากับผลการหาร NOC ด้วยตัวส่วนที่สอดคล้องกันของแต่ละเศษส่วน
หาเอ็กซ์ ตอนนี้คุณลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วมแล้ว คุณก็สามารถกำจัดตัวส่วนได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณแต่ละด้านของสมการด้วยตัวส่วนร่วม จากนั้นแก้สมการผลลัพธ์นั่นคือหา "x" เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แยกตัวแปรไว้ที่ด้านหนึ่งของสมการ

ตัวอย่างที่ 7 แก้สมการ: ก); ข) ค) .

สารละลาย.

ก) . เราใช้วิธีคูณตามขวาง

เราเปิดวงเล็บและนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน

ได้สมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าหนึ่ง

คำตอบ: ─10

ข) เช่นเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราใช้วิธีการคูณแบบข้ามต่อข้าม

คำตอบ: ─1.9.

วี) เราใช้วิธีตัวหารร่วมน้อย (LCD)

ในตัวอย่างนี้ ตัวส่วนร่วมจะเป็น 12

คำตอบ: 5.

บทที่ 2 สมการเชิงซ้อน

สมการที่อยู่ในหมวดหมู่ของสมการเชิงซ้อนสามารถรวมวิธีการต่างๆ และเทคนิคการแก้โจทย์ได้ แต่ไม่ทางใดก็ทางหนึ่งสมการทั้งหมดโดยวิธีการให้เหตุผลเชิงตรรกะและการกระทำที่เทียบเท่าจะนำไปสู่สมการที่เคยศึกษามาก่อน

ตัวอย่างที่ 7 แก้สมการ ( x +3) 2 =(x +8) 2 .

สารละลาย. เมื่อใช้สูตรคูณแบบย่อเราจะเปิดวงเล็บ:

เราโอนเงื่อนไขทั้งหมดที่อยู่นอกเครื่องหมายเท่ากับและนำเงื่อนไขที่คล้ายกัน

คำตอบ: 5.5

ตัวอย่างที่ 8 แก้สมการ: ก)(- 5 x +3)(− x +6)=0, b) (x +2)(− x +6)=0

สารละลาย.

ก)(− 5 x +3)(- x +6)=0; มาเปิดวงเล็บและนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน

เราได้รับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ ซึ่งเราจะแก้โดยใช้สูตรแยกแยะสูตรแรก

สมการมีสองราก

คำตอบ: 0.6 และ 6

b) (x +2)(- x +6)=0 สำหรับสมการนี้ เราจะใช้เหตุผลเชิงตรรกะ (ผลคูณเท่ากับศูนย์เมื่อหนึ่งในปัจจัยเท่ากับศูนย์) วิธี

คำตอบ: ─2 และ 6

ตัวอย่างที่ 9 แก้สมการ:, ข) .

สารละลาย. ลองหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดกัน

ให้เราเขียนองศาของตัวแปรจากมากไปหาน้อย

; ได้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์พร้อมสัมประสิทธิ์วินาทีคู่

สมการนี้มีรากจริงสองอัน

คำตอบ: .

ข) . การให้เหตุผลคล้ายกับก) การค้นหา NPD

เราเปิดวงเล็บและนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน

แก้สมการกำลังสองสมบูรณ์โดยใช้สูตรทั่วไป

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 10 แก้สมการ:

สารละลาย.

ก) เราสังเกตว่าทางด้านซ้าย นิพจน์ภายในวงเล็บแสดงถึงสูตรสำหรับการคูณแบบย่อ หรือก็คือกำลังสองของผลรวมของสองนิพจน์อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น มาแปลงร่างกันเถอะ

; ย้ายเงื่อนไขของสมการนี้ไปด้านหนึ่ง

เอามันออกจากวงเล็บเลย

ผลคูณจะเป็นศูนย์เมื่อปัจจัยตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ วิธี,

คำตอบ: ─2, ─1 และ 1

ข) เราให้เหตุผลในลักษณะเดียวกับตัวอย่าง ก)

, โดยทฤษฎีบทของเวียตตา

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 11 แก้สมการ ก)

สารละลาย.

ก) ; [ทางด้านซ้ายและด้านขวาของสมการคุณสามารถใช้วิธีถอดวงเล็บออกได้ และทางด้านซ้ายเราจะนำออกและทางด้านขวาเราใส่หมายเลข 16]

[ลองย้ายทุกอย่างไปด้านหนึ่งแล้วใช้วิธีการถ่ายคร่อมอีกครั้ง เราจะนำตัวประกอบร่วมออกมา]

[ผลคูณเป็นศูนย์เมื่อปัจจัยตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์]

คำตอบ:

ข) . [สมการนี้คล้ายกับสมการ ก) ดังนั้นในกรณีนี้เราจึงใช้วิธีการจัดกลุ่ม]

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 12 แก้สมการ=0.

สารละลาย.

0 [สมการกำลังสอง แก้ได้โดยการเปลี่ยนวิธีตัวแปร].

0; [การใช้ทฤษฎีบทของ Vieta เราได้ราก]

. [กลับสู่ตัวแปรก่อนหน้า]

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 13 แก้สมการ

สารละลาย. [สมการกำลังสอง เรากำจัดกำลังคู่โดยใช้เครื่องหมายโมดูลัส]

[เราได้รับสมการกำลังสองสองอัน ซึ่งเราแก้โดยใช้สูตรพื้นฐานสำหรับรากของสมการกำลังสอง]

ไม่มีสมการรากจริงที่มีสองราก

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 14 แก้สมการ

สารละลาย.

ODZ:

[โอนพจน์ทุกพจน์ของสมการไปทางซ้ายแล้วนำพจน์ที่คล้ายกัน]

[เราได้สมการกำลังสองรีดิวซ์ ซึ่งแก้ได้ง่ายๆ โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา]

จำนวน – 1 ไม่เป็นไปตาม ODZ ของสมการที่กำหนด ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นรากของสมการนี้ได้ ซึ่งหมายความว่ามีเพียงหมายเลข 7 เท่านั้นที่เป็นราก

คำตอบ: 7.

ตัวอย่างที่ 15 แก้สมการ

สารละลาย.

ผลรวมของกำลังสองของสองนิพจน์สามารถเท่ากับศูนย์ได้ก็ต่อเมื่อนิพจน์นั้นเท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน กล่าวคือ

[เราแก้แต่ละสมการแยกกัน]

โดยทฤษฎีบทของเวียตตา

ความบังเอิญของรากที่เท่ากับ –5 จะเป็นรากของสมการ

คำตอบ: – 5.

บทสรุป

เมื่อสรุปผลลัพธ์ของงานที่ทำเสร็จแล้ว เราสามารถสรุปได้ว่าสมการมีบทบาทอย่างมากในการพัฒนาคณิตศาสตร์ เราจัดระบบความรู้ที่ได้รับและสรุปเนื้อหาที่ครอบคลุม ความรู้นี้สามารถเตรียมเราให้พร้อมสำหรับการสอบที่กำลังจะมาถึง

งานของเราทำให้สามารถมองงานต่างๆ ที่คณิตศาสตร์มอบให้เราได้อย่างแตกต่างออกไป

ในตอนท้ายของโครงการ เราได้จัดระบบและสรุปวิธีการแก้สมการที่ศึกษาไว้ก่อนหน้านี้
ทำความคุ้นเคยกับวิธีการใหม่ในการแก้สมการและคุณสมบัติของสมการ

เราดูสมการทุกประเภทที่อยู่ในงาน OGE ทั้งในส่วนแรกและในส่วนที่สอง
เราได้สร้างคอลเลกชันระเบียบวิธี "สมการในงาน OGE"

เราเชื่อว่าเป้าหมายที่ตั้งไว้สำหรับเราคือการพิจารณาสมการทุกประเภทในงานหลัก การสอบของรัฐในวิชาคณิตศาสตร์ที่เราทำได้

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้:

1. บี.วี. Gnedenko “คณิตศาสตร์ใน” โลกสมัยใหม่" มอสโก "การตรัสรู้" 2523

2. เย้.. Perelman "พีชคณิตสนุกสนาน" มอสโก "วิทยาศาสตร์" 2521

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

ภาคผนวก 1

สมการเชิงเส้น

1. ค้นหารากของสมการ

2. ค้นหารากของสมการ

3. ค้นหารากของสมการ

ภาคผนวก 2

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

1. แก้สมการ x 2 =5x. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

2. แก้สมการ 2x 2 =8x. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

3. แก้สมการ 3x 2 =9x. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

4. แก้สมการ 4x 2 =20x. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

5. แก้สมการ 5x 2 =35x. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

6. แก้สมการ 6x 2 =36x. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

7. แก้สมการ 7x 2 =42x. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

8. แก้สมการ 8x 2 =72x. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

9. แก้สมการ 9x 2 =54x. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

10. แก้สมการ 10x2 =80x. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

11. แก้สมการ 5x2 −10x=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

12. แก้สมการ 3x2 −9x=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

13. แก้สมการ 4x2 −16x=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

14. แก้สมการ 5x2 +15x=0. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

15. แก้สมการ 3x2 +18x=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

16. แก้สมการ 6x2 +24x=0. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

17. แก้สมการ 4x2 −20x=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

18. แก้สมการ 5x2 +20x=0. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

19. แก้สมการ 7x2 −14x=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

20. แก้สมการ 3x2 +12x=0. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

21. แก้สมการ x2 −9=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

22. แก้สมการ x2 −121=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

23. แก้สมการ x2 −16=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

24. แก้สมการ x2 −25=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

25. แก้สมการ x2 −49=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

26. แก้สมการ x2 −81=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

27. แก้สมการ x2 −4=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

28. แก้สมการ x2 −64=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

29. แก้สมการ x2 −36=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

30. แก้สมการ x2 −144=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

31. แก้สมการ x2 −9=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

32. แก้สมการ x2 −121=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

33. แก้สมการ x2 −16=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

34. แก้สมการ x2 −25=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

35. แก้สมการ x2 −49=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

36. แก้สมการ x2 −81=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

37. แก้สมการ x2 −4=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

38. แก้สมการ x2 −64=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

39. แก้สมการ x2 −36=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

40. แก้สมการ x2 −144=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

ภาคผนวก 3

สมการกำลังสองที่สมบูรณ์

1. แก้สมการ x2 +3x=10. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

2. แก้สมการ x2 +7x=18. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

3. แก้สมการ x2 +2x=15. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

4. แก้สมการ x2 −6x=16 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

5. แก้สมการ x2 −3x=18 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

6. แก้สมการ x2 −18=7x หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

7. แก้สมการ x2 +4x=21. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

8. แก้สมการ x2 −21=4x หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

9. แก้สมการ x2 −15=2x หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

10. แก้สมการ x2 −5x=14 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

11. แก้สมการ x2 +6=5x หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

12. แก้สมการ x2 +4=5x หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

13. แก้สมการ x2 −x=12 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

14. แก้สมการ x2 +4x=5. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

15. แก้สมการ x2 −7x=8 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

16. แก้สมการ x2 +7=8x หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

17. แก้สมการ x2 +18=9x หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

18. แก้สมการ x2 +10=7x หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

19. แก้สมการ x2 −20=x หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

20. แก้สมการ x2 −35=2x หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

21. แก้สมการ 2x2 −3x+1=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

22. แก้สมการ 5x2 +4x−1=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

23. แก้สมการ 2x2 +5x−7=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

24. แก้สมการ 5x2 −12x+7=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

25. แก้สมการ 5x2 −9x+4=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

26. แก้สมการ 8x2 −12x+4=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

27. แก้สมการ 8x2 −10x+2=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

28. แก้สมการ 6x2 −9x+3=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

29. แก้สมการ 5x2 +9x+4=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

30. แก้สมการ 5x2 +8x+3=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

31. แก้สมการ x2 −6x+5=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

32. แก้สมการ x2 −7x+10=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

33. แก้สมการ x2 −9x+18=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

34. แก้สมการ x2 −10x+24=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

35. แก้สมการ x2 −11x+30=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

36. แก้สมการ x2 −8x+12=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

37. แก้สมการ x2 −10x+21=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

38. แก้สมการ x2 −9x+8=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

39. แก้สมการ x2 −11x+18=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

40. แก้สมการ x2 −12x+20=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

ภาคผนวก 4

สมการตรรกยะ

1. ค้นหารากของสมการ

2. ค้นหารากของสมการ

3. ค้นหารากของสมการ

4. ค้นหารากของสมการ

5. ค้นหารากของสมการ

6. ค้นหารากของสมการ.

7. ค้นหารากของสมการ

8. ค้นหารากของสมการ

9. ค้นหารากของสมการ.

10. ค้นหารากของสมการ

11. ค้นหารากของสมการ.

12. ค้นหารากของสมการ

13. ค้นหารากของสมการ

14. ค้นหารากของสมการ

15. ค้นหารากของสมการ

16. ค้นหารากของสมการ

17. ค้นหารากของสมการ

18. ค้นหารากของสมการ

19. ค้นหารากของสมการ

20. ค้นหารากของสมการ

21. ค้นหารากของสมการ

22. ค้นหารากของสมการ

23. ค้นหารากของสมการ

ภาคผนวก 5

สมการที่ซับซ้อน

1. ค้นหารากของสมการ (x+3)2 =(x+8)2 .

2. ค้นหารากของสมการ (x−5)2 =(x+10)2 .

3. ค้นหารากของสมการ (x+9)2 =(x+6)2 .

4. หารากของสมการ (x+10)2 =(x−9)2 .

5. ค้นหารากของสมการ (x−5)2 =(x−8)2 .

6. ค้นหารากของสมการ.

7. ค้นหารากของสมการ.

8. ค้นหารากของสมการ.

9. ค้นหารากของสมการ.

10. ค้นหารากของสมการ.

11. แก้สมการ (x+2)(− x+6)=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

12. แก้สมการ (x+3)(− x−2)=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

13. แก้สมการ (x−11)(− x+9)=0. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

14. แก้สมการ (x−1)(− x−4)=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

15. แก้สมการ (x−2)(− x−1)=0. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

16. แก้สมการ (x+20)(- x+10)=0. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

17. แก้สมการ (x−2)(− x−3)=0. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

18. แก้สมการ (x−7)(− x+2)=0. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

19. แก้สมการ (x−5)(− x−10)=0. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

20. แก้สมการ (x+10)(− x−8)=0. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

21. แก้สมการ (− 5x+3)(− x+6)=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

22. แก้สมการ (− 2x+1)(− 2x−7)=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

23. แก้สมการ (− x−4)(3x+3)=0. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

24. แก้สมการ (x−6)(4x−6)=0. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

25. แก้สมการ (− 5x−3)(2x−1)=0 หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

26. แก้สมการ (x−2)(− 2x−3)=0. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

27. แก้สมการ (5x+2)(− x−4)=0. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

28. แก้สมการ (x−6)(− 5x−9)=0. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

29. แก้สมการ (6x−3)(− x+3)=0. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่ใหญ่กว่าเป็นคำตอบของคุณ

30. แก้สมการ (5x−2)(− x+3)=0. หากสมการมีมากกว่าหนึ่งราก ให้เขียนรากที่เล็กกว่าเป็นคำตอบของคุณ

31. แก้สมการ

32. แก้สมการ

33. แก้สมการ

34. แก้สมการ

35. แก้สมการ

36. แก้สมการ

37. แก้สมการ

38. แก้สมการ

39. แก้สมการ

40 แก้สมการ

41. แก้สมการ x(x2 +2x+1)=2(x+1)

42. แก้สมการ (x−1)(x2 +4x+4)=4(x+2)

43. แก้สมการ x(x2 +6x+9)=4(x+3)

44. แก้สมการ (x−1)(x2 +8x+16)=6(x+4)

45. แก้สมการ x(x2 +2x+1)=6(x+1)

46. แก้สมการ (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3)

47. แก้สมการ (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4)

48. แก้สมการ x(x2 +4x+4)=3(x+2)

49. แก้สมการ (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1)

50. แก้สมการ (x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3)

51. แก้สมการ (x+2)4 −4(x+2)2 −5=0.

52. แก้สมการ (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. แก้สมการ (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. แก้สมการ (x−1)4 −2(x−1)2 −3=0.

55. แก้สมการ (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.

56. แก้สมการ (x−3)4 −3(x−3)2 −10=0.

57. แก้สมการ (x+4)4 −6(x+4)2 −7=0.
58. แก้สมการ (x−4)4 −4(x−4)2 −21=0.

59. แก้สมการ (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. แก้สมการ (x−2)4 +3(x−2)2 −10=0.

61. แก้สมการ x3 +3x2 =16x+48.

62. แก้สมการ x3 +4x2 =4x+16.

63. แก้สมการ x3 +6x2 =4x+24.

64. แก้สมการ x3 +6x2 =9x+54.

65. แก้สมการ x3 +3x2 =4x+12.

66. แก้สมการ x3 +2x2 =9x+18.

67. แก้สมการ x3 +7x2 =4x+28.

68. แก้สมการ x3 +4x2 =9x+36.

69. แก้สมการ x3 +5x2 =4x+20.

70. แก้สมการ x3 +5x2 =9x+45.

71. แก้สมการ x3 +3x2 −x−3=0

72. แก้สมการ x3 +4x2 −4x−16=0

73. แก้สมการ x3 +5x2 −x−5=0

74. แก้สมการ x3 +2x2 −x−2=0

75. แก้สมการ x3 +3x2 −4x−12=0

76. แก้สมการ x3 +2x2 −9x−18=0

77. แก้สมการ x3 +4x2 −x−4=0

78. แก้สมการ x3 +4x2 −9x−36=0

79. แก้สมการ x3 +5x2 −4x−20=0
80. แก้สมการ x3 +5x2 −9x−45=0

81. แก้สมการ x4 =(x−20)2 .

82. แก้สมการ x4 =(2x−15)2 .

83. แก้สมการ x4 =(3x−10)2 .

84. แก้สมการ x4 =(4x−5)2 .

85. แก้สมการ x4 =(x−12)2 .

86. แก้สมการ x4 =(2x−8)2 .

87. แก้สมการ x4 =(3x−4)2 .

88. แก้สมการ x4 =(x−6)2 .

89. แก้สมการ x4 =(2x−3)2 .

90. แก้สมการ x4 =(x−2)2 .

91. แก้สมการ

92. แก้สมการ

93. แก้สมการ

94. แก้สมการ

95. แก้สมการ

96. แก้สมการ

97. แก้สมการ

98. แก้สมการ

99. แก้สมการ

100. แก้สมการ

101. แก้สมการ.

102. แก้สมการ

103. แก้สมการ

104. แก้สมการ

105. แก้สมการ

106. แก้สมการ

107. แก้สมการ

108. แก้สมการ

109. แก้สมการ

110. แก้สมการ

! จากทฤษฎีสู่การปฏิบัติ

! จากง่ายไปซับซ้อน

MAOU "โรงเรียนมัธยมพลาโตชิน"

ครูคณิตศาสตร์ Melekhina G.V.

แบบฟอร์มทั่วไปสมการเชิงเส้น: ขวาน + ข = 0 ,

ที่ไหน กและ ข– ตัวเลข (สัมประสิทธิ์)

ถ้า ก = 0และ ข = 0, ที่ 0x + 0 = 0 – มีรากมากมายไม่สิ้นสุด
ถ้า ก = 0และ ข ≠ 0, ที่ 0x + ข = 0– ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
ถ้า ก ≠ 0และ ข = 0 , ที่ ขวาน + 0 = 0 – หนึ่งรูท x = 0;
ถ้า ก ≠ 0และ ข ≠ 0 , ที่ ขวาน + ข = 0 – หนึ่งราก

! ถ้า X ยกกำลังแรกและไม่ได้อยู่ในตัวส่วน มันจะถือเป็นสมการเชิงเส้น

! และถ้าสมการเชิงเส้นเป็น ซับซ้อน :

! เงื่อนไขที่มี X ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา

! สมการเหล่านี้ก็คือ ยังเป็นเส้นตรง .

! คุณสมบัติหลักของสัดส่วน (ขวาง)

! เปิดวงเล็บโดยให้ X ไปทางซ้าย โดยไม่มี X ทางด้านขวา

ถ้าเป็นค่าสัมประสิทธิ์ ก = 1แล้วจึงเรียกสมการ ที่ให้ไว้ :

ถ้าเป็นค่าสัมประสิทธิ์ ข = 0 หรือ/และ ค = 0แล้วจึงเรียกสมการ ไม่สมบูรณ์ :

! สูตรพื้นฐาน

! สูตรเพิ่มเติม

สมการกำลังสอง- เรียกว่าสมการของรูป ขวาน 4 +ขx 2 + ค = 0 .

สมการกำลังสองลดลงเป็น สมการกำลังสองโดยใช้การทดแทนแล้ว

เราได้สมการกำลังสอง:

ค้นหารากและกลับสู่การแทนที่:

ตัวอย่างที่ 1:

แก้สมการ x 4 +5x 2 – 36 = 0.

สารละลาย:

การทดแทน: x 2 = t

t 2 + 5t – 36 = 0 รากของสมการคือ t 1 = -9 และ t 2 = 4

x 2 = -9 หรือ x 2 = 4

คำตอบ: ไม่มีรากในสมการแรก แต่สมการที่สอง: x = ±2

ตัวอย่างที่ 2:

แก้สมการ (2x – 1) 4 – 25(2x – 1) 2 + 144 = 0.

สารละลาย:

การทดแทน: (2x – 1) 2 = t

t 2 – 25t + 144 = 0 รากของสมการคือ t 1 = 9 และ t 2 = 16

(2x – 1) 2 = 9 หรือ (2x – 1) 2 = 16

2x – 1 = ±3 หรือ 2x – 1 = ±4

สมการแรกมีสองราก: x = 2 และ x = -1 ส่วนสมการที่สองมีสองรากเช่นกัน: x = 2.5 และ x = -1.5

คำตอบ: -1.5; -1; 2; 2.5.

1) เอ็กซ์ 4 - 9 เอ็กซ์ 2 = 0; 2) 4 เอ็กซ์ 4 - x 2 = 0;

1) เอ็กซ์ 4 + x 2 - 2 = 0;

2) เอ็กซ์ 4 - 3 เอ็กซ์ 2 - 4 = 0; 3) 9 เอ็กซ์ 4 + 8 เอ็กซ์ 2 - 1 = 0; 4) 20 เอ็กซ์ 4 - เอ็กซ์ 2 - 1 = 0.

แก้สมการโดยเลือกจากด้านซ้าย สี่เหลี่ยมเต็ม :

1) เอ็กซ์ 4 - 20 เอ็กซ์ 2 + 64 = 0; 2) เอ็กซ์ 4 - 13 เอ็กซ์ 2 + 36 = 0; 3) เอ็กซ์ 4 - 4 เอ็กซ์ 2 + 1 = 0; 4) เอ็กซ์ 4 + 2 เอ็กซ์ 2 +1 = 0.

! จำกำลังสองของผลรวมและกำลังสองของผลต่าง

การแสดงออกอย่างมีเหตุผลเป็นนิพจน์พีชคณิตที่ประกอบด้วยตัวเลขและตัวแปร xโดยใช้การดำเนินการบวก ลบ คูณ หาร และยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ

ถ้า ร(เอ็กซ์)คือนิพจน์เชิงตรรกยะ แล้วก็สมการ r(x)=0เรียกว่าสมการตรรกยะ

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะ:

1. ย้ายเงื่อนไขทั้งหมดของสมการไปไว้ข้างเดียว

2. แปลงส่วนนี้ของสมการให้อยู่ในรูปแบบ เศษส่วนพีชคณิต พี(x)/คิว(x)

3. แก้สมการ พี(x)=0

4. สำหรับแต่ละรากของสมการ พี(x)=0ตรวจสอบว่าเป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่ คิว(x)≠0หรือไม่. ถ้าใช่ นี่คือรากของสมการที่กำหนด ถ้าไม่เช่นนั้นแสดงว่าเป็นรูทที่ไม่เกี่ยวข้องและไม่ควรรวมไว้ในคำตอบ

! ให้เรานึกถึงคำตอบของสมการตรรกยะเศษส่วน:

! ในการแก้สมการ จะมีประโยชน์ในการจำสูตรการคูณแบบย่อ:

ถ้าสมการมีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายรากที่สอง สมการนั้นจะถูกเรียก ไม่มีเหตุผล .

วิธีการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ- วิธีการหลักในการแก้สมการไม่ลงตัว

เมื่อแก้สมการตรรกยะผลลัพธ์แล้ว จำเป็นต้องแก้ไข ตรวจสอบ , กำจัดวัชพืชออกจากรากภายนอกที่เป็นไปได้

คำตอบ: 5; 4

ตัวอย่างอื่น:

การตรวจสอบ:

การแสดงออกไม่มีความหมาย

คำตอบ:ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

การแก้สมการ

การเตรียมตัวสำหรับ OGE

ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9

จัดทำโดยครูคณิตศาสตร์ GBOU โรงเรียนหมายเลข 14 ของเขต Nevsky ของเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก Putrova Marina Nikolaevna

ทำประโยคให้สมบูรณ์:

1) สมการคือ...

2). รากของสมการคือ...

3). การแก้สมการหมายความว่า...

I. แก้สมการด้วยวาจา:

1) 6x + 18=0
2). 2x + 5=0
3). 5x – 3=0
4) -3x + 9=0
5). -5x + 1=0
6). -2х – 10=0
7). 6x – 7=5x
8). 9x + 6=10x
9) 5x - 12=8x

สมการใดต่อไปนี้ไม่มีคำตอบ:

ก) 2x – 14 = x + 7

ข) 2x - 14 = 2(x – 7)

วี) x – 7 = 2x + 14

ช) 2x- 14 = 2x + 7?

สมการใดมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน:

ก) 4x – 12 = x – 12

ข) 4x – 12 = 4x + 12

วี) 4(x – 3) = 4x – 12

ช) 4(x – 3) = x – 10?

สมการของชนิด

เคเอ็กซ์ + ข = 0

พวกเขาถูกเรียกว่าเชิงเส้น

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น :

1) ย้ายคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักไปทางด้านขวา และคำศัพท์ที่ไม่มีสิ่งที่ไม่รู้จักไปทางด้านขวา (เครื่องหมายของคำที่ถ่ายโอนจะกลับรายการ)

2). นำสมาชิกที่คล้ายกัน

3).หารทั้งสองข้างของสมการด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่รู้จักหากค่าไม่เท่ากับศูนย์

แก้สมการในสมุดบันทึกของคุณ :

กลุ่มที่ 2 : หมายเลข 697 หน้า 63

x-1 +(x+2) = -4(-5-x)-5

กลุ่มที่ 1:

№ 681 หน้า 63

6(4x)+3x=3

กลุ่ม III: หมายเลข 767 หน้า 67

(x + 6) 2 + (x + 3) 2 = 2 x 2

สมการของแบบฟอร์ม

อา 2 + bх + c =0,

โดยที่≠0, b, c – จำนวนจริงใดๆ เรียกว่ากำลังสอง

สมการที่ไม่สมบูรณ์:

อา 2 + bх =0 (c=0),

อา 2 + ค =0 (ข=0)

ครั้งที่สอง แก้สมการกำลังสองด้วยปากเปล่า โดยระบุว่าสมการนั้นสมบูรณ์หรือไม่สมบูรณ์:

1) 5x 2 + 15x=0

2). -เอ็กซ์ 2 +2x = 0

3). เอ็กซ์ 2 -25=0

4) -เอ็กซ์ 2 +9 =0

5). -เอ็กซ์ 2 - 16 =0

6). เอ็กซ์ 2 - 8x + 15=0

7 ) . เอ็กซ์ 2 + 5x + 6=0

8). เอ็กซ์ 2 + x - 12 =0

9).(-x-5)(-x+ 6)=0

คำถาม:

1) คุณสมบัติของสมการใดที่ใช้ในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์?

2). วิธีใดในการแยกตัวประกอบพหุนามที่ใช้ในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

3). อัลกอริธึมในการแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์คืออะไร ?

0.2 ราก; D = 0, 1 รูต; DX 1.2 =" width="640"

1) ผลคูณของปัจจัยทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์ หากหนึ่งในนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวที่สองจะไม่สูญเสียความหมาย: เอบี = 0 , ถ้า ก = 0 หรือ ข = 0 .

2). การแทนที่ตัวคูณร่วมและ

ก 2 -ข 2 =(ก – ข)(ก + ข) - สูตรหาผลต่างของกำลังสอง

3). สมการกำลังสองสมบูรณ์ ah 2 + bx + c = o

ด=ข 2 – 4ac ถ้า D0, 2 ราก;

D = 0, 1 รูต;

เอ็กซ์ 1,2 =

แก้สมการ :

กลุ่ม 1: หมายเลข 802 หน้า 71 เอ็กซ์ 2 - 5x- 36 =0

กลุ่ม II: หมายเลข 810 หน้า 71 3x 2 - x + 21=5x 2

กลุ่มที่สาม: เอ็กซ์ 4 -5x 2 - 36 =0

สาม. แก้สมการ :

กลุ่ม I และ II: หมายเลข 860 = 0

กลุ่มที่สาม: =0

สมการดังกล่าวเรียกว่าอะไร? คุณสมบัติอะไรที่ใช้ในการแก้ปัญหา?

สมการตรรกยะคือสมการของรูปแบบ

เศษส่วนจะเท่ากับศูนย์ถ้าตัวเศษเป็นศูนย์และตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ =0 ถ้า a = 0, b≠0

ประวัติโดยย่อของคณิตศาสตร์

นักคณิตศาสตร์ในอียิปต์โบราณสามารถแก้สมการกำลังสองและสมการเชิงเส้นได้

Al-Khorezmi นักวิทยาศาสตร์ยุคกลางชาวเปอร์เซีย (ศตวรรษที่ 9) ได้แนะนำพีชคณิตเป็นครั้งแรกในฐานะวิทยาศาสตร์อิสระเกี่ยวกับวิธีการทั่วไปในการแก้สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง และได้จำแนกประเภทของสมการเหล่านี้

ความก้าวหน้าครั้งยิ่งใหญ่ครั้งใหม่ทางคณิตศาสตร์มีความเกี่ยวข้องกับชื่อของนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Francois Vieta (ศตวรรษที่ 16) เขาเป็นคนที่นำตัวอักษรมาสู่พีชคณิต เขาเป็นผู้รับผิดชอบทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงเกี่ยวกับรากของสมการกำลังสอง

และเราเป็นหนี้ประเพณีในการแสดงถึงปริมาณที่ไม่รู้จักด้วยตัวอักษรสุดท้ายของตัวอักษรละติน (x, y, z) ให้กับนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสอีกคน - Rene Descartes (XVII)