ขีดจำกัดทำให้นักเรียนคณิตศาสตร์ทุกคนประสบปัญหาอย่างมาก ในการแก้ขีดจำกัด บางครั้งคุณต้องใช้กลอุบายมากมาย และเลือกวิธีการแก้ปัญหาที่หลากหลายซึ่งตรงกับตัวอย่างเฉพาะเจาะจง

ในบทความนี้ เราจะไม่ช่วยให้คุณเข้าใจขีด จำกัด ของความสามารถของคุณหรือเข้าใจขีด จำกัด ของการควบคุม แต่เราจะพยายามตอบคำถาม: จะเข้าใจขีด จำกัด ในคณิตศาสตร์ระดับสูงได้อย่างไร ความเข้าใจมาพร้อมกับประสบการณ์ ดังนั้นในเวลาเดียวกัน เราจะยกตัวอย่างโดยละเอียดของการแก้ไขขีดจำกัดพร้อมคำอธิบาย

แนวคิดเรื่องขีดจำกัดทางคณิตศาสตร์

คำถามแรกคือ ขีดจำกัดนี้คืออะไร และขีดจำกัดของอะไร เราสามารถพูดถึงขีดจำกัดของลำดับตัวเลขและฟังก์ชันได้ เราสนใจแนวคิดเรื่องลิมิตของฟังก์ชัน เนื่องจากนี่คือสิ่งที่นักเรียนมักพบบ่อยที่สุด แต่ก่อนอื่น คำจำกัดความทั่วไปที่สุดของขีดจำกัด:

สมมติว่ามีค่าตัวแปรอยู่บ้าง หากค่านี้ในกระบวนการเปลี่ยนแปลงเข้าใกล้จำนวนที่แน่นอนอย่างไม่จำกัด ก , ที่ ก – ขีดจำกัดของค่านี้

สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง ฉ(x)=y จำนวนดังกล่าวเรียกว่าขีดจำกัด ก ซึ่งฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นเมื่อใด เอ็กซ์ มุ่งสู่จุดหนึ่ง ก . จุด ก เป็นของช่วงเวลาที่ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้

ฟังดูยุ่งยาก แต่เขียนง่าย ๆ ว่า:

ลิม- จากอังกฤษ ขีด จำกัด- ขีด จำกัด

นอกจากนี้ยังมีคำอธิบายทางเรขาคณิตสำหรับการกำหนดขีดจำกัด แต่เราจะไม่เจาะลึกทฤษฎีในที่นี้ เนื่องจากเราสนใจในทางปฏิบัติมากกว่าด้านทฤษฎีของปัญหา เมื่อเราพูดอย่างนั้น เอ็กซ์ มีแนวโน้มที่จะมีค่าบางอย่าง ซึ่งหมายความว่าตัวแปรไม่ได้ใช้ค่าของตัวเลข แต่เข้าใกล้ค่านั้นอย่างไม่สิ้นสุด

ลองยกตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง ภารกิจคือการหาขีดจำกัด

เพื่อแก้ตัวอย่างนี้ เราจะแทนค่า x=3 เข้าไปในฟังก์ชัน เราได้รับ:

อย่างไรก็ตามหากคุณสนใจโปรดอ่านบทความแยกต่างหากในหัวข้อนี้

ในตัวอย่าง เอ็กซ์ สามารถมีค่าใดๆ ก็ได้ อาจเป็นตัวเลขใดๆ หรืออนันต์ก็ได้ นี่คือตัวอย่างเมื่อ เอ็กซ์ มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด:

ตามหลักสัญชาตญาณแล้ว ยิ่งตัวเลขในตัวส่วนมาก ค่าที่ฟังก์ชันจะใช้ก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น ดังนั้นการเติบโตอย่างไร้ขีดจำกัด เอ็กซ์ ความหมาย 1/x จะลดลงและเข้าใกล้ศูนย์

อย่างที่คุณเห็น ในการแก้ขีดจำกัด คุณเพียงแค่ต้องแทนค่าที่ต้องการเข้าไปในฟังก์ชัน เอ็กซ์ . อย่างไรก็ตาม นี่เป็นกรณีที่ง่ายที่สุด บ่อยครั้งการค้นหาขีดจำกัดนั้นไม่ชัดเจนนัก ภายในขอบเขตมีความไม่แน่นอนของประเภท 0/0 หรือ อนันต์/อนันต์ . จะทำอย่างไรในกรณีเช่นนี้? รีสอร์ทต้องใช้เทคนิค!

ความไม่แน่นอนภายใน.

ความไม่แน่นอนของรูปแบบอนันต์/อนันต์

ให้มีขีดจำกัด:

ถ้าเราพยายามแทนค่าอนันต์ลงในฟังก์ชัน เราจะได้ค่าอนันต์ทั้งตัวเศษและตัวส่วน โดยทั่วไป เป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การกล่าวว่ามีองค์ประกอบทางศิลปะบางประการในการแก้ไขความไม่แน่นอนดังกล่าว: คุณต้องสังเกตว่าคุณสามารถแปลงฟังก์ชันในลักษณะที่ความไม่แน่นอนหายไปได้อย่างไร ในกรณีของเรา เราหารทั้งเศษและส่วนด้วย เอ็กซ์ ในระดับอาวุโส อะไรจะเกิดขึ้น?

จากตัวอย่างที่กล่าวไปแล้วข้างต้น เรารู้ว่าพจน์ที่มี x ในตัวส่วนจะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ จากนั้นวิธีแก้ไขขีดจำกัดคือ:

เพื่อแก้ไขความไม่แน่นอนของประเภท อนันต์/อนันต์หารทั้งเศษและส่วนด้วย เอ็กซ์ในระดับสูงสุด

อนึ่ง! สำหรับผู้อ่านของเราตอนนี้มีส่วนลด 10% สำหรับ

ความไม่แน่นอนประเภทอื่น: 0/0

เช่นเคยการแทนที่ค่าลงในฟังก์ชัน x=-1 ให้ 0 ในตัวเศษและส่วน. มองให้ใกล้ขึ้นอีกนิดแล้วคุณจะสังเกตเห็นว่าเรามีสมการกำลังสองอยู่ในตัวเศษ มาหารากแล้วเขียน:

มาลดและรับ:

ดังนั้นหากคุณกำลังเผชิญกับความไม่แน่นอนประเภท 0/0 – แยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน.

เพื่อให้ง่ายต่อการแก้ตัวอย่าง เราจะนำเสนอตารางที่มีขีดจำกัดของฟังก์ชันบางอย่าง:

กฎของโลปิตาลภายใน

อีกวิธีที่มีประสิทธิภาพในการขจัดความไม่แน่นอนทั้งสองประเภท สาระสำคัญของวิธีการคืออะไร?

หากมีความไม่แน่นอนในขีดจำกัด ให้หาอนุพันธ์ของทั้งเศษและส่วนจนกว่าความไม่แน่นอนจะหายไป

กฎของโลปิตาลมีลักษณะดังนี้:

จุดสำคัญ : ขีดจำกัดที่ต้องมีอนุพันธ์ของทั้งเศษและส่วนแทนค่าของเศษและส่วน

และตอนนี้ - ตัวอย่างจริง:

มีความไม่แน่นอนโดยทั่วไป 0/0 . ลองใช้อนุพันธ์ของทั้งเศษและส่วน:

เอาล่ะ ความไม่แน่นอนได้รับการแก้ไขอย่างรวดเร็วและสวยงาม

เราหวังว่าคุณจะสามารถนำข้อมูลนี้ไปใช้ในทางปฏิบัติและค้นหาคำตอบสำหรับคำถาม "วิธีแก้ขีดจำกัดในคณิตศาสตร์ชั้นสูง" ได้ หากคุณต้องการคำนวณขีดจำกัดของลำดับหรือขีดจำกัดของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง และไม่มีเวลาสำหรับงานนี้เลย โปรดติดต่อฝ่ายบริการนักศึกษามืออาชีพเพื่อขอวิธีแก้ปัญหาที่รวดเร็วและมีรายละเอียด

รู้ว่าทุกคนมี “ความเจ็บปวด” ที่แตกต่างกัน
รู้ว่าทุกคนมี “ความน่ากลัว” ที่แตกต่างกันออกไป.
อย่าตัดสินจากหอระฆังของคุณ
ไม่ทราบว่ามีกี่ชั้น

อย่ามองที่ขอบเขต
อย่าสร้างขีดจำกัดด้วยสมองของคุณ
สิ่งที่คุณไม่เคยฝันถึงในฝันร้าย?
สำหรับบางคนมันเป็นเรื่องธรรมดา

รู้ว่าทุกคนมี "ควร" ที่แตกต่างกัน
รู้ว่า “ความยาก” ของทุกคนแตกต่างกัน
อย่างไรก็ตามความคิดเรื่องนรก
เป็นไปไม่ได้ที่จะสรุปและเปรียบเทียบ

รู้ว่าความจริงนั้นแตกต่าง
และไม่ใช่ของที่เสิร์ฟบนจาน
ลองดูผู้ที่มีชะตากรรมที่น่ากลัวอย่างใกล้ชิด
คนเหล่านี้คือคนที่แข็งแกร่งที่สุด

อย่าบอกว่าฉันจำเธอไม่ได้...
ฉันจำทุกอย่างได้วันละหลายครั้ง
ฉันย้ำหมายเลขโทรศัพท์
แต่ฉันจะไม่โทรหาคุณเด็ดขาด
รู้สึกเหมือนหัวใจของฉันกำลังจะแตกสลาย
และเมื่อถึงขีดจำกัดของวันที่แสนโดดเดี่ยว

พวกเขาไปไกลเกินขอบฟ้าในจิตวิญญาณของฉัน
มีรัก มีรัก มี!
และไม่มีอะไรจะเพิ่มเติมในวลีนี้
ปราสาทวิเศษของเราถูกไฟไหม้จนราบคาบ
และเขาไม่ทิ้งขี้เถ้าให้เราจดจำ
ฉันจำทุกอย่างได้ และฉันก็จำสวนดอกไม้ที่บานสะพรั่ง
และผ่านใบไม้ - รังสีจากทุกทิศทุกทาง
ราวกับมาจากหอระฆังสีขาว
ในจิตวิญญาณของคุณ - คุณได้ยิน - เสียงกริ่งเงียบ ๆ กำลังหลั่งไหล
ความรักจากไปและไม่มีวันกลับมา
และเพื่อไม่ให้คิดถึงเธอตลอดไป
ดวงตาของคุณเหมือนดวงอาทิตย์เศร้าโศกสองดวง
พวกเขาไปไกลเกินขอบฟ้าในจิตวิญญาณของฉัน

การแสวงหาความสุขกลับล้มเหลวอีกครั้ง...
และตอนเย็นฝนตก ข้างนอกมืดมน...
และตอนเป็นเด็ก... ฉันทาแยมบนขนมปัง
และมีความสุขอย่างแน่นอนมีความสุขอย่างโง่เขลา ...

ความเย้ายวนใจ มารยาท เพชร จากุซซี่...
ตอนนี้นอกจากความสุขแล้วในชะตากรรมของ “รวมทุกอย่าง” แล้ว
และตอนเด็กๆ ฉันกินเมล็ดทานตะวัน
และความสุขก็ดูเหมือนไม่มีขีดจำกัด...

เรากลายเป็นเหมือนตัวตลกมาก...
ภายนอกใครๆ ก็แต่งหน้าให้หัวเราะ...
และในวัยเด็ก... มีเพียงดวงอาทิตย์ที่ส่องผ่านมาจากท้องฟ้า
และหัวใจที่มีความสุขก็ยิ้มมาก...

เราคัดสรรคนอย่างบัควีทในซินเดอเรลล่า...
ติดต่อทุกคนที่ต้องการ...ผู้ไร้กำไรเข้าเตา...
และในวัยเด็ก ท้องฟ้าสดใส เชื่อในตัวเรา...
ความสุขจากกลิ่นขนมปังสดใหม่อยู่ที่ไหน?

และตอนนี้มิตรภาพก็ซื้อได้เช่นกัน...
เราสร้างมันขึ้นมา... เราอยู่ในโลกแห่งขนสัตว์และเครื่องหนัง...
และในวัยเด็ก พวกเขาช่วยมอนเรลจากสายฝน...
และด้วยการให้ความสุขพวกเขาก็ได้รับมัน

เราสูญเสียความจริงใจและความอ่อนไหวไปตลอดหลายปีที่ผ่านมา...
เรากำหนดขอบเขตและกรอบขึ้นมาเอง...
คุณมีขนมปังและแยมเชอร์รี่หนึ่งขวดไหม?
ดังนั้นจงมีความสุขเป็นบ้า!

ฉันมองดูคุณแล้วรู้ว่าฉันยังรักคุณอยู่ ความรักครั้งนี้เป็นโรคเรื้อรังในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา มันนำความเจ็บปวดที่ทนไม่ไหวจนฉันโยนตัวเองไปที่คนแปลกหน้าโดยสิ้นเชิงพยายามที่จะถูกพวกเขาหลอก ทันใดนั้นพวกเขาก็อยู่ในอ้อมกอดเหล่านี้ฉันจะพบยาแก้ปวดชนิดที่ไม่มีอยู่จริงตามเจ้าของหัวใจที่เหี่ยวย่น ฉันเข้าใจว่าฉันถูกหลอก แต่ฉันก็ยังกอดต่อไป - ไม่อย่างนั้นฉันก็ฆ่าตัวตายไม่ได้ มันเจ็บ มันทรมาน มันไม่ยอมให้ฉันนอนตอนกลางคืน ฉันจึงนั่งอยู่บนขอบหน้าต่าง และ อีกนาทีหนึ่ง ฉันจะกรีดร้องสุดหัวใจจากการทรมานของภาพลวงตา ฉันควรติดต่อคุณเพื่อขอความช่วยเหลือหรือไม่? ไร้ประโยชน์. คุณรู้เกี่ยวกับความรักของฉัน แต่คุณไม่ต้องการมัน “ปากของคุณเต็มไปด้วยความรู้สึกที่ไม่ได้แสดงออก” เราอยู่ในเครือข่ายเดียวกันของการขาดความรับผิดชอบ แต่เราไม่สามารถช่วยเหลือซึ่งกันและกันได้ คุณพันมือของคุณรอบด้ายและแท่งสีขาวบางๆ แล้วมองไปที่ไหนสักแห่งที่เกินขอบเขตของความเป็นจริง โดยหวังว่าพระเจ้าจะรู้ว่าใครช่วย และมีความแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่างเรา: ความรักที่ฉันมีต่อคุณเกือบจะทำให้ฉันแทบจะล้มลงและความรักที่คุณมีต่อใครบางคนจะเติมพลังและทำให้คุณฟื้นคืนชีพด้วยความคาดหวังแม้ว่าจะเป็นการหลอกลวงก็ตาม ฉันไม่อยากมองเธออีกต่อไป ฉันผลักความเป็นไปได้ของเธอออกไปจากใจ แต่มันกลับเจ็บปวดยิ่งกว่าเดิม ดังนั้นเขาจึงผ่านความทุกข์ทรมานด้วยเสียงกระซิบและหวังว่าพระเจ้าจะรู้ว่าใครช่วย เวลา?..

ชีวิตของคุณเป็นเรื่องโกหก สื่อลามก ชีวิตประจำวัน การติดอินเทอร์เน็ต และการตกเป็นทาสของโทรศัพท์มือถือ ฉันไม่ถูกต้องเหรอ? บอกฉันหน่อยสิ คุณเคยทำอะไรที่ไม่ธรรมดาจริงๆ บ้างไหม? ไม่เคย. และคุณไม่สามารถ คุณรู้ไหมว่าทำไม? เพราะทั้งหมดนี้อยู่นอกเขตความสะดวกสบายของคุณ คุณถูกบรรจุเข้าไปในนั้น เหมือนอยู่ในถุงโพลีโพรพีลีน คุณเป็นชิ้นเนื้อที่ถูกจำกัดด้วยขอบเขตของชีวิตประจำวันและการทำงาน หรือฉันผิด? บางทีฉันอาจจะผิด? แก้ไขฉัน.
เช่น คุณสามารถให้โทรศัพท์มือถือของคุณกับคนแรกที่คุณพบได้หรือไม่? เอ? คำถามหากิน คุณสามารถฟอร์แมตสกรูบนคอมพิวเตอร์ของคุณตอนนี้ได้ไหม? โง่? คุณอึตัวเอง? คุณรู้ไหมว่าทำไมคุณไม่ทำเช่นนี้? เพราะมันเท่ากับเป็นการฆ่าตัวตาย คุณไม่สามารถอยู่ได้โดยปราศจากมัน



พระองค์ทรงมีมายี่สิบแปดปีแล้ว มีฤดูหนาวยี่สิบแปดปีด้วย

เขาเก็บความลับไว้อย่างหนึ่งและเป็นสามีที่เป็นแบบอย่างในครอบครัว
ทุกอย่างดูเป็นปกติ ภรรยาของฉันกำลังเตรียมอาหารเย็น...
แต่จู่ๆ ก็มีเรื่องเลวร้ายเกิดขึ้น เขาจำความลับนั้นได้
ด้วยเสียงและกลิ่นเปรี้ยวของซุปกะหล่ำปลีเสียงบ่นของคู่หมั้นของฉันในตอนเช้า
เขาจำทุกอย่างได้จนถึงรายละเอียดเล็กๆ น้อยๆ ราวกับว่ามันเกิดขึ้นเมื่อวานนี้...
...เธอนั่งอยู่ริมหน้าต่าง และแสงจันทร์นวลนวลอันแสนวิเศษ
วาดภาพเงาอันงดงามของเธอด้วยโทนสีซีด...
เส้นสายพาดไหล่ เลื่อนเหมือนงูไปบนหน้าอก...
และเขาคิดอย่างหุนหันพลันแล่น:“ สักวันหนึ่งฉันจะแต่งงานกับเธอ!”
เขาจำทุกอย่างได้จนถึงรายละเอียดที่เล็กที่สุด ทั้งเส้นโค้งของเส้น ความนุ่มนวลของริมฝีปาก...
และความเร่าร้อนของสุนทรพจน์อันเรียบง่ายของเธอ และต้นโอ๊กขนาดใหญ่ที่อยู่นอกหน้าต่าง
มือที่พันกัน... การรวมตัวของร่างกาย... ผมสีน้ำตาลเป็นน้ำตก...
และเขาอยากให้เธอถึงขั้นบ้าคลั่งจนน้ำตาไหล!
คำสารภาพอันสั่นสะท้านไหลออกมาว่าเขากระซิบข้างหูฉันอย่างไร!
ขดตัวตลกๆ เหนือใบหูจนสั่นระริกด้วยการหายใจ...
เธอมองเขาด้วยดวงตาที่เปียกชื้นในตอนกลางคืน
คำพูดที่ไพเราะราวกับไวน์: “ฉันรักเธอ... ขอลูกสาวให้ฉันหน่อยสิ...”
ในตอนเช้าเขาสูญเสียความสงบ เขาหงุดหงิด แล้วก็เบื่อ...
จากนั้นเขาก็เอามือปิดหน้านั่งบนเก้าอี้และเงียบไป
ภรรยาก็บ่นเช่นเคย เธอดุซุปหนี...
และเขาสังเกตเห็นว่าอายุหลายปีไม่เหมาะกับเธอเมื่อเธออายุมากขึ้น
เช่นเดียวกับสีขาวและเส้นผมที่ย้อมแล้วไม่เหมาะกับเธอ
และตลอดยี่สิบแปดปีมานี้ ทุกอย่างก็ไม่ร้ายแรง...
ทันใดนั้นเขาก็กระโดดขึ้นมาคว้าเสื้อคลุมและลืมหมวกและถุงเท้าไป
ทั้งยี่สิบแปดปีไม่เหมือนกัน... ฤดูหนาวทั้งยี่สิบแปดปีล้วนเศร้าโศก
ก็เจอบ้านหลังนั้น ที่บ้านมีต้นโอ๊ก เขาวิ่งขึ้นบันไดเหมือนลูกศร...
ฉันหวังว่าฉันจะหยุดเสียงสั่นจากริมฝีปากที่เย็นชาและความขี้ขลาดที่น่าขยะแขยงได้ - ออกไป!
เธอคงกำลังดื่มชาและคลุมตัวด้วยผ้าคลุมไหล่...
และความโศกเศร้าอันเงียบสงบไหลออกมาจากดวงตาที่สวยงามของเธอ...
หรือบางทีเธออาจจะเริ่มถักนิตติ้ง? หรืออาจจะถักลูกไม้?
มีเรื่องมากมายที่จะบอกเธอ! และสิ่งสำคัญคือการพูด - ฉันขอโทษ...
เธอเปิดประตู... มีคำถามในดวงตาของเธอ เธออายุยี่สิบปีอีกครั้ง...
ผมสีน้ำตาลเรียงเป็นชั้น... ภาพเงาที่คุ้นเคยในหัวใจ...
เหนือใบหูมีขดเล็กน้อย...เหมือนเมื่อหลายปีก่อน-เหมือนเดิมทุกประการ...
“คุณจำไม่ผิดใช่ไหม?” “ไม่ ฉันทำไม่ได้... คุณคืออันย่าใช่ไหม?” เวร่า ลูกสาวของเธอ…"
“แล้วอันย่าล่ะ?” - “แม่ไม่อยู่แล้ว... คุณเป็นใคร” เขาหันกลับมา:
“ฉันไปหาเธอมายี่สิบแปดปีแล้ว...” - เธอกำลังรอคุณอยู่... ยี่สิบห้า...
เวียนหัวขนาดไหน... ใจแทบละลาย!
และเขาจำคำพูดของเธอด้วยคำอธิษฐาน: “อย่าจากไป!”
เขาโค้งงอ เขาเดินออกไป การประสานมือ...การผสานร่างกาย...
ฉันรักเธอ... ขอลูกสาวหน่อยสิ... แต่เขาอยากได้ลูกสาวจริงๆ
แปลกแค่ไหน. ย่าไม่อยู่แล้ว... ฉันร้องไห้... ฉันโยนมันลงไปในความเงียบ: “ฉันจะรักคุณไปหลายปี...คุณคนเดียว...”

ป.ล. TAKE CARE OF LOVE - มันคือรากฐานของความสุขของคุณ...



ผู้หญิงที่ให้อภัยบ่อยมากและอดทนเป็นเวลานานมักจะจากไปอย่างไม่คาดคิดและตลอดไป!