Definice. Hranol je mnohostěn, jehož všechny vrcholy jsou umístěny ve dvou rovnoběžných rovinách a v těchto stejných dvou rovinách leží dvě plochy hranolu, což jsou stejné mnohoúhelníky s odpovídajícími rovnoběžnými stranami, a všechny hrany, které neleží v těchto rovinách, jsou rovnoběžné.

Jsou volány dvě stejné tváře hranolové základny(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Všechny ostatní plochy hranolu se nazývají boční plochy(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Všechny boční plochy tvoří boční povrch hranolu .

Všechny boční strany hranolu jsou rovnoběžníky .

Hrany, které neleží na základnách, se nazývají boční hrany hranolu ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Úhlopříčka hranolu je segment, jehož konce jsou dva vrcholy hranolu, které neleží na stejné ploše (AD 1).

Délka úsečky spojující podstavy hranolu a kolmé k oběma podstavám zároveň se nazývá výška hranolu .

Označení:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Nejprve jsou v příčném pořadí označeny vrcholy jedné základny a poté ve stejném pořadí vrcholy druhé; konce každé boční hrany jsou označeny stejnými písmeny, jsou označeny pouze vrcholy ležící v jedné základně písmeny bez indexu a ve druhém - s indexem)

Název hranolu je spojen s počtem úhlů na obrázku ležícím u jeho základny, např. na obrázku 1 je u základny pětiúhelník, takže hranol je tzv. pětiboký hranol. Ale protože takový hranol má 7 stran, pak to sedmistěn(2 strany - základny hranolu, 5 stran - rovnoběžníky, - jeho boční strany)

Mezi rovnými hranoly vyniká soukromý pohled: správné hranoly.

Přímý hranol se nazývá opravit, pokud jsou jeho základny pravidelné mnohoúhelníky.

Rovnoběžné

Obdélníkový rovnoběžnostěn- pravý rovnoběžnostěn, jehož základna je obdélník.

Vlastnosti a věty:

,

kde d je úhlopříčka čtverce;
a je strana čtverce.

Představa hranolu je dána:

• rozličný architektonických struktur;
• Dětské hračky;
• krabice na balení;
• designové předměty atd.

Plocha celkového a bočního povrchu hranolu

S plný = S strana + 2S hlavní,

Kde S plný- celková plocha, S strana- boční plocha, S základna- základní plocha

Boční plocha rovného hranolu se rovná součinu obvodu základny a výšky hranolu.

S strana= P základní * h,

Kde S strana- plocha bočního povrchu rovného hranolu,

P hlavní - obvod základny přímého hranolu,

h je výška přímého hranolu, rovna boční hraně.

Objem hranolu

Objem hranolu se rovná součinu plochy základny a výšky.

Boční povrch hranolu. Ahoj! V této publikaci budeme analyzovat skupinu problémů stereometrie. Uvažujme kombinaci těles – hranol a válec. Tento článek v tuto chvíli završuje celou sérii článků souvisejících s úvahami o typech úloh ve stereometrii.

Pokud se v bance úkolů objeví nové, pak samozřejmě v budoucnu budou na blogu přibývat. Ale to, co už je, je docela dost na to, abyste se v rámci zkoušky naučili řešit všechny problémy s krátkou odpovědí. Materiálu bude dost na roky dopředu (program matematiky je statický).

Prezentované úkoly zahrnují výpočet plochy hranolu. Podotýkám, že níže uvažujeme přímý hranol (a podle toho i přímý válec).

Aniž bychom znali nějaké vzorce, chápeme, že boční povrch hranolu jsou všechny jeho boční strany. Přímý hranol má pravoúhlé boční plochy.

Plocha bočního povrchu takového hranolu se rovná součtu ploch všech jeho bočních ploch (tj. obdélníků). Pokud mluvíme o pravidelném hranolu, do kterého je vepsán válec, pak je jasné, že všechny plochy tohoto hranolu jsou ROVNÉ obdélníky.

Formálně se může boční plocha pravidelného hranolu odrážet takto:

27064. Pravidelný čtyřboký hranol je opsán kolem válce, jehož základní poloměr a výška jsou rovné 1. Najděte boční povrch hranolu.

Boční povrch Tento hranol se skládá ze čtyř obdélníků o stejné ploše. Výška čela je 1, hrana základny hranolu je 2 (to jsou dva poloměry válce), proto je plocha bočního čela rovna:

Boční povrch:

73023. Najděte boční povrch pravidelného trojúhelníkového hranolu opsaného kolem válce, jehož základní poloměr je √0,12 a výška je 3.

Plocha boční plochy daného hranolu se rovná součtu ploch tří bočních ploch (obdélníků). Chcete-li najít oblast boční plochy, musíte znát její výšku a délku základní hrany. Výška je tři. Zjistíme délku základní hrany. Zvažte projekci (pohled shora):

Máme pravidelný trojúhelník, do kterého je vepsána kružnice o poloměru √0,12. Z pravoúhlého trojúhelníku AOC najdeme AC. A pak AD (AD=2AC). Podle definice tečny:

To znamená AD = 2AC = 1,2, plocha bočního povrchu je tedy rovna:

27066. Najděte plochu bočního povrchu pravidelného šestibokého hranolu opsaného kolem válce, jehož základní poloměr je √75 a výška je 1.

Požadovaná plocha se rovná součtu ploch všech bočních ploch. Pravidelný šestiboký hranol má boční plochy, které jsou stejné obdélníky.

Chcete-li najít oblast obličeje, musíte znát jeho výšku a délku základní hrany. Výška je známá, rovná se 1.

Zjistíme délku základní hrany. Zvažte projekci (pohled shora):

My máme pravidelný šestiúhelník, do kterého je vepsána kružnice o poloměru √75.

Uvažujme pravoúhlý trojúhelník ABO. Známe nohu OB (to je poloměr válce). Můžeme také určit úhel AOB, je roven 300 (trojúhelník AOC je rovnostranný, OB je osa).

Použijme definici tečny v pravoúhlém trojúhelníku:

AC = 2AB, protože OB je medián, to znamená, že dělí AC na polovinu, což znamená AC = 10.

Plocha boční plochy je tedy 1∙10=10 a plocha boční plochy je:

76485. Najděte boční povrch pravidelného trojúhelníkového hranolu vepsaného do válce, jehož základní poloměr je 8√3 a výška je 6.

Plocha boční plochy určeného hranolu tří stejně velkých ploch (obdélníků). Pro zjištění plochy je potřeba znát délku hrany podstavy hranolu (známe výšku). Uvažujeme-li projekci (půdorys), máme pravidelný trojúhelník vepsaný do kruhu. Strana tohoto trojúhelníku je vyjádřena poloměrem jako:

Podrobnosti tohoto vztahu. Takže se to bude rovnat

Potom je plocha boční plochy: 24∙6=144. A požadovaná oblast:

245354. Pravidelný čtyřboký hranol je ohraničen kolem válce, jehož základní poloměr je 2. Boční povrch hranolu je 48. Najděte výšku válce.

Různé hranoly se od sebe liší. Přitom mají hodně společného. Chcete-li najít oblast základny hranolu, musíte pochopit, jaký typ má.

Obecná teorie

Hranol je jakýkoli mnohostěn, jehož strany mají tvar rovnoběžníku. Navíc jeho základnou může být jakýkoli mnohostěn - od trojúhelníku po n-úhelník. Navíc jsou základny hranolu vždy stejné. Co neplatí pro boční plochy je, že se mohou výrazně lišit ve velikosti.

Při řešení problémů se setkáváme nejen s oblastí základny hranolu. Může vyžadovat znalost bočního povrchu, to znamená všech ploch, které nejsou základny. Úplný povrch bude spojením všech ploch, které tvoří hranol.

Někdy se problémy týkají výšky. Je kolmá k základnám. Úhlopříčka mnohostěnu je segment, který v párech spojuje libovolné dva vrcholy, které nepatří do stejné plochy.

Je třeba poznamenat, že základní plocha přímého nebo šikmého hranolu nezávisí na úhlu mezi nimi a bočními plochami. Pokud mají stejné postavy na horní a spodní straně, budou jejich plochy stejné.

Trojúhelníkový hranol

Ve své základně má postavu se třemi vrcholy, tedy trojúhelník. Jak víte, může to být jinak. Pokud ano, stačí si pamatovat, že jeho plocha je určena polovičním součinem nohou.

Matematický zápis vypadá takto: S = ½ prům.

Chcete-li zjistit oblast základny v obecný pohled, budou se hodit vzorce: Volavka a ten, ve kterém se polovina strany vezme do výšky k ní nakreslené.

První vzorec by měl být napsán takto: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Tento zápis obsahuje semi-obvod (p), tedy součet tří stran dělený dvěma.

Za druhé: S = ½ n a * a.

Pokud chcete zjistit plochu základny trojúhelníkového hranolu, která je pravidelná, pak se trojúhelník ukáže jako rovnostranný. Existuje na to vzorec: S = ¼ a 2 * √3.

Čtyřboký hranol

Jeho základna je některý ze známých čtyřúhelníků. Může to být obdélník nebo čtverec, rovnoběžnostěn nebo kosočtverec. V každém případě, abyste mohli vypočítat plochu základny hranolu, budete potřebovat svůj vlastní vzorec.

Je-li základnou obdélník, pak se jeho obsah určí takto: S = ab, kde a, b jsou strany obdélníku.

Pokud jde o čtyřúhelníkový hranol, plocha základny pravidelného hranolu se vypočítá pomocí vzorce pro čtverec. Protože je to on, kdo leží v základu. S = a 2.

V případě, že základna je rovnoběžnostěn, bude zapotřebí následující rovnost: S = a * n a. Stává se, že je dána strana rovnoběžnostěnu a jeden z úhlů. Potom pro výpočet výšky budete muset použít další vzorec: n a = b * sin A. Navíc úhel A sousedí se stranou „b“ a výška n je protilehlá k tomuto úhlu.

Pokud je na základně hranolu kosočtverec, pak k určení jeho plochy budete potřebovat stejný vzorec jako pro rovnoběžník (protože jde o jeho speciální případ). Ale můžete také použít toto: S = ½ d 1 d 2. Zde d 1 a d 2 jsou dvě úhlopříčky kosočtverce.

Pravidelný pětiboký hranol

V tomto případě jde o rozdělení mnohoúhelníku na trojúhelníky, jejichž oblasti lze snadněji zjistit. I když se stává, že obrazce mohou mít různý počet vrcholů.

Protože základnou hranolu je pravidelný pětiúhelník, lze jej rozdělit na pět rovnostranných trojúhelníků. Pak se plocha základny hranolu rovná ploše jednoho takového trojúhelníku (vzorec je vidět výše), vynásobené pěti.

Pravidelný šestihranný hranol

Podle principu popsaného pro pětiboký hranol je možné rozdělit šestiúhelník podstavy na 6 rovnostranných trojúhelníků. Vzorec pro základní plochu takového hranolu je podobný předchozímu. Pouze by se měl vynásobit šesti.

Vzorec bude vypadat takto: S = 3/2 a 2 * √3.

Úkoly

č. 1. Je-li daná pravidelná přímka, její úhlopříčka je 22 cm, výška mnohostěnu je 14 cm Vypočítejte plochu základny hranolu a celého povrchu.

Řešení. Základna hranolu je čtverec, ale jeho strana není známa. Jeho hodnotu zjistíte z úhlopříčky čtverce (x), která souvisí s úhlopříčkou hranolu (d) a jeho výškou (h). x2 = d2 - n2. Na druhou stranu, tento segment „x“ je přepona v trojúhelníku, jehož nohy se rovnají straně čtverce. To znamená, že x 2 = a 2 + a 2. Ukazuje se tedy, že a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Nahraďte číslo 22 místo d a nahraďte „n“ jeho hodnotou - 14, ukáže se, že strana čtverce je 12 cm Nyní zjistěte plochu základny: 12 * 12 = 144 cm 2.

Chcete-li zjistit plochu celého povrchu, musíte přidat dvojnásobek základní plochy a zčtyřnásobit boční plochu. Ten lze snadno najít pomocí vzorce pro obdélník: vynásobte výšku mnohostěnu a stranu základny. To znamená, že 14 a 12, toto číslo se bude rovnat 168 cm2. Celková plocha hranolu je 960 cm2.

Odpovědět. Plocha základny hranolu je 144 cm2. Celková plocha je 960 cm2.

č. 2. Dáno Na základně je trojúhelník o straně 6 cm V tomto případě je úhlopříčka boční plochy 10 cm Vypočítejte plochy: základna a boční plocha.

Řešení. Protože je hranol pravidelný, jeho základna je rovnostranný trojúhelník. Jeho plocha se tedy rovná 6 na druhou, vynásobené ¼ a druhou odmocninou ze 3. Jednoduchý výpočet vede k výsledku: 9√3 cm2. Toto je oblast jedné základny hranolu.

Všechny boční plochy jsou stejné a jsou to obdélníky se stranami 6 a 10 cm, abyste vypočítali jejich plochy, vynásobte tato čísla. Pak je vynásobte třemi, protože hranol má přesně tolik bočních ploch. Pak se plocha bočního povrchu rány ukáže jako 180 cm 2.

Odpovědět. Plochy: základna - 9√3 cm 2, boční plocha hranolu - 180 cm 2.

V prostorové geometrii při řešení problémů s hranoly často nastává problém s výpočtem plochy stran nebo ploch, které tvoří tyto objemové obrazce. Tento článek je věnován problematice stanovení plochy základny hranolu a jeho bočního povrchu.

Hranolová postava

Než přejdeme k zvažování vzorců pro základní plochu a povrch hranolu toho či onoho typu, měli byste pochopit, o jakém typu obrázku mluvíme.

Hranol v geometrii je prostorový útvar sestávající ze dvou rovnoběžných mnohoúhelníků, které jsou si navzájem rovné, a několika čtyřúhelníků nebo rovnoběžníků. Počet posledně jmenovaných je vždy roven počtu vrcholů jednoho polygonu. Pokud je například obrazec tvořen dvěma rovnoběžnými n-úhelníky, pak bude počet rovnoběžníků n.

Rovnoběžníky spojující n-úhelníky se nazývají boční strany hranolu a jejich celková plocha je plocha bočního povrchu obrázku. Samotné n-úhelníky se nazývají báze.

Výše uvedený obrázek ukazuje příklad hranolu vyrobeného z papíru. Žlutý obdélník je jeho horní základna. Figurka stojí na druhé podobné základně. Červené a zelené obdélníky jsou boční plochy.

Jaké typy hranolů existují?

Existuje několik typů hranolů. Všechny se od sebe liší pouze ve dvou parametrech:

• typ n-úhelníku tvořícího základnu;
• úhel mezi n-úhelníkem a bočními plochami.

Pokud jsou například základny trojúhelníky, pak se hranol nazývá trojúhelníkový, pokud je čtyřúhelníkový, jako na předchozím obrázku, pak se obrazec nazývá čtyřúhelníkový hranol a tak dále. Navíc n-úhelník může být konvexní nebo konkávní, pak se tato vlastnost přidává i do názvu hranolu.

Úhel mezi bočními plochami a základnou může být buď přímý, ostrý nebo tupý. V prvním případě mluví o pravoúhlém hranolu, ve druhém - o šikmém nebo šikmém.

Pravidelné hranoly jsou klasifikovány jako zvláštní typ figurek. Mezi ostatními hranoly mají nejvyšší symetrii. Pravidelný bude pouze tehdy, bude-li obdélníkový a jeho základna je pravidelný n-úhelník. Obrázek níže ukazuje sadu pravidelných hranolů, ve kterých se počet stran n-úhelníku mění od tří do osmi.

Povrch hranolu

Plocha uvažovaného obrazce libovolného typu je chápána jako soubor všech bodů, které patří k plochám hranolu. Je vhodné studovat povrch hranolu zkoumáním jeho vývoje. Níže je uveden příklad takového vývoje pro trojúhelníkový hranol.

Je vidět, že celou plochu tvoří dva trojúhelníky a tři obdélníky.

V případě obecného hranolu se jeho povrch bude skládat ze dvou n-gonálních základen a n čtyřúhelníků.

Podívejme se blíže na problém výpočtu plochy povrchu hranolů odlišné typy.

Základní plocha pravidelného hranolu

Snad nejjednodušším problémem při práci s hranoly je problém najít základní plochu správná postava. Protože je tvořen n-úhelníkem, jehož úhly a délky stran jsou všechny stejné, lze jej vždy rozdělit na shodné trojúhelníky, jejichž úhly a strany jsou známé. Celková plocha trojúhelníků bude plocha n-úhelníku.

Dalším způsobem, jak určit část plochy povrchu hranolu (základny), je použít dobře známý vzorec. Vypadá to takto:

Sn = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

To znamená, že plocha S n n-úhelníku je jednoznačně určena na základě znalosti délky jeho strany a. Určitým problémem při výpočtu pomocí vzorce může být výpočet kotangens, zvláště když n>4 (pro n≤4 jsou hodnoty kotangens tabulkové údaje). K určení této goniometrické funkce se doporučuje použít kalkulačku.

Při kladení geometrického problému byste měli být opatrní, protože možná budete muset najít oblast základny hranolu. Potom by se hodnota získaná ze vzorce měla vynásobit dvěma.

Základní plocha trojúhelníkového hranolu

Na příkladu trojúhelníkového hranolu se podívejme, jak můžete najít oblast základny tohoto obrázku.

Uvažujme nejprve jednoduchý případ – pravidelný hranol. Plocha základny se vypočítá pomocí vzorce uvedeného v odstavci výše, musíte do ní dosadit n=3. Dostaneme:

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

Zbývá dosadit konkrétní hodnoty délky strany a rovnostranného trojúhelníku do výrazu, abychom získali plochu jedné základny.

Nyní předpokládejme, že existuje hranol, jehož základna je libovolný trojúhelník. Jeho dvě strany a a b a úhel mezi nimi α jsou známé. Tento obrázek je uveden níže.

Jak v tomto případě najít oblast základny trojúhelníkového hranolu? Je třeba si uvědomit, že plocha jakéhokoli trojúhelníku se rovná polovině součinu strany a výšce snížené na tuto stranu. Na obrázku je výška h nakreslena na stranu b. Délka h odpovídá součinu sinusového úhlu alfa a délky strany a. Pak je plocha celého trojúhelníku:

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

Toto je základní plocha zobrazeného trojúhelníkového hranolu.

Boční povrch

Podívali jsme se, jak najít oblast základny hranolu. Boční plocha tohoto obrázku se vždy skládá z rovnoběžníků. U přímých hranolů se rovnoběžníky stanou obdélníky, takže jejich celkovou plochu lze snadno vypočítat:

S = ∑ i=1 n (a i *b)

Zde b je délka boční hrany, a i je délka strany i-tého obdélníku, která se shoduje s délkou strany n-úhelníku. V případě pravidelného n-gonálního hranolu získáme jednoduchý výraz:

Pokud je hranol nakloněný, pak pro určení plochy jeho bočního povrchu je třeba provést kolmý řez, vypočítat jeho obvod P sr a vynásobit jej délkou boční hrany.

Obrázek výše ukazuje, jak by měl být tento řez proveden pro nakloněný pětiboký hranol.