Určitý integrál. Jak vypočítat plochu obrázku

Přejděme k aplikacím integrálního počtu. V této lekci analyzujeme typický a nejběžnější úkol - jak použít určitý integrál k výpočtu plochy rovinného obrazce. Konečně ti, kteří hledají smysl ve vyšší matematice – ať ho najdou. Nikdy nevíš. Budeme si to muset v životě přiblížit venkovská chatová oblast elementární funkce a najít její obsah pomocí určitého integrálu.

Pro úspěšné zvládnutí materiálu musíte:

1) Porozumět neurčitému integrálu alespoň na středně pokročilé úrovni. Takže figuríny by si měly lekci nejprve přečíst Ne.

2) Umět použít Newton-Leibnizův vzorec a vypočítat určitý integrál. Nastavte teplo přátelské vztahy s určitými integrály naleznete na stránce Určitý integrál. Příklady řešení.

Ve skutečnosti, abyste našli oblast obrazce, nepotřebujete tolik znalostí o neurčitém a určitém integrálu. Úloha „vypočítat plochu pomocí určitého integrálu“ vždy zahrnuje vytvoření výkresu, mnohem víc aktuální problém budou vaše znalosti a dovednosti v kreslení. V tomto ohledu je užitečné osvěžit si paměť grafů základních elementárních funkcí a minimálně umět sestrojit přímku, parabolu a hyperbolu. To lze provést (pro mnohé je to nutné) pomocí metodický materiál a články o geometrických transformacích grafů.

S úkolem najít oblast pomocí určitého integrálu je vlastně každý obeznámen už od školy a my nepůjdeme o moc dál než do školních osnov. Tento článek by možná vůbec neexistoval, ale faktem je, že problém nastává v 99 případech ze 100, kdy student trpí nenáviděnou školou a s nadšením zvládá kurz vyšší matematiky.

Materiály tohoto workshopu jsou prezentovány jednoduše, podrobně as minimem teorie.

Začněme zakřiveným lichoběžníkem.

Křivočarý lichoběžník je plochý obrazec ohraničený osou, přímkami a grafem funkce spojité na intervalu, který na tomto intervalu nemění znaménko. Nechte toto číslo lokalizovat ne méně osa x:

Pak plocha křivočarého lichoběžníku se číselně rovná určitému integrálu. Jakýkoli určitý integrál (který existuje) má velmi dobrý geometrický význam. Na lekci Určitý integrál. Příklady řešeníŘekl jsem, že určitý integrál je číslo. A nyní je čas uvést ještě jednu užitečný fakt. Z hlediska geometrie je určitým integrálem PLOCHA.

to znamená, určitý integrál (pokud existuje) geometricky odpovídá ploše určitého obrazce. Uvažujme například určitý integrál. Integrand definuje křivku v rovině umístěné nad osou (kdo si přeje, může kreslit) a samotný určitý integrál je číselně roven ploše odpovídajícího křivočarého lichoběžníku.

Příklad 1

Toto je typický příkaz k zadání. První a nejdůležitější momentřešení - kreslení. Kromě toho musí být výkres vytvořen ŽE JO.

Při konstrukci výkresu doporučuji následující pořadí: nejprve je lepší konstruovat všechny přímky (pokud existují) a pouze Pak– paraboly, hyperboly, grafy dalších funkcí. Výhodnější je vytvářet grafy funkcí bod po bodu, techniku výstavby bod po bodu lze nalézt v referenčním materiálu Grafy a vlastnosti elementárních funkcí. Tam také můžete najít velmi užitečný materiál pro naši lekci - jak rychle postavit parabolu.

V tomto problému může řešení vypadat takto.
Nakreslíme výkres (všimněte si, že rovnice definuje osu):

Nebudu stínit zakřivený lichoběžník, zde je zřejmé, o jaké oblasti mluvíme. Řešení pokračuje takto:

Na segmentu je umístěn graf funkce nad osou, Proto:

Odpovědět:

Kdo má potíže s výpočtem určitého integrálu a aplikací Newton-Leibnizova vzorce , viz přednáška Určitý integrál. Příklady řešení.

Po dokončení úkolu je vždy užitečné podívat se na nákres a zjistit, zda je odpověď skutečná. V tomto případě počítáme počet buněk ve výkresu „okem“ - no, bude jich asi 9, zdá se, že je to pravda. Je zcela jasné, že pokud bychom dostali řekněme odpověď: 20 čtvercové jednotky, pak je evidentní, že se někde stala chyba - 20 buněk se do dotyčného čísla zjevně nevejde, maximálně tucet. Pokud je odpověď záporná, pak byl úkol také vyřešen nesprávně.

Příklad 2

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami, a osou

Toto je příklad pro nezávislé rozhodnutí. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Co dělat, když se nachází zakřivený lichoběžník pod nápravou?

Příklad 3

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami a souřadnicovými osami.

Řešení: Uděláme kresbu:

Pokud je umístěn zakřivený lichoběžník pod nápravou(nebo alespoň ne vyšší daná osa), pak lze její plochu najít pomocí vzorce:
V tomto případě:

Pozornost! Tyto dva typy úkolů by se neměly zaměňovat:

1) Pokud budete požádáni, abyste jednoduše vyřešili určitý integrál bez jakéhokoli geometrického významu, pak může být záporný.

2) Pokud budete požádáni, abyste našli plochu obrazce pomocí určitého integrálu, pak je plocha vždy kladná! Proto se v právě diskutovaném vzorci objevuje mínus.

V praxi se nejčastěji figura nachází v horní i dolní polorovině, a proto od nejjednodušších školních úloh přecházíme k smysluplnějším příkladům.

Příklad 4

Najděte plochu rovinné postavy ohraničenou čarami , .

Řešení: Nejprve musíte dokončit výkres. Obecně řečeno, při konstrukci výkresu v plošných úlohách nás nejvíce zajímají průsečíky čar. Najdeme průsečíky paraboly a přímky. To lze provést dvěma způsoby. První metoda je analytická. Řešíme rovnici:

To znamená, že spodní hranice integrace je , horní hranice integrace je .
Pokud je to možné, je lepší tuto metodu nepoužívat..

Mnohem výnosnější a rychlejší je konstruovat čáry bod po bodu a hranice integrace se vyjasní „samo od sebe“. Technika konstrukce bod po bodu pro různé grafy je podrobně popsána v nápovědě Grafy a vlastnosti elementárních funkcí. Analytická metoda hledání limit se však stále někdy musí použít, pokud je například graf dostatečně velký nebo detailní konstrukce neodhalila limity integrace (mohou být zlomkové nebo iracionální). A budeme také uvažovat o takovém příkladu.

Vraťme se k našemu úkolu: racionálnější je nejprve sestrojit přímku a teprve potom parabolu. Udělejme nákres:

Opakuji, že při bodové konstrukci se hranice integrace nejčastěji zjišťují „automaticky“.

A nyní pracovní vzorec: Pokud je na segmentu nějaká spojitá funkce větší nebo rovno nějakou spojitou funkci , pak oblast obrázku ohraničenou grafy těchto funkcí a čarami , lze najít pomocí vzorce:

Zde již nemusíte přemýšlet o tom, kde se postava nachází - nad osou nebo pod osou, a zhruba řečeno, záleží, který graf je VYŠŠÍ(ve vztahu k jinému grafu), a který je NÍŽE.

V uvažovaném příkladu je zřejmé, že na segmentu se parabola nachází nad přímkou, a proto je nutné odečíst od

Hotové řešení může vypadat takto:

Požadovaná hodnota je omezena parabolou nahoře a přímkou dole.
Na segmentu podle odpovídajícího vzorce:

Odpovědět:

Školní vzorec pro oblast křivočarého lichoběžníku ve spodní polorovině (viz jednoduchý příklad č. 3) je ve skutečnosti speciálním případem vzorce . Protože osa je určena rovnicí a graf funkce je umístěn ne vyšší osy tedy

A nyní pár příkladů pro vlastní řešení

Příklad 5

Příklad 6

Najděte oblast obrázku ohraničenou čarami , .

Při řešení úloh týkajících se výpočtu plochy pomocí určitého integrálu se občas stane vtipná příhoda. Kresba byla provedena správně, výpočty byly správné, ale kvůli neopatrnosti... byla nalezena oblast nesprávného obrázku, přesně takhle to tvůj skromný sluha několikrát podělal. Tady skutečný případ ze života:

Příklad 7

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , , , .

Řešení: Nejprve si uděláme kresbu:

...Eh, kresba vypadla, ale vše se zdá být čitelné.

Postava, jejíž oblast potřebujeme najít, je vystínována modře(podívejte se pozorně na stav - jak je počet omezen!). Ale v praxi se kvůli nepozornosti často objeví „závada“, že musíte najít oblast obrázku, která je zastíněna zelená!

Tento příklad je také užitečný v tom, že počítá plochu obrazce pomocí dvou určitých integrálů. Opravdu:

1) Na segmentu nad osou je graf přímky;

2) Na segmentu nad osou je graf hyperboly.

Je zcela zřejmé, že oblasti mohou (a měly by být) přidány, proto:

Odpovědět:

Přejděme k dalšímu smysluplnému úkolu.

Příklad 8

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami,
Představme rovnice ve „školní“ podobě a nakreslime bod po bodu:

Z nákresu je zřejmé, že naše horní hranice je „dobrá“: .
Ale jaká je spodní hranice?! Je jasné, že to není celé číslo, ale co to je? Možná ? Ale kde je záruka, že je kresba provedena s dokonalou přesností, může se klidně ukázat, že... Nebo kořen. Co když jsme graf sestavili špatně?

V takových případech musíte utrácet Čas navíc a analyticky objasnit limity integrace.

Najdeme průsečíky přímky a paraboly.
Za tímto účelem vyřešíme rovnici:

,

Opravdu, .

Další řešení je triviální, hlavní je nenechat se zmást v substitucích a znaménkách, výpočty zde nejsou nejjednodušší.

Na segmentu , podle odpovídajícího vzorce:

Odpovědět:

Na závěr lekce se podívejme na dva obtížnější úkoly.

Příklad 9

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , ,

Řešení: Znázorněme tuto postavu na výkresu.

Sakra, zapomněl jsem podepsat rozvrh a promiň, nechtěl jsem ten obrázek předělat. Není den kreslení, zkrátka dnes je ten den =)

Pro stavbu bod po bodu musíte vědět vzhled sinusoidy (a obecně užitečné vědět grafy všech elementárních funkcí), stejně jako některé sinusové hodnoty, lze je nalézt v trigonometrická tabulka. V některých případech (jako v tomto případě) je možné sestrojit schematický výkres, na kterém by měly být grafy a limity integrace zásadně správně zobrazeny.

S limity integrace zde nejsou žádné problémy, vyplývají přímo z podmínky: „x“ se mění z nuly na „pi“. Udělejme další rozhodnutí:

Na segmentu je graf funkce umístěn nad osou, proto:

Příklad1 . Vypočítejte plochu obrazce ohraničenou úsečkami: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 a x = 2

Sestrojme obrazec (viz obrázek) Sestrojíme přímku x + 2y – 4 = 0 pomocí dvou bodů A(4;0) a B(0;2). Vyjádřením y až x dostaneme y = -0,5x + 2. Pomocí vzorce (1), kde f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, zjistíme

S = = [-0,25=11,25 sq. Jednotky

Příklad 2 Vypočítejte plochu obrazce ohraničenou úsečkami: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 a y = 0.

Řešení. Zkonstruujeme postavu.

Sestrojme přímku x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Sestrojme přímku x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Pojďme najít průsečík přímek řešením soustavy rovnic:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Pro výpočet požadované plochy rozdělíme trojúhelník AMC na dva trojúhelníky AMN a NMC, protože když se x změní z A na N, je plocha omezena přímkou a když se x změní z N na C - přímkou

Pro trojúhelník AMN máme: ; y = 0,5x + 2, tj. f(x) = 0,5x + 2, a = -4, b = 2.

Pro trojúhelník NMC platí: y = - x + 5, tj. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Výpočtem plochy každého trojúhelníku a sečtením výsledků zjistíme:

sq Jednotky

9 + 4, 5 = 13,5 čtverečních. Jednotky Kontrola: = 0,5 AC = 0,5 čtverečních. Jednotky

Příklad 3 Vypočítejte obsah obrázku ohraničeného čarami: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

V tomto případě musíte vypočítat plochu zakřiveného lichoběžníku ohraničeného parabolou y = x 2 , přímky x = 2 a x = 3 a osa Ox (viz obrázek) Pomocí vzorce (1) najdeme plochu křivočarého lichoběžníku

= = 6 čtverečních Jednotky

Příklad 4. Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami: y = - x 2 + 4 a y = 0

Zkonstruujeme postavu. Požadovaná plocha je uzavřena mezi parabolou y = - x 2 + 4 a osa Ox.

Najdeme průsečíky paraboly s osou Ox. Za předpokladu, že y = 0, najdeme x = Protože tento údaj je symetrický kolem osy Oy, vypočítáme plochu obrázku umístěného napravo od osy Oy a zdvojnásobíme získaný výsledek: = +4x]sq. Jednotky 2 = 2 čtvereční Jednotky

Příklad 5. Vypočítejte plochu obrazce ohraničenou čarami: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Zde musíte vypočítat plochu křivočarého lichoběžníku ohraničeného horní větví paraboly 2 = x, osa Ox a přímky x = 1 a x = 4 (viz obrázek)

Podle vzorce (1), kde f(x) = a = 1 a b = 4, máme = (= čtverečních jednotek.

Příklad 6 . Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Potřebná plocha je omezena půlvlnou sinusoidy a osou Ox (viz obrázek).

Máme - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 čtvereční. Jednotky

Příklad 7. Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami: y = - 6x, y = 0 a x = 4.

Obrázek je umístěn pod osou Ox (viz obrázek).

Proto zjistíme jeho plochu pomocí vzorce (3)

= =

Příklad 8. Vypočítejte plochu obrazce ohraničenou úsečkami: y = a x = 2. Sestrojte z bodů křivku y = (viz obrázek). Najdeme tedy plochu obrázku pomocí vzorce (4)

Příklad 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Zde je třeba vypočítat plochu ohraničenou kružnicí x 2 + y 2 = r 2 , tj. oblast kruhu o poloměru r se středem v počátku. Pojďme najít čtvrtou část této oblasti tak, že vezmeme hranice integrace od 0

před; my máme: 1 = = [

Proto, 1 =

Příklad 10. Vypočítejte obsah obrazce ohraničeného čarami: y= x 2 a y = 2x

Toto číslo je omezeno parabolou y = x 2 a přímka y = 2x (viz obrázek) Pro určení průsečíků daných přímek řešíme soustavu rovnic: x 2 – 2x = 0 x = 0 a x = 2

Pomocí vzorce (5) k nalezení oblasti získáme

= graf funkce y=x2+2 nachází se nad osou Vůl , Proto:

Odpovědět: S = 9 čtverečních jednotek

Po dokončení úkolu je vždy užitečné podívat se na nákres a zjistit, zda je odpověď skutečná. V tomto případě „okem“ počítáme počet buněk na výkresu - no, bude jich asi 9, zdá se, že je to pravda. Je naprosto jasné, že pokud jsme dostali řekněme odpověď: 20 čtverečních jednotek, tak je zřejmé, že se někde stala chyba - 20 buněk se evidentně do dotyčného čísla nevejde, maximálně tucet. Pokud je odpověď záporná, pak byl úkol také vyřešen nesprávně.

Co dělat, když se nachází zakřivený lichoběžník pod nápravou Ach?

b) Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami y=-e x , x=1 a souřadnicové osy.

Řešení.

Udělejme nákres.

Pokud zakřivený lichoběžník zcela umístěn pod osou Ach , pak jeho oblast lze najít pomocí vzorce:

Odpovědět: S=(e-1) jednotek čtverečních" 1,72 jednotek čtverečních

Pozornost! Tyto dva typy úkolů by se neměly zaměňovat:

1) Pokud budete požádáni, abyste jednoduše vyřešili určitý integrál bez jakéhokoli geometrického významu, pak může být záporný.

2) Pokud budete požádáni, abyste našli plochu obrazce pomocí určitého integrálu, pak je plocha vždy kladná! Proto se v právě diskutovaném vzorci objevuje mínus.

V praxi se nejčastěji postava nachází jak v horní, tak v dolní polorovině.

S) Najděte plochu rovinné postavy ohraničenou čarami y=2x-x2, y=-x.

Řešení.

Nejprve musíte dokončit výkres. Obecně řečeno, při konstrukci výkresu v plošných úlohách nás nejvíce zajímají průsečíky čar. Pojďme najít průsečíky paraboly a rovný To lze provést dvěma způsoby. První metoda je analytická.

Řešíme rovnici:

To znamená, že spodní hranice integrace a=0 , horní hranice integrace b=3 .

Postavíme dané úsečky: 1. Parabola - vrchol v bodě (1;1); průsečík os Ach - body (0;0) a (0;2). 2. Přímka - os 2. a 4. souřadnicového úhlu. A teď Pozor! Pokud na segmentu [ a;b] nějakou spojitou funkci f(x) větší nebo rovno nějaké spojité funkci g(x), pak lze oblast odpovídajícího obrázku najít pomocí vzorce: .

A nezáleží na tom, kde se obrázek nachází - nad osou nebo pod osou, ale důležité je, který graf je VYŠŠÍ (vzhledem k jinému grafu) a který je POD. V uvažovaném příkladu je zřejmé, že na segmentu se parabola nachází nad přímkou, a proto je nutné odečíst od

Můžete konstruovat čáry bod po bodu a hranice integrace se vyjasní „samo od sebe“. Analytická metoda hledání limit se však stále někdy musí použít, pokud je například graf dostatečně velký nebo detailní konstrukce neodhalila limity integrace (mohou být zlomkové nebo iracionální).

Požadovaná hodnota je omezena parabolou nahoře a přímkou dole.

Na segmentu , podle odpovídajícího vzorce:

Odpovědět: S = 4,5 čtverečních jednotek

Problém 1(o výpočtu plochy zakřiveného lichoběžníku).

V kartézském pravoúhlém souřadnicovém systému xOy je dán údaj (viz obrázek) ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a křivočarým lichoběžníkem. Je nutné vypočítat plochu křivočarého lichoběžník.
Řešení. Geometrie nám dává recepty na výpočet ploch mnohoúhelníků a některých částí kruhu (sektoru, segmentu). Pomocí geometrických úvah můžeme najít pouze přibližnou hodnotu požadované plochy, přičemž uvažujme následovně.

Rozdělme segment [a; b] (základna zakřiveného lichoběžníku) na n stejných dílů; toto rozdělení se provádí pomocí bodů x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Těmito body narýsujme přímky rovnoběžné s osou y. Potom bude daný křivočarý lichoběžník rozdělen na n částí, na n úzkých sloupků. Plocha celého lichoběžníku se rovná součtu ploch sloupců.

Uvažujme samostatně k-tý sloupec, tzn. zakřivený lichoběžník, jehož základnou je segment. Nahradíme jej obdélníkem se stejnou základnou a výškou rovnou f(x k) (viz obrázek). Plocha obdélníku se rovná $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, kde $\Delta x_k $ je délka segmentu; Je přirozené považovat výsledný produkt za přibližnou hodnotu plochy k-tého sloupce.

Pokud nyní uděláme totéž se všemi ostatními sloupci, dojdeme k následujícímu výsledku: plocha S daného křivočarého lichoběžníku se přibližně rovná ploše S n stupňovitého obrazce složeného z n obdélníků (viz obrázek):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \tečky + f(x_k)\Delta x_k + \tečky + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Zde z důvodu jednotnosti zápisu předpokládáme, že a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - délka segmentu, $\Delta x_1 $ - délka segmentu atd.; v tomto případě, jak jsme se shodli výše, $\Delta x_0 = \tečky = \Delta x_(n-1) $

Takže, $S \approx S_n $, a tato přibližná rovnost je přesnější, čím větší n.
Podle definice se má za to, že požadovaná plocha křivočarého lichoběžníku se rovná limitu sekvence (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problém 2(o posunutí bodu)
Hmotný bod se pohybuje po přímce. Závislost rychlosti na čase vyjadřuje vzorec v = v(t). Najděte pohyb bodu za určitý časový úsek [a; b].
Řešení. Pokud by byl pohyb rovnoměrný, pak by se problém vyřešil velmi jednoduše: s = vt, tzn. s = v(b-a). Pro nerovnoměrný pohyb musíte použít stejné nápady, na kterých bylo založeno řešení předchozího problému.
1) Vydělte časový interval [a; b] na n stejných dílů.
2) Uvažujme časový úsek a předpokládejme, že během tohoto časového úseku byla rychlost konstantní, stejná jako v čase t k. Předpokládáme tedy, že v = v(t k).
3) Najděte přibližnou hodnotu pohybu bodu za určité časové období; tuto přibližnou hodnotu označíme jako s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Najděte přibližnou hodnotu posunutí s:
$s \cca S_n $ kde
$S_n = s_0 + \tečky + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \tečky + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Požadované posunutí se rovná limitě posloupnosti (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Pojďme si to shrnout. Řešení různé úkoly zredukováno na stejný matematický model. Mnoho problémů z různých oblastí vědy a techniky vede v procesu řešení ke stejnému modelu. Takže tohle matematický model je třeba speciálně studovat.

Pojem určitého integrálu

Uveďme matematický popis modelu, který byl sestaven ve třech uvažovaných úlohách pro funkci y = f(x), spojitý (ne však nutně nezáporný, jak se v uvažovaných úlohách předpokládalo) na intervalu [a; b]:
1) rozdělte segment [a; b] na n stejných dílů;
2) vytvořte součet $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) vypočítejte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

vím matematická analýza bylo prokázáno, že tato limita existuje v případě spojité (nebo po částech spojité) funkce. Je nazýván určitý integrál funkce y = f(x) přes segment [a; b] a označeny takto:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Čísla a a b se nazývají limity integrace (dolní a horní).

Vraťme se k výše probíraným úkolům. Definici oblasti uvedenou v problému 1 lze nyní přepsat takto:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
zde S je oblast křivočarého lichoběžníku znázorněného na obrázku výše. Tohle je geometrický význam určitého integrálu.

Definici posunutí s bodu pohybujícího se v přímce rychlostí v = v(t) za časové období od t = a do t = b, uvedenou v úloze 2, lze přepsat následovně:

Newtonův-Leibnizův vzorec

Nejprve si odpovězme na otázku: jaká je souvislost mezi určitým integrálem a primitivní funkcí?

Odpověď najdeme v úloze 2. Na jedné straně posunutí s bodu pohybujícího se přímočaře rychlostí v = v(t) za časové období od t = a do t = b se vypočítá jako vzorec
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Na druhou stranu, souřadnice pohybujícího se bodu je primitivní pro rychlost - označme ji s(t); To znamená, že posunutí s je vyjádřeno vzorcem s = s(b) - s(a). V důsledku toho dostaneme:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
kde s(t) je primitivní derivát v(t).

Následující věta byla prokázána v průběhu matematické analýzy.
Teorém. Je-li funkce y = f(x) spojitá na intervalu [a; b], pak je vzorec platný
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
kde F(x) je primitivní funkce f(x).

Daný vzorec se obvykle nazývá Newtonův-Leibnizův vzorec na počest anglického fyzika Isaaca Newtona (1643-1727) a německého filozofa Gottfrieda Leibnize (1646-1716), kteří jej obdrželi nezávisle na sobě a téměř současně.

V praxi místo psaní F(b) - F(a) používají zápis $\left. F(x)\right|_a^b $ (někdy je tzv. dvojitá substituce) a podle toho přepište Newtonův-Leibnizův vzorec do tohoto tvaru:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

Při výpočtu určitého integrálu nejprve najděte primitivní derivaci a poté proveďte dvojitou substituci.

Na základě Newton-Leibnizova vzorce můžeme získat dvě vlastnosti určitého integrálu.

Nemovitost 1. Integrál součtu funkcí se rovná součtu integrálů:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Nemovitost 2. Konstantní faktor lze vyjmout z integrálního znaménka:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Výpočet ploch rovinných útvarů pomocí určitého integrálu

Pomocí integrálu můžete vypočítat plochy nejen křivočarých lichoběžníků, ale také plochých obrazců více komplexní typ, například ten, který je znázorněn na obrázku. Obrazec P je omezen přímkami x = a, x = b a grafy spojitých funkcí y = f(x), y = g(x) a na úsečce [a; b] platí nerovnost $g(x) \leq f(x) $. Pro výpočet plochy S takového obrázku budeme postupovat následovně:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Takže plocha S obrazce ohraničená přímkami x = a, x = b a grafy funkcí y = f(x), y = g(x), spojité na úsečce a takové, že pro libovolné x z úsečky [A; b] je splněna nerovnost $g(x) \leq f(x) $, vypočtená podle vzorce
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabulka neurčitých integrálů (antiderivátů) některých funkcí

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Nechť je funkce nezáporná a spojitá na intervalu. Pak podle geometrický smysl určitého integrálu je plocha křivočarého lichoběžníku ohraničená nahoře grafem této funkce, dole osou, vlevo a vpravo přímkami a (viz obr. 2) se vypočítá podle vzorce

Příklad 9. Najděte oblast obrázku ohraničenou čárou a osa.

Řešení. Funkční graf je parabola, jejíž větve směřují dolů. Pojďme si ho postavit (obr. 3). Pro určení mezí integrace najdeme průsečíky přímky (paraboly) s osou (přímka). K tomu řešíme soustavu rovnic

Dostaneme: , kde , ; proto, ,.

Rýže. 3

Najdeme plochu obrázku pomocí vzorce (5):

Pokud je funkce nekladná a spojitá na segmentu , pak plocha křivočarého lichoběžníku ohraničená dole grafem této funkce, nahoře osou, vlevo a vpravo přímkami a , je vypočtena pomocí vzorec

. (6)

Pokud je funkce spojitá na segmentu a mění znaménko na konečném počtu bodů, pak se plocha stínovaného obrázku (obr. 4) rovná algebraickému součtu odpovídajících určitých integrálů:

Rýže. 4

Příklad 10. Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou osou a grafem funkce v .

Rýže. 5

Řešení. Udělejme nákres (obr. 5). Požadovaná plocha je součtem ploch a . Pojďme najít každou z těchto oblastí. Nejprve určíme meze integrace řešením systému Dostaneme , . Proto:

;

Oblast stínovaného obrázku je tedy

(čtverečních jednotek).

Rýže. 6

Nakonec nechť je křivočarý lichoběžník ohraničen nad a pod grafy funkcí spojitých na segmentu a ,
a vlevo a vpravo - přímky a (obr. 6). Potom se jeho plocha vypočítá podle vzorce

. (8)

Příklad 11. Najděte oblast obrázku ohraničenou čarami a.

Řešení. Tento obrázek je znázorněn na Obr. 7. Vypočítejme jeho plochu pomocí vzorce (8). Řešením soustavy rovnic najdeme, ; proto, ,. Na segmentu máme: . To znamená, že ve vzorci (8) bereme jako X, a jako kvalita – . Dostaneme:

(čtverečních jednotek).

Složitější problémy výpočtu ploch se řeší rozdělením obrázku na nepřekrývající se části a výpočtem plochy celého obrázku jako součtu ploch těchto částí.

Rýže. 7

Příklad 12. Najděte plochu obrázku ohraničenou čarami , , .

Řešení. Udělejme nákres (obr. 8). Tento obrázek lze považovat za křivočarý lichoběžník, ohraničený zespodu osou, doleva a doprava - přímkami a shora - grafy funkcí a. Protože je obrazec shora omezen grafy dvou funkcí, pro výpočet jeho plochy rozdělíme tento přímkový obrazec na dvě části (1 je úsečka průsečíku čar a ). Oblast každé z těchto částí se zjistí pomocí vzorce (4):

(čtverečních jednotek); (čtverečních jednotek). Proto:

(čtverečních jednotek).

Rýže. 8

X= j ( na)

Rýže. 9

Na závěr si všimneme, že pokud je křivočarý lichoběžník omezen přímkami a , osou a spojitým na křivce (obr. 9), pak jeho obsah zjistíme vzorcem

Objem rotačního tělesa

Kolem osy nechejme rotovat křivočarý lichoběžník ohraničený grafem funkce spojité na úsečce, osou, přímkami a (obr. 10). Potom se objem výsledného rotačního tělesa vypočítá podle vzorce

. (9)

Příklad 13. Vypočítejte objem tělesa získaného rotací kolem osy křivočarého lichoběžníku ohraničeného hyperbolou, přímkami a osou.

Řešení. Udělejme nákres (obr. 11).

Z podmínek problému vyplývá, že . Ze vzorce (9) dostaneme

Rýže. 10

Rýže. jedenáct

Objem tělesa získaný rotací kolem osy OU křivočarý lichoběžník ohraničený přímkami y = c A y = d, osa OU a graf funkce spojité na segmentu (obr. 12), určený vzorcem

. (10)

X= j ( na)

Rýže. 12

Příklad 14. Vypočítejte objem tělesa získaného rotací kolem osy OU křivočarý lichoběžník ohraničený čarami X 2 = 4na, y = 4, x = 0 (obr. 13).

Řešení. V souladu s podmínkami problému nacházíme hranice integrace: , . Pomocí vzorce (10) získáme:

Rýže. 13

Délka oblouku rovinné křivky

Nechť křivka daná rovnicí , kde , leží v rovině (obr. 14).

Rýže. 14

Definice. Délkou oblouku se rozumí mez, ke které se blíží délka přerušované čáry vepsané do tohoto oblouku, když počet článků přerušované čáry směřuje k nekonečnu a délka největšího článku k nule.

Pokud je funkce a její derivace spojitá na segmentu, pak se délka oblouku křivky vypočítá podle vzorce

. (11)