V tomto materiálu se podíváme na to, jak správně převést zlomky na nový jmenovatel, jaký je další faktor a jak jej najít. Poté zformulujeme základní pravidlo pro redukci zlomků na nové jmenovatele a ilustrujeme je na příkladech úloh.

Koncept redukce zlomku na jiného jmenovatele

Připomeňme si základní vlastnost zlomku. Obyčejný zlomek a b (kde a a b jsou libovolná čísla) má podle něj nekonečný počet zlomků, které se mu rovnají. Takové zlomky lze získat vynásobením čitatele a jmenovatele stejným číslem m (přirozené číslo). Jinými slovy, všechno běžné zlomky lze nahradit jinými ve tvaru a · m b · m . Jedná se o redukci původní hodnoty na zlomek s požadovaným jmenovatelem.

Zlomek můžete zmenšit na jiného jmenovatele vynásobením jeho čitatele a jmenovatele libovolným přirozeným číslem. Hlavní podmínkou je, že násobitel musí být stejný pro obě části zlomku. Výsledkem bude zlomek rovný původnímu.

Ukažme si to na příkladu.

Příklad 1

Převeďte zlomek 11 25 na nového jmenovatele.

Řešení

Vezměme libovolné přirozené číslo 4 a vynásobíme jím obě strany původního zlomku. Počítáme: 11 · 4 = 44 a 25 · 4 = 100. Výsledkem je zlomek 44 100.

Všechny výpočty lze zapsat v tomto tvaru: 11 25 = 11 4 25 4 = 44 100

Ukazuje se, že jakýkoli zlomek lze redukovat na obrovské množství různých jmenovatelů. Místo čtyř bychom mohli vzít jiné přirozené číslo a získat další zlomek ekvivalentní původnímu.

Ale žádné číslo se nemůže stát jmenovatelem nový zlomek. Takže pro a b může jmenovatel obsahovat pouze čísla b m, která jsou násobky b. Zopakujte si základní pojmy dělení — násobky a dělitelé. Pokud číslo není násobkem b, ale nemůže být dělitelem nového zlomku. Ilustrujme naši představu na příkladu řešení problému.

Příklad 2

Vypočítejte, zda je možné zlomek 5 9 zredukovat na jmenovatele 54 a 21.

Řešení

54 je násobek devíti, který je ve jmenovateli nového zlomku (tj. 54 lze dělit 9). To znamená, že takové snížení je možné. Ale nemůžeme dělit 21 9, takže tuto akci nelze provést pro tento zlomek.

Koncept dodatečného multiplikátoru

Pojďme formulovat, co je to další faktor.

Definice 1

Dodatečný multiplikátor představuje přirozené číslo, kterým se obě strany zlomku vynásobí, aby se dostal do nového jmenovatele.

Tito. když to uděláme se zlomkem, vezmeme za to další faktor. Například, abychom převedli zlomek 7 10 na tvar 21 30, potřebujeme další faktor 3. A můžete získat zlomek 15 40 z 3 8 pomocí násobiče 5.

Pokud tedy známe jmenovatele, na který je nutné zlomek snížit, můžeme pro něj vypočítat další faktor. Pojďme zjistit, jak to udělat.

Máme zlomek a b, který lze redukovat na určitý jmenovatel c; Vypočítejme další faktor m. Potřebujeme vynásobit jmenovatele původního zlomku m. Dostaneme b · m, a podle podmínek úlohy b · m = c. Připomeňme si, jak spolu souvisí násobení a dělení. Toto spojení nás přivede k následujícímu závěru: dodatečný faktor není nic jiného než kvocient dělení c b, jinými slovy m = c: b.

Abychom našli další faktor, musíme vydělit požadovaný jmenovatel původním.

Příklad 3

Najděte další faktor, kterým byl zlomek 17 4 zredukován na jmenovatele 124.

Řešení

Pomocí výše uvedeného pravidla jednoduše vydělíme 124 jmenovatelem původního zlomku, čtyřmi.

Počítáme: 124: 4 = 31.

Tento typ výpočtu je často vyžadován při převodu zlomků na společný jmenovatel.

Pravidlo pro redukci zlomků na zadaný jmenovatel

Přejděme k definování základního pravidla, pomocí kterého můžete zlomky zmenšit na zadaný jmenovatel. Tak,

Definice 2

Ke zmenšení zlomku na zadaný jmenovatel potřebujete:

1. určit další faktor;
2. vynásobte jím čitatel i jmenovatel původního zlomku.

Jak toto pravidlo aplikovat v praxi? Uveďme příklad řešení problému.

Příklad 4

Zredukujte zlomek 7 16 na jmenovatele 336.

Řešení

Začněme výpočtem dodatečného násobitele. Dělit: 336: 16 = 21.

Výslednou odpověď vynásobíme oběma částmi původního zlomku: 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336. Přivedli jsme tedy původní zlomek na požadovaný jmenovatel 336.

Odpověď: 7 16 = 147 336.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Pro zmenšení zlomků na nejmenšího společného jmenovatele je potřeba: 1) najít nejmenší společný násobek jmenovatelů daných zlomků, bude to nejnižší společný jmenovatel. 2) najděte další faktor pro každý zlomek vydělením nového jmenovatele jmenovatelem každého zlomku. 3) vynásobte čitatel a jmenovatel každého zlomku jeho dalším faktorem.

Příklady. Zredukujte následující zlomky na jejich nejmenšího společného jmenovatele.

Najdeme nejmenší společný násobek jmenovatelů: LCM(5; 4) = 20, protože 20 je nejmenší číslo, které je dělitelné jak 5, tak 4. Najděte pro 1. zlomek navíc faktor 4 (20 : 5=4). Pro 2. zlomek je dodatečný faktor 5 (20 : 4=5). Čitatel a jmenovatel 1. zlomku vynásobíme 4 a čitatel a jmenovatel 2. zlomku 5. Tyto zlomky jsme zredukovali na nejmenšího společného jmenovatele ( 20 ).

Nejnižším společným jmenovatelem těchto zlomků je číslo 8, protože 8 je dělitelné 4 a samo sebou. Pro 1. zlomek nebude žádný další faktor (nebo můžeme říci, že je roven jedné), pro 2. zlomek je dodatečný faktor 2 (8 : 4=2). Čitatele a jmenovatele 2. zlomku vynásobíme 2. Tyto zlomky jsme zredukovali na nejmenšího společného jmenovatele ( 8 ).

Tyto zlomky nejsou neredukovatelné.

Zmenšíme 1. zlomek o 4 a 2. zlomek zmenšíme o 2. ( viz příklady redukce obyčejných zlomků: Mapa stránek → 5.4.2. Příklady redukce běžných zlomků). Najděte LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Dodatečný násobitel pro 1. zlomek je 5 (80 : 16=5). Dodatečný faktor pro 2. zlomek je 4 (80 : 20=4). Čitatele a jmenovatele 1. zlomku vynásobíme 5 a čitatele a jmenovatele 2. zlomku 4. Tyto zlomky jsme zredukovali na nejmenšího společného jmenovatele ( 80 ).

Najdeme nejnižšího společného jmenovatele NCD(5 ; 6 a 15)=NOK(5 ; 6 a 15) = 30. Dodatečný faktor k 1. zlomku je 6 (30 : 5=6), dodatečný faktor ke 2. zlomku je 5 (30 : 6=5), dodatečný faktor ke 3. zlomku je 2 (30 : 15=2). Čitatele a jmenovatele 1. zlomku vynásobíme 6, čitatele a jmenovatele 2. zlomku 5, čitatele a jmenovatele 3. zlomku 2. Tyto zlomky jsme zredukovali na nejmenšího společného jmenovatele ( 30 ).

Strana 1 z 1 1

Původně jsem chtěl do sekce Sčítání a odečítání zlomků zahrnout techniky společného jmenovatele. Ale ukázalo se, že informací je tolik a jejich význam je tak velký (ostatně nejen číselné zlomky mají společné jmenovatele), že je lepší tuto problematiku studovat samostatně.

Řekněme tedy, že máme dva zlomky s různých jmenovatelů. A chceme zajistit, aby jmenovatelé byli stejní. Na pomoc přichází základní vlastnost zlomku, která, připomínám, zní takto:

Zlomek se nezmění, pokud se jeho čitatel a jmenovatel vynásobí stejným číslem jiným než nulou.

Pokud tedy zvolíte faktory správně, jmenovatelé zlomků se vyrovnají - tento proces se nazývá redukce na společného jmenovatele. A požadovaná čísla, „vyrovnání“ jmenovatelů, se nazývají dodatečné faktory.

Proč potřebujeme zlomky redukovat na společného jmenovatele? Zde je jen několik důvodů:

1. Sčítání a odčítání zlomků s různými jmenovateli. Neexistuje žádný jiný způsob, jak tuto operaci provést;
2. Porovnávání zlomků. Někdy redukce na společného jmenovatele značně zjednodušuje tento úkol;
3. Řešení problémů se zlomky a procenty. Procenta jsou v podstatě běžné výrazy, které obsahují zlomky.

Existuje mnoho způsobů, jak najít čísla, která po vynásobení učiní jmenovatele zlomků stejně. Budeme zvažovat pouze tři z nich - v pořadí rostoucí složitosti a v jistém smyslu účinnosti.

Křížové násobení

Nejjednodušší a spolehlivým způsobem, což zaručeně vyrovná jmenovatele. Budeme jednat „bezhlavě“: první zlomek vynásobíme jmenovatelem druhého zlomku a druhý jmenovatelem prvního. V důsledku toho se jmenovatelé obou zlomků stanou stejnými jako součin původních jmenovatelů. Podívejte se:

Jako další faktory zvažte jmenovatele sousedních zlomků. Dostáváme:

Ano, je to tak jednoduché. Pokud se studiem zlomků teprve začínáte, je lepší pracovat s touto metodou - tímto způsobem se pojistíte proti mnoha chybám a zaručeně dostanete výsledek.

Jediná nevýhoda tato metoda- musíte hodně počítat, protože jmenovatelé se násobí „v celém rozsahu“ a výsledek může být velmi velká čísla. To je cena za spolehlivost.

Metoda společného dělitele

Tato technika pomáhá výrazně omezit výpočty, ale bohužel se používá poměrně zřídka. Metoda je následující:

1. Než půjdete rovně (tj. pomocí křížové metody), podívejte se na jmenovatele. Možná je jeden z nich (ten, který je větší) rozdělen na druhý.
2. Číslo vyplývající z tohoto dělení bude dalším faktorem pro zlomek s menším jmenovatelem.
3. Zlomek s velkým jmenovatelem není v tomto případě potřeba násobit vůbec ničím – v tom je úspora. Zároveň se výrazně snižuje pravděpodobnost chyby.

Úkol. Najděte významy výrazů:

Všimněte si, že 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Protože v obou případech se jeden jmenovatel dělí beze zbytku druhým, použijeme metodu společných faktorů. máme:

Všimněte si, že druhý zlomek nebyl vynásoben vůbec ničím. Ve skutečnosti jsme snížili objem výpočtu na polovinu!

Mimochodem, zlomky v tomto příkladu jsem nevzal náhodou. Pokud vás to zajímá, zkuste je spočítat metodou křížem krážem. Po zmenšení budou odpovědi stejné, ale bude s tím mnohem více práce.

Toto je síla metody společných dělitelů, ale opět ji lze použít pouze tehdy, když je jeden ze jmenovatelů beze zbytku dělen druhým. Což se stává docela zřídka.

Nejméně běžná vícenásobná metoda

Když zlomky zredukujeme na společného jmenovatele, v podstatě se snažíme najít číslo, které je dělitelné každým jmenovatelem. Potom přivedeme jmenovatele obou zlomků k tomuto číslu.

Takových čísel je mnoho a nejmenší z nich se nemusí nutně rovnat přímému součinu jmenovatelů původních zlomků, jak se předpokládá u metody křížem krážem.

Například pro jmenovatele 8 a 12 je číslo 24 docela vhodné, protože 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Toto číslo je mnohem menší než součin 8 · 12 = 96.

Nejmenší číslo, které je dělitelné každým ze jmenovatelů, se nazývá jejich nejmenší společný násobek (LCM).

Zápis: Nejmenší společný násobek aab značíme LCM(a ; b) . Například LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 uM.

Pokud se vám podaří takové číslo najít, celkové množství výpočtů bude minimální. Podívejte se na příklady:

Úkol. Najděte významy výrazů:

Všimněte si, že 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktory 2 a 3 jsou coprime (nemají žádné jiné společné faktory než 1) a faktor 117 je společný. Proto LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Podobně 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktory 3 a 4 jsou coprime a faktor 5 je běžný. Proto LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Nyní přivedeme zlomky ke společným jmenovatelům:

Všimněte si, jak užitečné bylo rozklad původních jmenovatelů:

1. Po objevení identických faktorů jsme okamžitě dospěli k nejmenšímu společnému násobku, což je obecně netriviální problém;
2. Z výsledného rozšíření můžete zjistit, které faktory v jednotlivých zlomcích „chybějí“. Například 234 · 3 = 702, proto pro první zlomek je dodatečný faktor 3.

Abyste pochopili, jak velký rozdíl přináší metoda nejméně společného vícenásobku, zkuste tyto stejné příklady spočítat pomocí křížové metody. Samozřejmě bez kalkulačky. Myslím, že po tomto komentáře budou zbytečné.

Nemyslete si, že ve skutečných příkladech nebudou tak složité zlomky. Setkávají se neustále a výše uvedené úkoly nejsou limitem!

Jediný problém je, jak najít právě toto NOC. Někdy lze vše najít během několika sekund, doslova „od oka“, ale obecně se jedná o složitý výpočetní úkol, který vyžaduje samostatné posouzení. Toho se zde nebudeme dotýkat.

Tento článek vysvětluje jak najít nejmenšího společného jmenovatele A jak zmenšit zlomky na společného jmenovatele. Nejprve jsou uvedeny definice společného jmenovatele zlomků a nejmenšího společného jmenovatele a je ukázáno, jak najít společného jmenovatele zlomků. Níže je uvedeno pravidlo pro snížení zlomků na společného jmenovatele a jsou zvažovány příklady použití tohoto pravidla. Na závěr jsou diskutovány příklady přivedení tří nebo více zlomků ke společnému jmenovateli.

Navigace na stránce.

Co se nazývá redukce zlomků na společného jmenovatele?

Nyní můžeme říci, co to znamená zmenšit zlomky na společného jmenovatele. Redukce zlomků na společného jmenovatele je násobení čitatelů a jmenovatelů daných zlomků takovými dodatečnými součiniteli, že výsledkem jsou zlomky s stejných jmenovatelů.

Společný jmenovatel, definice, příklady

Nyní je čas definovat společného jmenovatele zlomků.

Jinými slovy, společným jmenovatelem určité množiny obyčejných zlomků je jakékoli přirozené číslo, které je dělitelné všemi jmenovateli těchto zlomků.

Z uvedené definice vyplývá, že daná množina zlomků má nekonečně mnoho společných jmenovatelů, neboť společných násobků všech jmenovatelů původní množiny zlomků je nekonečně mnoho.

Určení společného jmenovatele zlomků umožňuje najít společné jmenovatele daných zlomků. Nechť jsou například dané zlomky 1/4 a 5/6 jejich jmenovateli 4 a 6. Kladné společné násobky čísel 4 a 6 jsou čísla 12, 24, 36, 48, ... Kterékoli z těchto čísel je společným jmenovatelem zlomků 1/4 a 5/6.

Pro konsolidaci materiálu zvažte řešení podle následujícího příkladu.

Příklad.

Lze zlomky 2/3, 23/6 a 7/12 zredukovat na společného jmenovatele 150?

Řešení.

Abychom odpověděli na otázku, musíme zjistit, zda číslo 150 je společným násobkem jmenovatelů 3, 6 a 12. K tomu zkontrolujme, zda je 150 dělitelné každým z těchto čísel (v případě potřeby viz pravidla a příklady dělení přirozených čísel a také pravidla a příklady dělení přirozených čísel zbytkem): 150:3=50 , 150:6=25, 150:12=12 (zbývajících 6).

Tak, 150 není rovnoměrně dělitelné 12, proto 150 není společný násobek 3, 6 a 12. Číslo 150 tedy nemůže být společným jmenovatelem původních zlomků.

Odpověď:

Je to zakázáno.

Nejnižší společný jmenovatel, jak ho najít?

V množině čísel, která jsou společnými jmenovateli daných zlomků, je nejmenší přirozené číslo, které se nazývá nejmenší společný jmenovatel. Zformulujme definici nejmenšího společného jmenovatele těchto zlomků.

Definice.

Nejnižší společný jmenovatel- Tohle nejmenší číslo, ze všech společných jmenovatelů těchto zlomků.

Zbývá se vypořádat s otázkou, jak najít nejmenšího společného dělitele.

Od je nejmenší kladné společný dělitel dané množiny čísel, pak LCM jmenovatelů daných zlomků je nejmenší společný jmenovatel daných zlomků.

Nalezení nejnižšího společného jmenovatele zlomků tedy vede ke jmenovatelům těchto zlomků. Podívejme se na řešení příkladu.

Příklad.

Najděte nejnižšího společného jmenovatele zlomků 3/10 a 277/28.

Řešení.

Jmenovatelé těchto zlomků jsou 10 a 28. Požadovaný nejnižší společný jmenovatel se nachází jako LCM čísel 10 a 28. V našem případě je to snadné: protože 10=2·5 a 28=2·2·7, pak LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Odpověď:

140 .

Jak zredukovat zlomky na společného jmenovatele? Pravidlo, příklady, řešení

Společné zlomky obvykle vedou k nejnižšímu společnému jmenovateli. Nyní si zapíšeme pravidlo, které vysvětluje, jak zmenšit zlomky na jejich nejmenšího společného jmenovatele.

Pravidlo pro redukci zlomků na nejmenšího společného jmenovatele se skládá ze tří kroků:

• Nejprve najděte nejnižšího společného jmenovatele zlomků.
• Za druhé se pro každý zlomek vypočítá další faktor vydělením nejnižšího společného jmenovatele jmenovatelem každého zlomku.
• Za třetí, čitatel a jmenovatel každého zlomku se vynásobí jeho dalším faktorem.

Aplikujme uvedené pravidlo na řešení následujícího příkladu.

Příklad.

Zmenšete zlomky 5/14 a 7/18 na jejich nejmenšího společného jmenovatele.

Řešení.

Proveďme všechny kroky algoritmu pro redukci zlomků na nejnižšího společného jmenovatele.

Nejprve najdeme nejmenší společný jmenovatel, který se rovná nejmenšímu společnému násobku čísel 14 a 18. Protože 14=2·7 a 18=2·3·3, pak LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

Nyní vypočítáme další faktory, pomocí kterých se zlomky 5/14 a 7/18 zredukují na jmenovatel 126. Pro zlomek 5/14 je doplňkový faktor 126:14=9 a pro zlomek 7/18 je doplňkový faktor 126:18=7.

Zbývá vynásobit čitatele a jmenovatele zlomků 5/14 a 7/18 dalšími koeficienty 9 a 7, v tomto pořadí. Máme a .

Snížení zlomků 5/14 a 7/18 na nejnižšího společného jmenovatele je tedy dokončeno. Výsledné frakce byly 45/126 a 49/126.

Při sčítání a odčítání algebraických zlomků s různými jmenovateli vedou nejprve zlomky k společný jmenovatel. To znamená, že najdou jednoho jmenovatele, který se vydělí původním jmenovatelem každého algebraického zlomku obsaženého v daném výrazu.

Jak víte, pokud se čitatel a jmenovatel zlomku vynásobí (nebo vydělí) stejným číslem jiným než nula, hodnota zlomku se nezmění. To je hlavní vlastnost zlomku. Když se tedy zlomky redukují na společného jmenovatele, v podstatě vynásobí původního jmenovatele každého zlomku chybějícím faktorem, aby získali společného jmenovatele. V tomto případě je potřeba vynásobit čitatel zlomku tímto faktorem (pro každý zlomek je jiný).

Například za předpokladu následujícího součtu algebraických zlomků:

Je potřeba výraz zjednodušit, tedy přidat dva algebraické zlomky. Chcete-li to provést, musíte nejprve uvést zlomkové členy do společného jmenovatele. Prvním krokem je nalezení monomiálu, který je dělitelný jak 3x, tak 2y. V tomto případě je žádoucí, aby byl nejmenší, to znamená najít nejmenší společný násobek (LCM) pro 3x a 2y.

Pro číselné koeficienty a proměnné se LCM hledá samostatně. LCM(3,2) = 6 a LCM(x, y) = xy. Dále se nalezené hodnoty vynásobí: 6xy.

Nyní musíme určit, jakým faktorem musíme násobit 3x, abychom dostali 6xy:
6xy ÷ 3x = 2 roky

To znamená, že při redukci prvního algebraického zlomku na společného jmenovatele je třeba jeho čitatel vynásobit 2y (jmenovatel byl již vynásoben při redukci na společného jmenovatele). Násobitel pro čitatel druhého zlomku se hledá stejným způsobem. Bude se rovnat 3x.

Tak dostaneme:

Pak můžete postupovat jako se zlomky se stejnými jmenovateli: sečtěte čitatele a napište jeden společný jmenovatel:

Po transformacích se získá zjednodušený výraz, kterým je jedna algebraický zlomek, což je součet dvou původních:

Algebraické zlomky v původním výrazu mohou obsahovat jmenovatele, které jsou spíše polynomy než monočleny (jako v příkladu výše). V tomto případě byste před hledáním společného jmenovatele měli zohlednit jmenovatele (pokud je to možné). Dále je společný jmenovatel shromážděn z různých faktorů. Pokud je násobitel v několika původních jmenovatelích, bere se jednou. Pokud má násobitel v původních jmenovatelích různé mocniny, vezme se s větším. Například:

Zde lze polynom a 2 – b 2 reprezentovat jako součin (a – b)(a + b). Faktor 2a – 2b je rozšířen jako 2(a – b). Společný jmenovatel tedy bude 2(a – b)(a + b).