Jak najít nejmenší společný násobek?

Musíme najít každý faktor každého ze dvou čísel, pro které najdeme nejmenší společný násobek, a pak vzájemně vynásobit faktory, které se shodují v prvním a druhém čísle. Výsledkem součinu bude požadovaný násobek.

Například máme čísla 3 a 5 a potřebujeme najít LCM (nejmenší společný násobek). Nás potřeba množit a tři a pět pro všechna čísla začínající od 1 2 3 ... a tak dále, dokud na obou místech neuvidíme stejné číslo.

Vynásobte třemi a dostanete: 3, 6, 9, 12, 15

Vynásobte pěti a dostanete: 5, 10, 15

Metoda prvočíselného rozkladu je nejklasičtější metodou pro nalezení nejmenšího společného násobku (LCM) několika čísel. Tato metoda je jasně a jednoduše demonstrována v následujícím videu:

Sčítat, násobit, dělit, redukovat na společný jmenovatel a další aritmetické operace jsou velmi vzrušující činnost, Obdivuji především příklady, které zabírají celý list.

Najděte tedy společný násobek dvou čísel, který bude nejmenším číslem, kterým se ta dvě čísla dělí. Chtěl bych poznamenat, že v budoucnu není nutné uchýlit se k vzorcům, abyste našli to, co hledáte, pokud umíte počítat v hlavě (a to lze trénovat), pak se vám v hlavě objeví samotná čísla a pak zlomky praskají jako ořechy.

Nejprve se naučíme, že můžete násobit dvě čísla navzájem, a pak toto číslo zmenšit a střídavě dělit těmito dvěma čísly, takže najdeme nejmenší násobek.

Například dvě čísla 15 a 6. Vynásobte a dostanete 90. To je jednoznačně větší číslo. Navíc 15 je dělitelné 3 a 6 je dělitelné 3, což znamená, že také dělíme 90 3. Dostaneme 30. Zkusíme 30 dělit 15 rovná se 2. A 30 dělit 6 rovná se 5. Protože 2 je limita, obrací se že nejmenší násobek čísel je 15 a 6 bude 30.

S většími počty to bude trochu složitější. ale pokud víte, která čísla dávají nulový zbytek při dělení nebo násobení, pak v zásadě neexistují žádné velké potíže.

• Jak najít NOC

  Zde je video, které vám ukáže dva způsoby, jak najít nejmenší společný násobek (LCM). Po procvičení pomocí první z navrhovaných metod můžete lépe pochopit, co je nejmenší společný násobek.

Uvádím další způsob, jak najít nejmenší společný násobek. Podívejme se na to na jasném příkladu.

Musíte najít LCM tří čísel najednou: 16, 20 a 28.

• Každé číslo reprezentujeme jako součin jeho prvočísel:
• Zapíšeme mocniny všech prvočinitelů:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Vybereme všechny prvočíselné dělitele (násobiče) s největší mocninou, vynásobíme je a najdeme LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Výsledkem výpočtu tedy bylo číslo 560. Je to nejmenší společný násobek, to znamená, že je beze zbytku dělitelné každým ze tří čísel.

Nejmenší společný násobek je číslo, které lze rozdělit na několik daných čísel bez zanechání zbytku. Abyste mohli vypočítat takové číslo, musíte vzít každé číslo a rozložit ho na jednoduché faktory. Odpovídající čísla jsou odstraněna. Nechá všechny po jednom, násobte je postupně mezi sebou a získejte požadovaný - nejmenší společný násobek.

NOC, popř nejmenší společný násobek, je nejmenší přirozené číslo dvě nebo více čísel, která jsou dělitelná každým z těchto čísel beze zbytku.

Zde je příklad, jak najít nejmenší společný násobek 30 a 42.

• Prvním krokem je zahrnout tato čísla do prvočísel.

Za 30 je to 2 x 3 x 5.

Pro 42 je to 2 x 3 x 7. Protože 2 a 3 jsou v rozšíření čísla 30, škrtneme je.

• Vypíšeme faktory, které jsou obsaženy v rozšíření čísla 30. To je 2 x 3 x 5.
• Nyní je potřebujeme vynásobit chybějícím faktorem, který máme při expanzi 42, což je 7. Dostaneme 2 x 3 x 5 x 7.
• Zjistíme, čemu se rovná 2 x 3 x 5 x 7 a dostaneme 210.

V důsledku toho zjistíme, že LCM čísel 30 a 42 je 210.

Najít nejmenší společný násobek, musíte provést několik postupně jednoduché akce. Podívejme se na to na příkladu dvou čísel: 8 a 12

1. Obě čísla rozložíme na prvočinitele: 8=2*2*2 a 12=3*2*2
2. Snížíme stejné faktory jednoho z čísel. V našem případě se 2 * 2 shodují, zmenšíme je na číslo 12, pak 12 zbude jeden faktor: 3.
3. Najděte součin všech zbývajících faktorů: 2*2*2*3=24

Při kontrole se ujistíme, že 24 je dělitelné jak 8, tak 12, a to je nejmenší přirozené číslo, které je dělitelné každým z těchto čísel. Tady jsme našel nejmenší společný násobek.

Pokusím se vysvětlit na příkladu čísla 6 a 8 Nejmenší společný násobek je číslo, které lze těmito čísly dělit (v našem případě 6 a 8) a nezůstane.

Nejprve tedy začneme násobit 6 1, 2, 3 atd. a 8 1, 2, 3 atd.

Násobek je číslo, které je beze zbytku dělitelné daným číslem. Nejmenší společný násobek (LCM) skupiny čísel je nejmenší číslo, které je dělitelné každým číslem ve skupině bez zanechání zbytku. Chcete-li najít nejmenší společný násobek, musíte najít prvočinitele daných čísel. LCM lze také vypočítat pomocí řady dalších metod, které platí pro skupiny dvou nebo více čísel.

Kroky

Řada násobků

Podívejte se na tato čísla. Zde popsaná metoda se nejlépe používá, když jsou zadána dvě čísla, z nichž každé je menší než 10. Pokud je uvedeno velká čísla, použijte jinou metodu.

• Najděte například nejmenší společný násobek 5 a 8. Jedná se o malá čísla, takže můžete použít tuto metodu.

1. Násobek je číslo, které je beze zbytku dělitelné daným číslem. Násobky najdete v násobilce.

   • Například čísla, která jsou násobky 5, jsou: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Napište řadu čísel, která jsou násobky prvního čísla. Udělejte to pod násobky prvního čísla a porovnejte dvě sady čísel.

   • Například čísla, která jsou násobky 8, jsou: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 a 64.

3. Najděte nejmenší číslo, které je přítomno v obou sadách násobků. Možná budete muset napsat dlouhé řady násobků, abyste našli celkový počet. Nejmenší číslo, které je přítomno v obou souborech násobků, je nejmenší společný násobek.

   • Například, nejmenší číslo, který je přítomen v řadě násobků 5 a 8, je číslo 40. Proto je 40 nejmenší společný násobek 5 a 8.

   Prvotní faktorizace

   1. Podívejte se na tato čísla. Zde popsaná metoda se nejlépe používá, když jsou zadána dvě čísla, z nichž každé je větší než 10. Pokud jsou uvedena menší čísla, použijte jinou metodu.

      • Najděte například nejmenší společný násobek čísel 20 a 84. Každé z čísel je větší než 10, takže můžete použít tuto metodu.

   2. Rozdělte první číslo na prvočinitele. To znamená, že musíte najít taková prvočísla, která po vynásobení dají dané číslo. Jakmile najdete prvočinitele, zapište je jako rovnosti.

      • Například, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\krát 10=20) A 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Prvočísly čísla 20 jsou tedy čísla 2, 2 a 5. Napište je jako výraz: .

   3. Rozložte druhé číslo na prvočinitele. Udělejte to stejným způsobem, jako jste rozložili první číslo, tedy najděte taková prvočísla, která po vynásobení dají dané číslo.

      • Například, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) A 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Prvočísly čísla 84 jsou tedy čísla 2, 7, 3 a 2. Napište je jako výraz: .

   4. Zapište společné faktory pro obě čísla. Napište takové faktory jako operaci násobení. Při psaní každého faktoru jej škrtněte v obou výrazech (výrazy, které popisují rozklad čísel na prvočinitele).

      • Například obě čísla mají společný faktor 2, tak napište 2 × (\displaystyle 2\times ) a škrtněte 2 v obou výrazech.
      • Co mají obě čísla společného, ​​je další faktor 2, tak napište 2 × 2 (\displaystyle 2\krát 2) a v obou výrazech škrtněte druhé 2.

   5. Přidejte zbývající faktory do operace násobení. Jedná se o faktory, které nejsou v obou výrazech přeškrtnuté, tedy faktory, které nejsou společné pro obě čísla.

      • Například ve výrazu 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\krát 2\krát 5) Obě dvě (2) jsou přeškrtnuté, protože se jedná o společné faktory. Faktor 5 není přeškrtnutý, takže operaci násobení zapište takto: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\krát 2\krát 5)
      • Ve výrazu 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\krát 7\krát 3\krát 2) obě dvojky (2) jsou také přeškrtnuty. Faktory 7 a 3 nejsou přeškrtnuté, takže operaci násobení zapište takto: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\krát 2\krát 5\krát 7\krát 3).

   6. Vypočítejte nejmenší společný násobek. Chcete-li to provést, vynásobte čísla v operaci písemného násobení.

      • Například, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\krát 2\krát 5\krát 7\krát 3=420). Takže nejmenší společný násobek 20 a 84 je 420.

   Hledání společných faktorů

   1. Nakreslete mřížku jako při hře piškvorky. Taková mřížka se skládá ze dvou rovnoběžných čar, které se protínají (v pravém úhlu) s dalšími dvěma rovnoběžnými čarami. Získáte tak tři řádky a tři sloupce (mřížka vypadá hodně jako ikona #). Napište první číslo do prvního řádku a druhého sloupce. Napište druhé číslo do prvního řádku a třetího sloupce.

      • Najděte například nejmenší společný násobek čísel 18 a 30. Do prvního řádku a druhého sloupce napište číslo 18 a do prvního řádku a třetího sloupce zapište číslo 30.

   2. Najděte dělitele společného oběma číslům. Napište to do prvního řádku a prvního sloupce. Je lepší hledat primární faktory, ale není to podmínkou.

      • Například 18 a 30 jsou sudá čísla, takže jejich společný faktor je 2. Napište tedy 2 do prvního řádku a prvního sloupce.

   3. Každé číslo vydělte prvním dělitelem. Každý podíl napište pod příslušné číslo. Kvocient je výsledkem dělení dvou čísel.

      • Například, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), tak napište 9 pod 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), tak zapište 15 pod 30.

   4. Najděte dělitele společného oběma kvocientům. Pokud takový dělitel neexistuje, přeskočte následující dva kroky. V opačném případě zapište dělitele do druhého řádku a prvního sloupce.

      • Například 9 a 15 jsou dělitelné 3, takže do druhého řádku a prvního sloupce napište 3.

   5. Vydělte každý podíl jeho druhým dělitelem. Každý výsledek dělení zapište pod odpovídající podíl.

      • Například, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), tak napište 3 pod 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), tak napište 5 pod 15.

   6. V případě potřeby přidejte do mřížky další buňky. Opakujte popsané kroky, dokud nebudou mít podíly společného dělitele.

   7. Zakroužkujte čísla v prvním sloupci a posledním řádku mřížky. Poté zapište vybraná čísla jako operaci násobení.

      • Například čísla 2 a 3 jsou v prvním sloupci a čísla 3 a 5 jsou v posledním řádku, takže operaci násobení zapište takto: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\krát 3\krát 3\krát 5).

   8. Najděte výsledek násobení čísel. Tím se vypočte nejmenší společný násobek dvou daných čísel.

      • Například, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\krát 3\krát 3\krát 5=90). Takže nejmenší společný násobek 18 a 30 je 90.

   Euklidův algoritmus

   1. Pamatujte na terminologii spojenou s operací dělení. Dividenda je číslo, které se dělí. Dělitel je číslo, kterým se dělí. Kvocient je výsledkem dělení dvou čísel. Zbytek je číslo, které zbývá, když jsou dvě čísla rozdělena.

      • Například ve výrazu 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 je dividenda
        6 je dělitel
        2 je kvocient
        3 je zbytek.

Ale mnoho přirozených čísel je dělitelných i jinými přirozenými čísly.

Například:

Číslo 12 je dělitelné 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Číslo 36 je dělitelné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Čísla, kterými je číslo dělitelné celkem (pro 12 jsou to 1, 2, 3, 4, 6 a 12), se nazývají dělitelé čísel. Dělitel přirozeného čísla A- je přirozené číslo, které dělí dané číslo A beze stopy. Volá se přirozené číslo, které má více než dva dělitele kompozitní.

Vezměte prosím na vědomí, že čísla 12 a 36 mají společné faktory. Tato čísla jsou: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Největší dělitel těchto čísel je 12. Společný dělitel těchto dvou čísel A A b- je to číslo, kterým se obě daná čísla beze zbytku dělí A A b.

Společné násobky několik čísel je číslo, které je dělitelné každým z těchto čísel. Například, čísla 9, 18 a 45 mají společný násobek 180. Ale 90 a 360 jsou také jejich společné násobky. Mezi všemi společnými násobky je vždy jeden nejmenší, v tomto případě je to 90. Toto číslo se nazývá nejmenšíspolečný násobek (CMM).

LCM je vždy přirozené číslo, které musí být větší než největší z čísel, pro které je definováno.

Nejmenší společný násobek (LCM). Vlastnosti.

Komutativnost:

Asociativita:

Zejména pokud a - coprime čísla, To:

Nejmenší společný násobek dvou celá čísla m A n je dělitelem všech ostatních společných násobků m A n. Navíc množina společných násobků m, n se shoduje se sadou násobků LCM( m, n).

Asymptotiku for lze vyjádřit pomocí některých číselně-teoretických funkcí.

Tak, Čebyševova funkce. A také:

Vyplývá to z definice a vlastností Landauovy funkce g(n).

Co vyplývá ze zákona rozdělení prvočísel.

Hledání nejmenšího společného násobku (LCM).

NOC( a, b) lze vypočítat několika způsoby:

1. Je-li známo největší společný dělitel, můžete použít jeho spojení s LOC:

2. Nechť je znám kanonický rozklad obou čísel na prvočinitele:

Kde p 1,...,p k- různá prvočísla a d 1,..., d k A e 1,...,ek— nezáporná celá čísla (mohou to být nuly, pokud odpovídající prvočíslo není v rozšíření).

Poté NOC ( A,b) se vypočítá podle vzorce:

Jinými slovy, rozklad LCM obsahuje všechna prvočísla multiplikátory, zahrnutý alespoň v jednom z rozšíření čísel a, b a vezme se největší ze dvou exponentů tohoto multiplikátoru.

Příklad:

Výpočet nejmenšího společného násobku několika čísel lze zredukovat na několik po sobě jdoucích výpočtů LCM dvou čísel:

Pravidlo. Chcete-li najít LCM řady čísel, potřebujete:

- rozložit čísla na prvočinitele;

- převést největší rozklad (součin faktorů největšího počtu z daných) na faktory požadovaného součinu a poté přidat faktory z rozkladu dalších čísel, která se v prvním čísle nevyskytují nebo se v něm vyskytují méněkrát;

— výsledným součinem prvočinitelů bude LCM daných čísel.

Libovolná dvě nebo více přirozených čísel mají svůj vlastní LCM. Pokud čísla nejsou navzájem násobky nebo nemají stejné faktory v rozšíření, pak se jejich LCM rovná práce tato čísla.

Prvočísla čísla 28 (2, 2, 7) doplníme činitelem 3 (číslo 21), výsledný součin (84) bude nejmenší číslo, které je dělitelné 21 a 28.

Prvočísla největšího čísla 30 jsou doplněna činitelem 5 čísla 25, výsledný součin 150 je větší než největší číslo 30 a je dělitelný všemi danými čísly beze zbytku. Jedná se o nejmenší možný součin (150, 250, 300...), který je násobkem všech zadaných čísel.

Čísla 2,3,11,37 jsou prvočísla, jejich LCM se tedy rovná součinu daných čísel.

Pravidlo. Chcete-li vypočítat LCM prvočísel, musíte všechna tato čísla vynásobit dohromady.

Další možnost:

K nalezení nejmenšího společného násobku (LCM) několika čísel potřebujete:

1) reprezentovat každé číslo jako součin jeho prvočinitelů, například:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) zapište mocniny všech prvočinitelů:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) zapište všechny prvočíselné dělitele (násobiče) každého z těchto čísel;

4) vyberte největší stupeň každého z nich, který se nachází ve všech rozšířeních těchto čísel;

5) vynásobte tyto síly.

Příklad. Najděte LCM čísel: 168, 180 a 3024.

Řešení. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Zapíšeme největší mocniny všech prvočíselných dělitelů a vynásobíme je:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Druhé číslo: b=

Oddělovač tisíců Bez oddělovače mezer "".

Výsledek:

Největší společný dělitel gcd( A,b)=6

Nejmenší společný násobek LCM( A,b)=468

Říká se největší přirozené číslo, které lze beze zbytku dělit čísly a a b největší společný dělitel(GCD) těchto čísel. Označuje se gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) nebo hcf(a,b).

Nejmenší společný násobek LCM dvou celých čísel aab je nejmenší přirozené číslo, které je dělitelné aab beze zbytku. Označuje se LCM(a,b) nebo lcm(a,b).

Nazývají se celá čísla a a b vzájemně prvočíslo, pokud nemají žádné jiné společné dělitele než +1 a −1.

Největší společný dělitel

Nechť jsou dána dvě kladná čísla A 1 a A 21). Je potřeba najít společného dělitele těchto čísel, tzn. najít takové číslo λ , který rozděluje čísla A 1 a A 2 ve stejnou dobu. Pojďme si popsat algoritmus.

1) V tomto článku bude slovo číslo chápáno jako celé číslo.

Nechat A 1 ≥ A 2 a nechat

Kde m 1 , A 3 jsou nějaká celá čísla, A 3 <A 2 (zbytek divize A 1 za A 2 by mělo být méně A 2).

Předpokládejme to λ rozděluje A 1 a A 2 pak λ rozděluje m 1 A 2 a λ rozděluje A 1 −m 1 A 2 =A 3 (Výrok 2 článku „Dělitelnost čísel. Test dělitelnosti“). Z toho vyplývá, že každý společný dělitel A 1 a A 2 je společný dělitel A 2 a A 3. Opak je také pravdou, jestliže λ společný dělitel A 2 a A 3 pak m 1 A 2 a A 1 =m 1 A 2 +A 3 je také dělitelné λ . Proto společný dělitel A 2 a A 3 je také společný dělitel A 1 a A 2. Protože A 3 <A 2 ≤A 1, pak můžeme říci, že řešení problému hledání společného dělitele čísel A 1 a A 2 zredukován na jednodušší problém nalezení společného dělitele čísel A 2 a A 3 .

Li A 3 ≠0, pak můžeme dělit A 2 na A 3. Pak

,

Kde m 1 a A 4 jsou nějaká celá čísla, ( A 4 zbytek z divize A 2 na A 3 (A 4 <A 3)). Podobnou úvahou dojdeme k závěru, že společné dělitele čísel A 3 a A 4 se shoduje se společnými děliteli čísel A 2 a A 3, a také se společnými děliteli A 1 a A 2. Protože A 1 , A 2 , A 3 , A 4, ... jsou čísla, která neustále klesají, a protože mezi nimi je konečný počet celých čísel A 2 a 0, pak v určitém kroku n, zbytek divize A n na A n+1 se bude rovnat nule ( A n+2 = 0).

.

Každý společný dělitel λ čísla A 1 a A 2 je také dělitel čísel A 2 a A 3 , A 3 a A 4 , .... A n a A n+1. Platí to i obráceně, společné dělitele čísel A n a A n+1 jsou také dělitelé čísel A n−1 a A n , .... , A 2 a A 3 , A 1 a A 2. Ale společný dělitel čísel A n a A n+1 je číslo A n+1, protože A n a A n+1 jsou dělitelné A n+1 (pamatujte si to A n+2 = 0). Proto A n+1 je také dělitel čísel A 1 a A 2 .

Všimněte si, že číslo A n+1 je největší dělitel čísel A n a A n+1 , protože největší dělitel A n+1 je samo sebou A n+1. Li A n+1 lze reprezentovat jako součin celých čísel, pak jsou tato čísla také společnými děliteli čísel A 1 a A 2. Číslo A je voláno n+1 největší společný dělitelčísla A 1 a A 2 .

Čísla A 1 a A 2 mohou být kladná nebo záporná čísla. Pokud je jedno z čísel rovno nule, pak se největší společný dělitel těchto čísel bude rovnat absolutní hodnotě druhého čísla. Největší společný dělitel nulových čísel není definován.

Výše uvedený algoritmus se nazývá Euklidovský algoritmus najít největšího společného dělitele dvou celých čísel.

Příklad hledání největšího společného dělitele dvou čísel

Najděte největšího společného dělitele dvou čísel 630 a 434.

• Krok 1. Vydělte číslo 630 číslem 434. Zbytek je 196.
• Krok 2. Vydělte číslo 434 číslem 196. Zbytek je 42.
• Krok 3. Vydělte číslo 196 42. Zbytek je 28.
• Krok 4. Vydělte číslo 42 28. Zbytek je 14.
• Krok 5. Vydělte číslo 28 14. Zbytek je 0.

V kroku 5 je zbytek dělení 0. Proto je největší společný dělitel čísel 630 a 434 14. Všimněte si, že čísla 2 a 7 jsou také děliteli čísel 630 a 434.

Coprime čísla

Definice 1. Nechť je největší společný dělitel čísel A 1 a A 2 se rovná jedné. Poté se volají tato čísla coprime čísla, které nemají společného dělitele.

Teorém 1. Li A 1 a A 2 hlavní čísla a λ nějaké číslo, pak libovolný společný dělitel čísel λa 1 a A 2 je také společný dělitel čísel λ A A 2 .

Důkaz. Zvažte euklidovský algoritmus pro nalezení největšího společného dělitele čísel A 1 a A 2 (viz výše).

.

Z podmínek věty vyplývá, že největší společný dělitel čísel A 1 a A 2 a proto A n a A n+1 je 1. To znamená A n+1 = 1.

Vynásobme všechny tyto rovnosti λ , Pak

.

Nechť společný dělitel A 1 λ A A 2 ano δ . Pak δ je zahrnut jako násobitel v A 1 λ , m 1 A 2 λ a dovnitř A 1 λ -m 1 A 2 λ =A 3 λ (viz "Dělitelnost čísel", Příkaz 2). Další δ je zahrnut jako násobitel v A 2 λ A m 2 A 3 λ , a proto je zahrnut jako faktor v A 2 λ -m 2 A 3 λ =A 4 λ .

Tímto způsobem jsme o tom přesvědčeni δ je zahrnut jako násobitel v A n−1 λ A m n−1 A n λ , a proto v A n−1 λ −m n−1 A n λ =A n+1 λ . Protože A n+1 = 1, tedy δ je zahrnut jako násobitel v λ . Proto číslo δ je společný dělitel čísel λ A A 2 .

Podívejme se na speciální případy věty 1.

Následek 1. Nechat A A C Prvočísla jsou relativní b. Pak jejich produkt ac je prvočíslo vzhledem k b.

Opravdu. Z věty 1 ac A b mají stejné společné dělitele jako C A b. Ale ta čísla C A b poměrně jednoduché, tzn. mít jediného společného dělitele 1. Pak ac A b mají také jediného společného dělitele 1. Proto ac A b vzájemně jednoduché.

Následek 2. Nechat A A b koprime čísla a nech b rozděluje ak. Pak b rozděluje a k.

Opravdu. Z kolaudační podmínky ak A b mají společného dělitele b. Na základě věty 1, b musí být společný dělitel b A k. Proto b rozděluje k.

Důsledek 1 lze zobecnit.

Následek 3. 1. Nechte čísla A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m jsou prvočísla vzhledem k číslu b. Pak A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m, součin těchto čísel je prvočíslo vzhledem k číslu b.

2. Mějme dvě řady čísel

takové, že každé číslo v první řadě je prvočíslo v poměru všech čísel ve druhé řadě. Poté produkt

Musíte najít čísla, která jsou dělitelná každým z těchto čísel.

Pokud je číslo dělitelné A 1, pak má tvar sa 1 kde s nějaké číslo. Li q je největší společný dělitel čísel A 1 a A 2, tedy

Kde s 1 je nějaké celé číslo. Pak

je nejmenší společné násobky čísel A 1 a A 2 .

A 1 a A 2 jsou relativně prvočísla, pak nejmenší společný násobek čísel A 1 a A 2:

Musíme najít nejmenší společný násobek těchto čísel.

Z výše uvedeného vyplývá, že libovolný násobek čísel A 1 , A 2 , A 3 musí být násobkem čísel ε A A 3 a zpět. Nechť nejmenší společný násobek čísel ε A A 3 ano ε 1. Dále násobky čísel A 1 , A 2 , A 3 , A 4 musí být násobkem čísel ε 1 a A 4. Nechť nejmenší společný násobek čísel ε 1 a A 4 ano ε 2. Zjistili jsme tedy, že všechny násobky čísel A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m se shodují s násobky určitého čísla ε n, které se nazývá nejmenší společný násobek daných čísel.

Ve zvláštním případě, kdy čísla A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m jsou relativně prvočísla, pak nejmenší společný násobek čísel A 1 , A 2, jak je znázorněno výše, má tvar (3). Další, od A 3 prvočíslo ve vztahu k číslům A 1 , A 2 pak A 3 prvočíslo A 1 · A 2 (důsledek 1). Znamená nejmenší společný násobek čísel A 1 ,A 2 ,A 3 je číslo A 1 · A 2 · A 3. Uvažováním podobným způsobem dospíváme k následujícím tvrzením.

Prohlášení 1. Nejmenší společný násobek prvočísel A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m se rovná jejich součinu A 1 · A 2 · A 3 ··· A m

Prohlášení 2. Jakékoli číslo, které je dělitelné každým z prvočísel A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m je také dělitelné jejich součinem A 1 · A 2 · A 3 ··· A m