§ 87. Tilføjelse af brøker.
Tilføjelse af brøker har mange ligheder med at tilføje hele tal. Addition af brøker er en handling, der består i, at flere givne tal (led) kombineres til ét tal (sum), der indeholder alle enheder og brøker af ledenhederne.
Vi vil overveje tre sager sekventielt:
1. Tilføjelse af brøker med samme nævnere.
2. Tilføjelse af fraktioner med forskellige nævnere.
3. Tilføjelse af blandede tal.
1. Tilføjelse af brøker med ens nævnere.
Overvej et eksempel: 1/5 + 2/5.
Lad os tage segment AB (fig. 17), tage det som ét og dele det i 5 lige store dele, så vil del AC af dette segment være lig med 1/5 af segment AB, og en del af samme segment CD vil være lig med 2/5 AB.
Fra tegningen er det klart, at hvis vi tager segmentet AD, vil det være lig med 3/5 AB; men segmentet AD er netop summen af segmenterne AC og CD. Så vi kan skrive:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
I betragtning af disse vilkår og den resulterende sum, ser vi, at tælleren af summen blev opnået ved at tilføje tællere af vilkårene, og nævneren forblev uændret.
Fra dette får vi følgende regel: For at tilføje brøker med de samme nævnere, skal du tilføje deres tællere og lade den samme nævner stå.
Lad os se på et eksempel:
2. Tilføjelse af brøker med forskellige nævnere.
Lad os tilføje brøkerne: 3 / 4 + 3 / 8 Først skal de reduceres til det mindste fællesnævner:
Mellemleddet 6/8 + 3/8 kunne ikke skrives; vi har skrevet det her for klarhedens skyld.
For at tilføje brøker med forskellige nævnere skal du derfor først reducere dem til den laveste fællesnævner, tilføje deres tællere og mærke fællesnævneren.
Lad os overveje et eksempel (vi vil skrive yderligere faktorer over de tilsvarende brøker):
3. Tilføjelse af blandede tal.
Lad os tilføje tallene: 2 3/8 + 3 5/6.
Lad os først bringe brøkdelene af vores tal til en fællesnævner og omskrive dem igen:
Nu tilføjer vi heltal og brøkdele sekventielt:
§ 88. Fradrag af brøker.
At trække brøker fra er defineret på samme måde som at trække hele tal fra. Dette er en handling, ved hjælp af hvilken, givet summen af to led og et af dem, findes et andet led. Lad os overveje tre sager efter hinanden:
1. Fratræk brøker med ens nævnere.
2. Subtrahering af brøker med forskellige nævnere.
3. Subtraktion af blandede tal.
1. Fratræk brøker med ens nævnere.
Lad os se på et eksempel:
13 / 15 - 4 / 15
Lad os tage segmentet AB (fig. 18), tage det som en enhed og dele det i 15 lige store dele; så vil del AC af dette segment repræsentere 1/15 af AB, og del AD af samme segment vil svare til 13/15 AB. Lad os afsætte endnu et segment ED svarende til 4/15 AB.
Vi skal trække brøken 4/15 fra 13/15. På tegningen betyder det, at segment ED skal trækkes fra segment AD. Som følge heraf forbliver segment AE, hvilket er 9/15 af segment AB. Så vi kan skrive:
Eksemplet vi lavede viser, at tælleren for forskellen blev opnået ved at trække tællerne fra, men nævneren forblev den samme.
Derfor, for at trække brøker med ens nævnere, skal du trække tælleren for subtrahenden fra tælleren i minuenden og lade den samme nævner være.
2. Subtrahering af brøker med forskellige nævnere.
Eksempel. 3/4 - 5/8
Lad os først reducere disse brøker til den laveste fællesnævner:
Den mellemliggende 6 / 8 - 5 / 8 er skrevet her for klarhedens skyld, men kan springes over senere.
For at trække en brøk fra en brøk skal du altså først reducere dem til den laveste fællesnævner, derefter trække minuendens tæller fra minuendens tæller og underskrive fællesnævneren under deres differens.
Lad os se på et eksempel:
3. Subtraktion af blandede tal.
Eksempel. 10 3/4 - 7 2/3.
Lad os reducere brøkdelene af minuenden og subtrahend til den laveste fællesnævner:
Vi trækker en hel fra en hel og en brøk fra en brøk. Men der er tilfælde, hvor brøkdelen af subtrahenden er større end brøkdelen af minuenden. I sådanne tilfælde skal du tage en enhed fra hele minuenden, opdele den i de dele, hvor brøkdelen er udtrykt, og tilføje den til brøkdelen af minuenden. Og så vil subtraktionen blive udført på samme måde som i det foregående eksempel:
§ 89. Brøkformering.
Når vi studerer brøkmultiplikation, vil vi overveje følgende spørgsmål:
1. Gang en brøk med et helt tal.
2. Finde brøkdelen af et givet tal.
3. Gang et helt tal med en brøk.
4. At gange en brøk med en brøk.
5. Multiplikation af blandede tal.
6. Rentebegrebet.
7. Finde procentdelen af et givet tal. Lad os overveje dem sekventielt.
1. Gang en brøk med et helt tal.
At gange en brøk med et helt tal har samme betydning som at gange et helt tal med et heltal. At gange en brøk (multiplikand) med et heltal (faktor) betyder at skabe en sum af identiske led, hvor hvert led er lig med multiplikanten, og antallet af led er lig med multiplikatoren.
Det betyder, at hvis du skal gange 1/9 med 7, så kan det gøres sådan her:
Vi opnåede let resultatet, da handlingen blev reduceret til at tilføje brøker med de samme nævnere. Derfor,
Overvejelse af denne handling viser, at gange en brøk med et helt tal svarer til at øge denne brøk med lige så mange gange, som der er enheder i hele tallet. Og da forøgelse af en brøk opnås enten ved at øge dens tæller
eller ved at reducere dens nævner 
, så kan vi enten gange tælleren med et heltal eller dividere nævneren med det, hvis en sådan division er mulig.
Herfra får vi reglen:
For at gange en brøk med et helt tal, multiplicerer du tælleren med det hele tal og lader nævneren være den samme, eller hvis det er muligt, dividerer du nævneren med det tal, så tælleren forbliver uændret.
Ved multiplikation er forkortelser mulige, for eksempel:
2. Finde brøkdelen af et givet tal. Der er mange problemer, hvor du skal finde eller beregne en del af et givet tal. Forskellen mellem disse problemer og andre er, at de giver antallet af nogle objekter eller måleenheder, og du skal finde en del af dette tal, som også er angivet her med en bestemt brøkdel. For at lette forståelsen vil vi først give eksempler på sådanne problemer og derefter introducere en metode til at løse dem.
Opgave 1. Jeg havde 60 rubler; Jeg brugte 1/3 af disse penge på at købe bøger. Hvor meget kostede bøgerne?
Opgave 2. Toget skal køre en afstand mellem byerne A og B svarende til 300 km. Han har allerede tilbagelagt 2/3 af denne distance. Hvor mange kilometer er dette?
Opgave 3. Der er 400 huse i landsbyen, 3/4 af dem er mursten, resten er af træ. Hvor meget i alt murstenshuse?
Her er nogle af dem talrige opgaver at finde dele af et givet tal, som vi støder på. De kaldes normalt problemer for at finde brøkdelen af et givet tal.
Løsning på problem 1. Fra 60 rub. Jeg brugte 1/3 på bøger; Det betyder, at for at finde prisen på bøger skal du dividere tallet 60 med 3:
Løsning af problem 2. Pointen med problemet er, at du skal finde 2/3 af 300 km. Lad os først beregne 1/3 af 300; dette opnås ved at dividere 300 km med 3:
300: 3 = 100 (det er 1/3 af 300).
For at finde to tredjedele af 300 skal du fordoble den resulterende kvotient, dvs. gange med 2:
100 x 2 = 200 (det er 2/3 af 300).
Løsning af problem 3. Her skal du bestemme antallet af murstenshuse, der udgør 3/4 af 400. Lad os først finde 1/4 af 400,
400: 4 = 100 (det er 1/4 af 400).
For at beregne tre fjerdedele af 400 skal den resulterende kvotient tredobles, dvs. ganges med 3:
100 x 3 = 300 (det er 3/4 af 400).
Baseret på løsningen på disse problemer kan vi udlede følgende regel:
For at finde værdien af en brøk fra et givet tal, skal du dividere dette tal med nævneren af brøken og gange den resulterende kvotient med dens tæller.
3. Gang et helt tal med en brøk.
Tidligere (§ 26) blev det fastslået, at multiplikationen af heltal skulle forstås som addition af identiske led (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). I dette afsnit (punkt 1) blev det fastslået, at multiplikation af en brøk med et heltal betyder, at man finder summen af identiske led, der er lig med denne brøk.
I begge tilfælde bestod multiplikationen i at finde summen af identiske led.
Nu går vi videre til at gange et helt tal med en brøk. Her vil vi for eksempel støde på multiplikation: 9 2 / 3. Det er klart, at den tidligere definition af multiplikation ikke gælder for dette tilfælde. Dette fremgår af det faktum, at vi ikke kan erstatte en sådan multiplikation ved at lægge lige tal sammen.
På grund af dette bliver vi nødt til at give en ny definition af multiplikation, dvs., med andre ord, besvare spørgsmålet om, hvad der skal forstås ved multiplikation med en brøk, hvordan denne handling skal forstås.
Betydningen af at gange et helt tal med en brøk fremgår klart af følgende definition: at gange et heltal (multiplikand) med en brøk (multiplikand) betyder at finde denne brøkdel af multiplikanden.
At gange 9 med 2/3 betyder nemlig at finde 2/3 af ni enheder. I det foregående afsnit blev sådanne problemer løst; så det er nemt at regne ud, at vi ender med 6.
Men nu opstår et interessant og vigtigt spørgsmål: hvorfor kaldes sådanne tilsyneladende forskellige operationer, såsom at finde summen af lige tal og finde brøkdelen af et tal, i aritmetik med det samme ord "multiplikation"?
Dette sker, fordi den forrige handling (gentagelse af tallet med udtryk flere gange) og den nye handling (at finde brøkdelen af tallet) giver svar på homogene spørgsmål. Det betyder, at vi her går ud fra de betragtninger, at homogene spørgsmål eller opgaver løses ved samme handling.
For at forstå dette skal du overveje følgende problem: "1 m klud koster 50 rubler. Hvor meget vil 4 m af sådan en klud koste?
Dette problem løses ved at gange antallet af rubler (50) med antallet af meter (4), dvs. 50 x 4 = 200 (rubler).
Lad os tage det samme problem, men i det vil mængden af klud blive udtrykt som en brøkdel: "1 m klud koster 50 rubler. Hvor meget vil 3/4 m af et sådant klæde koste?"
Dette problem skal også løses ved at gange antallet af rubler (50) med antallet af meter (3/4).
Du kan ændre tallene i den flere gange uden at ændre betydningen af problemet, for eksempel tage 9/10 m eller 2 3/10 m osv.
Da disse problemer har det samme indhold og kun adskiller sig i tal, kalder vi de handlinger, der bruges til at løse dem, det samme ord - multiplikation.
Hvordan ganger man et helt tal med en brøk?
Lad os tage tallene i den sidste opgave:
Ifølge definitionen skal vi finde 3/4 af 50. Lad os først finde 1/4 af 50, og derefter 3/4.
1/4 af 50 er 50/4;
3/4 af tallet 50 er .
Derfor.
Lad os overveje et andet eksempel: 12 5 / 8 =?
1/8 af tallet 12 er 12/8,
5/8 af tallet 12 er .
Derfor,
Herfra får vi reglen:
For at gange et helt tal med en brøk, skal du gange hele tallet med brøkens tæller og gøre dette produkt til tælleren, og underskrive nævneren af denne brøk som nævneren.
Lad os skrive denne regel med bogstaver:
For at gøre denne regel fuldstændig klar, skal det huskes, at en brøk kan betragtes som en kvotient. Derfor er det nyttigt at sammenligne den fundne regel med reglen for at gange et tal med en kvotient, som blev opstillet i § 38
Det er vigtigt at huske, at før du udfører multiplikation, skal du gøre (hvis muligt) reduktioner, For eksempel:
4. At gange en brøk med en brøk. At multiplicere en brøk med en brøk har samme betydning som at gange et helt tal med en brøk, dvs., når du multiplicerer en brøk med en brøk, skal du finde den brøk, der er i faktoren fra den første brøk (multipikanet).
At gange 3/4 med 1/2 (halvt) betyder nemlig at finde halvdelen af 3/4.
Hvordan ganger man en brøk med en brøk?
Lad os tage et eksempel: 3/4 ganget med 5/7. Det betyder, at du skal finde 5/7 af 3/4. Lad os først finde 1/7 af 3/4 og derefter 5/7
1/7 af tallet 3/4 vil blive udtrykt som følger:
5/7 tal 3/4 vil blive udtrykt som følger:
Således,
Et andet eksempel: 5/8 ganget med 4/9.
1/9 af 5/8 er,
4/9 af tallet 5/8 er .
Således, 
Ud fra disse eksempler kan følgende regel udledes:
For at gange en brøk med en brøk, skal du gange tælleren med tælleren og nævneren med nævneren, og gøre det første produkt til tælleren, og det andet produkt til produktets nævner.
Dette er reglen i generel opfattelse kan skrives sådan her:
Ved multiplikation er det nødvendigt at foretage (hvis muligt) reduktioner. Lad os se på eksempler:
5. Multiplikation af blandede tal. Da blandede tal nemt kan erstattes af uægte brøker, bruges denne omstændighed normalt ved multiplikation af blandede tal. Det betyder, at i tilfælde, hvor multiplikanten eller faktoren eller begge faktorer er udtrykt som blandede tal, erstattes de af uægte brøker. Lad os gange f.eks. blandede tal: 2 1/2 og 3 1/5. Lad os omdanne hver af dem til en uægte brøk og derefter gange de resulterende brøker i henhold til reglen for at gange en brøk med en brøk:
Herske. For at gange blandede tal skal du først konvertere dem til uægte brøker og derefter gange dem i henhold til reglen for at gange brøker med brøker.
Note. Hvis en af faktorerne er et heltal, så kan multiplikationen udføres baseret på fordelingsloven som følger:
6. Rentebegrebet. Når vi løser opgaver og udfører forskellige praktiske beregninger, bruger vi alle slags brøker. Men det skal huskes, at mange mængder tillader ikke bare nogen, men naturlige opdelinger for dem. For eksempel kan du tage en hundrededel (1/100) af en rubel, det vil være en kopek, to hundrededele er 2 kopek, tre hundrededele er 3 kopek. Du kan tage 1/10 af en rubel, det vil være "10 kopek, eller et stykke ti kopek. Du kan tage en fjerdedel af en rubel, dvs. 25 kopek, en halv rubel, dvs. 50 kopek (halvtreds kopek). Men de tager det praktisk talt ikke, for eksempel 2/7 af en rubel, fordi rublen ikke er opdelt i syvendedele.
Vægtenheden, det vil sige kilogrammet, tillader primært decimaldelinger, for eksempel 1/10 kg eller 100 g. Og sådanne fraktioner af et kilogram som 1/6, 1/11, 1/13 er ikke almindelige.
Generelt er vores (metriske) mål decimaler og tillader decimaldelinger.
Det skal dog bemærkes, at det er yderst nyttigt og bekvemt i en lang række tilfælde at bruge den samme (ensartede) metode til underinddeling af mængder. Mange års erfaring har vist, at en så velbegrundet opdeling er den "hundrede" division. Lad os overveje flere eksempler, der vedrører de mest forskellige områder af menneskelig praksis.
1. Prisen på bøger er faldet med 12/100 af den tidligere pris.
Eksempel. Den tidligere pris for bogen var 10 rubler. Det faldt med 1 rubel. 20 kopek
2. Sparekasser betaler indskydere 2/100 af det indskudte beløb til opsparing i løbet af året.
Eksempel. 500 rubler deponeres i kasseapparatet, indkomsten fra dette beløb for året er 10 rubler.
3. Antallet af dimittender fra én skole var 5/100 af det samlede antal elever.
EKSEMPEL Der var kun 1.200 elever på skolen, hvoraf 60 dimitterede.
Den hundrededel af et tal kaldes en procentdel.
Ordet "procent" er lånt fra latinsk sprog og dens rod "cent" betyder hundrede. Sammen med præpositionen (pro centum) betyder dette ord "for hundrede." Betydningen af et sådant udtryk følger af den kendsgerning, at indledningsvis i det gamle Rom renter var de penge, som skyldneren betalte til långiveren "for hvert hundrede". Ordet "cent" høres i sådanne velkendte ord: centner (et hundrede kilo), centimeter (f.eks. centimeter).
For eksempel, i stedet for at sige, at anlægget i løbet af den seneste måned producerede 1/100 af alle sine produkter som defekte, vil vi sige dette: I løbet af den seneste måned har anlægget produceret en procent defekt. I stedet for at sige: anlægget producerede 4/100 flere produkter end den fastlagte plan, vil vi sige: anlægget overskred planen med 4 procent.
Ovenstående eksempler kan udtrykkes forskelligt:
1. Prisen på bøger er faldet med 12 procent af den tidligere pris.
2. Sparekasser betaler indskyderne 2 procent om året af det indskudte beløb på opsparing.
3. Antallet af dimittender fra én skole var 5 procent af alle skoleelever.
For at forkorte bogstavet er det sædvanligt at skrive %-symbolet i stedet for ordet "procent".
Du skal dog huske, at i beregninger skrives %-tegnet normalt ikke i problemformuleringen og i det endelige resultat. Når du udfører beregninger, skal du skrive en brøk med en nævner på 100 i stedet for et helt tal med dette symbol.
Du skal være i stand til at erstatte et heltal med det angivne ikon med en brøk med en nævner på 100:
Omvendt skal du vænne dig til at skrive et heltal med det angivne symbol i stedet for en brøk med en nævner på 100:
7. Finde procentdelen af et givet tal.
Opgave 1. Skolen fik 200 kubikmeter. m brænde, hvor birkebrænde udgør 30%. Hvor meget birkebrænde var der?
Meningen med denne problemstilling er, at birkebrænde kun udgjorde en del af det brænde, der blev leveret til skolen, og denne del er udtrykt i brøken 30/100. Det betyder, at vi har en opgave med at finde en brøkdel af et tal. For at løse det skal vi gange 200 med 30/100 (problemer med at finde brøkdelen af et tal løses ved at gange tallet med brøken.).
Det betyder, at 30 % af 200 er lig med 60.
Fraktionen 30/100, der stødes på i dette problem, kan reduceres med 10. Det ville være muligt at foretage denne reduktion helt fra begyndelsen; løsningen på problemet ville ikke have ændret sig.
Opgave 2. Der var 300 børn i forskellige aldre i lejren. Børn på 11 år udgjorde 21 %, børn på 12 år udgjorde 61 % og endelig udgjorde børn på 13 år 18 %. Hvor mange børn i hver alder var der i lejren?
I denne opgave skal du udføre tre beregninger, dvs. sekventielt finde antallet af børn på 11 år, derefter 12 år og til sidst 13 år.
Det betyder, at du her skal finde brøkdelen af tallet tre gange. Lad os gøre dette:
1) Hvor mange 11-årige børn var der?
2) Hvor mange 12-årige børn var der?
3) Hvor mange 13-årige børn var der?
Efter at have løst problemet, er det nyttigt at tilføje de fundne tal; deres sum skal være 300:
63 + 183 + 54 = 300
Det skal også bemærkes, at summen af procenterne i problemformuleringen er 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Det tyder på det samlet antal børn i lejren blev taget som 100 %.
3 a d a h a 3. Arbejderen modtog 1.200 rubler om måneden. Heraf brugte han 65 % på mad, 6 % på lejligheder og varme, 4 % på gas, el og radio, 10 % på kulturelle behov og 15 % sparet. Hvor mange penge blev der brugt på de behov, der er angivet i problemet?
For at løse dette problem skal du finde brøkdelen af 1.200 5 gange. Lad os gøre dette.
1) Hvor mange penge blev brugt på mad? Problemet siger, at denne udgift er 65% af den samlede indtjening, dvs. 65/100 af tallet 1.200. Lad os regne ud:
2) Hvor mange penge har du betalt for en lejlighed med varme? På samme måde som den foregående kommer vi frem til følgende beregning:
3) Hvor mange penge betalte du for gas, elektricitet og radio?
4) Hvor mange penge blev brugt på kulturelle behov?
5) Hvor mange penge sparede arbejderen?
For at kontrollere, er det nyttigt at lægge tallene sammen i disse 5 spørgsmål. Beløbet skal være 1.200 rubler. Al indtjening tages som 100 %, hvilket er let at kontrollere ved at lægge de procenttal, der er angivet i problemformuleringen sammen.
Vi løste tre problemer. På trods af at disse problemer handlede om forskellige ting (levering af brænde til skolen, antallet af børn i forskellige aldre, arbejderens udgifter), blev de løst på samme måde. Dette skete, fordi det i alle problemer var nødvendigt at finde flere procent af givne tal.
§ 90. Brøkdeling.
Når vi studerer brøkdeling, vil vi overveje følgende spørgsmål:
1. Divider et heltal med et heltal.
2. At dividere en brøk med et helt tal
3. At dividere et helt tal med en brøk.
4. At dividere en brøk med en brøk.
5. Division af blandede tal.
6. At finde et tal fra dets givne brøk.
7. Find et tal ved dets procentdel.
Lad os overveje dem sekventielt.
1. Divider et heltal med et heltal.
Som det blev angivet i afdelingen for heltal, er division den handling, der består i, at givet produktet af to faktorer (dividende) og en af disse faktorer (divisor), findes en anden faktor.
Vi så på at dividere et heltal med et heltal i afsnittet om heltal. Vi stødte på to tilfælde af division der: division uden en rest, eller "helt" (150: 10 = 15), og division med en rest (100: 9 = 11 og 1 rest). Vi kan derfor sige, at i feltet med heltal er nøjagtig division ikke altid mulig, fordi udbyttet ikke altid er produktet af divisor med heltal. Efter at have introduceret multiplikation med en brøk, kan vi overveje ethvert tilfælde af at dividere heltal muligt (kun division med nul er udelukket).
For eksempel betyder at dividere 7 med 12 at finde et tal, hvis produkt med 12 ville være lig med 7. Et sådant tal er brøken 7 / 12, fordi 7 / 12 12 = 7. Et andet eksempel: 14: 25 = 14 / 25, fordi 14 / 25 25 = 14.
For at dividere et helt tal med et helt tal skal du således oprette en brøk, hvis tæller er lig med udbyttet, og hvis nævner er lig med divisor.
2. At dividere en brøk med et helt tal.
Divider brøken 6 / 7 med 3. Ifølge definitionen af division ovenfor har vi her produktet (6 / 7) og en af faktorerne (3); det er nødvendigt at finde en anden faktor, der, når ganget med 3, ville give det givne produkt 6/7. Det skal naturligvis være tre gange mindre end dette produkt. Det betyder, at opgaven var at reducere brøken 6/7 med 3 gange.
Vi ved allerede, at reduktion af en brøk kan gøres enten ved at mindske dens tæller eller ved at øge dens nævner. Derfor kan du skrive:
I dette tilfælde er tælleren 6 delelig med 3, så tælleren skal reduceres med 3 gange.
Lad os tage et andet eksempel: 5 / 8 divideret med 2. Her er tælleren 5 ikke delelig med 2, hvilket betyder, at nævneren skal ganges med dette tal:
Ud fra dette kan der laves en regel: For at dividere en brøk med et helt tal, skal du dividere brøkens tæller med det hele tal.(hvis muligt), efterlader den samme nævner, eller gang brøkens nævner med dette tal, så den samme tæller efterlades.
3. At dividere et helt tal med en brøk.
Lad det være nødvendigt at dividere 5 med 1/2, dvs. find et tal, der efter at gange med 1/2 vil give produktet 5. Dette tal skal naturligvis være større end 5, da 1/2 er en egen brøk , og når man multiplicerer et tal, skal produktet af en egen brøk være mindre end produktet, der ganges. For at gøre dette klarere, lad os skrive vores handlinger som følger: 5: 1 / 2 = X , hvilket betyder x 1/2 = 5.
Sådan et nummer skal vi finde X , som, hvis ganget med 1/2, ville give 5. Da multiplicering af et bestemt tal med 1/2 betyder at finde 1/2 af dette tal, så derfor 1/2 af det ukendte tal X er lig med 5, og hele tallet X dobbelt så meget, dvs. 5 2 = 10.
Så 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
Lad os tjekke: 
Lad os se på et andet eksempel. Lad os sige, at du vil dividere 6 med 2/3. Lad os først prøve at finde det ønskede resultat ved hjælp af tegningen (fig. 19).
Fig.19
Lad os tegne et segment AB svarende til 6 enheder, og opdele hver enhed i 3 lige store dele. I hver enhed er tre tredjedele (3/3) af hele segmentet AB 6 gange større, dvs. e. 18/3. Ved hjælp af små beslag forbinder vi de 18 resulterende segmenter af 2; Der vil kun være 9 segmenter. Det betyder, at brøkdelen 2/3 er indeholdt i 6 enheder 9 gange, eller med andre ord, brøken 2/3 er 9 gange mindre end 6 hele enheder. Derfor,
Hvordan får man dette resultat uden en tegning alene ved hjælp af beregninger? Lad os ræsonnere sådan her: vi skal dividere 6 med 2/3, dvs. vi skal besvare spørgsmålet, hvor mange gange 2/3 er indeholdt i 6. Lad os først finde ud af: hvor mange gange 1/3 er indeholdt i 6? I en hel enhed er der 3 tredjedele, og i 6 enheder er der 6 gange mere, altså 18 tredjedele; for at finde dette tal skal vi gange 6 med 3. Det betyder, at 1/3 er indeholdt i b-enheder 18 gange, og 2/3 er indeholdt i b-enheder ikke 18 gange, men halvt så mange gange, dvs. 18: 2 = 9 Derfor gjorde vi følgende, når vi dividerede 6 med 2/3:
Herfra får vi reglen for at dividere et helt tal med en brøk. For at dividere et helt tal med en brøk, skal du gange dette hele tal med nævneren for den givne brøk, og for at gøre dette produkt til tælleren skal du dividere det med tælleren for den givne brøk.
Lad os skrive reglen med bogstaver:
For at gøre denne regel fuldstændig klar, skal det huskes, at en brøk kan betragtes som en kvotient. Derfor er det nyttigt at sammenligne den fundne regel med reglen for at dividere et tal med en kvotient, som blev opstillet i § 38. Bemærk venligst, at den samme formel blev opnået der.
Ved opdeling er forkortelser mulige, for eksempel:
4. At dividere en brøk med en brøk.
Lad os sige, at vi skal dividere 3/4 med 3/8. Hvad betyder det tal, der kommer fra division? Det vil besvare spørgsmålet, hvor mange gange brøken 3/8 er indeholdt i brøken 3/4. For at forstå dette problem, lad os lave en tegning (fig. 20).
Lad os tage et segment AB, tage det som et, dele det i 4 lige store dele og markere 3 sådanne dele. Segment AC vil være lig med 3/4 af segment AB. Lad os nu dele hvert af de fire oprindelige segmenter i to, så vil segmentet AB blive delt i 8 lige store dele og hver sådan del vil være lig med 1/8 af segmentet AB. Lad os forbinde 3 sådanne segmenter med buer, så vil hvert af segmenterne AD og DC være lig med 3/8 af segmentet AB. Tegningen viser, at et segment lig med 3/8 er indeholdt i et segment lig med 3/4 nøjagtigt 2 gange; Det betyder, at resultatet af division kan skrives som følger:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Lad os se på et andet eksempel. Lad os sige, at vi skal dividere 15/16 med 3/32:
Vi kan ræsonnere sådan her: Vi skal finde et tal, der efter at have ganget med 3/32 vil give et produkt lig med 15/16. Lad os skrive beregningerne sådan her:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 ukendt nummer X er 15/16
1/32 af et ukendt antal X er,
32/32 numre X sminke.
Derfor,
For at dividere en brøk med en brøk, skal du gange tælleren for den første brøk med nævneren af den anden, og gange nævneren af den første brøk med tælleren i den anden, og gøre det første produkt til tælleren, og den anden nævneren.
Lad os skrive reglen med bogstaver:
Ved opdeling er forkortelser mulige, for eksempel:
5. Division af blandede tal.
Ved opdeling af blandede tal skal de først konverteres til uægte brøker og divider derefter de resulterende brøker efter reglerne for division af brøktal. Lad os se på et eksempel:
Lad os konvertere blandede tal til uægte brøker:
Lad os nu dele:
For at dividere blandede tal skal du konvertere dem til uægte brøker og derefter dividere ved at bruge reglen for at dividere brøker.
6. At finde et tal fra dets givne brøk.
Blandt forskellige opgaver på brøker, nogle gange er der dem, hvor værdien af en brøkdel af et ukendt tal er givet, og du skal finde dette tal. Denne type problem vil være det omvendte af problemet med at finde brøkdelen af et givet tal; der blev der givet et tal, og det var nødvendigt at finde en brøkdel af dette tal, her blev der givet en brøkdel af et tal, og det var påkrævet at finde dette tal selv. Denne idé vil blive endnu tydeligere, hvis vi vender os til at løse denne type problemer.
Opgave 1. Den første dag glaserede glarmestrene 50 vinduer, hvilket er 1/3 af alle vinduerne i det byggede hus. Hvor mange vinduer er der i dette hus?
Løsning. Problemet siger, at 50 glasruder udgør 1/3 af alle husets vinduer, hvilket betyder, at der er 3 gange flere vinduer i alt, dvs.
Huset havde 150 vinduer.
Opgave 2. Butikken solgte 1.500 kg mel, hvilket er 3/8 af det samlede mellager butikken havde. Hvad var butikkens oprindelige forsyning af mel?
Løsning. Af problemets forhold fremgår det klart, at 1.500 kg solgt mel udgør 3/8 af det samlede lager; det betyder, at 1/8 af denne reserve vil være 3 gange mindre, dvs. for at beregne den skal du reducere 1500 med 3 gange:
1.500: 3 = 500 (dette er 1/8 af reserven).
Det er klart, at hele udbuddet vil være 8 gange større. Derfor,
5008 = 4.000 (kg).
Det oprindelige lager af mel i butikken var 4.000 kg.
Ud fra overvejelser om dette problem kan følgende regel udledes.
For at finde et tal fra en given værdi af dens brøk, er det nok at dividere denne værdi med brøkens tæller og gange resultatet med nævneren af brøken.
Vi løste to problemer ved at finde et tal givet dets brøk. Sådanne problemer, som det især tydeligt ses af den sidste, løses ved to handlinger: division (når en del findes) og multiplikation (når hele tallet findes).
Men efter at vi har lært brøkdelingen, kan ovenstående problemer løses med én handling, nemlig: division med brøk.
For eksempel kan den sidste opgave løses i én handling som denne:
I fremtiden vil vi løse problemer med at finde et tal fra dets brøk med én handling - division.
7. Find et tal ved dets procentdel.
I disse problemer skal du finde et tal, der kender nogle få procent af dette tal.
Opgave 1. I begyndelsen af dette år modtog jeg 60 rubler fra sparekassen. indtægt fra det beløb, jeg lagde i opsparing for et år siden. Hvor mange penge har jeg lagt i sparekassen? (Kasseskrankerne giver indskydere et afkast på 2 % om året.)
Meningen med problemet er, at jeg lagde en vis sum penge i en sparekasse og blev der i et år. Efter et år modtog jeg 60 rubler fra hende. indkomst, hvilket er 2/100 af de penge, jeg indsatte. Hvor mange penge har jeg lagt ind?
Ved at kende en del af disse penge, udtrykt på to måder (i rubler og brøker), må vi følgelig finde hele det endnu ukendte beløb. Dette er et almindeligt problem med at finde et tal givet dets brøk. Følgende problemer løses ved division:
Det betyder, at der blev indsat 3.000 rubler i sparekassen.
Opgave 2. Fiskerne opfyldte den månedlige plan med 64 % på to uger og høstede 512 tons fisk. Hvad var deres plan?
Fra problemets forhold vides det, at fiskerne gennemførte en del af planen. Denne del svarer til 512 tons, hvilket er 64% af planen. Vi ved ikke, hvor mange tons fisk, der skal tilberedes efter planen. At finde dette nummer vil være løsningen på problemet.
Sådanne problemer løses ved division:
Det betyder, at der efter planen skal tilberedes 800 tons fisk.
Opgave 3. Toget gik fra Riga til Moskva. Da han passerede den 276. kilometer, spurgte en af passagererne en forbipasserende konduktør, hvor meget af rejsen de allerede havde tilbagelagt. Til dette svarede konduktøren: "Vi har allerede dækket 30% af hele rejsen." Hvad er afstanden fra Riga til Moskva?
Fra problemforholdene er det klart, at 30% af ruten fra Riga til Moskva er 276 km. Vi skal finde hele afstanden mellem disse byer, dvs. for denne del skal vi finde helheden:
§ 91. Gensidige tal. At erstatte division med multiplikation.
Lad os tage brøken 2/3 og erstatte tælleren i stedet for nævneren, vi får 3/2. Vi har det omvendte af denne brøk.
For at få en brøk, der er den omvendte af en given brøk, skal du sætte dens tæller i stedet for nævneren og nævneren i stedet for tælleren. På denne måde kan vi få den gensidige af enhver brøk. For eksempel:
3/4, omvendt 4/3; 5/6, omvendt 6/5
To brøker, der har den egenskab, at tælleren af den første er nævneren af den anden, og nævneren af den første er tælleren af den anden, kaldes indbyrdes omvendt.
Lad os nu tænke på, hvilken brøk der vil være den gensidige af 1/2. Det vil naturligvis være 2/1, eller bare 2. Ved at lede efter den omvendte brøkdel af den givne, fik vi et heltal. Og denne sag er ikke isoleret; tværtimod, for alle brøker med en tæller på 1 (en), vil de reciproke tal være heltal, for eksempel:
1/3, omvendt 3; 1/5, omvendt 5
Da vi ved at finde gensidige brøker også stødte på heltal, vil vi i det følgende ikke tale om gensidige brøker, men om gensidige tal.
Lad os finde ud af, hvordan man skriver det omvendte af et heltal. For brøker kan dette løses enkelt: du skal sætte nævneren i stedet for tælleren. På samme måde kan du få det omvendte af et heltal, da ethvert heltal kan have en nævner på 1. Det betyder, at det inverse af 7 bliver 1/7, fordi 7 = 7/1; for tallet 10 vil det omvendte være 1/10, da 10 = 10/1
Denne idé kan udtrykkes anderledes: det reciproke af et givet tal opnås ved at dividere et med et givet tal. Dette udsagn gælder ikke kun for hele tal, men også for brøker. Faktisk, hvis vi skal skrive det omvendte af brøken 5/9, så kan vi tage 1 og dividere det med 5/9, dvs.
Lad os nu påpege én ting ejendom gensidige tal, som vil være nyttige for os: produktet af gensidige tal er lig med en. Faktisk:
Ved at bruge denne egenskab kan vi finde gensidige tal på følgende måde. Lad os sige, at vi skal finde det omvendte af 8.
Lad os betegne det med bogstavet X , derefter 8 X = 1, derfor X = 1/8. Lad os finde et andet tal, der er det omvendte af 7/12 og angive det med bogstavet X , derefter 7/12 X = 1, derfor X = 1: 7 / 12 eller X = 12 / 7 .
Vi introducerede her begrebet gensidige tal for lidt at supplere informationen om at dividere brøker.
Når vi dividerer tallet 6 med 3/5, gør vi følgende:
Betal venligst særlig opmærksomhed til udtrykket og sammenlign det med det givne:.
Hvis vi tager udtrykket separat, uden sammenhæng med det foregående, så er det umuligt at løse spørgsmålet om, hvor det kom fra: ved at dividere 6 med 3/5 eller fra at gange 6 med 5/3. I begge tilfælde sker det samme. Derfor kan vi sige at dividere et tal med et andet kan erstattes ved at gange udbyttet med det omvendte af divisoren.
Eksemplerne, vi giver nedenfor, bekræfter fuldt ud denne konklusion.
) og nævner for nævner (vi får produktets nævner).
Formel til at gange brøker:
For eksempel:
Før du begynder at gange tællere og nævnere, skal du kontrollere, om brøken kan reduceres. Hvis du kan reducere brøken, vil det være lettere for dig at foretage yderligere beregninger.
At dividere en almindelig brøk med en brøk.
At dividere brøker, der involverer naturlige tal.
Det er ikke så skræmmende, som det ser ud til. Som i tilfældet med addition, konverterer vi hele tallet til en brøk med én i nævneren. For eksempel:
Multiplicering af blandede fraktioner.
Regler for at gange brøker (blandet):
- konvertere blandede fraktioner til ukorrekte fraktioner;
- gange tællere og nævnere af brøker;
- reducere fraktionen;
- Hvis du får en uægte brøk, så konverterer vi den uægte brøk til en blandet brøk.
Vær opmærksom! At formere sig blandet fraktion til en anden blandet brøk, skal du først omregne dem til form af uægte brøker og derefter gange dem efter reglen for at gange almindelige brøker.
Den anden måde at gange en brøk med et naturligt tal.
Det kan være mere praktisk at bruge den anden metode til at gange en fælles brøk med et tal.
Vær opmærksom! At gange en brøk med naturligt tal Det er nødvendigt at dividere nævneren af brøken med dette tal og lade tælleren være uændret.
Fra eksemplet ovenfor er det klart, at denne mulighed er mere praktisk at bruge, når nævneren af en brøk divideres uden en rest med et naturligt tal.
Fleretagers brøker.
I gymnasiet støder man ofte på tre-etagers (eller flere) brøker. Eksempel:
For at bringe en sådan brøk til sin sædvanlige form, brug division gennem 2 punkter:
Vær opmærksom! Når man deler brøker, er rækkefølgen af division meget vigtig. Vær forsigtig, det er nemt at blive forvirret her.
Bemærk venligst For eksempel:
Når man dividerer en med en hvilken som helst brøk, vil resultatet være den samme brøk, kun omvendt:
Praktiske tips til at gange og dividere brøker:
1. Det vigtigste, når man arbejder med brøkudtryk, er nøjagtighed og opmærksomhed. Foretag alle beregninger omhyggeligt og præcist, koncentreret og klart. Det er bedre at skrive et par ekstra linjer i din kladde end at fare vild i hovedberegninger.
2. I opgaver med forskellige typer brøker, gå til typen af almindelige brøker.
3. Vi reducerer alle fraktioner, indtil det ikke længere er muligt at reducere.
4. Vi transformerer brøkudtryk på flere niveauer til almindelige ved hjælp af division gennem 2 punkter.
5. Divider en enhed med en brøk i dit hoved, vend blot brøken om.
Du kan gøre alt med brøker, inklusive division. Denne artikel viser opdelingen af almindelige brøker. Definitioner vil blive givet, og eksempler vil blive diskuteret. Lad os dvæle i detaljer ved at dividere brøker med naturlige tal og omvendt. At dividere en fælles brøk med et blandet tal vil blive diskuteret.
Opdeling af brøker
Division er det omvendte af multiplikation. Ved division findes den ukendte faktor med det kendte produkt af en anden faktor, hvor dens givne betydning bevares med almindelige fraktioner.
Hvis det er nødvendigt at dividere en fælles brøk a b med c d, så for at bestemme et sådant tal skal du gange med divisoren c d, dette vil i sidste ende give udbyttet a b. Lad os få et tal og skrive det a b · d c , hvor d c er det omvendte af c d-tallet. Ligheder kan skrives ved hjælp af egenskaberne ved multiplikation, nemlig: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, hvor udtrykket a b · d c er kvotienten for at dividere a b med c d.
Herfra får vi og formulerer reglen for at dividere almindelige brøker:
Definition 1
For at dividere en fælles brøk a b med c d, skal du gange udbyttet med den reciproke af divisor.
Lad os skrive reglen i form af et udtryk: a b: c d = a b · d c
Reglerne for division kommer ned til multiplikation. For at holde fast i det, skal du have en god forståelse for at gange brøker.
Lad os gå videre til at overveje opdelingen af almindelige brøker.
Eksempel 1
Del 9 7 med 5 3. Skriv resultatet som en brøk.
Løsning
Tallet 5 3 er den gensidige brøk 3 5. Det er nødvendigt at bruge reglen til at dividere almindelige brøker. Vi skriver dette udtryk som følger: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Svar: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Når du reducerer brøker, skal du adskille hele delen, hvis tælleren er større end nævneren.
Eksempel 2
Divider 8 15: 24 65. Skriv svaret som en brøk.
Løsning
For at løse skal du gå fra division til multiplikation. Lad os skrive det i denne form: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Det er nødvendigt at foretage en reduktion, og dette gøres som følger: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Vælg hele delen og få 13 9 = 1 4 9.
Svar: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
At dividere en ekstraordinær brøk med et naturligt tal
Vi bruger reglen for at dividere en brøk med et naturligt tal: For at dividere a b med et naturligt tal n skal du kun gange nævneren med n. Herfra får vi udtrykket: a b: n = a b · n.
Divisionsreglen er en konsekvens af multiplikationsreglen. Derfor vil repræsentation af et naturligt tal som en brøk give en lighed af denne type: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Overvej denne division af en brøk med et tal.
Eksempel 3
Divider brøken 16 45 med tallet 12.
Løsning
Lad os anvende reglen for at dividere en brøk med et tal. Vi får et udtryk på formen 16 45: 12 = 16 45 · 12.
Lad os reducere fraktionen. Vi får 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
Svar: 16 45: 12 = 4 135 .
At dividere et naturligt tal med en brøk
Delingsreglen er den samme O reglen for at dividere et naturligt tal med en almindelig brøk: for at dividere et naturligt tal n med en almindelig brøk a b, er det nødvendigt at gange tallet n med det reciproke af brøken a b.
Ud fra reglen har vi n: a b = n · b a, og takket være reglen om at gange et naturligt tal med en almindelig brøk, får vi vores udtryk på formen n: a b = n · b a. Det er nødvendigt at overveje denne opdeling med et eksempel.
Eksempel 4
Divider 25 med 15 28.
Løsning
Vi skal gå fra division til multiplikation. Lad os skrive det i form af udtrykket 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Lad os reducere brøken og få resultatet i form af brøken 46 2 3.
Svar: 25: 15 28 = 46 2 3 .
At dividere en brøk med et blandet tal
Når du dividerer en almindelig brøk med et blandet tal, kan du nemt begynde at dividere almindelige brøker. Du skal konvertere et blandet tal til en uægte brøk.
Eksempel 5
Divider brøken 35 16 med 3 1 8.
Løsning
Da 3 1 8 er et blandet tal, lad os repræsentere det som en uægte brøk. Så får vi 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Lad os nu dividere brøker. Vi får 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Svar: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
At dividere et blandet tal foregår på samme måde som almindelige tal.
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter
En brøk er en eller flere dele af en helhed, som normalt tages for at være en (1). Som med naturlige tal kan du udføre alle grundlæggende aritmetiske operationer (addition, subtraktion, division, multiplikation) med brøker for at gøre dette, skal du kende funktionerne ved at arbejde med brøker og skelne mellem deres typer. Der er flere typer af brøker: decimaler og almindelige eller simple. Hver brøktype har sine egne detaljer, men når du først har forstået, hvordan du håndterer dem, vil du være i stand til at løse eventuelle eksempler med brøker, da du kender de grundlæggende principper for at udføre aritmetiske beregninger med brøker. Lad os se på eksempler på, hvordan man dividerer en brøk med et helt tal vha forskellige typer brøker
Hvordan dividerer man en simpel brøk med et naturligt tal?Almindelige eller simple brøker er dem, der er skrevet i form af et forhold mellem tal, hvor dividenden (tælleren) er angivet øverst i brøken, og brøkens divisor (nævneren) er angivet nederst. Hvordan dividerer man en sådan brøk med et helt tal? Lad os se på et eksempel! Lad os sige, at vi skal dividere 8/12 med 2.
For at gøre dette skal vi udføre en række handlinger:
Så hvis vi står over for opgaven med at dividere en brøk med et helt tal, vil løsningsdiagrammet se nogenlunde sådan ud: 
På lignende måde kan du dividere enhver almindelig (simpel) brøk med et heltal.
Hvordan dividerer man en decimal med et helt tal?
En decimal er en brøk, der opnås ved at dividere en enhed i ti, tusinde og så videre dele. Aritmetik med decimaler er ret simpelt.
Lad os se på et eksempel på, hvordan man dividerer en brøk med et helt tal. Lad os sige, at vi skal dividere decimalbrøken 0,925 med det naturlige tal 5.
For at opsummere, lad os dvæle ved to hovedpunkter, der er vigtige, når du udfører operationen med at dividere decimalbrøker med et heltal: - til adskillelse decimal Kolonneinddeling bruges til et naturligt tal;
- Et komma sættes i en kvotient, når opdelingen af hele udbyttedelen er gennemført.
