Διαίρεσηκαι ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος πάνω τους κοινός διαιρέτης , διαφορετικό από ένα, λέγεται μειώνοντας ένα κλάσμα.

Για να μειώσετε ένα κοινό κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με τον ίδιο φυσικό αριθμό.

Αυτός ο αριθμός είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης του αριθμητή και του παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος.

Τα παρακάτω είναι πιθανά έντυπα καταγραφής αποφάσεωνΠαραδείγματα αναγωγής κοινών κλασμάτων.

Ο μαθητής έχει το δικαίωμα να επιλέξει οποιαδήποτε μορφή ηχογράφησης.

Παραδείγματα. Απλοποιήστε τα κλάσματα.

Μειώστε το κλάσμα κατά 3 (διαιρέστε τον αριθμητή με 3.

διαιρέστε τον παρονομαστή με το 3).

Μειώστε το κλάσμα κατά 7.

Εκτελούμε τις υποδεικνυόμενες ενέργειες στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος.

Το κλάσμα που προκύπτει μειώνεται κατά 5.

Ας μειώσουμε αυτό το κλάσμα 4) επί 5·7³- ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD) του αριθμητή και του παρονομαστή, ο οποίος αποτελείται από τους κοινούς συντελεστές του αριθμητή και του παρονομαστή, που λαμβάνονται στην ισχύ με τον μικρότερο εκθέτη.

Ας συνυπολογίσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος σε πρώτους παράγοντες.

Παίρνουμε: 756=2²·3³·7Και 1176=2³·3·7².

Προσδιορίστε το GCD (μέγιστο κοινό διαιρέτη) του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος 5) .

Αυτό είναι το προϊόν κοινών παραγόντων που λαμβάνονται με τους χαμηλότερους εκθέτες.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με το gcd τους, δηλ. 2²·3·7παίρνουμε ένα μη αναγώγιμο κλάσμα 9/14 .

Ή ήταν δυνατό να γραφτεί η αποσύνθεση του αριθμητή και του παρονομαστή με τη μορφή ενός γινόμενου πρώτων παραγόντων, χωρίς να χρησιμοποιηθεί η έννοια της ισχύος, και στη συνέχεια να μειωθεί το κλάσμα διαγράφοντας τους ίδιους παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Όταν δεν υπάρχουν πανομοιότυποι παράγοντες, πολλαπλασιάζουμε τους υπόλοιπους συντελεστές χωριστά στον αριθμητή και χωριστά στον παρονομαστή και γράφουμε το κλάσμα που προκύπτει 9/14 .

Και τέλος, ήταν δυνατό να μειωθεί αυτό το κλάσμα 5) σταδιακά, εφαρμόζοντας σημάδια διαίρεσης αριθμών τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή του κλάσματος. Ας σκεφτούμε ως εξής: αριθμοί 756 Και 1176 τελειώνουν σε ζυγό αριθμό, που σημαίνει ότι και τα δύο διαιρούνται με 2 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 2 . Αριθμητής και παρονομαστής νέο κλάσμα- αριθμοί 378 Και 588 επίσης χωρίζεται σε 2 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 2 . Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 294 - ακόμη, και 189 είναι περίεργο και η μείωση κατά 2 δεν είναι πλέον δυνατή. Ας ελέγξουμε τη διαιρετότητα των αριθμών 189 Και 294 επί 3 .

Το (1+8+9)=18 διαιρείται με το 3 και το (2+9+4)=15 διαιρείται με το 3, εξ ου και οι ίδιοι οι αριθμοί 189 Και 294 χωρίζονται σε 3 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 3 . Επόμενος, 63 διαιρείται με το 3 και 98 - Όχι. Ας δούμε άλλους πρωταρχικούς παράγοντες. Και οι δύο αριθμοί διαιρούνται με 7 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 7 και παίρνουμε το μη αναγώγιμο κλάσμα 9/14 .

Η ηλεκτρονική αριθμομηχανή λειτουργεί μείωση αλγεβρικά κλάσματα σύμφωνα με τον κανόνα της αναγωγής των κλασμάτων: αντικατάσταση του αρχικού κλάσματος με ίσο κλάσμα, αλλά με μικρότερο αριθμητή και παρονομαστή, δηλ. Ταυτόχρονη διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος με τον κοινό μέγιστο κοινό παράγοντα τους (GCD). Εμφανίζεται επίσης η αριθμομηχανή λεπτομερής λύση, το οποίο θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε τη σειρά της μείωσης.

Δεδομένος:

Διάλυμα:

Εκτέλεση μείωσης κλασμάτων

ελέγχοντας τη δυνατότητα πραγματοποίησης αλγεβρικής αναγωγής κλασμάτων

1) Προσδιορισμός του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη (GCD) του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος

προσδιορισμός του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη (GCD) του αριθμητή και του παρονομαστή ενός αλγεβρικού κλάσματος

2) Μείωση αριθμητή και παρονομαστή ενός κλάσματος

μειώνοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός αλγεβρικού κλάσματος

3) Επιλέγοντας ολόκληρο το τμήμα ενός κλάσματος

που χωρίζει ολόκληρο το τμήμα ενός αλγεβρικού κλάσματος

4) Μετατροπή αλγεβρικού κλάσματος σε δεκαδικό κλάσμα

μετατροπή αλγεβρικού κλάσματος σε δεκαδικός

Βοήθεια για την ανάπτυξη ιστοσελίδων του έργου

Αγαπητέ επισκέπτη του ιστότοπου.
Εάν δεν μπορέσατε να βρείτε αυτό που ψάχνατε, φροντίστε να γράψετε για αυτό στα σχόλια, αυτό που λείπει αυτήν τη στιγμή στον ιστότοπο. Αυτό θα μας βοηθήσει να καταλάβουμε προς ποια κατεύθυνση πρέπει να προχωρήσουμε περαιτέρω και οι άλλοι επισκέπτες θα μπορούν σύντομα να λάβουν το απαραίτητο υλικό.
Εάν ο ιστότοπος αποδείχθηκε χρήσιμος για εσάς, δωρίστε τον ιστότοπο στο έργο μόνο 2 ₽και θα ξέρουμε ότι κινούμαστε προς τη σωστή κατεύθυνση.

Σας ευχαριστούμε που περάσατε!

I. Διαδικασία για τη μείωση ενός αλγεβρικού κλάσματος χρησιμοποιώντας μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή:

1. Για να μειώσετε ένα αλγεβρικό κλάσμα, εισαγάγετε τις τιμές του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος στα κατάλληλα πεδία. Εάν το κλάσμα είναι ανακατεμένο, τότε συμπληρώστε επίσης το πεδίο που αντιστοιχεί σε ολόκληρο το τμήμα του κλάσματος. Εάν το κλάσμα είναι απλό, τότε αφήστε κενό ολόκληρο το πεδίο του τμήματος.
2. Για να καθορίσετε ένα αρνητικό κλάσμα, τοποθετήστε ένα σύμβολο μείον σε ολόκληρο το τμήμα του κλάσματος.
3. Ανάλογα με το καθορισμένο αλγεβρικό κλάσμα, εκτελείται αυτόματα η ακόλουθη σειρά ενεργειών:

• προσδιορισμός του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη (GCD) του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος;
• μείωση του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος κατά gcd;
• τονίζοντας ολόκληρο το μέρος ενός κλάσματος, αν ο αριθμητής του τελικού κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή.
• μετατρέποντας το τελικό αλγεβρικό κλάσμα σε δεκαδικό κλάσμαστρογγυλεμένο στο πλησιέστερο εκατοστό.

II. Για αναφορά:

Κλάσμα είναι ένας αριθμός που αποτελείται από ένα ή περισσότερα μέρη (κλάσματα) μιας μονάδας. Ένα κοινό κλάσμα (απλό κλάσμα) γράφεται ως δύο αριθμοί (ο αριθμητής του κλάσματος και ο παρονομαστής του κλάσματος) που χωρίζονται από μια οριζόντια ράβδο (η ράβδος του κλάσματος) που δείχνει το πρόσημο της διαίρεσης. Ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι ο αριθμός πάνω από τη γραμμή του κλάσματος. Ο αριθμητής δείχνει πόσες μετοχές ελήφθησαν από το σύνολο.Ο παρονομαστής ενός κλάσματος είναι ο αριθμός κάτω από τη γραμμή του κλάσματος. Ο παρονομαστής δείχνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίζεται το σύνολο. Ένα απλό κλάσμα είναι ένα κλάσμα που δεν έχει ολόκληρο μέρος. Ένα απλό κλάσμα μπορεί να είναι σωστό ή ακατάλληλο.σωστό κλάσμα - ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μικρότερο από τον παρονομαστή, άρα ένα σωστό κλάσμα είναι πάντα μικρότερο από ένα. Παράδειγμα κατάλληλων κλασμάτων: 8/7, 19/11, 16/17.

ακατάλληλο κλάσμα - ένα κλάσμα στο οποίο ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή, επομένως ένα ακατάλληλο κλάσμα είναι πάντα

1. περισσότερα από ένα ή ίσο με αυτό. Παράδειγμα ακατάλληλων κλασμάτων: 7/6, 8/7, 13/13. , μικτό κλάσμα είναι ένας αριθμός που περιέχει έναν ακέραιο αριθμό και ένα σωστό κλάσμα και δηλώνει το άθροισμα αυτού του ακέραιου αριθμού και του κατάλληλου κλάσματος. Οποιοδήποτε μικτό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε ακατάλληλο κλάσμα, απλό κλάσμα.
2. . Παράδειγμα μικτών κλασμάτων: 1¼, 2½, 4¾.

III. Σημείωμα:

Επισημαίνεται το μπλοκ δεδομένων πηγής

κίτρινος

το μπλοκ των ενδιάμεσων υπολογισμών επισημαίνεται με μπλε χρώμα

το μπλοκ λύσης επισημαίνεται με πράσινο χρώμα

Για να προσθέσετε, να αφαιρέσετε, να πολλαπλασιάσετε και να διαιρέσετε κοινά ή μικτά κλάσματα, χρησιμοποιήστε την ηλεκτρονική αριθμομηχανή κλασμάτων με λεπτομερείς λύσεις.

Την τελευταία φορά φτιάξαμε ένα σχέδιο, ακολουθώντας το οποίο μπορείτε να μάθετε πώς να μειώνετε γρήγορα τα κλάσματα. Τώρα ας δούμε συγκεκριμένα παραδείγματα αναγωγής κλασμάτων.

Τώρα ας ελέγξουμε αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής βρίσκονται στην ίδια στήλη στον πίνακα πολλαπλασιασμού; Το 36 και το 81 διαιρούνται και τα δύο με το 9, το 28 και το 63 διαιρούνται με το 7 και το 32 και το 40 διαιρούνται με το 8 (διαιρούνται επίσης με το 4, αλλά αν υπάρχει επιλογή, θα μειώνουμε πάντα με μεγαλύτερη). Έτσι φτάνουμε στις απαντήσεις:

Όλοι οι αριθμοί που λαμβάνονται είναι μη αναγώγιμα κλάσματα.

Ένας μεγαλύτερος αριθμός δεν μπορεί να διαιρεθεί με έναν μικρότερο αριθμό. Αλλά η εγγραφή τόσο του αριθμητή όσο και του παρονομαστή τελειώνει στο μηδέν. Έτσι, μειώνουμε το κλάσμα κατά 10:

Αυτό το κλάσμα μπορεί ακόμα να μειωθεί. Ελέγχουμε τον πίνακα πολλαπλασιασμού: και το 48 και το 72 διαιρούνται με το 8. Μειώνουμε το κλάσμα κατά 8:

Μπορούμε επίσης να μειώσουμε το κλάσμα που προκύπτει κατά 3:

Αυτό το κλάσμα είναι μη αναγώγιμο.

Ο μεγαλύτερος αριθμός δεν διαιρείται με τον μικρότερο αριθμό. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής τελειώνουν σε μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι μειώνουμε το κλάσμα κατά 10.

Ελέγχουμε τους αριθμούς που λαμβάνονται στον αριθμητή και στον παρονομαστή για και. Εφόσον το άθροισμα των ψηφίων του 27 και του 531 διαιρείται με το 3 και το 9, αυτό το κλάσμα μπορεί να μειωθεί είτε κατά 3 είτε κατά 9. Επιλέγουμε το μεγαλύτερο και μειώνουμε κατά 9. Το αποτέλεσμα είναι ένα μη αναγώγιμο κλάσμα.

Η μείωση των κλασμάτων είναι απαραίτητη για να μειωθεί το κλάσμα σε περισσότερα απλή θέα, για παράδειγμα, στην απάντηση που ελήφθη ως αποτέλεσμα της επίλυσης μιας έκφρασης.

Αναγωγή κλασμάτων, ορισμός και τύπος.

Τι είναι τα αναγωγικά κλάσματα; Τι σημαίνει μείωση ενός κλάσματος;

Ορισμός:
Αναγωγικά Κλάσματα- αυτή είναι η διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο θετικό αριθμό που δεν ισούται με μηδέν και ένα. Ως αποτέλεσμα της αναγωγής, προκύπτει ένα κλάσμα με μικρότερο αριθμητή και παρονομαστή, ίσο με το προηγούμενο κλάσμα σύμφωνα με.

Τύπος αναγωγής κλασμάτωνκύρια ιδιοκτησία ορθολογικούς αριθμούς.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Μειώστε το κλάσμα \(\frac(9)(15)\)

Διάλυμα:
Μπορούμε να συνυπολογίσουμε ένα κλάσμα σε πρώτους παράγοντες και να ακυρώσουμε κοινούς παράγοντες.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Απάντηση: μετά την αναγωγή πήραμε το κλάσμα \(\frac(3)(5)\). Σύμφωνα με τη βασική ιδιότητα των ρητών αριθμών, το αρχικό και το κλάσμα που προκύπτει είναι ίσα.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Πώς να μειώσετε τα κλάσματα; Αναγωγή ενός κλάσματος στην μη αναγώγιμη μορφή του.

Για να πάρουμε ως αποτέλεσμα ένα μη αναγώγιμο κλάσμα, χρειαζόμαστε βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (GCD)για τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι εύρεσης του GCD στο παράδειγμα που θα χρησιμοποιήσουμε την αποσύνθεση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Λάβετε το μη αναγώγιμο κλάσμα \(\frac(48)(136)\).

Διάλυμα:
Ας βρούμε το GCD(48, 136). Ας γράψουμε τους αριθμούς 48 και 136 σε πρώτους παράγοντες.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(κόκκινο) (2 \ φορές 2 \ φορές 2) \ φορές 2 \ φορές 3) (\color(κόκκινο) (2 \ φορές 2 \ φορές 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Ο κανόνας για την αναγωγή ενός κλάσματος σε μη αναγώγιμη μορφή.

1. Πρέπει να βρούμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη για τον αριθμητή και τον παρονομαστή.
2. Πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη για να λάβετε ένα μη αναγώγιμο κλάσμα.

Παράδειγμα:
Μειώστε το κλάσμα \(\frac(152)(168)\).

Διάλυμα:
Ας βρούμε το GCD(152, 168). Ας γράψουμε τους αριθμούς 152 και 168 σε πρώτους παράγοντες.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(κόκκινο) (6) \times 19)(\color(κόκκινο) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Απάντηση: Το \(\frac(19)(21)\) είναι ένα μη αναγώγιμο κλάσμα.

Μείωση ακατάλληλων κλασμάτων.

Πώς να κόψετε ακατάλληλο κλάσμα?
Οι κανόνες για τη μείωση των κλασμάτων είναι οι ίδιοι για τα σωστά και τα ακατάλληλα κλάσματα.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Μειώστε το ακατάλληλο κλάσμα \(\frac(44)(32)\).

Διάλυμα:
Ας γράψουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή σε απλούς παράγοντες. Και μετά θα μειώσουμε τους κοινούς παράγοντες.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(κόκκινο) (2 \ φορές 2 ) \ φορές 11)(\color(κόκκινο) (2 \ φορές 2 ) \ φορές 2 \ φορές 2 \ φορές 2 )=\frac(11)(2 \φορές 2 \φόρες 2)=\frac(11)(8)\)

Μείωση μικτών κλασμάτων.

Μικτά κλάσματα χρησιμοποιώντας τους ίδιους κανόνες όπως κοινά κλάσματα. Η μόνη διαφορά είναι ότι μπορούμε μην αγγίζετε ολόκληρο το μέρος, αλλά μειώνετε το κλασματικό μέροςή μικτό κλάσμαμετατροπή σε ακατάλληλο κλάσμα, μείωση και μετατροπή σε κατάλληλο κλάσμα.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Ακυρώστε το μικτό κλάσμα \(2\frac(30)(45)\).

Διάλυμα:
Ας το λύσουμε με δύο τρόπους:
Πρώτος τρόπος:
Ας γράψουμε το κλασματικό μέρος σε απλούς παράγοντες, αλλά δεν θα αγγίξουμε ολόκληρο το μέρος.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

Δεύτερος τρόπος:
Ας το μετατρέψουμε πρώτα σε ακατάλληλο κλάσμα και μετά ας το γράψουμε σε πρώτους παράγοντες και ας μειώσουμε. Ας μετατρέψουμε το ακατάλληλο κλάσμα που προκύπτει σε σωστό κλάσμα.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(κόκκινο) (5 \φορές 3) \ φορές 2 \ φορές 2) (3 \ φορές \ χρώμα (κόκκινο) (3 \ φορές 5)) =\ frac (2 \ φορές 2 \ φορές 2) (3) =\ frac (8) (3)= 2\frac(2)(3)\)

Σχετικές ερωτήσεις:
Μπορείτε να μειώσετε τα κλάσματα κατά την πρόσθεση ή την αφαίρεση;
Απάντηση: όχι, πρέπει πρώτα να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε κλάσματα σύμφωνα με τους κανόνες και μόνο στη συνέχεια να τα μειώσετε. Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Αξιολογήστε την έκφραση \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Διάλυμα:
Συχνά κάνουν το λάθος να μειώνουν τους ίδιους αριθμούς στον αριθμητή και στον παρονομαστή, στην περίπτωσή μας τον αριθμό 20, αλλά δεν μπορούν να μειωθούν μέχρι να ολοκληρώσετε την πρόσθεση και την αφαίρεση.

\(\frac(50+\color(κόκκινο) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Με ποιους αριθμούς μπορείτε να μειώσετε ένα κλάσμα;
Απάντηση: Μπορείτε να μειώσετε ένα κλάσμα με τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα ή τον κοινό διαιρέτη του αριθμητή και του παρονομαστή. Για παράδειγμα, το κλάσμα \(\frac(100)(150)\).

Ας γράψουμε τους αριθμούς 100 και 150 σε πρώτους παράγοντες.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης θα είναι ο αριθμός GCD(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Πήραμε το μη αναγώγιμο κλάσμα \(\frac(2)(3)\).

Αλλά δεν είναι απαραίτητο να διαιρείται πάντα με το gcd ένα μη αναγόμενο κλάσμα δεν είναι πάντα απαραίτητο. Για παράδειγμα, ο αριθμός 100 και 150 έχουν κοινό διαιρέτη του 2. Ας μειώσουμε το κλάσμα \(\frac(100)(150)\) κατά 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Πήραμε το αναγώγιμο κλάσμα \(\frac(50)(75)\).

Ποια κλάσματα μπορούν να μειωθούν;
Απάντηση: Μπορείτε να μειώσετε τα κλάσματα στα οποία ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν κοινό διαιρέτη. Για παράδειγμα, το κλάσμα \(\frac(4)(8)\). Ο αριθμός 4 και 8 έχουν έναν αριθμό με τον οποίο διαιρούνται και οι δύο - τον αριθμό 2. Επομένως, ένα τέτοιο κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά τον αριθμό 2.

Παράδειγμα:
Συγκρίνετε τα δύο κλάσματα \(\frac(2)(3)\) και \(\frac(8)(12)\).

Αυτά τα δύο κλάσματα είναι ίσα. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο κλάσμα \(\frac(8)(12)\):

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)\)

Από εδώ παίρνουμε, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Δύο κλάσματα είναι ίσα αν και μόνο αν το ένα από αυτά προκύπτει αναγωγή του άλλου κλάσματος με τον κοινό παράγοντα του αριθμητή και του παρονομαστή.

Παράδειγμα:
Εάν είναι δυνατόν, μειώστε τα ακόλουθα κλάσματα: α) \(\frac(90)(65)\) β) \(\frac(27)(63)\) γ) \(\frac(17)(100)\) δ) \(\frac(100)(250)\)

Διάλυμα:
α) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \ φορές 3 \ φορές 3)(13)=\frac(18)(13)\)
β) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(κόκκινο) (3 \ φορές 3) \times 3)(\color(κόκκινο) (3 \φορές 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
γ) \(\frac(17)(100)\) μη αναγώγιμο κλάσμα
δ) \(\frac(100)(250)=\frac(\χρώμα(κόκκινο) (2 \ φορές 5 \ φορές 5) \ φορές 2) (\χρώμα(κόκκινο) (2 \ φορές 5 \ φορές 5) \ φορές 5)=\frac(2)(5)\)

Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε βασικές πράξεις με αλγεβρικά κλάσματα:

• αναγωγικά κλάσματα
• πολλαπλασιάζοντας κλάσματα
• διαίρεση κλασμάτων

Ας ξεκινήσουμε με μείωση αλγεβρικών κλασμάτων.

Θα φαινόταν αλγόριθμοςφανερός.

Να μειώνουν τα αλγεβρικά κλάσματα, πρέπει να

1. Υπολογίστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

2. Μειώστε ίσους παράγοντες.

Ωστόσο, οι μαθητές συχνά κάνουν το λάθος να «μειώνουν» όχι τους παράγοντες, αλλά τους όρους. Για παράδειγμα, υπάρχουν ερασιτέχνες που «μειώνουν» τα κλάσματα και παίρνουν ως αποτέλεσμα, κάτι που, φυσικά, δεν είναι αλήθεια.

Ας δούμε παραδείγματα:

1. Μειώστε ένα κλάσμα:

1. Ας παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή χρησιμοποιώντας τον τύπο του τετραγώνου του αθροίσματος και τον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τον τύπο της διαφοράς των τετραγώνων

2. Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με

2. Μειώστε ένα κλάσμα:

1. Ας παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή. Δεδομένου ότι ο αριθμητής περιέχει τέσσερις όρους, χρησιμοποιούμε ομαδοποίηση.

2. Ας παραγοντοποιήσουμε τον παρονομαστή. Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε ομαδοποίηση.

3. Ας γράψουμε το κλάσμα που πήραμε και ας μειώσουμε τους ίδιους παράγοντες:

Πολλαπλασιασμός αλγεβρικών κλασμάτων.

Όταν πολλαπλασιάζουμε αλγεβρικά κλάσματα, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή.

Σπουδαίος!Δεν χρειάζεται να βιαστείτε να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος. Αφού γράψουμε το γινόμενο των αριθμητών των κλασμάτων στον αριθμητή και το γινόμενο των παρονομαστών στον παρονομαστή, πρέπει να συνυπολογίσουμε κάθε παράγοντα και να μειώσουμε το κλάσμα.

Ας δούμε παραδείγματα:

3. Απλοποιήστε την έκφραση:

1. Ας γράψουμε το γινόμενο των κλασμάτων: στον αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και στον παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών:

2. Ας παραγοντοποιήσουμε κάθε παρένθεση:

Τώρα πρέπει να μειώσουμε τους ίδιους παράγοντες. Σημειώστε ότι οι εκφράσεις και διαφέρουν μόνο ως προς το πρόσημο: και ως αποτέλεσμα της διαίρεσης της πρώτης έκφρασης με τη δεύτερη παίρνουμε -1.

Ετσι,

Διαιρούμε τα αλγεβρικά κλάσματα σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:

Ήτοι Για να διαιρέσετε με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε με το "ανεστραμμένο".

Βλέπουμε ότι η διαίρεση των κλασμάτων καταλήγει στον πολλαπλασιασμό, και Ο πολλαπλασιασμός καταλήγει τελικά στη μείωση των κλασμάτων.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

4. Απλοποιήστε την έκφραση: